幻方之填法(自我学习总结)

填幻方的规律口诀

填幻方的规律口诀
“填幻方的规律口诀”是一种帮助人们快速解决填幻方问题的口头提示。

它由一些有关填幻方规则的简洁明了的语句所组成，使用者可以根据这些语句来记住填幻方的规则，从而更快地解决填幻方问题。

填幻方的规律口诀主要有三条：
第一条规律口诀：“横竖角及斜行之和皆相等。

”这条规律口诀提示我们，填幻方中每一行、每一列以及对角线上的数字总和都应相等，即所有行、列和对角线上的数字之和应为15。

第二条规律口诀：“每行每列必不重复。

”这条规律口诀告诉我们，填幻方中每一行和每一列上的数字都不能重复，即同一行、同一列上的数字不能重复出现。

第三条规律口诀：“宫宫相连互不重复。

”这条规律口诀提示我们，填幻方中每个小宫格中的数字都不能重复，即每个小宫格中的数字不能重复出现。

填幻方的规律口诀可以帮助人们记住填幻方的规则，并辅助人们快速解决填幻方问题。

首先，我们可以根据“横竖角及斜行之和皆相等”的规则口诀，计算出每一行、每一列以及对角线上的数字之和应为15。

其次，根据“每行每列必不重复”的规则口诀，我们可以确保每一行
和每一列上的数字不会重复出现。

最后，根据“宫宫相连互不重复”的规则口诀，我们可以确保每个小宫格中的数字不会重复出现。

因此，“填幻方的规律口诀”是一种非常有用的工具，可以帮助人们快速解决填幻方问题。

使用者可以根据这些口诀记住填幻方的规则，从而更快地解决填幻方问题。

幻方填写技巧

幻方的填写技巧摘要：发现了一种任意阶幻方的填法规律，只通过简单的计算就能很快地填出任意阶幻方。

关键词：幻方填法奇数阶幻方偶数阶幻方幻方，古称“纵横图”，就是用自然数1、2、3、…、n2排成n 行，n列的“方阵”，如果每一行，每一列以及每一对角线上的n个数的和都相等（等于n(n2+1)/2），这个“方阵”就叫做n阶幻方。

古今中外很多科学家都对幻方有过深入研究。

介绍幻方的书很多，但大都只介绍了奇数阶幻方的填法，而对于偶数阶幻方的填法，都没有过多的介绍。

我通过对幻方的深入研究，得到了一种n阶幻方的填法规律,利用这个规律,可以很快地填出任意阶幻方(已用V.B语言编成了程序,在计算机上只需要几秒钟就可以得到上千阶幻方)。

现把n阶幻方的填法介绍给大家。

1、奇数阶幻方奇数阶幻方的填法很多书上都有介绍，现选谭浩强著《QBASIC 语言教程》中方法，以5阶幻方为例说明填法（如图１）：图１①先将“1”放在第一行当中一列；②从“2”开始直到“n 2”为止，各数依次按下列规则放数：每一个数放的行比前一个数的行数减1，列数加1。

如“6”放的第3行第2列，则“7”放在第2行第3列；③如果上一个数的行数为1，则下一数的行数为n （最下一行）。

如“8”放在第1行第4列，则“9”放在第5行第5列；④如果上一个数的列数为n ，则下一个数的列数应为1，行数减1。

如“3在第4行第5列，则“4”应放在第3行第1列；⑤如下一个数应放的位置已被其它数占用，则下一个数放在上一个数的下面。

如“5”的下一个数“6”应放在第1行第3列，但该位置已被“1”占用，故将“6”放在“5”的下面。

根据上述五点，可以填出所有的奇数阶幻方。

2、偶数阶幻方分是否能被4整除两种情况而用不同的方法。

（1）、当n 能被4整除时，设n=4k(k ≥1)，最简单的4k 阶幻方为k ＝1时的4阶幻方，前人的填法为：①先画一个4×4的格子，从小到大依次填入1至16各数（如a b (同列对调) c (同行对调)图2图2a）。

幻方之填法(自我学习总结)

幻方的填写技巧一、N阶幻方的分类：1、奇数阶幻方：当n=2k+1时，称为奇数阶幻方。

2、偶数阶幻方：（1）双偶数幻方：当n=4k=2×2k时，称为双偶数数阶幻方。

（2）单偶数幻方：当n=4k+2=2×(2k+1）时，称为单偶数阶幻方。

二、幻方的填写方法：1、奇数阶幻方：可按照如下方法操作：Merzirac法，有人也叫楼梯法，我管它叫斜步法，即走X+Y斜步（数字按右上方顺序填入），-Y跳步（如果右上方已有数字或出了对角线，则向下移一格继续填写）。

其实斜步法可以向4个方向依次填写数字，即右上、右下、左上、左下4个方向，每种斜步都可有2种跳步，即左（右）跳步、上（下）跳步。

对于X+Y斜步相应的跳步可以为-X，-Y。

【记住，跳步是X+Y斜步的X（或Y）相反方向即可。

如右上方向斜步，跳步就为向左（或向下）一步；左下方向斜步，跳步就为向右（或向上）一步；等等等等】（2）杨辉“阳动阴静”法南宋杨辉不仅精通数学，而且精通易学，在他1275年所著的《续古摘奇算法》中，就对河图和洛书的数学问题进行了详尽的研究。

其中对3阶幻方的排列，找出了一种奇妙的规律：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”，清代，2、双偶数阶幻方：可按照如下方法操作：（一）四阶幻方：（1）对角线上的数字一律不动；（2）对角线以外的数字关于对角线交点作中心对称对换位置即可。

（3）完成后的四阶幻方如下：（1）对角线上的数字一律不动；（2）对角线以外的数字关于对角线交点作中心对称对换位置即可。

（3）3、（按奇数阶幻方填法按区域填写）（二）十阶幻方：我就在旁边静静地呆着，不言不语，生怕惊扰这静谧的美好，惟愿时光驻留，变成永恒回忆；惟愿几十年后，两鬓斑白的我们仍然携手坐在阳台上，不谈悲喜，只闻花香。

携手的日子总是温暖多过于寒冷，欢笑多过于失意，此时此刻，感恩日子的温润让自己满足。

一个人的独立，两个人的扶持，让光阴有滋有味，富有弹性。

填幻方涉及的数学知识

填幻方涉及的数学知识
填幻方是一种古老的数学游戏，它涉及到许多有趣的数学知识。

填幻方的核心是在一个正方形的格子中填入一系列数字，使得每一行、每一列以及对角线上的数字之和都相等。

这个数字之和被称为“幻方的常数”。

填幻方涉及的数学知识包括数论、代数、排列组合等多个领域。

首先，填幻方要求玩家对数字的性质有一定的了解。

比如，奇数阶
幻方的构造需要对奇数的特性有所了解，偶数阶幻方的构造则需要
对偶数的性质有所了解。

此外，填幻方还涉及到排列组合的知识，
因为填入每个格子的数字不能重复，需要进行排列组合的计算。

而
填幻方的解法也涉及到代数方程的求解，需要运用代数知识来推导
出每个格子中的数字。

填幻方不仅是一种趣味盎然的数学游戏，更是一种锻炼数学思
维的好方法。

通过填幻方，玩家可以加深对数学知识的理解，培养
逻辑推理能力和数学解题的技巧。

因此，填幻方涉及的数学知识不
仅有助于提高数学水平，也能够激发学生对数学的兴趣，让数学学
习变得更加有趣和生动。

幻方解法整理归纳

在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。

我国古代称为“”、“”，又叫“”。

1、奇数阶幻方——罗伯特法(也有人称之为楼梯法)（如图一：以五阶幻方为例）奇数阶幻方n 为奇数 (n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……)奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。

填写方法是这样：把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n-1个数：(1)每一个数放在前一个数的右上一格；(2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；(3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；(5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。

这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。

口诀：1居首行正中央,依次右上莫相忘上出格时往下放,右出格时往左放.排重便往自下放,右上出格一个样图一2、单偶数阶幻方()122＋＝m n ——分区调换法（如图二：以六阶幻方为例） ① 把()122＋＝m n 阶的幻方均分成4个同样的小幻方A 、B 、C 、D(如图二)图二（注意A 、B 、C 、D 的相对位置不能改变，因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方） ② 用连续摆数法在A 中填入21a ——构成幻方，同理，在B 中填入()2221a a ——＋、在C 中填入()22312a a ——＋、在D 中填入()22413a a ——＋均构成幻方（2na ＝）(如图三)图三（因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方，必然可以用连续摆数法构造幻方）③ 在A 的中间一行上从左侧的第二列起取m 个方格，在其它行上则从左侧第一列起取m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调(如图四)：图四不管是几阶幻方，在A 中取数时都要从中间一行的左侧第二列开始；因为当6＝n 时，1＝m ，所以本例中只取了一个数）④ 在A 中从最右一列起在各行中取1－m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调。

幻方最优填法

如何填幻方幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。

而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。

我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。

公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。

在欧洲，直到574年，德国著名画家丢功才绘制出了完整的4阶幻方。

数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。

目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。

1、奇数阶幻方n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……)奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。

填写方法是这样：把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n-1个数：(1)每一个数放在前一个数的右上一格；(2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；(3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；(5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。

这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。

2、双偶阶幻方n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……)先说明一个定义。

互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1，称为互补。

先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：这个方阵的对角线，已经用蓝色标出。

将对角线上的数字，换成与它互补的数字。

这里，n×n+1 = 4×4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。

幻方的认识和填写方法

n阶幻方幻方，亦称纵横图。

台湾称为魔术方阵。

将自然数1，2，3，……n*n排列成一个n*n方使得每行、每列以及两对角线上的各个数之和都相等，等于n/2*(n*n+1)，这样的方阵称为幻方。

一般地，将连续的正整数1，2，3，…，n2填入n×n个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方，记n阶幻方的对角线上数的和为N,则例如：把1，2，3，4，5，6，7，8，9填入3*3的格子，使得：每行、每列、两条对角线的和是15。

n是它的阶数，比如上面的幻方是3阶。

n/2*(n*n+1)为幻方的变幻常数。

数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。

目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。

这里对于这三类幻方，仅举出一种方便手工填写的方法。

1、奇数阶幻方n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2*k+1，k=1，2，3，4，5……)奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯方)。

填写方法是这样：把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n*n-1个数：(1)、每一个数放在前一个数的右上一格；(2)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；(3)、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；(5)、如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。

这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。

2、双偶阶幻方n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……)先说明一个定义：互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1，称为互补。

先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：这个方阵的对角线，已经用蓝色标出。

幻方填入规律

幻方，亦称纵横图。

台湾称为魔术方阵。

将自然数1，2，3，……n*n排列成一个n*n 方阵，使得每行、每列以及两对角线上的各个数之和都相等，等于n/2*(n*n+1)，这样的方阵称为幻方。

例如：把1，2，3，4，5，6，7，8，9填入3*3的格子，使得：每行、每列、两条对角线的和是15。

n是它的阶数，比如上面的幻方是3阶。

n/2*(n*n+1)为幻方的变幻常数。

数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。

目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。

这里对于这三类幻方，仅举出一种方便手工填写的方法。

1、奇数阶幻方n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2*k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。

填写方法是这样：把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n*n-1个数：(1)、每一个数放在前一个数的右上一格；(2)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；(3)、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；(5)、如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。

这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。

2、双偶阶幻方n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……) 先说明一个定义：互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1，称为互补。

先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：将对角线上的数字，换成与它互补的数字。

这里，n*n+1 = 4*4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。

幻方的填法

幻方的填法幻方，亦称纵横图。

台湾称为魔术方阵。

将自然数1，2，3，……n*n排列成一个n*n方阵，使得每行、每列以及两对角线上的各个数之和都相等，等于n/2*(n*n+1)，这样的方阵称为幻方。

例如：把1，2，3，4，5，6，7，8，9填入3*3的格子，使得：每行、每列、两条对角线的和是15。

n是它的阶数，比如上面的幻方是3阶。

n/2*(n*n+1)为幻方的变幻常数。

数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。

目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。

这里对于这三类幻方，仅举出一种方便手工填写的方法。

1、奇数阶幻方n为奇数 (n=3，5，7，9，11……) (n=2*k+1，k=1，2，3，4，5……)奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯方)。

填写方法是这样：把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n*n-1个数：(1)、每一个数放在前一个数的右上一格；(2)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；(3)、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；(5)、如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。

这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。

2、双偶阶幻方n为偶数，且能被4整除 (n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……)先说明一个定义：互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即 n*n+1，称为互补。

先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：这个方阵的对角线，已经用蓝色标出。

将对角线上的数字，换成与它互补的数字。

这里，n*n+1 = 4*4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。

如何填写幻方

如何填写幻方作者：尹春来时间：2014年3月这是我于1999年9月26日构造的数学模型。

我的这篇文件曾被包括百度等网站引用。

近几天没事儿，就从新整理了一下，放在我的博客中，以供参考。

根据下述模型，可以很方便生成幻方，并可编制幻方的应用程序。

一、什么是幻方在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。

我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。

二、奇阶幻方的填法当行(列)n为奇数时，我们称幻方为奇阶幻方。

对于奇阶幻方，可以使用Merzirac法与loubere法，根据我的研究，发现用国际象棋之马步也可构造出更为神奇的奇幻方，故命名为horse法。

1、Merzirac法在第一行居中的方格内放1，依次向左上方填入2、3、4…，如果左上方已有数字，则向下移一格继续填写。

如下图用Merziral法生成的5阶幻方：形，如下图：将n阶幻方看作一个矩阵，记为A，其中的第i行j列方格内的数字记为a(i,j)。

当填写到i>n时，i=i-n，j同样如此。

2、loubere法在居中的方格向上一格内放1，依次向左上方填入2、3、4…，如果左上方已有数字，则向上移两格继续填写。

超出方格之后可以按上面所介绍的方法延伸格子并填充?如下图用Louberel法生成的5阶幻方：3、horse法在第一行居中的方格内放1。

向左走1步，并下走2步放入2(称为马步)，向左走1步，并下走2步放入3，依次类推放到n。

在n的下方放入n+1（称为跳步），再按上述方法放置到2n，在2n的下边放入2n+1?……如下图用Horse法生成的5阶幻方：一般的，令矩阵[1,1]为向右走一步，向上走一步，[-1,0]为向左走一步。

则马步可以表示为2X+Y，{X∈{[1,0], [-1,0]},Y∈{[0,1], [0,-1]}}∪{Y∈{[1,0], [-1,0]},X∈{[0,1], [0,-1]}}。

幻方填写技巧

幻方的填写技巧摘要：发现了一种任意阶幻方的填法规律，只通过简单的计算就能很快地填出任意阶幻方。

关键词：幻方填法奇数阶幻方偶数阶幻方幻方，古称“纵横图”，就是用自然数1、2、3、…、n2排成n 行，n列的“方阵”，如果每一行，每一列以及每一对角线上的n个数的和都相等（等于n(n2+1)/2），这个“方阵”就叫做n阶幻方。

古今中外很多科学家都对幻方有过深入研究。

介绍幻方的书很多，但大都只介绍了奇数阶幻方的填法，而对于偶数阶幻方的填法，都没有过多的介绍。

我通过对幻方的深入研究，得到了一种n阶幻方的填法规律,利用这个规律,可以很快地填出任意阶幻方(已用V.B语言编成了程序,在计算机上只需要几秒钟就可以得到上千阶幻方)。

现把n阶幻方的填法介绍给大家。

1、奇数阶幻方奇数阶幻方的填法很多书上都有介绍，现选谭浩强著《QBASIC 语言教程》中方法，以5阶幻方为例说明填法（如图１）：图１①先将“1”放在第一行当中一列；②从“2”开始直到“n 2”为止，各数依次按下列规则放数：每一个数放的行比前一个数的行数减1，列数加1。

如“6”放的第3行第2列，则“7”放在第2行第3列；③如果上一个数的行数为1，则下一数的行数为n （最下一行）。

如“8”放在第1行第4列，则“9”放在第5行第5列；④如果上一个数的列数为n ，则下一个数的列数应为1，行数减1。

如“3在第4行第5列，则“4”应放在第3行第1列；⑤如下一个数应放的位置已被其它数占用，则下一个数放在上一个数的下面。

如“5”的下一个数“6”应放在第1行第3列，但该位置已被“1”占用，故将“6”放在“5”的下面。

根据上述五点，可以填出所有的奇数阶幻方。

2、偶数阶幻方分是否能被4整除两种情况而用不同的方法。

（1）、当n 能被4整除时，设n=4k(k ≥1)，最简单的4k 阶幻方为k ＝1时的4阶幻方，前人的填法为：①先画一个4×4的格子，从小到大依次填入1至16各数（如(同列对调) c (同行对调)图2图2a）。

幻方常见方法汇总

幻方常规解法汇总
幻方（Magic Square）是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法。

单偶数阶幻方（象限对称交换法）
以n=10为例，10＝4×2＋2，这时k=2
（1）把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。

用罗伯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。

（2）在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。

A象限的其它行则标出最左边的k格。

将这些格，和C象限相对位置上的数，互换位置。

（3）在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1列。

(注：6阶幻方由于k-1=0，所以不用再作B、D象限的数据交换)，将B象限标出的这些数，和D象限相对位置上的数进行交换，就形成幻方。

下面是6阶幻方的填法：6＝4×1＋2，这时k＝1。

幻方填写方法

没法，组合数学还考幻方构造。

这东西不看解法真不会写，虽然没见有啥用，但还是记录下，免得日后再找。

按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。

下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。

奇数阶幻方（罗伯法）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。

填写的方法是：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：1、每一个数放在前一个数的右上一格；2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。

例，用该填法获得的5阶幻方：双偶数阶幻方（对称交换法）所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。

在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在 n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。

如在三阶幻方中，每一对和为 10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为 17 的数，是一对互补数。

双偶数阶幻方的对称交换解法：先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。

对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。

写好后，按4×4把它划分成k×k 个方阵。

因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。

然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。

以8阶幻方为例：(1) 先把数字按顺序填。

幻方口诀巧用口诀,妙填幻方

幻方口诀巧用口诀,妙填幻方图1中所画的小玩意，和图2中的正方形数表是一回事.右边表中的数是用阿拉伯数字表示的，古老文化披上了现代服装；左边图中的数是用连在一起的圈圈点点的个数表示的，保持它原来的面貌，古色古香.从图2容易看出，图中横看每行3个数的和都是15，竖看每列3个数的和也是15，斜看每条对角线上3个数的和还是15.一般地，把一些不同整数排列成正方形表格，使其中每个横的行、竖的列，以及正方形的每条对角线上，各数的和都相等，这样的数表叫做幻方，意思就是“奇妙的正方形”.图1中的“小玩意”就是一个幻方（三阶幻方），这是世界历史上最早发现的一个幻方.据传说，大约四千年以前，大禹治理洪水的时候，有一只神龟从洛水里浮出水面，背上驮着这个图形，从此这幅图就来到了人间（图3）.因为传说它是从洛水里出来的，所以被叫做洛书.填幻方的方法比较多，下面介绍四种用口诀填幻方的方法：口诀一：二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央如图2，把三阶幻方看成一个人，4，2是左右肩，8，6是左右脚，3，7是左右手，9是帽，1是鞋，5是身躯居中央.口诀二：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出如图4，将1～9这9个自然数依次斜排为3行3列（图4①），再把上下两数（1和9）对调（图4②），左右两数（2和7）也对调（图4③），再将四个数字各向外挺出，形成四个角上的四个数，就得到三阶幻方（图4④）.口诀三：一填首行正中央，依次斜排莫要忘，上出下填右出左，若是重了填下方如图5，“一填首行正中央”指的是，这9个数按照从小到大的顺序，第一个数要填在第一行正中间的一个方格中；“依次斜排莫要忘”指的是，后面一个数填在前一个数的右上方；在填写的过程中，“上出下填右出左”即如果向右超出幻方，就填在应填那一行最左边的一个方格中；“若是重了填下方”，若是发现要填的方格已经有数字占据了，那么就填在前一个数字的正下方.对于数字7，它正好位于行和列交叉的位置，我们当做重复对待，填在前一个数字6的正下方.口诀四：末行中列起，下行下列随，结束又开始，遇阻头上飞如图2，“末行中列起”是将第一个数1填入第三行第二列；“下行下列随”是将2填入下行又下列，由于没有第四行，所以“结束又开始”，即第一行为第四行，将2填入第一行第三列；3应填入第二行第四列，由于没有第四列，所以“结束又开始”，将3填入第二行第一列；4应填入第三行第二列，可这个位置已经被1占据了，所以“遇阻头上飞”，4就填在3的头上即第一行第一列.按“下行下列随”依次填出5，6；按“遇阻头上飞”填上7；再按“下行下列随”依次填出8，9.。

浅谈奇阶幻方图填写方法

浅谈奇阶幻方图填写方法一、洛书九宫数的启示洛书九宫数的排列方式：“戴九履一，左三右七，四二为肩，八六为足，五居中宫”，实际上洛书九宫图就是一个最简单的三阶幻方奇阵图。

图示如下：492357816从洛书九宫图中，我们可以得出以下基本结论：1、中间位置的数为奇数，四角位置的数为偶数。

2、对角两个数相加和为中间数的2倍。

3、处于中间位置对应两个数相加和为中间数的2倍。

上述3个结论在排列奇阵图时会用到。

二、填写奇数阶幻方图的具体方法（以七阶幻方图为例）121197494740482022173732246362423281444535292521155816222726344261831331330441039414313 38（七阶幻方全图）Ø第一步：分层七阶幻方图的49个数从外到内可以分为四层。

如下图所示：第一层第二层第三层第四层Ø第二步：确定每一层应填写的数字（数源）：我们把小于中间数字的所有数称之为小数；把大于中间数字的所有数称之为大数；把小于中间数字的所有奇数称之为小奇数；把大于中间数字的所有奇数称之为大奇数；把小于中间数字的所有偶数称之为小偶数；把大于中间数字的所有偶数称之为大偶数。

对于七阶幻方图来讲：第一层的24个数应该是1——49当中最外层的24个数。

分别是：1——12和38——49。

同理：第二层的16个数应该是：13——20和30——37第三层的8个数应该是：21——24和26——29第四层的1个数应该是最中间的一个数：25如下图：小数大数第一层：1——1238——49第二层：13——2030——37第三层：21——2426——29第四层：25Ø第三步：最后一层数的填写方法：（阶数2＋1）÷2如：七阶幻方图最后一层的数字：（72+1）÷2=25Ø第四步：其它各层数的填写方法：1、左边上下两角两个数的确定：最大的两个小偶数。

然后根据对角两个数相加之和等于中间数的二倍，可得另外两个角的数。

幻方填入规律

幻方填入规律幻方，亦称纵横图。

台湾称为魔术方阵。

将自然数1，2，3，……n*n排列成一个n*n方阵，使得每行、每列以及两对角线上的各个数之和都相等，等于n/2 * (n*n+1)，这样的方阵称为幻方。

例如：把1，2，3，4，5，6，7，8，9填入3*3的格子，使得：每行、每列、两条对角线的和是15。

n是它的阶数，比如上面的幻方是3阶。

n*(n*n+1)/2为幻方的变幻常数。

数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。

目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。

这里对于这三类幻方，仅举出一种方便手工填写的方法。

奇数阶幻方n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2*k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。

填写方法是这样：把1(或最小的数)放在第一行（顶行）正中；按以下规律排列剩下的n*n-1个数：(1)、每一个数放在前一个数的右上一格；(2)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；(3)、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；(5)、如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。

这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯，亦称“楼梯法”。

2、双偶阶幻方n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……) 先说明一个定义：互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1，称为互补。

先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：将对角线上的数字，换成与它互补的数字。

这里，n*n+1 = 4*4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。

教你如何填幻方[1]1

幻方实例3阶：4 9 23 5 78 1 64阶：15 10 3 64 5 16 914 11 2 71 8 13 125阶：17 24 1 8 1523 5 7 14 164 6 13 20 2210 12 19 21 311 18 25 2 96阶：1 9 34 33 32 26 11 25 24 14 3110 22 16 17 19 2730 18 20 21 15 729 23 13 12 26 835 28 3 4 5 36教你如何填幻方幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。

而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。

我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。

公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。

在欧洲，直到574年，德国著名画家丢功才绘制出了完整的4阶幻方。

数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。

目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。

1、奇数阶幻方n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……)奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。

填写方法是这样：把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n-1个数：(1)每一个数放在前一个数的右上一格；(2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；(3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；(5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。

这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。

幻方之填法(自我学习总结)

填幻方的规律口诀

幻方填写技巧

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