模糊数学教案01汇总
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f ： X (Y)
x | f(x) =B (Y) 为X 到Y的点集映射.
定义1.2.11 (集合映射)设映射T：X Y，则称
T ： (X) (Y) A| (A)
为X 到Y的集合映射.
3. 映射的扩张 定义7 (扩张原理)
设映射 f ：X Y，定义 f (A) = { y | f (x) = y，xA }
X Y = { (x , y )| xX , y Y }.
例1 设X ={1, 2}，Y = {a,b,c}. 则 XY = (1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)}, YX = (a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}.
例2 设X ={a, b, c}，Y = {1, 2}. f ：X Y
且f (a) =1，f (b) =2，f (c) =1. 则 f ： (X) (Y)
且 f ( ) = ，f ({a}) = {1}，f ({b}) = {2}，
f ({c}) ={1}，f ({a, b}) ={1, 2}，f ({a, c}) ={1}， f ({b, c}) =源自文库1,2}， f ({a, b, c}) ={1,2} .
§1.2 模糊理论的数学基础
一 经典集合
1.经典集合具有两条基本属性：元素彼此相 异，即无重复性；范围边界分明,即一个元素x要 么属于集合A(记作xA),要么不属于集合(记作 xA)，二者必居其一.
2.集合的表示法
(1)枚举法，A={x1 , x2 ,…, xn}； (2)描述法，A={x | P(x)}.
对于有限集合来说，| XY |= | X | |Y |.
二 映射与扩张
1.映射
定义6 设X 与 Y是两个非空集合，如果存在一个对
应规则 f ，使得xX ，有唯一的元素 y Y 与之 对应，则称 f 是 X 到 Y 的映射，记为
f ： X Y 定义域、值域、满映射、一一映射.
2. 集合A的特征函数
A
(
x)
1, 0,
x A; x A.
取大运算, 如2∨3 = 3
特征函数满足：
AB (x) A (x) B (x);
AB (x) A (x) B (x);
Ac (x) 1 A (x).
取小运算, 如2∧3 = 2
扩张：点集映射 集合变换
3. 映射的扩张 定义1.2.10 (点集映射)设映射 f ：X Y，则称
尽管这里只提供了一个精确信息――男人，而其他 信息――大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中 年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头 脑的综合分析判断，就可以接到这个人.
模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各 个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、 医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的 应用.
R (x , y ) = 0. 映射R : X Y {0,1}实际上是 X Y 的子集
R上的特征函数χA(x,y).
2.关系的三大特性
定义9 设R为 X 上的关系
(1) 自反性：若 X 上的任何元素都与自己有 关系R，即R (x , x) =1，则称关系 R 具有自反性；
(2) 对称性：对于X 上的任意两个元素 x , y， 若 x 与y 有关系R 时，则 y 与 x 也有关系R，即 若R (x , y ) =1，则R ( y , x ) = 1，那么称关系R具 有对称性；
(3) 传递性：对于X上的任意三个元素x, y, z， 若x 与y 有关系R，y 与z 也有关系R 时，则x与z 也有关系R，即若R (x , y ) = 1，R ( y , z ) =1，则 R ( x , z ) = 1，那么称关系R具有传递性.
3.集合的包含
定义1 A包含于B：AB 若xA，则xB； A包含B：AB 若xB，则xA； A等于B：A=B AB且 AB.
定义2 若A包含于B，称A是B的子集；不含有任何
元素的集合称为空集，用表示；设有集合U，
对于任意集合A，总有AU，则称U为全集. 显然，任何非空集合A，都有两个子集：A
( A∩B )∪C = ( A∪C )∩( B∪C )； 0-1律：A∪U = U ， A∩U = A ；
A∪ = A ， A∩ = ；
还原律： (Ac)c = A ； 对偶律： (A∪B)c = Ac∩Bc，(A∩B)c = Ac∪Bc；
排中律： A∪Ac = U， A∩Ac = .
7.集合的直积 定义5
三 二元关系
1.二元关系 定义8
X Y 的子集 R 称为从 X 到 Y 的二元关系， 特别地，当 X = Y 时，称之为 X 上的二元关系. 二元关系简称为关系.
若(x , y )R，则称 x 与 y 有关系，记为 R (x , y ) = 1；
若(x , y )R，则称 x 与 y 没有关系，记为
及 . 全集是个具有相对性的概念.
4.集合的幂集
定义3 集合A的所有子集所组成的集合称为A的幂
集，记为(A)，即(A)={B|BA }. 对于有限集合来说，|(A)|=2|A|.
5.集合的运算 定义4
并集：A∪B = { x | xA或xB }； 交集：A∩B = { x | xA且xB }； 余集：Ac = { x | xA }.
第1章 模糊集的基本概念
理学院数学系 2-231室 张昆 zhangkun@ahau.edu.cn
模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方 法. 众所周知，经典数学是以精确性为特征的.
然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、 没有价值的. 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还 要好.
例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子 长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”.
6.集合的运算规律
幂等律： A∪A = A， A∩A = A； 交换律： A∪B = B∪A， A∩B = B∩A； 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C )，
( A∩B )∩C = A∩( B∩C )； 吸收律： A∪( A∩B ) = A，A∩( A∪B ) = A； 分配律：( A∪B )∩C = ( A∩C )∪( B∩C )；
x | f(x) =B (Y) 为X 到Y的点集映射.
定义1.2.11 (集合映射)设映射T：X Y，则称
T ： (X) (Y) A| (A)
为X 到Y的集合映射.
3. 映射的扩张 定义7 (扩张原理)
设映射 f ：X Y，定义 f (A) = { y | f (x) = y，xA }
X Y = { (x , y )| xX , y Y }.
例1 设X ={1, 2}，Y = {a,b,c}. 则 XY = (1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)}, YX = (a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}.
例2 设X ={a, b, c}，Y = {1, 2}. f ：X Y
且f (a) =1，f (b) =2，f (c) =1. 则 f ： (X) (Y)
且 f ( ) = ，f ({a}) = {1}，f ({b}) = {2}，
f ({c}) ={1}，f ({a, b}) ={1, 2}，f ({a, c}) ={1}， f ({b, c}) =源自文库1,2}， f ({a, b, c}) ={1,2} .
§1.2 模糊理论的数学基础
一 经典集合
1.经典集合具有两条基本属性：元素彼此相 异，即无重复性；范围边界分明,即一个元素x要 么属于集合A(记作xA),要么不属于集合(记作 xA)，二者必居其一.
2.集合的表示法
(1)枚举法，A={x1 , x2 ,…, xn}； (2)描述法，A={x | P(x)}.
对于有限集合来说，| XY |= | X | |Y |.
二 映射与扩张
1.映射
定义6 设X 与 Y是两个非空集合，如果存在一个对
应规则 f ，使得xX ，有唯一的元素 y Y 与之 对应，则称 f 是 X 到 Y 的映射，记为
f ： X Y 定义域、值域、满映射、一一映射.
2. 集合A的特征函数
A
(
x)
1, 0,
x A; x A.
取大运算, 如2∨3 = 3
特征函数满足：
AB (x) A (x) B (x);
AB (x) A (x) B (x);
Ac (x) 1 A (x).
取小运算, 如2∧3 = 2
扩张：点集映射 集合变换
3. 映射的扩张 定义1.2.10 (点集映射)设映射 f ：X Y，则称
尽管这里只提供了一个精确信息――男人，而其他 信息――大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中 年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头 脑的综合分析判断，就可以接到这个人.
模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各 个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、 医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的 应用.
R (x , y ) = 0. 映射R : X Y {0,1}实际上是 X Y 的子集
R上的特征函数χA(x,y).
2.关系的三大特性
定义9 设R为 X 上的关系
(1) 自反性：若 X 上的任何元素都与自己有 关系R，即R (x , x) =1，则称关系 R 具有自反性；
(2) 对称性：对于X 上的任意两个元素 x , y， 若 x 与y 有关系R 时，则 y 与 x 也有关系R，即 若R (x , y ) =1，则R ( y , x ) = 1，那么称关系R具 有对称性；
(3) 传递性：对于X上的任意三个元素x, y, z， 若x 与y 有关系R，y 与z 也有关系R 时，则x与z 也有关系R，即若R (x , y ) = 1，R ( y , z ) =1，则 R ( x , z ) = 1，那么称关系R具有传递性.
3.集合的包含
定义1 A包含于B：AB 若xA，则xB； A包含B：AB 若xB，则xA； A等于B：A=B AB且 AB.
定义2 若A包含于B，称A是B的子集；不含有任何
元素的集合称为空集，用表示；设有集合U，
对于任意集合A，总有AU，则称U为全集. 显然，任何非空集合A，都有两个子集：A
( A∩B )∪C = ( A∪C )∩( B∪C )； 0-1律：A∪U = U ， A∩U = A ；
A∪ = A ， A∩ = ；
还原律： (Ac)c = A ； 对偶律： (A∪B)c = Ac∩Bc，(A∩B)c = Ac∪Bc；
排中律： A∪Ac = U， A∩Ac = .
7.集合的直积 定义5
三 二元关系
1.二元关系 定义8
X Y 的子集 R 称为从 X 到 Y 的二元关系， 特别地，当 X = Y 时，称之为 X 上的二元关系. 二元关系简称为关系.
若(x , y )R，则称 x 与 y 有关系，记为 R (x , y ) = 1；
若(x , y )R，则称 x 与 y 没有关系，记为
及 . 全集是个具有相对性的概念.
4.集合的幂集
定义3 集合A的所有子集所组成的集合称为A的幂
集，记为(A)，即(A)={B|BA }. 对于有限集合来说，|(A)|=2|A|.
5.集合的运算 定义4
并集：A∪B = { x | xA或xB }； 交集：A∩B = { x | xA且xB }； 余集：Ac = { x | xA }.
第1章 模糊集的基本概念
理学院数学系 2-231室 张昆 zhangkun@ahau.edu.cn
模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方 法. 众所周知，经典数学是以精确性为特征的.
然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、 没有价值的. 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还 要好.
例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子 长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”.
6.集合的运算规律
幂等律： A∪A = A， A∩A = A； 交换律： A∪B = B∪A， A∩B = B∩A； 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C )，
( A∩B )∩C = A∩( B∩C )； 吸收律： A∪( A∩B ) = A，A∩( A∪B ) = A； 分配律：( A∪B )∩C = ( A∩C )∪( B∩C )；