逻辑学与科学方法

逻辑学与科学方法
无穷集合
• 无穷集合是其中元素的数量不能对应于一个确定的自然数，换言之就是其中 元素的数量要多少有多少的集合。
逻辑学与科学方法
逻辑学的内容
• 逻辑学的内容包括：
• 形式逻辑 • 归纳逻辑 • 辩证逻辑
• 在逻辑学的基础上，诞生了几何学、数学、 计算科学、等。逻辑学是科学理论的重要 基石，也是科学研究中的重要工具。
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感官的 延伸
科学方法
思维的 规律
• 科学方法是指正确反映研究对象的客观规律的主观手段。一般分为三个层次：
• 换言之，就是用形式化的方法来描述 并给出思维的过程及其规律的科学。
• 形式化可简单地表述为： 形式化 = 符号化 + 抽象公理化。
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形式化=符号化+抽象公理化
• 符号化：用符号表示客观对象，用函数表示对象间的映射，用谓词表示对象 的性质。
常元表示指定对象：周经野、Marry、a、等。 变元表示未定对象：某人、some、x、等。 量词表示对象的某种限定：所有、存在。 函数表示对象间映射：中国首都、Sum(5, 3)、等。 谓词表示对象性质：美丽、夫妻、Is(x, y)、等。
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三种不同的平行公理
• “给定一条直线l和直线外一点A，则在直线l和A 点所决定的平面上，通过A点有且只有一条直线l’
与直线l不相交。”—— 欧氏平行公理
• “给定一条直线l和直线外一点A，则在直线l和A
点所决定的平面上，通过A点至少有两条直线都与
直线l不相交。” —— 罗氏平行公理
逻辑学与科学方法
逻辑学与科学方法
逻辑学
• “关于人类思维形式及其规律的科 学。研究概念、判断和推理及其相 互关系的规律、规则，以帮助人们 正确地思维和认识客观真理。” （辞海，1989年版，1190页）
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源远流长的逻辑学
• 远在公元前7~6世纪古代的中国墨家和名家、印度 乔答摩、希腊的亚里士多德、欧几里德的研究。
并且几乎为后者的一倍。
•令
Z = {x | x是整数。}
E = {x | x是偶数。}
• 那么，集合Z的元素数量是否也大于集合E的元素 数量，并且几乎为后者的一倍呢？
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无穷集合
• 无穷集合是其中元素的数量不能对应于一个确定的自然数，换言之就是其中 元素的数量要多少有多少的集合。
这里，集合Z和集合E都含有无穷多 个元素，这样的几何称为无穷集合。
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无穷集合
• 无穷集合是其中元素的数量不能对应于一个确定的自然数，换言之就是其中 元素的数量要多少有多少的集合。
无穷集合之间是否还有大小之分呢？
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无穷集合
• 无穷集合是其中元素的数量不能对应于一个确定的自然数，换言之就是其中 元素的数量要多少有多少的集合。
首先要找出比较无穷集合大小的方法。
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形式逻辑并不神秘
• 当认识的客观事物上升为概念并用语言表达出来，就完成了符号化的过程。 • 当使用自然语言来对客观事物进行表达、判断或推理时，就是在使用某种形
式逻辑的方法了。
中国的首都是北京并且英国的首都是伦敦 等价于
Is(Capital(China), Beijing) and Is(Capital(UK), London)
• “给定一条直线l和直线外一点A，则在直线l和A
点所决定的平面上，通过A点的所有直线都与直线
l相交。”
—— 黎氏平行公理
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不同公理系统中的定理不同
• 在欧氏几何中三角形内角之和等于180°。 • 在罗氏几何中三角形内角之和大于180°。 • 在黎氏几何中三角形内角之和大于180°。
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形式化=符号化+抽象公理化
• 符号化：用符号表示客观对象，用函数表示对象间的映射，用谓词表示对象 的性质。
• 形式规则：用一套规则来生成这个系统中 的各种公式。
• 公理：用一组公式，这组公式被认为在这 系统中是自然成立的。
• 推导规则：即从已知的公式中如何推导出 新的公式(定理)的规则。
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常用的演绎证明方法
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• 1、三段论推理
最基本的推理规则： (AB)，A B
• 2、鸽巢原理(抽屉原理)
大前提 小前提
结论
是一种只能在有穷集合中使用的证明方法。
• 3、反证法
通过证明A不成立的矛盾性得出A成立的结论， 是一种基于排中律的证明方法。
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定理与公理
• 从已知成立的公式中应用推理规则推导出来的公式就称之为定理。 • 逻辑推理是需要有前提。由此往前溯源，就势必存在一些公式没有前提。 • 在逻辑系统中被认为自然成立的，即无需证明的，公式就被称为公理。 • 逻辑系统中一定要有一组公理。公理不同就构成不同的逻辑系统。
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从有限走向无限
• 我们看到过无限延伸的直线吗？
没有！
• 我们实际上是在用所看到的有限的直线段 去推断无限长的直线。
那么我们能够这样做吗？
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从有限走向无限
• 给定的一个自然数n，令
A = {x | x是整数且0≤x≤n。} B = {x | x是偶数且0≤x≤n。}
• 显然，集合A的元素数量大于集合B的元素数量，
• 19世纪和20世纪以来经过莱布尼兹、布尔、弗雷 格、皮亚诺、罗素等人建立了数理逻辑。
• 17世纪培根着重研究了归纳法，19世纪穆勒进而 研究了判明因果关系的归纳方法，而20世纪在概 率和统计的基础上发展为归纳逻辑。
• 18世纪康德提出辩证逻辑、19世纪黑格尔的辩证 逻辑体系，后来的马克思的科学辩证逻辑。
a 欧氏空间中 的三角形
b 罗氏空间中 的三角形
c 黎氏空间中 的三角形
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宇宙空间是弯曲的
• 爱因斯坦曾假设：“物理空间是在巨大质量的附近弯曲的”。
若 ’，则说明太阳 的质量使得光线发生了弯 ’ 曲。 • 1919年英国天文学远征队在普林西比群岛 观测日食，实测与’相差 1.61″±0.30″，证实了在太阳周围的空 间发生了弯曲。
• ⑴个别领域或学科采用的研究方法； 如光谱分析法、比色法、等等
• ⑵自然科学中一般的研究方法； 如观察、实验、假说、归纳、推理、等等
• ⑶适用于一切科学的哲学方法。
• 不难看出，逻辑学与科学方法有着十分重要关系。
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一、形式逻辑
逻辑学与科学方法
形式逻辑
• 形式逻辑就是研究思维的形式及其规 律的科学。