高考数学压轴专题(易错题)备战高考《函数与导数》难题汇编及答案

新数学《函数与导数》复习知识点

一、选择题

1．已知函数()ln x

f x x

=，则使ln ()()()f x g x a f x =

-有2个零点的a 的取值范围（ ） A ．(0,1) B ．10,

e ⎛

⎫ ⎪⎝⎭

C ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭

D ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭

【答案】B 【解析】 【分析】

令()ln x

t f x x

==，利用导数研究其图象和值域，再将

ln ()()()f x g x a f x =-有2个零点，转化为ln t

a t

=在[),e +∞上只有一解求解. 【详解】 令()ln x t f x x ==

，当01x <<时，()0ln x

t f x x

==

<， 当1x >时，()

2

ln 1

()ln x t f x x -''==

，

当1x e <<时，0t '<，当x e >时，0t '>， 所以当x e =时，t 取得最小值e ，所以t e ≥， 如图所示：

所以ln ()()()f x g x a f x =-有2个零点，转化为ln t

a t

=在[),e +∞上只有一解， 令ln t m t =

，2

1ln 0t m t -'=≤，所以ln t

m t

=在[),e +∞上递减， 所以1

0m e <≤

， 所以10a e <≤，当1

a e

=时，x e =，只有一个零点，不合题意，

所以10a e

<< 故选：B 【点睛】

本题主要考查导数与函数的零点，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

2．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（ ） A ．7 B ．4

C ．0

D ．﹣4

【答案】A 【解析】

()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-，因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处

的切线方程是1y x =--，所以()()23,'21f f =-=-，

()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=，故选A ．

3．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为（ ） A ．ln 2 B ．1

C ．1ln2-

D ．1ln2+

【答案】D 【解析】

由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0ln 1k x =+，00000

2

ln y kx y x x =-⎧⎨

=⎩，

0002ln kx x x ∴-=，00

2

ln k x x ∴=+

，对比0ln 1k x =+，02x ∴=，ln 21k ∴=+，故选D.

4．曲线2y x 与直线y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）

A ．

16 B ．

13

C ．

12

D ．

56

【答案】A 【解析】

曲线2

y x =与直线y x =的交点坐标为()()0,0,1,1 ，由定积分的几何意义可得曲线2

y x

=与直线y x =所围成的封闭图形的面积为

()1

2

2

3100

1

11

|2

36

x x dx x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⎰ ，故选A.

5．若函数()sin 2x x f x e e x -=-+，则满足2(21)()0f x f x -+>的x 的取值范围为

A ．1(1,)2

-

B ．1

(,1)

(,)2

-∞-+∞ C ．1(,1)2-

D ．1(,)(1,)2

-∞-⋃+∞

【答案】B 【解析】 【分析】

判断函数()f x 为定义域R 上的奇函数，且为增函数，再把()

()2

210f x f x -+>化为

221x x ->-，求出解集即可．

【详解】

解：函数()sin2x

x

f x e e

x -=-+，定义域为R ，

且满足()()sin 2x

x f x e

e x --=-+- ()()sin2x x e e x

f x -=--+=-，

∴()f x 为R 上的奇函数； 又()'2cos222cos20x

x

f x e e

x x x -=++≥+≥恒成立，

∴()f x 为R 上的单调增函数；

又()

()2

210f x f x -+>，

得()()()2

21f x

f x f x ->-=-，

∴221x x ->-， 即2210x x +->， 解得1x <-或12

x >

， 所以x 的取值范围是()1,1,2⎛⎫

-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭

．

故选B ． 【点睛】

本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，考查了基本不等式，是中档题．

6．已知()2

ln33,33ln3,ln3a b c ==+=，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．c b a << B ．c a b <<

C ．a c b <<

D ．a b c <<

【答案】B 【解析】 【分析】

根据,,a b c 与中间值3和6的大小关系，即可得到本题答案.