第六章 Metropolis抽样与动力学方法
马尔可夫链蒙特卡洛方法中的哈密尔顿蒙特卡洛算法解析(九)
马尔可夫链蒙特卡洛方法中的哈密尔顿蒙特卡洛算法解析在统计学、计算机科学和物理学等领域，马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法一直被广泛应用于随机抽样和模拟。
其中，哈密尔顿蒙特卡洛算法是MCMC方法的一种重要变种，它通过模拟哈密尔顿动力学系统来实现对目标分布的抽样。
本文将对哈密尔顿蒙特卡洛算法进行详细解析，介绍其基本原理、算法流程和应用场景。
1. 哈密尔顿蒙特卡洛算法的基本原理哈密尔顿蒙特卡洛算法是由物理学中的哈密尔顿力学系统所启发而来的，它模拟了粒子在势能场中的运动过程。
在MCMC方法中，通常需要从目标分布中抽样，而哈密尔顿蒙特卡洛算法则通过构造Hamiltonian函数来实现对目标分布的抽样。
Hamiltonian函数H(q, p)定义为系统的动能和势能之和，其中q表示系统的位置，p表示系统的动量。
通过Hamiltonian函数，可以得到系统在状态空间中的一组微分方程，即哈密尔顿方程。
在哈密尔顿蒙特卡洛算法中，需要通过数值积分的方式来模拟粒子在状态空间中的运动轨迹，从而实现对目标分布的抽样。
2. 哈密尔顿蒙特卡洛算法的具体流程在哈密尔顿蒙特卡洛算法中，需要依次进行以下步骤：（1）初始化系统状态。
根据目标分布的维度，随机初始化系统的位置和动量。
（2）模拟系统的运动轨迹。
通过数值积分的方法，模拟系统在状态空间中的运动轨迹，直到达到一定的时间步长或者满足一定的条件为止。
（3）接受或拒绝新状态。
根据Metropolis准则，判断新状态是否被接受，从而更新系统的状态。
（4）重复上述步骤，直到满足终止条件。
可以根据需要设置不同的终止条件，如达到一定的迭代次数或者满足一定的收敛准则。
3. 哈密尔顿蒙特卡洛算法的应用场景哈密尔顿蒙特卡洛算法在统计学和物理学等领域有着广泛的应用。
其中，一些具体的应用场景包括：（1）贝叶斯推断。
哈密尔顿蒙特卡洛算法可以用于贝叶斯推断问题的求解，特别是在高维参数空间中的情况下，相比于传统的MCMC方法有着更高的效率和收敛速度。
马文淦《计算物理学》习题
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H 0 ( x ) = 1, H1 ( x ) = x , = H n +1 ( x ) 2 x H n ( x ) − 2n H n −1 ( x ). （7）Mathematica 语言编写一个从某点出发求多元函数的局部极小或极大 值的程序包。 （8）用 Mathematica 语言编写一个程序包，它能实现平面图形的（a）平 移， （b）旋转， （c）对 x 坐标轴的反射。
第三章、Monte Carlo 方法的若干应用（习题）
（1）利用 Monte Carlo 方法计算三维、四维、五维和六维空间的单位半径 球的体积。 （2）利用分布密度函数 f ( x ) = A e − x 做重要抽样来求积分，并分析误差与 投点数的关系。
I =∫
+∞ 0
x 5/2 e − x d x.
∑
j =1
l
1 π4 ≥ ξ , 1 j4 90
然后置 x = −
1 ln(xxxx 2 3 4 5 ) ，其中 ξi 为 [0,1] 区间均匀分布的伪随机数。 L （11）对正则高斯分布抽样： ( x − µ )2 1 = p( x ) d x exp − d x. 2 σ 2 σ 2p （12）Gamma 函数的一般形式为 = f ( x) d x an x n −1 e − ax d x ( x ≥ 0) ( n − 1)!
第四章、有， 数值求解正方形场域 （ 0 ≤ x ≤ 1，
的拉普拉斯方程：
∇2ϕ ( x, y ) = 0; ( x,0) ϕ = ( x,1) 0, ϕ= (0, y ) ϕ= (1, y ) 1. ϕ=
（2）用有限差分法发展一个程序，数值求解极坐标下的泊松方程：
动力学蒙特卡罗模拟方法简介
式：
ˆ
ˆ
exp
H kBT
dxdp
exp
H kBT
dxdp
设体系的哈密顿量H=p2/2m+V(x),即可分解为动能和势能两部分，
又设粒子坐标x≤q时体系处于组态A，则有：
对δ函数的系综kA平B均可12通 2过kmBMTet1ro2 polxisMqC方A 法计算出来：计算
粒子落在[q-w,q+w]范围内的次数相对于Metropolis行走总次数
可以对跃迁进行局域化处理。每条跃迁途径只与其近邻的体 系环境有关，这样可以极大地减少跃迁途径的数目，从而简 化计算。
2、无拒绝方 法
直接法、第一反应法、次级反应
法等。
2.1 直接法
效率高，最常用
每一步需要产生两个在(0,1]上平均分布的随机数r1和r2，分别 用于选定跃迁途径和确定模拟的前进时间。设体系处于态i， 将每条跃迁途径j想象成长度与跃迁速率kij成正比的线段。将 这些线段首尾相连。如果r1ktot落在线段jk中，这个线段所代 表的跃迁途径jk就被选中，体系移动到态jk，同时体系时间 根据时间步长方程前进。
kˆ
(1)设共有M条反应途径，选择反应速率最大值kmax，设为 。
生成在[0,M)区间内均匀分布的随机数r；
(2)设j=INT(r)+1;
• 每一步只需要生成一
动力学模拟计算方法探究
动力学模拟计算方法探究动力学模拟计算方法（Molecular Dynamics Simulation，以下简称MD）是一种利用计算机对分子运动进行模拟的方法。
它可以在原子和分子水平上揭示材料或生物分子的动态性质。
MD方法广泛应用于物理学、化学、材料科学、生物学等领域。
MD方法的基本原理是根据牛顿力学模拟粒子间相互作用。
模拟系统中每个原子或分子的位置和速度都是由牛顿方程决定的。
通过揭示这些微观运动，我们可以了解更多关于分子结构、运动和相互作用的信息。
MD方法的具体步骤包括建立模型、设定初始条件、进行能量最小化和长时间动力学模拟。
建立模型需要确定分子的种类、数量、分子间力场等。
设定初始条件需要给每个原子或分子分配初始位置和速度。
能量最小化是为了使模拟系统处于一个平衡状态，避免模拟过程中分子浮动太大。
长时间动力学模拟是模拟分子在一段时间内的运动轨迹。
MD方法的优点在于可以模拟现实中很难或不可能观察到的物理和化学现象。
例如，MD方法可以模拟蛋白质分子的折叠过程，以及纳米材料的力学性质等。
同时，MD方法还可以为实验提供预测信息，缩短实验的周期和成本。
除了在基础研究中的应用外，MD方法也在工业生产过程中得到广泛应用。
例如，MD方法可以帮助设计材料的性质，提高材料的稳定性和生产效率。
同时，MD方法也可以帮助设计新的药物和生物分子，为药物研发和生物医学领域的重大疾病提供治疗方案。
然而，MD方法也存在一些局限性。
一方面，模拟系统必须是孤立的，没有外界干扰，这对一些材料和生物物质来说是不可行的。
另一方面，MD方法需要极高的计算能力和存储资源，计算成本也比较高。
为了弥补这些局限性，近年来出现了许多改进MD方法的技术。
例如，Monte Carlo方法可用于处理超过百万级别的分子，Metropolis-Coupled Monte Carlo方法可用于处理高度非均匀和外部约束系统，快速多极子算法（Fast Multipole Method）可用于处理大型电动力学模拟等。
动力学蒙特卡洛方法(KMC)及相关讨论
动力学蒙特卡洛方法(KMC)及相关讨论动态模拟在目前的计算科学中占据着非常重要的位置。
随着计算能力和第一原理算法的发展，复杂的动态参数（扩散势垒、缺陷相互作用能等）均可利用第一原理计算得出。
因此，部分复杂的体系动态变化，如表面形貌演化或辐射损伤中缺陷集团的聚合-分解演变等，已可以较为精确的予以研究。
KMC——动力学蒙特卡洛方法（kinetic Monte Carlo）原理简单，适应性强，因此在很多情况下都是研究人员的首选。
此外，KMC在复杂体系或复杂过程中的算法发展也非常活跃。
本文试图介绍KMC方法的基础理论和若干进展。
KMC方法基本原理在原子模拟领域内，分子动力学(molecular dynamics, MD)具有突出的优势。
它可以非常精确的描述体系演化的轨迹。
一般情况下MD的时间步长在飞秒(s)量级，因此足以追踪原子振动的具体变化。
但是这一优势同时限制了MD在大时间尺度模拟上的应用。
现有的计算条件足以支持MD到10 ns，运用特殊的算法可以达到10 s的尺度。
即便如此，很多动态过程，如表面生长或材料老化等，时间跨度均在s 以上，大大超出了MD的应用范围。
有什么方法可以克服这种局限呢？当体系处于稳定状态时，我们可以将其描述为处于维势能函数面的一个局域极小值（阱底）处。
有限温度下，虽然体系内的原子不停的进行热运动，但是绝大部分时间内原子都是在势能阱底附近振动。
偶然情况下体系会越过不同势阱间的势垒从而完成一次“演化”，这类小概率事件才是决定体系演化的重点。
因此，如果我们将关注点从“原子”升格到“体系”，同时将“原子运动轨迹”粗化为“体系组态跃迁”，那么模拟的时间跨度就将从原子振动的尺度提高到组态跃迁的尺度。
这是因为这种处理方法摈弃了与体系穿越势垒无关的微小振动，而只着眼于体系的组态变化。
因此，虽然不能描绘原子的运动轨迹，但是作为体系演化，其“组态轨迹”仍然是正确的。
此外，因为组态变化的时间间隔很长，体系完成的连续两次演化是独立的，无记忆的，所以这个过程是一种典型的马尔可夫过程(Markov process)，即体系从组态到组态，这一过程只与其跃迁速率有关。
metropolis准则和物理退化过程
metropolis准则和物理退化过程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：《metropolis准则和物理退化过程》引言：从古至今，人类一直在探索自然界的奥秘，物理学作为自然科学的一个重要分支，帮助我们理解世界的运行规律。
而在物理学中，metropolis准则是一个重要的概念，在研究物理退化过程中起到了关键作用。
本文将分析metropolis准则和物理退化过程之间的关系，帮助我们更好地理解物质世界的变化。
一、metropolis准则的基本概念metropolis准则最早由意大利数学家Metropolis提出，是一个关于随机模拟算法中接受与拒绝的准则。
在物理模拟中，我们经常需要通过随机采样来模拟系统的运行情况，而metropolis准则则帮助我们判断是否接受新的状态。
其基本原理是：如果新状态的能量小于当前状态的能量，则接受新状态；如果新状态的能量大于当前状态的能量，则按照一定的概率接受新状态。
metropolis准则的应用在物理模拟中非常广泛，可帮助我们高效地模拟复杂的系统。
二、物理退化过程的定义物理退化过程是指物质系统在外部作用下从一个有序状态变为一个无序状态的过程。
热力学第二定律告诉我们，自然界中所有的系统都趋向于熵的增加，即系统的有序度会不断下降。
这种有序度的下降就是物理退化过程。
比如，水从高处向低处流动，热传导导致温度均匀化等过程都是物理退化过程的例子。
三、metropolis准则和物理退化过程的关系在物理学中，metropolis准则被广泛应用于模拟系统的状态变化。
而在物理退化过程中，系统的状态也会不断变化，有序度逐渐减小。
可以说，物理退化过程也可以看作是系统状态的一个转移过程，而metropolis准则则可以帮助我们理解系统在状态之间的转移规律。
当系统在有序状态和无序状态之间转移时，我们可以利用metropolis准则来判断系统是否接受新的状态，从而更好地理解物理退化过程。
例如，在研究热平衡下系统的状态变化时，可以通过metropolis准则来模拟系统的状态转移，帮助我们理解系统的行为。
蒙特卡罗方法PPT课件
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蒙特卡 罗方法
直接方法
可以分解为各个独立 过程的随机性事件
统计方法 数值求解多维定积分
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5.1 基本思想和一般过程
• Buffon投针实验
• 1768年，法国数学家Comte de Buffon利用投针实验估计 值
L
d
p 2L
d
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• 长度为 l的针随机地落在相距为d>l 的一组水平线之间， 求针与线相交的概率？
分布的随机数的抽样，进行大量的计算随机模拟实验，从中获得随机变量 的大量试验值。各种概率模型具有不同的概率分布，因此产生已知概率分 布的随机变量，是实现Monte Carlo方法的关键步骤。最简单、最基本、 最重要的一个概率分布是(0，1)上的均匀分布 (或称矩形分布)。随机数就 是具有这种均匀分布的随机变量。对于其他复杂概率模型的概率分布可以 用数学方法在此基础上产生。因此，随机数是Monte Carlo模拟的基本工 具。
方法就叫做简单抽样法或非权重随机抽样法。
• 随机抽样法的真正优势表现在对较高维积分的近似求解，诸如在多体动力
学和统计力学中所遇到的问题。蒙待卡罗方法对较高维体系的积分误差仍
是
，而这时梯形定则给出的误差变为1/m2/D，这里D为维数。
1m
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5.3.1 简单抽样 • 将其推广到多维的情况
模拟这个概率过程。对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积 分、解线性方程组及偏微分方程边值问题等，要用蒙特卡罗方法求解，就 必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求的问题的 解。
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5.1 基本思想和一般过程 • (2) 实现从已知概率分布的抽样 • 有了明确的概率过程后，为了实现过程的数字模拟，必须实现从已知概率
metropolis算法
metropolis算法对于在银行和股票交易中，常用到了一种叫做barbettin原理的算法，也许有人还不知道这个原理，那么我就来告诉大家什么是这种算法吧。
Metropolis算法是由James M。
B。
Turkis和William L。
Shifman共同创造的，这个原理指出当价格波动幅度很大时，为了获得较高收益率，投资者需要将买卖数量按比例缩小或扩大。
该理论最早在股票市场上得到应用。
Metropolis算法的英文名是 Metropolis algorithm ，是根据道氏理论创造的一种期权定价模型，它是在布莱克-斯科尔斯(Black-Scholes)算法基础上改进而成的，它又称为布莱克-斯科尔斯(Black-Scholes)算法(BRS)是在研究的过程中，根据期权定价的历史经验教训，结合了Black-Scholes的思想和布莱克-斯科尔斯(Black-Scholes)对期权定价公式的构造，发展了对期权定价的方法。
1。
定义Metropolis算法首先将X轴分成N等份，每份为1/N，如果N=3，表示总期望收益值为R(X)其中， C是该期权合约的固定费用， S是期权到期时股票价格。
假设， X轴的数字与该期权合约的期望值R(X)有一个不小于1的相关性。
为了使假设成立，一般要求C>0。
将此类型看作单位布莱克-斯科尔斯期权，其期权的收益以X轴的百分比表示，称为定义B。
2。
计算Metropolis算法首先将X轴分成N等份，每份为1/N，如果N=3，表示总期望收益值为R(X)其中， C是该期权合约的固定费用， S是期权到期时股票价格。
假设， X轴的数字与该期权合约的期望值R(X)有一个不小于1的相关性。
为了使假设成立，一般要求C>0。
将此类型看作单位布莱克-斯科尔斯期权，其期权的收益以X轴的百分比表示，称为定义B。
3。
收益性质对每一组n个股票组合，根据该组内各股票的风险、收益状况以及各股票在组内的权重，采用Metropolis算法分别确定每一股票组合的标准离差(SD)。
metropolis 准则
metropolis 准则“Metropolis 准则”是一种基于随机模拟的策略，用于解决优化问题。
该方法最初由Nicholas Metropolis提出，后来由其他学者如Stanislaw Ulam、John von Neumann等推广和改进，在当今科学计算领域中得以广泛应用。
Metropolis 准则的核心思想是利用概率模型对目标函数进行模拟，从而找到全局最优解或局部最优解。
具体而言，该方法首先定义一个能量函数（或者叫“目标函数”），它对应着优化问题中的一个指标，如成本、误差等。
然后，根据Metropolis 准则，从当前解（或初始解）开始，随机生成一个新解，计算新解的能量值。
接下来，利用概率分布函数，根据当前解和新解的能量差计算转移概率，即决定是否接受新解。
如果新解的能量较低（即更优），则接受新解。
反之，以一定的概率接受新解，从而避免被卡在局部最优点上。
Metropolis 准则的主要优点是可以处理高维度、非线性、复杂的优化问题，并且算法不需要知道目标函数的具体形式。
此外，该方法还具有收敛性保证，也就是说，只要算法运行足够长的时间，就可以找到一个可接受的解。
因此，在实际应用中，Metropolis 准则常常被用来解决像最小二乘、多元函数拟合、图像处理和物理模拟等问题。
不过，Metropolis 准则也有一些明显的不足。
首先，该方法需要进行大量的随机模拟，因此计算成本较高，尤其是在优化问题规模较大时。
其次，算法的性能也取决于概率分布函数的选择和参数确定，因此需要对模型进行调参。
此外，由于算法只是基于随机模拟而得到结果，因此解的质量和效率也无法得到理论保证，可能存在误差或收敛较慢等问题。
总之，Metropolis 准则是一种基于概率模型和随机模拟的重要优化方法，对于一些复杂的优化问题的求解具有很大的优势。
在实际应用中，该方法常常和其他算法、模型相结合，从而提高解的质量和效率。
同时，我们也需要关注算法的缺陷和局限，从而更加合理地选择和使用算法。
metropolis用法
metropolis用法
Metropolis算法是一种在统计物理和蒙特卡罗模拟中常用的方法，它可以用来从某个已知的分布中抽样，或者用来估计某个数学表达式的值。
下面将详细介绍Metropolis算法的用法。
首先，我们需要明确目标分布，这是我们希望从中抽样的分布。
在Metropolis算法中，我们通常使用一个已知的简单分布来生成初始样本，然后通过迭代的方式逐步优化样本，使其更接近目标分布。
在每次迭代中，我们根据当前样本和目标分布之间的差异，计算出一个接受概率。
接受概率决定了下一个样本是否应该被接受或拒绝。
如果下一个样本被接受，则将其作为新的样本；如果被拒绝，则继续使用当前样本。
为了计算接受概率，我们需要计算当前样本和目标分布之间的KL散度（Kullback-Leibler divergence）。
KL散度是一个衡量两个概率分布相似度的指标，其值越小表示两个分布越接近。
接受概率可以通过以下公式计算：P(accept) = min(1, P(target)/P(current))
其中P(target)是目标分布的概率密度函数值，
P(current)是当前样本的概率密度函数值。
如果接受概率大于随机生成的随机数，则接受下一个样本作为新的当前样本；否则，继续使用当前样本。
通过不断迭代和优化样本，Metropolis算法可以逐步逼近目标分布，并从中抽取出具有代表性的样本。
这种方法的优点是它可以从任何已知的分布中抽样，并且在某些情况下比其他蒙特卡罗方法更高效。
Metropolis-Hastings算法
Metropolis-Hastings算法(学习这部分内容⼤约需要1.5⼩时)摘要马尔科夫链蒙特卡洛(Markov chain Monte Carlo, MCMC)是⼀种近似采样算法, 它通过定义稳态分布为 p 的马尔科夫链,在⽬标分布 p 中进⾏采样. Metropolis-Hastings 是找到这样⼀条马尔科夫链的⾮常⼀般的⽅法: 选择⼀个提议分布(proposal distribution), 并通过随机接受或拒绝该提议来纠正偏差. 虽然其数学公式是⾮常⼀般化的, 但选择好的提议分布却是⼀门艺术.预备知识学习 Metropolis-Hastings 算法需要以下预备知识: M-H 算法是 MCMC 算法的⼀个特例.: ⾼斯分布是M-H提议分布的典型例⼦.学习⽬标知道细致平衡条件(detailed balance conditions)说的是啥知道 Metropolis-Hastings 算法的定义证明 M-H 算法满⾜细致平衡条件如果不仔细选择提议分布, 请注意可能的故障模式: 缓慢的 mixing 和低接受概率.核⼼资源(阅读/观看以下其中⼀个)免费Information Theory, Inference, and Learning Algorithms简介: ⼀本机器学习和信息论研究⽣教材位置:作者: David MacKayCoursera: Probabilistic Graphical Models (2013)简介: ⼀门概率图模型在线课程位置:作者: Daphne Koller备注:点击"Preview"观看视频Computational Cognition Cheat Sheets (2013)简介: 认知科学家写的⼀组笔记位置:付费Pattern Recognition and Machine Learning(PRML)简介: ⼀本研究⽣机器学习教材, 聚焦于贝叶斯⽅法位置: Section 11.2, pages 537-542作者: Christopher M. BishopMachine Learning: a Probabilistic Perspective(MLAPP)简介: ⼀本⾮常全⾯的研究⽣机器学习教材位置: Section 24.3-24.3.6, pages 848-855作者: Kevin P. Murphy增补资源免费Bayesian Reasoning and Machine Learning简介: ⼀门研究⽣机器学习课程位置:作者: David Barber付费Probabilistic Graphical Models: Principles and Techniques 简介: ⼀本⾮常全⾯的概率AI研究⽣教材位置: Section 12.3.4, pages 515-518作者: Daphne Koller,Nir Friedman相关知识是⼀种常⽤的特殊 M-H 算法其他 M-H 算法包括:: 利⽤梯度信息从连续模型中采样split-merge 算⼦: 尝试拆分和合并簇.: 试图在不同维度的空间之间移动在某些条件下, 我们可以确定最佳的 M-H 接受率.返回Processing math: 100%。
metropolis 蒙特卡洛算法
metropolis 蒙特卡洛算法Metropolis蒙特卡罗算法是一种基于概率分布的随机采样算法，广泛应用于统计物理学、计算化学和机器学习等领域。
该算法通过赋予每个状态一个能量值，并随机采样生成下一个状态，根据采样出的新状态的能量和当前状态能量间的比较，以一定的概率接受或拒绝新状态，最终达到从概率分布中随机采样的目的。
以下是Metropolis蒙特卡罗算法的详细步骤：1. 定义问题：将问题转化为一个概率分布，设定初始状态首先需要将问题转化为一个概率分布，也就是定义系统状态的空间，并且给出每个状态的概率。
例如，在一个2D格点上，每个格点上可以有一个粒子或者没有粒子，我们可以定义一个概率分布，表示每个格点上粒子的存在概率。
接着，需要设定一个初始状态，也就是从哪个状态开始采样。
2. 采样新状态在设定好初始状态后，需要采样一个新的状态。
采样方式可以是随机的，也可以是根据某种采样规则生成，例如在格点系统中，可以随机选择一个粒子，随机将其移动到周围的一个格点上。
3. 计算新状态的能量在确定了新状态后，需要计算新状态的能量，并将其与当前状态比较。
这里，能量可以根据实际问题的物理特性定义。
在格点系统中，能量可以定义为粒子之间的相互作用能，或者粒子与外部势场的相互作用能。
4. 判断是否接受新状态在计算出新状态的能量之后，需要根据接受准则，决定是否接受新状态。
接受准则通常是基于Metropolis-Hastings算法的接受准则来定义的，即：设当前状态的能量为E，新状态的能量为E'，则新状态被接受的概率为min(1, [P(E')/P(E)][Q(E|E')/Q(E'|E)])。
其中，P(E)表示当前状态的概率，P(E')表示新状态的概率，Q(E|E')表示给定新状态，接受状态为当前状态的概率，Q(E'|E)表示给定当前状态，接受状态为新状态的概率。
根据接受准则，当随机生成的数小于接受概率时，就接受新状态，否则拒绝新状态，继续沿用当前状态。
蒙特卡罗反演方法
蒙特卡罗反演方法蒙特卡罗反演方法是一种常用于求解各种物理问题的数值计算方法。
它的原理是通过随机抽样来近似计算某一物理量的期望值。
在本文中，我们将介绍蒙特卡罗反演方法的基本原理和应用。
蒙特卡罗反演方法最初是由数学家Metropolis等人在20世纪40年代提出的，用于求解复杂的统计力学问题。
随后，这种方法被推广应用于众多领域，包括物理学、化学、生物学等。
蒙特卡罗反演方法的基本思想是通过随机抽样来模拟某一物理过程，并根据抽样结果进行统计分析。
具体而言，我们首先需要定义一个概率分布函数，用来描述我们想要研究的物理量的概率分布。
然后，我们通过随机抽样的方式来生成一组符合该概率分布的样本。
最后，根据这些样本的统计特征，我们可以近似计算出所研究物理量的期望值。
蒙特卡罗反演方法的核心是如何生成符合给定概率分布的随机样本。
常用的方法有逆变换法和接受-拒绝法。
逆变换法是通过累积分布函数的逆函数来生成符合指定概率分布的随机数。
而接受-拒绝法则是通过比较生成的随机数与目标分布函数的比值来决定是否接受该随机数作为样本。
蒙特卡罗反演方法在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，我们可以利用蒙特卡罗反演方法来模拟高能物理实验中的粒子碰撞过程，从而研究粒子的运动轨迹和能量分布等。
在化学领域，我们可以利用蒙特卡罗反演方法来计算复杂分子的能量和构型分布。
在生物学研究中，蒙特卡罗反演方法可以用来分析蛋白质的折叠动力学和相互作用等。
虽然蒙特卡罗反演方法在求解各种物理问题中具有一定的优势，但也存在一些限制。
首先，蒙特卡罗反演方法通常需要大量的样本才能得到准确的结果，这对计算资源和时间要求较高。
其次，蒙特卡罗反演方法在处理高维问题时会面临维度灾难的挑战，即样本数量的指数级增长。
此外，蒙特卡罗反演方法对初始概率分布的选择和参数调节也有一定的要求。
蒙特卡罗反演方法是一种重要的数值计算方法，可以应用于各种物理问题的求解。
它通过随机抽样来近似计算物理量的期望值，具有较好的灵活性和适用性。
metropolis方法
Metropolis方法简介Metropolis方法是一种用于蒙特卡洛模拟的算法，由Nicholas Metropolis等人在1953年提出。
该方法主要用于求解高维空间中的积分问题，特别适用于物理学、计算机科学和统计学等领域中的模拟和优化问题。
原理Metropolis方法的核心思想是根据马尔可夫链的性质，通过模拟随机游走的方式逐渐逼近目标分布。
该方法在给定一个初始状态后，通过一系列状态转移来收敛到目标分布的平稳状态。
具体而言，Metropolis方法包括以下几个步骤：1.初始化。
选择一个初始状态。
2.生成候选状态。
根据某种规则，生成一个新的候选状态。
3.计算接受概率。
根据目标分布和候选状态，计算接受概率。
4.接受或拒绝候选状态。
根据接受概率，决定是否接受候选状态。
5.更新状态。
根据接受或拒绝的结果，更新当前状态。
6.重复2-5步骤，直到达到收敛条件。
应用领域Metropolis方法被广泛应用于各个科学和工程领域，特别是在概率统计、物理学和计算机科学中具有重要地位。
统计学在统计学中，Metropolis方法可以用于参数估计和模型选择。
通过模拟蒙特卡洛样本，可以近似计算参数的后验分布，从而对于复杂的统计模型进行推断和预测。
物理学在物理学中，Metropolis方法可以用于模拟固体的晶格结构、温度分布和相变过程等。
通过模拟粒子的位置和能量，可以研究物质的性质和行为。
计算机科学在计算机科学中，Metropolis方法可以用于组合优化，如旅行商问题和图着色问题。
通过定义合适的目标函数和状态转移规则，可以通过Metropolis方法找到近似最优的解。
算法特点Metropolis方法的优点在于灵活性和可扩展性。
该方法可以适用于各种复杂的问题，并且可以通过调整参数和改进算法细节来提高效率和精度。
然而，Metropolis方法也存在一些限制和挑战。
首先，对于高维空间中的问题，收敛速度往往较慢，需要大量的采样次数。
hmc采样原理
hmc采样原理
HMC (Hamiltonian Monte Carlo) 采样是一种基于物理系统动力
学的马尔可夫链蒙特卡洛方法，用于高维参数空间的概率分布采样。
HMC 采样的基本原理如下：
1. 选择初始状态：从参数空间中选取一个初始状态，并计算其对数概率密度函数 (log probability density function, logPDF)。
2. 选择动力学方程：为了模拟物理系统的动力学行为，引入动量变量，从一个服从某个分布的随机变量中采样得到它的初值。
然后，通过定义一个势能函数来定义系统的动力学方程。
3. 模拟动力学：使用选定的动力学方程，对参数空间进行模拟。
在某个时间步长内，通过求解 Hamilton 方程（动量随时间的
一阶导数等于势能函数对参数空间位置的负梯度）来确定下一个状态。
4. 对动量变量进行反演：在动力学模拟过程中，颠倒动力学变量的方向可以获得对原始动力学方程的反演，这是一个保持热力学平衡的操作。
5. 接受/拒绝步骤：根据 Metropolis-Hastings 方法，使用某个接受概率准则来决定是否接受新状态。
如果新状态的概率密度函数大于当前状态或接受概率大于一个从统一分布采样的随机数，则接受新状态，并将其添加到采样链中；否则，拒绝新状态，并复制当前状态以进行下一次迭代。
6. 重复上述步骤，直到采样得到足够的样本。
HMC 采样相对于传统的随机游走采样方法，具有更高的采样
效率和更好的收敛性，特别适用于高维参数空间的分布采样。
Metropolis采样与蒙特卡洛算法
Metropolis 采样与蒙特卡洛算法
Metropolis 算法⼜叫 Metropolis 抽样，是模拟退⽕算法的基础，在早期的科学计算中蒙特卡洛⽅法（Monte Carlo ）是对⼤量原⼦在给定温度下的平衡态的随机模拟，当蒙特卡洛算法计算量偏⼤。
1953 年，Metropolis 提出重要性采样，即以概率来接受新状态，⽽不是使⽤完全确定的规则，称为 Metropolis 准则，可以显著减⼩计算量。
假设前⼀状态为 ，系统受到⼀定扰动，状态变为 ，相应地，系统能量由 变为 。
定义系统由 变为 的接收概率为 （probability of acceptance ）：
当状态转移之后，如果能量减⼩了，那么这种转移就被接受了（以概率 1 发⽣）。
如果能量增⼤了，就说明系统偏离全局最优位置（能量最低点，模拟退⽕算法所要寻找的就是密度最⾼能量最低的位置）更远了，此时算法不会⽴即将其抛弃，⽽是进⾏概率判断：⾸先在区间
产⽣⼀个均匀分布的随机数 （np.random.rand()），如果 （ 是前⾯定义的接受概率），这种转移也将被接受，否则拒绝转移，进⼊下⼀步，如此循环。
这正是 Metropolis 算法，其核⼼思想是当能量增加时以⼀定概率接收，⽽不是⼀味的拒绝；x(n)x(n +1)E(n)E(n +1)x(n)x(n +1)p p =⎧⎩⎨1,
exp(−),E(n +1)−E(n)T E(n +1)<E(n)E(n +1)≥E(n)
[0,1]εε<p p。
中国药科大学计算机辅助药物设计(CADD)整理
第1章概论一、药物发现一般过程新药的研究有三个决定阶段：先导化合物的发现，新药物的优化研究，临床与开发研究。
计算机辅助药物设计的主要任务就是先导化合物的发现与优化。
二、合理药物设计1、合理药物设计（rational drug design）是依据与药物作用的靶点，即广义上的受体，如酶、受体、离子通道、病毒、核酸、多糖等，寻找和设计合理的药物分子。
通过对药物和受体的结构在分子水平甚至电子水平的全面准确了解进行基于结构的药物设计和通过对靶点的结构、功能、与药物作用方式及产生生理活性的机理的认识基于机理的药物设计。
CADD通过内源性物质或外源性小分子作为效应子作用于机体的靶点，考察其形状互补，性质互补（包括氢键、疏水性、静电等），溶剂效应及运动协调性等进行分子设计。
2、方法分类（1）合理药物设计有基于靶点结构的三维结构搜索和全新药物设计等方法。
后者分为模板定位法、原子生长法、分子碎片法（碎片连接法和碎片生长法）。
（2）根据受体是否已知分为直接药物设计和间接药物设计。
前者即通过结构测定已知受体或受体-配体复合物的三维结构，根据受体的三维结构要求设计新药的结构。
受体结构测定方法：同源模建（知道氨基酸序列不知道空间结构时），X射线衍射（可结晶并得到晶体时），多维核磁共振技术（溶液状态）。
后者通过一些配体的结构知识（SAR，计算机图形显示等）推测受体的图像，提出家乡受体，采用建立Pharmacophore模型或3D-QSAR和基于药效团模型的三维结构搜索等方法，间接进行药物设计。
三、计算化学计算化学包括分子模型、计算方法、计算机辅助分子设计（CAMD）、化学数据库及有机合成设计。
计算方法包括很多种，但基本上可以分为两大类：分子力学和量子力学（分为从头计算方法和半经验方法）。
常用的计算应用有：（1）单点能计算：根据模型中原子的空间位置给出相应原子坐标的势能；（2）几何优化：系统的修改原子坐标使原子的三维构象能量最小化；（3）性质计算：预测某些物理化学性质，如电荷、偶极矩、生成热等；（4）构象搜索：寻找能量最低的构象；（5）分子动力学模拟：模拟分子的构象变化。
metropolis hasting采样的基本原理及步骤
metropolis hasting采样的基本原理及步骤
metropolis hasting 采样算法是一种基于随机游走思想的采样算法，主要用于计算离散分布的随机变量的近似样本。
其基本原理是在目标分布中随机选择一个点，然后根据该点周围的邻居点来更新分布。
具体步骤如下:
1. 初始化：选择一个初始点，将其视为随机样本。
2. 根据当前点，计算其周围邻居点的概率分布。
通常采用邻域法或哈希法来快速计算周围邻居点的概率分布。
3. 根据当前点周围的邻居点概率分布，对当前点进行更新。
通常采用 Metropolis 算法或 hastings 算法来进行更新。
4. 重复步骤 2 和步骤 3，直到达到预定的采样次数或达到预设的精度要求。
Metropolis hasting 采样算法的精度和效率取决于邻居点选择和更新策略。
常见的邻居点选择策略包括均匀采样、中心采样、基于密度的采样等。
常见的更新策略包括 Metropolis 算法和 hastings 算法等。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的采样算法。
MCMC抽样-Metropolis算法
7
6.1.1 马尔可夫链的表示方式
• 定义: 称条件概率pij(n)= P{Xn+1=j|Xn=i} 为
马尔可夫链{Xn，nT }在时刻n的一步转
移概率，简称转移概率，其中i,j 。
• 定义: 若对任意的i,j ，马尔可夫链
{Xn,nT }的转移概率pij(n)与n无关，则称
马尔可夫链是齐次的，并记pij(n)为pij。
若t1,t2,,tn-2表示过去，tn-1表示现在，tn表示将来，马
尔可夫过程表明：在已知现在状态的条件下，将来所
处的状态与过去状态无关，所谓“遗忘性”。
肖柳青 上海交通大学 数学系
3
X (t )
…………
0
1 2 3
4
k k 1
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t
一些简单例子
假设甲乙两人以抛硬币的方式进行赌博，每次抛同
间的接触； 任意两个人的接触都是等可能的； 在
一个单位时间内只有一次接触发生. 记 X (n)为时刻 n
时患病的人数，则 { X (n)，n 0} 是马尔科夫链.
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马尔科夫链的模型广泛应用性
• 例如，一个随时间变化的热力学系统；
• 改变一个物种的DNA序列的突变，蛋白
质分子一步一步折叠的序列；
• 一天又一天的股价波动；
• 一个赌徒的赌博资金等等。
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马尔可夫过程通常分为三类：
(1)时间、状态都是离散的，称为马尔可夫
链
(2)时间连续、状态离散的，称为连续时间
马尔可夫链
(3)时间、状态都是连续的，称为马尔可夫
过程
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metropolis准则和物理退化过程
metropolis准则和物理退化过程
Metropolis准则，也称为Metropolis算法或Metropolis-Hastings 算法，是一种在统计物理和计算物理学中常用的算法，用于模拟随机过程和优化问题。
它主要用于蒙特卡洛模拟中，特别是在处理复杂系统的热力学性质时。
该准则的基本思想是：给定一个初始状态，通过摄动装置使系统中的某个粒子产生微小的位移，从而得到一个新的状态。
然后，根据一定的概率接受或拒绝这个新状态。
这个概率通常与新旧两个状态之间的能量差以及系统的温度有关。
在高温下，系统更可能接受能量较高的新状态，而在低温下，系统更可能接受能量较低的新状态。
物理退化过程是指物理系统或材料在特定环境条件下性能逐渐降低的过程。
这个过程可能是由于外部因素（如温度、湿度、辐射等）或内部因素（如材料老化、疲劳等）导致的。
物理退化过程通常是不可逆的，即一旦性能降低，很难恢复到原始状态。
虽然Metropolis准则和物理退化过程在表面上看起来没有直接关系，但它们在某些方面可以相互借鉴。
例如，在模拟物理退化过程时，可以运用Metropolis准则来模拟系统在不同温度或不同环境下的状态变化。
通过调整接受新状态的概率，可以模拟出材料性能随时间的变化趋势。
总的来说，Metropolis准则是一种模拟随机过程和优化问题的有效方法，而物理退化过程则是物理系统或材料性能逐渐降低的过程。
虽然它们在表面上看起来不同，但在某些方面可以相互借鉴和应用。
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1、CTRW是基于观测的理论； 2、CTRW将扩散过程分为两个步骤：跳跃和等待； 3、粒子的扩散行为由跳跃步长和等待时间的统计规律决定。
CTRW的数值策略
r (t ) r (0) 2 正常扩散：
K1t 1
r (t ) r (0) 2 欠扩散：
K t , [0,1)
Metropolis抽样与动力学方法
《蒙特卡罗方法》讲义 第六部分
内容提要
正则系综平均量的计算
Metropolis抽样方法 连续时间随机行走（CTRW） 热浴法
配分函数
正则系综平均量的计算
配分函数：
1、怎样得到平衡态甚至非平衡定态的系综分布？ 2、如何避免计算配分函数？ 3、在其他方法都失效的情况下如何抽样？
答案尽在Metropolis方法！
目标：抽取符合正则系综分布
障碍：配分函数
Hale Waihona Puke 的样本点。解决方案：Metropolis（抽样）方法
解决方案：Metropolis（抽样）方法——继续
解决方案：Metropolis（抽样）方法——结论
耗散（输运）系统
布朗运动理论是基于观测的理论
有没有同样基于观测角度 的数值模拟方法呢？ 朗之万方程是动力学 有。此即 “连续时间随机行走”理论 简称：CTRW
常用的欠扩散等待时间分布函数：
r (t ) r (0) 2 超扩散：
K t , (1,2]
对Levy分布常见的抽样方法为：
一维欠扩散粒子，处于线性倾斜势U ( x) Fx中，