物理竞赛--力学整理
物理竞赛2(力学)
例：一长 L=4.8m 的轻车厢静止于光滑的水平轨道上，固定于车 厢地板上的击发器 A 自车厢中部以 u0 = 2m/s 的速度将质量为 m1 = 1kg 的物体沿车厢内光滑地板弹出，与另一质量为 m2 =1 kg 的 物体碰撞并粘在一起，此时 m2 恰好与另一端固定于车厢的水平 位置的轻弹簧接触，弹簧的弹性系数 k = 400N/m ，长度l =0 .30m ，车厢和击发器的总质量 M = 2kg 求车厢自静止至弹簧压缩最甚 时的位移（不计空气阻力， m1 和m2 视作质点） 解：车＋m1+m2 系统动量守恒
A
B
T m A a0 mm A g m A a
m B a 0 m B g T m B a
2 2 2 2
A
a0
C B
T
a 2 g 2 mg a 0 0 m A m B
＝125.4（N）
N
m A m B
f mA g
f*
T T a a mB g f*
例：行星原本绕着恒星S 做圆周运动。设S 在很短的时间内发 生爆炸，通过喷射流使其质量减少为原来的质量的 g 倍，恒星 随即进入椭圆轨道绕S 运行，试求该椭圆轨道的偏心率 e 。提 示（记椭圆的半长，半短轴分别为A、B ，则 A2 B 2 e ) A 解：变轨后 P 或为近地点，或为远地点 v0 先考虑 P 为近地点，后考虑P 为远地点的情况 P mv 2 0 GM0 m 对圆轨道 P 点： 对椭圆轨道 P1 点：
v1
P1
1 g g
质点运动的能量决定了它的轨道形状 E < 0，则偏心率 e < 1， 质点的运动轨道为椭圆。
E = 0，则偏心率 e= 1， 质点的运动轨道为抛物线。
大学物理竞赛专题辅导之力学
dt
作用力
电 磁 相 互 作 用
, mg 运动轨道椭圆、 万有引力 GMm 2 r q1q2 1 抛物线、双曲线 库仑力
4 0 r 2
洛伦兹力 弹性力
qvB
-kx
圆周运动
x A cos( t )
动静摩擦力、安培力、核力…..
能够由牛顿第二定律严格求解坐标的问题并不多
力学动量、角动量、动能三大定理
ma = F dP F dt dJ d r P rF L dt dt d 1 mv 2 F dr 2
动量定理
角动量定理
动能定理 冲量定理 冲量矩定理
2 2
题目给出初始速度v0>0的限制，因此初始速度满足的 2 条件是 qRB qRB (1) 0<v Rq
0
2m
2m
(2)设质点到达最低点b处的速度大小为v,则机械能守 1 mv 2 = 1 mv 2 2mgR 恒得到 2 0 2 (2) 2
v 2 = v0 4 gR
2
2
又因为 0 q 2 ，所以上式中
qBR qBR 0 Rg cos q 2m 2m
2
因而左端
2 v1 2 Rg (1 cos q ) 0
这样得到两种夹角范围初始速度满足的条件是 2 2 ) ( 0 v v q 0 q 0 2 2 Rg (1 cos q ) 2 2
P F t J L
力学的守恒定律 动量、角动量、能量守恒
力学的物理模型 质点、质点组、刚体
物理竞赛--力学复习第1讲运动学
ax
dv x dt
0
ay
dv y dt
6m s2
a
dv dt
18t , 1 9t 2
a
ax2
a
2 y
6m s2
an
a2 a2
6 1 9t 2
或 ( x2 y2 )3/ 2 [22 (6t)2 ]3/ 2 2(1 9t 2 )3/ 2
yx yx 6 2 6t 0
dt 角加速度： d
dt
切向加速度：at
dv dt
R
法向加速度：an
v2 R
R 2
二.基本运动规律
(1)直线运动：x x(t)
v dx dt
a
dv dt
d2x dt 2
(2)匀变速直线运动：
v x
v0 x0
at v0t
1 2
at
2
v2 v02 2a( x x0 )
5
0 t
(3)匀变速圆周运动：
a
x2
y2
(d
bc2
b)2 sin3
y 0
9
例题3、细杆OL绕O以匀角速率ω转动,并推动小环C在
固图定),求的小钢环丝的A速B上度滑v动和, O加点速与度钢a丝. 间的垂直距离为d (如
L
解:这是一维问题
A o x B
x d tan
d
v
xi
d cos2
i
d2
d
x
2
i
o
C
x
ar
vr&
r &x&i
t) j
dt
质点的加速度：a加
2(a Rcos
dv dt t )i
物理竞赛--力学整理
F2＝F4
F3＋cF＝F1
差一个方程，弹性形变，X1=F1/k, X2=X4=F2/k, X3=F3/k
从侧面看1、2（4）、3腿构成梯形，形变量满足 X1＋X3＝2X2
即F1＋F3＝2F2
以上方程解得 F1＝(2c+1)F/4, F3=(1-2c)F/4 讨论： c>1/2, F3<0? 取F3＝0，重新解，以上哪个方程不必满足？ • F1＋F2＋F3+F4＝F • F2＝F4 • F3＋cF＝F1 • X1＋X3＝2X2？？？ 化成 F1＝cF
T
T+dT L
0
T
dT M 2 rdr / L
r
L
1 T M 2 ( L2 r 2 ) 2L
练习：均匀弹簧在离心力场中的伸长问题。 M, k
（2010 IYPT题目）
T dT T 2 xdm, M dm dx0 L
~ L k k dx0 ~ dx T ( x) k ( dx dx0 ) kL( 1) dx0 dx d 2x M dT kLd ( 1) kL 2 xdx0 dx0 dx0 L
N ndl Td nRd Td n T / R Mg / 2 R
例题：均匀弹簧在重力场中的伸长问题。 M, K 引例：弹簧串联。哪个伸长更大？
k m
k
k k m m m
n个弹簧串联，从下向上数 x1=mg/k, x2=2mg/k, x3=3mg/k,… X=x1+x2+x3+…+xn=n(1+n)mg/2k M=nm X=Mg(1+n)/2k n无穷大, 1+n=n, k/n=K(n个串联弹簧的等效弹性系数)
全国中学生物理竞赛集锦(力学)
力学（一）1．有一摆长为L 的单摆，悬点正下方某处有一小钉，当摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部将被小钉挡住，使摆长发生变化。
现使摆球做小幅度摆动，摆球从右边最高点M 至左边最高点N 运动过程的闪光照片，如图所示（悬点和小钉未被摄入）。
P为摆动中的最低点，已知每相邻两次闪光的时间间隔相等，由此可知，小钉与悬点的距离为 （ C ）A ．L/4B ．L/2C ．3L/4D ．无法确定2．如图所示，a 、b 、c 三个相同的小球，a 从光滑斜面顶端由静止开始自由下滑，同时b 、c 从同一高度分别开始自由下落和平抛．下列说法正确的有： （ D ）A ．它们同时到达同一水平面B ．重力对它们的冲量相同C ．它们的末动能相同D ．它们动量变化的大小相同分析与解：b 、c 飞行时间相同（都是gh 2）；a 与b 比较，两者平均速度大小相同（末动能相同）；但显然a 的位移大，所以用的时间长，因此A 、B 都不对．由于机械能守恒，c的机械能最大（有初动能），到地面时末动能也大，因此C 也不对．a 、b 的初动量都是零，末动量大小又相同，所以动量变化大小相同；b 、c 所受冲量相同，所以动量变化大小也相同，故D 正确．思路点拨： 这道题看似简单，实际上考察了平均速度．功．冲量等很多知识．另外，在比较中以b 为中介：a ．b 的初．末动能相同，平均速度大小相同，但重力作用时间不同；b ．c 飞行时间相同（都等于自由落体时间），但初动能不同．本题如果去掉b 球可能更难做一些．3．以力F 拉一物体，使其以加速度a 在水平面上做匀加速直线运动，力F 的水平分量为F 1，如图所示，若以和F 1大小．方向都相同的力F '代替F 拉物体，使物体产生加速度a '，那么：（ B C ）A ．当水平面光滑时，a ' < aB ．当水平面光滑时，a ' = aC ．当水平面粗糙时，a ' < aD ．当水平面粗糙时，a ' = a分析与解：当水平面光滑时，物体在水平面上所受合外力均为F`，故其加速度不变．而当水平面粗糙时，支持力和摩擦力都是被动力，其大小随主动力的变化而变化，当用F`替换F 时，摩擦力将增大，故加速度减小．因此BC 答案正确．思路点拨：运用牛顿运动定律解决力学问题的一般程序为：1．选择研究对象，2．受力分析，3．合成或分解（正交分解），列式计算．在受力分析时，应注意被动力随主动力变化的特点．4．如图所示，在光滑的水平面上，有一绝缘的弹簧振子，小球带负电，在振动过程中当弹簧压缩到最短时，突然加上一个沿水平向左的恒定的匀强电场，此后： （ A ）A ．振子的振幅将增大B ．振子的振幅将减小C ．振子的振幅将不变D分析与解：弹簧振子在加电场前，平衡位置在弹簧原长处，设振幅A ．当弹簧压缩到最短时，突然加上一个沿水平向左的恒定的匀强电场，此位置仍为振动振幅处，而且振子的运动是简谐振动，只是振动的平衡位置改在弹簧原长的右边，且弹簧神长量x 满足kx = qE ，即振子振动的振幅A 1=A+x ，，所以振子的振幅增大，正确答案为A ．思路点拨：弹簧振子在做简谐振动时，平衡位置是合力为零时，当外界条件发生改变，平衡位置有可能随之而变，振子的运动相对于平衡位置对称．5．如图所示，把系在轻绳上的A 、B 两球由图示位置同时由静止释放（绳开始时拉直），则在两球向左下摆动时，下列说法正确的是：（ B ） ○1 绳OA 对A 球做正功 ○2 绳AB 对B 球不做功○3 绳AB 对A 球做负功 ○4 绳AB 对B 球做正功 A． ○1 ○2 B ．○3 ○4 C ．○1 ○3 D ．○1 ○4 分析与解：大概画出A 、B 球的运动轨迹，就可以找出绳与球的运动方向的夹角，进而可以判断做功情况．由于OA 绳一直张紧且O 点不动，所以A 球做圆周运动，OA 绳对A 球不做功，而B 球是否与A 球一起做圆周运动呢？让我们用模拟等效法分析：设想A 、B 球分别用两条轻绳悬挂而各自摆动，若摆角较小，则摆动周期为T=g L /2π，可见摆长越长，摆得越慢，因此A 球比B 球先到达平衡位置（如图）．可见绳AB 的张力对A 的运动有阻碍作用，而B 球的运动有推动作用，所以正确的答案为○3 ○4． 思路点拨：本题是一道判断做功正负的选择题，通过模拟等效判断出小球的运动情况，再根据F 与v 的夹角判断做不做功和功的正负．6、如图所示，质量为m 的物体放在水平放置的钢板c 上，与钢板间的动摩因数为μ。
高中物理竞赛专题之力学专题(共206张PPT)
2
Rg
v2
qRB 2m
qRB 2m
2
Rg
可见两个根都是大于零的。由此把(3)式两边平方
v12 v2 v22
把(2)式能量守恒代入得初始速度满足的条件
vv1122
v02 4Rg
4Rg v02
v22 v22
4Rg
(4)
但其中
v12
0
0
利用求根分解因式
v0
v0
1
v0
v0
2
0
解此不等式,得
v0
1
v0
v0
2
其中方程的两个根分别是
v0
ห้องสมุดไป่ตู้1
qRB 2m
qRB 2m
2
Rg
0
v0
2
qRB 2m
qRB 2m
2
Rg
题目给出初始速度v0>0的限制，因此初始速度满足的
m2 m1 m2
进而求出
sin
1
sin2
m2 (m2 2m1 ) m1 m2
rm
MR M m
MO
rM
mR Mm
(1)
整个系统在水平面内不受力(环壁与质点之间的作 用力是一对内力）,因此动量守恒，求出质心的速度
(M
m)vC
mv0
高中物理竞赛知识系统整理
物理知识整理知识点睛 一．惯性力先思考一个问题:设有一质量为m 的小球，放在一小车光滑的水平面上，平面上除小球(小球的线度远远小于小车的横向线度）之外别无他物，即小球水平方向合外力为零。
然后突然使小车向右对地作加速运动，这时小球将如何运动呢？地面上的观察者认为：小球将静止在原地，符合牛顿第一定律； 车上的观察者觉得：小球以－a s 相对于小车作加速运动；我们假设车上的人熟知牛顿定律，尤其对加速度一定是由力引起的印象至深，以致在任何场合下，他都强烈地要求保留这一认知，于是车上的人说：小球之所以对小车有 -a s 的加速度，是因为受到了一个指向左方的作用力，且力的大小为 - ma s ；但他同时又熟知，力是物体与物体之间的相互作用，而小球在水平方向不受其它物体的作用,物理上把这个力命名为惯性力。
惯性力的理解 ：(1) 惯性力不是物体间的相互作用。
因此，没有反作用。
(2)惯性力的大小等于研究对象的质量m 与非惯性系的加速度a s 的乘积，而方向与 a s 相反，即sa m f -=*（3）我们把牛顿运动定律成立的参考系叫惯性系，不成立的叫非惯性系，设一个参考系相对绝对空间加速度为a s ，物体受相对此参考系加速度为a',牛顿定律可以写成：a m f F '=+*其中F 为物理受的“真实的力”，f*为惯性力，是个“假力”。
（4）如果研究对象是刚体，则惯性力等效作用点在质心处，说明：关于真假力，绝对空间之类的概念很诡异，这样说牛顿力学在逻辑上都是显得很不严密。
所以质疑和争论的人比较多。
不过笔者建议初学的时候不必较真，要能比较深刻的认识这个问题，既需要很广的物理知识面，也需要很强的物理思维能力。
在这个问题的思考中培养出爱因斯坦2.0版本的概率很低（因为现有的迷惑都被1.0版本解决了），在以后的学习中我们的同学会逐渐对力的概念，空间的概念清晰起来，脑子里就不会有那么多低营养的疑问了。
极其不建议想不明白这问题的同学Baidu 这个问题，网上的讨论文章倒是极其多，不过基本都是民哲们的梦呓，很容易对不懂的人产生误导。
大学物理竞赛辅导-力学
l. 水平轻绳跨过固定在质量为m 1的水平物块的一个小圆柱棒后，斜向下连接质量为m 2的小物块，设系统处处无摩擦，将系统从静止状态自由释放，假设两物块的运动方向恒如图所示，即绳与水平桌面的夹角α始终不变，试求α.21,,a a α1a .2a 1a 1m 2mα1a .2a 1a 1m 2m 解：画隔离体图，受力分析α1a 1m TT1a .2a 2m T例7. 光滑水平面上有一半径为R 的固定圆环,长为l 2的匀质细杆AB 开始时绕着C 点旋转,C 点靠在环上,且无初速度.假设而后细杆可无相对滑动地绕着圆环外侧运动,直至细杆的B 端与环接触后彼此分离,已知细杆与圆环间的摩擦系数μ处处相同,试求μ的取值范围.Rl lABC 解:设初始时细杆的旋转角速度为0ω,转过θ角后角速度为ω.由于摩擦力并不作功,故细杆和圆环构成的系统机械能守恒例8. 两个均质圆盘转动惯量分别为1J 和2J 开始时第一个圆盘以10ω的角速度旋转，第二个圆盘静止，然后使两盘水平轴接近，求：当接触点处无相对滑动时，两圆盘的角速度10ω1r 2r解：受力分析：1r 2r 10ω1N gm 1ffgm 22N 1o 2o 无竖直方向上的运动g m f N 11+=gm f N 22=+以O 1点为参考点，计算系统的外力矩：))((2122r r g m N M +-=0)(21≠+-=r r f例9: 质量为2m,半径为R 的均质圆盘形滑轮,挂质量分别为m 和2m 的物体,绳与滑轮之间的摩擦系数为μ,问μ为何值时绳与滑轮之间无相对滑动.解: 受力分析:mg1T mg22T m 2m2T 1Tββθ。
物理竞赛力学专题
目录第一章 力与物体的平衡 (1)第一讲 力的处理......................................................... （1） 第二讲 物体的平衡...................................................... （3） 第三讲 习题课............................................................ （3） 第四讲 摩擦角及其它 (7)第二章 牛顿运动定律 (9)第一讲 牛顿三定律...................................................... （9） 第二讲 牛顿定律的应用 (10)第三章 运动学 (17)第一讲 基本知识介绍................................................ （17） 第二讲 运动的合成与分解、相对运动 (19)第四章 曲线运动 万有引力…………………………………………（22）第一讲 基本知识介绍......................................................（22） 第二讲 重要模型与专题...................................................（23） 第三讲 典型例题解析 (30)第五章 动量和能量………………………………………………………（30）第一讲 基本知识介绍...................................................（30） 第二讲 重要模型与专题................................................（32） 第三讲 典型例题解析 (44)第一章 力＆物体的平衡第一讲 力的处理一、矢量的运算1、加法表达：a+ b = c 。
初中物理竞赛力学部分(含答案)
物理知识竞赛试题一(力学部分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案A．用橡皮擦纸时，橡皮和纸间的摩擦 B．小汽车急刹车时，车轮和地面间的摩擦C．皮带正常传动时，皮带和皮带轮间的摩擦D．用转笔刀削铅笔，铅笔与刀孔间的摩擦2．在江河湖海游泳的人上岸时，在由深水走向浅水的过程中，如果水底布满石头，以下体验和分析合理的是：A．脚不痛。
因人越来越轻C．脚不痛。
因水底对人的支持力越来越小B．脚越来越痛。
因人越来越重D．脚越来越痛。
因水底对人的支持力越来越大3．秤杆上相邻刻度间所对应的质量差是相等的。
因此秤杆上的刻度应A．是均匀的 B．从提纽开始向后逐渐变密C．从提纽开始向后逐渐变疏 D．与秤杆的粗细是否均匀有关，以上三种情况均有可能5．拖拉机深耕时总比在道路上行驶时速度慢，这是为了：A．提高传动机械的效率 B．节省燃料C．增大拖拉机的牵引力D．提高柴油机的功率6．如图3，烧杯中的冰块漂浮在水中，冰块上部高出杯口，杯中水面恰好与杯口相平。
待这些冰块全部熔化后，A．将有水从烧杯中溢出 B．不会有水从烧杯中溢出，杯中水面也不会下降C．烧杯中水面会下降 D．熔化过程中水面下降，完全熔化后有水溢出7．如图所示，放在水平桌面上的容器A为圆柱形，容器B为圆锥形，两容器本身的质量和底面积都相同，装入深度相同的水后，再分别放入相同质量的木块，如图所示，下列说法中正确的是：A．放入木块前，两容器对桌面的压力相等B．放入木块前，由于A容器中的水多于B容器，故A容器底部受水的压力大于B容器C．放入木块后，两容器底部所受水的压力相等D．放入木块后，B′容器底受水的压力大于A′容器底所受水的压力8．如图所示，吊篮的重力为400牛，动滑轮重力为50牛，定滑轮重力为40牛，人的重力为600牛，人在吊篮里拉着绳子不动时需用力：A．218牛 B．220牛 C．210牛 D．236牛9．测定血液的密度不用比重计（图为这样做需要的血液量太大），而采用巧妙的办法：先在几个玻璃管内分别装入浓度不同的、呈淡蓝色的硫酸铜溶液，然后分别在每个管中滴进一滴血液。
物理竞赛--力学 1
vr er
横向速度 径向速度
v r vr r
a
(r
r 2
)e r
(r
2r)e
横向加速度 a r 2r
径向加速度 ar r r 2 8
力学复习
⑤平面直角坐标,自然坐标,极坐标的联系:
直角坐标系
x
力学复习
第一部分：质点运动学
一、位 位速基矢 移度本： ：：概念v(rr(四t)个rr(基dt()tr本物rt(理)t )量r()t )
加速度：a(t )
dvdt dt
v(t )
ddt2r2
r(t )
(1)在直角坐标系中的描述
位置矢量：
r
xi
yj
zk
大小:r r
x2 y2 z2 方向:用方向余弦表示. 1
力学复习
x x(t)
运动方程： y y(t)
轨道方程:z f ( x, y)
位移：r
z z(t ) xi yj
zk
大小: r x2 y2 z2
一般: r r
速度：v
dr dt
vxi vy j vzk
vx
dx ; dt
vy
dy ; dt
vz
dz dt
速率：v
vx2
v
2 y
vz2
2
力学复习
加速度：a
dv dt
ax
dv x dt
d2x dt 2
;
d 2r dt 2
物理竞赛：力学部分
一部分：直线运动一、复习基础知识点一、考点内容1．机械运动，参考系，质点，位移和路程。
2．匀速直线运动：速度，位移公式vt =x ，t x -图以及t v -图。
3．匀变速直线运动，加速度，平均速度，瞬时速度，速度公式at v v +=0，位移公式2021at t v x +=，推广式ax v v 222=-，t v -图。
二、知识结构⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎝⎛=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=-=⇒ ⎝⎛+=+==⎝⎛ ⎝⎛⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ⎝⎛⎩⎨⎧→ ⎝⎛t v x ax v v t v v x at vt x at t v x at v v vt x 非匀变速匀变速匀速规律非匀变速直线运动匀减速直线运动匀加速直线运动匀变速直线运动匀速直线运动种类竖直上抛运动自由落体运动匀变速直线运动匀速直线运动物理过程质点研究对象理想模型物理量参考系运动名词概念直线运动22212120202200 三、 复习思路本课时重点是瞬时速度和加速度概念,以及匀变速直线运动的规律,难点是加速度的理解。
而匀变速直线运动规律与体育竞技、交通运输以及航空航天相结合是高考考查的热点。
对匀变速直线运动规律要熟练掌握,同时学习研究物理的基本方法,如从简单问题入手的方法、运用图象研究物理问题和用数学公式表达物理规律的方法、实验的方法等等。
匀变速直线运动是高中阶段物理学习的重点内容之一，对匀变速直线运动的学习与研究要注意两方面的内容：一是如何描述物体的运动，匀变速直线运动的特点是什么；二是匀变速直线运动的基本规律是什么。
在这一单元中，我们仅仅研究物体的运动规律而不涉及力与运动的关系，能否清楚正确的分析物体的运动过程是本单元要求的一个重要能力，分析运动过程是求解力学问题的主要环节，是正确运用各种知识的前提条件。
能否正确运用公式也是本单元考查的主要内容之一。
在复习这部分内容时应着重于概念、规律的形成过程的理解和掌握，搞清知识的来龙去脉，弄清它的物理实质，而不仅仅是记住几个条文背过几个公式。
高中物理竞赛力学
dy dx
v0 x x2 h2
v0 cos
（2） a
dv dt
dv dx
dx dt
v0
dv dx
v02h2 (x2 h2 )3/2
v02 h
sin3
h v0
y
x
例1.8 如图示，一半径为R的半圆柱体沿水平方向以 速度v0作匀速运动。求杆与半圆柱体的接触点P的
角位置为 时竖直杆运动的速度和加速度。
N
无滑动：决定于物体的运动和所受的其他力：
fs ma F其他
有滑动：与相对运动速度方向相反。
例 2.1 如图所示，有一固定的斜面，其倾角=300，一质
量为 m=0.5kg 的物体置于斜面上，它与斜面之间的摩擦系
数为=0.8。起初物体静止在斜面上。现用一与斜面上边
缘平行的力 F 作用在物体上，F 从零逐渐增大。问：F 为 多大时，物体开始运动，开始运动的方向怎样？
k1
k2
F
111
k k1 k2
k1
F k2
k k1 k2
2．关于摩擦力
2.1 摩擦力的大小 无滑动：决定于物体的运动和所受的其他力：
fs F其他 =ma fs ma F其他
有滑动：fk N
➢ 两接触物体相对滑动的条件：fs=N
2.2 摩擦力的方向
f
摩擦力的方向总是沿接触面切线方向。
2．自然界中的力
2.1 万有引力
任何物体之间都存在的相互吸引力：
m
F
M
r
F
G
mM r2
er
G 6.67261011 N m2 kg-2
2.2 重力：使物体产生重力加速度的力。
➢ 重力来源于地球对物体的引力，若忽略地球的 惯性离心力，则
中学物理竞赛力学部分
v v ’-u
P
θ
题 10： 如图所示，杆 OA 长为 R，可绕过 O 点的水平轴在竖直 平面内转动，其端点 A 系着一跨过定滑轮 B、C 的不可 伸长的轻绳， 绳的另一端系一物块 M。 滑轮的半径可忽 略，B 在 O 的正上方，OB 之间的距离为 H。某一时刻当 绳 BA 段与 OB 之间夹角为α时，杆的角速度为ω, 求此 时物块Μ的速率。 l 2 = H 2 + R 2 − 2 HR cos β 2ll& = 2 HR sin βω R sin β = l sin α v = l& = ω H sin α
（6）
根据几何关系，有
CD sin α = AB sin θ + BC sin ϕ CD cos α + AB cosθ + BC cos ϕ = 3l
即
2 2 sin α = sin θ + 2 sin ϕ 2 2 cos α = 3 − cos θ − 2cosϕ
（7） （8）
将（7）、（8）式平方后相加且化简，得
2 a = at2 + an = (
dv 2 v 2 2 ) +( ) dt R
r 总加速度 a 的方向可用它和法向（指向曲率中心）间的夹角 α 表示 α = arctan at an
圆周运动的角量描述 角位置：θ=θ(t) 角速度 ω =
lim ∆t
∆t →0
∆θ
=
dθ dt
角加速度: β =
lim ∆t
∆t → 0
∆ω
=
dω dt
角量和线量的关系
v = Rω
高中物理奥林匹克竞赛——经典力学(共30张PPT)
例1-4 如某质点作直线运动，运动方程为 x 2t. t 2 求①质点在
0 2秒内走的路程。②质点何时到达位置坐标的最大值？
解：（1）由v dx 2 2t
dt
得 S
2
vdt
2
2 2t dt
1
(2 2t)dt
2
(2 2t)dt
0
两边求导
ds r d
dt dt
即线速度与角速度的关系为：v r 两边再求导 dv r d
得切向加速度与角加速度的关系为a r
dt
而法向加速度an
v2 r
dt r 2
质点作匀变速圆周运动时的角速度、角位移与角加速度的关系式 为：
比较知：两者数学形式完全相同,说明用角量描述, 可把平 面圆周运动转化为一维运动形式，从而把问题简化.
C. 瞬时速度
v
lim
t 0
r t
dr dt
dx dt
i
dy dt
j
dz dt
k
vxi vy
j vzk
大小：v v dr dr ds
矢量
dt dt dt
方向沿着该时刻质点所在处运动轨道的切线方向指向前方。
D. 瞬时速率
v lim s ds t0 t dt
sin tj)
dt
速度、加速度也可以用其在x、y方向上的分量来表示
二、自然坐标系下的描述
自然坐标系：以动点为坐标原点，以动点所在轨道处的切线和 法线为坐标轴（切向指向前进方向，法向指向曲率中心），、n 为切、法向的单位矢量。
质点在半径为R的圆周上作匀速圆周运动，