高中数学三角函数新奇妙题难题提高题

高考级

1、关于函数))(32sin(4)(R x x x f ∈+=π

有下列命题:①由0)()(21==x f x f 可得21x x -是π的整数倍；②

)(x f y =的表达式可改写为)6

2cos(4π-=x y ；③)(x f y =的图象关于点（－)0,6π对称；④)x (f y =的图象关于直线6π-=x

对称。其中正确命题的序号是__ _

答案：②③ 2. 已知函数()()π()1cos π202

g x x =-+<<ϕϕ的图象过点()1,22，若有4个不同的正数i x 满足()(01)i g x M M =<<，且4(1,2,3,4)i x i <=，则1234x x x x +++等于

答案 12或20

3函数1

1y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于

（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8 解析：图像法求解。11

y x =-的对称中心是（1,0）也是2sin (24)y x x π=-≤≤的中心，24x -≤≤他们的图像在x=1的左侧有4个交点，则x=1右侧必有4个交点。不妨把他们的横坐标由小到大设为1,2345678,,,,,,x x x x x x x x ，则182736452x x x x x x x x +=+=+=+=，所以选D

5 .如果圆x 2+y 2=n 2至少覆盖函数

n x x f π=sin 3)(的一个最大值点和一个最小值点，则正整数的最小值是( B ) (A ) 1

(B ) 2 (C ) 3 (D ) 4

提示：因为

n x x f πsin 3)(=为奇函数，图象关于原点对称，所以圆222n y x =+只要覆盖)(x f 的一个最值点即可，令2π

π=n x ，解得)(x f 距原点最近的一个最大点)3,2(n P ，由题意222)3()2

(+≥n n 得正整数n 的最小值为2 选 B 6．(模拟)对于函数f (x )＝⎩⎨⎧

sin x ，sin x ≤cos x cos x ，sin x >cos x

给出下列四个命题： ①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z)时，该函数取得最小值是－1；

③该函数的图象关于x ＝5π4＋2k π(k ∈Z)对称；④当且仅当2k π

答案：③④

8已知f (x )=s in (ωx +ϕ)(ω>0, 0≤ϕ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点⎪⎭

⎫

⎝⎛0,43πM 对称，且在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调函数，求ϕ和ω的值。

【解】 由f (x )是偶函数，所以f (-x )=f (x )，所以s in (ω+ϕ)=s in (-ωx +ϕ)，所以co s ϕs inx =0，对任意x ∈R 成立。又0≤ϕ≤π，解得ϕ=

2π，因为f (x )图象关于⎪⎭

⎫ ⎝⎛0,43πM 对称，所以)43()43(x f x f ++-ππ=0。取x =0，得)43(πf =0，所以sin .0243=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πωπ所以243ππωπ+=k (k ∈Z )，即ω=32(2k +1) (k ∈Z )，又ω>0，取k =0时，此时f (x )=sin (2x +2π)在

答13

[0，

2π]上是减函数；取k =1时，ω=2，此时f (x )=sin (2x +2π)在[0，2π]上是减函数；取k =2时，ω≥310，此时f (x )=sin (ωx +2π)在[0，2π]上不是单调函数，综上，ω=32或2。 7． 如图，已知在等边△ABC 中，AB ＝3，O 为中心，过O 的直线交AB 于M ，AC 于N ，设∠AOM ＝θ(60°≤θ≤120°)，当θ分别为何值时，ON

OM 11+取得最大值和最小值． 解：由题意可知：∠OAM ＝30°，则∠AMO ＝180°－（θ＋30°）由正弦定理得：

AMO OA ∠sin ＝︒30sin OM ，又OA=

332323=⨯⨯，∴)30sin(23︒+=θOM 同理： )30sin(23︒-=θON ，∴)cos 2

1sin 23cos 21sin 23(323)30sin(23)30sin(211θθθθθθ-++=︒-+︒+=+ON OM θsin 2=，∵60°≤θ≤120°，∴3≤2sin θ≤2，故当θ＝60°或120°时，ON

OM 11+ 的最小值为3；当θ＝90°时，ON

OM 11+的最大值为2． 联赛

1.在平面直角坐标系xoy 中，函数()sin cos (0)f x a ax ax a =+>在一个最小正周期长的区间上的图像与函数2()1g x a =+的图像所围成的封闭图形的面积是_____________。 解：21()1sin(),arctan f x a ax a

ϕϕ=++=其中，它的最小正周期为2a π21a +。由()f x 的图像与()g x 的图像围成的封闭图形的对称性，可将这图形割补成长为2a π

、21a +的长方形，221a a π+。 2.已知x,2y ∈]4,4[π

π-，a ∈R,且⎩⎨⎧=++=-+)2.......(0cos sin 4)1.(..........02sin 33a y y y a x x 求cos(x+2y)的值。

分析：（1），（2）可得变形： x 3+sinx=2a,(2y)3+sin2y=-2a,由这式子使我们联想到函数f(v)=v 3+sinv ，由（1）得，f(x)=2a; 由（2）得，f(2y)=-2a;由f(v)在]2,2[ππ-

上，为单调的奇函数。故f(x)=-f(2y)=f(-2y),又x,2y ∈]4,4[π

π-,∴x=-2y,∴x+2y=o,从而cos(x+2y)=0。

3．函数|sin |)(x x f =与直线y kx = )0(>k 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证： 2cos 1sin sin 34ααααα+=+． [证]()f x 的图象与直线y kx = )0(>k 的三个交点如答13图所示，且在3(,)2

ππ内相切，其切点为(,sin )A αα-，3(,)2παπ∈，由于()cos f x x '=-，3(,)2x ππ∈，所以sin cos ααα

-=-，即tan αα=．因此cos cos sin sin 32sin 2cos αααααα=+1

4sin cos αα= 22cos sin 4sin cos αααα+= 21tan 4tan αα+=2

14αα+= ．