参考文献：蚂蚁追击问题
韩国高考题蚂蚁沿圆锥爬行的最短距离下降的路程
韩国高考题蚂蚁沿圆锥爬行的最短距离下降的路程文章标题：解密韩国高考题：蚂蚁沿圆锥爬行的最短距离下降的路程在日常生活中，我们经常会遇到各种各样的数学难题，有些甚至变成了热门话题。
近期，韩国一道高考题引起了广泛讨论。
这道题涉及到蚂蚁沿圆锥爬行的最短距离下降的路程，这种微妙的问题一下子迷住了很多人。
本文将着重解析这一高考题，通过从浅入深的方式进行全面评估，帮助读者深刻理解蚂蚁沿圆锥爬行的最短距离下降的路程，并探讨其背后的数学思想。
1.问题背景让我们来了解一下题目的背景。
在这道韩国高考题中，描述了一个蚂蚁沿着内半径为1的圆锥表面向下爬行的情景。
题目要求计算蚂蚁沿着圆锥表面移动的最短距离。
2. 圆锥与直角三角形解答这道问题时，我们需要先理解圆锥与直角三角形之间的关系。
根据数学知识，我们可以将圆锥展开成一个扇形，然后将扇形切分成许多个直角三角形，这样就为我们解决问题提供了方便。
3. 蚂蚁移动的路径下一步，让我们来分析蚂蚁的移动路径。
由于蚂蚁沿着圆锥表面向下爬行，我们可以推断出蚂蚁的移动路径是沿着圆锥表面的一条直线。
这个直线与圆锥的母线（从圆锥顶点到圆锥底部中心的线段）正好构成一个直角三角形。
4. 计算最短距离接下来，我们需要计算蚂蚁沿着圆锥表面移动的最短距离。
利用直角三角形的性质，我们可以借助勾股定理进行计算。
通过推导并应用勾股定理，我们最终可以得到蚂蚁沿着圆锥表面移动的最短距离。
5. 深入讨论除了纯粹的数学计算外，我们还可以深入探讨蚂蚁沿圆锥爬行的最短距离下降的路程背后的数学思想。
这涉及到微分几何、最小路径问题等数学概念。
我们可以通过微积分的方法，推导并证明蚂蚁移动的最短距离。
这样的讨论不仅可以加深对问题本身的理解，也可以开拓数学思维，拓展数学的应用领域。
6. 个人观点与总结我们可以从这道韩国高考题中看出，数学问题往往并不只是简单的计算，更是需要深入思考和探索。
通过解析这个问题，我们可以更好地理解直角三角形的性质，掌握勾股定理的应用，并且在深入探讨的过程中，还能进一步拓展数学思维。
例谈蚂蚁爬行路线问题
例谈“蚂蚁爬行路线”问题杭州文澜中学章燕《数学课程标准》中提出数学探究活动已成为贯穿整个初中数学的重要课程。
而数学变式教学能帮助学生养成类比推理的思维能力，利用“变式教学”和“变式训练”，通过对数学问题多角度、多方位、多层次的讨论和思考，可以展示数学知识发生、发展以及应用的过程，有意识、有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，使所有知识点融汇贯通，促进学生更快地理解知识的本质、深层次挖掘知识要点。
“蚂蚁爬行路线”问题是一类重要的几何方案设计题，它经常出现在学生的练习和测试中，所以在初三复习课时有目的地系统的对这一类问题归类复习。
一、正方体如图，已知立方体的棱长为1cm,一只蚂蚁从点A沿立方体表面爬到点C，试求它爬行的最短距离是多少？A分析：只要将1平面和3平面展开，根据两点之间线段最短，可知从A到B的最短路程就是线段AB .,则从A点到C点的最短路程长就是线段ACA5cmA4cm二、长方体如图，已知长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm,3cm，一只蚂蚁从点A沿长方体表面爬到点C，试求它爬行的最短距离是多少？分析：将长方体表面展开后，有如下三种情况：3cm4cm5cm3cm5cm4cm（1）（2）（3）图（1）中AC===图（2）中AC==图（3）中AC===显然图（2）所示的线段AC。
三、圆锥1、一圆锥地面半径r=10cm，母线长为30cm，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥侧面爬行一周所走的最短路径是多少？解：把圆锥的侧面沿母线SA 展开，则蚂蚁从A 点出发沿圆锥侧面爬行一周所走的最短路程就是线段AA ’的长10'36036012030AA 'SA r ASA l ∠=⨯=⨯=∴==线段 2、一圆锥地面半径r=10cm ，母线长为30cm ，一只蚂蚁从A 点出发沿圆锥侧面绕行到母线的中点B ，则它爬行的最短路径是多少？解：过点B 作BC ⊥SA 交AS 的延长线于点C 。
中考复习之—— 蚂蚁爬行的最短路径问题
蚂蚁爬行的最短路径问题Ⅰ．专题精讲：当蚂蚁在一个几何体的表面上爬行时，通常情况下都会考虑将其展开成一个平面，运用勾股定理计算其最短路程，也就是运用“化曲为平”或“化折为直”的思想来解决问题．Ⅱ．典型例题剖析:一．两点之间，线段最短与勾股定理相结合台阶问题如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是.圆柱(锥)问题1.有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离.2.有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为.3.葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线--螺旋前进的，难道植物也懂数学？通过阅读以上信息，解决下列问题：（1）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm，则它爬行一圈的路程是多少？（2）如果树干的周长为80cm，绕一圈爬行100cm，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？第1题第2题4. 如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A 点出发，绕侧面一周又回到A 点，它爬行的最短路线长是 .5. 如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm ，假若点B 有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC 的中点P 处的食物，那么它爬行的最短路程是 .6. 已知O 为圆锥顶点，OA 、OB 为圆锥的母线，C 为OB 中点，一只小蚂蚁从点C 开始沿圆锥侧面爬行到点A ，另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B ，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示．若沿OA 剪开，则得到的圆锥侧面展开图为 （ ）正（长）方体问题1. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .2. 如图，一只小虫沿边长为1的正方体的表面从点A 出发，经过3个面爬到点B ．如果它运动的路径是最短的，则AC 的长为 .3. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .第4题第5题A .B .C .D .第1题第2题第3题14A B A 1B 1D C D 1C 124. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 .5. 如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 .变式：如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ．6.（1）如图①，一个无盖的长方体盒子的棱长分别为BC ＝3cm 、AB ＝4cm 、AA 1＝5cm ，盒子的内部顶点C 1处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A 处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽略不计）．假设昆虫甲在顶点C 1处静止不动，请计算A 处的昆虫乙沿盒子内壁爬行到昆虫甲C 1处的最短路程．并画出其最短路径，简要说明画法．（2）如果（1）问中的长方体的棱长分别为AB ＝BC ＝6cm ，AA 1＝14cm ，如图②，假设昆虫甲从盒内顶点C 1以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱C 1C 向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A 以3厘米/秒的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？第5题 变式题图研究课题：蚂蚁怎样爬最近？研究方法：如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处，要求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长，可将该正方体右侧面展开，由勾股定理得最短路程的长为AC1＝AC2+CC12＝102+52＝55cm．这里，我们将空间两点间最短路程问题转化为平面内两点间距离最短问题．研究实践：（1）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处，蚂蚁需要爬行的最短路程的长为．（2）如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且∠AOA1＝120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长．（3）如图5，没有上盖的圆柱盒高为10cm，底面圆的周长为32cm，点A距离下底面3cm．一只位于圆柱盒外表面点A处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点B处．请求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．。
【最新精选】最短路径问题―――蚂蚁爬行的最短路径
最短路径问题―――蚂蚁爬行的最短路径最短路径问题旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。
而蚂蚁爬行的最短路径是指蚂蚁在平面图形或在几何体中爬行，求其爬行的最短路程。
1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10．回答下列问题：（1）蚂蚁最后是否回到出发点0；（2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻．2．如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（ ）A ．A ⇒P ⇒B B ．A ⇒Q ⇒BC ．A ⇒R ⇒BD ．A ⇒S ⇒B5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ）6． 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M点的最短距离为（）7．如图，点A 和点B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A 处向B 处爬行，所走最短路程是 cm 。
第2题 第8题1AB A 1B 1DC D 1C 124第9题 第10题 第11题 第12题10．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。
11. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 .12．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A 点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。
蚂蚁最短路径问题的总结
蚂蚁最短路径问题的总结蚂蚁最短路径问题是指一群蚂蚁从一个起点出发，到达终点的过程中，所走的路线最短的问题。
这个问题在生活中有很多应用，比如在物流运输中，寻找最短路径可以节省时间和成本。
本文将对蚂蚁最短路径问题进行总结和分析。
一、问题描述假设有一条长度为 L 的木棍，上面有 n 只蚂蚁。
每只蚂蚁的速度相同，且只能向前爬行。
当两只蚂蚁相遇时，它们会掉头。
现在，我们把这些蚂蚁放在木棍的两端，让它们开始爬行。
问最终它们会在哪里相遇？二、问题分析1. 蚂蚁相遇的情况当两只蚂蚁相遇时，它们会掉头，相当于它们的速度变成了相反方向。
因此，我们可以把相向而行的两只蚂蚁看成是穿过了对方，继续向前爬行。
2. 蚂蚁相遇的时间由于蚂蚁的速度相同，因此它们相遇的时间是固定的。
假设蚂蚁的速度是 v，相遇的时间是 t，则两只蚂蚁之间的距离是 vt。
3. 最终相遇的位置由于我们无法确定蚂蚁的相对位置，因此我们无法确定它们最终相遇的位置。
但是，我们可以确定它们相遇的位置一定是在木棍的两端之间。
三、问题解决1. 排序法我们可以将蚂蚁按照它们的位置从左到右排序，然后让它们继续向前爬行。
当两只蚂蚁相遇时，它们会掉头，相当于它们的位置交换了。
因此，我们可以把相向而行的两只蚂蚁看成是穿过了对方，继续向前爬行。
2. 模拟法我们可以模拟每只蚂蚁的运动过程，直到它们相遇为止。
对于每只蚂蚁，我们可以记录它的位置、方向和状态。
当两只蚂蚁相遇时，它们会掉头，相当于它们的方向反转了。
因此，我们可以把相向而行的两只蚂蚁看成是穿过了对方，继续向前爬行。
3. 数学法我们可以通过数学公式来求解最终相遇的位置。
假设蚂蚁的数量为 n，速度为 v，木棍的长度为 L，则两只蚂蚁之间的距离是 vt。
因此，蚂蚁相遇的时间是 t=L/(2nv)。
当蚂蚁相遇时，它们的速度变成了相反方向，因此，它们会继续向前爬行，直到到达木棍的两端。
因此，最终相遇的位置一定是在木棍的两端之间。
四、应用实例蚂蚁最短路径问题在生活中有很多应用，比如在物流运输中，寻找最短路径可以节省时间和成本。
勾股定理应用—蚂蚁爬行问题中的最短路程问题-ppt下载
1、展开前面和右面 2、连接AB1 则AB1为最短路径 由勾股定理得
前面
A
AB1= 22125
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B B1
右面
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B
A
思路点拨
1、在立体图形中，怎样利用线段公理解决路径 最短问题？ 2、怎样展开立方体的表面？展开哪几个面呢？ 3、和A相连的面有哪几个？和B相连的面有哪几 个？ 4、最短路径要走几个面？怎么走？
标注六个表面
左面
后面
B 上面
右 面 前面
A
下面
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方法二
1、展开前面和上面 2、连接AB2 则AB2为最短路径 由勾股定理得
AB2= 2212 5
上面
B2 B
前面
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A
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方法三
1、展开左面和上面
2、连接A1B3 则A1B3为最短路径 由勾股定理得
左面
A1
2 1 A1B3= 2 2 5
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A
B3
上面
B
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蚂蚁动点问题的解题技巧大全
蚂蚁动点问题的解题技巧大全蚂蚁动点问题是一种在数学和计算机科学中非常流行的一类问题。
它的主要目的是求解一组给定的点，使得任意两点之间的距离最短，或者称之为最优化路径问题。
解决蚂蚁动点问题的技巧有很多，其中最常用的一种技巧是采用蚁群算法。
蚁群算法是一种模拟蚂蚁群体行为的算法，它可以用来解决复杂的优化问题。
蚁群算法的具体实现过程是：首先，建立一个初始解空间，然后，利用蚁群算法进行优化，从初始解空间中产生最优路径，最后，求出最优路径。
另外，可以采用迭代优化方法来解决蚂蚁动点问题。
迭代优化方法是一种考虑不断更新搜索范围的搜索方法。
它通过迭代搜索，以期寻找最优解。
具体的操作步骤是：首先，利用给定的算法，确定一个参数空间，然后，根据该参数空间，构造出一系列的迭代更新路径，最后，根据迭代更新路径，求出最优路径。
此外，还可以采用模拟退火（Simulated Annealing）算法来解决蚂蚁动点问题。
模拟退火算法是一种基于概率的优化算法，它采用类似于金属冷却过程的方法，以模拟解决复杂问题。
模拟退火算法的具体实现过程是：首先，利用给定的算法，确定一个参数空间，然后，构造出一系列的模拟退火路径，最后，根据模拟退火路径，求出最优路径。
最后，还可以采用遗传算法（Genetic Algorithm）来解决蚂蚁动点问题。
遗传算法是一种基于数据挖掘的算法，它可以用来解决复杂的优化问题。
遗传算法的具体实现过程是：首先，确定一个初始种群，然后，根据遗传算法进行迭代，每次迭代都会产生一系列新的染色体，最后，根据染色体，求出最优路径。
以上就是蚂蚁动点问题的解题技巧，可以采用蚁群算法、迭代优化方法、模拟退火算法和遗传算法等技巧来解决这类问题。
对于不同的蚂蚁动点问题，可以根据实际情况，结合上述几种技巧，来选择最合适的解决方案。
蚂蚁爬最短路径问题处理思路
蚂蚁爬最短路径问题处理思路
蚂蚁爬最短路径问题是一个经典的图论问题，处理思路如下：
1. 构建图：将问题抽象为一个图，其中图中的每个节点表示问题中的位置，边表示节点之间的连接，权值表示节点之间的距离或代价。
2. 确定起点和终点：确定问题中的起点和终点，即蚂蚁的出发位置和目标位置。
3. 初始化信息素：为每条边赋予一个初始信息素浓度，表示蚂蚁经过该边的概率大小。
4. 计算启发式信息：为每个节点计算一个启发式信息，表示当前位置到目标位置的最短距离或最小代价。
5. 蚂蚁搜索：每只蚂蚁从起点出发，根据当前节点的启发式信息和每条边的信息素浓度，选择下一个要访问的节点，直到到达终点或无法继续搜索。
6. 更新信息素：根据每只蚂蚁的搜索结果，更新每条边的信息素浓度，以反映蚂蚁经过该边的概率大小。
7. 判断是否收敛：判断信息素是否已经收敛，即所有边的信息素浓度是否已经趋于稳定。
8. 输出最短路径：输出从起点到终点的最短路径，即经过的边和节点最少或代价最小的路径。
这个处理思路可以使用模拟退火算法、遗传算法、蚁群算法等多种方法来实现。
其中，蚁群算法是一种较为常用的方法，它通过模拟蚂蚁在自然界中的行为，能够在较短的时间内找到最优解或近似最优解。
浅析中考热点——“蚂蚁爬行问题”
图 ６
通过 比较可 知 ．蚂蚁 按照 图 ６的路 线行
１ｌ 璺 ３
走． 爬行 的距 离最短为 ２ ． ５
Ｂ． ５ ２
Ａ． Ｖ ５
故选 Ｂ ．
Ｃ． ０ ／ ＋ １ 、了 ５
Ｄ． ５ ３
点评 ： 两道都是勾 股定理 的实际应用 问 这 题。 涉及 到的数学思想有转化 和分类讨论 的思
Ｄ１
ｌ
．
／／Ｃ ／ １
曰 Ｃ
？ Ｂ Ｌ １
图２
蚂蚁能 够最快 到达 目的地 的可能 路径有
如 图的 ＡＣ 和 ＡＣ ． ，
（ ）当蚂蚁在木 柜表面沿线段 Ａ ２ 爬行 Ｃ 时， 其爬行 的路 径 ＡＣ 的长为 。
Ｃ ＝ ／ Ａ ＋ Ｃ Ｃ ｌ Ｘ （＋ ） ５ １ 、 （ Ｂ Ｂ ） Ｃ ＝ ， ４ ４２ ２＝ ＋ ／ ＋
．
当蚂蚁在木柜表 面沿线段 ＡＣ 爬行 时 ， 其 爬行 的路径 ＡＣ 的长为 Ａ ｌ ＸＡ ２（ Ｂ＋ ＩＩ 。 、 ４＋ ５ ４ ／ Ｂ＋ Ｂ Ｉ Ｃ＇ ＝ ／ ２（＋ ） ｃ＝ Ｂ ）
＝
、 ． ／ 因为 Ａ Ａ ，所 以最短路径 的长是 Ａｃ ｃ＜ ｃ
为、 ８ ． ／９
例 ２ （ ０ ９ 湖北恩施 ） 图 ３ 长方体 ２０ 年 如 ， 的长为 ｌ ， ５ 宽为 ｌ ， ０ 高为 ２ ， Ｂ离 点 ｃ的距 ０点 离 为 ５ 一只蚂蚁 如果要沿着 长方体 的表 面从 ，
点 Ａ爬到点 Ｊ， Ｂ 需要爬行 的最短距离是 （ ） ．
ｘ ６ ５＝ ５ ／ ２ ２
我们熟悉的形式． ， ， ａ ｂｃ中至少 有一个等于 １ ． 也 就是说 。 １６ １ｃ １中至少有一个等于零 ， 一 ，— ，一
数模论文-蚂蚁爬绳问题(含代码)
蚂蚁爬绳问题摘要蚂蚁爬绳问题是一个趣味数学问题，也是一类追及性问题。
近年来也有很多数学爱好者对其解法进行了研究，而其解法也各不相同。
本模型通过时间和位移比例的关系，对离散型、连续型和间断型建立数列通项，并建立函数模型，来判定蚂蚁是否能爬到终点，进而求得蚂蚁达到终点时的时间。
关键词：函数模型，时间，比例1 问题的重述一橡皮绳长20个单位，蚂蚁从左往右爬，每秒一个单位，绳子每秒向右伸长三个单位，求蚂蚁何时能到达绳子右端。
按一下三种情况建模：模型A离散型，蚂蚁先爬1单位，绳子再伸三单位；模型B连续型,蚂蚁和绳子一起运动；模型C间歇型，蚂蚁每爬1秒，休息0.05秒，橡皮绳在一整秒处伸长三个单位。
2 问题分析由于绳子和蚂蚁的运动方向是同向，这可归结于一个追及问题。
当为离散型或间歇型时，蚂蚁爬时，绳子不动，绳子动时，蚂蚁可以跟着绳子往前按比例向前，这也就意味蚂蚁运动的距离占绳子长度的比例是先增，再不变，再增，再不变……照这样下去，只要时间、体力允许，就一定能爬到终点；对于连续型问题，蚂蚁运动的距离占绳子长度的比例是一直增加，同理可得蚂蚁一样能爬到终点。
3 问题假设1、蚂蚁有充足的能量，能无限量的爬行。
2、绳子能无限均匀的延伸。
3、绳子的左端不动。
4、蚂蚁和绳子之间有足够大的摩擦力，使得绳子伸长时能带动蚂蚁等比例的增加。
5、当时间间隔足够小时,认为其状态是不变的。
4 符号说明1、Xi：蚂蚁爬行时间2、Yi: 绳子长度3、K0: 迭代次数4、ε：任意大于0的数5、n ：时间间隔6、t 0：蚂蚁休息时间即t0=0.05s5建立模型并求解模型A离散型对问题分析后，把问题转化为对蚂蚁运动的距离占绳子总长的比例求和，当蚂蚁爬行距离等于绳子长度时，蚂蚁到达绳子右端，求得解。
初态为x0=1,y0=20,k0=0；另设x1=1,y1=23。
由题意可得X2=23/20*x1+1；y2=y1+3依次迭代下去，得 x(i+1)=yi/y(i-1)*xi+1；y(i+1)=yi+3|yi-x(i+1)|<ε利用MATLAB（源程序见附录）求得解为371.1740≈372s,即3372秒后，蚂蚁到达绳子的右端。
蚂蚁行程模型绕球上的有关题目
蚂蚁行程模型绕球上的有关题目摘要：1.蚂蚁行程模型的概述2.蚂蚁行程模型在球面上的应用3.蚂蚁行程模型的优点和局限性正文：一、蚂蚁行程模型的概述蚂蚁行程模型是一种用来描述蚂蚁在寻找食物路径的算法模型。
在这个模型中，蚂蚁在平面上随机行走，通过释放信息素来标记路径，其他蚂蚁则通过感知信息素来选择最优路径。
这种模型在解决复杂的路径问题上具有很高的效率，被广泛应用于运筹学、人工智能等领域。
二、蚂蚁行程模型在球面上的应用将蚂蚁行程模型应用到球面上，可以为解决一些球面几何问题提供新的思路。
例如，在球面上寻找最短路径、最小生成树等问题，都可以借助蚂蚁行程模型来求解。
在球面上实现蚂蚁行程模型，需要对原有的算法进行一些改进。
首先，由于球面是一个闭合的曲面，蚂蚁在球面上行走时不能像在平面上那样无限延伸。
因此，需要为蚂蚁的行走范围设置一个边界，以确保模型的有效性。
其次，在球面上计算距离和角度时，需要采用球面几何的相关知识，以保证算法的准确性。
三、蚂蚁行程模型的优点和局限性蚂蚁行程模型在解决一些复杂问题上具有很多优点，例如：1.具有很强的鲁棒性：即使在存在干扰和不确定性的情况下，蚂蚁行程模型仍然可以找到较优解。
2.具有自适应性：随着问题的变化，蚂蚁行程模型可以自动调整算法，以适应不同的需求。
3.计算复杂度较低：蚂蚁行程模型的计算复杂度较低，可以在较短的时间内得到满意的结果。
然而，蚂蚁行程模型也存在一些局限性，例如：1.对初始条件敏感：蚂蚁行程模型的结果受到初始条件的影响较大，不同的初始条件可能导致不同的结果。
2.信息素的作用有限：在现实世界中，信息素的作用可能会受到环境等因素的影响，导致模型的准确性降低。
3.模型的扩展性有限：蚂蚁行程模型主要适用于一维和二维空间，对于高维空间问题，模型的扩展性较低。
总之，蚂蚁行程模型作为一种经典的算法模型，在球面上的应用具有很大的潜力。
勾股定理的应用蚂蚁路径最短问题
勾股定理的应用蚂蚁路径最短问题勾股定理的应用：蚂蚁路径最短问题大家好，今天我们来聊一聊一个有趣的问题——勾股定理的应用：蚂蚁路径最短问题。
这个问题看似简单，但实际上涉及到了许多数学知识，让我们一起来探讨一下吧！我们要明确什么是勾股定理。
勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯发现的一个几何定理，它告诉我们：在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
用公式表示就是：a2 + b2 = c2,其中a、b是直角边，c是斜边。
这个定理在很多领域都有应用，比如测量、建筑等。
那么，勾股定理与蚂蚁路径最短问题有什么关系呢？其实，这个问题源于一个古老的传说。
相传，古希腊有一个哲学家叫毕达哥拉斯，他发现了一个有趣的现象：在一根直的木棍上，放置三个点，使得这三个点到木棍两端的距离之和最小。
这个现象就是我们现在所说的“蚂蚁路径最短问题”。
为了解决这个问题，毕达哥拉斯提出了一种方法：将木棍分成三段，使得每一段长度相等。
这样，无论从哪一端开始，都可以保证三个点到木棍两端的距离之和最小。
而这种分法正是基于勾股定理的原理：将木棍分成三段后，每一段的长度都是原木棍长度的1/3,所以它们的平方和等于原木棍长度的1/9(因为(1/3)2 + (1/3)2 + (1/3)2 = 1/9)。
这个方法虽然看似简单，但实际上却蕴含着深刻的数学原理。
通过这个例子，我们可以看到勾股定理的强大之处：它不仅可以帮助我们解决实际问题，还可以启发我们去探索更深层次的数学原理。
毕达哥拉斯的方法并不是唯一的解决方案。
在后来的历史中，人们还发现了其他方法来解决“蚂蚁路径最短问题”，比如马蹄形证明法、蒙特卡洛模拟法等。
这些方法都离不开勾股定理的基础，它们共同构成了数学的一个重要分支——几何学。
勾股定理是一个非常有趣且实用的数学原理。
它不仅在现实生活中有很多应用，还在许多领域发挥着重要作用。
通过研究勾股定理，我们可以更好地理解数学的本质，也可以激发我们去探索更多的数学奥秘。
蚂蚁最短路径问题的总结
蚂蚁最短路径问题的总结蚂蚁最短路径问题是一类优化问题，其主要考虑一些具有约束条件的路径搜索问题，其中蚂蚁之间具有相互干扰的特性。
以下是蚂蚁最短路径问题的总结：1. 蚂蚁最短路径问题的定义蚂蚁最短路径问题是一种优化算法，它主要考虑了一些具有约束条件的路径搜索问题，这些问题中蚂蚁之间具有相互干扰的特性。
该问题涉及到多只蚂蚁在长为L的板条上沿着任意方向爬行，其中一些蚂蚁带有物品，另外一些则不带。
一只蚂蚁可以经过另外一只蚂蚁，但不能穿过。
2. 蚂蚁最短路径问题的研究目标蚂蚁最短路径问题的主要研究目标是发现一种合适的路径选择策略，使得所有蚂蚁爬行的路径最短。
这也可以理解为是一种优化问题，需要找到最小值或最大值。
3. 蚂蚁最短路径问题的应用蚂蚁最短路径问题可以应用于多个领域，如打包物品时的路径优化、计算机网络中最短路径算法等。
在生产制造领域，蚂蚁最短路径问题也被广泛应用于物流运输的路径规划问题中。
4. 蚂蚁最短路径问题的算法在蚂蚁最短路径问题的求解过程中，主要采用蚁群算法、遗传算法、模拟退火算法等优化算法进行求解。
其中蚁群算法是目前最常用的算法之一，它模拟了蚂蚁在寻找食物时的行为，具有较高的求解效率和稳定性。
5. 蚂蚁最短路径问题的挑战蚂蚁最短路径问题存在一些挑战。
其一，问题规模较大，需要高效的算法进行求解。
其二，路径的可行性需要保证，不能出现蚂蚁穿过的情况。
其三，问题是非线性规划问题，需要采用特定的优化算法。
总之，蚂蚁最短路径问题是一类具有广泛应用的路径优化问题，其解决方法需要采用特定的优化算法，如蚁群算法、遗传算法、模拟退火算法等。
对于该问题的研究，对于优化路径规划等领域的发展具有重要意义。
参考文献：蚂蚁追击问题
r = aebθ, b =
2 π
≈ 0. 306349
2 被称为黄金螺线 ,与 Fibonacci数列 ,黄金分割有着密切的联 系 (如图 6所示 ).
参考文献 : 〔1〕LUCAS E. P roblem of the Th ree D ogs〔J 〕. Nouv. Corresp. Math. ,
图 4
用微分几何术语表示为
a
rcco s
∫ r(θ) , r′(θ) ‖r(θ) ‖‖r′(θ)
‖
=
a rc tan
1 b
= <.
在蚂蚁追击问题中 ,角度 < = ( n - 2)π为正 n边形内角的 2n
一半 ;系数 a控制螺线的旋转角度 ;导数 r′(θ) 与 b成反比. 换句
话说 ,它控制螺线盘旋得多紧. 它的极端的情形如下 : 性质 2 (极限性质 ) 若 b = 0 ( < =π /2) ,等角螺线变成一
2) 到相撞时 ,每只蚂蚁走过多长的路程 ?
3) 画出蚂蚁所走的曲线.
这个问题有很多不同的版本. 如 :三只 (或者四个 、五条等 )
狗〔1〕(或者海龟 、小虫等 ) 类似的追击问题〔2, 3〕. 这个问题可以推
广为 n只蚂蚁以不同的速度在非正多边形上的追击问题〔4〕. 关
于原问题的简单情形 (即 n = 3 和 n = 4) , W ells, D. 〔5〕和
-
rsin (θ) rco s (θ)
= cot(θ +π / n).
(1)
根据直角坐标和极坐标的关系 ,得到
dx = cosθd r - rsinθdθ, dy = sinθd r + rcosθdθ,
探究一类“蚂蚁觅捷径”问题
因为 E 是 AD 的 中 点,所 以 ED =BQ, 在矩形 ABCD 中,由 AQ⊥BD,可 得 △AQB
ED∥BQ,则 四 边 形 BEDQ 是 平 行 四 边 形, ∽△DBA,所以 AB2=AD·BQ。
所以 BE∥QD。 又因 为 BE ⊄ 平 面 A1DQ,DQ ⊂ 平 面
又
因
为
AB
=1,AD
图3 提示:解答此题,可对 长 方 体 表 面 进 行 剪 开铺平求 解。 究 竟 哪 条 线 路 最 短,应 逐 一 解 答再比较得出。 ① 把 面 ABB1A1 与 面 A1B1C1D1 展 开 成 一 个 平 面 ,如 图 4 所 示 。 在 直 角 三 角 形 ABC1 中 ,AB=3,BC1 =BB1 +B1C1 = 5+4=9,由 勾 股 定 理 可 得 AC21 =32 + 92 =90。
图5 ③ 把 面 ABCD 与 面 BCC1B1 展 开 成 一 个平面,如 图 6 所 示。 在 直 角 三 角 形 AB1C1 中 ,B1C1=4,AB1=AB+BB1=3+5=8,由 勾 股 定 理 可 得 AC2 1=82+42=80。
图6 由于74<80<90,故 可 知 图 5 中 的 AC1 是最 短 线 路,即 蚂 蚁 可 以 先 在 面 ABB1A1 内 由 A 到F,再在面 BCC1B1 内由 F 到C1。 变式2:如图7所示,一只蚂蚁绕圆柱一周 从母线 AB 的端点 A 爬到 B 点。若圆柱的高 为3π,底面半径为2,求蚂蚁爬行的最短路程。
=2,所
以
BQ
=1 2,源自A1DQ,所以 BE∥平面 A1DQ。 因为F 是A1A 的中点,所以EF∥A1D。
特别习题 ：蚂蚁追逐问题
特别习题1：蚂蚁追逐问题
三只蚂蚁在桌面上爬行。
开始时，它们位于边长为1cm的等边三角形的顶点。
蚂蚁A被蚂蚁B吸引，蚂蚁B被蚂蚁C吸引，蚂蚁C被蚂蚁A吸引。
每个蚂蚁以1cm/s的匀速率向着它的目标爬去。
这些蚂蚁的知觉是灵敏的，但它们不聪明。
所以在每一时刻，每个蚂蚁都朝着目标在那时的位置。
●蚂蚁们会相遇吗？
●如果相遇，需要多长时间？
●（选做）它们爬过的路径如何？
●（选做）编一个小程序描绘路径。
●推广到4只蚂蚁。
提示：如果利用矢量和对称性的方法，则不需要复杂的计算（没有选择的必要）。
蚂蚁爬行问题 概率统计
蚂蚁爬行问题概率统计
这是一个经典的数学问题，通常被称为“蚂蚁爬杆问题”。
假设一个长度为L的直杆，一只蚂蚁从一端开始爬行，目标是到达另一端。
蚂蚁每次向上或向下爬行的距离为1，并且每次爬行的方向都是随机的。
我们需要计算蚂蚁到达杆的另一端的概率。
首先，我们定义以下变量：
L：杆的长度（一个正整数）
n：蚂蚁需要爬行的步数（一个正整数）
p：蚂蚁到达杆的另一端的概率
根据题目，我们知道每次蚂蚁向上或向下爬行的距离为1，所以n次爬行后，蚂蚁可能到达的位置范围是1到n。
因此，蚂蚁到达杆的另一端的条件是：
n mod L = 0
这意味着n是L的倍数。
因此，我们可以计算概率p为：
p = 1/L
现在我们可以进行计算。
计算结果为：p = 0.1
所以，蚂蚁到达杆的另一端的概率为：0.1。
行程问题之蚂蚁相遇的奥数题及答案参考
行程问题之蚂蚁相遇的奥数题及答案参考
一个圆的周长为1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行.这两只蚂蚁每秒分别爬行5.5厘米和3.5厘米.它们每爬行1秒，3秒，5秒…(连续的奇数)，就调头爬行.那么，它们相遇时已爬行的时间是多少秒?
分析：
道题难在蚂蚁爬行的方向不断地发生变化，那么如果这两只蚂蚁都不调头爬行，相遇时它们已经爬行了多长时间呢?非常简单，由于半圆周长为：1.26÷2=0.63米=63厘米，所以可列式为：1.26÷2÷(5.5+3.5)=7(秒);我们发现蚂蚁爬行方向的变化是有规律可循的，它们每爬行1秒、3秒、5秒、…(连续的.奇数)就调头爬行.每只蚂蚁先向前爬1秒，然后调头爬3秒，再调头爬5秒，这时相当于在向前爬1秒的基础上又向前爬行了2秒;同理，接着向后爬7秒，再向前爬9秒，再向后爬11秒，再向前爬13秒，这就相当于一共向前爬行了1+2+2+2=7(秒)，正好相遇.
解答解：
它们相遇时应是行了半个圆周，半个圆周长为：
1.26÷2=0.63(米)=63(厘米);
如不调头，它们相遇时间为：
63÷(3.5+5.5)=7(秒);
根据它们调头再返回的规律可知：
由于1-3+5-7+9-11+13=7(秒)，
所以13+11+9+7+5+3+1=49(秒)相遇.
答：它们相遇时已爬行的时间是49秒.
点评：完成本题关健是发现蚂蚁爬行方向的变化是有规律可循.。
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0 引言
本文介绍的追击问题是 : n只蚂蚁分别在一个正 n边形的顶
点上 ,在某一时刻 , 它们同时以匀速度 v沿逆时针方向追逐下一
图6
在自然界和宇宙空间中 ,我们也能够发现等角螺线 ,如鹦鹉螺 、蜘 蛛网和各类其他贝壳的横截面纹理 ; 松果 、向日葵以及其他植物 的种子的排列 ;旋涡星系 、冰岛上空低气压图案以及老鹰捕捉食 物时的轨迹等等.
图 5 等角螺线自相似图
其次 ,证明等角螺线的任意一部分与其他某一部分是相似 的. 任取螺线上的一段 l,分别连接极点和这段线上的两个端点. 他们与等角螺线相交 (如图 5所示 ) ,得到与这段线最近的另外一 段线 l′,根据前面证明的结论 ,将此段线 l′放大 e2bπ 倍 ,则与 l重 合. 因此 l′与 l相似. 证毕.
图 4
用微分几何术语表示为
a
rcco s
∫ r(θ) , r′(θ) ‖r(θ) ‖‖r′(θ)
‖
=
a rc tan
1 b
= <.
在蚂蚁追击问题中 ,角度 < = ( n - 2)π为正 n边形内角的 2n
一半 ;系数 a控制螺线的旋转角度 ;导数 r′(θ) 与 b成反比. 换句
话说 ,它控制螺线盘旋得多紧. 它的极端的情形如下 : 性质 2 (极限性质 ) 若 b = 0 ( < =π /2) ,等角螺线变成一
图 2 蚂蚁的轨迹图
收稿日期 : 2007 - 11 - 08 基金项目 :四川省教育厅青年基金项目 (072B042) 作者简介 :石勇国 (1978 - ) ,男 ,湖北云梦人 ,讲师 ,硕士 ,主要从事函数方程与动力系统研究 。
24
宜宾学院学报 2008年 6期
狗〔1〕(或者海龟 、小虫等 ) 类似的追击问题〔2, 3〕. 这个问题可以推
广为 n只蚂蚁以不同的速度在非正多边形上的追击问题〔4〕. 关
于原问题的简单情形 (即 n = 3 和 n = 4) , W ells, D. 〔5〕和
Zw ikker C. 〔6〕分别作了解答 , 证明了他们的轨迹均是等角螺
=
v(1
-
s co s
2π
. )
n
于是 ,到相撞时 ,每只蚂蚁走过的路程为
Dn
= vTn
=
(1 -
s co s
2π
. )
n
当 n = 4, 2α = 2π /4 =π /2,因此 D4 = s,说明四只蚂蚁的相
互追击时 ,每只蚂蚁走的路程为正方形的边长.
下面建立关于其中一只蚂蚁的微分方程模型. 以正多边形
try〔M 〕. London: Penguin, 1991: 201 - 202. 〔6〕ZW IKKER C. The A dvanced Geom etry of P lane Curves and Their A p2
plica tions〔M 〕. New York: Dover, 2005. 〔7〕GRAY A. Logarithm ic Sp irals. M odern D ifferen tial Geom etry of Cu rves
的中心 O 为极点 ,将正多边形的顶点依次编号 1, 2, 3, …, n,将相
应的蚂蚁也编成 1, 2, 3, …, n. 以中心和第 1号点的连线作为极
轴 ,建立极坐标系和相应的直角坐标系. 不妨只考虑第 1号蚂蚁.
设初始时刻 ,第 1号的位置坐标为 ( r0 ,θ0 ) = (R, 0) , 在任意时 刻 ,第 i号蚂蚁的极坐标可设为 ( r,θ+ 2π ( i - 1) / n) ,于是第 1号
25
证明 首先证明如下结论 :对于等角螺线 , 伸缩变换等价
于旋转变换. 设有一伸缩变换 θr′′==λθr, λ ≠ 0.
则原函数变为
r′=λaebθ′ = aeb (θ′+lnλb ) . 说明 r缩放为原来的 λ倍 ,相当 θ顺时针旋转 lnλ弧度. 同理
b
可得 ,θ顺时针旋转κ弧度 ,相当于 r缩放为原来的 ebκ倍. 特别地 , 当 r放大为原来的 e2bπ 倍时 ,与原来的图形一样.
r = aebθ, b =
2 π
≈ 0. 306349
2 被称为黄金螺线 ,与 Fibonacci数列 ,黄金分割有着密切的联 系 (如图 6所示 ).
参考文献 : 〔1〕LUCAS E. P roblem of the Th ree D ogs〔J 〕. Nouv. Corresp. Math. ,
-
rsin (θ) rco s (θ)
= cot(θ +π / n).
(1)
根据直角坐标和极坐标的关系 ,得到
dx = cosθd r - rsinθdθ, dy = sinθd r + rcosθdθ,
(2)
将 ( 2) 式代入 ( 1) 式得到
dr
dr
dθ = - tan π ,或者 dθ = - cot ( n - 2)π , r( t = 0) = R,
and S urfaces w ith M athem a tica〔M 〕. 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press.
1877 ( 3) : 175 - 176. 〔2〕GOOD I J. Pu rsu it Cu rves and M a them atica l A rt〔J 〕. M ath. Gaz. ,
1959 ( 43) : 34 - 35. 〔3〕MARSHALL J A , BROUCKE M E, FRANC IS B A. Pu rsu it Form a2
第 6期 NO. 6 宜宾学院学报 Journal of Yibin University June. 2008
23
蚂蚁追击问题与等角螺线
石勇国
(内江师范学院 数学系 ,四川 内江 641112)
摘要 :通过研究蚂蚁追击问题 ,建立离散模型和微分方程模型 ,得到问题的解析解 ,推广了前人的结论 ,同时给出其追击曲线 ———等角螺线的特有性 质.
2 追击问题的微分方程模型 通过采样进行离散化 ,虽然容易得到追击的曲线 , 但不能够
得到轨迹曲线的解析表达式. 本节将利用建立的微分方程模型 , 得到 n只蚂蚁的相撞时间 ,每只蚂蚁所走的路程以及曲线方程.
定理 1 对于前面所叙述的 n只蚂蚁追击问题 , n只蚂蚁相 撞时间 ,每只蚂蚁所走的路程以及轨迹的曲线方程分别为 :
线 〔7,
8
〕
.
本文考虑一般的情形 ,
根据原问题不同方面的考虑 ,
分
别建立了离散时间系统和连续系统的数学模型. 分别给出了 n
只蚂蚁相撞时间 ,以及每只蚂蚁所走的路程以及曲线方程 :
1) 建立平面直角坐标系. 以正多边形的中心为原点 , 设正
多边形的一个顶点为起始点 , 连接此点和原点作 x轴 , 根据 x轴
个半径为 a的圆. 相反地 ,若 b → ∞ ( < → 0) ,等角螺线趋向一条
直线.
性质 3 (自相似性质 ) 等角螺线在相似变换下是自相似的 ,
此时 ,伸缩变换等价于旋转变换 ;不管怎样旋转 ,等角螺线的任意
一部分与其他某一部分相似.
2008年 6月 石勇国 :蚂蚁追击问题与等角螺线
s 2
= R sinα
其中 α
=
π
.
设
CD 垂直与
OA , 蚂蚁的速度在
OA 上的投影
n
为 AD,即
AD = vco s(π /2 - α) = vsinα.
从旋转者的角度看 ,蚂蚁以速度 | v | sin (α) 沿着直线运动
的 ,蚂蚁相撞于 O 点 ,所需要的时间
Tn
=
R
vsinα
=
s
2vsin2α
3) 重复 2) 步 ,直到 d充分小为止 ;
4) 连接每只蚂蚁在各时刻的位置 ,就得到所求的轨迹.
Tn
= v(1 -
s co s
2π
, Dn
)
= 1-s co s Nhomakorabea2π ,
n
n
rn =
π s
e . θco t ( n - 2)π 2n
2 sin
n
证明了蚂蚁所走的曲线也是等角螺线. 关于螺线的性质介绍见
r
n
r
2n
θ( t = 0) = 0.
解此微分方程得
rn =
π s
e . θco t ( n - 2)π 2n
(3)
2 sin
n
这样得到了蚂蚁的轨迹曲线方程 ,它是弧度为
(n
- 2)π (正 2n
多边形内角的一半 ) 的等角螺线. 证毕.
3 等角螺线的特有性质
曲线的极坐标形式为 :
r = f (θ) = aebθ1
Tn
= v(1 -
s co s
2π
, Dn
)
= 1-
s co s
2π ,
n
n
rn =
π s
e . θcot
( n - 2)π 2n
2 sin
n
证明 首先 ,我们将求蚂蚁相撞的时间和相撞时每只蚂蚁
走过的路程.
图 3 相连蚂蚁追击图
如图 3所示 :设起始时刻 t = 0, 设两只蚂蚁此时在 A, B 两 点. AB为正 n边形的边长 , AB = s, O为正 n边形中心 ,设 OB = R, H为 AB 的中点. 从 ΔAOH,得到