幂零矩阵性质及应用

幂零矩阵性质及应用

性质1：A 为幂零矩阵的充要条件是A 的特征值全为0。 证明：⇒ A Q 为幂零矩阵 k Z +∴∃∈ .0k s t

A =

令0λ为A 任意一个特征值，则00,.s t A ααλα∃≠= 由引理7知，0k

λ为k A 的特征值 00

.k k s t A ββλβ∴∃≠= 从而有0k λ=0即有00λ=

又有0k

A =，知00k

k

A A A ==⇒=

0*(1)(1)00k k

E A A A ∴-=-=-=-⋅=

00λ∴=为A 的特征值。

由0λ的任意性知，A 的特征值为0。 ⇐A Q 的特征值全为0

A ∴的特征多项式为()n

f E A λλλ=-=

由引理2知，()0n

f A A == 所以A 为幂零矩阵。 得证 性质2：A 为幂零矩阵的充要条件为0k k Z trA +∀∈=。

证明：⇒A Q 为幂零矩阵，由性质1，知：

A 的特征值全为0 即120n λλλ====L

由引理7，知 k

A 的特征值为120k k k n λλλ====L

从而有 120k k k k

n trA λλλ=+++=L

⇐由已知，120

k k k k n k Z trA λλλ+

∀∈=+++=L (1.1)

令12,,,t λλλL L 为A 的不为0的特征值

且i λ互不相同重数为(1,2,,)i

n i t =L L

由（1.1）式及引理7，得方程组

1122222

1122333

112211220000t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪

⎪+++=⎩

L L L L L L (1.2)

由于方程组（1.2）的系数行列式为

12222

121

2

1212121211

11

()

t t t

t

t t t t t t

t t t i j j i t

B λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤=

==∏-L L L

L L M

M L

M

M

M L

M

L L L

又(1,2,)i

i t λ=L L 互不相同且不为0，0B ∴≠

从而知，方程（1.2）只有0解，即0

(1,2,,)i n i t ==L L

即A 没有非零的特征值

A ∴的特征值全为0， 由性质1，得 A 为幂零矩阵 得证

性质3：若A 为幂零矩阵

则A 的若当标准形J 的若当块为幂零若当块，且J 和主对角线上的元素为0 证明：A 为幂零矩阵， 由性质1，知 A 的特征值全为0 由引理3，知 在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得

12

1

s J J T AT J -⎛⎫

⎪

⎪= ⎪ ⎪⎝

⎭

O

其中11

i i i J λλ⎛⎫

⎪

⎪= ⎪ ⎪⎝

⎭

O O O 阶数为(1,2,,)i

n i s =L

由引理4，知(1,2,,)i i s λ=L 为J 和特征值

又A 与J 相似，由引理6，知A 与J 有相同的特征值 所以0(1,2,,)i i s λ==L 即J 的主对角线上的元素全为0 由引理8，知 (0)()0(1,2,,)i i n

n

i i J E J i s -===g L

12,,,s J J J L L 为幂零矩阵 得证

性质4：若A 为幂零矩阵，则A 一定不可逆但有1,1A E E A +=-= 证明：A Q 为幂零矩阵，k Z +∴∃∈ .0k s t A =

00k

k A A A ∴==⇒= A 一定不可逆

由性质1，得 A 的特征值为120n λλλ====L 由引理7，得

,A E E A +-的特征值分别为

1212011,101n n λλλλλλ'''''''''====+=====-=L L

且有1211n n A E λλλ'''+===g L g

1211n n E A λλλ''''''-===g L g

即1,1A E E A +=-= 得证

性质5：若A E +为幂零矩阵，则A 非退化 证明：令12,,,n λλλL L 为A 的特征值 若A 退化，则有 0A =

由引理7，得 120n A λλλ==g

L L g ∴至少存在0

i λ=0为A 的特征值

又由引理7，得

110i λ+=≠为A E +的一特征值

这与A E +为幂零矩阵矛盾 得证A 为非退化

性质6：若A 为幂零矩阵，B 为任意的n 阶矩阵且有AB BA =，

则AB 也为幂零矩阵。 即与幂零矩阵可交换的矩阵也是幂零矩阵 证明：A Q 为幂零矩阵 .0k k Z s t

A +

∴∃∈=

又AB BA = ()00k

k

k

k

AB A B B ==⋅= AB ∴

也为幂零矩阵 得证

性质7：若A 为幂零矩阵且0k

A =， 则（1）1

21()

k E A E A A A ---=++++L L