中学数学 配方法 练习题
七年级配方法练习题
七年级配方法练习题一、选择题1. 配方法是一种将二次三项式转化为完全平方的方法，以下哪个选项不是配方法的步骤？A. 将二次项系数化为1B. 将常数项移到等号右侧C. 将一次项系数除以2的平方加到等式两边D. 将二次项系数除以2乘以一次项系数2. 对于二次三项式 \( ax^2 + bx + c \)，若 \( a \) 为负数，以下哪个选项是正确的配方法步骤？A. 直接将 \( ax^2 \) 转化为 \( (x + \frac{b}{2a})^2 \)B. 先取相反数，使 \( a \) 为正数，再进行配方法C. 直接将 \( ax^2 + bx \) 转化为 \( (x + \frac{b}{2a})^2 \)D. 不需要任何变换，直接进行配方法3. 对于二次三项式 \( x^2 - 4x \)，配方法后的结果是什么？A. \( (x - 2)^2 - 4 \)B. \( (x - 2)^2 \)C. \( (x + 2)^2 - 4 \)D. \( (x + 2)^2 \)二、填空题4. 将二次三项式 \( 2x^2 + 6x \) 进行配方法后，结果应为 \( (x+ \_\_\_)^2 \)。
5. 若二次三项式 \( 3x^2 - 6x \) 配方法后为 \( (x - \_\_\_)^2 \)，求常数项。
6. 给定二次三项式 \( -x^2 + 4x - 3 \)，配方法后的结果为 \( -(x - \_\_\_)^2 - \_\_\_ \)。
三、解答题7. 对于二次三项式 \( x^2 + 4x - 5 \)，使用配方法将其转化为完全平方形式，并求出当 \( x \) 取何值时，该式有最小值。
8. 已知二次三项式 \( 2x^2 + 8x - 3 \)，使用配方法求出该式的最大值，并给出对应的 \( x \) 值。
9. 给定二次三项式 \( -3x^2 + 6x + 2 \)，使用配方法将其转化为顶点式，并说明顶点坐标。
配方法解方程练习题10道
配方法解方程练习题10道解方程是数学中常见的问题，通过寻找未知数的值来满足等式的平衡。
配方法是解一元二次方程的一种方法，适用于形如ax^2 + bx + c = 0的方程。
在本文中，我将为你提供10道配方法解方程的练习题，帮助你更好地掌握这一解题技巧。
练习题1：使用配方法解下列方程：x^2 - 5x + 6 = 0解答：为了使用配方法解这个方程，我们需要将它重写为完全平方式。
观察方程，我们可以发现，x^2 - 5x + 6 可以分解为 (x - 2)(x - 3)。
因此，方程可以重写为 (x - 2)(x - 3) = 0。
现在，我们可以使用零乘法原理得出两个解：x - 2 = 0 或 x - 3 = 0。
解x的值分别为2和3。
练习题2：使用配方法解下列方程：2x^2 + 3x - 2 = 0解答：通过观察方程，我们可以发现2x^2 + 3x - 2 可以分解为 (2x + 4)(x - 1)。
因此，方程可以重写为 (2x + 4)(x - 1) = 0。
使用零乘法原理，我们得出两个解：2x + 4 = 0 或 x - 1 = 0。
解x的值分别为-2和1。
练习题3：使用配方法解下列方程：3x^2 - 4x - 4 = 0解答：观察方程，我们可以发现3x^2 - 4x - 4 无法直接分解为两个一次式。
在这种情况下，我们需要使用配方法来解方程。
首先，我们将方程重写为完全平方式，得到3x^2 - 4x - 4 = 0。
接下来，我们将方程两边乘以一个常数，使得方程的首项系数为1。
在这个例子中，我们可以将方程两边都除以3，得到x^2 - 4/3x - 4/3 = 0。
现在，我们可以对方程使用配方法。
令a = 1，b = -4/3，c = -4/3。
根据配方法，我们需要找到一个常数m，使得(m + b/2)^2 - (b^2 - 4ac)/4 = 0。
代入a、b、c的值，将方程转化为(m - 2/3)^2 - (4/9 - 4/3*(-4/3))/4 = 0。
初三数学配方法试题
初三数学配方法试题1.用配方法使下面等式成立：（1）x2-2x-3=(x-______)2-_______；（2）x2+0.4x+0.5=(x+_______)2+________；（3）3x2+2x-2=3(x+______)2+________；（4）x2+x-2=(x+________)2+_______.【答案】（1）1，4；（2）0.2，0.46；（3）；（4）【解析】根据配方法的一般步骤依次分析各小题即可.（1）；（2）；（3）；（4）【考点】配方法点评：配方法在中考中是一个极为重要的知识点，很常见，在很多综合性问题中均有出现，尤其在二次函数的应用中极为重要，一般难度不大，要特别注意.2.方程x2-6x-5=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是( )A．(x-6)2=41B．(x-3)2=4C．(x-3)2=14D．(x-6)2=36【答案】C【解析】先移项，等式左边加上一次项系数一半的平方，再根据完全平方公式分解.x2-6x-5=0x2-6x=5x2-6x+9=5+9(x-3)2=14故选C.【考点】配方法解方程点评：熟练掌握各种解方程的一般方法是学习数学的基础，因而此类问题在中考中比较常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.3.方程3x2+x-6=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】先移项，然后化系数为1，等式左边加上一次项系数一半的平方，再根据完全平方公式分解即可得到结果.3x2+x-6=03x2+x=6故选B.【考点】配方法解方程点评：熟练掌握各种解方程的一般方法是学习数学的基础，因而此类问题在中考中比较常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.4.用配方法解方程：x2+4x-3=0【答案】【解析】先移项，等式左边加上一次项系数一半的平方，再根据完全平方公式分解，最后根据直接开平方法解方程即可.x2+4x-3=0x2+4x=3x2+4x+4=3+4（x+2）2=7解得.【考点】配方法解方程点评：解方程的能力是初中数学学习中的一个最基本的能力，因而此类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，属于基础题，难度一般.5.用配方法解方程：x2+3x-2=0;【答案】【解析】先移项，等式左边加上一次项系数一半的平方，再根据完全平方公式分解，最后根据直接开平方法解方程即可.x2+3x-2=0x2+3x=2x2+3x+=2+解得.【考点】配方法解方程点评：解方程的能力是初中数学学习中的一个最基本的能力，因而此类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，属于基础题，难度一般.6.用配方法解方程：x2-x+=0;【答案】【解析】先移项，等式左边加上一次项系数一半的平方，再根据完全平方公式分解，最后根据直接开平方法解方程即可.解得.【考点】配方法解方程点评：解方程的能力是初中数学学习中的一个最基本的能力，因而此类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，属于基础题，难度一般.7.用配方法解方程：x2+-4=0.【答案】【解析】先移项，等式左边加上一次项系数一半的平方，再根据完全平方公式分解，最后根据直接开平方法解方程即可.解得.【考点】配方法解方程点评：解方程的能力是初中数学学习中的一个最基本的能力，因而此类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，属于基础题，难度一般.8.用配方法求证：的值恒小于零.【答案】见解析【解析】先根据配方法把化为，再根据平方的性质即可判断.则的值恒小于零.【考点】配方法的应用点评：配方法在中考中是一个极为重要的知识点，很常见，在很多综合性问题中均有出现，尤其在二次函数的应用中极为重要，一般难度不大，要特别注意.9.在高尔夫球比赛中，某运动员打出的球在空中飞行高度h(m) 与打出后飞行的时间t(s)之间的关系是h=7t-t2.（1）经过多少秒钟，球飞出的高度为10m；（2）经过多少秒钟，球又落到地面.【答案】（1）2秒或5秒；（2）7秒【解析】（1）把h=10代入h=7t-t2即可求得结果；（2）把h=0代入h=7t-t2即可求得结果.（1）由题意得7t-t2=10，解得t=2或5答：经过2秒或5秒，球飞出的高度为10m；（2）由题意得7t-t2=0，解得t=7或0（舍去）答：经过7秒，球又落到地面.【考点】一元二次方程的应用点评：本题是一元二次方程的基础应用题，中考中比较常见，在各种题型中均有出现，属于基础题，难度一般.10.在△ABC中，三边a、b、c满足:a+b+c=，a2+b2+c2=，试判断△ABC的形状.【答案】等边三角形【解析】由a+b+c=可得(a+b+c)2=，即a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=，再化简得ab+bc+ac=，再根据完全平方公式配方得[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]=0，可得a=b=c，即可判断结论.∵a+b+c=∴(a+b+c)2=，即a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=∴ab+bc+ac=∴a2+b2+c2=ab+bc+ac∴[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]=0∴a=b=c∴△ABC为等边三角形.【考点】配方法的应用点评：此类问题知识点综合性较强，在中考中比较常见，常以解答题形式出现，难度较大，需多加注意.。
配方法的题及其答案（精选3篇）
配方法的题及其答案（精选3篇）以下是网友分享的关于配方法的题及其答案的资料3篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。
篇一配方法及其应用初一（）班学号：_______ 姓名：____________一、配方法：将一个式子变为完全平方式，称为配方，它是完全平方公式的逆用。
配方法是一种重要的数学方法，它是恒等变形的重要手段，又是求最大最小值的常用方法，在数学中有广泛的应用。
配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简，何时配方需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方，有时也将其称为“凑配法”．配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a ＋b ) ＝a ＋2ab ＋b ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：222a 2＋b 2＝(a ＋b ) 2－2ab ＝(a －b ) 2＋2ab ；b 2⎛3⎫2⎛a ＋ab ＋b ＝(a ＋b ) －ab ＝(a －b ) ＋3ab ＝a ＋＋ b ⎪；⎝2⎭⎝2⎭2222a 2＋b 2＋c 2＋ab ＋bc ＋ca ＝[(a ＋b ) 2＋(b ＋c ) 2＋(c ＋a ) 2]．下面举例说明配方法的应用：一、求字母的值【例1】已知a ，b 满足a ＋2b －2ab －2b ＋1＝0，求a ＋2b 的值．分析:可将含x,y 的方程化为两个非负数和为0的形式, 从而求出两个未知数的值. 解：∵a ＋2b －2ab －2b ＋1＝0，∴a ＋b －2ab ＋b －2b ＋1＝0，∴(a －b ) ＋(b －1) ＝0.∵(a －b ) ≥0，(b －1) ≥0，∴a －b ＝0，b －1＝0，∴a ＝1，b ＝1，∴a ＋2b ＝1＋2×1＝3，∴a ＋2b 的值是3.变式练习：1、已知x 2y 2+x 2+4xy +13=6x , 则x,y 的值分别为[1**********]122、已知a ＋b ＋4a －2b ＋5＝0，则3a ＋5b －4的值为___ ___.4. 已知x 2+2xy +y 2-6x -6y +9=0，则x +y 的值为5、若a 、b 为有理数，且2a 2-2ab +b 2+4a +4=0，则a 2b +ab 2的值为___ ___.6、已知a 、b 、c 满足a 2+2b =7，b 2-2c =-1，c 2-6a =-17，则a +b +c 的值为______．7、已知a 2+2b 2+2c 2-2ab -2bc -6c +9=0，则abc 的值为___ ___.228. 已知a +b +1=ab +a +b ，则3a -4b 的值为___ ___. 2222二、证明字母相等【例2】已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足a 2+b 2+c 2-ab -bc -ac =0, ，判断这个三角形的形状．分析:等式两边乘以2, 得2a 2+2b 2+2c 2-2ab -2bc -2ac =0, 配方，得(a 2-2ab +b 2)+(b 2-2bc +c 2)+(c 2-2ca +a 2)=0,即(a -b )+(b -c )+(c -a )=0. 222由非负数的性质得a-b=0,b-c=0,c-a=0,a=b,b=c,c=a,即a=b=c.故△ABC 是等边三角形.变式练习：1、已知3a 2+b 2+c 2=(a +b +c )，求证：a =b =c 2()44442、已知：a ＋b ＋c ＋d ＝4abcd ，其中a ，b ，c ，d 是正数，求证：a=b=c=d。
配方法练习题
配方法练习题
一、选择题
1.将二次三项式x²-4x+1配方后得( ).
A. (x-2)²+3
B.(x-2)²-3
C. (x+2)²+3
D.(x+2)²-3
2.已知x²-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是( ).
A. x²-8x+(-4)²-31
B. x²-8x+(-4)³ = 1
C. x²+8x+4²=1
D. x²-4x+4=-11
3. 如果ax²+2(3-2a)x+3m-2=0 (a≠0)的左边是一个关于 x的完全平方式，则 a 等于( ).
A. 1
B. - 1
C. 1或9
D. -1或9
二、填空题
1. 方程x²+4x-5-0的解是 .
2.代数式x2−x−2
的值为0，则x的值为 .
x2−1
3. 已知(x+y)(x+y+2)-8=0,求x+y的值,若设 x+y=x,则原方程可变为 .所以求出x 的值即为x+y的值，所以x+y的值为 .
三、综合提高题
1.已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x²-4x+3=0 的解，求这个三角形的周长.
2.如果x2−4x+y2+6y+√z+2+13=0,求(xy)²的值.
3.新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台，而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元?。
初三配方法例题20道
初三配方法例题20道题目一某班有35名学生，其中男生和女生的人数比为4：5，那么男生和女生各有多少人？解析：设男生人数为4x，女生人数为5x。
根据题目可得：4x + 5x = 35 解得：x = 7 所以男生人数为4x = 4 * 7 = 28人，女生人数为5x = 5 * 7 = 35人。
题目二某校举行篮球比赛，男生和女生共有60人参加比赛，男生人数比女生人数多8人，那么男生和女生各有多少人参加比赛？解析：设女生人数为x，男生人数为x + 8。
根据题目可得：x + (x + 8) = 60 解得：2x + 8 = 60 解得：2x = 52 解得：x = 26 所以女生人数为26人，男生人数为26 + 8 = 34人。
题目三某班共有40人，男生和女生的人数比为2：3，那么男生和女生各有多少人？解析：设男生人数为2x，女生人数为3x。
根据题目可得：2x + 3x = 40 解得：5x = 40 解得：x = 8 所以男生人数为2x = 2 * 8 = 16人，女生人数为3x = 3 * 8 = 24人。
题目四一群人分成4组，每组人数相等，共有36人，那么每组有多少人？解析：设每组人数为x。
根据题目可得：4x = 36 解得：x = 9 所以每组有9人。
题目五一群人分成3组，每组人数相等，共有30人，那么每组有多少人？解析：设每组人数为x。
根据题目可得：3x = 30 解得：x = 10 所以每组有10人。
题目六一群人分成5组，每组人数相等，共有40人，那么每组有多少人？解析：设每组人数为x。
根据题目可得：5x = 40 解得：x = 8 所以每组有8人。
题目七某班共有48人，男生和女生的人数比为2：3，那么男生和女生各有多少人？解析：设男生人数为2x，女生人数为3x。
根据题目可得：2x + 3x = 48 解得：5x = 48 解得：x = 9.6 由于人数必须为整数，所以x不能为小数。
因此不能找到满足题目条件的解。
2121 一元二次方程的解法(一)配方法-2021-2022学年九年级数学上练(人教版)(解析版)
21.2.1 一元二次方程的解法（一）配方法瞄准目标，牢记要点夯实双基，稳中求进直接开方法解一元二次方程原理：题型一：直接开方法解一元二次方程原理：【例题1】下列方程不能用直接开平方法求解的是（ ） A ．240x -= B ．2(1)90x --= C ．230x x += D ．22(1)(21)x x -=+【答案】C【分析】根据直接开方法求一元二次方程的解的类型客直接得出答案．【详解】能用直接开平方法求解的是：240x -=、2(1)90x --=和22(1)(21)x x -=+； 故选C ．【点睛】此题考查了解一元二次方程-公式法，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a （a≥0）；ax 2=b （a ，b 同号且a≠0）；（x+a ）2=b （b≥0）；a （x+b ）2=c （a ，c 同号且a≠0）． 变式训练【变式1-1】关于x 的方程()2x a b +=能直接开平方求解的条件是（ ） A ．0,0a b ≥≥B ．0,0a ≥≤知识点管理 归类探究 1 (1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义. 特别说明：用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a （a≥0）；ax 2=b （a ，b 同号且a≠0）；（x+a ）2=b （b≥0）；a （x+b ）2=c （a ，c 同号且a≠0）．C ．a b ，为任意数D ．a 为任意数且0b ≥【答案】D【分析】根据一个数的平方是非负数，可得0b ≥． 【详解】∵()20x a +≥，∵0b ≥，a 为任意数，故选：D ．【点睛】本题考查了用直接开方法求一元二次方程的解，基本形式有：2x a =（a≥0）．形如关于x 的一元二次方程2x a ，可直接开平方求解题型二：形如关于x 的一元二次方程2x a ，可直接开平方求解【例题2】一元二次方程290x 的解是（ ）A ．3x =B ．3x =-C ．123,3x x ==-D ．12=3,3x x =-【答案】C【分析】先变形得到x 2=9，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】解：x 2=9，x =±3，所以x 1=3，x 2=-3． 故选：C ．【点睛】本题考查了直接开平方法：形如x 2=p 或（nx +m ）2=p （p ≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 变式训练【变式2-1】方程280x -=的解为（ ） A ．14x =，24x =-B ．122x =，222x =-2 若0a则x a =±；表示为1,2x a x a ==- 方程有两个不等实数根 若=0a 则x=O 表示为120x x == 方程有两个相等的实数根 若0a则方程无实数根特别说明：(1)先移项，再开方；(2)形如2x a =的方程不一定有解，需要分情况讨论.C ．10x =，222x =D ．22x =【答案】B【分析】移项得x 2=8，然后利用直接开平方法解方程即可．【详解】解：移项得28x =，两边开方的：22x =±，即1222,22x x ==-，故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法：直接开平方法，熟练掌握运算方法是解题的关键． 【变式2-2】方程x 2＝0的解为（ ） A ．0x = B ．120x x ==C ．无解D ．以上都不对【答案】B【分析】直接运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵x 2＝0，∵x 1=x 2=0．故选：B.【点睛】此题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握直接开平方的方法是解本题的关键． 【变式2-3】一元二次方程224x =-的解是（ ） A ．2x =- B ．2x =C ．无解D ．12x =，22x =-【答案】C形如关于x 的一元二次方程2()(0,0)ax n m a m +=≠≥，可直接开平方求解题型三：形如关于x 的一元二次方程2()(0,0)ax n m a m +=≠≥，可直接开平方求解 【例题5】方程2(1)4x +=的解为（ ）A ．121,1x x ==-B ．121,3x x =-=C ．122,2x x ==-D ．121,3x x ==-【答案】D【分析】根据直接开平方法即可求解．3 形如关于x 的一元二次方程2()(0,0)ax n m a m +=≠≥，可直接开平方求解，两根是12,n m n mx x a a-+--==． 特别说明：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.【详解】解2(1)4x +=x+1=±2∵x+1=2或x+1=-2 解得121,3x x ==- 故选D ．【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知直接开平方法的运用． 变式训练【变式5-1】2(31)9x -= 【答案】（1）x 1=43，x 2=23-；【分析】两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 【详解】解：（1）2(31)9x -=， 两边开方得：313x -=±， 解得：x 1=43，x 2=23-；【变式5-2】解方程：（1）22(2)180x +-= （2）229(2)4(25)x x -=+ （1）解：22(2)180x +-=， ∵22(2)18x +=， ∵2(2)9x +=， ∵23x +=或23x，解得：x 1=1，x 2=-5；（2）解：∵9（x -2）2=4 （2x +5）2．∵3（x -2）=2（2x +5）或3（x -2）=-2（2x +5）， 解得x 1=-16，x 2=47-配方法解一元二次方程题型四：用配方法给方程变形【例题3】（2021·浙江杭州市·八年级期中）用配方法解方程241x x -=时，原方程应变形为（ ） A ．2(2)1x -= B ．2(2)5x +=C ．2(2)1x +=D ．2(2)5x -=【答案】D【分析】移项，配方，变形后即可得出选项． 【详解】解：x 2-4x =1， x 2-4x +4=1+4， ∵（x -2）2=5，4 1．配方法的定义通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．2．用配方法解一元二次方程的一般步骤①通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤，把原方程化为20(0)ax bx c a ++=≠的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，形如；⑤一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成的形式，那么就有：（1）当p ＞0时，原方程有两个不相等的实数根；（2）当p =0时，原方程有两个相等的实数根；（3）当p ＜0时，因为对任意实数x ，都有，所以原方程无实数根. . 特别说明：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式．2()x n p +=2()x n p +=12x n p x n p =--=-+，12x x n ==-2()0x n +≥故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 变式训练【变式4-1】（2021·浙江杭州市·八年级期中）方程26100x x --=变形时，下列变形正确的为（ ） A ．2(3)1x += B ．2(3)1x -=C ．2(3)19x +=D ．2(3)19x -=【答案】D【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断． 【详解】解：方程移项得：x 2-6x =10，配方得：x 2-6x +9=19，即（x -3）2=19，故选：D ．【变式4-2】（2021·浙江杭州市·八年级期中）一元二次方程2660x x --=经配方可变形为（ ） A ．2(3)10x -= B ．()2642x -=C ．2(6)6x -=D ．2(3)15x -=【答案】D【分析】把方程左边化为完全平方式的形式即可．【详解】解：原方程可化为x 2-6x +32-32=6，即（x -3）2=15．故选：D ．【变式4-3】（2021·浙江杭州市·八年级期中）若方程280x x m -+=可通过配方写成2() =6x n -的形式，则285++=x x m 可配方成（ ） A ．2(5)1x n -+= B ．2()1x n +=C ．2(5)11x n -+=D ．2()11x n +=【答案】D【分析】已知方程x 2-8x +m =0可以配方成（x -n ）2=6的形式，把x 2-8x +m =0配方即可得到一个关于m 的方程，求得m 的值，再利用配方法即可确定x 2+8x +m =5配方后的形式． 【详解】解：∵x 2-8x +m =0， ∵x 2-8x =-m ， ∵x 2-8x +16=-m +16，∵（x -4）2=-m +16， 依题意有n =4，-m +16=6， ∵n =4，m =10，∵x 2+8x +m =5是x 2+8x +5=0， ∵x 2+8x +16=-5+16， ∵（x +4）2=11， 即（x +n ）2=11． 故选：D【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 题型五：配方法解一元二次方程【例题5】（2019·湖北黄冈市·九年级期中）解方程：2x 2﹣4x ﹣1＝0．【答案】x 1x 2 【分析】用配方法解一元二次方程即可. 【详解】解：∵2x 2﹣4x ﹣1=0， ∵2x 2﹣4x=1，则x 2﹣2x=12， ∵x 2﹣2x+1=32，即（x ﹣1）2=32，则x ﹣∵x 1=22+x 2=22． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程, 解题时要注意解题步骤的准确使用, 把左边配成完全平方式, 右边化为常数.变式训练【变式5-1】（2018·芜湖市繁昌区第三中学）解方程： 22310x x --=（用配方法）【答案】14x =，24x =；【分析】先两边同时除以2，再将原方程配方即可得出答案.【详解】解：231x 022x --= 2223331x 02442x ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2317x 416⎛⎫-= ⎪⎝⎭∵1x =2x = 【变式5-2】（2018·全国九年级单元测试）x 2－4x ＋2＝0(配方法);【答案】x 1＝2x 2＝2【分析】方程的常数项移到方程右边,两边都加上4,左边化为完全平方式,右边合并,开方转化为两个一元一次方程来求解;【详解】解方程变形得: x 2－4x=-2 配方得: x 2-4x+4=2,即(x -2) 2=2,开方得:x -2=±解得:12x =22x =【变式5-3】（2019·江苏期中）解方程：x 2+6x ﹣2=0.【答案】x=﹣.【分析】利用配方法可求出一元二次方程的解. 【详解】∵x 2+6x ﹣2=0，∵x 2+6x=2，则x 2+6x+9=2+9，即（x+3）2=11， ∵x+3=±11， ∵x=﹣3±11.配方法的应用题型六：配方法用于比较大小【例题6】（2020·福建省永春第五中学九年级期中）已知7115P m =-,2815Q m m =-,（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为（ ） A ．P ＞Q B ．P=QC ．P ＜QD ．不能确定【答案】C【分析】由题意表示出，再根据化简后的代数式的特征即可作出判断.【详解】解：∵∵P Q <故选C.【点睛】用不等式比较代数式的大小是初中数学的重点，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握. 变式训练【变式6-1】（2020·四川遂宁市·八年级期中）已知22862M x y x =-+-，29413N x y =++，则M N-5 1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 特别说明：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．的值 （ ） A ．为正数 B ．为负数C ．为非正数D ．不能确定【答案】B【分析】将M -N 整理成-（x -3）2-（y+2）2-2，从而说明M -N 的值为负数． 【详解】∵M -N=8x 2-y 2+6x -2-（9x 2+4y+13） =-x 2+6x -y 2-4y -15=-[（x 2-6x+9）+（y 2+4y+4）+2]=-（x -3）2-（y+2）2-2， ∵M -N 的值为负数，故选：B ．【点睛】本题考查了配方法的应用、非负数的性质--偶次方．解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．【变式6-2】（2019·浙江杭州市·九年级其他模拟）若代数式238M x =+，224N x x =+，则M 与N 的大小关系是（ ） A ．M N ≥ B ．M N ≤C ．M N >D ．M N <【答案】C【解析】∵223824M x N x x =+=+，，∵222238(24)48(2)40M N x x x x x x -=+-+=-+=-+>， ∵M N >.故选C.【变式6-3】（2021·河北九年级专题练习）已知M=29a ﹣1，N=a 2﹣79a （a 为任意实数），则M 、N 的大小关系为（ ） A ．M ＜N B ．M=NC ．M ＞ND ．不能确定【答案】A【详解】∵M =219a -，N =279a a -（a 为任意实数），∵N -M =21a a -+=21324a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∵N ＞M ，即M ＜N ，故选A ． 题型七：配方法用于求待定字母的值【例题7】（2018·全国九年级单元测试）已知2a 4b 18-=-，2b 10c 7+=，2c 6a 27-=-．则a b c ++的值是（ ） A ．5-B ．10C ．0D ．5【答案】C【分析】将已知三个式子相加后，配方即可得到a 、b 、c 的值，从而得出结论． 【详解】由a 2﹣4b =﹣18，b 2+10c =7，c 2﹣6a =﹣27得：a 2﹣4b +b 2+10c +c 2﹣6a +38=0，∵（a ﹣3）2+（b ﹣2）2+（c +5）2=0，∵a =3，b =2，c =﹣5，∵a +b +c =0． 故选C ．【点睛】本题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 变式训练【变式7-1】（2020·江苏南通市·八年级期中）若x 2+y 2+4x ﹣6y+13=0，则式子x ﹣y 的值等于（ ） A ．﹣1 B ．1C ．﹣5D ．5【答案】C【分析】把给出的式子进行配方，根据非负数的性质求出x ，y 的值，再代入要求的式子即可得出答案． 【详解】∵x 2＋y 2＋4x−6y ＋13＝0， ∵x 2＋4x ＋4＋y 2−6y ＋9＝0， ∵（x ＋2）2＋（y−3）2＝0，∵x ＝−2，y ＝3， ∵x−y ＝−2−3＝−5； 故选C ．【点睛】此题考查了配方法的应用，用到的知识点是非负数的性质，通过配方求出x ，y 的值是解题的关键． 【变式7-2】（2021·黑龙江大庆市·八年级期末）已知三角形三边长为a 、b 、c ，且满足247a b -=，246b c -=-， 2618c a -=-，则此三角形的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．无法确定【解析】∵a 2﹣4b =7，b 2﹣4c =﹣6，c 2﹣6a =﹣18，∵a 2﹣4b +b 2﹣4c +c 2﹣6a =7﹣6﹣18，整理得：a 2﹣6a +9+b 2﹣4b +4+c 2﹣4c +4=0，即（a ﹣3）2+（b ﹣2）2+（c ﹣2）2=0，∵a =3，b =2，c =2，∵此三角形为等腰三角形． 故选A ．【变式7-3】若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值. 解:22228160m mn n n -+-+=，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+= 22()(4)0m n n ∴-+-=，4,4n m ∴==.题型八：配方法用于求最值【例题8】（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·八年级期末）阅读下面的解题过程，求21030y y -+的最小值．解：∵21030y y -+=()()222102551025555y y y y y -++=-++=-+，而()250y -≥，即()25y -最小值是0； ∵21030y y -+的最小值是5 依照上面解答过程，（1）求222020m m ++的最小值； （2）求242x x -+的最大值． 【答案】（1）2019；（2）5．【分析】(1)利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用完全平方公式把原式变形，利用非负数的性质解答即可； 【详解】（1）2222020212019m m m m ++=+++ ()212019m =++∵()210m +≥，∵()2120192019m ++≥，∵222020m m ++的最小值为2019；（2）()2242215x x x x -+=--++()215x =--+，∵()210x -≥， ∵()210x --≤， ∵()2155x --+≤， ∵242x x -+的最大值是5.变式训练【变式8-1】（2019·辽宁大连市·八年级期末）已知关于x 的多项式24x mx -++的最大值为5，则m 的值可能为（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．5【答案】B【分析】利用配方法将24x mx -++进行配方，即可得出答案.【详解】解：22244,24m m x mx x ⎛⎫-++=--++ ⎪⎝⎭故245,4m += 解得： 2.m =± 故选B.【变式8-2】（2020·全国八年级课时练习）不论,a b 为任何实数，2261035a b a b +-++的值都是（ ） A ．非负数 B ．正数 C ．负数 D ．非正数【答案】B【分析】利用完全平方公式配方，进而利用偶次方的性质得出答案． 【详解】2261035a b a b +-++22(3)(5)10a b =-+++>， ∵a 2＋b 2−6a ＋10b ＋35的值恒为正数．故选：B ．【点睛】此题主要考查了完全平方公式的应用以及偶次方的性质，正确配方得出是解题关键． 【变式8-3】（2020·山东威海市·八年级期中）若2245a a x -+-=，则不论取何值，一定有（ ）A ．5x >B ．5x <-C ．3x ≥-D ．3x ≤-【答案】D【分析】由﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3可得：x ≤﹣3．【详解】∵x =﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3≤﹣3，∵不论a 取何值，x ≤﹣3． 故选D ．【真题1】（2016·湖北荆州市·中考真题）将二次三项式x 2＋4x ＋5化成(x ＋p)2＋q 的形式应为____. 【答案】(x ＋2)2＋1 【详解】试题分析：原式=2x +4x+4+1=()221x ++ 故答案为：()221x ++【真题2】（2010·河北中考真题）已知实数的最大值为______.【答案】4【解析】变形的配方试题，2230x x x y +++-=223x y x x +=--+ 2(211)3x y x x +=-++-+ 2(1)3x y x +=-+++1链接中考2(1)4x y x +=-++ 所以当1x =-时x y +的最大值为4【真题3】（2010·江苏镇江市·中考真题）已知实数的最大值为______.【答案】4 【解析】变形的配方试题，2230x x x y +++-=223x y x x +=--+ 2(211)3x y x x +=-++-+ 2(1)3x y x +=-+++12(1)4x y x +=-++ 所以当1x =-时x y +的最大值为4【拓展1】（2020·全国九年级课时练习）解方程：2232mx x -=+()1m ≠【答案】当1m 时，原方程的解是x =1m <时，原方程无实数解【分析】先移项，再合并同类项可得()215m x -=，根据1m ≠求出251x m =-，再讨论10m -<时，10m ->，分别计算出方程的解.【详解】解：移项得：2223mx x -=+， 化简得：()215m x -=，1m ≠，251x m ∴=-， 当10m -<时，2501x m =<-， ∴原方程无实数解，当10m ->时，2501x m =>-， 满分冲刺1x ∴==2x ==∴当1m 时，原方程的解是x ==当1m <时，原方程无实数解．【点睛】此题考查解一元二次方程，根据每个方程的特点选择适合的解法是解题的关键.【拓展2】（2020·渠县崇德实验学校七年级期中）“a 2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x 2+4x +5＝x 2+4x +4+1＝（x +2）2+1，∵（x +2）2≥0，∵（x +2）2+1≥1，∵x 2+4x +5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：x 2﹣4x +5＝（x ）2+ ； （2）已知x 2﹣4x +y 2+2y +5＝0，求x +y 的值； （3）比较代数式：x 2﹣1与2x ﹣3的大小． 【答案】（1）﹣2，1；（2）1；（3）x 2﹣1＞2x ﹣3 【分析】（1）直接配方即可；（2）先配方得到非负数和的形式，再根据非负数的性质得到x 、y 的值，再求x ＋y 的值； （3）将两式相减，再配方即可作出判断． 【详解】解：（1）x 2﹣4x+5＝（x ﹣2）2+1； （2）x 2﹣4x+y 2+2y+5＝0， （x ﹣2）2+（y+1）2＝0， 则x ﹣2＝0，y+1＝0， 解得x ＝2，y ＝﹣1， 则x+y ＝2﹣1＝1； （3）x 2﹣1﹣（2x ﹣3） ＝x 2﹣2x+2 ＝（x ﹣1）2+1， ∵（x ﹣1）2≥0，∵（x﹣1）2+1＞0，∵x2﹣1＞2x﹣3．【点睛】本题考查了配方法的综合应用，配方的关键步骤是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．【拓展3】（2019·全国九年级单元测试）阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4，∵（y+2）2≥0，∵（y+2）2+4≥4，∵y2+4y+8的最小值为4.仿照上面的解答过程，求x2-x+4的最小值和6-2x-x2的最大值．【答案】154；7.【分析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值．【详解】解：（1）x2-x+4=（x-12）2+154，∵（x-12）2≥0，∵（x-12）2+154≥154．则x2-x+4的最小值是154；（2）6-2x-x2=-（x+1）2+7，∵-（x+1）2≤0，∵-（x+1）2+7≤7，则6-2x-x2的最大值为7．【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．配方法：先加上一次项系数一半的平方，使式中出现完全平方式，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．。
【中小学资料】九年级数学上册 第1章 一元二次方程 1.2 一元二次方程的解法 第3课时 用配方法解一元二次方
1.2 第3课时 用配方法解一元二次方程(二次项系数不为1) 当堂检测1．用配方法解方程2x 2＋6＝7x 时，配方后所得的方程为( )A ．(x －74)2＝116B ．(x ＋74)2＝116C ．(x －72)2＝374D ．(x ＋72)2＝3742．用配方法解一元二次方程－3x 2＋4x ＋1＝0的第一步是把方程的两边同时除以________．3．用配方法将方程2x 2＋x ＝1变形为(x ＋h)2＝k 的形式是________．4．用配方法解下列方程：(1)x 2－6x －4＝0；(2)2x 2＋2x －1＝0.课后训练一、选择题1．用配方法解方程2x 2－4x ＋3＝0，配方正确的是( )A ．2x 2－4x ＋4＝3＋4B ．2x 2－4x ＋4＝－3＋4C ．x 2－2x ＋1＝32＋1D ．x 2－2x ＋1＝－32＋1 2．把方程2x 2－4x －1＝0化为(x ＋m )2＝32的形式，则m 的值是( ) A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－2二、填空题3．将方程2x 2－4x －5＝0化成(x ＋h )2＝k 的形式为________________．4．代数式－2x 2－4x ＋3的最大值是________．三、解答题5．用配方法解方程：(1)2x 2－7x ＋6＝0； (2)2x (x －3)＝1；(3)－16x 2－13＝12x; (4)2x 2＋4x ＋6＝0.6．已知关于x 的方程5x 2＋kx －10＝0的一个根是－5，求它的另一个根及k 的值.7．当x 为何值时，代数式2x 2＋7x －1的值与代数式x 2－19的值互为相反数？拓展题阅读材料：分解因式：x 2＋2x －3.解：x 2＋2x －3＝x 2＋2x ＋1－1－3＝(x 2＋2x ＋1)－4＝(x ＋1)2－4＝(x ＋1＋2)(x ＋1－2)＝(x ＋3)(x －1)．此种方法抓住了二次项和一次项的特点，然后加一项，使三项成为完全平方式，我们把这种分解因式的方法叫做配方法．(1)用上述方法分解因式：m 2－4mn ＋3n 2；(2)无论m 取何值，代数式m 2－4m ＋2015总有一个最小值，请尝试用配方法求出当m 取何值时代数式的值最小，并求出这个最小值．答案及解析当堂检测1．A [解析] 移项，得2x 2－7x ＝－6，二次项系数化成1，得x 2－72x ＝－3，配方，得x 2－72x ＋4916＝－3＋4916，即(x －74)2＝116.故选A.2．－3 [解析] 利用配方法解一元二次方程时，首先将方程的二次项系数化为1，此方程的二次项系数为－3，故解方程的第一步是在方程的两边同时除以－3.3．(x ＋14)2＝916 [解析] ∵2x 2＋x ＝1，∴x 2＋12x ＝12，∴x 2＋12x ＋116＝12＋116，∴(x ＋14)2＝916.故答案为(x ＋14)2＝916. 4．解：(1)移项，得x 2－6x ＝4，配方，得x 2－6x ＋9＝4＋9，即(x －3)2＝13，直接开平方，得x －3＝±13，∴x 1＝3＋13，x 2＝3－13.(2)方程变形，得x 2＋x ＝12，配方，得x 2＋x ＋14＝34，即(x ＋12)2＝34，直接开平方，得x ＋12＝±32，解得x 1＝－12＋32，x 2＝－12－32.课后训练1．[解析] D 方程两边都除以2，得x 2－2x ＋32＝0， 移项，得x 2－2x ＝－32， 配方，得x 2－2x ＋1＝－32＋1. 故选D .2．[解析] B ∵2x 2－4x －1＝0，∴2x 2－4x ＝1，∴x 2－2x ＝12，∴x 2－2x ＋1＝12＋1，∴(x －1)2＝32，∴m ＝－1.故选B . 3．[答案] (x －1)2＝72[解析] 方程两边同除以2，得x 2－2x －52＝0，移项，得x 2－2x ＝52，两边同时加上1可进行配方．4．[答案] 5[解析] －2x 2－4x ＋3＝－2(x 2＋2x)＋3＝－2(x 2＋2x ＋1－1)＋3＝－2(x ＋1)2＋5.5．[解析] 都先将二次项系数化为1，然后用配方法求解．解：(1)两边都除以2，得x 2－72x ＋3＝0，x 2－72x ＋4916＝－3＋4916， ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －742＝116，x －74＝±14， 所以x 1＝2，x 2＝32. (2)整理，得2x 2－6x －1＝0，两边都除以2，得x 2－3x －12＝0， x 2－3x ＋94＝12＋94， ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＝114，x －32＝±112， 所以x 1＝32＋112，x 2＝32－112. (3)移项，得－16x 2－12x －13＝0， 两边都乘－6，得x 2＋3x ＋2＝0，x 2＋3x ＋94＝－2＋94， ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＝14，x ＋32＝±12， 所以x 1＝－1，x 2＝－2.(4)2x 2＋4x ＋6＝0，x 2＋2x ＋3＝0，x 2＋2x ＝－3，x 2＋2x ＋1＝－3＋1，(x ＋1)2＝－2，所以原方程无解．6．解：把x ＝－5代入方程5x 2＋kx －10＝0，得5×(－5)2－5k －10＝0，解得k ＝23.∴5x 2＋23x －10＝0.两边都除以5，得x 2＋235x －2＝0， 配方，得x 2＋235x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23102＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23102， ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23102＝729100，x ＋2310＝±2710，∴x 1＝25，x 2＝－5. ∴方程的另一个根为25. 7．[解析] 根据相反数的意义建立方程2x 2＋7x －1＝－(x 2－19)，再解这个方程求出x 的值．解：由题意，得2x 2＋7x －1＝－(x 2－19)，整理，得3x 2＋7x ＝20.两边都除以3，得x 2＋73x ＝203， 配方，得x 2＋73x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫762＝203＋⎝ ⎛⎭⎪⎫762， ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋762＝28936， 开平方，得x ＋76＝±176， 所以x 1＝－4，x 2＝53. 即当x ＝－4或53时，代数式2x 2＋7x －1的值与代数式x 2－19的值互为相反数． 【拓展题】解：(1)m 2－4mn ＋3n 2＝m 2－4mn ＋4n 2－4n 2＋3n 2＝(m －2n)2－n 2＝(m －n)(m －3n)．(2)m 2－4m ＋2015＝m 2－4m ＋4＋2011＝(m －2)2＋2011，∵(m －2)2≥0，∴(m －2)2＋2011≥2011.∴当m ＝2时，代数式m 2－4m ＋2015的值最小，最小值是2011.。
配方法解方程练习题300道
配方法解方程练习题300道1. 通过配方法解下列方程：(a) $x^2-3x+2=0$(b) $2x^2+5x-3=0$(c) $3x^2+7x+2=0$(d) $4x^2-6x+2=0$(e) $5x^2-4x-1=0$解答：(a) $x^2-3x+2=0$可以通过配方法进行求解。
我们需要找到两个数$q$和$p$，使得它们的和等于$-3$，积等于$2$。
显然，$-2$和$-1$满足这个条件。
因此，我们可以将方程改写为$(x-2)(x-1)=0$，从而得到$x=2$和$x=1$作为方程的解。
(b) $2x^2+5x-3=0$同样可以通过配方法进行求解。
我们需要找到两个数$q$和$p$，使得它们的和等于$5$，积等于$-6$。
可以得到，$6$和$-1$满足这个条件。
因此，将方程改写为$(2x-1)(x+3)=0$，可得到$x=\frac{1}{2}$和$x=-3$作为方程的解。
(c) $3x^2+7x+2=0$可以进行配方法求解。
我们需要找到两个数$q$和$p$，使得它们的和等于$7$，积等于$6$。
可以得到，$6$和$1$满足这个条件。
将方程改写为$(3x+1)(x+2)=0$，可得到$x=-\frac{1}{3}$和$x=-2$作为方程的解。
(d) $4x^2-6x+2=0$可以通过配方法求解。
我们需要找到两个数$q$和$p$，使得它们的和等于$-6$，积等于$8$。
可以得到，$-4$和$-2$满足这个条件。
将方程改写为$(2x-1)(2x-2)=0$，可得到$x=\frac{1}{2}$和$x=1$作为方程的解。
(e) $5x^2-4x-1=0$同样可以进行配方法求解。
我们需要找到两个数$q$和$p$，使得它们的和等于$-4$，积等于$-5$。
很明显，$1$和$-5$满足这个条件。
将方程改写为$(5x+1)(x-1)=0$，我们可以得到$x=-\frac{1}{5}$和$x=1$作为方程的解。
配方法练习题
配方法练习题一、选择题1. 配方法是一种将二次三项式转化为完全平方公式的方法，以下哪个表达式不能通过配方法转化为完全平方公式？A. x^2+2x+1B. x^2-4x+4C. x^2+6x+9D. x^2+10x+252. 对于二次方程x^2+8x+16=0，使用配方法解得x的值为：A. x=-4B. x=4C. x=-2D. x=23. 配方法中，将二次三项式x^2+4x+4转化为完全平方公式后，其结果为：A. (x+2)^2B. (x-2)^2C. (x+1)^2D. (x-1)^2二、填空题1. 将二次三项式3x^2-6x+2转化为完全平方公式，应添加的项是______。
2. 已知二次方程x^2-6x+5=0，使用配方法可将其转化为完全平方公式，求得x的值为______。
3. 对于二次方程x^2+2ax+b=0，配方法后得到(x+a)^2=a^2-b，当a=3，b=1时，方程的解为______。
三、计算题1. 将二次三项式2x^2-4x+1转化为完全平方公式，并求出其顶点坐标。
2. 解二次方程x^2+6x-7=0，使用配方法，并写出解方程的步骤。
3. 已知二次方程x^2-10x+24=0，通过配方法求出x的值，并验证解的正确性。
四、解答题1. 说明配方法的一般步骤，并给出一个二次三项式的例子，展示如何通过配方法将其转化为完全平方公式。
2. 讨论在什么情况下，配方法不适用于解二次方程，并给出一个例子说明。
3. 给定一个二次方程ax^2+bx+c=0，讨论如何使用配方法将其转化为完全平方公式，并求出方程的解。
五、应用题1. 一个长方形的长为x米，宽为y米，面积为20平方米。
如果长和宽都增加2米，求新的面积，并说明如何使用配方法简化计算。
2. 一个物体从静止开始下落，其下落距离s与时间t的关系为s=1/2gt^2，其中g为重力加速度。
如果物体下落了4秒，求其下落的距离，并使用配方法简化计算。
3. 一个圆的半径为r米，求圆的面积，并说明如何使用配方法将面积公式转化为完全平方公式。
配方法解一元二次方程
(4) y
2
1 2 1 （1） y ____ 4 4 ( y ___) 2
2
它们之间有什么关系?
x
2
p 2 p ( ) 2 px ____ 2 ( x ____) 2
2
对于x +px,再添上一次项系数一 半的平方,就能配出一个含未知数的 一次式的完全平方式.
体现了从特殊到一般的数学思想方法
配方法解一元二次方程
濮阳市实验中学
读诗词解题：
(通过列方程，算出周瑜去世时的年龄。)
大江东去浪淘尽，千古风流数人物。 而立之年督东吴，早逝英年两位数。 十位恰小个位三，个位平方与寿符。 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
解：设个位数字为x，十位数字为x-3 x2=10(x-3)+x 整理得 x2-11x+30=0
(1).x 4
2
x1 2, x2 2 x1 1, x2 1
(2).x 1 0
2 2 2
(3).(x 1) 4 0 x1 3, x2 1 (4).12( x 2) 9 0
3 3 x1 2 , x2 2 2 2
用直接开平方法可解形 如x 2 a(a 0) 或( x h) 2 k ( 0
2
用配方法解一元二次方程的一般步骤及注意问题：
化 1 ：把二次项系数化为1
移项:把常数项移到方程的右边;（变号） 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
读诗词解题：
配 方 法
例题1 解方程： x2+8x-9=0
解：移项得： x2+8x=9
配方法的应用精选题49道
配方法的应用精选题49道一．选择题（共20小题）1．一同学将方程x2﹣4x﹣3＝0化成了（x+m）2＝n的形式，则m、n的值应为（）A．m＝﹣2，n＝7B．m＝2．n＝7C．m＝﹣2，n＝1D．m＝2．n＝﹣7 2．代数式x2﹣4x+5的最小值是（）A．﹣1B．1C．2D．53．若x2+mx+19＝（x﹣5）2﹣n，则m+n的值是（）A．﹣16B．16C．﹣4D．44．若a2+6a+b2﹣4b+13＝0，则a b的值是（）A．8B．﹣8C．9D．﹣95．已知代数式x2﹣4x+7，则（）A．有最小值7B．有最大值3C．有最小值3D．无最大值和最小值6．已知A为多项式，且A＝﹣2x2﹣y2+12x+4y+1，则A有（）A．最大值23B．最小值23C．最大值﹣23D．最小值﹣23 7．关于x、y的多项式x2﹣4xy+5y2+8y+15的最小值为（）A．﹣1B．0C．1D．28．已知：a，b，c满足a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，则a+b+c的值等于（）A．﹣2B．0C．2D．39．用配方法将代数式a2+4a﹣5变形，结果正确的是（）A．（a+2）2﹣1B．（a+2）2﹣5C．（a+2）2+4D．（a+2）2﹣9 10．不论x，y为什么数，代数式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值（）A．总大于7B．总不小于9C．总不小于﹣9D．为任意有理数11．已知，则的值等于（）A．1B．0C．﹣1D．12．已知等腰△ABC中的三边长a，b，c满足2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，则△ABC的周长是（）A．6B．9C．6或9D．无法确定13．对于代数式x2﹣4x+5，通过配方能说明它有最小值为（）A．5B．1C．4D．914．不论a为何实数，代数式a2﹣4a+5的值一定是（）A．正数B．负数C．零D．不能确定15．用配方法将二次三项式x2+4x﹣96变形，结果正确的是（）A．（x+2）2﹣100B．（x﹣2）2﹣100C．（x+2）2﹣92D．（x﹣2）2﹣92 16．将式子x2﹣6x+12化为（x+p）2+q的形式，其结果为（）A．（x+3）2+3B．（x+3）2﹣3C．（x﹣3）2+3D．（x﹣3）2﹣3 17．若x2+ax＝（x+）2+b，则a，b的值为（）A．a＝1，b＝B．a＝1，b＝﹣C．a＝2，b＝D．a＝0，b＝﹣18．实数a，b，c满足4a﹣2b+c＝0，则（）A．b2﹣4ac＞0B．b2﹣4ac≥0C．b2﹣4ac＜0D．b2﹣4ac≤0 19．多项式x2﹣6x+4y2+4y+20的最小值是（）A．20B．17C．10D．020．已知三角形的三条边为a，b，c，且满足a2﹣10a+b2﹣16b+89＝0，则这个三角形的最大边c的取值范围是（）A．c＞8B．5＜c＜8C．8≤c＜13D．5＜c＜13二．填空题（共19小题）21．已知实数m，n满足m﹣n2＝1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于．22．设x，y为实数，代数式5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为．23．代数式x2+8x+5的最小值是．24．已知a﹣b＝2，ab+2b﹣c2+2c＝0，当b≥0，﹣2≤c＜1时，整数a的值是．25．若把代数式x2﹣4x﹣5化成（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k＝．26．已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，则这个等腰三角形的周长为．27．已知x，y为实数，求代数式x2+y2+2x﹣4y+7的最小值．28．已知代数式x2+2x+5可以利用完全平方公式变形为（x+1）2+4，进而可知x2+2x+5的最小值是4．依此方法，代数式y2﹣y+5的最小值是．29．代数式2x2﹣4x+1的最小值为．30．若x2+y2﹣6x﹣4y+13＝0，则xy＝．31．若a，b都是有理数，且a2﹣2ab+2b2+4a+8＝0，则＝．32．已知等腰△ABC的两边分别为a、b，且a、b满足a2+b2﹣6a﹣14b+58＝0，则△ABC 的周长等于．33．代数式2x2+8x+5的最小值是．34．已知x，y是任意有理数，则代数式2x2﹣2xy+y2+4x+1的最小值为．35．若把代数式x2﹣2x﹣2化成（x+m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k＝．36．若x2+mx+9＝（x﹣5）2﹣n，则m+n的值是．37．设实数x，y，z满足x2+y2+z2﹣xy﹣yz﹣zx＝27，则|y﹣z|的最大值为．38．已知代数式x2+2x+5可以利用完全平方公式变形为（x+1）2+4，进而可知x2+2x+5的最小值是4．依此方法，代数式y2﹣6y+10的最小值是．39．已知10x2﹣6xy+y2﹣2x+1＝0，则（x﹣y）2021＝．三．解答题（共10小题）40．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知a2+6ab+10b2+2b+1＝0，求a﹣b的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，求△ABC的周长；（3）已知x+y＝2，xy﹣z2﹣4z＝5，求xyz的值．41．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4∵（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值是4．（1）求代数式m2+m+4的最小值；（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？42．“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：x2﹣4x+5＝（x）2+；（2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值；（3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小．43．阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式x2﹣4x+5的最小值时，利用公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，对式子作如下变形：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，因为（x﹣2）2≥0，所以（x﹣2）2+1≥1，当x＝2时，（x﹣2）2+1＝1，因此（x﹣2）2+1有最小值1，即x2﹣4x+5的最小值为1．通过阅读，解下列问题：（1）代数式x2+6x+12的最小值为；（2）求代数式﹣x2+2x+9的最大或最小值；（3）试比较代数式3x2﹣2x与2x2+3x﹣7的大小，并说明理由．44．有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16，如图．例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：（1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；（2）从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．45．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时，∵，∴，当且仅当a＝b时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）当x＞0时，的最小值为；当x＜0时，的最大值为．（2）当x＞0时，求的最小值．（3）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．46．阅读下面的材料：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式a2﹣2a+5的最小值．方法如下：∵a2﹣2a+5＝a2﹣2a+1+4＝（a﹣1）2+4，由（a﹣1）2≥0，得（a﹣1）2+4≥4；∴代数式a2﹣2a+5的最小值是4．（1）仿照上述方法求代数式x2+10x+7的最小值；（2）代数式﹣a2﹣8a+16有最大值还是最小值？请用配方法求出这个最值．47．何老师安排喜欢探究问题的小明解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．例：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：因为m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0所以m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0所以（m+n）2+（n﹣3）2＝0所以m+n＝0，n﹣3＝0所以m＝﹣3，n＝3为什么要对2n2进行了拆项呢？聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．解决问题：（1）若x2﹣4xy+5y2+2y+1＝0，求x y的值；（2）已知a，b满足a2+b2＝10a+12b﹣61，求2a+b的值．48．阅读材料：用均值不等式求最值．已知x、y为非负实数，∵x+y﹣2＝（）2+（）2﹣2＝（﹣）2≥0，∴x+y≥2，当且仅当“x＝y”时，等号成立．我们把不等式x+y≥2（x≥0，y≥0）叫做均值不等式，利用均值不等式可以求一些函数的最值．例：已知x＞0，求函数y＝2x+的最小值．解：y＝2x+≥2＝4，当且仅当2x＝，即x＝1时，“＝”成立．∴当x＝1时，函数有最小值y＝4根据以上材料，解决下列问题：（1）当x＞0时，求函数y＝x++1的最小值；（2）若函数y＝4x+（x＞0，a＞0），当且仅当x＝3时取得最小值，求实数a的值．49．如果x2﹣10x+y2﹣16y+89＝0，求的值．。
（完整版）配方法解一元二次方程练习题及答案
（完整版）配方法解一元二次方程练习题及答案配方法解一元二次方程练习题及答案1 ．用适当的数填空：①、x22；③、x2=2；④、x2－9x+ =22 ．将二次三项式2x2-3x-5 进行配方，其结果为3 ．已知4x2-ax+1 可变为 2 的形式，则ab= ______________ ．4 ．将一元二次方程x2-2x-4=0 用配方法化成2=b 的形式为，5 ．若x2+6x+m2 是一个完全平方式，则m的值是A ．B．- C ．±3D．以上都不对6 ．用配方法将二次三项式a2-4a+5 变形，结果是A ．2+1B．2-1C．2+1D．2-17 ．把方程x+3=4x 配方，得A ．2=7B．2=21 C．2=1D．2=28 ．用配方法解方程x2+4x=10 的根为A ． 2± B．-2C．D．9 ．不论x、y 为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7 的值A ．总不小于B．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数10 ．用配方法解下列方程：3x2-5x=2 ．x2+8x=9 x2+12x-15=01x2-x-4=0 所以方程的根为?11. 用配方法求解下列问题求2x2-7x+2 的最小值；求-3x2+5x+1 的最大值。
一元二次方程解法练习题一、用直接开平方法解下列一元二次方程。
21 、4x?1?0、?、?x?1??、81?x?2??1622二、用配方法解下列一元二次方程。
1 、.y2?6y?6?0 、3x2?2?4x 、x2?4x?964 、x2?4x?5?05 、2x2?3x?1?0 、3x2?2x?7?07 、?4x2?8x?1?0 、x2?2mx?n2?09、x2?2mx?m2?0?m?0?三、用公式解法解下列方程。
32y 、3y2?1?2y1 、x2?2x?8?0 、4y?1?4 、2x2?5x?1?0 、?4x2?8x??16、2x2?3x?2?08εθeεe×?2×' Ze9 ?乙U乙乙9乙X乙X ' 17C"乙乙乙说"、Le 0=9+2×ε'82OdLdXZ?2×9' 920?0C?×2?2×2 P o=2k×l7+×'￡ 0乙乙陀乙q乙X陀乙乙X ' 乙况LL0?2e×6?2×ε ' L OaC×cZ× '00乙q乙X乙乙Xe ^IZCaCKCCZCKC^ZLOd2θeθe×?2× '和乙q乙陀乙X￡2乙乙q<izx< bdsfid="110" p=""></izx<>' PIoCQZCZac×Zc ' 2L 乙比X乙￡乙乙乂X乙X17 '0?θC?×?2×ε '6L9C?×εLC?2× ' 9L乙帥乙乙q乙X%乙乙X、CL兀乙比心乙说心' OL 0?0C?×Z?2×、60“％"￡ '0乙说乙比X* ' L OCCzC×c×ccZc×cP ccZc×ccZc×c ' OdOLd×Ze2× ' 陀0乙9〃乙乙X ε×9eεe×2 Zc9c×c×ccU×c×Z ' 比o SW~3r-≡±?IW≡?^宙、荘OCZC Oc×cZ× 9凸说乙17 ' P0?8e×9?2× ' OCZCZ ' X乙乙乙X ' Lo畐卑盪二卫一陋丄搦滚搦岳芒厘宙'H26 、5x2?8x??1 7、x2?2mx?3nx?3m2?mn?2n2?、0 ?22x30 、3x2?4x?1 、x2?4?5x3 、2x2?5x?4?0 、2x2?2x?30?06 、x2+4x-12=0 、x2?x?139 、3y2?1?2y 解一元二次方程配方法练习题1 ．用适当的数填空：①、x2=2；③、x22；④、x2－9x+ =22 ．将二次三项式2x2-3x-5 进行配方，其结果为3 ．已知4x2-ax+1 可变为 2 的形式，则ab= _______________ ．4 ．将一元二次方程x2-2x-4=0 用配方法化成2=b 的形式为，以方程的根为 ____________ ．5 ．若x2+6x+m2 是一个完全平方式，则m的值是A ．B．- C ．±3D．以上都不对6 ．用配方法将二次三项式a2-4a+5 变形，结果是A ．2+1B．2-1C．2+1D．2-17 ．把方程x+3=4x 配方，得A ．2=7B．2=21 C．2=1D．2=28 ．用配方法解方程x2+4x=10 的根为A ． 2± B．-2D ．9 ．不论x、y 为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7 的值A ．总不小于B．总不小于7C ．可为任何实数D ．可能为负数10 ．用配方法解下列方程：3x2-5x=2 ．x2+8x=9x2+12x-15=0 1x2-x-4=0所?11. 用配方法求解下列问题求2x2-7x+2 的最小值；求-3x2+5x+1 的最大值。
人教版九年级数学上册《配方法的应用》专项练习题-附带答案
人教版九年级数学上册《配方法的应用》专项练习题-附带答案类型一 配方法求字母的值1．如果221016890x y x y +--+= 求x y的值． 【答案】58 【解析】【分析】先将89拆成64+25 然后配成两个完全平方式相加 再根据非负数的性质“两个非负数相加和为0 这两个非负数的值都为0” 解出x 、y 的值即可求解．【详解】解：由已知221016890x y x y +--+=得()()22580x y -+-=()()225=080x y ∴--=， 5,8x y ∴==58x y ∴=． 【点睛】本题考查了配方法的应用和非负数的性质 解题关键是掌握两个非负数相加和为0 这两个非负数的值都为0．2．阅读下列材料：对于某些二次三项式可以采用“配方法”来分解因式 例如：把x 2 + 6x ﹣16分解因式 我们可以这样进行：x 2 + 6x ﹣16=x 2 +2·x ·3+32-32﹣16（加上32 再减去32）=(x +3)2-52（运用完全平方公式）=(x +3+5)(x +3﹣5) （运用平方差公式）=(x +8)(x ﹣2)（化简）运用此方法解决下列问题：（1）把x 2﹣8x ﹣9分解因式．（2）已知：a 2+b 2﹣6a +10b +34＝0 求多项式4a 2 +12ab +9b 2的值．【答案】（1）()()19x x +-；（2）81【解析】【分析】（1）按照阅读材料的方法进行因式分解即可；（2）利用配方法把原式变形得()()22350a b -++= 从而可得3a =5b =- 再由()222412923a ab b a b ++=+ 进行求解即可． 【详解】解：（1）289x x --22224449x x =-⋅⋅+--()2245x =--()()4545x x =-+--()()19x x =+-；（2）∵22610340a b a b +-++=∵226910250a a b b -++++=∵()()22350a b -++=∵3a = 5b =-∵()()222241292361581a ab b a b ++=+=-=．【点睛】本题考查的是配方法的应用 掌握完全平方公式和平方差公式、偶次方的非负性是解题的关键．3．已知a －b ＝2 ab ＋2b －c 2＋2c ＝0 当b ≥0 －2≤c ＜1时 整数a 的值是_____．【答案】2或3【解析】【分析】由a −b ＝2 得出a ＝b ＋2 进一步代入2220ab b c c +-+= 利用完全平方公式得到()()222130b c +---= 再根据已知条件求出b 的值 进一步求得a 的值即可． 【详解】解：∵a −b ＝2∵a ＝b ＋2∵222ab b c c +-+()2222b b b c c =++-+()2242b b c c =+--()()22213b c =+---＝0∵()()22213b c +=-+∵b ≥0 −2≤c ＜1∵310c -≤-<∵()2019c <-≤∵()231312c <-+≤∵3＜()22b +≤12∵a 是整数∵b 是整数∵b ＝0或1∵a ＝2或3故答案为：2或3．【点睛】此题考查配方法的运用 掌握完全平方公式是解决问题的关键．4．若a ＝x ＋19 b ＝x ＋20 c ＝x ＋21 则a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac ＝___________．【答案】3【解析】【分析】先利用已知条件求解,,,a b b c a c 再把原式化为()()()22212a b b c a c ⎡⎤-+-+-⎣⎦ 再整体代入求值即可. 【详解】 解： a ＝x ＋19 b ＝x ＋20 c ＝x ＋211,1,2,a b b c a c∴ a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac ＝()22222221222a b c ab bc ac ++--- 22222212222a ab b b bc c a ac c 22212a b b c a c 222111126322故答案为：3【点睛】本题考查的是利用完全平方式的特点求解代数式的值 因式分解的应用 掌握“完全平方式的特点”是解题的关键.5．阅读材料：若m 2+2mn +2n 2﹣6n +9＝0 求m 和n 的值．解：∵m 2+2mn +2n 2﹣6n +9＝0∵m 2+2mn +n 2+n 2﹣6n +9＝0∵（m +n ）2+（n ﹣3）2＝0∵m +n ＝0且n ﹣3＝0∵m ＝﹣3 n ＝3根据你的观察 探究下面的问题：（1）若x 2+2xy +2y 2﹣2y +1＝0 求x 、y 的值；（2）已知a b c 是∵ABC 的三边长 满足a 2+b 2＝10a +12b ﹣61 且∵ABC 是等腰三角形 求c 的值．【答案】（1）x =-1 y =1；（2）5或6【解析】【分析】（1）仿照材料的过程进行凑成两个非负数的和为0 即可求得结果；（2）仿照材料的过程进行凑成两个非负数的和为0 即可分别求得a和b的值再根据等腰三角形的性质可求得c的值．【详解】（1）∵x2+2xy+2y2﹣2y+1＝0∵x2+2xy+y2+y2﹣2y+1＝0∵（x+y）2+（y﹣1）2＝0∵x+y＝0且y﹣1＝0∵x＝﹣1 y＝1（2）∵a2+b2＝10a+12b﹣61∵a2+b2－10a－12b＋61＝0∵（a－5）2+（b﹣6）2＝0∵a－5＝0且ｂ﹣6＝0∵a＝5 b＝6∵∵ABC是等腰三角形∵c=a=5或c=b=6即c的值为5或6.【点睛】本题是材料问题考查了配方法的应用平方非负性的性质等腰三角形的性质等知识关键是读懂材料中提供的解题过程和方法．6．在平面直角坐标系xOy中满足不等式x2+y2≤2x+2y的整数点坐标(x y)的个数为_____．【答案】9【解析】【分析】由已知不等式变形后利用完全平方公式化简根据x与y均为整数确定出x与y的值即可得到结果．【详解】解：由题设x2+y2≤2x+2y得0≤（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2因为x y 均为整数 所以有或22(1)0(1)1x y ⎧-=⎨-=⎩或22(1)1(1)1x y ⎧-=⎨-=⎩或22(1)1(1)0x y ⎧-=⎨-=⎩ 解得：11x y =⎧⎨=⎩ 或12x y =⎧⎨=⎩或10x y =⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=⎩或00x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩或20x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=⎩ 以上共计9对（x y ）．故答案为：9．【点睛】本题考查坐标与图形的性质、配方法的应用、非负数的性质等知识 是重要考点 掌握相关知识是解题关键．7．阅读下面的材料：若22228160m mn n n -+-+= 求m n 的值．解：22228160m mn n n -+-+=．()()22228160m mn n n n ∴-++-+=．22()(4)0m n n ∴-+-=． 2()0m n ∴-= 2(4)0n -=．4n ∴= 4m =．根据你的观察 探究下列问题：（1）已知等腰三角形ABC 的两边长a b 都是正整数 且满足221012610a b a b +--+= 求ABC 的周长；（2）已知6a b -= 216730ab c c +-+= 求a b c ++的值．【答案】（1）ABC 的周长为16或17；（2）8a b c ++=【解析】【分析】（1）根据题中所给方法把221012610a b a b +--+=进行配方求解a 、b 的值 然后根据等腰三角形的定义及三角形三边关系进行分类求解即可；（2）由6a b -=可知6b a =- 然后代入等式可得()2616730a a c c -+-+= 进而根据配方即可求解．【详解】解：（1）∵221012610a b a b +--+=∵22102512360a a b b -++-+=∵()()22560a b -+-=∵50,60a b -=-=∵5,6a b ==∵等腰三角形ABC 的两边长a b 都是正整数∵当5a =为腰 则6b =为底 满足三角形三边关系 故ABC 的周长为5+5+6=16；当6b =为腰 则5a =为底 满足三角形三边关系 故ABC 的周长为5+6+6=17；（2）∵6a b -=∵6b a =-∵()221673616730ab c c a a c c +-+=-+-+=226916640a a c c -++-+=()()22380a c -+-=∵30,80a c -=-=∵3,8a c ==∵363b =-=-∵8a b c ++=．【点睛】本题主要考查配方法的应用 熟练掌握完全平方公式是解题的关键．类型二 配方法求最值8．已知y =x y 均为实数） 则y 的最大值是______．【答案】【解析】【分析】将根据题意0y ≥ 14x ≤≤ 原式y = 可得248y ≤≤故2y ≤≤进而即可求得最大值.【详解】解：0y ≥ 15x ≤≤ 244y =+=+248y ∴≤≤．0y ≥2y ∴≤≤∴y的最大值为故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的求值问题 配方法的应用 解本题的关键是通过y 2为媒介求得y 的取值范围从而找出最大最小值.9．已知实数m n 满足21m n -= 则代数式22242m n m ++-的最小值等于___________．【答案】3【解析】【分析】由21m n -=可得21,n m 再代入22242m n m ++- 再利用配方法配方 从而可得答案.【详解】 解： 21m n -=21,n m ()222242=2142m n m m m m ∴++-+-+-264m m()23133,m =+-≥ 所以22242m n m ++-的最小值是3故答案为：3【点睛】本题考查的是代数式的最值 配方法的应用 熟练的运用配方法求解代数式的最值是解本题的关键. 10．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式 此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙 即三角形的三边长分别为a b c 记2a b c p ++= 则其面积S =这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若3p = 2c = 则此三角形面积的最大值是_________．【解析】【分析】根据公式算出a +b 的值 代入公式 根据完全平方公式的变形即可求出解．【详解】解：∵2a b c p ++=p =3 c =2 ∵232a b ++= ∵a +b =4∵a =4−b∵S∵当b =2时 S【点睛】本题考查了二次根式与完全平方公式的应用 解答本题的关键是明确题意 表示出相应的三角形的面积．二、解答题(共0分)11．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段 得到局部完全平方式 再进行有关运算和解题 这种解题方法叫做配方法．如：对于268a a ++．(1)用配方法因式分解：223x x +-；(2)对于代数式2128x x - 有最大值还是最小值？并求出2128x x-的最大值或最小值．【答案】(1)()()31x x +-(2)代数式2128x x -有最大值 最大值为18- 【解析】【分析】（1）先用配方法 再用平方差公式分解即可；（2）先利用配方法变形 根据偶次方的非负性可知最小值 继而即可求得2128x x-的最大值． (1)223x x +-2214x x =++- ()214x =+- ()()1212x x =+++-()()31x x =+-；(2)∵228x x -()224x x =-()22444x x =-+-()2224x ⎡⎤=--⎣⎦()2228x =--∵当2x =时 ()2228x --即228x x -有最小值-8∵代数式2128x x -有最大值 最大值为18-． 【点睛】本题考查配方法在因式分解中的应用及代数式求值 解题的关键是熟练掌握配方法． 12．阅读下面的解答过程 求y 2＋4y ＋5的最小值．解：y 2＋4y ＋5＝y 2＋4y ＋4＋1＝（y ＋2）2＋1∵（y ＋2）2≥0 即（y ＋2）2的最小值为0∵y2＋4y＋5＝（y＋2）2＋1≥1∵y2＋4y＋5的最小值为1仿照上面的解答过程求：（1）m2﹣2m＋2的最小值；（2）3﹣x2＋2x的最大值．【答案】（1）1；（2）4【解析】【分析】（1）利用完全平方公式把原式变形根据偶次方的非负性解答即可．（2）利用完全平方公式把原式变形根据偶次方的非负性解答即可．【详解】解：（1）m2﹣2m＋2=m2-2m+1+1=（m-1）2+1∵（m-1）2≥0∵（m-1）2+1≥1 即m2﹣2m＋2的最小值为1；（2）3-x2+2x=-x2+2x+3=-（x2-2x+1）+4=-（x-1）2+4∵（x-1）2≥0∵-（x-1）2≤0∵-（x-1）2+4≤4 即3-x2+2x的最大值为4．【点睛】本题考查的是配方法的应用掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．13．配方法可以用来解一元二次方程还可以用它来解决很多问题．例如：求﹣3（a+1）2+6的最值．解：∵﹣3（a+1）2≤0 ∵﹣3（a+1）2+6≤6 ∵﹣3（a+1）2+6有最大值6 此时a＝﹣1．(1)当x＝时代数式2（x﹣1）2+3有最（填写大或小）值为．(2)当x＝时代数式﹣x2+4x+3有最（填写大或小）值为．(3)如图矩形花园的一面靠墙另外三面的栅栏所围成的总长度是16m 当垂直于墙的一边长为多少时花园的面积最大？最大面积是多少？【答案】(1)1 小3(2)2 大7(3)当垂直于墙的一边长为4米时花园有最大面积为32【解析】【分析】（1）先根据平方的性质求出代数式的取值范围再进行分析计算即可；（2）先配方把多项式变成完全平方形式再进行分析计算；（3）根据总长为16m 构造方程求解即可．(1)解：∵2（x﹣1）2≥0∵2（x﹣1）2+3≥3∵当x＝1时代数式有最小值为3．故答案为：1 小3．(2)解：﹣x2+4x+3＝﹣（x2﹣4x）+3＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）+3＝﹣（x﹣2）2+7∵﹣（x﹣2）2≤0∵﹣（x﹣2）2+7≤7∵当x＝2时代数式有最大值为7．故答案为：2 大7．(3)解：设垂直于墙的一边长为x m 则平行于墙的一边长为（16﹣2x）m花园的面积为x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x2﹣8x）＝﹣2（x2﹣8x+16﹣16）＝﹣2（x﹣4）2+32∵﹣2（x﹣4）2≤0∵﹣2（x﹣4）2+32≤32∵当x＝4时代数式有最大值为32即当垂直于墙的一边长为4米时花园有最大面积为32．【点睛】本题主要考查配方法的实际运用解题的关键在于通过配方法把代数式化成完全平方式再进行分析．类型三配方法在几何图形中的应用14．如图∵ABC＝90° AC＝6 以AB为边长向外作等边∵ABM连CM则CM的最大值为________________．【答案】3##3+【解析】【分析】过点M作MD∵BC交BC的延长线于点D设AB＝x利用勾股定理表示出BC利用解直角三角形表示出MD BD再利用勾股定理求得CM的长根据配方法利用非负数的性质即可得到CM的最大值．【详解】如图 过点M 作MD ∵BC 交BC 的延长线于点D设AB ＝x 则BC∵∵ABM 是等边三角形∵BM ＝AB ＝x ∵ABM ＝60°∵∵ABC ＝90°∵∵MBD ＝30°∵MD ∵BC1122MD BM x ∴==BD x ==在Rt∵MDC 中CM =∵当x 2＝18时 CM369723+∵CM 的最大值为：3．故答案为：3．【点睛】本题考查勾股定理以及配方法 掌握配方法求出最值是解题的关键．15．已知点P 的坐标为（2 3） A 、B 分别是x 轴、y 轴上的动点 且90APB ∠=︒C 为AB 的中点 当OC 最小时则点B 的坐标为____．【答案】(0,3)【解析】【分析】利用中点坐标公式将C 点坐标表示出来后 运用勾股定理222AP PB AB +=得到y 与x 的关系式再将OC 的长度用含有y 的式子表示出来 利用配方法即可求出当OC 最小时点B 的坐标．【详解】解：设A 点坐标为(,0)x B 点坐标为(0,)y 则中点C 点坐标为(,)22x y；∵90APB ∠=︒∵222AP PB AB +=∵2222(2)94(3)x y x y -+++-=+化简得：2313x y +=1332yx -=∵12OC ==将1332yx -=代入上式得：12OC =变形得：OC∵当3y =时 OC 最小 此时B 点坐标为(0,3)．故答案为(0,3)．【点睛】本题主要考查运用配方法求解动点问题 正确理解题意、熟练掌握相关知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键 属于综合类问题．16．已知：如图 在Rt ABC 中 90B ∠=︒ 8cm AB BC ==．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动 同时点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以1cm/s 的速度移动．（1）求几秒后 PBQ △的面积等于26cm（2）求几秒后 PQ 的长度等于？（3）求几秒后 PQ 的长度能取得最小值 其最小值为多少cm ？【答案】（1）2秒或6秒；（2）1秒或7秒；（3）4 【解析】【分析】（1）设运动时间为x 秒 则8PB x =- PQ x = 根据三角形面积公式列出方程即可；（2）设运动时间为y 秒 则8PB y =- PQ y = 根据勾股定理列出方程即可；（3）设运动时间为t 秒 则8PB t =- PQ t = 根据勾股定理列出2PQ 的式子 根据配方法即可求得最小值；【详解】（1）设运动时间为x 秒 则8PB x =- PQ x = 根据题意得：()1862x x -= 解得122,6x x ==答：2秒或6秒后 PBQ △的面积等于26cm（2）设运动时间为y 秒 则8PB y =- PQ y =90B ∠=︒在Rt PQC 中222PQ PB BQ =+(()2228y y =-+ 解得121,7y y ==答：1秒或7秒后 PQ 的长度等于（3）设运动时间为t 秒 则8PB t =- PQ t =90B ∠=︒在Rt PQC 中222PQ PB BQ =+22(8)t t =-+221664t t =-+22(816)32t t =-++22(4)32t =-+32≥∴当4t =时 取得最小值为PQ ==即4秒后 PQ 取得最小值 最小值为【点睛】本题考查了一元二次方程的应用 配方法的应用 根据题意列出方程是解题的关键．17．配方法在初中数学中运用非常广泛 可以求值 因式分解 求最值等．如：求代数式的最值：2222(1)1x x x 在1x =-时 取最小值1（1）求代数式24x x -的最小值．（2）2245x x --+有最大还最小值 求出其最值．（3）求221x x +的最小值．（4）22614a b ab b ++-+的最小值．（5）三角ABE 和三角形DEC 的面积分别为4和9 求四边形ABCD 的面积最小值．【答案】（1）-4；（2）有最大值 且为7；（3）2；（4）2；（5）25【解析】【分析】（1）（2）（3）（4）利用配方法变形 可得最值；（5）设S △BEC =x 由等高三角形可知：S △BEC ：S △CED =S △AEB ：S △AED从而可得S △AED =36x再将四边形ABCD 的面积变形得到21312++ 可得结果．【详解】解：（1）()222444424x x x x x -=-+-=--∵在x =2时 有最小值-4；（2）2245x x --+=()2225x x -++=()222115x x -++-+=()2217x -++∵当x =-1时 有最大值 且为7；（3）221x x +=2221x x ⎛⎫⎪⎭+-≥⎝∵当x =1时 221x x +的最小值为2；（4）22614a b ab b ++-+ =22213612244a ab b b b +++-++ =()22134224a b b ⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭当a =-2 b =4时 代数式有最小值2；（5）设S △BEC =x 已知S △AEB =4 S △CED =9则由等高三角形可知：S △BEC ：S △CED =S △AEB ：S △AED∵x ：9=4：S △AED∵S△AED=36 x∵四边形ABCD面积=4+9+x+36x=21312++∵当x=36时四边形ABCD面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用．对不能直接应用公式的需要正确变形才可以应用本题中等难度略大．。
江苏省南京市迈皋桥初级中学2024-2025学年九年级上学期第一次学情调研数学练习卷
江苏省南京市迈皋桥初级中学2024-2025学年九年级上学期第一次学情调研数学练习卷一、单选题1．用配方法解方程2430x x -+=，下列变形正确的是（ ）A ．()227x -=-B ．()221x +=C ．()221x +=-D ．()221x -= 2．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 、CD 、DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，则∠BCD ＝（ ）A ．105°B ．120°C ．135°D ．150°3．若关于x 的方程220x mx -=＋有一个根是1，则m 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．3-4．关于x 的一元二次方程220x kx +-=（k 为实数）根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．不能确定5．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（ ）A ．120°B ．135°C ．150°D ．165°6．如图，AB 是O e 的弦，点C 是优弧AB 上的动点（C 不与A 、B 重合），CH AB ⊥，垂足为H ，点M 是BC 的中点．若O e 的半径是3，则MH 长的最大值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题7．方程2x x =的解是．8．如图，AB 是⊙O 的直径，∠C=20°，则∠BOC 的度数是．9．设1x ，2x 是一元二次方程2210x x --=的两个根，则1212x x x x +-=．10．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度16AB =米，拱高4CD =米，那么桥拱所在圆的半径OA =米．11．若关于x 的一元二次方程220x x m ++=没有实数根，则m 的取值范围是．12．如图，AB 为O e 的直径，C 是BA 延长线上一点，点D 在O e 上，且CD OA =，CD 的延长线交O e 于点E ，若23C ∠=︒，则EOB ∠的度数为．13．若关于x 的一元二次方程280x x m -+=两根为1x 、2x ，且123x x =，则m 的值为．14．已知O e 的半径为5，弦8AB =，则O e 上到弦AB 所在直线的距离等于1的点有个． 15．如图，AB ，CD 是半径为5的O e 的两条弦，8AB =，6CD =，MN 是直径，AB MN ⊥于点E ，CD MN ⊥于点F ，P 为EF 上的任意一点，则PA PC +的最小值为．16．已知⊙O 的直径为10cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，//AB CD ，8cm AB =，6cm CD =，则AB 与CD 之间的距离为cm ．三、解答题17．解方程：(1)2240x x +-=；(2)()311x x x +=+．18．某学校2021年底的绿化面积为2500平方米，预计到2023年底增加到3600平方米，若这两年的平均增长率相同．(1)求这两年的平均增长率．(2)如果按（1）的年平均增长率计算，预计2024年的绿化面积是多少．19．如图所示，在四边形ABCD ，∠B=∠D=90°，求证：A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上．20．已知关于x 的方程2x －（k ＋2）x ＋2k ＝0（1）说明：无论k 取何值，方程总有实数根；（2）若方程有两个相等的实数根，求出方程的根.21．如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为19m ，墙对面有一个2m 宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长34m ，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙．若要围成养鸡场的面积为2160m ，则养鸡场的长和宽各为多少m ？22．已知关于x 的一元二次方程2320x x k ++-=有实数根．(1)求实数k 的取值范围．(2)设方程的两个实数根分别为12,x x ，若()()12111x x ++=-，求k 的值．23．宁波桌童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，若每件童装降价，2元，则平均可多售出4件．设每件童装降价x 元；（1）每天可销售___件，每件盈利___元；（用含x 的代数式表示）（2）求每件童装降价多少元时，平均每天可赢利1200元．（3）若店长希望平均每天能赢利2000元，这个愿望能实现吗？请说明理由．24．如图，在ABC V 中，AB AC =，点D 、E 在BC 上，BD CE =，过A ，D ，E 三点作O e ，连接AO 并延长，交BC 于点F ．(1)求证：AF BC ⊥；(2)若15183AB BC BD ===，，，求O e 的半径长．25．如图，AB 是O e 的直径，BC ，CD ，DA 是O e 的弦，且AD BC =，求证：AB CD ∥．26．用无刻度直尺与圆规作图：用两种不同的方法作圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹．）27．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=满足0a b c ++=，那么称这样的方程为“美好方程”．例如，方程2430x x -+=，1430-+=，则这个方程就是“美好方程”．(1)下列方程是“美好方程”的是；①2230x x +-= ②230x x -= ③210x += ④()()121x x x =--(2)求证：“美好方程”20ax bx c ++=总有两个实数根；(3)若美好方程()()()20b c x c a x a b -+-+-=有两个相等的实数根，求证：2a c b +=．。
配方法练习题带过程
配方法练习题带过程1.完成下面的解题过程：解方程：2x2-8=0；解：原方程化成. 开平方得，x1=，x2=.解方程：32-6=0.解：原方程化成 .开平方得，x1=，x2=.2.完成下面的解题过程：解方程：9x2+6x+1=4；解：原方程化成. 开平方得。
x1=，x2=3.填空：x2+2·x·2+=2； x2-2·x·6+=2；x2+10x+=2；x2-8x+=2.4.完成下面的解题过程：解方程：x2-8x+1=0；解：移项，得. 配方得，开平方得，x1=，x2=.5.完成下面的解题过程：解方程：x2+4x-12=0.解：移项，得 . 配方，得 .开平方得， x1=，x2=.6.填空：x2-2·x·3+=2；x2+2·x·4+=2；x2-4x+=2；x2+14x+=2.8.用配方法解方程：x2-6x+7=0.9.完成下面的解题过程：用配方法解方程：3x2+6x+2=0.解：移项，得 . 二次项系数化为1，得 . 配方，开平方，得， x1= ,x2= .10用配方法解方程：3x2+6x－4=0.解：移项，得 . 二次项系数化为1，得 . 配方，开平方，得， x1= ,x2= .5.用配方法解方程：9x2-6x-8=0..2.完成下面的解题过程：用配方法解方程：2=4x+9.解：整理，得 .移项，得 . 二次项系数化为1，得 .配方，开平方，得，x1= ,x2= .20132014学年槟榔中学九年级上学期22.2.1配方法 1、配方法的步骤，先等式两边同除___________，再将含有未知数的项移到等号左边，将__________移到等号右边，等式两边同加____________________________，使等式左边配成完全平方，即2?n的形式，再利用直接开平方法求解。
若n＜0，则方程________。
2、将下列各式进行配方x2?10x?___? x2?8x?___?2x2?3x?___? x2?mx?___?2x2?6x?1?2?x2?8x?1?2?x?21x?1?2?3、当x?_____时，代数式x2?2x?3有最______值，这个值是________57x?的左边配成完全平方式，则方程两边都应加上2 52752A. B. C.D. 244、若要使方程x?25、用配方法解下列方程x?2x?2?0x?6x?8?0x?3x?1?0x?8x?124x?4x?1?0x?x?3?0222223x2?4?6x221y?y?2?03*x2?2x?n2?0*x2?2ax?b2?a2※6、试说明：对任意的实数m，关于x的方程x2?2x?1?0一定是一元二次方程。
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21.2.2配方法解一元二次方程（1）
教学目标
1、理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．
2、通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．
重点：讲清“直接降次有困难”，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．难点：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．
【课前预习】
导学过程
阅读教材部分，完成以下问题
解下列方程
（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9
填空：
（1）x2+6x+______=（x+______）2；（2）x2-x+_____=（x-_____）2
（3）4x2+4x+_____=（2x+______）2．（4）x2-x+_____=（x-_____）2
问题：要使一块长方形场地的长比宽多6cm，并且面积为16cm2,场地的长和宽应各是多少？
思考？
1、以上解法中，为什么在方程x 2+6x=16两边加9？加其他数行吗？
2、什么叫配方法？
3、配方法的目的是什么？ 这也是配方法的基本
4、配方法的关键是什么？ 用配方法解下列关于x 的方程
（1）2x 2-4x-8=0 （2）x 2-4x+2=0 （3）x 2-21x-1=0 （4）2x 2+2=5
总结：用配方法解一元二次方程的步骤：
【课堂活动】
活动1、预习反馈
活动2、例习题分析 例1用配方法解下列关于x 的方程：
（1）x 2-8x+1=0 （2）2x 2+1=3x （3）3x 2-6x+4=0
【课堂练习】：
活动3、知识运用
1. 填空：
（1）x 2+10x+______=（x+______）2；（2）x 2-12x+_____=（x-_____）2
（3）x 2+5x+_____=（x+______）2．（4）x 2-3
2x+_____=（x-_____）2 2．用配方法解下列关于x 的方程
（1） x 2-36x+70=0． （2）x 2+2x-35=0 （3）2x 2-4x-1=0
（4）x 2-8x+7=0 （5）x 2+4x+1=0 （6）x 2+6x+5=0
（7）2x 2+6x-2=0 （8）9y 2-18y-4=0 （9）x 2x
归纳小结：用配方法解一元二次方程的步骤：
【课后巩固】
一、选择题
1．将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ）．
A ．（x-2）2+3
B ．（x-2）2-3
C ．（x+2）2+3
D ．（x+2）2-3
2．已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）．
A ．x 2-8x+（-4）2=31
B ．x 2-8x+（-4）2=1
C ．x 2+8x+42=1
D ．x 2-4x+4=-11
3．如果m x 2+2（3-2m ）x+3m-2=0（m ≠0）的左边是一个关于x 的完全平方式，
则m 等于（ ）．
A ．1
B ．-1
C ．1或9
D ．-1或9
二、填空题
1．（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2
（3）x 2+px+_____=（x+______）2．
2、方程x 2+4x-5=0的解是________． 3．代数式2
221x x x ---的值为0，则x 的值为________． 三、计算：
（1）x 2+10x+16=0 （2）x 2-x-4
3=0
（3）3x 2+6x-5=0 （4）4x 2-x-9=0
四、综合提高题
1．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．
2．如果x 2-4x+y 2+13=0，求（xy ）z 的值．。