最新西城初三二模数学试题及答案
2020年北京市西城区中考数学二模试卷(解析版)
2020 年北京市西城区中考数学二模试卷、选择题（共 8 小题）1．下列各组图形中，能将其中一个图形经过平移变换得到另一个图形的是（名为“天问”，将中国首次火星探测任务命名为“天问一号”．火星具有与地球十分相 近的环境， 与地球最近的时候距离约 5500 万千米， 将 5500 用科学记数法表示为 （ ） 3．如图是某个几何体的平面展开图，该几何体是5．如图，实数 a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是6．如图，△ ABC 内接于⊙O ，若∠ A ＝45°， OC ＝2，则 BC 的长为B ．”之际宣布，将中国行星探测任务命A ．0.55×104B ．5.5×103C ． 5.5×102D ．55× 1024．下列运算正确的是（A ．a? a 2＝ a 3B ．a 6÷a 2＝a 3C ． 2a 2﹣a 2＝2D ． 3a 2)2＝ 6a 4A ．|a|>3B ．﹣ 1<﹣ b < 0C ．a <﹣bD ．a+b >0 A ． A ．）7．某人开车从家出发去植物园游玩， 设汽车行驶的路程为 S （千米） ，所用时间为 t （分） ，C ．加油后汽车行驶的速度为 60 千米/时D ．加油后汽车行驶的速度比加油前汽车行驶的速度快如表：① 2019 年 10 月至 2020 年 3 月通话时长统计表② 2020 年 4 月与 2020 年 5 月，这两个月通话时长的总和为 根据以上信息，推断张老师这八个月的通话时长的中位数可能的最大值为（二、填空题（本题共 16 分，每小题 2分） C ．2D ．4s 与 t 之间的函数关系如图所示．若他早上 8 点从家出发，汽车在途中停车加油一次，则A ．汽车行驶到一半路程时，停车加油用时 10 分钟B ．汽车一共行驶了 60 千米的路程，上午 9点 5分到达植物园8．张老师将自己 2019 年 10 月至 2020 年 5 月的通话时长 单位：分钟） 的有关数据整理 时间10 月 11 月 12 月 1月 2月 3月 时长（单位：分钟）520 530 550 610 650 6601100 分钟A ．550B ．580C ．610D ．6309．若分式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是10．因式分解： a 3﹣ a ＝11．如图， D ，E 分别是△ ABC 的边 AB ， AC 的中点，若△ ADE 的面积为 1， 则△ ABC 的 面积等于列描述中，不正确的是（14．如图，用 10 个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个宽为 50cm 的大矩形，设每个 小矩形的长为 xcm ，宽为 ycm ，则可以列出的方程组是 ．15．某调查机构对某地互联网行业从业情况进行调查统计，得到当地互联网行业从业人员 年龄分布统计图和当地 90 后从事互联网行业岗位分布统计图：对于以下四种说法，你认为正确的是 （写出全部正确说法的序号）∠ D ＝∠ E ，点 F 在 AB 的延长线上，则∠ CBF 的度数y ＝ mx 交于 A ， B 两点，若点 A 的坐标为（ 2，3），则点B的坐标为① 在当地互联网行业从业人员中，90 后人数占总人数的一半以上② 在当地互联网行业从业人员中，80 前人数占总人数的13%③在当地互联网行业中，从事技术岗位的90 后人数超过总人数的20%④在当地互联网行业中，从事设计岗位的90 后人数比80 前人数少16．一个袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中．（1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是．（2）若乙盒中最终有 5 个红球，则袋中原来最少有个球．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26 题，每小题5分，第27，28 题，每小题 5 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算：+（π﹣2020）0﹣3tan30 °+| ﹣1|．18．解方程：+1＝．19．已知关于x 的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根大于2，求k 的取值范围．20．下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外两边的距离相等”的尺规作图过程：已知：△ ABC ．求作：点D，使得点 D 在BC 边上，且到AB，AC 边的距离相等．作法：如图，作∠BAC 的平分线，交BC 于点D．则点 D 即为所求．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：作DE⊥AB 于点E，作DF ⊥AC 于点F，∵AD 平分∠ BAC ，21．如图，在Rt △ABC 中，∠ ACB＝90°， D 为AB 的中点，AE∥DC，CE∥DA．（1）求证：四边形ADCE 是菱形；（2）连接DE ，若AC＝2 ，BC＝2，求证：△ ADE 是等边三角形．22．某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生理指标x，y，于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取20 人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图如根据以上信息，回答下列问题：1）在这40 名被调查者中，① 指标y 低于0.4 的有人；② 将20 名患者的指标x 的平均数记作，方差记作S12，20 名非患者的指标x 的平均数记作，方差记作S22，则2）来该院就诊的 500名未患这种疾病的人中， 估计指标 x 低于 0.3的大约有 人；3）若将“指标 x 低于 0.3，且指标 y 低于 0.8”作为判断是否患有这种疾病的依据，则 发生漏判的概率是 ．23．如图， AB 是⊙O 的直径， C ，D 是⊙O 上两点，且 ＝ ，连接 OC ，BD ，OD ．（ 1）求证： OC 垂直平分 BD ；2）过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 E ，连接 AD ，CD ．小明根据学习函数的经验，分别对函数 y 2， y 2随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探 究．面是小明的探究过程，请补充完整：1）按照表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 值： x/cm0 1 2 3 4 5 6 y 1/cm2.49 2.64 2.883.25 3.804.65 6.00y 2/cm 4.59 4.24 3.80 3.25 2.510.00 2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（ x ，y 1）， x ，y 2），并画出函数 y 1，y 2 的图象：S 22（填“>”，“＝”或“<”24．如图，在△ ABC 中，AE 平分∠ BAC 交BC 于点 E ，D 是AB 边上一动点，连接 CD 交 AE 于点 P ，连接 BP ．已知 AB ＝ 6cm ，设 B ，D 两点间的距离为 xcm ，B ，P 两点间的 距离为 y 1cm ， A ， P两点间的距离为 y 2cm ． y 1， y 2 与 x 的几组对应 ① 依题意补全图形；，求 CD 的长．①当AP＝2BD 时，AP 的长度约为cm；②当BP平分∠ ABC 时，BD 的长度为cm．25．在平面直角坐标系xOy 中，函数y＝（x>0）的图象G 与直线l：y＝kx﹣4k+1 交于点 A （4，1），点 B （1，n）（n≥4，n 为整数）在直线l 上．（1）求m 的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G与直线l 围成的区域（不含边界）为W．①当n＝5时，求k的值，并写出区域W 内的整点个数；② 若区域W 内恰有 5 个整点，结合函数图象，求k 的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B（A在 B 的左侧），抛物线的对称轴与x 轴交于点D，且OB＝2OD．（1）当b＝2 时，① 写出抛物线的对称轴；② 求抛物线的表达式；（ 2）存在垂直于 x 轴的直线分别与直线 l ： y ＝ x+ 和拋物线交于点 P ，Q ，且点 P ， Q 均在 x 轴下方，结合函数图象，求 b 的取值范围．27．在正方形 ABCD 中， E 是 CD 边上一点（ CE >DE ）， AE ，BD 交于点 F ． （1）如图 1，过点 F 作 GH ⊥AE ，分别交边 AD ，BC 于点 G ，H ． 求证：∠ EAB ＝∠GHC ；（2）AE 的垂直平分线分别与 AD ，AE ，BD 交于点 P ，M ，N ，连接 CN ．① 依题意补全图形；② 用等式表示线段 AE 与 CN 之间的数量关系，并证明28．对于平面直角坐标系 xOy 中的定点 P 和图形 F ，给出如下定义：若在图形 点 N ，使得点 Q ，点 P 关于直线 ON 对称，则称点 Q 是点 P 关于图形 F 的定向对称点． （1）如图， A （1，0）， B （ 1， 1）， P （0，2），①点 P 关于点 B 的定向对称点的坐标是 ；②在点 C （0，﹣ 2）， D （ 1，﹣ ）， E （2，﹣ 1）中，是点 P 关于线段 AB的定向对称点．（2）直线 l ：y ＝ x+b 分别与 x 轴， y 轴交于点 G ，H ，⊙M 是以点 M （ 2， 0）为圆 心， r （r >0）为半径的圆．①当 r ＝1时，若⊙M 上存在点 K ，使得它关于线段 GH 的定向对称点在线段 GH 上， 求 b 的取值范围； ②对于 b >0，当r ＝3时，若线段 GH 上存在点 J ，使得它关于 ⊙M 的定向对称点在 ⊙M 上，直接写出 b的取值范围． F 上存在一参考答案、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有个. 1．下列各组图形中，能将其中一个图形经过平移变换得到另一个图形的是（）【分析】根据平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选出正确答案．解：各组图形中，选项 A 中的图形是一个图形经过平移能得到另一个图形，故选： A ．2．中国国家航天局2020 年 4 月24 日在“中国航天日”之际宣布，将中国行星探测任务命名为“天问”，将中国首次火星探测任务命名为“天问一号”．火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近的时候距离约5500 万千米，将5500 用科学记数法表示为（）A．0.55×104B．5.5×103C．5.5×102D．55× 102【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜ 1 时，n 是负数．解：5500＝5.5×103，故选： B ．3．如图是某个几何体的平面展开图，该几何体是（）解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．故选： D ．4．下列运算正确的是（ ）A ．a? a 2＝ a 3B ．a 6÷a 2＝a 3 【分析】根据同底数幂乘除法的运算法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则 即可求解；解： a? a 2＝ a 1+2＝a 3，A 准确；a 6÷a 2＝a 6﹣2＝a 4，B 错误；2a 2﹣a 2＝a 2，C 错误；（3a 2）2＝9a 4，D 错误；故选： A ．5．如图，实数 a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）A ． |a|>3B ． ﹣ 1<﹣ b <0C ．a <﹣ bD ．a+b >0【分析】根据数轴的性质以及有理数的运算法则进行解答即可．解：选项 A ，从数轴上看出， a 在﹣3 与﹣2 之间，∴|a|<3，故选项 A 不合题意；选项 B ，从数轴上看出， b 在在原点右侧，∴b >0，故选项 B 不合题意；选项 C ，从数轴上看出， a 在﹣3与﹣ 2 之间， b 在 1和 2之间， ∴﹣b 在﹣1和﹣ 2之间，∴ a < b ，故选项 C 符合题意； C ．2a 2﹣a 2＝2 D ．（ 3a 2）2＝6a 4 分析】侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱．选项D，从数轴上看出，a在﹣3与﹣2之间， b 在 1 与 2 之间，∴﹣ 3< a <﹣ 2，1<b <2，∴|a|<|b|， ∵a <0，b >0， 所以 a+b < 0， 故选项 D 不合题意． 故选： C ．分析】根据圆周角定理得到∠ BOC ＝ 2∠A ＝ 90°，根据等腰直角三角形的性质即可得 到结论．解：由圆周角定理得，∠ BOC ＝ 2∠ A ＝ 90°，∴ BC ＝ OC ＝ 2 ，故选： B ．7．某人开车从家出发去植物园游玩， 设汽车行驶的路程为 S （千米） ，所用时间为 t （分）C ．加油后汽车行驶的速度为 60 千米/时D ．加油后汽车行驶的速度比加油前汽车行驶的速度快【分析】根据函数的图象可知，横坐标表示时间，纵坐标表示距离，由于函数图象不是 平滑曲线，故应分段考虑．解： A 、车行驶到一半路程时，加油时间为 25 至 35 分钟，共 10 分钟，故本选项正确， 不符合题意；B 、汽车一共行驶了 60 千米的路程，上午 9 点 05 分到达植物园，故本选项正确，不符 合题意；C 、汽车加油后的速度为 30÷ ＝60千米 /时，故本选项正确，不符合题意； ， OC ＝ 2，则 BC 的长为（ ）C ．2D ．4s 与 t 之间的函数关系如图所示．若他早上下列描述中，不正确的是（ ）8 点从家出发，汽车在途中停车加油一次，则 A ．汽车行驶到一半路程时，停车加油用时 10 分钟 B ．汽车一共行驶了 60 千米的路程，上午 9点 5分到达植物园D 、汽车加油前的速度为 30÷ ＝72 千米/时， 60<72，加油后汽车行驶的速度比加油 前汽车行驶的速度慢；故本选项不正确，符合题意．故选： D ． 8．张老师将自己 2019 年 10 月至 2020 年 5 月的通话时长（单位：分钟）的有关数据整理 如表：3月 ① 2019 年 10 月至 2020 年 3 月通话时长统计表时间 10 月11 月 12 月 1月 2月 时长（单位：分钟） 520 530550 610 650 660 ② 2020 年 4 月与 2020 年 5 月，这两个月通话时长的总和为 1100 分钟根据以上信息，推断张老师这八个月的通话时长的中位数可能的最大值为（ ）A ． 550B ． 580C ．610D ． 630【分析】由于 2020年 4月与 2020年 5月，这两个月通话时长的总和为 1100分钟，可知 550 分钟一定排在这八个月的通话时长的第 4 位，找到第 5 位的最大值，从而可求张老 师这八个月的通话时长的中位数可能的最大值．解：∵ 2020 年 4 月与 2020 年 5 月，这两个月通话时长的总和为 1100 分钟，∴550 分钟一定排在这八个月的通话时长的第 4位，观察数据可知，第 5位的最大值为 610 分钟，∴张老师这八个月的通话时长的中位数可能的最大值为（ 550+610 ）÷ 2＝580（分钟）． 故选： B ．二、填空题（本题共 16 分，每小题 2分）9．若分式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x ≠2 ．【分析】直接利用分式有意义的条件为分母不为零，进而得出答案．解：∵分式 在实数范围内有意义，∴ x 的取值范围是： x ≠ 2．故答案为： x ≠ 2．10．因式分解： a 3﹣a ＝ a （a+1）（ a ﹣ 1） ．【分析】原式提取 a ，再利用平方差公式分解即可．解：原式＝ a （a 2﹣1）＝a （a+1）（ a ﹣1），故答案为： a （a+1）（ a ﹣1）11．如图，D，E分别是△ ABC 的边AB，AC的中点，若△ ADE 的面积为1，则△ ABC 的面积等于 4 ．【分析】根据三角形中位线定理得到DE ∥ BC，DE ＝BC，证明△ ADE ∽△ ABC ，根据相似三角形的性质计算，得到答案．解：∵ D，E分别是△ ABC 的边AB，AC 的中点，∴DE 是△ ABC 的中位线，∴DE ∥BC，DE ＝BC，∴△ ADE ∽△ ABC，∵△ ADE 的面积为1，∴△ ABC 的面积为4，故答案为：4．12．如图，∠ A＝∠ ABC＝∠ C＝∠D＝∠ E，点 F 在AB 的延长线上，则∠ CBF 的度数是72分析】正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以多边形的边数，就得到外角的度数．解：∵∠ A＝∠ ABC ＝∠ C＝∠ D＝∠ E，∴五边形ABCDE 是正多边形，∵正多边形的外角和是360°，∴∠ CBF ＝360°÷ 5＝72°．故答案为：72°．13．如图，双曲线y＝与直线y＝mx 交于A， B 两点，若点 A 的坐标为（2，3），则点B【分析】利用正比例函数和反比例函数的性质可判断点 A 与点 B 关于原点对称，然后根据关于原点对称的点的坐标特征写出 B 点坐标．解：∵双曲线y＝与直线y＝mx 交于A， B 两点，∴点 A 与点 B 关于原点对称，而点 A 的坐标为（2，3），∴点 B 的坐标为（﹣2，﹣3）．故答案为（﹣2，﹣3）．14．如图，用10 个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个宽为50cm 的大矩形，设每个小矩形的长为xcm ，宽为ycm ，则可以列出的方程组是．【分析】根据矩形的对边相等及大矩形的宽为50cm，即可得出关于x，y 的二元一次方程组，此题得解．解：依题意，得：故答案为：．15．某调查机构对某地互联网行业从业情况进行调查统计，得到当地互联网行业从业人员年龄分布统计图和当地90 后从事互联网行业岗位分布统计图：③在当地互联网行业中，从事技术岗位的90 后人数超过总人数的20%④在当地互联网行业中，从事设计岗位的90 后人数比80 前人数少【分析】根据扇形统计图可以得出各个年龄段的人数占调查总人数的百分比，再根据条形统计图可以得出90 后从事互联网行业岗位的百分比，进而求出90 后从事互联网行业岗位占调查总人数的百分比，就可以比较，做出判断．解：对于选项① ，互联网行业从业人员中90 后占调查人数的56% ，占一半以上，所以该选项正确；对于选项② ，在当地互联网行业从业人员中，80 前人数占调查总人数的3% ，所以该选项错误；对于选项③ ，互联网行业中从事技术岗位的人数90 后占总人数的56% ×41% ＝23% ，所以该选项正确；对于选项④ ，互联网行业中，从事设计岗位的90 后人数占调查人数的56% ×8% ＝4.48% ，而80 前从事互联网行业的只占1﹣56% ﹣41% ＝3% ，因此该选项不正确；因此正确的有：①③ ，故答案为：①③ ．16．一个袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒② 在当地互联网行业从业人员中，80 前人数占总人数的13%① 在当地互联网行业从业人员中，90 后人数占总人数的一半以上中．（1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是红色．（2）若乙盒中最终有 5 个红球，则袋中原来最少有30 个球．【分析】（1）根据放球规则，可知若取出的球都没有放入丙盒，则放入了乙盒，由此得出先放入甲盒的球的颜色是红色；（2）由题意可知取两个球共有四种情况：①红+红，② 黑+黑，③红+黑，④ 黑+红．那么，每次乙盒中得一个红球，甲盒可得到 2 个红球，以及红球数＝黑球数，即可求解．解：（1）∵某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，∴放入了乙盒，∴先放入甲盒的球的颜色是红色．（2）由题意，可知取两个球共有四种情况：① 红+红，则乙盒中红球数加1，② 黑+黑，则丙盒中黑球数加1，③ 红+黑（红球放入甲盒），则乙盒中黑球数加1，④ 黑+红（黑球放入甲盒），则丙盒中红球数加1．那么，每次乙盒中得一个红球，甲盒可得到 2 个红球，∴乙盒中最终有 5 个红球时，甲盒有10 个红球，∵红球数＝黑球数，∴袋中原来最少有2（5+10）＝30 个球．故答案为：红色；30．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26 题，每小题5分，第27，28 题，每小题 5 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算：+（π﹣2020）0﹣3tan30 °+| ﹣1|．【分析】根据二次根式的性质、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质计算即可．解：原式＝ 2 +1﹣3×+ ﹣1＝ 2 +1 ﹣+ ﹣ 1＝ 2 ．18．解方程：+1＝【分析】根据解分式方程的步骤解答即可．解：+1＝，方程的两边同乘3（x﹣1）得：3x+3x﹣3＝2x，解这个方程得：，经检验，是原方程的解．19．已知关于x 的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根大于2，求k 的取值范围．【分析】（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△>0，根据判别式的意义即可证明；（2）设方程的两个根分别是x1，x2，利用公式法求方程的解，然后根据一元二次方程根与系数的关系求得k 的取值范围．【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×2k＝（2k﹣1）2≥0，∴无论k 为何值，方程总有两个实数根；（2）设方程的两个根分别是x1，x2，解方程得x＝，∴ x1＝2k，x2＝1．由题意可知2k> 2，即k> 1．∴ k 的取值范围为k>1．20．下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外两边的距离相等”的尺规作图过程：已知：△ ABC ．求作：点D，使得点 D 在BC 边上，且到AB，AC 边的距离相等．作法：如图，作∠ BAC的平分线，交BC于点D．则点 D 即为所求．根据小明设计的尺规作图过程，1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明．证明：作 DE ⊥AB 于点 E ，作 DF ⊥AC 于点 F ， ∵AD 平分∠ BAC ，∴ DE ＝ DF （ 角平分线的性质 ）（括号里填推理的依据）分析】（ 1）根据题意补全图形即可；2）作 DE ⊥AB 于点 E ，作 DF ⊥AC 于点 F ，根据角平分线的性质即可得到结论． 解：1）补全图形如图所示；2）证明：作 DE ⊥AB 于点E ，作 DF ⊥AC 于点 F ， ∵AD 平分∠ BAC ，∴DE ＝DF （角平分线的性质），1）求证：四边形 ADCE 是菱形；2）连接 DE ，若 AC ＝2 ， BC ＝ 2，求证：△ ADE 是等边三角形．【分析】（ 1）先证明四边形 ADCE 是平行四边形，再证出一组邻边相等，即可得出结 论； AE ∥DC ，CE ∥DA ．故答案为： DE ，DF ，角平分线的性质．，D 为AB 的中点，2）根据三角函数的定义得到∠ CAB＝30°，根据菱形的性质得到∠ EAD ＝2∠ CAB ＝60°，AE＝AD ，于是得到结论．解答】（1）证明：∵ AE∥ CD，CE∥AB ，∴四边形ADCE 是平行四边形，又∵∠ ACB ＝90°，D 是AB 的中点，∴平行四边形ADCE 是菱形；2）解：∵在Rt△ABC 中，∠ ACB ＝90°，AC＝2 ，BC＝2，∴ tan ∠ CAB ＝∴∠ CAB＝30°，∵四边形ADCE 是菱形，∴∠ EAD ＝2∠ CAB ＝60°，AE ＝AD，∴△ ADE 是等边三角形．22．某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生理指标x，y，于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取20 人作为调查对象，根据以上信息，回答下列问题：（1）在这40 名被调查者中，① 指标y 低于0.4 的有9 人；，方差记作S12，20 名非患者的指标x 的平均数记作，方差记作S22，则AB∴CD＝BD ＝AD ，绘制统计图如② 将20 名患者的指标x 的平均数记作将收集到的数据整理后< ，S12> S22（填“>”，“＝”或“<”）；（2）来该院就诊的500名未患这种疾病的人中，估计指标x 低于0.3的大约有100 人；（3）若将“指标x低于0.3，且指标y 低于0.8”作为判断是否患有这种疾病的依据，则发生漏判的概率是．【分析】（1）① 根据图象，数出直线y＝0.4 下方的人数即可；② 根据图象，可知20 名患者的指标x 的取值范围是0≤x< 0.5，且有16 名患者的指标x< 0.3；20 名非患者的指标x 的取值范围是0.2≤x<0.6，且位置相对比较集中，因此即可求解；（2）利用样本估计总体，用500乘样本中非患者指标x 低于0.3所占的百分比即可；（3）先求出样本中“指标x 低于0.3，且指标y 低于0.8”的人患病的概率，再用1减去这个概率即可求解．解：（1）① 根据图象，可得指标y 低于0.4的有9 人．故答案为：9；②将20名患者的指标x的平均数记作，方差记作S12，20名非患者的指标x的平均数记作，方差记作S22，则< ，S12> S22．故答案为：<，>；（2）500×＝100（人）．故答案为：100；（3）根据图象，可知“指标x 低于0.3，且指标y低于0.8”的有15人，而患者有20 人，则发生漏判的概率是：1﹣＝．故答案为．23．如图，AB 是⊙O的直径，C，D 是⊙O上两点，且＝，连接OC，BD，OD．（1）求证：OC 垂直平分BD ；2）过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 E ，连接 AD ，CD ．① 依题意补全图形；线合一“性质可得 OD ＝OB ，从而问题得证；（2）① 依照题意补全图形即可； ② 由切线的性质可得 OC ⊥CE ；由同位角相等可证 DB ∥CE ；由等角的正弦值相等可得 sin ∠ABD ＝sin ∠AEC ＝ ，从而可求得 BD 、AB 、OA 、 OB 和 OC 的值，由 OC 垂直平分 BD ，可得 BF 及 DF 的值；由三角形的中位线定理可 得 OF 的值，进而求得 CF 的值，最后在 Rt △ CFD 中，由勾股定理可得 CD 的长． 解：（ 1）证明：∵＝ ，∴∠ COD ＝∠ COB ． ∵OD ＝OB ，∴ OC 垂直平分 BD ；C ， ∴ OC ⊥CE 于点 C ．记 OC 与 BD 交于点 F ，由（ 1）知 OC ⊥BD ， ∴∠ OCE ＝∠ OFB ＝90° ∴DB ∥CE ， ∴∠ AEC ＝∠ ABD ．∵在 Rt △ ABD 中， AD ＝6，sin ∠ABD ＝sin ∠AEC ＝ ， ∴BD ＝8，AB ＝10．② 若 AD ＝ 6， sin ∠ AEC ＝ ，求 CD 的长．分析】（ 1）由同弧所对的圆心角相等可得∠ COD ＝∠ COB ，再由等腰三角形的“三 2） ① 补全图形，如图所示：② ∵ CE 是 ⊙O 的切线，切点为∴ OA ＝OB＝OC＝5．由（1）可知OC 平分BD，即DF ＝BF ，∴BF＝DF＝4，OF 为△ ABD 的中位线，∴ OF ＝AD ＝3，∴CF＝2．∴在Rt △ CFD 中，CD＝＝2 ．∴ CD 的长为 2 ．24．如图，在△ ABC 中，AE 平分∠ BAC 交BC 于点E，D是AB 边上一动点，连接CD 交AE 于点P，连接BP．已知AB ＝6cm，设B，D 两点间的距离为xcm，B，P 两点间的距离为y1cm，A，P 两点间的距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y2，y2随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0123456y1/cm 2.49 2.64 2.88 3.25 3.80 4.65 6.004.59 4.24 3.80 3.25 2.51 1.350.00y2/cm2）在同平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，x，y2），并画出函数y1，y2 的图象：（3）结合函数图象，回答下列问题：①当AP＝2BD 时，AP 的长度约为 2.88 cm；②当BP平分∠ ABC 时，BD 的长度为 3 cm．【分析】（1）用光滑的曲线连接y2图象现有的点，在图象上，测量出x＝5 时，y的值即可；（2）描点连线即可绘出函数图象；（3）① 当AP＝2BD 时，即y2＝2x，在图象上画出直线y＝2x，该图象与y2 的交点即为所求；②从表格数据看，当x＝3时，y1＝y2＝3.25，故当BP平分∠ ABC 时，此时点P是△ABC 的内心，故点 D 在AB 的中点，即可求解．解：（1）用光滑的曲线连接y2图象现有的点，在图象上，测量出x＝5时，y＝1.35（答案不唯一）；故答案为： 1.35，注：y＝1.35 是估计的数值，故答案不唯一；2）绘制后y1、y2 图象如下：（3）①当AP＝2BD时，即y2＝2x，在图象上画出直线y＝2x，该图象与y2 的交点即为所求，即图中空心点所示，故答案为 2.88；② 从表格数据看，当x＝ 3 时，y1＝y2＝ 3.25，即点D在AB中点时，y1＝y2，即此时点P在AB的中垂线上，则点C在AB的中垂线上，则△ ABC 为等腰三角形，故当BP 平分∠ ABC 时，此时点P是△ ABC 的内心，故点 D 在AB 的中点，∴BD AB＝3，故答案为3．25．在平面直角坐标系xOy 中，函数y＝（x>0）的图象G 与直线l：y＝kx﹣4k+1 交于点A （4，1），点B （1，n）（n≥4，n 为整数）在直线l 上．（1）求m 的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G与直线l 围成的区域（不含边界）为W．①当n＝5时，求k的值，并写出区域W 内的整点个数；② 若区域W 内恰有 5 个整点，结合函数图象，求k 的取值范围．【分析】（1）把A（4，1）代入y＝（x>0）中可得m 的值；（2）① 当n＝5 时，B（1，5），将B（1，5）代入y＝kx﹣4k+1，求得k 即可，画图可得整点的个数；② 分两种情况：直线l：y＝kx﹣4k+1 过（1，6），直线l：y＝kx﹣4k+1 过（1，7），画图根据区域W 内恰有 5 个整点，确定k 的取值范围．解：（1）把A（4，1）代入y＝（x>0）得m＝4×1＝4；（2）① 当n＝5时，把B（1，5）代入直线l：y＝kx ﹣4k +1得，5＝k﹣4k+1，解得k＝﹣，如图 1 所示，区域 W 内的整点有（ 2，3），（ 3，2），有 2 个； ② 如图 2，直线 l ：y ＝kx ﹣4k+1过（1，6）时， k ＝ 直线 l ：y ＝kx ﹣4k+1过（1，7）时， k ＝﹣ 2，区域 W 内恰有 5个整点， ∴区域 W 内恰有 5个整点， k 的取值范围是﹣ 2≤k <﹣ ．26．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ＝x 2+bx+c 与 x 轴交于点 A ，B （A 在 B 的左侧），抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D ，且 OB ＝ 2OD ．1）当 b ＝2 时，① 写出抛物线的对称轴；② 求抛物线的表达式；区域 W 内恰有 4 个整点，，0）．∴点 D 的坐标为（﹣ ， 0），2）存在垂直于 x 轴的直线分别与直线 l ： y ＝ x+ 和拋物线交于点 P ，Q ，且点 P ，Q 均在 x 轴下方，结合函数图象，求 b 的取值范围．分析】（ 1） ① 由二次函数的对称轴方程可得出答案；② 根据题意求出 B 点坐标为（ 2， 0），代入抛物线解析式 y ＝x 2+2x+c 可得出答案；2）求出 E （﹣，0），点 D 的坐标为（﹣ ，0）．① 当 b >0 时，得出点 A 的坐标为（﹣ 2b ， 0），点 B 的坐标为（ b ， 0），则﹣ 2b <﹣，解不等式即可； ② 当 b< 0 时，点 A 的坐标为（ 0， 0），点 B 的坐标为（﹣ b ， 0），则 0<﹣ ，解出 b <﹣2．解：（ 1）当 b ＝ 2时，抛物线 y ＝x 2+bx+c 化为 y ＝x 2+2x+c ．＝＝② ∵抛物线的对称轴为直线 x ＝﹣ 1，∴点 D 的坐标为（﹣ 1，0）， OD ＝1． ∵OB ＝2OD ， ∴OB ＝2．∵点 A ，点 B 关于直线 x ＝﹣ 1 对称， ∴点 B 在点 D 的右侧． ∴点 B 的坐标为（ 2， 0）．∵抛物线 y ＝x 2+2x+c 与 x 轴交于点 B （ 2，0）， ∴4+4+c ＝0．解得 c ＝﹣ 8．∴抛物线的表达式为 y ＝x 2+2x ﹣ 8．2）设直线 y ＝ x+与 x 轴交点为点 E ，∵ y ＝ 0 时， x ＝﹣ ∵抛物线的对称轴为 x ＝ ﹣，﹣， ﹣ 1．① 抛物线的对称轴 x ＝﹣∴E (﹣。
初三数学二模西城试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. -3/2D. √-12. 下列运算正确的是（）A. (-3)² = 9B. (-3)³ = -27C. (-3)⁴ = -81D. (-3)⁵ = -2433. 若a、b是方程x² - 2x + 1 = 0的两个根，则a + b的值是（）A. 1B. 2C. 0D. -14. 已知等腰三角形ABC中，AB = AC，BC = 6cm，底边BC上的高AD垂直于BC，则三角形ABC的周长是（）A. 12cmB. 18cmC. 24cmD. 30cm5. 在直角坐标系中，点A（2，3），点B（-1，4），则AB的长度是（）A. √10B. √5C. √2D. √36. 若函数f(x) = 2x + 1在x = 3时的值是7，则函数f(x)的图象经过点（）A. (3，7)B. (2，5)C. (4，9)D. (1，3)7. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y = x² + 1B. y = 2x - 3C. y = 1/xD. y = 2x³8. 在平面直角坐标系中，点P（1，2），点Q（3，4），则线段PQ的中点坐标是（）A. (2，3)B. (2，2)C. (3，3)D. (3，2)9. 若等差数列{an}的公差d=3，首项a₁=2，则第10项a₁₀是（）A. 29B. 32C. 35D. 3810. 下列各式中，正确的是（）A. √(4²) = 2B. √(9³) = 3C. √(16⁴) = 4D. √(25⁵) = 5二、填空题（每小题3分，共30分）11. 若a、b是方程x² - 5x + 6 = 0的两个根，则a² + b²的值是______。
12. 在等腰三角形ABC中，底边BC = 10cm，腰AC = 12cm，则三角形ABC的面积是______cm²。
西城区2024届初三二模数学试题及答案
北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学2024.5 第1页（共8页）北 京 市 西 城 区 九 年 级 模 拟 测 试 试 卷数 学 2024.5考生须知1．本试卷共8页，共两部分，28道题。
满分100分。
考试时间120分钟。
2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．右图是某几何体的三视图，该几何体是 （A ）圆柱 （B ）圆锥 （C ）三棱柱（D ）长方体2．新能源革命受到全球瞩目的同时，也成为中国实现“碳达峰碳中和”目标的关键所在．2023年全球可再生能源新增装机510 000 000千瓦，其中中国的贡献超过了50%． 将510 000 000用科学记数法表示应为 （A ）90.5110 （B ）85.110 （C ）95.110 （D ）75110 3．正十二边形的每一个外角的度数为（A ）30°（B ）36°（C ）144°（D ）150°4．如图，直线AB ⊥CD 于点C ，射线CE 在∠BCD 内部，射线CF平分∠ACE ．若∠BCE =40°，则下列结论正确的是 （A ）∠ECF =60° （B ）∠DCF =30° （C ）∠ACF 与∠BCE 互余 （D ）∠ECF 与∠BCF 互补5．不透明的袋子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字4，5，6．随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球．第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是 （A）12 （B ）13（C ）23（D ）49北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学2024.5 第2页（共8页）6．如图，点C 为线段AB 的中点，∠BAM =∠ABN ，点D ，E 分别在射线AM ，BN 上，∠ACD 与∠BCE 均为锐角．若添加一个条件一定 可以证明△ACD ≌△BCE ，则这个条件不能是 （A ）∠ACD =∠BCE （B ）CD=CE （C ）∠ADC =∠BEC（D ）AD =BE7．某农业合作社在春耕期间采购了A ，B 两种型号无人驾驶农耕机器．已知每台A 型机器的进价比每台B 型机器进价的2倍少0.7万元；采购相同数量的A ，B 两种型号机器，分别花费了21万元和12.6万元．若设每台B 型机器的进价为x 万元，根据题意可列出关于x 的方程为（A ）12.621(20.7)x x （B ）2112.620.7x x （C ）2112.620.7x x（D ）2112.620.7x x8．下面问题中，y 与x 满足的函数关系是二次函数的是①面积为102cm 的矩形中，矩形的长y （cm ）与宽x （cm ）的关系；②底面圆的半径为5cm 的圆柱中，侧面积y 2(cm )与圆柱的高x （cm ）的关系；③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x 元出售，可卖出(100)x 件． 利润y （元）与每件售价x （元）的关系． （A ）① （B ）②（C ）③ （D ）①③第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9． 若分式34x 有意义，则x 的取值范围是______． 10．分解因式：2218x y y =______．11．方程组25,24x y x y的解为______． 12．在平面直角坐标系xOy 中，点(3,1)A 关于原点O 的对称点的坐标为______．13．如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥BC 于点E ．若BE =3，△BDE 的面积为1.5，则点D 到边AB 的距离为______． 14．如图，AB 与⊙O 相切于点C ．点D ，E 分别在OA ，OB上，四边形ODCE 为正方形．若OA =2，则DE =______．北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学2024.5 第3页（共8页）15．如图，(2,)A m ，(3,2)B 两点在反比例函数ky x（x ＞0）的图象上．若将横、纵坐标都是整数的点称为整点，则线段OA ，OB 及反比例函数图象上A ，B 两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的坐标为______．16．在某次比赛中，5位选手进入决赛环节，决赛赛制为单循环形式（每两位选手之间都赛一场）．每位选手胜一场得3分，负一场得0分，平局得1分．已知这次比赛最终结果没有并列第一名，获得第一名的选手的成绩记为m （分），则m 的最小值为______；当获得第一名的选手的成绩恰好为最小值时，决赛环节的平局总数至少为______场． 三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-23题，每题6分，第24题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：04cos 45(π3) ．18．解不等式组3 2 < 4,2,53x x x x≥并写出它的所有整数解． 19．已知230x x ，求代数式233(1144x x x的值． 20．已知：如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，BA=BC ．求作：点D ，使得点D 在△ABC 内，且12ADB BDC ．下面是小华的解答过程，请补充完整：（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）：①作线段BC 的垂直平分线PQ 交BC 于点E ；②以点A 为圆心，AB 长为半径作弧，与直线PQ 在△ABC 内交于点D ． 点D 就是所求作的点．（2）完成下面的证明．证明：连接DA ，DB ，DC ．∵ 点D 在线段BC 的垂直平分线上， ∴ DB = DC （ ）（填推理的依据）， DE ⊥BC ．∴ 12BDE CDE BDC ．∵ ∠ABC =90°，∠DEC =90°， ∴ ∠ABC =∠DEC ．北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学2024.5 第4页（共8页）∴ AB ∥DE ． ∴ ∠ABD =∠BDE ． ∵ ， ∴ ∠ADB =∠ .∴ 12ADB BDE BDC ．21．已知关于x 的一元二次方程2320x x k 有两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围；（2）若k 为满足条件的最大整数，求此时方程的根．22．如图，四边形ABCD 是平行四边形，AE ⊥BD 于点E ，CG ⊥BD 于点F ，FG =CF ，连接AG ．（1）求证：四边形AEFG 是矩形；（2）若∠ABD =30°，AG =2AE =6，求BD 的长．23．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 交⊙O 于点D ，点E 是 BD的中点，连接AE 交BC 于 点F ，∠ACB =2∠EAB ． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若BF =6，3cos 5C，求AB 的长．24．我国快递市场繁荣活跃，某快递公司为提高服务质量，对公司的业务量、公众满意度等数据进行统计分析．公司随机抽取了某日发往相邻城市的快递中的1000件，称重并记录每件快递的重量（单位：kg，精确到0.1）．下面给出了部分信息．a.每件快递重量的频数分布直方图（数据分成11组：0≤x＜1，1≤x＜2，2≤x＜3，3≤x＜4，4≤x＜5，5≤x＜6，6≤x＜7，7≤x＜8，8≤x＜9，9≤x＜10，10≤x＜11）；b.在3≤x＜4这一组的数据如下：3.0 3.1 3.1 3.2 3.2 3.2 3.4 3.4 3.4 3.43.5 3.5 3.5 3.5 3.6 3.6 3.7 3.7 3.8 3.9c.这1000件快递重量的平均数、中位数、众数如下：平均数 中位数 众数快递重量3.6 m n（单位：kg）根据以上信息，回答下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）写出m的值；（3）下面四个结论中，① n的值一定在2≤x＜3这一组；②n的值可能在4≤x＜5这一组；③n的值不可能在5≤x＜6这一组；④n的值不可能在8≤x＜9这一组.所有正确结论的序号是 ；（4）该日此快递公司在全市揽收的快递包裹中有3800件发往相邻城市，估计这批快递的重量.北京市西城区九年级模拟测试试卷数学2024.5 第5页（共8页）北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学2024.5 第6页（共8页）25．已知角x （0°≤x ≤90°），探究sin x 与角x 的关系.两个数学兴趣小组的同学在查阅资料后，分别设计了如下两个探究方案：方案一：如图，点P 在以点O 为圆心，1为半径的 MN上，∠MON =90°，设∠POM 的度数为x . 作PC ⊥OM 于点C ，则线段 ① 的长度c 即为sin x 的值.方案二：用函数35π1π1π()()()1806180120180x x x F x的值近似代替sin x 的值．计算函数 ()F x 的值，并在平面直角坐标系xOy 中描出坐标为(,())x F x 的点.两个小组同学汇总、记录的部分探究数据如下表所示（精确到0.001）. 若()c F x ≤0.001记为√，否则记为×. x 0 102030 40455060708090 c 0 0.174 0.342 ②0.643 0.707 0.766 0.866 0.940 0.985 1 ()F x0.174 0.342 0.500 0.643 0.707 0.766 0.866 0.941 0.987 1.005√或× √√√√√√√√×根据以上信息，解决下列问题： （1）①为 ，②为 ； （2）补全表中的√或×；（3）画出()F x 关于x 的函数图象，并写出sin55°的近似值（精确到0.01）.26．在平面直角坐标系xOy 中，11(,)M x y ，22(,)N x y 是抛物线2y ax bx c上任意两点．设抛物线的对称轴是x=t ．（1）若对于12x ，21x ，有12y y ，求t 的值；（2）若对于1x ≥2，都有1y c 成立，并且对于21x ，存在2y c ，求t 的取值范围．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=α（0°＜α＜30°）．将射线AB绕点A顺时针旋转2α得到射线l，射线l与直线BC的交点为点M．在直线BC上截取MD=AB （点D在点M右侧），将直线DM绕点D顺时针旋转2α所得直线交直线AM于点E．（1）如图1，当点D与点B重合时，补全图形并求此时∠AED的度数；（2）当点D不与点B重合时，依题意补全图2，用等式表示线段ME与BC的数量关系，并证明．图1图2北京市西城区九年级模拟测试试卷数学2024.5 第7页（共8页）北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学2024.5 第8页（共8页）28．如图1，对于⊙O 外的线段PQ （线段PQ 上的各点均在⊙O 外）和直线PQ 上的点R ，给出如下定义：若线段PQ 绕点R 旋转某一角度得到的线段P ′Q ′恰好是⊙O 的弦，则称点R 为线段PQ 关于⊙O 的“割圆点”．图1图2在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．（1）如图2，已知点(1,4)S ，(1,2)T ，(1,2)U ，(0,3)W . 在线段ST ，TU ，UW 中，存在关于⊙O 的“割圆点”的线段是_______，该“割圆点”的坐标是_______； （2）直线y x b 经过点(0,3)W ，与x 轴的交点为点V ．点P ，点Q 都在线段VW 上，且PQ PQ 关于⊙O 的“割圆点”为点R ，写出点R 的横坐标R x 的取值范围；（3）直线l 经过点H ，不重合的四个点A ，B ，C ，D 都在直线l 上，且点H 既是线段AB 关于⊙O 的“割圆点”，又是线段CD 关于⊙O 的“割圆点”．线段AB ，CD 的中点分别为点M ，N ，记线段MN 的长为d ，写出d 的取值范围．北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第1页（共6页）北 京 市 西 城 区 九 年 级 模 拟 测 试 试 卷数学答案及评分参考 2024.5一、选择题（共16分，每题2分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BBADABCC二、填空题（共16分，每题2分）9．4x 10．2(3)(3)y x x11．2,1x y 12．(3,1) 13．1 1415．(1,1)，(2,2) 16．6；4 三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-23题，每题6分，第24题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分） 17．解： 04cos 45(π3) 2412…………………………………………………………… 4分 1 ． ……………………………………………………………………………… 5分18．解：原不等式组为3 2 < 4,2.53x x x x≥ 解不等式①，得3x ．……………………………………………………………1分 解不等式②，得1x ≥．………………………………………………………… 2分∴ 原不等式组的解集为1 ≤3x ．…………………………………………… 3分 ∴ 原不等式组的所有整数解为1 ，0，1，2．……………………………… 5分19．解： 233(1)144x x x2231(2)x x x3(1)(2)x x232x x． ……………………………………………………………………… 3分∵ 230x x ， ∴ 23x x ．∴ 原式3 ．…………………………………………………………………………5分① ②北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第2页（共6页）20．解：（1）作图见图1．……………………………………………………………………2分（2）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；……………… 3分 AB=AD ；……………………………………………………………………… 4分ABD ．………………………………………………………………………… 5分21．解：（1）依题意，得234(2)174k k ．…………………………………… 1分∵ 原方程有两个不相等的实数根，∴ 1740k ．………………………………………………………………2分 解得 174k．…………………………………………………………………3分 （2）∵ k 为满足条件的最大整数，∴ 4k ．此时方程为2320x x ．此时方程的根为11x ，22x ．…………………………………………5分22．（1）证明：如图∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB//CD ，AB=CD ．…………………………………………………… 1分 ∴ ∠ABE=∠CDF ．∵ AE ⊥BD 于点E ，CG ⊥BD 于点F ， ∴ ∠AEB=∠CFD=∠AEF=∠EFC=90°． ∴ △ABE ≌△CDF ．图1北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第3页（共6页）∴ AE=CF ．∵ FG =CF ，∴ AE= FG ．∵ ∠AEF=∠EFC ，∴ AE//FG ．∴ 四边形AEFG 是平行四边形．∵ ∠AEF=90°，∴ 四边形AEFG 是矩形． ……………………………………………… 3分（2）解：∵ △ABE ≌△CDF ，∴ BE= DF ．∵ AG=2AE =6，∴ AE =3．在Rt △ABE 中，∠AEB =90°，∠ABE =30°，AE =3，∴3tan tan 30AE BE ABE4分 ∵ 四边形AEFG 是矩形，AG =6，∴ EF=AG=6．……………………………………………………………… 5分∴26BD BE EF DF BE EF ． ………………………… 6分23．（1）证明：如图3，连接AD ．∵ AB 是⊙O 的直径，BC 交⊙O 于点D ，∴ ∠BDA=90°．∴ 90B DAB ．∵ 点E 是 BD的中点， ∴ BEED ． ∴ 1EAB ．∴ 12DAB EAB EAB ．∵ ∠ACB =2∠EAB ，∴ ∠DAB =∠ACB ．∴ 90B ACB ．∴ ∠BAC=90°．………………………………………………………… 2分∴ AC ⊥AB ．∵ AB 是⊙O 的直径，∴ AC 是⊙O 的切线．…………………………………………………… 3分 图3北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第4页（共6页）（2）解：在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，3cos 5C ． 设AC =3k ，则BC =5k ，AB =4k ．∵ 90B DAB ，90CAD DAB ，∴ B CAD ．∵ 2B EAB ，1CAF CAD ，1EAB ，∴ 2CAF ．∴ CF=AC=3k ．∴ 2BF BC CF k ．∵ BF =6，∴ k =3．∴ 412AB k ．…………………………………………………………… 6分24．解：（1）补全频数分布直方图见图4；……………………………………………… 1分（2）2分（3）②④；………………………………………………………………………… 4分（4）3.6380013680 （kg ）．……………………………………………………5分25．解：（1）PC ，0.5； …………………………………………………………………… 2分（2）√，×；……………………………………………………………………… 4分（3）画图见图5；5分0.82．………………………………………………………………………… 6分 图5北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第5页（共6页）26．解：（1）∵ 对于12x ，21x ，有12y y ，∴ 42a b c a b c ．∴ b a ．∴ 122b t a ．………………………………………………………………2分 （2）由题意可知，抛物线2y ax bxc 与y 轴的交点为(0,)c ．①当a > 0时，抛物线开口向上．∴ 当1x ≥2时，1y 有最小值，没有最大值．∴ 与“对于1x ≥2时，都有1y c ”不符，所以不合题意．∴ a > 0不成立．②当a < 0时，抛物线开口向下，且经过点(0,)c ，(2,)t c ．若抛物线经过点(1,)c ，则12t ； 若抛物线经过点(2,)c ，则1t ．（i ）当12t ≤时， 01t ≤或021t t ≤．∴ 对于21x ，都有2y c ．与“对于21x ，存在2y c ”不符，所以不合题意．（ii ）当112t 时，122t t ． ∴ 对于21x ，存在2y c ，对于1x ≥2，都有1y c ．∴112t 成立． （iii ）当1t ≥时，022t ≤． ∴ 当12x 时，1y c ．与“对于1x ≥2，都有1y c 成立”不符，所以不合题意． 综上所述，112t ．27．解：（1）补全图形见图6．∵ 点D 与点B 重合，MD=AB ，∠BAM ∴ ∠AMD =∠BAM =2α．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∴ 90AMD MAC ．∵ ∠BAC =α，∴ 5α=90AMD BAM BAC ．北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第6页（共6页）解得α=18 ．∵ ∠MDE =2α，∴ 2α+2α4α=72AED AMD MDE ．………………………… 2分（2）补全图形见图7．…………………………………………………………… 3分ME =2BC ．…………………………………………………………………… 4分证明：如图7，在BC 的延长线上截取CF=BC ，连接AF ．以点B 为圆心，BF 为半径作弧，交AF 于点N ，连接BN ．∵ CF=BC ，∠ACB =90°，∴ AB=AF ．∴ ∠BAN =2∠BAC =2α．∵ ∠MDE =2α，∴ ∠MDE =∠BAN ．∴ 在等腰△ABF 中，18090α2BAF F ． ∵ BN=BF ，∴ 390αF ．在Rt △AMC 中，190903αMAC ．∴ 21(903α)+2α90αMDE ．∴ 23 ．∵ 41802 ，1803BNA ，∴ 4BNA ．∵ DM =AB ，∴ △DME ≌△ABN ．∴ ME=BN ．∵ BN=BF ，∴ ME=BF=2BC ．……………………………………………………7分28．解：（1）UW ，(2,1) ；…………………………………………………………………2分（2）2R x ≤或1R x ≥；………………………………………………………… 4分（3）02d或4d ≤．……………………………………………… 7分。
2022年北京市西城区九年级统一测试数学试题(二模)及答案解析
2022年北京市西城区九年级统一测试数学试题（二模）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是( )A. 圆柱B. 长方体C. 圆锥D. 三棱锥2. 2022年4月28日，京杭大运河实现全线通水．京杭大运河是中国古代劳动人民创造的一项伟大工程，它南起余杭(今杭州)，北到涿郡(今北京)，全长约1800000m.将1800000用科学记数法表示应为A. 0.18×107B. 1800×103C. 18×105D. 1.8×1063. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是A. B.C. D.4. 在同一条数轴上分别用点表示实数−1.5，0，−√11，|−4|，则其中最左边的点表示的实数是( )A. −√11B. 0C. −1.5D. |−4|5. 学校图书馆的阅读角有一块半径为3m，圆心角为120°的扇形地毯，这块地毯的面积为( )A. 9πm2B. 6πm2C. 3πm2D. πm26. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在BA的延长线上，AB=2AE，EC，BD交于点F.若BD= 10，则DF的长为( )A. 3.5B. 4.5C. 4D. 57. 一条观光船沿直线向码头前进，下表记录了4个时间点观光船与码头的距离，其中t表示时间，y表示观光船与码头的距离．t/min0369y/m675600525450如果观光船保持这样的行进状态继续前进，那么从开始计时到观光船与码头的距离为150m时，所用时间为( )A. 25minB. 21minC. 13minD. 12min8. 教练将某射击运动员50次的射击成绩录入电脑，计算得到这50个数据的平均数是7.5，方差是1.64.后来教练核查时发现其中有2个数据录入有误，一个错录为6环，实际成绩应是8环；另一个错录为9环，实际成绩应是7环．教练将错录的2个数据进行了更正，更正后实际成绩的平均数是x，方差是s2，则A. x<7.5，s2=1.64B. x=7.5，s2>1.64C. x>7.5，s2<1.64D. x=7.5，s2<1.64二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9. 若1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．x−410. 方程组{x−y=33x+y=5的解为________．11. 如图，将直角三角形纸片ABC进行折叠，使直角顶点A落在斜边BC上的点E处，并使折痕经过点C，得到折痕CD.若∠CDE=70°，则∠B=°.12. 用一个a的值说明命题“若a>0，则a2>1”是错误的，这个值可以是a=．a13. 如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，点F在线段DE上，且AF⊥BF.若AB=4，BC=7，则EF的长为．14. 将抛物线y=2x2向下平移b(b>0)个单位长度后，所得新抛物线经过点(1,−4)，则b的值为________．15. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，OB=√13，BC=4，则tanA的值为．16. 如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a～ℎ的小球．甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下：①每人首次取球时，只能取走2个或3个球；后续每次可取走1个，2个或3个球；②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走；③最后一个将球取完的人获胜．(1)若甲首次取走写有b，c，d的3个球，接着乙首次也取走3个球，则(填“甲”或“乙”)一定获胜；(2)若甲首次取走写有a，b的2个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是．三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）17. 计算：|−√2|+2cos45°−√8+(13)−2．18. 解不等式：5x−26<x2+1，并写出它的正整数解．四、解答题（本大题共10小题，共80.0分。
2024北京二中初三二模数学试卷和答案
2024北京二中初三二模数 学一、选择题（每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．）1. 下列图形是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.2. 将抛物线25y x =先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到新抛物线的表达式是（ ）A. 25(2)3y x =++B. 25(2)3y x =-+C. 25(2)3y x =--D. 25(2)3y x =+-3. 已知O 的半径为 r ，点P 到圆心的距离为d ．如果d r ≥，那么点P （ ）A. 在圆外B. 在圆外或圆上C. 在圆内或圆上D. 在圆内4. 一个多边形的内角和等于1260︒，则它是（ ）A. 五边形B. 七边形C. 九边形D. 十边形5. 正比例函数y=kx 和反比例函数2k 1y x+=-（k 是常数且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是A. B. C. D.6. 若13a a -=-，则221a a +的结果是（ ）A. 7 B. 9 C. ﹣9 D. 117. 如图是30名学生A ，B 两门课程成绩的统计图，若记这30名学生A 课程成绩的方差为21S ，B 课程成绩的方差为22S ，则21S ，22S 的大小关系为（ ）A. 2212s s <B. 2212s s =C. 2212S s >D. 不确定8. 如图①，底面积为230cm 的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度()cm h 与注水时间()s t 之间的关系如图②．若“几何体”的下方圆柱的底面积为215cm ，求“几何体”上方圆柱体的底面积为（ ）2cmA. 24B. 12C. 18D. 21二、填空题（本大题共8小题）9. 分解因式：32232x y x y xy -+-= ______10. 如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB ＝3米，AC ＝10米，则旗杆CD 的高度是_________米．11. 若分式67x--的值为正数，则x 满足______12. 请写出一个解为34x y =⎧⎨=-⎩，的二元一次方程组，这个方程组可以是_________．13. 若点P 是△ABC 角平分线的交点，且S △ABC ＝30，C △ABC ＝30，则点P 到边AB 的距离是 _____．14. 如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点E ，AB AC =，72C ∠=︒，若4AB =，则CE 的长度为________．15. 正六边形内接于圆，则它的边所对的圆周角的度数为______．16. 某超市现有n 个人在收银台排队等候结账．设结账人数按固定的速度增加，收银员结账的速度也是固定的．若同时开放2个收银台，需要20分钟可使排队等候人数为0；若同时开放3个收银台，需要12分钟可使排队等候人数为0．为减少顾客等待结账的时间，需要6分钟内使排队等候人数为0，则需要至少同时开放_______个收银台．三．解答题（共12小题，满分68分）17. 计算：2cos45°﹣|1|＋（13）﹣118. 解不等式组243(2)312x x x +≤+⎧⎨-<⎩．19. 已知关于x 的一元二次方程2(21)20mx m x m --+-=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若方程有一个根是0，求方程的另一个根．20. 有趣的倍圆问题：校园里有个圆形花坛，春季改造，负责该片花园维护的某班同学经过协商，想把该花坛的面积扩大一倍．他们在图纸上设计了以下施工方案：①在⊙O 中作直径AB ，分别以A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧在直径AB 上方交于点C ，作射线OC 交⊙O 于点D ；②连接BD ，以O 为圆心BD 长为半径画圆；③大⊙O 即为所求作．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成如下证明：证明：连接CA 、CB在△ABC 中，∵CA ＝CB ，O 是AB 的中点，∴CO ⊥AB （ ）（填推理的依据）设小O 半径长为r∵OB ＝OD ，∠DOB ＝90°∴BD r∴S 大⊙O ＝πr ）2＝ S 小⊙O ．21. 如图，在ABC 中，点D 为AC 边上一点，连结BD 并延长到点E ，过点E 作EF BC ∥交AC 于点F ，交AB 于点G ．（1）若BD DE =，求证：CD DF =；（2）若7025BG GE ACB E =∠=︒∠=︒，，，求∠A 的度数．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()230y ax bx a =+-≠，经过点()1,0A -，()4,5B ．（1）求该抛物线的解析式．（2）点P 是x 轴上的动点，过点P 作垂直于x 轴的直线l ，直线l 与该抛物线交于点M ，与直线AB 交于点N ，当PM PN >时，求点P 的横坐标p x 的取值范围．23. 小彬在今年的篮球联赛中表现优异．下表是他在这场联赛中，分别与甲队和乙队各四场比赛中的技术统计．场次对阵甲队对阵乙队得分篮板失误得分篮板失误第一场2110225172第二场2910231150第三场2414316124第四场261052282平均值a 11223.5132（1）小彬在对阵甲队时的平均每场得分a 的值是______分；（2）小彬在这8场比赛的篮板统计数据中，众数是______，中位数是______；（3）如果规定“综合得分”为：平均每场得分1⨯+平均每场篮板 1.2⨯+平均每场失误()1⨯-，且综合得分越高表现越好．利用这种方式，我们可以计算得出小彬在对阵乙队时的“综合得分”是37.1分．请你比较小彬在对阵哪一个队时表现更好，并说明理由．24. 如图1，直线AB 与直线1l ，2l 分别交于C ，D 两点，点M 在直线k 上，射线DE 平分ADM ∠交直线1l 于点Q ，2AC Q C D Q ∠=∠．（1）证明：12l l ∥；（2）如图2，点P 是CD 上一点，射线QP 交直线2l 于点F ，70ACQ ∠=︒．①若15QFD ∠=︒，求出FQD ∠的度数．②点N 在射线DE 上，满足QCN QFD ∠=∠，连接CN ，请补全图形，探究CND ∠与PQD ∠的等量关系，并写出证明过程．25. 小云在学习过程中遇到一个函数21||(1)(2)6y x x x x =-+≥-．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：（1）当20x -≤<时，对于函数1||y x =，即1y x =-，当20x -≤<时，1y 随x 的增大而 ，且10y >；对于函数221y x x =-+，20x -≤<当时，2y 随x 的增大而 ，且20y >；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y ，当20x -≤<时，y 随x 的增大而 ．（2）当0x ≥时，对于函数y ，当0x ≥时，y 与x 的几组对应值如下表：x 0121322523L y 0116167161954872L综合上表，进一步探究发现，当0x ≥时，y 随x 的增大而增大．在平面直角坐标系xOy 中，画出当0x ≥时的函数y 的图象．（3）过点(0，)(0)m m >作平行于x 轴的直线l ，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l 与函数21||(1)(2)6y x x x x =-+≥-的图象有两个交点，则m 的最大值是_________．26. 小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：a ．小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：b ．小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：时段1日至10日11日至20日21日至30日平均数100170250（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为 （结果取整数）（2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的 倍（结果保留小数点后一位）；（3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为21,s 5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为22s ，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为23s ．直接写出222123,,s s s 的大小关系．27. 如图，在等腰△ABC 中，AC ＝BC ，D ，E 分别为AB ，BC 上一点，∠CDE ＝∠A ．（1）如图1，若BC ＝BD ，∠ACB ＝90°，则∠DEC 度数为_________°；（2）如图2，若BC ＝BD ，求证：CD ＝DE ；（3）如图3，过点C 作CH ⊥DE ，垂足为H ，若CD ＝BD ，EH ＝1，求DE －BE 的值．28. 问题探究：（1）如图1，在等边ABC 中，3AB =，点P 是它的外心，则PB ＝ ；（2）如图2，在矩形ABCD 中，3AB =，边BC 上存在点P ，使90APD ∠=︒，求矩形ABCD 面积的最小值；问题解决：（3）如图3，在四边形ABCD 中，3AB =，90A B ∠=∠=︒，45C ∠=︒，边CD 上存在点P ，使60APB ∠=︒，在此条件下，四边形ABCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．）1. 【答案】B【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．是中心对称图形，故此选项符合题意；C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选B．2. 【答案】B【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．【详解】解：抛物线y=5x2先向右平移2个单位得到解析式：y=5（x-2）2，再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：y=5（x-2）2+3．故选：B．【点睛】此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．3. 【答案】B【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P 在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．【详解】解：∵⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d．如果d≥r，∴P点在圆外或圆上．故选B．【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．4. 【答案】Cn-⨯=，然后解方程即【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到(2)1801260可．【详解】解：设这个多边形的边数为n，n-⨯=，(2)1801260n=，解得9故这个多边形为九边形．故选：C ．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是掌握n 边形的内角和为2180()n -⨯︒．5. 【答案】C【分析】首先判断出反比例函数所在象限，再分情况讨论正比例函数y=kx 所过象限，进而选出答案．【详解】反比例函数2k 1y x+=-（k 是常数且k≠0）中，()2k 1-+＜0，图象在第二、四象限，故A 、D 不合题意，当k ＞0时，正比例函数y=kx 的图象在第一、三象限，经过原点，故C 符合；当k ＜0时，正比例函数y=kx 的图象在第二、四象限，经过原点，故B 不符合；．故选C ．6. 【答案】D【分析】根据完全平方的特征对式子进行整理，即(a-1a )2+2，最后整体代入进行计算可得结果.【详解】解：∵13a a -=-，∴221a a +＝（a ﹣1a ）2+2＝（﹣3）2+2＝9+2＝11，故选：D ．【点睛】本题主要考查了代数式的求值，解题的关键是掌握完全平方公式．7. 【答案】A【分析】根据方差的意义求解．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．【详解】方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大，由图可知，B 课程成绩的波动大，A 课程成绩的波动小，∴2212s s <；故选：A ．【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．8. 【答案】A【分析】根据图像，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需18s ，满过“几何体”上方圆柱需()24186s -=，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需()422418s -=，再设匀速注水的水流速度为3cm /s x ，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；设“几何体”下方圆柱的高为cm a ，根据圆柱的体积公式得()3015185a ⋅-=⨯，解得6a =，于是得到“几何体”上方圆柱的高为5cm ，设“几何体”上方圆柱的底面积为2cm S ，根据圆柱的体积公式得()()53052418S ⋅-=⨯-，再解方程即可求解．【详解】解：根据函数图像得到圆柱形容器的高为14cm ，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为11cm ，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：()422418s -=，这段高度为：)14113m (c -=，设匀速注水的水流速度为3cm /s x ，则18303x ⋅=⨯，解得5x =，即匀速注水的水流速度为35cm /s ；“几何体”下方圆柱的高为cm a ，则3015185()a ⋅-=⨯，解得6a =，所以“几何体”上方圆柱的高为)1165m (c -=，设“几何体”上方圆柱的底面积为2cm S ，根据题意得()()53052418S ⋅-=⨯-，解得24S =，即“几何体”上方圆柱的底面积为224cm ，故选：A ．【点睛】本题考查了函数图像的应用：把分段函数图像中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题是解决本题的关键．二、填空题（本大题共8小题）9. 【答案】()2xy x y --【分析】本题考查了因式分解，运用提公因式法和完全平方公式即可作答．【详解】32232x y x y xy -+-()222xy x xy y =--+()2xy x y =--，故答案为：()2xy x y --．10. 【答案】6【分析】由题意得90ABE ACD ∠=∠=︒，则△ABE ∽△ACD ，根据相似三角形的性质得BE AB CD AC =，即可得．【详解】解：如图：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AC ，∴90ABE ACD ∠=∠=︒，∴△ABE ∽△ACD ，∴BE ABCD AC =，∴1.8310CD =，解得：CD ＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．11. 【答案】7x >【分析】本题考查了分式，解不等式，要使得分数为正数，则分子、分母必须同号，据此作答即可．【详解】根据题意有：67x ->0-，∵60-<，∴70x -<，∴7x >，故答案为：7x >．12. 【答案】17x y x y +=-⎧⎨-=⎩【分析】由题意知，可组的二元一次方程组不唯一，加减是最简单的，所以可给出17x y x y +=-⎧⎨-=⎩的形式．【详解】解：∵1x y +=-，7x y -=∴最简单的二元一次方程组可为17x y x y +=-⎧⎨-=⎩故答案为：17x y x y +=-⎧⎨-=⎩．【点睛】本题考查了二元一次方程组．解题的关键在于按照方程组的解给出正确的方程组的形式．13. 【答案】2【分析】由角平分线的性质可得，点P 到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB 、BC 、CA 的高相等，利用面积公式即可求解．【详解】解：过点P 作PD ⊥AC 于D ，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥BC 于F ，∵P 是三角形三条角平分线的交点，∴PD ＝PE ＝PF ，∵S △ABC ＝30，C △ABC ＝30，∴点P 到边AB 的距离23030⨯==2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形面积的求法，作辅助线是解题的关键．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．14. 【答案】6-【分析】先根据等边对等角和三角形内角和定理得到36A ∠=︒，再根据线段垂直平分线的性质得到AE BE =，推出36EAB EBA ∠=∠=︒，进而求出36EBC ∠=︒，则72BEC ∠=︒，即可得到BE BC =，证明ABC BCE ∽，设CE x =，则4AE BE BC x ===-，利用相似三角形的性质建立方程444x x x-=-，解方程即可得到答案．【详解】解：∵AB AC =，72C ∠=︒，∴72ABC C ∠=∠=︒，∴18036A ABC C =︒--=︒∠∠∠，∵AB 的垂直平分线DE 交AC 于点E ，∴AE BE =，∴36EAB EBA ∠=∠=︒，∴36EBC ABC EBA A =-=︒=∠∠∠∠，∴18072BEC C EBC C ∠=︒-∠-∠=︒=∠，∴BE BC =，又∵C C ∠=∠，∴ABC BCE ∽，∴BE CE AC BC=，设CE x =，则4AE BE BC AC CE x ===-=-，∴444x x x-=-，∴28164x x x -+=，解得6x =-（不合题意的值舍去），∴6CE =-故答案为：6-．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．15. 【答案】30︒或150︒【分析】画出图形，连接,,,OA OB BE AE ，在 AB 上取点G ，连接,AG BG ，由正六边形的性质得出,60AB BC CD DE AE EF AOB =====∠=︒，由圆周角定理得出3120AEB AOB ∠=∠=︒，由圆内接四边形的性质得出180150AGB AEB ∠=︒-∠=︒，即可得出结论．【详解】解：连接,,,OA OB BE AE ，在 AB 上取点G ，连接,AG BG ，如图所示：∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴360,=606AB BC CD DE AE EF AOB ︒=====∠=︒，∴3120AEB AOB ∠=∠=︒，∵四边形AEBG 是圆内接四边形，∴180150AGB AEB ∠=︒-∠=︒，即在正六边形的外接圆中，任一边所对的圆周角的度数为30︒或150︒；故答案为：30︒或150︒．【点睛】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理、圆内接四边形的性质；熟练掌握正六边形的性质和圆周角定理是解题的关键．16. 【答案】6【分析】设每分钟增加结账人数x 人，每分钟收银员结账y 人，根据题意，得y =2x ，n =60x ．根据为减少顾客等待结账的时间，需要6分钟内使排队等候人数为0的要求，可设开放a 个收银台，则6ay ≥6x +n ，将y 和n 代入，即可求得a 的取值，从而请求解．【详解】解：设每分钟增加结账人数x 人，每分钟收银员结账y 人，根据题意，得2022012312x n y x n y +=⨯⎧⎨+=⨯⎩化简，得y =2x ，n =60x ，∴为减少顾客等待结账的时间，需要6分钟内使排队等候人数为0，设开放a 个收银台，则6ay ≥6x +n ，即6a ·2x ≥6x +60x ，12a ≥66，∵x >0，∴．a ≥112，∵a 是正整数，∴．a ≥6，∴需要至少同时开放6个收银台．故答案为：6．【点睛】本题考查了二元一次方程组和不等式的应用，弄清题意，正确设未知数找到相等关系是解题的关键．三．解答题（共12小题，满分68分）17. 【答案】1【分析】根据特殊角的三角函数值，绝对值的性质、负整数指数幂以及立方根的概念计算即可求解．【详解】2cos45°﹣|1|＋（13）﹣12133=++-133=++-1=．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值的性质、负整数指数幂以及立方根的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．18. 【答案】-2≤ x <1【分析】先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可得到答案．【详解】解：243(2)312x x x +≤+⎧⎨-<⎩①②，解不等式①得：2x ≥-，解不等式②得：1x <，∴不等式组的解集为：21x -£<．【点睛】本题主要考查了解不等式组，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次不等式的方法．19. 【答案】（1）14m -＞ 且0m ≠ （2）另一个根为32【分析】（1）由一元二次方程定义和根的判别式与根之间的关系，列不等式组求解即可．（2）将x =0代入原方程，求出m ，再解方程即可．【小问1详解】解：∵2(21)20mx m x m --+-=是一元二次方程，0m ∴≠ ，∵一元二次方程2(21)20mx m x m --+-=有两个不相等的实数，240b ac \D=-＞ ，即：[]2(21)4(2)0m m m ----＞ ，整理得：410m +＞ ，14m \-＞ ，综上所述：14m -＞ 且0m ≠．【小问2详解】∵方程有一个根是0，将x =0代入方程得：20m -= ，2m ∴= ，则原方程为：2230x x -= ，解得：1230,2x x == ，∴方程的另一个根为32．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式与根的关系：0D Û＞方程有两个不相等的实数根 ， =0D Û方程有两个相等的实数根，0D Û＜方程没有实数根，0D³Û方程有实数根．熟练掌握根的判别式与根的关系是解题关键，一元二次方程的二次项系数不能为0是易错点．20. 【答案】（1）见解析 （2）见解析【分析】（1）按照题意作图即可；（2）先根据三线合一定理得到CO ⊥AB ，然后证明BD r 即可得到S 大⊙O ＝πr ）2＝2S 小⊙O ．【小问1详解】解：如图所示，即为所求；【小问2详解】证明：连接CA 、CB在△ABC 中，∵CA ＝CB ，O 是AB 的中点，∴CO ⊥AB （三线合一定理）（填推理的依据）设小O 半径长为r∵OB ＝OD ，∠DOB ＝90°∴BD r∴S 大⊙O ＝πr ）2＝2S 小⊙O ．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与尺规作图，三线合一定理，勾股定理，圆的尺规作图等等，正确理解题意作出图形是解题的关键．21. 【答案】（1）见解析 （2）60︒【分析】（1）根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）可知DBC E ∠=∠，结合已知,BD DE BDC EDF =∠=∠（对顶角相等），可证得BDC EDF ≌ （ASA ），即可根据全等三角形的性质定理证得CD DF =．（2）根据平行线的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理解答即可．【小问1详解】证明：∵EF BC∥∴E DBC∠=∠在Rt BDC Rt EDF 和中，DBC E BD DEBDC EDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴EDF BDC ≌ （ASA ）∴CD DF =；【小问2详解】解：∵EF BC∥∴25E DBC ∠=∠=︒又∵BG GE=∴25GBE E ∠=∠=︒∴50ABC GBE DBC ∠=∠+∠=︒在ABC中，∵70ACB ∠=︒∴180180507060A ABC ACB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握并熟练运用相关的性质定理是解题的关键．22. 【答案】（1）2=23y x x --（2）4p x >或2p x <【分析】（1）将点()1,0A -，()4,5B 代入解析式，利用待定系数法求解；（2）先求出直线AB 的解析式，设()223p p p M x ,x x --，()1p p N x ,x +，则223p p P x M x =--，1p PN x =+，根据PM PN >列出不等式，即可求解．【小问1详解】解： 抛物线()230y ax bx a =+-≠经过点()1,0A -，()4,5B ，∴ 3016435a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，∴该抛物线的解析式为2=23y x x --．【小问2详解】解：设直线AB 的解析式为y kx t =+．将点()1,0A -，()4,5B 代入，可得045k t k t -+=⎧⎨+=⎩，解得11k t =⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为1y x =+．设()223p p p M x ,x x --，()1p p N x ,x +，则223p p P x M x =--，1p PN x =+，PM PN >，∴2231p p p x x x -->+，∴()1310p p x x +⋅-->，10p x +>，∴310p x -->，∴31p x ->或31p x -<-，∴4p x >或2p x <．即点P 的横坐标p x 的取值范围是4p x >或2p x <．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数、二次函数解析式，一次函数和二次函数图象上点的坐标的特征，利用绝对值的性质解不等式等，第2问有一定难度，正确求解不等式是解题的关键．23. 【答案】（1）25 （2）10，11（3）小彬在对阵乙队时表现更好，理由见解析【分析】（1）根据平均数的计算方法求解即可；（2）根据众数，中位数的概念求解即可；（3）根据“综合得分”的计算方法求出小彬在对称甲队时的得分，然后比较求解即可．【小问1详解】()21292426425a =+++÷=∴小彬在对阵甲队时的平均每场得分a 的值是25分，故答案为：25．【小问2详解】在这8场比赛的篮板统计数据中，10出现的次数最多，∴众数是10，从小到大排列为：8，10，10，10，12，14，15，17，∴在中间的两个数为10，12∴中位数为1012112+=，故答案为：10，11；【小问3详解】小彬在对称甲队时的“综合得分”为：()25111 1.22136.2⨯+⨯+⨯-=，∵36.237.1<∴小彬在对阵乙队时表现更好．【点睛】此题考查了平均数，众数，中位数，加权平均数的计算，解题的关键是熟练掌握以上计算方法．24. 【答案】（1）见详解 （2）①20︒；②CND PQD ∠=∠或70CND PQD ∠+∠=︒，证明见解答．【分析】（1）根据角平分线的定义以及平行线的判定进行解答即可；（2）①根据平行线的性质，角平分线的定义以及三角形的外角性质进行计算即可；②分两种情况画出相应的图形，根据图形中角的大小关系得出结论．【小问1详解】证明：如图1，DE 平分ADM ∠，12ADE EDM ADM ∴∠=∠=∠，∵2AC Q C D Q ∠=∠，ACQ ADM ∴∠=∠，12l l ∴∥；【小问2详解】解：①12l l ∥，70ADM ACQ ∴∠=∠=︒，DE 平分ADM ∠，1352ADE EDM ADM ∴∠=∠=∠=︒，EDM QFD FQD ∠=∠+∠ ，351520FQD ∴∠=︒-︒=︒；②证明：CND PQD ∠=∠或70CND PQD ∠+∠=︒，理由如下：如图3，12l l ∥，NCQ CTD ∴∠=∠，QCN QFD ∠=∠ ，CTD QFD ∴∠=∠，NT FQ ∴∥，CND PQD ∴∠=∠；如图4，由①可得1352CDQ CQD ACQ ∠=∠=∠=︒，CND CQN QCN ∠=∠+∠ ，QCN QFD ∠=∠，CND CQN QFD ∴∠=∠+∠，35CND QFD ∴∠=︒+∠，即：35CND QFD ︒∠-∠=，35QFD FQC CQD PQD QDM FQD PQD ∠=∠=∠-∠=∠-∠=︒-∠ ，(35)35CND QFD CND PQD ∴∠-∠=∠-︒-∠=︒，70CND PQD ∴∠+∠=︒，综上所述，CND ∠与FQD ∠满足的等量关系为CND PQD ∠=∠或70CND PQD ∠+∠=︒．【点睛】本题考查平行线的性质与判断，掌握平行线的性质和判断方法是解决问题的关键．25. 【答案】（1）减小，减小，减小；（2）见解析； （3）73．【分析】本题考查二次函数与不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．（1）利用一次函数或二次函数的性质解决问题即可．（2）利用描点法画出函数图象即可．（3）观察图象可知，2x =-时，m 的值最大．【小问1详解】当20x -≤<时，对于函数1||y x =，即1y x =-，当20x -≤<时，1y 随x 的增大而减小，且10y >；对于函数221y x x =-+，当20x -≤<时，2y 随x 的增大而减小，且20y >；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y ，当20x -≤<时，y 随x 的增大而减小．故答案为：减小，减小，减小；【小问2详解】函数图象如图所示：【小问3详解】观察图象可知，2x =-时，m 的值最大，最大值172(421)63m =⨯⨯++=，故答案为：73．26. 【答案】（1）173；（2）2.9倍；（3）222123s s s >>【分析】（1）利用加权平均数的计算公式进行计算，即可得到答案；（2）利用5月份的平均数除以4月份的平均数，即可得到答案；（3）直接利用点状图和方差的意义进行分析，即可得到答案．【详解】解：（1）平均数：1[(10010)(17010)(25010)]17330⨯⨯+⨯+⨯=（千克）；故答案为：173；（2）17360 2.9÷=倍；故答案为：2.9；（3）方差反应数据的稳定程度，即从点状图中表现数据的离散程度，所以从图中可知：222123s s s >>；【点睛】本题考查了方差的意义，平均数，以及数据的分析处理，解题的关键是熟练掌握题意，正确的分析数据的联系．27. 【答案】（1）67.5;（2）证明见解析；（3）DE －BE=2．【分析】（1）先根据等腰三角形的性质，得出∠A=∠B=45°=∠CDE ，再根据BC=BD ，可得出∠BDC 的度数，然后可得出∠BDE 的度数，最后根据三角形外角的性质可得出∠DEC 的度数；（2）先根据条件得出∠ACD=∠BDE ，BD=AC ，再根据ASA 判定△ADC ≌△BED ，即可得到CD=DE ；（3）先根据条件得出∠DCB=∠CDE ，进而得到CE=DE ，再在DE 上取点F ，使得FD=BE ，进而判定△CDF ≌△DBE （SAS ），得出CF=DE=CE ，再根据CH ⊥EF ，运用三线合一即可得到FH=HE ，最后得出CE-BE=DE-DF=EF=2HE ，即可得出结论．【详解】（1）解：∵AC=BC ，∠ACB=90°，∴∠A=∠B=45°=∠CDE ，又BC=BD ，∴∠BDC=∠BCD=12(180°-∠B)=67.5°，∴∠BDE=∠BDC-∠CDE=67.5°-45°=22.5°，∴∠DEC=∠B+∠BDE=67.5°；故答案为：67.5；（2）证明：∵AC=BC ，∠CDE=∠A ，∴∠A=∠B=∠CDE ，∵∠CDB=∠A+∠ACD=∠CDE+∠BDE ，∴∠ACD=∠BDE ，又∵BC=BD ，∴BD=AC ，在△ADC 和△BED 中，ACD BDEAC BD A B∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADC ≌△BED （ASA ），∴CD=DE ；（3）解：∵CD=BD ，∴∠B=∠DCB ，由（2）知：∠CDE=∠B ，∴∠DCB=∠CDE ，∴CE=DE ，如图，在DE 上取点F ，使得FD=BE ，在△CDF 和△DBE 中，DF BECDE B CD BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDF ≌△DBE （SAS ），∴CF=DE=CE，又∵CH ⊥EF ，∴FH=HE ，∴DE －BE=DE －DF=EF=2HE=2．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰三角形．28. 【答案】（1（2）18（3+【分析】（1）画出图形，根据等边三角形的性质和外心的性质即可作答；（2）如图2中，当以AD 为直径的O 与BC 相切时，切点为P ，此时90APD ∠=︒，AD 的长最小,求出AD 的长即可解决问题；（3）存在．如图3中，如图作等边三角形ABM 的外接圆O ，当直线CD 与O 相切与P 时，四边形ABCD 的面积最大，此时满足条件60APB AMB ∠=∠=︒．想办法求出AD 、AB 即可解决问题．【小问1详解】如图，∵在等边ABC 中，3AB =，∴60B BC AB CW AB ∠=︒====，，，∵点P 是等边ABC 的外心，∴23PB PC WC ==，∴2233PB PC WC ====，【小问2详解】如图，当以AD 为直径的O 与BC 相切时，切点为P ，此时90APD ∠=︒，AD 的长最小．连接OP ．∵O 与BC 相切，∴OP BC ⊥，∵在矩形ABCD 中，OA OP OD ==，∴四边形ABPO ，四边形CDOP 都是正方形，∴AB OP=∴3AB CD AO ===，6BC AD ==，∴矩形ABCD 面积的最小值为：18BC AB ⋅=．【小问3详解】存在．如图，在AB 的右边作等边三角形ABM 的外接圆O ，当直线CD 与O 相切与P 时，四边形ABCD 的面积最大，此时根据圆周角定理可知：满足条件60APB AMB ∠=∠=︒．延长MO 交AB 于E ，过点O 作OF AD ⊥于F ，过点P 作PT BC ⊥于T ，连接OP ，PT 交OM 于R ．TP 的延长线交AD 的延长线于点N ，∵90A B ∠=∠=︒∴180A B ∠+∠=︒，∴AD BC ∥，又∵3AB =，45C ∠=︒，∴CD ==．∵ABM 是等边三角形，圆O 外接等边三角形ABM ，∴EM AB ⊥，结合OF AD ⊥、PT BC ⊥、90A B ∠=∠=︒，即四边形AEOF 、四边形AERN 、四边形BERT 、四边形FORN 是矩形，∴32AE EB NR RT ====，AF EO ==，OM OP ==∵45C ∠=︒，AD BC ∥，90N ∠=︒，∴45NDP C ∠=∠=︒，∴45NPD ∠=︒，即DNPN =，∵OP CD ⊥，∴90DPO ∠=︒，∴18045OPR DPO DPN ∠=︒-∠-∠=︒，∴OR PR ===，∴BT AN ==，32DN PN NR PR ==-==∴AD AN DN =-==，32BC BT CT =+=++=，∴2ABCD AD BC S AB +=⋅=四边形．【点睛】本题考查了四边形综合题、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、直线与圆的位置关系、四边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．。
2023-2024学年北京市西城区中考数学质量检测仿真模拟卷合集2套(含解析)
2023-2024学年北京市西城区中考数学质量检测仿真模拟卷（一模）一、选一选：（本大题共16小题，42分.1-10小题个3分，11-16小题各2分．）1.计算(﹣3)+5的结果等于()A.2B.﹣2C.8D.﹣82.据统计，2016年长春市接待旅游人数约人次，这个数用科学记数法表示为（）A.67×106B.6.7×105C.6.7×107D.6.7×1083.下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是()A. B. C. D.4.下列计算正确的是（）A.（﹣2xy）2=﹣4x2y2B.x6÷x3=x2C.（x﹣y）2=x2﹣y2D.2x+3x=5x5.计算111aa a+++的结果为（）A.1B.aC.a+1D.1 1 a+6.如图，直线a，b被直线c所截，下列条件没有能判定直线a与b平行的是（）A.∠1=∠3B.∠2+∠4=180°C.∠1=∠4D.∠3=∠4 7.）A.4和5之间B.5和6之间C.6和7之间D.7和8之间8.如图所示，点P到直线l的距离是（）A.线段PA的长度B.线段PB的长度C.线段PC的长度D.线段PD的长度9.函数y=（m﹣2）x+（m﹣1）的图象如图所示，则m的取值范围是（）A.m＜2B.1＜m＜2C.m＜1D.m＞210.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，则至少出现正面向上的概率为（）A.14 B.12C.34 D.2311.如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC．若∠A=62°，∠AED=54°，则∠B的大小为（）A.54°B.62°C.64°D.74°12.如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A. B. C. D.13.某县为发展教育事业，加强了对教育的投入，2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元．设教育的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A.2x B.()230005000+=30001x5000C.()%230001x30001x5000+++=+= D.()()2 30001x500014.如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.15.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于CP+EP最小值的是（）A.ACB.ADC.BED.BC16.如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，点P和点Q分别从点B和点C出发，沿射线BC 向右运动，且速度相同，过点Q作QH⊥BD，垂足为H，连接PH，设点P运动的距离为x（0＜x≤2），△BPH的面积为S，则能反映S与x之间的函数关系的图象大致为（）A. B. C. D.二、选一选（本大题共3小题，共10分.17-18小题各3分，19小题2个空，每空2分）17.-5的相反数是_______18.如图，A 、B 、C 是⊙O 上的点，若∠AOB=70°，则∠ACB 的度数为_____．19.如图，四条直线l1：y 1=33x ，l 2：y 2，l 3：y 3=，l 4：y 4=﹣33，OA 1=l ，过点A 1作A 1A 2⊥x 轴，交l 1于点A 2，再过点A 2作A 2A 3⊥l 1交l 2于点A 3，再过点A 3作A 3A 4⊥l 3交y 轴于点A 4…，则点A 2坐标为_____；点A 2018的坐标为_____．三、解答题：（本大题共7个小题，共68分）20.计算：（1）4cos30°+（1）0+|﹣2|．（2）定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ⊕b=a （a ﹣b ）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×（2﹣5）+1=2×（﹣3）+1=﹣6+1=﹣5①求（﹣2）⊕3的值；②若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在给定的数轴上表示出来．21.（1）计算：（﹣2x2y）3÷（﹣4xy2）；（2）已知，如图，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于点E，DE=EF．求证：AE=CE．22.我市某中学为了了解孩子们对《中国诗词大会》，《挑战没有可能》，《最强大脑》，《超级演说家》，《地理中国》五种电视节目的喜爱程度，随机在七、八、九年级抽取了部分学生进行（每人只能选择一种喜爱的电视节目），并将获得的数据进行整理，绘制出以下两幅没有完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次中共抽取了名学生．（2）补全条形统计图．（3）在扇形统计图中，喜爱《地理中国》节目的人数所在的扇形的圆心角是度．（4）若该学校有2000人，请你估计该学校喜欢《最强大脑》节目的学生人数是多少人？23.某段笔直的限速公路上，规定汽车的行驶速度没有能超过60km/h(即503m/s)，交通管理部门在离该公路100m处设置了一速度检测点A，在如图所示的坐标系中，A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上．(1)在图中直接标出表示60°和45°的角；(2)写出点B、点C坐标；(3)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用时间为15s．请你通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速？( 1.7)24.某超市进价为2元的雪糕，在中发现，此商品的日单价x（元）与日量y（根）之间有如下关系：日单价x（元）3456日量y（根）40302420（1）猜测并确定y和x之间的函数关系式；（2）设此商品利润为W，求W与x的函数关系式，若物价局规定此商品限价为10元/根，你是否能求出商品日利润？若能请求出，没有能请说明理由．25.在等边△AOB中，将扇形COD按图1摆放，使扇形的半径OC、OD分别与OA、OB重合，OA＝OB＝2，OC＝OD＝1，固定等边△AOB没有动，让扇形COD绕点O逆时针旋转，线段AC、BD也随之变化，设旋转角为α．（0＜α≤360°）（1）当OC∥AB时，旋转角α＝度；发现：（2）线段AC与BD有何数量关系，请仅就图2给出证明．应用：（3）当A、C、D三点共线时，求BD的长．拓展：（4）P是线段AB上任意一点，在扇形COD的旋转过程中，请直接写出线段PC的值与最小值．26.如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标．2023-2024学年北京市西城区中考数学质量检测仿真模拟卷（一模）一、选一选：（本大题共16小题，42分.1-10小题个3分，11-16小题各2分．）1.计算(﹣3)+5的结果等于()A.2B.﹣2C.8D.﹣8【正确答案】A【分析】依据有理数的加法法则计算即可.【详解】（﹣3）+5=5﹣3=2．故选：A.本题主要考查的是有理数的加法法则，掌握有理数的加法法则是解题的关键．2.据统计，2016年长春市接待旅游人数约人次，这个数用科学记数法表示为（）A.67×106B.6.7×105C.6.7×107D.6.7×108【正确答案】C【详解】解：这个数用科学记数法表示为6.7×107．故选C．3.下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是()A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：A.是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；B.没有是轴对称图形，是对称图形，故没有符合题意；C.是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；D.既是轴对称图形又是对称图形，故符合题意．故选D．本题考查了轴对称图形和对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和对称图形的定义是解答本题的关键．4.下列计算正确的是（）A.（﹣2xy）2=﹣4x2y2B.x6÷x3=x2C.（x﹣y）2=x2﹣y2D.2x+3x=5x 【正确答案】D【详解】解：A．（﹣2xy）2=4x2y2，故本选项错误；B．x6÷x3=x3，故本选项错误；C．（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2，故本选项错误；D．2x+3x=5x，故本选项正确．故选D．5.计算111aa a+++的结果为（）A.1B.aC.a+1D.1 1 a+【正确答案】A【详解】原式=11aa++=1，故选A．6.如图，直线a，b被直线c所截，下列条件没有能判定直线a与b平行的是（）A.∠1=∠3B.∠2+∠4=180°C.∠1=∠4D.∠3=∠4【正确答案】D【详解】试题分析：A．∵∠1=∠3，∴a∥b，故A正确；B．∵∠2+∠4=180°，∠2+∠1=180°，∴∠1=∠4，∵∠4=∠3，∴∠1=∠3，∴a∥b，故B正确；C．∵∠1=∠4，∠4=∠3，∴∠1=∠3，∴a∥b，故C正确；D．∠3和∠4是对顶角，没有能判断a与b是否平行，故D错误．故选D．考点：平行线的判定．7.38的值在（）A.4和5之间B.5和6之间C.6和7之间D.7和8之间【正确答案】C【详解】解：由36＜38＜49，即可得6＜38＜7，故选：C．8.如图所示，点P到直线l的距离是（）A.线段PA的长度B.线段PB的长度C.线段PC的长度D.线段PD的长度【正确答案】B【详解】解：由点到直线的距离定义，点P到直线l的距离是线段PB的长度，故选B．9.函数y=（m﹣2）x+（m﹣1）的图象如图所示，则m的取值范围是（）A.m＜2B.1＜m＜2C.m＜1D.m＞2【正确答案】B【详解】分析：根据函数的图象第二、三、四象限判断出函数k及b的符号，得到关于m的没有等式组，解没有等式组即可．详解：∵函数y=（m﹣2）x+（m﹣1）的图象在第二、三、四象限，∴2010mm-⎧⎨-⎩＜＞，解得：1＜m＜2．故选B．点睛：本题主要考查函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必一、三象限．k＜0时，直线必二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．10.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，则至少出现正面向上的概率为（）A.14 B.12C.34 D.23【正确答案】C【详解】解：由题意可得，出现的所有可能性是：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），∴至少正面向上的概率为：34，故选C．11.如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC．若∠A=62°，∠AED=54°，则∠B的大小为（）A.54°B.62°C.64°D.74°【正确答案】C【详解】解：∵DE∥BC，∴∠C=∠AED=54°，∵∠A=62°，∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=64°，故选C．点睛：本题考查了平行线的性质，三角形的内角和，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．12.如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A. B. C. D.【正确答案】A【详解】试题分析：观察几何体可得，这个几何体的主视图是四个正方形组成，故答案选A．考点：几何体的主视图．13.某县为发展教育事业，加强了对教育的投入，2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元．设教育的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A.230005000x B.()2+=30001x5000C.()%230001x30001x5000+++=+= D.()()2 30001x5000【正确答案】B【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设教育的年平均增长率为x，根据“2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元”，可以分别用x 表示2012以后两年的投入，然后根据已知条件可得出方程．【详解】解：设教育的年平均增长率为x，则2013的教育为：3000×（1+x）万元，2014的教育为：3000×（1+x）2万元，那么可得方程：3000×（1+x）2＝5000．故选：B．本题考查了一元二次方程的运用，解此类题一般是根据题意分别列出没有同时间按增长率所得教育与预计投入的教育相等的方程．14.如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.【正确答案】B【详解】解：∵PB+PC=BC，PA+PC=BC，∴PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在线段AB的垂直平分线上，故可判断B选项正确．故选B．15.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于CP+EP最小值的是（）A.ACB.ADC.BED.BC【正确答案】C【分析】如图连接PB，只要证明PB=PC，即可推出PC+PE=PB+PE，由PE+PB≥BE，可得P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度．【详解】解：如图，连接PB，∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴PB=PC，∴PC+PE=PB+PE，∵PE+PB≥BE，∴P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度，故选C．本题考查轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．16.如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，点P和点Q分别从点B和点C出发，沿射线BC 向右运动，且速度相同，过点Q作QH⊥BD，垂足为H，连接PH，设点P运动的距离为x（0＜x≤2），△BPH的面积为S，则能反映S与x之间的函数关系的图象大致为（）A. B. C. D.【正确答案】A【详解】∵菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，∴∠DBC=60°，∵BQ=2+x，QH⊥BD，∴BH=12BQ=1+12x，过H作HG⊥BC，∴HG=32BH=3324x+，∴S=12PB•GH=23384x x+，（0＜x≤2），故选A．本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．二、选一选（本大题共3小题，共10分.17-18小题各3分，19小题2个空，每空2分）17.-5的相反数是_______【正确答案】5【分析】根据相反数的定义直接求得结果．【详解】解：-5的相反数是5，故5．本题主要考查了相反数的性质，只有符号没有同的两个数互为相反数，0的相反数是0．18.如图，A、B、C是⊙O上的点，若∠AOB=70°，则∠ACB的度数为_____．【正确答案】35°##35度【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【详解】解：∵A、B、C是⊙O上的点，∠AOB=70°，∴∠ACB =12∠AOB =35°．故答案为35°．本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．19.如图，四条直线l1：y 1=33x ，l 2：y 2，l 3：y 3=，l 4：y 4=﹣33，OA 1=l ，过点A 1作A 1A 2⊥x 轴，交l 1于点A 2，再过点A 2作A 2A 3⊥l 1交l 2于点A 3，再过点A 3作A 3A 4⊥l 3交y 轴于点A 4…，则点A 2坐标为_____；点A 2018的坐标为_____．【正确答案】①.（1，33），②.（（233）2016，12（233）2017）．【详解】解：∵y 1=33x ，l 2：y 2x ，l 3：y 3=﹣，l 4：y 4=﹣33x ，∴x 轴、l 1、l 2、y 轴、l 3、l 4依次相交为30的角，∵2017=168×12+1，∴点A 2017在x 轴的正半轴上，∵OA 2=1cos30 =233，OA 3=（3）2，OA 4=（3）3，…OA 2016=2015233⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，∴点A 2017坐标为（2016233⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，0）．故答案为（20163⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，0）．三、解答题：（本大题共7个小题，共68分）20.计算：（1）4cos30°+（1）0+|﹣2|．（2）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×（2﹣5）+1=2×（﹣3）+1=﹣6+1=﹣5①求（﹣2）⊕3的值；②若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在给定的数轴上表示出来．【正确答案】(1)3；(2)①11；②x＞﹣1【详解】分析：（1）根据角锐角三角函数以及零指数幂的意义即可求出答案．（2）根据题意给出的运算法则即可求出答案．详解：（1）原式=4×2+1﹣+2=3（2）①原式=（﹣2）×（﹣2﹣3）+1=10+1=11②∵3⊕x=3（3﹣x）+1=10﹣3x∴10﹣3x＜13∴x＞﹣1在数轴表示，如图：点睛：本题考查了学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．21.（1）计算：（﹣2x2y）3÷（﹣4xy2）；（2）已知，如图，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于点E，DE=EF．求证：AE=CE．【正确答案】(1)2x5y．(2)证明见解析.【详解】分析：（1）根据整式的除法法则计算即可；（2）根据ASA证明即可；详解：（1）原式=﹣8x6y3÷（﹣4xy2）=2x5y．（2）∵AB∥FC，∴∠ADE=∠F．在△ADE和△CFE中，ADE FDE EF AED CEF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADE≌△CFE，∴AE=CE．点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、整式的除法等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.我市某中学为了了解孩子们对《中国诗词大会》，《挑战没有可能》，《最强大脑》，《超级演说家》，《地理中国》五种电视节目的喜爱程度，随机在七、八、九年级抽取了部分学生进行（每人只能选择一种喜爱的电视节目），并将获得的数据进行整理，绘制出以下两幅没有完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次中共抽取了名学生．（2）补全条形统计图．（3）在扇形统计图中，喜爱《地理中国》节目的人数所在的扇形的圆心角是度．（4）若该学校有2000人，请你估计该学校喜欢《最强大脑》节目的学生人数是多少人？【正确答案】（1）200；（2）补图见解析；（3）36；（4）600人.【详解】试题分析：（1）用喜欢《中国诗词大会》的人数除以所占的百分比列式计算即可；（2）求得喜爱《挑战没有可能》节目的人数，将条形统计图补充完整即可；（3）用360°×喜爱《地理中国》节目的人数占总人数的百分数即可得到结论；（4）直接利用样本估计总体的方法求解即可求得答案．试题解析：解：（1）30÷15%＝200名，答：本次中共抽取了200名学生；故答案为200；（2）喜爱《挑战没有可能》节目的人数＝200﹣20﹣60﹣40﹣30＝50名，补全条形统计图如图所示；（3）喜爱《地理中国》节目的人数所在的扇形的圆心角是360°×20200＝36度；故答案为36；（4）2000×60200＝600名，答：该学校喜欢《最强大脑》节目的学生人数是600人．点睛：此题考查了条形统计图与扇形统计图的知识．注意掌握条形统计图与扇形统计图各量的对应关系是解此题的关键．23.某段笔直的限速公路上，规定汽车的行驶速度没有能超过60km/h(即503m/s)，交通管理部门在离该公路100m处设置了一速度检测点A，在如图所示的坐标系中，A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上．(1)在图中直接标出表示60°和45°的角；(2)写出点B、点C坐标；(3)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用时间为15s．请你通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速？(取1.7)【正确答案】（1）∠OAB=60°，∠OAC=45°；（2）C的坐标是（100，0）；（3）该汽车在这段限速路上超速了．【分析】（1）根据方向角的定义即可表示60°和45°的角；（2）已知OA=100m，求B、C的坐标就是求OB、OC的长度，可以转化为解直角三角形；（3）先求出BC的长，除以时间就得到汽车的速度，再与60km/h（即503m/s）比较就可以判断是否超速．【详解】（1）如图所示，∠OAB=60°，∠OAC=45°；（2）∵在直角三角形ABO中，AO=100，∠BAO=60度，∴OB=OA B的坐标是（﹣0）；∵△AOC是等腰直角三角形，∴OC=OA=100，∴C的坐标是（100，0）；（3）BC=BO+OC100≈270（m）．270÷15=18（m/s）．∵18＞503，∴该汽车在这段限速路上超速了．本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．24.某超市进价为2元的雪糕，在中发现，此商品的日单价x（元）与日量y（根）之间有如下关系：日单价x（元）3456日量y（根）40302420（1）猜测并确定y和x之间的函数关系式；（2）设此商品利润为W，求W与x的函数关系式，若物价局规定此商品限价为10元/根，你是否能求出商品日利润？若能请求出，没有能请说明理由．【正确答案】（1）120yx；（2）96元.【详解】试题分析：（1）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x与y 的乘积是相同的，都是120，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解即可；（2）首先要知道纯利润=（单价x-2）×日数量y，这样就可以确定w与x的函数关系式，然后根据题目的售价没有超过10元/根，就可以求出获得日利润时的日单价x ．试题解析：解：（1）∵3×40=120，4×30=120，5×24=120，6×20=120，∴y 是x 的反比例函数．设k y x=（k 为常数且k ≠0），把点（3，40）代入得，k =120，所以120y x =；（2）∵W =（x ﹣2）y =120﹣240x，又∵x ≤10，∴当x =10，W =96（元）．点睛：本题考查了反比例函数的定义，也考查了根据实际问题和反比例函数的关系式求值，属于中等难度的题，解答此类题目的关键是仔细理解题意．25.在等边△AOB 中，将扇形COD 按图1摆放，使扇形的半径OC 、OD 分别与OA 、OB 重合，OA ＝OB ＝2，OC ＝OD ＝1，固定等边△AOB 没有动，让扇形COD 绕点O 逆时针旋转，线段AC 、BD 也随之变化，设旋转角为α．（0＜α≤360°）（1）当OC ∥AB 时，旋转角α＝度；发现：（2）线段AC 与BD 有何数量关系，请仅就图2给出证明．应用：（3）当A 、C 、D 三点共线时，求BD 的长．拓展：（4）P 是线段AB 上任意一点，在扇形COD 的旋转过程中，请直接写出线段PC 的值与最小值．【正确答案】（1）60或240；(2)AC=BD，理由见解析；（3）2或12-；（4）PC 的值=3，PC 的最小值1．【详解】分析：（1）如图1中，易知当点D 在线段AD 和线段AD 的延长线上时，OC ∥AB ，此时旋转角α=60°或240°．（2）结论：AC =BD ．只要证明△AOC ≌△BOD 即可．（3）在图3、图4中，分别求解即可．（4）如图5中，由题意，点C 在以O 为圆心，1为半径的⊙O 上运动，过点O 作OH ⊥AB 于H ，直线OH 交⊙O 于C ′、C ″，线段CB 的长即为PC 的值，线段C ″H 的长即为PC 的最小值．易知PC 的值=3，PC 的最小值﹣1．详解：（1）如图1中，∵△ABC 是等边三角形，∴∠AOB =∠COD =60°，∴当点D 在线段AD 和线段AD 的延长线上时，OC ∥AB ，此时旋转角α=60°或240°．故答案为60或240；（2）结论：AC =BD ，理由如下：如图2中，∵∠COD =∠AOB =60°，∴∠COA =∠DOB ．在△AOC 和△BOD 中，OA OB COA DOB CO OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≌△BOD ，∴AC =BD；（3）①如图3中，当A 、C 、D 共线时，作OH ⊥AC 于H ．在Rt △COH 中，∵OC =1，∠COH =30°，∴CH =HD =12，OH=2．在Rt △AOH 中，AH=132，∴BD =AC =CH +AH =1132+．如图4中，当A 、C 、D 共线时，作OH ⊥AC 于H．易知AC =BD =AH ﹣CH =1312-．综上所述：当A、C、D三点共线时，BD的长为1312+或1312；（4）如图5中，由题意，点C在以O为圆心，1为半径的⊙O上运动，过点O作OH⊥AB 于H，直线OH交⊙O于C′、C″，线段CB的长即为PC的值，线段C″H的长即为PC的最小值．易知PC的值=3，PC的最小值﹣1．点睛：本题考查了圆综合题、旋转变换、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆上的点到直线的距离的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，利用辅助圆解决最值问题，属于中考压轴题．26.如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B ，F ，M ，N 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M 的坐标．【正确答案】（1）D（1，﹣9）．（2）P 1+3721372-．（3）点M 的坐标为（﹣252，92）或（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．【详解】试题分析：（1）将点A 、点C 的坐标代入抛物线的解析式可求得a 、c 的值，从而得到抛物线的解析式，利用配方法可求得点D 的坐标；（2）将y =0代入抛物线的解析式求得点B 的坐标，然后由抛物线的对称轴方程可求得点E 的坐标，由折叠的性质可求得∠BEP =45°，设直线EP 的解析式为y =﹣x +b ，将点E 的坐标代入可求得b 的值，从而可求得直线EP 的解析式，将直线EP 的解析式和抛物线的解析式联立组成方程组求解即可；（3）先求得直线CD 的解析式，然后再求得直线CB 的解析式为y =k 2x ﹣8，从而可求得点F 的坐标，设点M 的坐标为（a ，﹣a ﹣8），然后分为MF =MB 、FM =FB 两种情况列方程求解即可．试题解析：（1）将点A 、点C 的坐标代入抛物线的解析式得：4408a c c ++=⎧⎨=-⎩，解得：a =1，c =﹣8，∴抛物线的解析式为228y x x =--．∵y =（x ﹣1）2﹣9，∴D （1，﹣9）；（2）将y =0代入抛物线的解析式得：x 2﹣2x ﹣8=0，解得x =4或x =﹣2，∴B （4，0），∵y =（x ﹣1）2﹣9，∴抛物线的对称轴为x =1，∴E （1，0），∵将△EBP 沿直线EP 折叠，使点B 的对应点B '落在抛物线的对称轴上，∴EP 为∠BEF 的角平分线，∴∠BEP =45°，设直线EP 的解析式为y =﹣x +b ，将点E 的坐标代入得：﹣1+b =0，解得b =1，∴直线EP 的解析式为y =﹣x +1．将y =﹣x +1代入抛物线的解析式得：2128x x x -+=--，解得：x =12-或x =12，点P 在第四象限，∴x =1372+，∴y =1372-，∴P 137212-；（3）设CD 的解析式为y =kx ﹣8，将点D 的坐标代入得：k ﹣8=﹣9，解得k =﹣1，∴直线CD 的解析式为y =﹣x ﹣8，设直线CB 的解析式为y =k 2x ﹣8，将点B 的坐标代入得：4k 2﹣8=0，解得：k 2=2，∴直线BC 的解析式为y =2x ﹣8，将x =1代入直线BC 的解析式得：y =﹣6，∴F （1，﹣6），设点M 的坐标为（a ，﹣a ﹣8），当MF=MB时，（a﹣4）2+（a+8）2=（a﹣1）2+（a+2）2，整理得：6a=﹣75，解得：a=﹣252，∴点M的坐标为（﹣252，92）；当FM=FB时，（a﹣1）2+（a+2）2=（4﹣1）2+（﹣6﹣0）2，整理得：a2+a﹣20=0，解得：a=4或a=﹣5，∴点M的坐标为（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）；综上所述，点M的坐标为（﹣252，92）或（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、翻折的性质、两点间的距离公式，依据两点间的距离公式列出关于a的方程是解题的关键．2023-2024学年北京市西城区中考数学质量检测仿真模拟卷（二模）一、选一选（本大题共12题，每小题3分，共36分）1.2018-的倒数是()A.12018- B.12018 C.2018- D.20182.下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（）A.圆锥B.六棱柱C.球D.四棱锥3.小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能打开该旅行箱的概率是（）A.110 B.19 C.16 D.154.x的取值范围是（）.A.x＞-2B.x≥-2C.x＞-3D.x≥-35.如图，有四条互相没有平行的直线1L、2L、3L、4L所截出的七个角，关于这七个角的度数关系正确的是（）A .∠2=∠4+∠7B.∠1+∠4+∠6=180°C.∠3=∠1+∠6D.∠2+∠3+∠5=360°6.下列是随机的是（）A.画一个三角形，其内角和为361°B.任意做一个矩形，其对角线相等C.任意取一个实数，其值是非负数D.外观相同的10件同种产品中有两件是没有合格产品，现从中抽取一件恰为合格品7.若一个60°的角绕顶点旋转15°，则重叠部分的角的大小是（）A.75°B.45°C.30°D.158.若2(2)4x a x --+是一个完全平方式，则a 的值是（）A.-2或4B.-4或2C.-2或6D.-6或29.没有等式组3(2)25{123x x x x +>+-≤的最小整数解是（）A.﹣1B.0C.1D.210.如图，已知在ABC ∆中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，//DE BC ，//EF AB ，且:3:5AD DB =，那么:CF CB 等于()A.5∶8B.3∶8C.3∶5D.2∶511.若2x =-是关于x 的一元二次方程22502x mx m -+=的一个根，则m 的值为（）A.1或4B.-1或-4C.-1或4D.1或-412.如图，在菱形ABCD 中，AB=6，∠B=60°，点G 是CD 边的中点，点E 、F 分别是AG 、AD 上的两个动点，则EF+ED 的最小值是（）A.3B.23C.33D.3二、填空题（本大题共6题，每小题3分，共18分）13.因式分解：216x -=__________．14.若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________.15.已知一组数据3，a ，4，6，7，它们的平均数是5，则这组数据的方差是______．16.如图，AB 是半圆的直径，点D 是 AC 的中点，∠ABC =50°，求∠BAD 的度数．17.若实数x y ，满足2(2x 3)94y 0++-=，则xy 的立方根为______．18.如图，在一张矩形纸片ABCD 中，AD=4cm，点E，F 分别是CD 和AB 的中点，现将这张纸片折叠，使点B 落在EF 上的点G 处，折痕为AH，若HG 延长线恰好点D，则CD 的长为___.三、解答题（本大题共8题，共66分）：19.计算：02018)322cos3012π-++︒-20.解分式方程：23133x x x --=+-21.如图，已知E 、F 分别是□ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE=DF ⑴求证：四边形AECF 是平行四边形；⑵若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF 是菱形，求BE 的长．22.在平面直角坐标系中，函数y ax b =+（a≠0）的图象与反比例函数(0)ky k x=≠的图象交于第二、第四象限内的A 、B 两点，与y 轴交于点C ，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为点H ，OH=3，tan ∠AOH=43，点B 的坐标为（m ，-2）.（1）求该反比例函数和函数的解析式；（2）求△AHO 的周长.23.为推广阳光体育“大课间”，我市某中学决定在学生中开设A ：实心球．B ：立定跳远，C ：跳绳，D ：跑步四种项目．为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行，并将结果绘制成如图①②的统计图．请图中的信息解答下列问题：（1）在这项了多少名学生？（2）请计算本项中喜欢“立定跳远”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整；（3）若到喜欢“跳绳”的5名学生中有3名男生，2名女生．现从这5名学生中任意抽取2名学生．请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．24.随着铁路运量的没有断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．（1）求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月？（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元，在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队至多施工几个月才能使工程款没有超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）25.如图，AB 是⊙O 的直径,BM 切⊙O 于点B ，点P 是⊙O 上的一个动点（没有A ，B 两点）,过O 作OQ ∥AP 交BM 于点Q ，过点P 作PE AB ⊥于C ，交QO 的延长线于点E ，连结PQ .（1）求证：PQ 与⊙O 相切；（2）若直径AB 的长为12，PC =2EC ，求tan ∠E 的值．26.如图所示，抛物线2(3)y x m =--（m ＞0）的顶点为A ，直线3:3l y x m =-与y 轴的交点为点B.（1）求出抛物线的对称轴及顶点A 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）证明点A 在直线l 上，并求∠OAB 的度数；（3）动点Q 在抛物线对称轴上，问：抛物线上是否存在点P ，使以点P 、Q 、A 为顶点的三角形与△OAB 全等？若存在，求出m 的值，并写出所有符合上述条件的点P 的坐标；若没有存在，请说明理由.。
2020-2021学年北京市西城区中考二模数学试题及答案解析
北京市 初三二模试卷一、选择题(本题共30分，每小题3分)1．羊年除夕夜的10点半，在央视春晚送红包的活动中，微信“摇一摇”峰值的摇动次数达到8.1亿次/分钟，送出微信红包120 000 000个．将120 000 000用科学记数法表示应为 A. 90.1210⨯ B. 71.210⨯ C. 81.210⨯ D. 71210⨯ 2．如图，BD ∥AC ，AD 与BC 交于点E ，如果∠BCA=50°，∠D=30°， 那么∠DEC 等于A. 75°B. 80°C. 100°D. 120° 3．64的立方根是A. 8±B. 4±C. 8D. 4 4．函数2y x =-中，自变量x 的取值范围是A.2x ≠B. x ≥2C. x ＞2D. x ≥2-5．如图，△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，且DE ∥BC ， 如果23AD AB =，AC=6，那么AE 的长为 A. 3 B. 4 C. 9 D. 126．某居民小区开展节约用电活动，该小区100户家庭4月份的节电情况如下表所示． 节电量（千瓦时） 20 30 40 50 户数（户）20303020A. 35B. 26C. 25D. 20 7. 若一个正六边形的半径为2，则它的边心距等于 A. 2 B. 1 C. 3 D. 238．如图，△ABC 的边AC 与⊙O 相交于C ，D 两点，且经过圆心O ， 边AB 与⊙O 相切，切点为B ．如果∠A=34°，那么∠C 等于 A ．28° B ．33° C ．34° D ．56°9．如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系xOy 中，O 是原点， 若点A 的坐标为(1,3)，则点C 的坐标为 A ．(3,1) B ．(1,3)- C ．(3,1)- D ．(3,1)--10．在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为(,1)m ．如果以原点为圆心，半径为1的⊙O 上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，那么m 的取值范围是A ．1-≤m ≤1 B. 1-＜m ＜1 C. 0≤m ≤1 D. 0＜m ＜1 二、填空题(本题共18分，每小题3分)11．若2(2)10m n ++-= 则m n -= ．12．若一个凸n 边形的内角和为1080︒，则边数n = ．13．两千多年前，我国的学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验．他的做法是，在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小华在学习了小孔成像的原理后，利用如下装置来验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔20cm ，光屏在距小孔30cm 处，小华测量了蜡烛的火焰高度为2cm ，则光屏上火焰所成像的高度为______cm ．14．请写出一个图象的对称轴是直线1x =，且经过(0,1)点的二次函数的表达式： ______． 15．如图，在平面直角坐标系x Oy 中，直线3y x =与双曲线ny x =（n ≠0）在第一象限的公共点是(1,)P m ．小明说：“从图象上可以看出，满足3nx x>的x 的取值范围是1x >．”你同意他的观点吗？答： ．理由是 ．16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点D 为直线2y x =上且在第一象限内的任意一点，1DA ⊥x 轴于点1A ，以1DA 为边在1DA 的右侧作正方形111A B C D ；直线1OC 与边1DA 交于点2A ，以2DA 为边在2DA 的右侧作正方形222A B C D ；直线2OC 与边1DA 交于点3A ，以3DA 为边在3DA 的右侧作正方形333A B C D ，……，按这种方式进行下去，则直线1OC 对应的函数表达式为 ，直线3OC 对应的函数表达式为 .三、解答题(本题共30分，每小题5分)17．如图，△ABC 是等边三角形，D ，E 两点分别在AB ，BC 的延长线上，BD=CE ，连接AE ，CD ．求证：∠E ＝∠D ．18．计算：1012cos 30()1(3)3π-++--o .19．已知2540x x --=，求代数式(2)(2)(21)(2)x x x x +----的值．20．解方程：231233x x x x-=--．21．列方程（组）解应用题：某超市的部分商品账目记录显示内容如下：22．已知关于x 的函数 2(3)3y mx m x =+--．（1）求证：无论m取何实数，此函数的图象与x轴总有公共点；（2）当m＞0时，如果此函数的图象与x轴公共点的横坐标为整数，求正整数m的值．四、解答题(本题共20分，每小题5分)23．如图，将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C 与点A重合，点D的落点记为点D′，折痕为EF，连接CF．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若∠B=45°，∠FCE=60°，AB=62，求线段D′F的长．24.1949年以来，北京市人口结构变迁经历了5个阶段，从2001年至今已进入第五个阶段——人口膨胀增长阶段.以下是根据北京市统计局1月的相关数据制作的统计图.根据以上信息解决下列问题：（1）以下说法中，正确的是（请填写所有正确说法的序号）①从2011年至2014年，全市常住人口数在逐年下降；②2010年末全市常住人口数达到近年来的最高值；③2014年末全市常住人口比2013年末增加36.8万人；④从2011年到2014年全市常住人口的年增长率连续递减.（2）补全“2014年末北京市常住人口分布图”，并回答：2014年末朝阳、丰台、石景山、海淀四区的常住人口总数已经达到多少万人？（3）水资源缺乏制约着北京市的人口承载能力，为控制人口过快增长，到底，北京市要将全市常住人口数控制在2180万以内（即不超过2180万）.为实现这一目标，的全市常住人口的年增长率应不超过．（精确到0.1%）25．如图1，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在线段ED上．连接AF并延长交⊙O于点G，在CD的延长线上取一点P，使PF=PG．（1）依题意补全图形，判断PG与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）如图2，当E为半径OA的中点，DG∥AB，且OA PG的长．26．（1）小明遇到下面一道题：如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90º，∠ACB=30º，BE ⊥AC 于点E ，且=CDE ACB ∠∠．如果AB=1，求CD 边的长．小明在解题过程中发现，图1中，△CDE 与△ 相似，CD 的长度等于 ，线段CD 与线段 的长度相等；他进一步思考：如果ACB α∠=（α是锐角），其他条件不变，那么CD 的长度可以表示为CD= ；（用含α的式子表示）（2）受以上解答过程的启发，小明设计了如下的画图题：在Rt △OMN 中，∠MON=90º，OM ＜ON ，OQ ⊥MN 于点Q ，直线l 经过点M ，且l ∥ON ．请在直线l 上找出点P 的位置，使得NPQ ONM ∠=∠．请写出你的画图步骤，并在答题卡上完成相应的画图过程．（画出一个即可，保留画图痕迹，不要求证明）五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分) 27．已知一次函数1y kx b =+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，二次函数2224y x ax =-+（其中a ＞2）．（1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a 的代数式表示）； （2）利用函数图象解决下列问题： ①若25=a ，求当10y >且2y ≤0时，自变量x 的取值范围； ②如果满足10y >且2y ≤0时的自变量x 的取值范围内恰有一个整数，直接写出a 的取值范围．28．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH ⊥BF所在直线于点H，连接CH.（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是；（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．29．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G ，给出如下定义：在图形G 上若存在两点M ，N ，使△PMN 为正三角形，则称图形G 为点P 的τ型线，点P 为图形G 的τ型点， △PMN 为图形G 关于点P 的τ型三角形．（1）如图1，已知点(0,A ，(3,0)B ，以原点O 为圆心的⊙O 的半径为1．在A ，B 两点中，⊙O 的τ型点是____，画出并回答⊙O 关于该τ型点的τ型三角形；（画出一个即可） （2）如图2，已知点(0,2)E ，点(,0)F m （其中m ＞0）．若线段EF 为原点O 的τ型线，且线段EF 关于原点O 的τ型三角形的面积为9，求m 的值； （3）若(0,2)H -是抛物线2y x n =+的τ型点，直接写出n 的取值范围．数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（本题共30分，每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D B B A C A C A11 12 13 14 15 163-8 3221y x x=-+（答案不唯一）不同意x的取值范围是10x-<<或1x>（或其他正确结论）23y x=1415y x=17.证明：如图1.∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB＝∠ABC=60°．………………………………………………1分∵ D ，E 两点分别在AB ，BC 的延长线上，∴ ∠ACE ＝∠CBD=120°． …………………2分 在△ACE 和△CBD 中，,,AC CB ACE CBD CE BD =⎧⎪∠∠⎩=⎪⎨，＝ ……………………… 3分∴ △ACE ≌△CBD ．……………………… 4分∴ ∠E ＝∠D ．…………………………………………………………………… 5分18．解： 1012cos 30()13(3)3π-++---o323311=⨯++-- ………………………………………………………………4分 231=+. ………………………………………………………………………… 5分 19．解： (2)(2)(21)(2)x x x x +----=224(252)x x x ---+………………………………………………………………2分 =224252x x x --+-=256x x -+-．………………………………………………………………………3分 ∵ 2540x x --=，∴ 254x x -=．…………………………………………………………………… 4分 ∴ 原式=2(5)64610x x ---=--=-．……………………………………………5分 20．解：去分母，得 3(3)2x x --=．…………………………………………………… 1分 去括号，得 332x x -+=． ………………………………………………………2分 整理，得 21x =-．……………………………………………………………… 3分图1解得 12x =-． …………………………………………………………………… 4分经检验，12x =-是原方程的解． …………………………………………………5分所以原方程的解是12x =-．21．解：设牙膏每盒x 元，牙刷每支y 元．…………………………………………………1分由题意，得 713121,1415187.x y x y +=+=⎧⎨⎩…………………………………………………… 2分解得 85.x y ==⎧⎨⎩，……………………………………………………………………… 3分(124125)88-⨯=（盒）． ………………………………………………………… 4分 答：第三天卖出牙膏8盒．………………………………………………………………5分 22．解：（1）当m=0 时，该函数为一次函数33y x =--，它的图象与x 轴有公共点.……………………… 1分当m ≠0 时，二次函数2(3)3y mx m x =+--．2(3)4(3)m m ∆=--⨯-26912m m m =-++2269(3)m m m =++=+． ∵ 无论m 取何实数，总有2(3)m +≥0，即∆≥0， ∴ 方程2(3)30mx m x +--=有两个实数根．∴ 此时函数2(3)3y mx m x =+--的图象与x 轴有公共点．……………2分 综上所述，无论m 取何实数，该函数的图象与x 轴总有公共点． （2）∵m ＞0，∴ 该函数为二次函数，它的图象与x 轴的公共点的横坐标为(3)(3)2m m x m--±+=．∴ 11x =-，23x m=．……………………………… 3分 ∵ 此抛物线与x 轴公共点的横坐标为整数，∴正整数m=1或3．………………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23．（1）证明：如图2．∵点C 与点A 重合，折痕为EF ，∴12∠=∠，AE=EC ．∵ 四边形ABCD 为平行四边形， ∴ AD ∥BC ． ∴ 32∠=∠．∴ 13∠=∠．∴ AE=AF ．……………………………………1分 ∴ AF=EC ． 又∵ AF ∥EC ，∴ 四边形AFCE 是平行四边形．…………… 2分 又AE=AF ，∴ 四边形AFCE 为菱形．………………………… 3分（2）解：如图3，作AG ⊥BE 于点G ，则∠AGB=∠AGE=90°． ∵ 点D 的落点为点D ′ ，折痕为EF ，图2∴D F DF '=.∵ 四边形ABCD 为平行四边形， ∴ AD=BC ．又∵AF=EC ，∴AD AF BC EC -=-，即DF BE =．∵在Rt △AGB 中，∠AGB=90°，∠B=45°，AB=62，∴ AG=GB=6.∵ 四边形AFCE 为平行四边形， ∴ AE ∥FC. ∴ ∠4=∠5=60°.∵ 在Rt △AGE 中，∠AGE=90°，∠4=60°， ∴ 23tan 60AGGE ==︒∴ 623BE BG GE =+=+ ∴ 623D F '=+.…………………5分 24.解：（1）③④.………………………………… 2分（2）补全统计图见图4. ………………… 3分 1055万人. ………………………… 4分 （3）1.3%.………………………………… 5分图325. 解：（1）补全图形如图5所示.…………………… 1分 答：PG 与⊙O 相切. 证明：如图6，连接OG .∵ PF=PG ， ∴ ∠1=∠2.又∵OG=OA ， ∴ ∠3=∠A. ∵ CD ⊥AB 于点E ， ∴ ∠A+∠AFE =90°. 又∵∠2 =∠AFE ，∴ ∠3+∠1=90°. ……………………… 2分 即 OG ⊥PG.∵ OG 为⊙O 的半径，∴ PG 与⊙O 相切. …………………… 3分（2）解：如图7，连接CG.∵ CD ⊥AB 于点E ，∴ ∠OEC=90°. ∵ DG ∥AB ，∴∠GDC=∠OEC =90°. ∵∠GDC 是⊙O 的圆周角， ∴ CG 为⊙O 的直径. ∵ E 为半径OA 的中点， ∴ 22OA OCOE ==. ∴ ∠OCE=30°即∠GCP =30°.又∵∠CGP=90°，243CG OA ==，∴3tan 434PG CG GCP =⋅∠==. …………………………… 5分 26.解：（1）CAD ，3，BC. ……………………………… 3分1tan α.……………………………………………4分 （2）方法1：如图8，以点N 为圆心，ON 为半径作圆，交直线l 于点1P ，2P ，则点 1P ，2P 为符合题意的点.………………………… 5分方法2：如图9，过点N 画NO 的垂线1m ，画NQ 的垂直平分线2m ，直线1m 与2m 交于点R ，以点R 为圆心，RN 为半径作圆，交直线l 于点1P ，2P ，则点1P ，2P 为符合题意的点.……………… 5分图6图7五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分) 27．解：（1）∵ 一次函数1y kx b =+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，∴ 20,4 1.k b k b +=⎧⎨+=⎩解得1,21.k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩…………………………… 1分∴ 1211-=x y ．…………… 2分 ∵ 22224)(42a a x ax x y -+-=+-=，∴ 二次函数图象的顶点坐标为2(,4)a a -．………… 3分（2）①当25=a 时，4522+-=x x y ．………… 4分 如图10，因为10y >且2y ≤0，由图象得2＜x ≤4．…… 6分②136≤a ＜52．……………………………7分图8 图928．解：（1）CH=AB ． ………………………………… 1分 （2）结论成立．………………………………… 2分 证明：如图11，连接BE ． 在正方形ABCD 中，AB=BC=CD=AD ，∠A=∠BCD=∠ABC=90°． ∵ DE=DF ， ∴ AF=CE ．在△ABF 和△CBE 中，,,,AB CB A BCE AF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABF ≌△CBE ．∴ ∠1=∠2．…………………………………………3分 ∵ EH ⊥BF ，∠BCE=90°，∴ H ，C 两点都在以BE 为直径的圆上．∴ ∠3=∠2．∴ ∠3=∠1．∵ ∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，∴ ∠4=∠HBC ．∴ CH=CB ．………………………………………………………………… 5分 ∴ CH=AB ．………………………………………………………………… 6分（3）323+．………………………………………………………………………7分29．解：（1）点A ．………………………………………1分画图见图12．（画出一个即可）………… 2分△AMN （或△AJK ）. …………………… 3分（2）如图13，作OL ⊥EF 于点L.∵ 线段EF 为点O 的τ型线，∴ OL 即为线段EF 关于点O 的τ型三角形的高.∵线段EF 关于点O 的τ43 ∴233OL =. ……………………………… 4分 ∵ 2OE =，OF m =， ∴222223262()33EL OE OL =-=-=. ∴ 6cos 1EL OE ∠==图12 图13∴ cos 2cos 1OL OL OF ===∠∠∴m ……………………6分（3）n ≤54-.………………………8分。
数学西城二模初三试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √9B. √-16C. πD. 2√32. 下列各式中，正确的是（）A. a² + b² = (a + b)²B. (a - b)² = a² - b²C. (a + b)² = a² + b² + 2abD. (a - b)² = a² + b² - 2ab3. 已知一元二次方程x² - 3x + 2 = 0的解为x₁和x₂，则x₁ + x₂的值为（）A. 3B. 2C. 1D. 04. 在直角坐标系中，点A（-2，3）关于原点的对称点是（）A.（-2，-3）B.（2，3）C.（2，-3）D.（-2，-3）5. 若a、b、c是等差数列，且a + b + c = 9，则ab + bc + ca的值为（）A. 9B. 27C. 36D. 456. 下列函数中，单调递增的是（）A. y = 2x + 3B. y = -x² + 2x - 1C. y = √xD. y = x³7. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为（）A. 60°B. 75°C. 90°D. 120°8. 若函数f(x) = ax² + bx + c在x = 1时取得最小值，则a、b、c之间的关系是（）A. a > 0，b > 0，c > 0B. a > 0，b < 0，c > 0C. a < 0，b > 0，c > 0D. a < 0，b < 0，c > 09. 下列各式中，绝对值最小的是（）A. |3|B. |-3|C. |3 - 5|D. |-3 + 5|10. 已知等比数列{an}的首项a₁ = 2，公比q = 3，则第5项a₅的值为（）A. 18B. 54C. 162D. 486二、填空题（每题5分，共50分）11. 若方程2x² - 5x + 3 = 0的两根分别为x₁和x₂，则x₁ + x₂ = _______，x₁x₂= _______。
初三西城数学二模试卷答案
1. 已知a、b、c是等差数列，且a=2，b=5，则c=（）A. 8B. 7C. 6D. 9答案：C解析：由等差数列的定义，可得b-a=c-b，即3=c-b。
又因为a=2，b=5，所以c=6。
2. 若函数f(x)=ax²+bx+c的图象开口向上，且顶点坐标为（-1，2），则下列选项中正确的是（）A. a>0，b=2，c=1B. a>0，b=-2，c=1C. a<0，b=2，c=1D. a<0，b=-2，c=1答案：B解析：由函数图象开口向上可知a>0。
又因为顶点坐标为（-1，2），所以f(-1)=2，即a(-1)²+b(-1)+c=2。
将选项代入验证，只有选项B满足条件。
3. 已知正方形的边长为4，则它的对角线长为（）A. 2√2B. 4√2C. 2√3D. 4√3答案：B解析：由勾股定理可知，对角线长为√(4²+4²)=4√2。
二、填空题4. 若等比数列{an}中，a1=3，q=2，则第5项an=（）答案：96解析：由等比数列通项公式an=a1q^(n-1)，代入a1=3，q=2，n=5，可得an=3×2^(5-1)=96。
5. 若函数f(x)=x²-2x+1的图象与x轴的交点坐标为（1，0），则该函数的对称轴方程为（）答案：x=1解析：由函数图象可知，对称轴为x轴，且过顶点（1，0），所以对称轴方程为x=1。
6. 已知数列{an}为等差数列，且a1=1，公差d=2，求第10项an及前10项和S10。
答案：an=21，S10=110解析：由等差数列通项公式an=a1+(n-1)d，代入a1=1，d=2，n=10，可得an=1+(10-1)×2=21。
前10项和S10=10×(a1+an)/2=10×(1+21)/2=110。
7. 已知函数f(x)=ax²+bx+c的图象开口向下，且顶点坐标为（-1，2），求函数f(x)的解析式。
1.正文西城区初三数学二模
1.正文 -西城区 2021 年初三数学二模一、选择题〔此题共16 分，每题 2 分〕第 1— 8 题均有四个选项，符合题意的选项只有 ．．一个．1．如下图，用量角器度量∠AOB 与 ∠AOC 的度数．以下说法中，正确的选项是（ A 〕∠ AOB ＝ 110°（ B 〕∠ AOB ＝ ∠ AOC（ C 〕∠ AOB ＋ ∠ AOC =90°（ D 〕∠ AOB ＋∠ AOC=180 °2．改革开放四十年来，北京市民的收入随着经济水平的开展而显著提高．从储蓄数据来看，2021 年北京市民的人民币储蓄存款余额约为 2 980 000 000 000 元，大致为 1978 年的 3200 倍．将 2 980 000 000 000用科学记数法表示应为〔 A 〕 0.298 ×1013 〔B 〕 2.98 ×1012〔 C 〕 29.8 ×1011〔 D 〕 2.98 ×10103．以下图案中，可以看作是轴对称图形又是中心对称图形的是4．实数 a 在数轴上的对应点的位置如下图，那么实数 a 可能是〔A 〕 3 〔B 〕2 3 〔C 〕2 2 〔D 〕 105．某个几何体的三视图如右图所示，该几何体是6． 5G 网络是第五代移动通信网络，它将推动我国数字经济开展迈上新台阶．据预测，2021 年到 2030 年中国 5G 直接经济产出和间接经济产出的情况如以下图所示．〔 A 〕2030 年 5G 间接经济产出比 5G 直接经济产出多 4.2 万亿元〔 B 〕2021 年到 2030 年， 5G 直接经济产出和 5G 间接经济产出都是逐年增长〔 C 〕2030 年 5G 直接经济产出约为2021 年 5G 直接经济产出的 13 倍〔 D 〕2022 年到 2023 年与 2023 年到 2024 年 5G 间接经济产出的增长率相同7． 数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a 2 ，那么2a4 ．以下命题中，具有以上特征的命题是〔 A 〕两直线平行，同位角相等 〔 B 〕如果〔 C 〕全等三角形的对应角相等 〔 D 〕如果a 1，那么 a 1x y ，那么 mx my8．对于平面直角坐标系xOy 中，点 P 〔 a ， b 〕经过某种变换后得到对应点为’1a 1 ， 1 P 〔b 1〕．2 2点 A ，B ，C 是不共线的三个点，它们经过某种变换后，得到对应点分别是点A ′，B ′，C ′．假设△ABC的面积为 S 1 ，△ A ′B ′C ′的面积为 S 2 ，那么用等式表示 S 1 与S 2 的关系为1 S 2〔B 〕 S 11 〔C 〕 S 12S 2〔D 〕 S 1 4S 2〔A 〕S 1S 224二、填空题〔此题共16 分，每题 2 分〕9．假设代数式 2 在实数范围内有意义，那么实数x 的取值范围是．x 510．假设正多边形的一个内角是150°，那么这个正多边形的边数是 ．11．有大小两种货车， 1 辆大货车与 3 辆小货车额定载重量的总和为23 吨， 2 辆大货车与 5 辆小货车额定载重量的总和为 41 吨． 1 辆大货车、 1 辆小货车的额定载重量分别为多少吨？设 1 辆大货车的额定载重量为 x 吨， 1 辆小货车的额定载重量为y 吨，依题意，可以列方程组为 ___________ ．12． y 是 x 的函数，其图象经过点〔1， 2〕，并且当 x 0 时， y 随 x 的增大而减小．请写出一个满足13．如，点A，B， C， D 在⊙ O 上， C 是弧 BD 的中点， AB=CD ，假设∠ ODC =50°，∠ ABC 的度数°．14．如，在平面直角坐系xOy 中，点A〔 0， 3 〕， B〔1，0〕，菱形ABCD的点C在x的正半上，其角BD 的 __________ ．15．某水果公司新10000 千克柑橘，每千克柑橘的本钱9 元．柑橘在运、存程中会有坏，售人从所有的柑橘中随机抽取假设干柑橘，行“柑橘坏率〞，并把得的数据如下：根据以上数据，估柑橘坏的概率________〔果保存小数点后一位〕；由此可知，去掉坏的柑橘后，水果公司了不本，完好柑橘每千克的售价至少_______元．16．我国南北朝数学家何承天明的“ 日法〞是程序化求精确分数来表示数的算法，其理依据是：正数 x 的缺乏近似和剩近似分b和d〔 a，b，c，d 都正整数〕，即bx d ， b d ac a c a c是 x 的更精确的缺乏近似和剩近似．⋯，且31x16 ，第一次使用“ 日105法〞后得到的近似分数是47 ，它是的更精确的缺乏近似，即471615．那么第三次使用155“ 日法〞后得到的近似分数是 _____．三、解答〔本共68 分，第 17 22 ，每小 5 分，第23 26 ，每小6 分，第27， 28，每小7 分〕解答写出文字明、演算步或明程．17．算：( 5)2cos45 3 2 (1)1．41.正文 -西城区 2021 年初三数学二模18．解方程：x11 ．x1x19．下面是小东设计的“作平行四边形一边中点〞的尺规作图过程．：平行四边形ABCD ．求作：点M，使点 M 为边 AD 的中点．作法：如图，①作射线 BA；②以点 A 为圆心， CD 长为半径画弧，交 BA 的延长线于点 E；③连接 EC交 AD 于点 M．所以点 M 就是所求作的点．根据小东设计的尺规作图过程，〔 1〕使用直尺和圆规，补全图形〔保存作图痕迹〕；（2〕完成下面的证明．证明：连接 AC， ED．∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AE∥CD ．∵AE=__________ ，∴四边形EACD 是平行四边形〔__________ 〕〔填推理的依据〕．∴AM=MD 〔 __________〕〔填推理的依据〕．∴点 M 为所求作的边 AD 的中点．20．关于x 的一元二次方程x2( k 5) x 3k 60 ．（1〕求证：此方程总有两个实数根；（2〕假设此方程有一个根大于2 且小于0，k为整数，求k的值．21．如图， 四边形 ABCD 中，AB=DC ，AD=BC ，AD ⊥ CD ．点 E 在对角线 CA 的延长线上， 连接 BD ，BE ．（ 1〕求证： AC=BD ；〔 2〕假设 BC=2， BE= 13 ， tan ∠ ABE= 2，求 EC 的长．322．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l ： y axb 与双曲线 yk 2 ， 1〕．点交于点 A 〔 1，m 〕和 B 〔xA 关于 x 轴的对称点为点 C ． 〔 1〕①求 k 的值和点 C 的坐标；②求直线 l 的表达式；〔 2〕过点 B 作 y 轴的垂线与直线AC 交于点 D ，经过点 C 的直线与直线BD 交于点 E ．假设 30°≤∠ CED ≤ 45°，直接写出点 E 的横坐标 t 的取值范围．接 OC，点 A 作 AD⊥ OC 于点 E，交⊙ O 于点 D，接 DB．（1〕求：△ ACE≌△ BAD ；（2〕接 CB 交⊙ O 于点 M，交 AD 于点 N，假设AD=4 ，求 MN 的．24．某医研究所开一种新的物，据，如果成年人按定的量服用，服后 2 小，每毫升血液中的含量到达最大，之后每毫升血液中的含量逐衰减．假设一次服后每毫升血液中的含量 y〔位：微克〕与服后的t〔位：小〕之近似足某种函数关系．下表是y 与 t 的几，其局部象如所示．t012346810⋯y02421⋯（1〕在所的平面直角坐系中，描出上表中已列出数的点〔 t，y〕，并全函数的象；（2〕合函数象，解决以下：①某病人第一次服后 5 小，每毫升血液中的含量_________微克；假设每毫升血液中含量不少于0.5 微克治疾病有效，第一次服后治疾病有效的共持 __________小；②假设某病人第一次服后8 小行第二次服，第二次服血液中含量的影响与第一个〕的情况，从中随机抽取 30 名女生进行测试，获得了他们的相关成绩，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了局部信息．a．实心球成绩的频数分布表如下：分组≤≤≤≤≤≤频数2m10621 b．实心球成绩在≤ x<7.4 这一组的是：c．一分钟仰卧起坐成绩如以下图所示：根据以上信息，答复以下问题：45（1〕①表中 m 的值为 __________；②一分钟仰卧起坐成绩的中位数为__________ ；（2〕假设实心球成绩到达 7.2 米及以上时，成绩记为优秀．①请估计全年级女生实心球成绩到达优秀的人数；②该年级某班体育委员将本班在这次抽样测试中被抽取的8 名女生的两项成绩的数据抄录如下：女生代码A B C D E F G H实心球一分钟仰卧起坐*4247*4752*49其中有 3 名女生的一分钟仰卧起坐成绩未抄录完整，但老师说这8 名女生中恰好有 4 人两项测试成绩都到达了优秀，于是体育委员推测女生 E 的一分钟仰卧起坐成绩到达了优秀，你同意体育委员的说法吗？并说明你的理由．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ax2bx a 2 的对称轴是直线x 1 ．〔 1〕含 a 的式子表示b，并求抛物线的顶点坐标；〔 2〕点A〔 0，4〕，B〔2，3 〕，假设抛物线与线段AB 没有公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围；〔 3〕假设抛物线与x 轴的一个交点为C〔3，0〕，且当m x n 时，y的取值范围是m y 6 ，结合函数图象，直接写出满足条件的m， n 的值．8 / 10第8页〔共10页〕1.正文 -西城区 2021 年初三数学二模27．如图，在正方形ABCD 中， E 是边 AB 上的一动点，点 F 在边 BC 的延长线上，且 CF =AE，连接 DE， DF ，EF． FH 平分∠ EFB 交 BD 于点 H．（1〕求证： DE⊥ DF ；（2〕求证： DH =DF ；〔 3〕过点 H 作 HM ⊥EF 于点 M，用等式表示线段AB， HM 与 EF 之间的数量关系，并证明．1.正文西城区初三数学二模 11 / 11 1.正文 -西城区 2021 年初三数学二模28．对于平面内的∠ MAN 及其内部的一点 P ，设点 P 到直线 AM ，AN 的距离分别为 d 1 ， d 2 ，称 d 1 和 d 2d 2 d 1 这两个数中较大的一个为点 P 关于∠ MAN 的“偏率〞．在平面直角坐标系 xOy 中，〔 1〕点 M ， N 分别为 x 轴正半轴， y 轴正半轴上的两个点．①假设点 P 的坐标为〔 1， 5〕，那么点 P 关于∠ MON 的“偏率〞为 _________ ；②假设第一象限内点 Q 〔 a ，b 〕关于∠ MON 的“偏率〞为 1，那么 a ， b 满足的关系为 _________； 〔 2〕点 A 〔 4， 0〕， B(2, 2 3) ，连接 OB ， AB ，点 C 是线段 AB 上一动点〔点C 不与点 A ，B 重 合〕．假设点 C 关于∠ AOB 的“偏率〞为 2，求点 C 的坐标；〔 3〕点 E ， F 分别为 x 轴正半轴， y 轴正半轴上的两个点，动点 T 的坐标为〔 t ， 4〕，⊙ T 是以点 T 为圆心，半径为 1 的圆．假设⊙ T 上的所有点都在第一象限，且关于∠ EOF 的“偏率〞都大于3 ， 直接写出 t 的取值范围．10 / 10 第 10页〔共 10 页〕。
2022北京中考数学二模分类汇编《代数综合》含答案解析
2022年北京中考数学分类汇编——代数综合1．（2022•海淀区二模）在平面直角坐标系xOy中，点（m﹣2，y1），（m，y2），（2﹣m，y3）在抛物线y＝x2﹣2ax+1上，其中m≠1且m≠2．（1）直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）；（2）当m＝0时，若y1＝y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；（3）若存在大于1的实数m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范围．2．（2022•西城区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（0，﹣2），（2，﹣2）．（1）直接写出c的值和此抛物线的对称轴；（2）若此抛物线与直线y＝﹣6没有公共点，求a的取值范围；（3）点（t，y1），（t+1，y2）在此抛物线上，且当﹣2≤t≤4时，都有|y2﹣y1|＜．直接写出a的取值范围．3．（2022•东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0）的对称轴是直线x＝3．（1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标；（2）求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；（3）若抛物线与x轴相交于A，B两点，且AB≤4，求a的取值范围．4．（2022•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+（a+2）x+2a．（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）若点（﹣1，y1），（a，y2），（1，y3）在抛物线上，且y1＜y2＜y3，求a的取值范围．5．（2022•丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax﹣3．（1）求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）A（x1，y1），B（x2，y2）为该抛物线上的两点，若x1＝1﹣2a，x2＝a+1，且y1＞y2，求a的取值范围．6．（2022•石景山区二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝﹣x的图象平移得到，且经过点（1，1）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当x＞﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣1（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．（1）用含a的代数式表示b；（2）若该函数的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），求二次函数的解析式；（3）当a＜0时该函数图象上的任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），若满足x1＝﹣2，y1＞y2，求x2的取值范围．8．（2022•顺义区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+mx+n．（1）当m＝﹣3时，①求抛物线的对称轴；②若点A（1，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＜y1，求x2的取值范围；（2）已知点P（﹣1，1），将点P向右平移3个单位长度，得到点Q．当n＝2时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．（1）求二次函数y1＝x2+mx的表达式；（2）已知关于x的二次函数y2＝﹣x2+2x，一次函数y3＝kx+b（k≠0），在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立．①求b的值；②直接写出k的值．10．（2022•昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a＞0）．（1）若抛物线过点（4，﹣1）．①求抛物线的对称轴；②当﹣1＜x＜0时，图象在x轴的下方，当5＜x＜6时，图象在x轴的上方，在平面直角坐标系中画出符合条件的图象，求出这个抛物线的表达式；（2）若（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）为抛物线上的三点且y3＞y1＞y2，设抛物线的对称轴为直线x＝t，直接写出t的取值范围．11．（2022•门头沟区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣4（m ≠0）．（1）求此抛物线的对称轴；（2）当m＝1时，求抛物线的表达式；（3）如果将（2）中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成新图形M．①直接写直线y＝x+1与图形M公共点的个数；②当直线y＝k（x+2）﹣1（k≠0）与图形M有两个公共点时，直接写出k的取值范围．12．（2022•房山区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上．（1）直接写出这个二次函数的解析式；（2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，求n的值；（3）将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．13．（2022•平谷区二模）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣1，y1）、（1，y2）、（3，y3）是抛物线y＝x2+bx+1上三个点．（1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标；（2）当y1＝y3时，求b的值；（3）当y3＞y1＞1＞y2时，求b的取值范围．2022年北京中考数学分类汇编——代数综合参考答案与试题解析1．（2022•海淀区二模）在平面直角坐标系xOy中，点（m﹣2，y1），（m，y2），（2﹣m，y3）在抛物线y＝x2﹣2ax+1上，其中m≠1且m≠2．（1）直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）；（2）当m＝0时，若y1＝y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；（3）若存在大于1的实数m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范围．【分析】（1）由对称轴为直线x＝﹣求解．（2）由抛物线的对称性及m＝0可得抛物线关于y轴对称，从而可得a的值，进而求解．（3）分别将（m﹣2，y1），（m，y2），（2﹣m，y3），解不等式组．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2ax+1，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝a．（2）∵m＝0，y1＝y3，∴（﹣2，y1），（2，y3）关于抛物线对称轴对称，∴抛物线关于y轴对称，即a＝0，∴y＝x2+1，∴抛物线开口向上，顶点坐标为（0，1），∴y2＝1为函数最小值，∴y1＞y2．（3）将（m﹣2，y1），（m，y2），（2﹣m，y3）代入y＝x2﹣2ax+1得y1＝m2﹣4m﹣2am+4a+5，y2＝m2﹣2am+1，y3＝m2﹣4m+2am﹣4a+5，∵y1＞y2＞y3，∴m2﹣4m﹣2am+4a+5＞m2﹣2am+1＞m2﹣4m+2am﹣4a+5，解得m﹣1＜a＜1，∵m＞1，∴0＜a＜1．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．2．（2022•西城区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（0，﹣2），（2，﹣2）．（1）直接写出c的值和此抛物线的对称轴；（2）若此抛物线与直线y＝﹣6没有公共点，求a的取值范围；（3）点（t，y1），（t+1，y2）在此抛物线上，且当﹣2≤t≤4时，都有|y2﹣y1|＜．直接写出a的取值范围．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）把y＝﹣6代入y＝ax2﹣2ax﹣2，整理得：ax2﹣2ax+4＝0，根据抛物线与直线y＝﹣6没有公共点，利用一元二次方程根的判别式即可求得答案；（3）根据题意得：y1＝at2﹣2at﹣2，y2＝a（t+1）2﹣2a（t+1）﹣2＝at2﹣a﹣2，|y2﹣y1|＝|（at2﹣a﹣2）﹣（at2﹣2at﹣2）|＝|a（2t﹣1）|，由于当﹣2≤t≤4时，都有|y2﹣y1|＜，可得﹣＜at＜+，当a＜0时，+＜t＜﹣，可得＜a＜0；当a＞0时，﹣＜t＜+，可得0＜a＜．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（0，﹣2），（2，﹣2），∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝ax2﹣2ax﹣2，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，故c的值为﹣2，抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）把y＝﹣6代入y＝ax2﹣2ax﹣2，得：ax2﹣2ax﹣2＝﹣6，整理得：ax2﹣2ax+4＝0，∵抛物线与直线y＝﹣6没有公共点，∴Δ＝（﹣2a）2﹣4a×4＜0，即a（a﹣4）＜0，∵a≠0，∴当a＜0时，a﹣4＞0，即a＞4，此时，无解；当a＞0时，a﹣4＜0，即a＜4，∴0＜a＜4，综上所述，a的取值范围为0＜a＜4；（3）∵点（t，y1），（t+1，y2）在此抛物线上，∴y1＝at2﹣2at﹣2，y2＝a（t+1）2﹣2a（t+1）﹣2＝at2﹣a﹣2，∴|y2﹣y1|＝|（at2﹣a﹣2）﹣（at2﹣2at﹣2）|＝|a（2t﹣1）|，∵当﹣2≤t≤4时，都有|y2﹣y1|＜，∴﹣＜a（2t﹣1）＜，∴﹣＜at＜+，∵a≠0，∴当a＜0时，+＜t＜﹣，∴，解得：＜a＜0；当a＞0时，﹣＜t＜+，∴，解得：0＜a＜；综上所述，a的取值范围是＜a＜0或0＜a＜．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能对a进行分类讨论，运用分类讨论思想是解题的关键．3．（2022•东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0）的对称轴是直线x＝3．（1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标；（2）求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；（3）若抛物线与x轴相交于A，B两点，且AB≤4，求a的取值范围．【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征，即可求出答案；（2）根据抛物线的对称轴为直线x＝3，求出b＝﹣6a，进而得出抛物线解析式，最后将x＝3代入抛物线解析式求出顶点坐标的纵坐标，即可得出结论；（3）①当a＜0时，抛物线开口向下，不妨设点A在点B的左侧，由（1）知，抛物线y＝ax2+bx+1与y轴的交点为（0，1），进而判断出x A＜0，x B＞6，得出AB＝|x B﹣x A|＞6，判断出此种情况不符合题意，②当a＞0时，抛物线的开口向上，判断出在x轴上关于抛物线的对称轴x＝3对称且距离为4的两点的坐标为（1，0），（5，0），再由当x＝1时，得出a﹣6a+1≥0，求出a≤，＝﹣9a+1＜0，即可得出答案．再根据y顶点【解答】解：（1）针对于抛物线y＝ax2+bx+1，令x＝0，则y＝1，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，1）；（2）∵抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0）的对称轴是直线x＝3，∴﹣＝3，∴b＝﹣6a，∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣6ax+1，当x＝3时，y＝9a﹣18a+1＝﹣9a+1，∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣9a+1）；（3）①当a＜0时，抛物线开口向下，不妨设点A在点B的左侧，由（1）知，抛物线y＝ax2+bx+1与y轴的交点为（0，1），∵抛物线y＝ax2+bx+1的对称轴为直线x＝3，∴x A＜0，x B＞6，∴AB＝|x B﹣x A|＞6，∵AB≤4，∴此种情况不符合题意，②当a＞0时，抛物线的开口向上，由（2）知，抛物线的解析式为y＝ax2﹣6ax+1，在x轴上关于抛物线的对称轴x＝3对称且距离为4的两点的坐标为（1，0），（5，0），∵AB≤4，∴当x＝1时，y＝ax2﹣6ax+1＝a﹣6a+1≥0，∴a≤，∵抛物线与x轴有两个交点，＝﹣9a+1＜0，∴y顶点∴a＞，∴＜a≤．【点评】此题主要考查了二次函数的图象和性质，顶点坐标的求法，掌握二次函数的性质是解本题的关键．4．（2022•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+（a+2）x+2a．（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）若点（﹣1，y1），（a，y2），（1，y3）在抛物线上，且y1＜y2＜y3，求a的取值范围．【分析】（1）由抛物线的对称轴公式即可得出答案；（2）由二次函数的性质与不等式求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+（a+2）x+2a，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣﹣1，即直线x＝﹣﹣1；（2）y＝x2+（a+2）x+2a，整理得：y＝（x+2）（x+a），当x＝﹣1时，y1＝（﹣1+2）（﹣1+a）＝a﹣1，当x＝a时，y2＝（a+2）（a+a）＝2a2+4a，当x＝1时，y3＝（1+2）（1+a）＝3a+3，∵y1＜y2，∴a﹣1＜2a2+4a，解得：a＞﹣或a＜﹣1，∵y2＜y3，∴2a2+4a＜3a+3，解得：﹣＜a＜1，∵y1＜y2＜y3，∴﹣＜a＜﹣1或﹣＜a＜1，∴a的取值范围为：﹣＜a＜﹣1或﹣＜a＜1．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质以及对称轴、不等式等知识，熟练掌握图象上点的坐标特征和二次函数的性质是解题的关键．5．（2022•丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax﹣3．（1）求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）A（x1，y1），B（x2，y2）为该抛物线上的两点，若x1＝1﹣2a，x2＝a+1，且y1＞y2，求a的取值范围．【分析】（1）根据抛物线对称轴公式：x＝﹣，即可得到答案；（2）分三种情况讨论，得到关于a的不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2ax﹣3，∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a；（2）①当a＜x2＜x1时，y1＞y2，则a+1＜1﹣2a，即a＜0；②当x1﹣a＞a﹣x2时，y1＞y2，则1﹣2a﹣a＞a﹣（a+1），即a＜；③当x1﹣a＜a﹣x2时，y1＞y2，则1﹣2a﹣a＜a﹣（a+1），即a＞，综上，a＜0或a＞．【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数上的点的特征，熟练掌握对称轴公式以及分类讨论思想的运用是解本题的关键；确定a的范围是本题的难点．6．（2022•石景山区二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝﹣x的图象平移得到，且经过点（1，1）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当x＞﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣1（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．【分析】（1）先根据直线平移时k的值不变得出k＝﹣1，再将点（1，1）代入y＝﹣x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；（2）求得函数y＝﹣x+2在x＝﹣1时的函数值为3，根据点（﹣1，3）结合图象即可求得．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象由函数y＝﹣x的图象平移得到，∴k＝﹣1，又∵一次函数y＝﹣x+b的图象过点（1，1），∴﹣1+b＝1．∴b＝2，∴这个一次函数的表达式为y＝﹣x+2；（2）当x＝﹣1时，y＝﹣x+2＝3，把点（﹣1，3）代入y＝mx﹣1，得m＝﹣4，∵当x＞﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣1（m≠0）的值小于一次函数y＝﹣x+2的值，∴﹣4≤m≤﹣1．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．7．（2022•密云区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点（1，2）．（1）用含a的代数式表示b；（2）若该函数的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），求二次函数的解析式；（3）当a＜0时该函数图象上的任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），若满足x1＝﹣2，y1＞y2，求x2的取值范围．【分析】（1）将点（1，2）代入二次函数y＝ax2+bx+2可得答案；（2）由（1）得，y＝ax2﹣ax+2，再将（﹣1，0）代入y＝ax2﹣ax+2，即可解决问题；（3）由（1）得，b＝﹣a，则二次函数y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x＝﹣，再分当x＜或x＞，分别可得答案．【解答】解：（1）将点（1，2）代入二次函数y＝ax2+bx+2得，a+b+2＝2，∴b＝﹣a；（2）由（1）得，y＝ax2﹣ax+2，再将（﹣1，0）代入y＝ax2﹣ax+2得，a+a+2＝0，∴a＝﹣1，∴b＝1，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+2；（3）由（1）得，b＝﹣a，∴二次函数y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x＝﹣，∵a＜0，∴当x＜时，y随x的增大而增大，∵x1＝﹣2，y1＞y2，∴x2＜﹣2，当x＞时，y随x的增大而减小，∵P（﹣2，y1）关于直线x＝的对称点坐标为（3，y1），∴x2＞3，综上：x2＜﹣2或x2＞3．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．8．（2022•顺义区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+mx+n．（1）当m＝﹣3时，①求抛物线的对称轴；②若点A（1，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＜y1，求x2的取值范围；（2）已知点P（﹣1，1），将点P向右平移3个单位长度，得到点Q．当n＝2时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．【分析】（1）①先将m＝﹣3代入抛物线的解析式，并利用对称轴公式可得结论；②抛物线开口向上，根据离对称轴距离越远，函数值越大可列不等式解答；（2）根据平移的性质可得Q的坐标，把n＝2代入抛物线的解析式，分三种情况：抛物线过点P，顶点在PQ上，过点Q结合图象可解答．【解答】解：（1）①当m＝﹣3时，y＝x2﹣3x+n，对称轴是：直线x＝﹣＝；②∵抛物线的对称轴是直线x＝，且开口向上，则点与对称轴的距离越大函数值越大，∵点A（1，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＜y1，∴|x2﹣|＜|﹣1|，∴1＜x2＜2；（2）∵点P（﹣1，1），将点P向右平移3个单位长度，得到点Q，∴Q（2，1），∵n＝2，∴y＝x2+mx+2，当抛物线经过点P（﹣1，1）时，1＝1﹣m+2，∴m＝2，当抛物线的顶点在PQ上时，x＝﹣，y＝﹣+2，则y＝1，即﹣+2＝1，解得：m1＝2，m2＝﹣2，当抛物线经过点Q时，4+2m+2＝1，解得：m＝﹣，此时与抛物线有2个交点，则当m＜﹣时，符合题意，综上所述，结合函数图象，得m≥2或m＜﹣或m＝﹣2．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，对称轴公式，函数的增减性等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，正确作出图形是解决问题的关键．9．（2022•大兴区二模）关于x的二次函数y1＝x2+mx的图象过点（﹣2，0）．（1）求二次函数y1＝x2+mx的表达式；（2）已知关于x的二次函数y2＝﹣x2+2x，一次函数y3＝kx+b（k≠0），在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立．①求b的值；②直接写出k的值．【分析】（1）将点（﹣2，0）代入y1＝x2+mx，即可得出m的值；（2）根据图象y1与y2仅交于（0，0），故图象y3＝kx+b过（0，0），从而得出b的值；②根据y1与y3只有一个交点得x2+2x＝kx，整理得，x2+（2﹣k）x＝0，根据Δ＝0，可得答案．【解答】解：（1）将点（﹣2，0）代入y1＝x2+mx得，0＝（﹣2）2﹣2m，解得m＝2，∴二次函数的表达式为y1＝x2+2x；（2）①∵y1＝x2+2x和y2＝﹣x2+2x，令y1＝y2，∴x2+2x＝﹣x2+2x，∴x＝0，∴图象y1与y2仅交于（0，0），∵对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立，∴y1﹣y3≥0，y3﹣y2≥0，∴x＝0时，y1＝y2＝y3＝0，∴y3＝kx+b过（0，0），∴b＝0，②由①知，y3＝kx，联立方程组，∴x2+2x＝kx，整理得，x2+（2﹣k）x＝0，∵两图象只有一个交点，∴Δ＝（2﹣k）2＝0，∴k＝2．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，函数与方程的关系，利用数形结合思想确定直线过原点是解题的关键．10．（2022•昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a＞0）．（1）若抛物线过点（4，﹣1）．①求抛物线的对称轴；②当﹣1＜x＜0时，图象在x轴的下方，当5＜x＜6时，图象在x轴的上方，在平面直角坐标系中画出符合条件的图象，求出这个抛物线的表达式；（2）若（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）为抛物线上的三点且y3＞y1＞y2，设抛物线的对称轴为直线x＝t，直接写出t的取值范围．【分析】（1）①把（4，﹣1）代入解析式，确定b＝﹣4a，再把b＝﹣4a代入对称轴公式计算即可；②根据对称轴为直线x＝2，且2﹣（﹣1）＝5﹣2，判定抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），代入解析式确定a，b的值即可；（2）根据x＝﹣＝t，得到b＝﹣2at，从而解析式变形为y＝ax2﹣2atx﹣1（a＞0），把（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）分别代入解析式，根据y3＞y1＞y2，列出不等式组，解不等式组即可．【解答】解：（1）①若抛物线过点（4，﹣1），∴﹣1＝16a+4b﹣1，∴b＝﹣4a，∴对称轴为x＝﹣＝﹣＝2；②∵当﹣1＜x＜0时，图象在x轴的下方，当5＜x＜6时，图象在x轴的上方，抛物线的对称轴为直线x＝2，且2﹣（﹣1）＝5﹣2，∴抛物线必过点（﹣1，0）和（5，0）．∴把（5，0），（﹣1，0）代入y＝ax2+bx﹣1（a＞0）得：，解得，抛物线的表达式为，如图所示：（2）∵x＝﹣＝t，∴b＝﹣2at，∴解析式变形为y＝ax2﹣2atx﹣1（a＞0），把（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）的坐标分别代入解析式，得：y3＝a﹣2at﹣1，y1＝16a+8at﹣1，y2＝4a+4at﹣1，∵y3＞y1＞y2，∴，解得：，∴t的取值范围是﹣3＜t＜﹣．【点评】本题考查了待定系数法，抛物线的对称性，二次函数与不等式的综合，熟练掌握待定系数法，对称性，与不等式的关系是解题的关键．11．（2022•门头沟区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣4（m ≠0）．（1）求此抛物线的对称轴；（2）当m＝1时，求抛物线的表达式；（3）如果将（2）中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成新图形M．①直接写直线y＝x+1与图形M公共点的个数；②当直线y＝k（x+2）﹣1（k≠0）与图形M有两个公共点时，直接写出k的取值范围．【分析】（1）利用对称轴公式求解即可；（2）把m＝1代入即可；（3）翻折图象，出画图形，直接①②写出结论即可．【解答】解：（1）对称轴为直线x＝＝；（2）m＝1时，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（3）画出y＝x2﹣2x﹣3的图象，把x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到图象M，如图，①y＝x+1与图形M公共点的个数是3个；②k＞2，或．当直线y＝k（x+2）﹣1（k≠0）与y＝x2﹣2x﹣3的图象相切时，k（x+2）﹣1＝x2﹣2x ﹣3，∴k1＝2﹣6，k2＝﹣2﹣6，∴k＞2或或k＜﹣2﹣6．【点评】本题考查的是二次函数的综合题，画出正确的图形，利用数形结合是解题的关键．12．（2022•房山区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上．（1）直接写出这个二次函数的解析式；（2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，求n的值；（3）将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．【分析】（1）将点A（2，﹣1）代入二次函数解析式中即可求解；（2）找出抛物线的对称轴为x＝，根据二次函数的性质结合“当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n”，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值；（3）根据平移的性质可得出a＝1，由二次函数的性质可得出h≥2，再将（0，0）代入二次函数解析式中可得出k＝﹣h2，进而即可得出k的取值范围．【解答】解：（1）∵点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上，∴﹣1＝4﹣2（2m+1）+m，解得m＝1，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x+1；（2）∵y＝x2﹣3x+1，∴抛物线的对称轴为直线x＝，∴当x＜时，y随x的增大而减小，当x＝1时，y＝x2﹣3x+1＝﹣1，当x＝n时，y＝x2﹣3x+1＝n2﹣3n+1，∵当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，∴n2﹣3n+1＝4﹣n，解得n1＝﹣1，n2＝3，∵n≤x≤1，∴n的值为﹣1；（3）根据平移的性质可知，a＝1，∵当x＜2时，y随x的增大而减小，∴h≥2．∵平移后的图象经过原点O，∴0＝（0﹣h）2+k，即k＝﹣h2，∴k≤﹣4．【点评】本题考查了二次函数与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是（1）根据待定系数法找出m的值；（2）根据二次函数的单调性找出关于n的一元二次方程；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征找出k＝﹣h2．13．（2022•平谷区二模）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣1，y1）、（1，y2）、（3，y3）是抛物线y＝x2+bx+1上三个点．（1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标；（2）当y1＝y3时，求b的值；（3）当y3＞y1＞1＞y2时，求b的取值范围．【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征计算即可；（2）根据抛物线的对称轴是直线x＝﹣计算；（3）根据抛物线的对称性、二次函数图象上点的坐标特征列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：（1）对于y＝x2+bx+1，当x＝0时，y＝1，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，1）；（2）当y1＝y3时，抛物线的对称轴为x＝1，∴﹣＝1，解得：b＝﹣2；（3）当y3＞y1时，对称轴在x＝1的左侧，即﹣＜1，解得：b＞﹣2，当1＞y2时，1＞1+b+1，解得：b＜﹣1，∴当y3＞y1＞1＞y2时，﹣2＜b＜﹣1．【点评】本题考查的是二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，正确理解抛物线的对称性以及二次函数的性质是解题的关键．。
西城区2024届初三二模数学试题答案
北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第1页（共6页）北 京 市 西 城 区 九 年 级 模 拟 测 试 试 卷数学答案及评分参考 2024.5一、选择题（共16分，每题2分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BBADABCC二、填空题（共16分，每题2分）9．4x 10．2(3)(3)y x x11．2,1x y 12．(3,1) 13．1 1415．(1,1)，(2,2) 16．6；4 三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-23题，每题6分，第24题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分） 17．解： 04cos 45(π3) 2412…………………………………………………………… 4分 1 ． ……………………………………………………………………………… 5分18．解：原不等式组为3 2 < 4,2.53x x x x≥ 解不等式①，得3x ．……………………………………………………………1分 解不等式②，得1x ≥．………………………………………………………… 2分∴ 原不等式组的解集为1 ≤3x ．…………………………………………… 3分 ∴ 原不等式组的所有整数解为1 ，0，1，2．……………………………… 5分19．解： 233(1)144x x x2231(2)x x x3(1)(2)x x232x x． ……………………………………………………………………… 3分∵ 230x x ， ∴ 23x x ．∴ 原式3 ．…………………………………………………………………………5分① ②北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第2页（共6页）20．解：（1）作图见图1．……………………………………………………………………2分（2）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；……………… 3分 AB=AD ；……………………………………………………………………… 4分ABD ．………………………………………………………………………… 5分21．解：（1）依题意，得234(2)174k k ．…………………………………… 1分∵ 原方程有两个不相等的实数根，∴ 1740k ．………………………………………………………………2分 解得 174k．…………………………………………………………………3分 （2）∵ k 为满足条件的最大整数，∴ 4k ．此时方程为2320x x ．此时方程的根为11x ，22x ．…………………………………………5分22．（1）证明：如图∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB//CD ，AB=CD ．…………………………………………………… 1分 ∴ ∠ABE=∠CDF ．∵ AE ⊥BD 于点E ，CG ⊥BD 于点F ， ∴ ∠AEB=∠CFD=∠AEF=∠EFC=90°． ∴ △ABE ≌△CDF ．图1北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第3页（共6页）∴ AE=CF ． ∵ FG =CF ， ∴ AE= FG ． ∵ ∠AEF=∠EFC ， ∴ AE//FG ．∴ 四边形AEFG 是平行四边形． ∵ ∠AEF=90°，∴ 四边形AEFG 是矩形． ……………………………………………… 3分（2）解：∵ △ABE ≌△CDF ，∴ BE= DF ． ∵ AG=2AE =6， ∴ AE =3．在Rt △ABE 中，∠AEB =90°，∠ABE =30°，AE =3，∴3tan tan 30AE BE ABE4分∵ 四边形AEFG 是矩形，AG =6，∴ EF=AG=6．……………………………………………………………… 5分 ∴26BD BE EF DF BE EF ． ………………………… 6分23．（1）证明：如图3，连接AD ．∵ AB 是⊙O 的直径，BC 交⊙O 于点D ，∴ ∠BDA=90°．∴ 90B DAB ． ∵ 点E 是 BD的中点， ∴ BEED ． ∴ 1EAB ．∴ 12DAB EAB EAB ． ∵ ∠ACB =2∠EAB ， ∴ ∠DAB =∠ACB ． ∴ 90B ACB ．∴ ∠BAC=90°．………………………………………………………… 2分 ∴ AC ⊥AB ．∵ AB 是⊙O 的直径，∴ AC 是⊙O 的切线．…………………………………………………… 3分图3北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第4页（共6页）（2）解：在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，3cos 5C． 设AC =3k ，则BC =5k ，AB =4k ．∵ 90B DAB ，90CAD DAB ， ∴ B CAD ．∵ 2B EAB ，1CAF CAD ，1EAB ， ∴ 2CAF ． ∴ CF=AC=3k ．∴ 2BF BC CF k ． ∵ BF =6， ∴ k =3．∴ 412AB k ．…………………………………………………………… 6分24．解：（1）补全频数分布直方图见图4；……………………………………………… 1分（2）2分 （3）②④；………………………………………………………………………… 4分 （4）3.6380013680 （kg ）．……………………………………………………5分25．解：（1）PC ，0.5； …………………………………………………………………… 2分（2）√，×；……………………………………………………………………… 4分 （3）画图见图5；5分0.82．………………………………………………………………………… 6分图5北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第5页（共6页）26．解：（1）∵ 对于12x ，21x ，有12y y ，∴ 42a b c a b c ．∴ b a ．∴ 122b t a ．………………………………………………………………2分（2）由题意可知，抛物线2y ax bx c 与y 轴的交点为(0,)c ．①当a > 0时，抛物线开口向上．∴ 当1x ≥2时，1y 有最小值，没有最大值．∴ 与“对于1x ≥2时，都有1y c ”不符，所以不合题意．∴ a > 0不成立．②当a < 0时，抛物线开口向下，且经过点(0,)c ，(2,)t c ． 若抛物线经过点(1,)c ，则12t； 若抛物线经过点(2,)c ，则1t ． （i ）当12t ≤时，01t ≤或021t t ≤．∴ 对于21x ，都有2y c ．与“对于21x ，存在2y c ”不符，所以不合题意． （ii ）当112t 时，122t t ． ∴ 对于21x ，存在2y c ，对于1x ≥2，都有1y c ．∴112t 成立． （iii ）当1t ≥时，022t ≤．∴ 当12x 时，1y c ．与“对于1x ≥2，都有1y c 成立”不符，所以不合题意．综上所述，112t ．27．解：（1）补全图形见图6．∵ 点D 与点B 重合，MD=AB ，∠BAM ∴ ∠AMD =∠BAM =2α．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°， ∴ 90AMD MAC ． ∵ ∠BAC =α，∴ 5α=90AMD BAM BAC ．北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第6页（共6页）解得α=18 ． ∵ ∠MDE =2α，∴ 2α+2α4α=72AED AMD MDE ．………………………… 2分 （2）补全图形见图7．…………………………………………………………… 3分ME =2BC ．…………………………………………………………………… 4分证明：如图7，在BC 的延长线上截取CF=BC ，连接AF ．以点B 为圆心，BF 为半径作弧，交AF 于点N ，连接BN ． ∵ CF=BC ，∠ACB =90°， ∴ AB=AF ．∴ ∠BAN =2∠BAC =2α． ∵ ∠MDE =2α， ∴ ∠MDE =∠BAN ．∴ 在等腰△ABF 中，18090α2BAFF． ∵ BN=BF ，∴ 390αF ．在Rt △AMC 中，190903αMAC ． ∴ 21(903α)+2α90αMDE ． ∴ 23 ．∵ 41802 ，1803BNA ， ∴ 4BNA ． ∵ DM =AB ，∴ △DME ≌△ABN ． ∴ ME=BN ． ∵ BN=BF ，∴ ME=BF=2BC ．……………………………………………………7分28．解：（1）UW ，(2,1) ；…………………………………………………………………2分（2）2Rx ≤或1R x ≥；………………………………………………………… 4分（3）02d或4d ≤．……………………………………………… 7分。
2023北京西城区初三二模数学试题及参考答案
2023北京西城初三二模数 学考生须知：1．本试卷共7页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间120分钟．2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 如图是某几何体的视图，则该几何体是（ ）A. 长方体B. 三棱柱C. 圆锥D. 正方体2. 据报道，至2022年，我国已经建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，基本养老保险覆盖10.4亿人，将1040000000用科学记数法表示应为（ ）A. 810.410⨯ B. 81.0410⨯ C. 91.0410⨯ D. 101.0410⨯3. 方程组3,35x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是（ ）A. 1,252x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩B. 5,212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C. 2,1x y =⎧⎨=⎩ D. 1,2x y =⎧⎨=⎩4.小的整数可以是（ ）A. 1B. 3C. 5D. 75. 如图，直线AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，BEF ∠的平分线交CD点G ，若116BEF ∠=︒，则EGC ∠的大小是（ ）A. 116︒B. 74︒C. 64︒D. 58︒6. 一个不透明的口袋中有3个红球和1个白球，这四个球除颜色外完全相同．摇匀后，随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的颜色相同的概率是( )A.34B.58C. 12D.147. 实数a 在数轴上的位置如图所示，则a ，a -，2a ，1a中最大的是( )A. aB. a- C. 2a D.1a8. 下面的三个问题中都有两个变量：①京沪铁路全程为1463km ，某次列车的平均速度y (单位：km/h )与此次列车的全程运行时间x (单位：h)；②已知北京市的总面积为421.6810km ⨯，人均占有面积y (单位：2km/人)与全市总人口x (单位：人)；③某油箱容量是50L 的汽车，加满汽油后开了200km 时，油箱中汽油大约消耗了14．油箱中的剩油量L y 与加满汽油后汽车行驶的路程km x ．其中，变量y 与变量x 之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9. 若代数式12x -有意义，则实数x 的取值范围是 ________．10. 已知反比例函数1k y x-=的图象位于第二、四象限，则k 的取值范围为______．11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()34，，设线段OA 与x 轴正方向的夹角为α，则tan α=___________．12. 用一组a ,b 的值说明命题：“若a 2=b 2，则a=b”是错误的，这组值可以是a= _________.，b=______.13. 某射击队要从甲、乙、丙三名队员中选出一人代表射击队参加市里举行的射击比赛，下表是这三名队员在相同条件下10次射击成绩的数据：甲乙丙平均数8.598.8方差0.250.230.27如果要选出一个成绩好且又稳定的队员去参加比赛，这名队员应是___________．14. 如图，8070A B ∠=︒∠=︒，，则12∠+∠=___________．15. 如图，在ABC 中，DE BC ∥，4ADE S =△，5DBCE S =四边形，则DEBC的值是___________．16. 下表是某市本年度GDP 前十强的区县排行榜，变化情况表示该区县相对于上一年度名次变化的情况，“↑”表示上升，“↓”表示下降，“一”则表示名次没有变化．已知每个区县的名次变化都不超过两位，上一年度排名第1的区县是___________，上一年度排在第6，7，8名的区县依次是___________．(写出一种符合条件的排序)名次12345678910区县A B C D E F G H I J 变化情况↑一↓一↑↓↑↓↓一三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 114cos 4523-⎛⎫-︒+-- ⎪⎝⎭．18. 解不等式组1212315x x x -⎧+>⎪⎨⎪-≤⎩，并写出它的所有正整数解．19. 已知：如图1，线段a ，b ．求作：矩形ABCD ，使得AB a =，BC b =．作法：如图2．1．在直线l 上截取AB a =．2．过点B 作直线m l ⊥，在直线m 上截取BC b =．3．分别以点A 和点C 为圆心，b ，a 的长为半径画弧，两弧的交点为D ．(点D 与点C 在直线l 的同侧)4．连接AD CD ，．则四边形ABCD 为所求的矩形．根据上面设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，在图2中补全图形(保留作图痕迹)；（2）完成下面的证明：证明：∵AD BC b ==，AB DC a ==，∴四边形ABCD 是平行四边形(___________)．(填推理的依据)∵直线m l ⊥，∴ABC ∠=___________︒，∴四边形ABCD 是矩形(___________)．(填推理的依据)．20. 已知250a a +-=，求代数式211a a a a -⎛⎫-÷⎪⎝⎭的值．21. 关于x 的方程2310x x m -++=有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．22. 如图，矩形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，过点D 作AC 的平行线交BC 的延长线于点E ．（1）求证：BD DE =；（2）连接OE ，若2AB =，4BC =，求OE 的长．23. 为增强居民的反诈骗意识，A ，B 两个小区的居委会组织小区居民进行了有关反诈骗知识的有奖问答活动．现从A ，B 小区参加这次有奖问答活动居民的成绩中各随机抽取20个数据，分别对这20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a ．A 小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：5060x ≤<，6070x ≤<，7080x ≤<，8090x ≤<，90100x ≤≤）；b ．A 小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据在8090x ≤<这一组的是：84 85 85 86 86 88 89c ．B 小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据如下：分数738182858891929496100人数1323131411根据以上信息，解答下列问题：（1）补全a 中频数分布直方图；（2）A 小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的中位数是___________；B 小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的众数是___________；（3）为鼓励居民继续关注反诈骗宣传，对在这次有奖问答活动中成绩大于或等于90分的居民颁发小奖品．已知A ，B 两个小区各有2000名居民参加这次活动，估计这两个小区的居委会一共需要准备多少份小奖品．24. 如图，以菱形ABCD 的边AD 为直径作O 交AB 于点E ，连接DB 交O 于点M F ，是BC 上的一点，且BF BE =，连接DF ．（1）求证：DM BM =；（2）求证：DF 是O 的切线．25. 在平面直角坐标系xOy 中，函数()0ky x x=>的图像与一次函数2y x =的图像交于点(),2A a ．（1）求a ，k 的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．点P 是射线OA 上一点，过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线交函数()0k y x x =>的图像于点B ，C ．将线段PB ，PC 和函数()0ky x x=>的图像在点B ，C 之间的部分所围成的区域（不含边界）记为W ．利用函数图像解决下列问题：①若点P 的横坐标是2，直接写出区域W 内整点个数；②若区域W 内恰有5个整点，直接写出点P 的横坐标P x 的取值范围．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()11,x y ，()22,x y 都在抛物线()2280y axax a =-+<上，且112x -<<，217m x m -<<+．（1）当2m =-时，比较1y ，2y 的大小关系，并说明理由；（2）若存在1x ，2x ，满足12y y =，求m 的取值范围．27. 如图，在ABC 中，边AB 绕点B 顺时针旋转α（0180α︒<<︒）得到线段BD ，边AC 绕点C 逆时针旋转180α︒-得到线段CE ，连接DE ，点F 是DE 的中点．（1）以点F 为对称中心，作点C 关于点F 的对称点G ，连接BG DG ，．①依题意补全图形，并证明AC DG =；②求证：DGB ACB ∠=∠；（2）若60α=︒，且FH BC ⊥于H ，直接写出用等式表示的FH 与BC 的数量关系．28. 在平面直角坐标系xOy 中，给定圆C 和点P ，若过点P 最多可以作出k 条不同的直线，且这些直线被圆C 所截得的线段长度为正整数，则称点P 关于圆C 的特征值为k ．已知圆O 的半径为2，（1）若点M 的坐标为()11，，则经过点M 的直线被圆O 截得的弦长的最小值为___________，点M 关于圆O 的特征值为___________；（2）直线y x b =+分别与x ，y 轴交于点A ，B ，若线段AB 上总存在关于圆O 的特征值为4的点，求b 的取值范围；（3）点T 是x 轴正半轴上一点，圆T 的半径为1，点R ，S 分别在圆O 与圆T 上，点R 关于圆T 的特征值记为r ，点S 关于圆O 的特征值记为s ．当点T 在x 轴正轴上运动时，若存在点R ，S ，使得3r s +=，直接写出点T 的横坐标t 的取值范围．参考答案第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 【答案】B【分析】根据几何体的主视图和左视图都是长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体底面形状，得到答案．【详解】由几何体的主视图和左视图都是长方形，故该几何体是柱体，又因为俯视图是三角形，故该几何体是三棱柱．故选：B ．2. 【答案】C【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正数；当原数的绝对值1＜时，n 是负数．【详解】解：将1040000000用科学记数法表示为：91.0410⨯．故选：C ．110a ≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3. 【答案】C【分析】根据加减消元法进行求解即可．【详解】解：335x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，+①②，得，48,x =解得，2,x =把2x =代入①得，23,y +=解得，1,y =∴方程组的解为：2,1x y =⎧⎨=⎩故选：C【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是对解二元一次方程组的方法的掌握．4. 【答案】B的大小即可．【详解】解：12,34<<<< ，∴小的整数有：2和3，故选：B ．5. 【答案】D【分析】首先根据角平分线计算出1582BEG BEF ∠=∠=︒，再根据两直线平行内错角相等得出EGC ∠的大小即可．【详解】解：116BEF ∠=︒ ，EG 平分BEF ∠，111165822BEG FEG BEF ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒，AB CD ∥ ，58EGC BEG ∴∠=∠=︒，故选：D ．6. 【答案】C【分析】先利用树状图法得出两次摸球所有可能的结果，进而利用概率的计算公式求解即可．【详解】画树状图得所有可能出现的结果数为∶共有12种等可能的结果，两次摸出小球的颜色相同的有6种情况，两次摸出小球的颜色相同的概率是：61122=．故选C ．7. 【答案】D【分析】由数轴可知01a <<，移项和两边除以a 分别得到0a -<，11a>，两边同时乘以a 得到20a a <<，从而得到2101a a a a-<<<<<，由此选出答案．【详解】解：由数轴可知：01a <<，∴0a -<，11a>．又∵01a <<，∴两边乘以a 得：20a a <<，∴2101a a a a-<<<<<，∴a ，a -，2a ，1a 中，最大的是1a．故选：D 8. 【答案】A【分析】分别求出三个问题中变量y 与变量x 之间的函数关系式即可得到答案．【详解】解：①由平均速度等于路程除以时间得：1463y x=，符合题意；②由人均面积等于总面积除以总人口得：41.6810y x⨯=，即16800y x =，符合题意；③由加满汽油后开了200km 时，油箱中汽油大约消耗了14，可知每公里油耗为：()1150200L 416⨯÷=，再由油箱中的剩油量等于油箱容量减去耗油量，耗油量等于每公里油耗乘以加满汽油后汽车行驶的路程得：15016y x =-，不符合题意；综上分析可知，变量 y 与变量x 之间的函数关系可以用该图象表示的是①②．故选：A ．第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9. 【答案】2x ≠【分析】根据分式有意义的条件即分母不为0可直接进行求解．【详解】解：由题意可得：20x -≠，∴2x ≠，故答案为：2x ≠．10. 【答案】1k <【分析】根据反比例函数1k y x-=的图象位于第二、四象限，可以得到10k -<，然后求解即可．【详解】解： 反比例函数1k y x-=的图象位于第二、四象限，10k ∴-<，解得：1k <，故答案为：1k <．11. 【答案】43##113【分析】取点()30B ，，则AB x ⊥轴于B ，根据点A 的坐标求出OB 和AB ，根据锐角正切函数的定义求出即可．【详解】取点()30B ，，则AB x ⊥轴于B ，∵点A 的坐标为(3，4)，∴34OB AB ==，，tan α=43AB OB =．故答案为：43．12. 【答案】 ①. 1 ②. 1-【分析】通过a 取1，b 取-1可说明命题“若a 2=b 2，则a=b”是错误的．【详解】解：当a=1，b=-1时，满足a 2=b 2，但a≠b ．故命题错误.故答案为1，-1（答案不唯一）．13. 【答案】乙【分析】根据方差越小越稳定和平均数决策即可．【详解】解：∵乙的平均数最大，方差最小，即乙的成绩好且状态稳定，∴这名队员应是乙．故答案是：乙．14. 【答案】150︒【分析】延长,AD BC 相交于点,E 由三角形内角和定理求出30,E ∠=︒2+150,EDC ∠∠=︒由对顶角相等可得1,EDC ∠=∠ 从而可得结论．【详解】解：延长,AD BC 相交于点,E 如图，∴180,A B E ∠+∠+∠=︒又8070A B ∠=︒∠=︒，，∴180********,E A B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒又2+180,EDC E ∠∠+∠=︒∴2+18018030150,EDC E ∠∠=︒-∠=︒-︒=︒又1,EDC ∠=∠∴12150,∠+∠=︒故答案为：150︒．15. 【答案】23【分析】先证明ADE ABC ，然后利用相似三角形的性质求解．【详解】解：∵DE BC ∥，∴ADE ABC ，∴2445ADE ABC S DE S BC æöç÷==ç÷+èø ，∴23DE BC =，故答案为：23．16. 【答案】 ①. C ②. E 、H 、I 或H 、E 、I ． (二者之一即可)【分析】①C 地GDP 名次下降，只能是第一名下降而来的，即上一年度排名第1的区县是C ；② F 地GDP 名次下降，上一年度F 地排第五，G 地GDP 名次上升，上一年度G 地排第九，E 地本年度GDP 排第五，名次上升，上一年度可能是排第六或者第七，然后分类讨论即可．【详解】解：①∵A 地GDP 名次上升，每个区县的名次变化都不超过两位，B 地GDP 名次无变化，∴只能是第三名上升而来的，即原来A地原来名次是第三名；同理，C 地GDP 名次下降，只能是第一名下降而来的；∴上一年度排名第1的区县是C ，上一年度排名前四名依次是C B A D 、、、；②F 地GDP 名次下降，只能是从第五名下降，即上一年度F 地排第五，同理，G 地GDP 名次上升，只能是从第九名上升，即上一年度G 地排第九，∵E 地本年度GDP 排第五，名次上升，每个区县的名次变化都不超过两位，∴E 地上一年度可能是排第六或者第七(i )若E 地上一年度是排第六，即E 地和F 地的排名交换，∴H 地上一年度是排第七，I 地上一年度是排第八，∴上一年度排名从前往后依次是：C B A D F E H I G J 、、、、、、、、、；(ii )若E 地上一年度是排第七，∵H 地本年度GDP 排第八，GDP 名次下降，现在上一年度未确定的只有第六和第八，∴H 地上一年度是排第六，I 地上一年度是排第八∴上一年度排名从前往后依次是：C B A D F H E I G J 、、、、、、、、、；∴上一年度排在第6，7，8名的区县依次是E H I 、、或H E I 、、．故答案为： C ；E H I 、、或H E I 、、 (二者之一即可)．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 【答案】1【解析】【分析】利用特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值的性质逐项计算，即可求解．114cos 4523-⎛⎫︒+-- ⎪⎝⎭432=-32=+-1=．18. 【答案】1212x -<≤，，【分析】根据解一元一次不等式的步骤即可解答．【详解】解：1212315x x x -⎧+>⎪⎨⎪-≤⎩①②，由①得：1x >-，由②得：2x ≤，∴原不等式的解集为12x -<≤；∴原不等式所有正整数解为：12，；19. 【答案】（1）见解析 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；90；有一个内角是直角的平行四边形是矩形．【解析】【分析】（1）按照步骤操作即可；（2）根据矩形的判定定理推导，填空即可.【小问1详解】解：补全图形如下：【小问2详解】证明：∵AD BC b ==，AB DC a ==，∴四边形ABCD 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．∵直线m l ⊥，∴90ABC ∠=︒，∴四边形ABCD 是矩形(有一个内角是直角的平行四边形是矩形)．故答案是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；90；有一个内角是直角的平行四边形是矩形．20. 【答案】化简为：2a a +，结果值为：5【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据已知等式可得答案．【详解】解：211a a a a -⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭2211a a a a -=⨯-()()2111a a a a a +-=⨯-2a a =+，250a a +-=25a a ∴+=22115a a a a a a ⎛⎫-∴-÷=+= ⎪⎝⎭．21. 【答案】1m =，12x =，21x =【分析】先根据根的判别式的意义得到()()23410m ∆=--+≥，解不等式，从而得到正整数m 的值，代入原方程，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】根据题意得()()2Δ3410m =--+≥解得54m ≤所以正整数m 的值为1代入原方程得2320x x -+=即()()210x x --=∴12x =，21x =22. 【答案】（1）见解析 （2）=OE 【分析】（1）根据矩形的对角线相等可得AC BD =，对边平行可得AD BC ∥，再证明出四边形ADEC 是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得AC DE =，从而得证；（2）如图，过点O 作OF CD ⊥于点F ，欲求OE ，只需在直角OEF 中求得OF FE 、的值即可．结合三角形中位线求得OF ，结合矩形、平行四边形的性质以及勾股定理求得OE 即可．【小问1详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴AC BD AD BC =，∥，又∵DE AC ∥，∴四边形ADEC 是平行四边形，∴AC DE =，∴BD DE =；【小问2详解】如图，过点O 作OF CD ⊥于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴,AC BD =点O 是,AC BD 的中点，4,AD BC ==∴11,,22OC AC OB BD ==∴,OC OB =∴122CF BF BC ===，∴F 点是BC 的中点，∴OF 是BCD △的中位线，∴11,2OF CD ==又∵四边形ADEC 是平行四边形，∴4,CE AD ==．∴246EF CF CE =+=+=．在Rt OEF △中，由勾股定理可得：OE ===．【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并求出四边形ADEC 是平行四边形是解题的关键．23. 【答案】（1）见解析 （2）88.5分；94分（3）950份【分析】（1）用20减去第一、二、四、五组的频数即可得到第三组（7080x ≤<）的频数，进而可补全频数分布直方图；（2）根据中位数和众数的定义求解即可；（3）用样本百分比估计总体数量即可．【小问1详解】第三组（7080x ≤<）的频数为：2011792----=，补全图形如下：【小问2详解】∵20个数据按大小顺序排列，最中间的两个数据是第10和11个，∴A 小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的中位数在8090x ≤<这一组内的第6和7个数据的平均数，即88+89=88.52；B 小区参加有奖问答活动的20名居民成绩中出现次数最多的是94分，出现4次，故B 小区参加有奖问答活动的20名居民成绩中众数是94分，故答案为：88.5分；94分；【小问3详解】9+3+1+4+1+12000=95020+20⨯（份）答：估计这两个小区的居委会一共需要准备950份小奖品24. 【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角及菱形的性质得到点M 是BD 的中点即可解答；（2）根据菱形的性质及全等三角形的判定得到DBE DBF ≌，再根据全等三角形的性质得到90BFD DEB ∠=∠=︒，最后利用四边形的内角和及切线的判定即可解答．【小问1详解】解：连接AM ，∵AD 为O 的直径，∴90AMD ∠=︒，∴AM BD ⊥，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD AB =，∴点M 是BD 的中点，∴DM BM =；【小问2详解】解：连接DE ，∵四边形ABCD 是菱形，∴DBE DBF ∠=∠，180DAB ABC ∠+∠=︒，∴在DBE 和DBF ，BE BF DBE DBF BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DBE DBF SAS ≌，∴DEB DFB ∠=∠，∵AD 是O 的直径，∴90AED DEB ∠=∠=︒，∴90BFD DEB ∠=∠=︒，∵180DAB ABC ∠+∠=︒，∴在四边形ABFD 中，180ADF BFE ∠+∠=︒，∴90ADF ∠=︒，∴AD DF ⊥，∴DF 是O 的切线．25. 【答案】（1）1，2（2）①1；②522P x <≤【分析】（1）先根据直线的解析式可求a 的值，从而可得点A 的坐标，再将点A 坐标代入反比例函数的解析式可得k 的值；（2）①先求出点P 坐标，再根据反比例函数的解析式求出点B 、C 坐标，然后结合函数图像、整点的定义即可得；②由图可知点P 不可能在点A 下方，故点P 在点A上方，结合函数图像列出不等式组求解即可．【小问1详解】解： 函数()0ky x x =>的图像与一次函数2y x =的图像交于点(),2A a ，22a ∴=⨯，即1a =，()1,2A ∴，将()1,2A 代入反比例函数()0k y x x =>中，21k=解得：2k =，故答案为：1a =，2k =；【小问2详解】①由（1）可知反比例函数解析式为()20=>y x x ，点P 是射线OA 上一点，P 的横坐标是2，224y ∴=⨯=()2,4P ∴将2x =代入()20=>y x x ，得1y =将4y =代入()20=>y x x ，得12x = 点P 与 x 轴，y 轴的垂线交函数()0ky x x =>的图像于点B ，C ，()2,1B ∴，1,42C ⎛⎫⎪⎝⎭，如图：结合函数图像可知，区域W 内有1个整数点；②区域W 内恰有5个整点，由图可知点P 只能位于A 的上方如图：如图，当P 的纵坐标为5时，横坐标为522y x ==，结合图像可知，当522P x <≤时，区域内有5个整数点．26. 【答案】（1）12y y >，理由见解析 （2）1m >【解析】【分析】（1）当2m =-时，235x <<，将抛物线解析式化为顶点式，得到对称轴，根据1x ，2x 的大小判断与对称轴的距离，结合0<a ，即可得出答案；（2）根据题意可知满足12y y =，即1x 与2x 关于对称轴1x =对称，当112x -<<时，则2x 的最小值要比12x =时的对称点0小，2x 的最大值要比11x =-时的对称点3大，解不等式组即可．【小问1详解】12y y >；理由：∵()222818y ax ax a x a =-+=-+-，∴抛物线的对称轴是直线1x =当2m =-时，235x <<∵112x -<<，235x <<，对称轴是直线1x =∴1x 比2x 离对称轴近∵0<a ，抛物线开口向下∴12y y >【小问2详解】∵12y y =∴1x 与2x 关于对称轴1x =对称∵112x -<<∴203x <<即1073m m -<⎧⎨+>⎩解得1m >27. 【答案】（1）①补全图形见解析，证明见解析；②见解析（2）FH BC =【解析】【分析】（1）①依题意补全图形如图所示，先证明DFG EFC ≅ ，推出DG CE =，然后结合旋转的性质可得结论；②根据对称的性质可证明BDG BAC ≅ ，可得结论；（2）连接,AD BF ，如图，根据等边三角形的性质结合（1）②的结论可得BGC 是等边三角形，可得60BCF ∠=︒，再根据等边三角形的性质、30度角的直角三角形的性质以及三角函数即可得出结论．【小问1详解】①依题意补全图形如图所示：证明：∵点F 是DE 的中点，∴DF EF =，∵点C 关于点F 的对称点为G ，∴CF GF =，又∵=DFG EFC ∠∠，∴DFG EFC ≅ ，∴DG CE =，由旋转的性质可得：AC CE =，∴AC DG =；②证明：∵点C 关于点F 的对称点为G ，∴BG BC =，∵,BD BA DG AC ==，∴BDG BAC ≅ ，∴DGB ACB ∠=∠；【小问2详解】解：连接,AD BF ，如图，由题意得60DBA α∠==︒，∵BDG BAC ≅ ，∴DBG CBA ∠=∠，∴60GBC DBA ∠=∠=︒，∵BG BC =，∴BGC 是等边三角形，∴60BCF GBC ∠=∠=︒，∵点F 是CG 的中点，∴1,302BF CG CBF CBG ⊥∠=∠=︒，∴12CF BC =，∵FH BC ⊥，60BCF ∠=︒，∴sin 60FH CF BC =⋅︒==；∴FH 与BC 的数量关系是FH BC =．28. 【答案】（1） 3（2）b b ≤≤b ≤≤（3）21t -≤≤+【分析】（1）设经过点M 的直线与O 交于E 、F 两点，过点O 作OH EF ⊥于H ，连接OM OE ，，利用垂径定理得到2EF EH =，由勾股定理可得当OH 最大时，EH 最小，即此时EF 最小，求出OM =，再由OH OM ≤，得到当点H 与点M 重合时，OH ，即可求出EF 的最小值为，则被圆O 截得的弦长取值范围为4x ≤≤，再由被圆O 截得的弦长为3的弦有2条，被圆O 截得的弦长为4的弦只有1条，可得点M 关于圆O 的特征值为3；（2）根据题意得，关于圆O 的特征值为4的所有点都在以O 为圆心，为半径的圆周上，分当0b >时和当0b <时，两种情况讨论即可求解；（3）由于同一平面内，对于任意一点Q ，经过O 、Q 的直线与圆O 截得的弦（直径）都为4，则点Q 关于圆O 的特征值不可能为0，由此可得0rs ≠，则12r s =⎧⎨=⎩或21r s =⎧⎨=⎩；经过点S 且弦长为4（最长弦）的直线有1条，弦长为3（最短弦）的直线有1条，由（2）可知点S 一定在以O 为圆为半径的圆上，同理点R 一定在以T O 为圆心，2为半径的圆与以T O 为半径的圆与以T 为圆心，1为半径的圆有交点时t 的值符合题意，由此求解即可．【小问1详解】解：设经过点M 的直线与O 交于E 、F 两点，过点O 作OH EF ⊥于H ，连接OM OE ，，∴2EF EH =，在Rt OEH △中，由勾股定理得EH ==∴当OH 最大时，EH 最小，即此时EF 最小，∵点M 的坐标为()11，，∴OM ==又∵OH OM ≤，∴当点H 与点M 重合时，OH ，∴此时EH =，∴EF 的最小值为∵过点M 的直线被圆O 截得的弦长的最大值为4（直径），∴被圆O 截得的弦长取值范围为4x ≤≤，∴被圆O 截得的弦长为正整数的只有是3或4，∵被圆O 截得的弦长为3的弦有2条，被圆O 截得的弦长为4的弦只有1条，∴点M 关于圆O 的特征值为3，故答案为：，3；【小问2详解】解：设点G 是圆O 的特征值为4的点，由（1）可知经过一点G 且弦长为4（最长弦）的直线有1条，弦长为3的直线有2条，∵特征值要保证为4，∴经过点G 且弦长为2的直线有且只有1条，∴经过点G 的直线被圆O 截得的弦长的最小值为2，=，∴由（1）可知，关于圆O 的特征值为4的所有点都在以O∵直线y x b =+分别与x ，y 轴交于点A ，B ，∴()0A b -，，()0B b ，，∴OA OB b ==，∴45OBH ∠=︒当0b >时，∵线段AB 上总存在关于圆O 的特征值为4的点，∴线段AB 与以O当线段AB 与以O H ，连接OH ，则OH =，∴OB ==，∴1b =将以O y 轴正半轴的交点记为1B ，则1OB =，当线段AB 与以O 1B 时，可得2b =，b ≤≤同理可求当0b <时，b ≤≤；综上，b b ≤≤或b ≤≤【小问3详解】：∵同一平面内，对于任意一点Q ，经过O 、Q 的直线与圆O 截得的弦（直径）都为4，∴点Q 关于圆O 的特征值不可能为0，∴0rs ≠，∵3r s +=，且r 、s 都是整数，∴12r s =⎧⎨=⎩或21r s =⎧⎨=⎩；当12r s =⎧⎨=⎩时，∴经过点S 且弦长为4（最长弦）的直线有1条，弦长为3（最短弦）的直线有1条，∴由（2）可知点S 一定在以O =为半径的圆上，同理当21r s =⎧⎨=⎩时，点R 一定在以T =∴当满足以O 为圆心，2为半径的圆与以T O 为圆为半径的圆与以T 为圆心，1为半径的圆有交点时t 的值符合题意；如图3-1所示，当以O 为半径的圆与以T 为圆心，1为半径的圆外切时，此时11t =+；如图3-2所示，当以O 为圆心，2为半径的圆与以T 为半径的圆外切时，此时22t =-综上所述，当21t -≤≤+时，存在点R ，S ，使得3r s +=．。
西城初三数学二模试卷答案
一、选择题（每题3分，共30分）1. 若a > 0，b < 0，则下列不等式中成立的是（）A. a + b > 0B. a - b > 0C. a / b > 0D. a / b < 0答案：D2. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于x轴的对称点是（）A. （2，-3）B. （-2，3）C. （2，-3）D. （-2，-3）答案：A3. 下列函数中，y随x的增大而减小的函数是（）A. y = 2x + 1B. y = -x + 1C. y = x^2D. y = 1/x答案：B4. 已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，下列说法正确的是（）A. 该方程有两个不相等的实数根B. 该方程有两个相等的实数根C. 该方程没有实数根D. 该方程有一个实数根答案：A5. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数是（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°答案：C6. 下列等式中，正确的是（）A. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2B. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2C. (a + b)^2 = a^2 - 2ab + b^2D. (a - b)^2 = a^2 + 2ab - b^2答案：B7. 若x = 2，则代数式x^2 - 4x + 3的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A8. 下列图形中，是轴对称图形的是（）A. 正方形B. 等边三角形C. 等腰梯形D. 平行四边形答案：A9. 若a，b是方程x^2 - 3x + 2 = 0的两个根，则a + b的值是（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B10. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y = 2x + 1B. y = x^2C. y = 1/xD. y = 2x^3答案：C二、填空题（每题5分，共20分）11. 若a，b，c成等差数列，且a + b + c = 12，则b的值是______。
2024年中考数学二模试卷(北京卷)(全解全析)
2024年中考第二次模拟考试数学·全解全析第Ⅰ卷选择题一、选择题（共16分，每小题2分）第1~8题均有四个选项，符合题意的只有一个．1．截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（）A ．723.910⨯B ．82.3910⨯C ．92.3910⨯D ．90.23910⨯【答案】B【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 为整数，且n 比原来的整数位数少1，据此判断即可．【详解】解：8239000000 2.3910=⨯，故选：B ．【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 为整数，且n 比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定a 和n 的值．2．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．【详解】A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此项不合题意；D.既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．如图，已知70AOC BOD ∠=∠=︒，30BOC ∠=︒，则AOD ∠的度数为()A ．100︒B ．110︒C ．130︒D ．140︒【答案】B 【分析】根据∠AOC 和∠BOC 的度数得出∠AOB 的度数，从而得出答案．【详解】∵∠AOC =70°，∠BOC =30°，∴∠AOB =70°－30°=40°，∴∠AOD =∠AOB +∠BOD =40°+70°=110°．故选：B ．【点睛】本题主要考查的是角度的计算问题，属于基础题型．理解各角之间的关系是解题的关键．4．如图，数轴上的点A 和点B 分别在原点的左侧和右侧，点A 、B 对应的实数分别是a 、b ，下列结论一定成立的是（）A ．0a b +<B ．0b a -<C ．22a b >D ．22a b +<+【答案】D 【分析】依据点在数轴上的位置，不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．【详解】解：由题意得：a ＜0＜b ，且a ＜b ，∴0a b +>，∴A 选项的结论不成立；0b a ->，∴B 选项的结论不成立；22a b <，∴C 选项的结论不成立；22a b +<+，∴D 选项的结论成立．故选：D ．【点睛】本题主要考查了不等式的性质，有理数大小的比较法则，利用点在数轴上的位置确定出a ，b 的取值范围是解题的关键．5．若正多边形的内角和是540︒，则该正多边形的一个外角为（）A ．45︒B ．60︒C ．72︒D ．90︒【答案】C【分析】根据多边形的内角和公式()2180n -∙︒求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360︒，依此可以求出多边形的一个外角．【详解】 正多边形的内角和是540︒，∴多边形的边数为54018025︒÷︒+＝，多边形的外角和都是360︒，∴多边形的每个外角360572÷︒＝＝．故选：C ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．6．已知关于x 的一元二次方程220x x a -+=有两个相等的实数根，则实数a 的值是（）A ．1-B ．1C ．2D ．3【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，根据方程有两个相等的实数根，判别式等于0列式求解即可得到答案；【详解】解：∵一元二次方程220x x a -+=有两个相等的实数根，∴2(2)410a --⨯⨯=，解得：1a =，故选：B ．7．不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（）A ．23B ．34C ．25D ．35【答案】D【分析】根据概率计算公式进行求解即可．【详解】解：∵不透明的袋子里装有2个红球，3个黄球，∴从袋子中随机摸出一个，摸到黄球的概率为33235=+；故选：D ．【点睛】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．8．如图，点A 、B 、C 在同一条线上，点B 在点A ，C 之间，点D ，E 在直线AC 同侧，AB BC <，90A C ∠=∠=︒，EAB BCD ≌△△，连接DE ，设AB a =，BC b =，DE c =，给出下面三个结论：①a b c +<；②22a b a b +>+；)2a b c +>；上述结论中，所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D 【分析】如图，过D 作DF AE ⊥于F ，则四边形ACDF 是矩形，则DF AC a b ==+，由DF DE <，可得a b c +<，进而可判断①的正误；由EAB BCD ≌△△，可得BE BD =，CD AB a ==，AE BC b ==，ABE CDB ∠=∠，则90EBD ∠=︒，BDE △是等腰直角三角形，由勾股定理得，2222BE AB AE a b =+=+，由AB AE BE +>，可得22a b a b +>+，进而可判断②的正误；由勾股定理得222DE BD BE =+，即()2222c a b =+，则()2222c a b a b =⨯+<+，进而可判断③的正误．【详解】解：如图，过D 作DF AE ⊥于F ，则四边形ACDF 是矩形，∴DF AC a b ==+，∵DF DE <，∴a b c +<，①正确，故符合要求；∵EAB BCD ≌△△，∴BE BD =，CD AB a ==，AE BC b ==，ABE CDB ∠=∠，∵90CBD CDB ∠+∠=︒，∴90∠+∠=︒CBD ABE ，90EBD ∠=︒，∴BDE △是等腰直角三角形，由勾股定理得，2222BE AB AE a b =+=+，∵AB AE BE +>，∴22a b a b +>+，②正确，故符合要求；由勾股定理得222DE BD BE =+，即()2222c a b =+，∴()2222c a b a b =⨯+<+，③正确，故符合要求；故选：D ．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．第Ⅱ卷非选择题二、填空题（共16分，每小题2分）93x -有意义，则x 可取的一个数是．【答案】如4等（答案不唯一，3x ≥）【分析】根据二次根式的开方数是非负数求解即可．【详解】解：∵式子3x -有意义，∴x ﹣3≥0，∴x ≥3，∴x 可取x ≥3的任意一个数，故答案为：如4等（答案不唯一，3x ≥．【点睛】本题考查二次根式、解一元一次不等式，理解二次根式的开方数是非负数是解答的关键．10．将2327m n n -因式分解为．【答案】()()333n m m +-【分析】先提公因式，再利用平方差公式可进行因式分解．【详解】解：2327m n n-=()239n m -=()()333n m m +-故答案为：()()333n m m +-．【点睛】本题考查了提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．11．方程12131x x =的解为．【答案】x ＝3【分析】根据分式方程的解法解方程即可；【详解】解：去分母得：3x ﹣1＝2x +2，解得：x ＝3，检验：把x ＝3代入得：(x +1)(3x ﹣1)≠0，∴分式方程的解为x ＝3．故答案为：x ＝3．【点睛】本题考查了解分式方程：先将方程两边乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解．12．在平面直角坐标系xOy 中，点(A 1-1)y ，，()22B y ，在反比例函数()0y k x =≠的图象上，且12y y >，请你写出一个符合要求的k 的值．【答案】2-（答案不唯一）【分析】由题可知A ，B 在两个象限，根据12y y >得到图象位于二、四象限，即0k <给出符合题意的k 值即可．【详解】由题可知A ，B 在两个象限，∵12y y >，∴反比例函数()0k y k x=≠的图象位于二、四象限，∴0k <，即2k =-，故答案为：2-．【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．13．如图，在O 中，AB 是直径，CD AB ⊥，ACD ∠＝60︒，2OD =，那么DC 的长等于.【答案】23【分析】此题考查了圆的垂径定理，勾股定理，圆周角定理；根据垂径定理得到CE DE =， BDBC =，90DEO AEC ∠=∠=︒，利用圆周角定理求出求出260DOE A ∠=∠=︒，得出30ODE ∠=︒，进而根据含30度角的直角三角形的性质，求得1OE =，勾股定理即可得DE ，垂径定理即可求得DC 的长．【详解】解：如图所示，设,AB CD 交于点E ，AB 是直径，CD 丄AB ，CE DE ∴=， BDBC =，90DEO AEC ∠=∠=︒，ACD ∠ =60︒，30A ∴∠=︒，260DOE A ∴∠=∠=︒，30ODE ∴∠=︒，∴112OE OD ==，DE ∴=3，2CD DE ∴==23，故答案为：23．14．如图，《九章算术》是中国古代数学专着，是《算经十书》（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种.该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x 株，根据题意可列分式方程为.【答案】()621031x x-=【分析】根据实际问题列分式方程即可，关键是对“那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”的理解．【详解】解：由题意可列方程：62103(1)-=x x；故答案为：62103(1)-=x x ．【点睛】本题考查根据题意列分式方程，解题关键是熟练运用单价计算公式：单价=总价÷数量，结合题意即可得出分式方程．15．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，5BC =，E 点为BC 边延长线一点，且3CE =．连接AE 交边CD 于点F ，过点D 作DH AE ⊥于点H ，则DH =．【答案】5【分析】利用相似三角形的判定与性质求得线段FC 的长，进而求得DF 的长，利再用勾股定理求出AF 的长，最后根据三角形的面积公式，即可求出DH 的长．【详解】解： 四边形ABCD 为矩形，CD AB ∴∥，4DC AB ==，5AD BC ==，90ADC ∠=︒，EFC EAB ∴∠=∠，E E ∠=∠ ，EFC EAB ∴∽V V ，CE FC EB AB ∴=，3354FC ∴=+，32FC ∴=，52DF DC FC ∴=-=，在Rt ADF V 中，2222555522AF AD DF ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，DH AE ⊥ ，1122ADF S AD DF AF DH ∴=⋅=⋅V ，1515552222DH ∴⨯⨯=⨯⨯，5DH ∴=，故答案为：5．【点睛】本题矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．16．有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：①左至右，按数字从小到大的顺序排列；②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母的位置，标注字母e 的卡片写有数字．【答案】B ；4【分析】根据排列规则依次确定白1，白2，白3，白4的位置，即可得出答案．【详解】解：第一行中B 与第二行中c 肯定有一张为白1，若第二行中c 为白1，则左边不可能有2张黑卡片，∴白卡片数字1摆在了标注字母B 的位置，∴黑卡片数字1摆在了标注字母A 的位置，；第一行中C 与第二行中c 肯定有一张为白2，若第二行中c 为白2，则a ，b 只能是黑1，黑2，而A 为黑1，矛盾，∴第一行中C 为白2；第一行中F 与第二行中c 肯定有一张为白3，若第一行中F 为白3，则D ，E 只能是黑2，黑3，此时黑2在白2右边，与规则②矛盾，∴第二行中c 为白3，∴第二行中a 为黑2，b 为黑3；第一行中F 与第二行中e 肯定有一张为白4，若第一行中F 为白4，则D ，E 只能是黑3，黑4，与b 为黑3矛盾，∴第二行中e 为白4．故答案为：①B ，②4．【点睛】本题考查图形类规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定出白1，白2，白3，白4的位置．三、解答题（共68分，17~22题，每题5分，23~26题，每题6分，27~28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（本题5分）计算：()2021112π 3.144cos302-⎛⎫-+--︒+ ⎪⎝⎭【答案】4【分析】先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可．【详解】解：原式31231442=-++-⨯+1231234=-++-+4=．【点睛】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，化简二次根式等等，熟知相关计算法则是解题的关键．18．（本题5分）解不等式组：352x x +<-⎧⎪⎨-<⎪．【答案】35x <<【分析】先求出每个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集即可．【详解】解：221352x x x x +<-⎧⎪⎨-<⎪⎩①②，解不等式①得：3x >，解不等式②得：5x <，∴不等式组的解集为35x <<．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．19．（本题5分）先化简，再求值：21221121x x x x x x --⎛⎫+-÷ ⎪+++，其中31x =-．【答案】2x x --，33-+．【分析】根据分式的混合运算法则进行化简，再代值计算即可．【详解】解：原式22121211(1)x x x x x x ⎛⎫---=+÷ ⎪+++⎝⎭()()22112x x x x x-+=⋅+-()1x x =-+2x x =--，当31x =-时，原式()()3131133=---+=-+．【点睛】本题考查分式的化简求值，二次根式的运算．熟练掌握相关运算法则，正确的进行计算，是解题的关键．20．（本题5分）如图，在ABC 中，60,ACB CD ∠=︒平分ACB ∠，过点D 作DE BC ⊥于点,E DF AC ⊥于点F ，点H 是CD 的中点，连接HE FH 、．(1)判断四边形DFHE 的形状，并证明；(2)连接EF ，若26EF =CD 的长．【答案】(1)菱形，见解析；(2)42【分析】本题考查菱形的性质和判定，关键是利用菱形的判定解答．（1）根据角平分线的性质得出DF DE =，进而利用直角三角形的性质得出FH DH EH ==，进而利用菱形的判定解答即可；（2）根据菱形的性质和含30︒角的直角三角形的性质得出DH ，进而解答即可．【详解】（1）解：四边形DFHE 是菱形，理由如下：CD 平分ACB ∠，过点D 作DE BC ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，60ACB ∠=︒，DF DE ∴=，30FCD DCE ∠=∠=︒，点H 是CD 的中点，FH CH DH ∴==，EH CH DH ==，FH HE ∴=，30DCE ∠=︒ ，DE CB ⊥，60HDE ∴∠=︒，DHE ∴ 是等边三角形，DE HE DH ∴==，DF DE HE FH ∴===，∴四边形DFHE 是菱形；（2）解：连接EF ，交DH 于点O ，四边形DFHE 是菱形，12OH OD DH ∴==，162OF OE EF ===，EF DH ⊥，60HDE ∠=︒ ，6233OE OD ∴===，2442CD DH OD ∴===．21．（本题5分）已知，图①是一张可以缓解眼睛疲劳的视力远眺回形图，它是由多个大小不等的正方形构成的二维空间平面图，利用心理学空间知觉原理，通过变化图案可不断改变眼睛晶状体的焦距，强烈显示出三维空间的向远延伸的立体图形，调节人们的睫状体放松而保护视力．其中阴影部分是由能够缓解视疲劳的绿色构成，阴影之间的部分是空白区域．某体检中心想定做一张回形图，图②是选取的部分回形图的示意图，其中最大的正方形边长为3m ，且空白区域A B 、两部分的面积相等，若空白区域需要三种不同的护眼浅色贴纸，铺贴用纸费用分别为：A 区域10元2/m ，B 区域15元2/m ，C 区域20元2/m ，铺贴三个区域共花费150元，求C 区域的面积．【答案】25m 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设A 区域的面积为m x ，根据题意得出101520(92)150x x x ++-=，解得2x =，再求出C 区域的面积即可．【详解】解：设A 区域的面积为m x ，101520(92)150x x x ++-=，解得2x =，9225-⨯=，答：C 区域的面积是25m ．22．（本题5分）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象经过点()0,1，()2,2-，与x 轴交于点A ．(1)求该一次函数的表达式及点A 的坐标；(2)当2x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于一次函数y kx b =+（0k ≠）的值，直接写出m 的取值范围．【答案】(1)112y x =-+，(2,0)A ；(2)4m >-【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问题的关键．也考查了一次函数的性质．（1）先利用待定系数法求出函数解析式为112y x =-+，然后计算自变量为0时对应的函数值得到A 点坐标；（2）当函数y x n =+与y 轴的交点在点A （含A 点）上方时，当0x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于函数(0)y kx b k =+≠的值．【详解】（1）解： 一次函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点(0,1)，(2,2)-，∴122b k b =⎧⎨-+=⎩，解得121k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，该一次函数的表达式为112y x =-+，令0y =，得1012x =-+，2x ∴=，(2,0)A ∴；（2）解：当2x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于一次函数(0)y kx b k =+≠的值，1212x m x ∴+>-+，4m ∴>-．23．（本题6分）为进一步增强中小学生“知危险会避险”的意识，某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分统计图：b ．这30名学生两次知识竞赛获奖情况相关统计表：参与奖优秀奖卓越奖第一次竞赛人数101010平均数828795第二次竞赛人数21216平均数848793（规定：分数90≥，获卓越奖；85≤分数90<，获优秀奖：分数85<，获参与奖）c ．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：90909191919192939394949495959698d ．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如下表：平均数中位数众数第一次竞赛m 87.588第二次竞赛90n91根据以上信息，回答下列问题：(1)小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“○”圈出代表小松同学的点；(2)直接写出,m n 的值；(3)哪一次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高?请说明你的理由（至少两个方面）．【答案】(1)见详解；(2)88m =，90n =；(3)第二次【分析】（1）根据30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图可得横坐标为89，纵坐标为91，即可获得答案；（2）根据平均数和中位数的定义求解即可；（3）根据平均数、众数和中位数的意义解答即可．【详解】（1）解：如图所示；（2）8210871095108830m ⨯+⨯+⨯==，∵第二次竞赛获卓越奖的学生有16人，成绩从小到大排列为：90，90，91，91，91，91，92，93，93，94，94，94，95，95，96，98，其中第1个和第2个数是30名学生成绩中第15和第16个数，∴1(9090)902n =⨯+=，∴88m =，90n =；（3）第二次竞赛，学生成绩的平均数、中位数和众数均高于第一次竞赛，故第二次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高．【点睛】本题主要考查了众数、平均数、中位数等知识，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键．24．（本题6分）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点E ，BD 平分ABC ∠，BAC ADB ∠=∠．(1)求证DB 平分ADC ∠，并求BAD ∠的大小；(2)过点C 作CF AD ∥交AB 的延长线于点F ．若AC AD =，2BF =，求此圆半径的长．【答案】(1)见解析，90BAD ∠=︒；(2)4【分析】（1）根据已知得出 AB BC =，则ADB CDB ∠=∠，即可证明DB 平分ADC ∠，进而根据BD 平分ABC ∠，得出 AD CD=，推出 BAD BCD =，得出BD 是直径，进而可得90BAD ∠=︒；（2）根据（1）的结论结合已知条件得出，90F ∠=︒，ADC △是等边三角形，进而得出1302CDB ADC ∠=∠=︒，由BD 是直径，根据含30度角的直角三角形的性质可得12BC BD =，在Rt BFC △中，根据含30度角的直角三角形的性质求得BC 的长，进而即可求解．【详解】（1）解：∵BAC ADB∠=∠∴ AB BC =，∴ADB CDB ∠=∠，即DB 平分ADC ∠．∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，∴ AD CD=，∴ AB AD BCCD +=+，即 BAD BCD =，∴BD 是直径，∴90BAD ∠=︒；（2）解：∵90BAD ∠=︒，CF AD ∥，∴180F BAD ∠+∠=︒，则90F ∠=︒．∵ AD CD=，∴AD DC =．∵AC AD =，∴AC AD CD ==，∴ADC △是等边三角形，则60ADC ∠=︒．∵BD 平分ADC ∠，∴1302CDB ADC ∠=∠=︒．∵BD 是直径，∴90BCD ∠=︒，则12BC BD =．∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴180ADC ABC ∠+∠=︒，则120ABC ∠=︒，∴60FBC ∠=︒，∴906030FCB ∠=︒-︒=︒，∴12FB BC =．∵2BF =，∴4BC =，∴28BD BC ==．∵BD 是直径，∴此圆半径的长为142BD =．【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键．25．（本题6分）兴寿镇草莓园是北京最大的草莓基地，通过一颗颗小草莓，促进了农民增收致富，也促进了农旅融合高质量发展．小梅家有一个草莓大棚，大棚的一端固定在离地面高1m 的墙体A 处，另一端固定在离地面高1m 的墙体B 处，记大棚的截面顶端某处离A 的水平距离为m x ，离地面的高度为m y ，测量得到如下数值：/mx01245/my18311311383小梅根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小梅的探究过程，请补充完整：(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点(),x y，并画出函数的图象；解决问题：(2)结合图表回答，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为___________m；此时距离A的水平距离为___________m；(3)为了草莓更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面1.5m时补光效果最好，若在距离A处水平距离1.5m的地方挂补光灯，为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是多少m？（灯的大小忽略不计）【答案】(1)见解析；(2)4；3；(3)为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是1.75m．【分析】（1）描点，连线，即可画出函数的图象；（2）结合图表回答，即可解答；（3）利用待定系数法求得抛物线的解析式，令 1.5x=，求得函数值，即可解答．【详解】（1）解：描点，连线，函数的图象如图所示，；（2）解：根据图表知，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为4m ；此时距离A 的水平距离为3m ；故答案为：4；3；（3）解：设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，把()01，，813⎛⎫ ⎪⎝⎭，，1123⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入得，18311423c a b c a b c ⎧⎪=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得1321a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的解析式为21213y x x =-++，令 1.5x =，则21331321 3.253224y ⎛⎫=-⨯+⨯+== ⎪⎝⎭，()3.25 1.5 1.75m -=，答：为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是1.75m ．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据点的坐标画出函数图象是解题关键．26．（本题6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()22230y ax a x a =--≠．(1)求该抛物线的对称轴（用含a 的式子表示）；(2)若1a =，当23x -<<时，求y 的取值范围；(3)已知()121,A a y -，()2,B a y ，()32,C a y +为该抛物线上的点，若()()13320y y y y -->，求a 的取值范围．【答案】(1)直线x a =；(2)45x -≤<；(3)3a >或1a <-【分析】（1）根据对称轴为直线2b x a=-代入求解即可；（2）根据23x -<<，2x =-比3x =距离对称轴远，分别求得1,2x =-时的函数值即可求解；（3）分两种情况讨论132>y y y >和132y y y <<时．【详解】（1）解：∵抛物线解析式为()22230y ax a x a =--≠，∴对称轴为直线2222b a x a a a---===；（2）解：当1a =时，抛物线解析式为2=23y x x --，∴对称轴2122b x a -=-=-=，抛物线开口向上，∴当1x =时，取得最小值，即最小值为212134y =-⨯-=-，∵2x =-离对称轴更远，∴2x =-时取得最大值，即最大值为()()222235y =--⨯--=，∴当23x -<<时，y 的取值范围是45x -≤<；（3）解：∵()()13320y y y y -->，∴13>0y y -，32>0y y -，即132>y y y >；或130y y -<，320y y -<，即132y y y <<，∵抛物线对称轴2222b a x a a a ---===，∴()2,B a y 是抛物线顶点坐标，若132>y y y >，则抛物线开口向上，0a >，()32,C a y +在对称轴的右侧，当()121,A a y -在对称轴右侧时，21+2a a ->，解得：3a >；当()121,A a y -在对称轴左侧时，()21+2a a a a -->-，解得：1a <-，不符合题意；∴a 的取值范围是3a >；若132y y y <<，则抛物线开口向下，a<0，()32,C a y +在对称轴的右侧，当()121,A a y -在对称轴右侧时，21+2a a ->，解得：3a >，不符合题意，当()121,A a y -在对称轴左侧时，()21+2a a a a -->-，解得：1a <-；∴a 的取值范围是1a <-；综上所述：a 的取值范围是3a >或1a <-.【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．27．（本题7分）如图，在ABC 中，AB AC =，()24590BAC αα∠=︒<<︒，D 是BC 的中点，E 是BD 的中点，连接AE ．将射线AE 绕点A 逆时针旋转α得到射线AM ，过点E 作EF AE ⊥交射线AM 于点F ．(1)①依题意补全图形；②求证：B AFE ∠=∠；(2)连接CF ，DF ，用等式表示线段CF ，DF 之间的数量关系，并证明．【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)CF DF=【分析】（1）①根据题意画出图形即可求解；②连接AD ，则AD BC ⊥于点D ，AD 平分BAC ∠，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出BAD ∠=α，90B α∠=︒-，根据90AEF ∠=︒，得出90AFE α∠=︒-，则B AFE ∠=∠；（2）延长FE 至点H ，使得EH EF =，连接,BH AH ，CF ，倍长中线法证明HBE FDE ≌，进而证明AHB AFC ≌，即可得证．【详解】（1）解：①如图所示，②连接AD ，∵AB AC =，D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥于点D ，AD 平分BAC ∠，∵()24590BAC αα∠=︒<<︒∴BAD ∠=α，90B α∠=︒-，∵EF AE ⊥，∴90AEF ∠=︒，90AFE α∠=︒-，∴B AFE ∠=∠；（2）CF DF =；证明如下，延长FE 至点H ，使得EH EF =，连接,BH AH ，CF ，∵E 为BD 的中点，E 为HF 的中点∴,EH EF EB ED ==，又HEB FED ∠=∠，∴HBE FDE ≌()SAS ，∴BH FD =，∵AE HF ⊥，EH EF =，∴AHF △是等腰三角形，则AH AF =，HAE FAE α∠=∠=，，∵2BAC HAF α∠=∠=，∴HAF BAF BAC BAF ∠-∠=∠-∠，即BAH CAF ∠=∠，∴AHB AFC ≌()SAS ，∴CF BH =，∴CF FD =．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．28．（本题7分）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于直线l 和线段AB ，给出如下定义：若将线段AB 关于直线l 对称，可以得到O 的弦A B ''（A '，B '分别为A ，B 的对应点），则称线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．(1)如图2，点1A ，1B ，2A ，2B ，3A ，3B 的横、纵坐标都是整数．①在线段11A B ，22A B ，33A B 中，O 的关于直线2y x =+对称的“关联线段”是______；②若线段11A B ，22A B ，33A B 中，存在O 的关于直线y x m =-+对称的“关联线段”，则m =______；(2)已知()30y x b b =+>交x 轴于点C ，在ABC 中，3AC =，2AB ．若线段AB 是O 的关于直线()30y x b b =-+>对称的“关联线段”，直接写出b 的最大值和最小值，以及相应的BC 长．【答案】(1)①22A B ；②3或2；(2)b 的最大值为43，17BC =；最小值为23，5BC =【分析】（1）①分别画出线段11A B ，22A B ，33A B 关于直线2y x =+对称线段，运用数形结合思想，即可求解；②从图象性质可知，直线y x m =-+与x 轴的夹角为45°，而线段11A B ⊥直线y x m =-+，线段11A B 关于直线y x m =-+对称线段还在直线11A B 上，显然不可能是O 的弦；线段335A B =，O 的最长的弦为2，得线段33A B 的对称线段不可能是O 的弦，而线段22A B ∥直线y x m =-+，线段222A B =，所以线段22A B 的对称线段22A B ''，且线段222A B ''=，平移这条线段，使其在O 上，有两种可能，画出对应图形即可求解；（2）先表示出33OC b =，b 最大时就是CO 最大，b 最小时就是CO 长最小，根据线段AB 关于直线()30y x b b =-+>对称线段A B ''在O 上，得3A C AC ''==，再由三角形三边关系得A C OA OC A C OA ''''-≤≤+，得当A '为()10，时，如图3，OC 最小，此时C 点坐标为()20，；当A '为()10，时，如图3，OC 最大，此时C 点坐标为()40，，分两种情形分别求解．【详解】（1）解：①分别画出线段11A B ，22A B ，33A B 关于直线2y x =+对称线段，如图，发现线段11A B 的对称线段是⊙O 的弦，∴线段11A B ，22A B ，33A B 中，⊙O 的关于直线2y x =+对称的“关联线段”是11A B ，故答案为：11A B ；②从图象性质可知，直线y x m =-+与x 轴的夹角为45°，∴线段11A B ⊥直线y x m =-+，∴线段11A B 关于直线y x m =-+对称线段还在直线11A B 上，显然不可能是O 的弦；∵线段2233215A B =+=，O 的最长的弦为2，∴线段33A B 的对称线段不可能是O 的弦，线段22A B 是⊙O 的关于直线y x m =-+对称的“关联线段”，而线段22A B ∥直线y x m =-+，线段222A B =，∴线段22A B 的对称线段22A B ''，且线段222A B ''=，平移这条线段，使其在O 上，有两种可能，第一种情况22A B ''、的坐标分别为()()0110，，，，此时3m =；第二种情况22A B ''、的坐标分别为()()1001--，、，此时2m =，故答案为：3或2；（2）已知()30y x b b =-+>交x 轴于点C ，在ABC 中，3AC =，2AB =．若线段AB 是O 的关于直线()30y x b b =-+>对称的“关联线段”，直接写出b 的最大值和最小值，以及相应的BC 长．解：∵直线()30y x b b =-+>交x 轴于点C ，当0y =时，()030x b b =-+>，解得：33x b =∴33OC b =即b 最大时就是OC 最大，b 最小时就是OC 最小，∵线段AB 是O 的关于直线()30y x b b =-+>对称的“关联线段”，∴线段AB 关于直线()30y x b b =-+>对称线段A B ''在⊙O 上，∴3A C AC ''==在A CO ' 中，A C OA OC A C OA ''''-≤≤+∴当A '为()10-，时，如图，OC 最小，此时C 点坐标为()20，，将点C 代入直线3y x b =-+中，得032b=-⨯+解得：23b =，∵点B B '，关于323y x =-+对称∴22125BC B C '==+=，∴当A '为()10，时，如图，OC 最大，此时C 点坐标为()40，，将点C 代入直线3y x b =-+中，得034b=-⨯+解得：43b =，∵点B B '，关于323y x =-+对称∴221417BC B C '==+=，综上b 的最大值为43，17BC =；最小值为23，5BC =．【点睛】本题考查了以圆为背景的阅读理解题，对称轴的性质、一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，三角形三边关系，解决问题的关键是找出不同情境下的“关联线段”和阅读理解能力．。
2022-2023学年北京市西城区中考数学专项提升仿真模拟卷(二模三模)含答案
2022-2023学年北京市西城区中考数学专项提升仿真模拟卷（二模）一、选一选：本大题共8个小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.-2的倒数是（）A.-2B.12-C.12D.22.下列图形中，是轴对称图形，但没有是对称图形的是（）A.B.C.D.3.某桑蚕丝的直径约为0.000016米，将0.000016用科学记数法表示是（）A.41.610-⨯ B.51.610-⨯ C.71.610-⨯ D.41610-⨯4.在下列的计算中，正确的是（）A.325m m m +=B.()5230m m m m ÷=≠C.()3326m m = D.()2211m m +=+5.关于2、6、1、10、6的这组数据，下列说确的是（）A.这组数据的众数是6 B.这组数据的中位数是1C.这组数据的平均数是6D.这组数据的方差是106.如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠A=α，则∠OBC 等于（）A.180°﹣2αB.2αC.90°+αD.90°﹣α7.将函数的图象用下列方法平移后，所得的图象没有点A （1，4）的方法是（）A.向左平移1个单位B.向右平移3个单位C .向上平移3个单位D.向下平移1个单位8.如图，在矩形ABCD 中，5AB =，3AD =，动点Р满足3PAB ABCD S S = 矩形，则点Р到A 、B 两点距离之和PA PB +的最小值为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题有10小题，每题3分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.有意义，则x 的取值范围是___．10.如图，转盘中6个扇形的面积都相等，任意转动转盘，当转盘停止转动时，指针指向奇数的概率是______．11.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的外角平分线相交于点O ，若∠A=50°，则∠BOC=__度．12.已知反比例函数2y x=，当1x <-时，y 的取值范围为____.13.如图，直线a b c ∥∥，直线1l 、2l 与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F 若:1:2AB BC =，3DE =，则EF 的长为______.14.已知21a a +=，则代数式23a a --的值为_____．15.如图所示的正六边形ABCDEF ，连接FD ，则∠FDC 的大小为_________．16.如图，AC 是⊙O 的切线，切点为C，BC 是⊙O 的直径，AB 交⊙O 于点D，连接OD，若∠A=50°，则∠COD 的度数为_____．17.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，若点E 是边CD 的中点，连接AE ，过点B 作BF ⊥AE 于点F ，则BF 的长为__．18.某广场用同一种如图所示的地砖拼图案.次拼成形如图1所示的图案，第二次拼成形如图2所示的图案，第三次拼成形如图3的图案，第四次拼成形如图4的图案……按照只有的规律进行下去，第次拼成的图案用地砖________块.三、解答题（本大题共10小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19.计算：（1）(－2018)0－(13)－1＋（2）22444a aa-+-÷222aa a-+－3.20.（1）解方程：12x-＋2＝12xx--；（2）解没有等式组.2(1)571023x xx x+>-⎧⎪+⎨>⎪⎩21.中华文明，源远流长，中华汉字，寓意深广．为传承中华传统文化，某校团委组织了全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛.为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中200名学生的成绩(成绩x取整数，部分100分)作为样本进行统计，制成如下没有完整的统计图表：根据所给信息，解答下列问题：(1)m=，n=；(2)补全频数分布直方图；(3)这200名学生成绩的中位数会落在分数段；(4)若成绩在90分以上(包括90分)为“优”等，请你估计该校参加本次比赛的3000名学生中成绩是“优”等的人数约为.22.为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目没有能相同，且每人只能随机抽取，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．23.如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE.(1)求证：△AGE≌△BGF；(2)试判断四边形AFBE 的形状，并说明理由．24.某内陆城市为了落实国家“”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口420km 的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2h ，求汽车原来的平均速度．25.如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC ，水平横梁BC 长18米，中柱AD 高6米，其中D 是BC 的中点，且AD ⊥BC ．（1）求si 的值；（2）现需要加装支架DE 、EF ，其中点E 在AB 上，BE ＝2AE ，且EF ⊥BC ，垂足为点F ，求支架DE 的长．26.如图，ABC ∆是边长为4cm 的等边三角形，边AB 在射线OM 上，且6OA cm =，点D 从点O 出发，沿OM 的方向以1cm/s 的速度运动，当D 没有与点A 重合时，将ACD ∆绕点C 逆时针方向旋转60°得到BCE ∆，连接DE.（1）如图1，求证：CDE ∆是等边三角形；（2）如图2，当6<t<10时，DE 是否存在最小值？若存在，求出DE 的最小值；若没有存在，请说明理由.（3）当点D 在射线OM 上运动时，是否存在以D ，E ，B 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t 的值；若没有存在，请说明理由.27.如图，抛物线y=-x 2+bx+c 与直线AB 交于A(-4，-4)，B(0，4)两点，直线AC ：y=-12x-6交y 轴与点C.点E 是直线AB 上的动点，过点E 作EF ⊥x 轴交AC 于点F ，交抛物线于点G.（1）求抛物线y=-x 2+bx+c 的表达式；（2）连接GB 、EO ，当四边形GEOB 是平行四边形时，求点G 的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH、HF，当点E运动到什么位置时，以A、E、F、H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E、H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求12AM+CM的最小值.2022-2023学年北京市西城区中考数学专项提升仿真模拟卷（二模）一、选一选：本大题共8个小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.-2的倒数是（）A.-2B.12-C.12D.2【正确答案】B【分析】根据倒数的定义求解．【详解】解：-2的倒数是-12，故选：B ．本题难度较低，主要考查学生对倒数相反数等知识点的掌握．2.下列图形中，是轴对称图形，但没有是对称图形的是（）A.B.C.D.【正确答案】A【分析】根据对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【详解】解：A ．是轴对称图形，但没有是对称图形，故此选项符合题意；B ．是对称图形，没有是轴对称图形，故此选项没有合题意；C ．既是对称图形，又是轴对称图形，故此选项没有合题意；D ．是对称图形，也是轴对称图形，故此选项没有合题意；故选：A ．本题考查的是对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，对称图形是要寻找对称，旋转180度后与自身重合．3.某桑蚕丝的直径约为0.000016米，将0.000016用科学记数法表示是（）A .41.610-⨯ B.51.610-⨯ C.71.610-⨯ D.41610-⨯【正确答案】B【详解】分析：值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法没有同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定．详解：0.000016=1.6×10-5；故选B ．点睛：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定．4.在下列的计算中，正确的是（）A.325m m m +=B.()5230m m m m ÷=≠C.()3326m m = D.()2211m m +=+【正确答案】B【分析】逐一进行计算即可得出答案．【详解】A.32,m m 没有是同类项，没有能合并，故该选项错误；B.()5230m m m m ÷=≠，故该选项正确；C.()3328m m =，故该选项错误；D.()22121m m m +=++，故该选项错误；故选：B ．本题主要考查合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式，掌握合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方的运算法则和完全平方公式是解题的关键．5.关于2、6、1、10、6的这组数据，下列说确的是（）A.这组数据的众数是6 B.这组数据的中位数是1C.这组数据的平均数是6 D.这组数据的方差是10【正确答案】A【分析】根据方差、算术平均数、中位数、众数的概念进行分析.【详解】数据由小到大排列为1，2，6，6，10，它的平均数为15（1+2+6+6+10）=5，数据的中位数为6，众数为6，数据的方差=15[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（6﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2]=10.4．故选A．考点：方差；算术平均数；中位数；众数．6.如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC等于（）A.180°﹣2αB.2αC.90°+αD.90°﹣α【正确答案】D【详解】连接OC，则有∠BOC=2∠A=2α，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，∴2∠OBC+2α=180°，∴∠OBC=90°-α，故选D.7.将函数的图象用下列方法平移后，所得的图象没有点A（1，4）的方法是（）A.向左平移1个单位B.向右平移3个单位C.向上平移3个单位D.向下平移1个单位【正确答案】D【详解】A.平移后，得y=(x+1)2，图象A点，故A没有符合题意；B.平移后，得y=(x−3)2，图象A点，故B没有符合题意；C.平移后，得y=x 2+3，图象A 点，故C 没有符合题意；D.平移后，得y=x 2−1图象没有A 点，故D 符合题意；故选D.8.如图，在矩形ABCD 中，5AB =，3AD =，动点Р满足3PAB ABCD S S = 矩形，则点Р到A 、B 两点距离之和PA PB +的最小值为（）A.B.C.D.【正确答案】D【分析】由3PAB ABCD S S = 矩形，可得△PAB 的AB 边上的高h =2，表明点P 在平行于AB 的直线EF 上运动，且两平行线间的距离为2；延长FC 到G ，使FC =CG ，连接AG 交EF 于点H ，则点P 与H 重合时，PA +PB 最小，在Rt △GBA 中，由勾股定理即可求得AG 的长，从而求得PA +PB 的最小值．【详解】解：设△PAB 的AB 边上的高为h ∵3PAB ABCD S S = 矩形∴132AB h AB AD ⨯= ∴h =2表明点P 在平行于AB 的直线EF 上运动，且两平行线间的距离为2，如图所示∴BF =2∵四边形ABCD 为矩形∴BC =AD =3，∠ABC =90゜∴FC =BC -BF =3-2=1延长FC 到G ，使CG =FC =1，连接AG 交EF 于点H ∴BF =FG =2∵EF ∥AB∴∠EFG =∠ABC =90゜∴EF是线段BG的垂直平分线∴PG=PB∵PA+PB=PA+PG≥AG∴当点P与点H重合时，PA+PB取得最小值AG在Rt△GBA中，AB=5，BG=2BF=4，由勾股定理得：AG===即PA+PB故选：D．本题是求两条线段和的最小值问题，考查了矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短等知识，难点在于确定点P运动的路径，路径确定后就是典型的将军饮马问题．二、填空题（本大题有10小题，每题3分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.有意义，则x的取值范围是___．x≥【正确答案】2【详解】解：根据题意，使二次根式x﹣2≥0，解得x≥2．故x≥2．本题主要考查使二次根式有意义的条件．10.如图，转盘中6个扇形的面积都相等，任意转动转盘，当转盘停止转动时，指针指向奇数的概率是______．【正确答案】23【详解】解：图中共有6个相等的区域，含奇数的有1，1，3，3共4个，转盘停止时指针指向奇数的概率是46=23．故答案为23．11.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的外角平分线相交于点O ，若∠A=50°，则∠BOC=__度．【正确答案】65【详解】解：∵∠A=50°，∴∠ACB+∠ABC=180°-50°=130°，∴∠BOC=180°-12（360°-130°）=180°-115°=65°．故答案是：65．12.已知反比例函数2y x=，当1x <-时，y 的取值范围为____.【正确答案】20y -<<【分析】直接根据反比例函数的图象进行解答即可．【详解】解：∵当1x =-时，2y =-.∴反比例函数2y x=的图象位于、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，∴y 的取值范围是20y -<<.故答案为20y -<<.本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键．13.如图，直线a b c ∥∥，直线1l 、2l 与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F 若:1:2AB BC =，3DE =，则EF 的长为______.【正确答案】6【分析】由直线a ∥b ∥c ，推出12AB DE BC EF ==，由DE=3，推出EF=6，即可解决问题；【详解】解：∵直线a ∥b ∥c ，:1:2AB BC =∴12AB DE BC EF ==，∵DE=3，∴EF=6，故答案为6．本题考查平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14.已知21a a +=，则代数式23a a --的值为_____．【正确答案】2．【分析】【详解】∵21a a +=，∴原式=()23a a-+=3﹣1=2．故2．15.如图所示的正六边形ABCDEF ，连接FD ，则∠FDC 的大小为_________．【正确答案】90°【分析】先计算正六边形的一个内角的度数，再计算等腰EDF 中EDF 的度数，求出∠FDC 的度数．【详解】解：∵在正六边形ABCDEF 中，∠E =∠EDC =120°，∵EF =DE ，∴∠EDF =∠EFD =30°，∴∠FDC =90°，故90°．此题考查了正多边形和等腰三角形的性质，此题难度没有大，应该要注意的是对数形思想的应用．16.如图，AC 是⊙O 的切线，切点为C，BC 是⊙O 的直径，AB 交⊙O 于点D，连接OD，若∠A=50°，则∠COD 的度数为_____．【正确答案】80°【详解】试题分析：∵AC 是⊙O 的切线，∴∠C ＝90°，∵∠A ＝50°，∴∠B ＝40°，∵OB ＝OD ，∴∠B ＝∠ODB ＝40°，∴∠COD ＝∠B ＋∠ODB ＝40°＋40°＝80°．故答案为80°．17.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，若点E 是边CD 的中点，连接AE ，过点B 作BF ⊥AE 于点F ，则BF 的长为__．【正确答案】3105【分析】连接BE ，先根据矩形的性质可得2,3,90CD AB AD BC C D ====∠=∠=︒，从而可得1CE DE ==，再利用勾股定理可得AE BE ==，然后根据ADE BCE ABE ABCD S S S S ++= 即可得出答案．【详解】解：如图，连接BE ，在矩形ABCD 中，∵2,3AB BC ==，2,3,90CD AB AD BC C D ∴====∠=∠=︒，E 是边CD 的中点，112CE DE CD ∴===，AE ∴=，BE ==ADE BCE ABE ABCD S S S S ++= ，BF AE ⊥，111222AD DE BC CE AE BF AB BC ∴⋅+⋅+⋅=⋅，即111313123222⨯⨯+⨯⨯+=⨯，解得5BF =，故5．本题考查了矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质是解题关键．18.某广场用同一种如图所示的地砖拼图案.次拼成形如图1所示的图案，第二次拼成形如图2所示的图案，第三次拼成形如图3的图案，第四次拼成形如图4的图案……按照只有的规律进行下去，第次拼成的图案用地砖________块.【正确答案】2n 2+2n【详解】试题分析：次拼成形如图1所示的图案共有4块地砖，4=2×（1×2），第二拼成形如图2所示的图案共有12块地砖，12=2×（2×3），第三次拼成形如图3所示的图案共有24块地砖，24=2×（3×4），第四次拼成形如图4所示的图案共有40块地砖，40=2×（4×5），…第n 次拼成形如图1所示的图案共有2×n （n+1）=2n 2+2n 块地砖，故答案为2n 2+2n ．考点：规律题目三、解答题（本大题共10小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19.计算：（1）(－2018)0－(13)－1＋（2）22444a aa-+-÷222aa a-+－3.【正确答案】（1）1；（2）a－3【详解】分析：（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及算术平方根的代数意义计算即可求出值；（2）首先把多项式分别分解因式，然后变成乘法，再约分化简即可．详解：（1）(－2018)°－－1＋-312⎛⎫⎪⎝⎭＝1－3＋3＝1.（2）22444a aa-+-÷222aa a-+－3＝()()()2222aa a--+·()22a aa+-－3＝a－3．点睛：此题主要考查了分式的混合运算，关键是掌握分式的混合运算顺序及注意问题1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．20.（1）解方程：12x-＋2＝12xx--；（2）解没有等式组.2(1)571023x xx x+>-⎧⎪+⎨>⎪⎩【正确答案】（1）原方程无解；（2）没有等式的解集为x＜2．【详解】分析：（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出没有等式组中两没有等式的解集，找出解集的公共部分即可．详解：（1）方程两边同乘x－2，得1＋2(x－2)＝x－1，解得x＝2，经检验，x＝2是增根，原方程无解．（2）解：()21571023x xx x⎧+>-⎪⎨+>⎪⎩①②．由①得：x＜3，由②得：x＜2，∴没有等式的解集为x＜2．点睛：本题考查了解一元没有等式，解一元没有等式组，解分式方程的应用，主要考查学生的计算能力．21.中华文明，源远流长，中华汉字，寓意深广．为传承中华传统文化，某校团委组织了全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛.为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中200名学生的成绩(成绩x取整数，部分100分)作为样本进行统计，制成如下没有完整的统计图表：根据所给信息，解答下列问题：(1)m=，n=；(2)补全频数分布直方图；(3)这200名学生成绩的中位数会落在分数段；(4)若成绩在90分以上(包括90分)为“优”等，请你估计该校参加本次比赛的3000名学生中成绩是“优”等的人数约为.【正确答案】（1）70；0.2（2）见解析（3）80≤x＜90（4）750【详解】试题分析：（1）根据组的频数是10，频率是0.05，求得数据总数，再用数据总数乘以第四组频率可得m的值，用第三组频数除以数据总数可得n的值；（2）根据（1）的计算结果即可补全频数分布直方图；（3）根据中位数的定义，将这组数据按照从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数据（或中间两数据的平均数）即为中位数；（4）利用总数3000乘以“优”等学生的所占的频率即可．试题解析：（1）本次的总人数为10÷0.05=200，则m=200×0.35=70，n=40÷200=0.2，（2）频数分布直方图如图所示，（3）200名学生成绩的中位数是第100、101个成绩的平均数，而第100、101个数均落在80≤x ＜90，∴这200名学生成绩的中位数会落在80≤x＜90分数段，（4）该校参加本次比赛的3000名学生中成绩“优”等的约有：3000×0.25=750（人）．考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；中位数．22.为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目没有能相同，且每人只能随机抽取，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．【正确答案】(1)14；（2）112.【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率=1 4；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数为1，所以恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率=．23.如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE.(1)求证：△AGE≌△BGF；(2)试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．【正确答案】(1)证明见解析(2)四边形AFBE是菱形【详解】试题分析：（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠AEG=∠BFG，由AAS证明△AGE≌△BGF即可；（2）由全等三角形的性质得出AE=BF，由AD∥BC，证出四边形AFBE是平行四边形，再根据EF⊥AB，即可得出结论．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEG=∠BFG，∵EF垂直平分AB，∴AG=BG，在△AGEH和△BGF中，∵∠AEG=∠BFG，∠AGE=∠BGF，AG=BG，∴△AGE≌△BGF（AAS）；（2）解：四边形AFBE是菱形，理由如下：∵△AGE≌△BGF，∴AE=BF，∵AD∥BC，∴四边形AFBE是平行四边形，又∵EF⊥AB，∴四边形AFBE是菱形．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；探究型．24.某内陆城市为了落实国家“”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口420 km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2h，求汽车原来的平均速度．【正确答案】70km/h【分析】求的汽车原来的平均速度，路程为420km，一定是根据时间来列等量关系，本题的关键描述语是：从甲地到乙地的时间缩短了2h．等量关系为：原来时间﹣现在时间=2．【详解】设汽车原来的平均速度是x km/h，根据题意得：，解得：x=70．经检验：x=70是原方程的解．答：汽车原来的平均速度70km/h ．25.如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC ，水平横梁BC 长18米，中柱AD 高6米，其中D 是BC 的中点，且AD ⊥BC ．（1）求si 的值；（2）现需要加装支架DE 、EF ，其中点E 在AB 上，BE ＝2AE ，且EF ⊥BC ，垂足为点F ，求支架DE 的长．【正确答案】（1）si ＝13；（2）DE ＝5．【分析】（1）在Rt △ABD 中，利用勾股定理求出AB ，再根据si=ADAB计算即可；（2）由EF ∥AD ，BE=2AE ，可得23EF BF BE AD BD BA ===,求出EF 、DF 即可利用勾股定理解决问题；【详解】（1）在Rt △ABD 中，∵BD=DC=9，AD=6，∴si=AD AB 21313．（2）∵EF ∥AD ，BE=2AE ，∴23EF BF BE AD BD BA ===，∴2693EF BF ==，∴EF=4，BF=6，∴DF=3，在Rt △DEF 中，=5．考点：1.解直角三角形的应用；2.平行线分线段成比例定理.26.如图，ABC ∆是边长为4cm 的等边三角形，边AB 在射线OM 上，且6OA cm =，点D 从点O 出发，沿OM 的方向以1cm/s 的速度运动，当D 没有与点A 重合时，将ACD ∆绕点C 逆∆，连接DE.时针方向旋转60°得到BCE∆是等边三角形；（1）如图1，求证：CDE（2）如图2，当6<t<10时，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若没有存在，请说明理由.（3）当点D在射线OM上运动时，是否存在以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若没有存在，请说明理由.【正确答案】（1）详见解析；+4；（3）当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．【详解】试题分析：（1）由旋转的性质△ABC是等边三角形可得∠DCB=60°，CD=CE，从而可得△CDE是等边三角形；（2）由（1）可知△CDE是等边三角形，由此可得DE=CD，因此当CD⊥AB时，CD最短，则DE最短，△ABC是等边三角形，AC=4即可求得此时DE=CD=（3）由题意需分0≤t＜6，6＜t＜10和t＞10三种情况讨论，①当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，由此可知：此时若△DBE是直角三角形，则∠BED=90°；②当6＜t＜10s时，由性质的性质可知∠DBE=120°＞90°，由此可知：此时△DBE没有可能是直角三角形；③当t＞10s时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，∠CDE=60°可得∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC>60°，由此可得∠BED<60°，由此可知此时若△BDE是直角三角形，则只能是∠BDE=90°；这样已知条件即可分情况求出对应的t的值了.试题解析：（1）∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE=60°，DC=EC，∴△CDE是等边三角形；（2）存在，当6＜t＜10时，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，CD最小，此时∠ADC=90°，又∵∠ACD=60°，∴∠ACD=30°，∴AD=12AC=2，∴==∴cm）；（3）存在，理由如下：①当0s≤t＜6s时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，∴此时若△DBE是直角三角形，则∠BED=90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEC=60°，∴∠CEB=∠BED-∠DEC=30°，∴∠CDA=∠CEB=30°，∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4，∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，∴t=2÷1=2（s）；②当6s＜t＜10s时，由性质的性质可知∠DBE=120°＞90°，∴此时△DBE没有可能是直角三角形；③当t＞10s时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，又由（1）知∠CDE=60°，∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE=90°，从而∠BCD=30°，∴BD=BC=4，∴OD=14cm，∴t=14÷1=14（s）；综上所述：当t=2s或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.点睛：（1）解第2小题的关键是：抓住点D在运动过程中，△DBE是等边三角形这一点得到DE=CD，从而可知当CD⊥AB时，CD最短，则DE最短，由此即可由已知条件解得DE的最小值；（2）解第3小题的关键是：根据点D的没有同位置分为三段时间，已知条件首先分析出在每个时间段内△BDE中哪个角能够是直角，然后再已知条件进行解答即可求得对应的t的值了.27.如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于A(-4，-4)，B(0，4)两点，直线AC：y=-12x-6交y轴与点C.点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G.（1）求抛物线y=-x2+bx+c的表达式；（2）连接GB、EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH、HF，当点E运动到什么位置时，以A、E、F、H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E、H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求12AM+CM的最小值.【正确答案】（1）y=-x2-2x+4；（2）G(-2，4)；（3）①H(0，-1)；②55 2【详解】分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，进而利用平行四边形的对边相等建立方程求解即可；（3）①先判断出要以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，只有EF为对角线，利用中点坐标公式建立方程即可；②先取EG的中点P进而判断出△PEM∽△MEA即可得出PM=12AM，连接CP交圆E于M，再求出点P的坐标即可得出结论．详解：（1）（1）∵点A（-4，-4），B（0，4）在抛物线y=-x2+bx+c上，∴16444b cc--+-⎧⎨⎩＝＝，∴24bc-⎧⎨⎩＝＝，∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+4；（2）设直线AB的表达式为y=kx+b ∵直线AB过点A(-4，-4)，B(0，4)，∴444k bb-=-+⎧⎨=⎩，解得24kb=⎧⎨=⎩，∴y=2x+4设E(m，2m+4)，则G(m，-m2-2m+4)∵四边形GEOB是平行四边形，∴GE=OB=4，∴-m2-2m+4-2m-4=4，解得m=-2∴G(-2，4)（3）①设E(m，2m+4)，则F(m，-12m-6)过A作AN⊥EG，过H作HQ⊥EG四边形AFHE是矩形，∴△PFN≌△HEQ，∴AN=QH，∴m+4=-m，解得m=-2，E(-2，0)EQ=FN=-4+12m+6=1∴H(0，-1)②由题意可得，E(-2，0)，H(0，-1),∴EH=，即⊙E 的∵M 点在⊙E 上，∴∵A(-4，-4)，E(-2，0)，∴在AE 上截取EP=12EM ，则，连接PM ，在ΔEPM 与ΔEMA 中，∵EP EM 5212EMEA，∠PEM=∠MEA ，∴ΔEPM ∽ΔEMA ∴PM=12AM ∴线段PC 的长即为12AM+CM 的最小值由EP=12EM=14AE=14，,∴PC=2即12AM+CM 的最小值为2.点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式，极值的确定，解（1）的关键是掌握待定系数法，解（2）的关键是利用平行四边形的对边相等建立方程求解，解（3）①的关键是利用中点坐标公式建立方程求解，解（3）②的关键是构造相似三角形，是一道中等难度的题目．2022-2023学年北京市西城区中考数学专项提升仿真模拟卷（三模）一、选一选1.在实数1、0、﹣1、﹣2中，最小的实数是（）A.-2B.-1C.1D.02.如图，BC ∥DE ，若∠A=35°，∠C=24°，则∠E 等于（）A.24°B.59°C.60°D.69°3.下面的计算正确的是()A .326a a a ⋅= B.55a a -= C.326()a a -= D.325)a a =（4.某种零件模型如图所示，该几何体（空心圆柱）的俯视图是()A. B. C. D.5.小明和他的爸爸妈妈共3人站成一排拍照，他的爸爸妈妈相邻的概率是（）A.16B.13C.12D.236.抽样了某校30位女生所穿鞋子的尺码，数据如下（单位：码）码号3334353637人数761511这组数据的中位数和众数分别是（）A.35，37B.15，15C.35，35D.15，357.如果n 边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n 的值是（）A.4B.5C.6D.78.没有等式组103412x x x ->⎧⎪⎨-≤-⎪⎩的解集在数轴上应表示为()A.B.C.D.9.如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若50OCA ∠=︒，4AB =，则 BC 的长为（）A.103π B.109π C.59π D.518π10.如图，平行四边形ABCD 中，∠B ＝60°．G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ，下列说法没有正确的是（）A.四边形CEDF 是平行四边形B.当CE ⊥AD 时，四边形CEDF 是矩形C.当∠AEC ＝120°时，四边形CEDF 是菱形D.当AE ＝ED 时，四边形CEDF 是菱形11.某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x 台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A.60048040x x =- B.60048040x x =+C.60048040x x =+ D.60048040x x =-12.下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为（）A.73B.81C.91D.10913.抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：x …－2－1012…y…4664…小聪观察上表，得出下面结论：①抛物线与x 轴的一个交点为（3，0）；②函数2y ax bx c =++的值为6；③抛物线的对称轴是12x =；④在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．其中正确有（）A.①②B.①③C.①②③D.①③④14.如图，A ，B 两点在反比例函数y =1k x的图象上，C ，D 两点在反比例函数y =2k x 的图象上，AC ⊥y 轴于点E ，BD ⊥y 轴于点F ，AC =2，BD =1，EF =3，则k 1﹣k 2的值是_______．二、填空题15.分解因式：﹣2x 2y+16xy ﹣32y=_______．16.化简：212(1)11x x x --÷--17.在△ABC 中，∥DE BC ，∠ADE =∠EFC ，AD ∶BD =5∶3，CF=6，则DE 的长为__________．。
12021初三数学二模题答案-西城
初三二模数学试卷参考答案及评分标准2015. 6一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共18分，每小题3分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17.证明：如图1.∵ △ABC 是等边三角形，∴ AC =BC ，∠ACB ＝∠ABC =60°．……………………………………………… 1分 ∵ D ，E 两点分别在AB，BC 的延长线上，∴ ∠ACE ＝∠CBD =120°． …………………2分在△ACE 和△CBD 中，,,AC CB ACE CBD CE BD =⎧⎪∠∠⎩=⎪⎨，＝ ……………………… 3分∴ △ACE ≌△CBD ．……………………… 4分∴ ∠E ＝∠D ．…………………………………………………………………… 5分18．解： 1012cos 30()1(3)3π-++-2311=+- ………………………………………………………………4分 1=. ………………………………………………………………………… 5分 19．解： (2)(2)(21)(2)x x x x +----=224(252)x x x ---+………………………………………………………………2分=224252x x x --+-=256x x -+-．………………………………………………………………………3分 ∵ 2540x x --=，∴ 254x x -=．…………………………………………………………………… 4分∴ 原式=2(5)64610x x ---=--=-．……………………………………………5分20．解：去分母，得 3(3)2x x --=．…………………………………………………… 1分 去括号，得 332x x -+=． ………………………………………………………2分整理，得 21x =-．……………………………………………………………… 3分解得 12x =-． …………………………………………………………………… 4分经检验，12x =-是原方程的解． …………………………………………………5分所以原方程的解是12x =-．21．解：设牙膏每盒x 元，牙刷每支y 元．…………………………………………………1分 由题意，得 713121,1415187.x y x y +=+=⎧⎨⎩…………………………………………………… 2分解得 85.x y ==⎧⎨⎩，……………………………………………………………………… 3分(124125)88-⨯=（盒）． ………………………………………………………… 4分 答：第三天卖出牙膏8盒．………………………………………………………………5分22．解：（1）当m =0 时，该函数为一次函数33y x =--，它的图象与x 轴有公共点.……………………………………………………………… 1分当m ≠0 时，二次函数2(3)3y mx m x =+--．2(3)4(3)m m ∆=--⨯-26912m m m =-++2269(3)m m m =++=+． ∵ 无论m 取何实数，总有2(3)m +≥0，即∆≥0， ∴ 方程2(3)30mx m x +--=有两个实数根．∴ 此时函数2(3)3y mx m x =+--的图象与x 轴有公共点．……………2分 综上所述，无论m 取何实数，该函数的图象与x 轴总有公共点．（2）∵m ＞0，∴ 该函数为二次函数，它的图象与x 轴的公共点的横坐标为(3)(3)2m m x m --±+=．∴ 11x =-，23x m=． ……………………………………………………… 3分∵ 此抛物线与x 轴公共点的横坐标为整数，∴正整数m =1或3．……………………………………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．（1）证明：如图2．∵点C与点A重合，折痕为EF，∴12∠=∠，AE=EC．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC．∴32∠=∠．∴13∠=∠．∴AE=AF∴AF=EC．又∵AF∥EC，∴四边形AFCE是平行四边形．…………………………………………2分又AE=AF，∴四边形AFCE为菱形．…………………………………………………3分（2）解：如图3，作AG⊥BE于点G，则∠AGB=∠AGE=90°．∵点D的落点为点D′ ，折痕为EF，∴D F DF'=.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC．又∵AF=EC，∴AD AF BC EC-=-，即DF BE=．∵在Rt△AGB中，∠AGB=90°，∠B=45°，AB=∴AG=GB=6.∵四边形AFCE为平行四边形，∴AE∥FC.∴∠4=∠5=60°.∵在Rt△AGE中，∠AGE=90°，∠4=60°，∴tan60AGGE==︒∴6BE BG GE=+=+.∴6D F'=+…………………5分24.解：（1）③④.…………………………………2分（2）补全统计图见图4.…………………3分1055万人.…………………………4分（3）1.3%. 5分25. 解：（1）补全图形如图5所示. ………………………………………………………… 1分 答：PG 与⊙O 相切.证明：如图6，连接OG .∵ PF =PG ， ∴ ∠1=∠2.又∵OG =OA ， ∴ ∠3=∠A .∵ CD ⊥AB 于点E ， ∴ ∠A +∠AFE =90°.又∵∠2 =∠AFE ， ∴ ∠3+∠1=90°. ……………………… 2分 即 OG ⊥PG .∵ OG 为⊙O 的半径，∴ PG 与⊙O 相切. …………………… 3分（2）解：如图7，连接CG . ∵ CD ⊥AB 于点E ，∴ ∠OEC =90°.∵ DG ∥AB ，∴∠GDC =∠OEC =90°. ∵∠GDC 是⊙O 的圆周角， ∴ CG 为⊙O 的直径. ∵ E 为半径OA 的中点， ∴ 22OA OCOE ==. ∴ ∠OCE =30°即∠GCP =30°.又∵∠CGP =90°，2CG OA ==∴tan 4PG CG GCP =⋅∠==. …………………………… 5分 26.解：（1）CADBC . …………………………………………………………… 3分1tan α.……………………………………………………………………………4分 （2）方法1：如图8，以点N 为圆心，ON 为半径作圆，交直线l 于点1P ，2P ，则点 1P ，2P 为符合题意的点.……………………………………………… 5分 方法2：如图9，过点N 画NO 的垂线1m ，画NQ 的垂直平分线2m ，直线1m 与2m 交于点R ，以点R 为圆心，RN 为半径作圆，交直线l 于点1P ，2P ，则点1P ，2P 为符合题意的点. ……………………………………… 5分五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分) 27．解：（1）∵ 一次函数1y kx b =+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，∴ 20,4 1.k b k b +=⎧⎨+=⎩解得1,21.k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ………………………………………………………………1分∴ 1211-=x y ． ………………………………………………………… 2分 ∵ 22224)(42a a x ax x y -+-=+-=，∴ 二次函数图象的顶点坐标为2(,4)a a -．………………………………… 3分（2）①当25=a 时，4522+-=x x y ． ………………………………… 4分如图10，因为10y >且2y ≤0，由图象得2＜x ≤4． ………………………… 6分②136≤a ＜52．……………………………7分 28．解：（1）CH=AB ． ………………………………… 1分 （2）结论成立．………………………………… 2分 证明：如图11，连接BE ． 在正方形ABCD 中，AB=BC=CD=AD ，∠A=∠BCD=∠ABC=90°． ∵ DE=DF ， ∴ AF=CE ．在△ABF 和△CBE 中，,,,AB CB A BCE AF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABF ≌△CBE ．∴ ∠1=∠2．……………………………………………………………………3分 ∵ EH ⊥BF ，∠BCE =90°，∴ H ，C 两点都在以BE 为直径的圆上． ∴ ∠3=∠2． ∴ ∠3=∠1． ∵ ∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC =90°， ∴ ∠4=∠HBC ．∴ CH=CB ．………………………………………………………………… 5分 ∴ CH=AB ．………………………………………………………………… 6分（3）3．………………………………………………………………………7分29．解：（1）点A ．………………………………………1分 画图见图12．（画出一个即可）………… 2分△AMN （或△AJK ）. …………………… 3分（2）如图13，作OL ⊥EF 于点L .∵ 线段EF 为点O 的τ型线，∴ OL 即为线段EF 关于点O 的τ型三角形的高. ∵线段EF 关于点O 的τ∴OL =. ……………………………… 4分 ∵ 2OE =，OF m =，∴EL ==. ∴cos 1EL OE ∠== ∴cos 2cos 1OL OLOF ===∠∠∴m =………………………………………………………………………6分（3）n ≤54-.……………………………………………………………………………8分。
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北京市西城区2018年九年级模拟测试数学试卷 2018.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个. 1. 如图所示，a ∥b ，直线a 与直线b 之间的距离是 A ．线段P A 的长度 B ．线段PB 的长度 C ．线段PC 的长度 D ．线段CD 的长度2. 将某不等式组的解集≤x 3表示在数轴上，下列表示正确的是3. 下列运算中，正确的是A ．B ．C ．D ．4.下列实数中，在2和3之间的是A ．B ．C ．D ． 5. 一副直角三角板如图放置，其中∠C =∠DFE = 90︒，∠A = 45︒， ∠E = 60︒，点F 在CB 的延长线上.若DE ∥CF ， 则∠BDF 等于A ．35︒B．30︒ 1-<22456x x x +=326x x x ⋅=236()x x =33()xy xy =π π2-C．25︒D．15︒6. 中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF.观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，则下列结论中，正确的是A．EF CFAB FB=B．EF CFAB CB=C．CE CFCA FB=D．CE CFEA CB=7.在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽取了10名选手，记录他们的成绩（所用的时间）如下：选手 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 时间(min) 129 136 140 145 146 148 154 158 165 175由此所得的以下推断不正确．．．的是A．这组样本数据的平均数超过130B．这组样本数据的中位数是147C．在这次比赛中，估计成绩为130 min的选手的成绩会比平均成绩差D．在这次比赛中，估计成绩为142 min的选手，会比一半以上的选手成绩要好8．如图1所示，甲、乙两车沿直路同向行驶，车速分别为20 m/s和v(m/s)，起初甲车在乙车前a (m)处，两车同时出发，当乙车追上甲车时，两车都停止行驶．设x(s)后两车相距y(m)，y与x的函数关系如图2所示．有以下结论：①图1中a的值为500；②乙车的速度为35 m/s；+；③图1中线段EF应表示为5005x④图2中函数图象与x轴交点的横坐标为100．其中所有的正确结论是A．①④B．②③C．①②④D．①③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）-有意义，那么x的取值范围是．9.如果2x10.不透明袋子中装有5个红色球和3个蓝色球，这些球除了颜色外没有其他差别.从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝色球的概率为．11.如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积等于．12.某校“百变魔方”社团为组织同学们参加学校科技节的“最强大脑”大赛，准备购买A，B两款魔方.社长发现若购买2个A款魔方和6个B款魔方共需170元，购买3个A款魔方和购买8个B款魔方所需费用相同. 求每A款B款款魔方的单价.设A款魔方的单价为x元，B款魔方的单价为y元，依题意可列方程组为.13. 如图，在矩形ABCD 中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH . 若AB=8，AD=6，则四边形EFGH 的周长等于 ．14.在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23(2)1y x =+-平移后得到抛物线232y x =+.请你写出一种平移方法. 答： .15. 如图，AB 为⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切于点A ，弦BD ∥OC .若36C ∠=︒，则∠DOC= ︒．16. 我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，，，边AD 长为5. 现固定边AB ，“推”矩形使点D 落在y 轴的正半轴上（落点记为），相应地，点C 的对应点的坐标为 .三、解答题（本题共68分，第17~21题每小题5分，第22、23题每小题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分） 17．计算：06cos60(π2)2︒-．18．解方程：1322x x x+=--.19. 如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，66A ∠=︒，90ABC ∠=︒，BC= AD ，求∠C 的度数．(3,0)A -(4,0)B D 'C'20.先化简，再求值：2569122x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中5x =-．21.如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，C D ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ，B E=C D ，连接CE ，D E ． （1）求证：四边形C DB E 为矩形； （2）若AC =2，1tan 2ACD ∠=，求D E 的长．22.阅读下列材料： 材料一：早在2011年9月25日，北京故宫博物院就开始尝试网络预售门票，2011年全年网络售票仅占1.68%.2012年至2014年，全年网络售票占比都在2%左右.2015年全年网络售票占17.33%，2016年全年网络售票占比增长至41.14%.2017年8月实现网络售票占比77%.2017年10月2日，首次实现全部网上售票.与此同时，网络购票也采用了“人性化”的服务方式，为没有线上支付能力的观众提供代客下单服务.实现全网络售票措施后，在北京故宫博物院的精细化管理下，观众可以更自主地安排自己的行程计划，获得更美好的文化空间和参观体验.材料二：以下是某同学根据网上搜集的数据制作的2013-2017年度中国国家博物馆参观人数及年增长率统计表.他还注意到了如下的一则新闻：2018年3月8日，中国国家博物馆官方微博发文，宣布取消纸质门票，观众持身份证预约即可参观. 国博正在建设智慧国家博物馆，同时馆方工作人员担心的是：“虽然有故宫免（纸质）票的经验在前，但对于国博来说这项工作仍有新的挑战.参观故宫需要观众网上付费购买门票，他遵守预约的程度是不一样的.但（国博）免费就有可能约了不来，挤占资源，所以难度其实不一样.” 尽管如此，国博仍将积极采取技术和服务升级，希望带给观众一个更完美的体验方式.根据以上信息解决下列问题：（1）补全以下两个统计图；（2）请你预估2018年中国国家博物馆的参观人数，并说明你的预估理由.23.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数myx=（0x<）的图象经过点(4,)A n-，AB⊥x轴于点B，点C与点A关于原点O对称，CD⊥x轴于点D，△ABD的面积为8.（1）求m，n的值；（2）若直线y kx b=+（k≠0）经过点C，且与x轴，y轴的交点分别为点E，F，当2CF CE =时，求点F 的坐标．24．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆上一点，弦CD ⊥AB 于点E ，且DC=AD ．过点A 作⊙O 的切线，过点C 作DA 的平行线，两直线交于点F ，FC 的延长线交AB 的延长线于点G .（1）求证：FG 与⊙O 相切； （2）连接EF ，求tan EFC ∠的值.25.阅读下面材料：已知：如图，在正方形ABCD 中，边1AB a .按照以下操作步骤，可以从该正方形开始，构造一系列的正方形，它们之间的边满足一定的关系，并且一个比一个小.请解决以下问题：（1）完成表格中的填空：①；②；③；④；（2）根据以上第三步、第四步的作法画出第三个正方形CHIJ（不要求尺规作图）.26. 抛物线M：241y ax ax a=-+-(a≠0)与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），抛物线的顶点为D.（1）抛物线M 的对称轴是直线____________； （2）当AB =2时，求抛物线M 的函数表达式；（3）在（2）的条件下，直线l ：y kx b =+(k ≠0)经过抛物线的顶点D ，直线y n =与抛物线M 有两个公共点，它们的横坐标分别记为1x ，2x ，直线y n =与直线l 的交点的横坐标记为（），若当≤n ≤时，总有13320x x x x ->->，请结合函数的图象，直接写出k 的取值范围.27. 如图1，在等边三角形ABC 中，CD 为中线，点Q 在线段CD 上运动，将线段QA 绕点Q 顺时针旋转，使得点A 的对应点E 落在射线BC 上，连接BQ ，设∠DAQ =α （0°＜α＜60°且α≠30°）. （1）当0°＜α＜30°时，①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE （用含α的式子表示）； ②探究线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系，并加以证明； （2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系. 3x 30x >2-1-28. 对于平面直角坐标系xOy 中的点(,)Q x y （x ≠0），将它的纵坐标y 与横坐标x 的比yx称为点Q 的“理想值”，记作Q L .如(1,2)Q -的“理想值”221Q L ==--. （1）①若点(1,)Q a 在直线4y x =-上，则点Q 的“理想值”Q L 等于_________；②如图，C ，⊙C 的半径为1. 若点Q 在⊙C 上，则点Q 的“理想值”QL 的取值范围是 .（2）点D在直线+3y x =上，⊙D 的半径为1，点Q 在⊙D 上运动时都有 0≤L Q，求点D 的横坐标D x 的取值范围；（3）(2,)M m （m ＞0），Q 是以r 为半径的⊙M 上任意一点，当0≤L Q≤满足条件的最大圆，并直接写出相应的半径r的值.（要求画图位置准确，但不必尺规作图）北京市西城区2018年九年级模拟测试数学试卷答案及评分标准 2018.5一、 选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. x ≤2． 10.． 11. . 12.13.20.14.答案不唯一，例如，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线232y x =+.15. 54． 16. ．三、解答题（本题共68分，第17~21题每小题5分，第22、23题每小题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分） 17.解：161(22=⨯-- ……………………………………………………… 4分312=--2=-． ……………………………………………………………………………5分18．解方程：. 解：去分母，得．……………………………………………………… 1分去括号，得． ……………………………………………………… 2分384π326170,38.x y x y +=⎧⎨=⎩23(2)1y x =+-(7,4)06cos60(π2)2︒-1322x x x+=--13(2)x x -=-136x x -=-移项，得 ．合并同类项，得 ．………………………………………………………… 3分 系数化为1，得．…………………………………………………………… 4分 经检验，原方程的解为．……………………………………………………5分 19. 解：如图1，连接BD .∵ E 为AB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，∴ AD= BD ， …………………………………………… 1分∴ ． ∵ ，∴ ．………………………………………………2分 ∵ ，∴ ． …………………………… 3分∵ AD=BC ，∴ BD=BC ．…………………………………………………4分 ∴ ．∴1802==782C ︒-∠∠︒． …………………………… 5分20.解： ……………………………………… 3分 ．……………………………………………………4分 361x x -=-25x =52x =52x =1A ∠=∠66A ∠=︒166∠=︒90ABC ∠=︒2124ABC ∠=∠-∠=︒3C ∠=∠2569122x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭2322(3)x x x x -+=⨯+-13x =-图1当时，原式．…………………………………5分 21. （1）证明：如图2.∵ C D ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ， ∴ 90CDA DBE ∠=∠=︒．∴ C D ∥BE ．………………………………… 1分 又∵ B E=C D ，∴ 四边形C DB E 为平行四边形．……………2分 又∵90DBE ∠=︒，∴ 四边形C DB E 为矩形． ……………………………………………… 3分（2）解：∵ 四边形C DB E 为矩形，∴ D E=BC ．………………………………………………………………… 4分 ∵ 在Rt △ABC 中，，C D ⊥AB ， 可得 ． ∵ ， ∴ ． ∵ 在Rt △ABC 中，，AC =2，， ∴ ． ∴ D E=BC=4．…………………………………………………………… 5分22.解：（1）补全统计图如图3.5x =-18=-90ACB ∠=︒1ACD ∠=∠1tan 2ACD ∠=1tan 1tan 2ACD ∠=∠=90ACB ∠=︒1tan 12∠=4tan 1ACBC ==∠图2………………………………………………………………… 4分（2）答案不唯一，预估理由合理，支撑预估数据即可． ……………………… 6分 23. 解：（1）如图4.∵ 点A 的坐标为，点C 与点A 关于原点O 对称， ∴ 点C 的坐标为．∵ AB ⊥x 轴于点B ，CD ⊥x 轴于点D ， ∴ B ，D 两点的坐标分别为，． ∵ △ABD 的面积为8，， ∴ ．解得 ． …………………………………………………………… 2分 ∵ 函数（）的图象经过点， ∴ ．…………………………………………………………… 3分（2）由（1）得点C 的坐标为．① 如图4，当时，设直线与x 轴，y 轴的交点分别为点，．由 CD ⊥x 轴于点D 可得CD ∥．(4,)A n -(4,)C n -(4,0)B -(4,0)D 11()8422ABD S AB BD n n =⨯=⨯-⨯=-V 48n -=2n =-my x=0x <(4,)A n -48m n =-=(4,2)C 0k <y kx b =+1E 1F 1OF 图3∴ △CD ∽△O ．∴． ∵ ，∴． ∴ ．∴ 点的坐标为．②如图5，当时，设直线与x 轴，y 轴的交点分别为点，．同理可得CD ∥，． ∵ ，∴ 为线段的中点，． ∴ 22OF DC ==．∴ 点的坐标为．…………6分综上所述，点F 的坐标为，．24. （1）证明：如图6，连接OC ，AC .∵ AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，1E 1E 1F 1111E CDC OF E F =112CF CE =113DC OF =136OF DC ==1F 1(0,6)F 0k >y kx b =+2E 2F 2OF 2222E CDC OF E F =222CF CE =2E 2CF 222E C E F =2F 2(0,2)F -1(0,6)F 2(0,2)F -图4图5∴ CE=DE ，AD=AC .∵ DC=AD ，∴ DC=AD= AC . ∴ △ACD 为等边三角形． ∴ ∠D =∠DCA=∠DAC =60︒． ∴ ． ∵ FG ∥DA ，∴ 180DCF D ∠+∠=︒． ∴ ． ∴ ． ∴ FG ⊥OC ．∴ FG 与⊙O 相切．……………………………………………………… 3分（2）解：如图6，作EH ⊥FG 于点H ．设C E = a ，则D E = a ，AD=2a ． ∵ AF 与⊙O 相切， ∴ AF ⊥AG ． 又∵ DC ⊥AG ， 可得AF ∥DC ． 又∵ FG ∥DA ，∴ 四边形AFCD 为平行四边形． ∵ DC =AD ，AD=2a ， ∴ 四边形AFCD 为菱形．∴ AF=FC=AD=2 a ，∠AFC =∠D = 60︒．11302DCA ∠=∠=︒180120DCF D ∠=︒-∠=︒190OCF DCF ∠=∠-∠=︒图6由（1）得∠DCG = 60︒，sin60EH CE =⋅︒=，1cos602CH CE a=⋅︒=． ∴52FH CH CF a=+=． ∵ 在Rt △EFH 中，∠EHF = 90︒，∴2tan 52EH EFC FH a ∠===． …………………………………… 5分25．解：（1）①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ．………………… 1分②11)a ．………………… 2分③211)a ．…………………3分④111)n a -．……………… 4分 （2）所画正方形CHIJ 见图7.……………………………6分26.解：如图8.（1）.…………………………… 1分（2）∵ 抛物线241y ax ax a =-+-的对称轴为直线，抛物线M 与x 轴的交点为点A ，B （点A 在点B 左侧），AB =2，∴ A ，B 两点的坐标分别为，.……………………………… 2分 ∵ 点A 在抛物线M 上，∴ 将的坐标代入抛物线的函数表达式，得. 解得 . ………………………………………………………………… 3分 2x =2x =(1,0)A (3,0)B (1,0)A 410a a a -+-=12a =-图7∴ 抛物线M 的函数表达式为213222y x x =-+-. ………………………… 4分 （3）54k >. …………………… 6分27. 解：（1）当0°＜α＜30°时，①画出的图形如图9所示．…………… 1分∵ △ABC 为等边三角形，∴ ∠ABC=60°．∵ CD 为等边三角形的中线，Q 为线段CD 上的点， 由等边三角形的对称性得QA=QB ．∵ ∠DAQ =α，∴ ∠ABQ =∠DAQ=α，∠QBE =60°-α．图8∵ 线段QE 为线段QA 绕点Q 顺时针旋转所得，∴ QE = QA ．∴ QB=QE ．可得 1802(60)602αα=︒-︒-=︒+．……… 2分 ②．……………………………………………………… 3分 证法一：如图10，延长CA 到点F ，使得AF=CE ，连接QF ，作QH ⊥AC 于点H ． ∵ ∠BQE =60°+2α，点E 在BC 上， ∴ ∠QEC =∠BQE+∠QBE =(60°+2α)+( 60°-α)=120°+α． ∵ 点F 在CA 的延长线上，∠DAQ =α， ∴ ∠QAF =∠BAF +∠DAQ=120°+α． ∴ ∠QAF=∠QEC ． 又∵ AF =CE ，QA=QE ， ∴ △QAF ≌△QEC ． ∴ QF=QC ． ∵ QH ⊥AC 于点H ， ∴ FH=CH ，CF=2CH ． ∵ 在等边三角形ABC 中，CD 为中线， 点Q 在CD 上，1802BQE QBE ∠=︒-∠CE AC +=∴ ∠ACQ=12ACB ∠=30°，即△QCF 为底角为30°的等腰三角形． ∴cos cos30CH CQ HCQ CQ =⋅∠=⋅︒=．∴ CE AC AF AC CF +=+=2CH ==．即． ………………………………………… 6分思路二：如图11，延长CB 到点G ，使得BG=CE ，连接QG ，可得△QBG ≌△QEC ，△QCG 为底角为30°的等腰三角形，与证法一同理可得CE AC BG BC CG +=+=．（2）如图12，当30°＜α＜60°时，．………………………… 7分28.解：（1）①． ………………………………………………………………………… 1分② 0≤Q L．……………………………………………………………… 2分CE AC +=AC CE -=3-图10图11 图12（2）设直线+3y=与x轴，y轴的交点分别为点A，点B，可得A，(0,3)B．∴OA=3OB=，30OAB∠=︒．由0≤QLy=．①如图13，当⊙D与x轴相切时，相应的圆心1D满足题意，其横坐标取到最大值．作11D E x⊥轴于点1E，可得11D E∥OB，111D E AEBO AO=．∵⊙D的半径为1，∴111D E=．∴1AE=11OE OA AE=-=．∴1Dx=②如图14，当⊙D与直线y=相切时，相应的圆心2D满足题意，其横坐标取到最小值．作22D E x⊥轴于点2E，则22D E⊥OA．设直线y=与直线+3y=的交点为F．图13可得60AOF ∠=︒，OF ⊥AB．则9cos 2AF OA OAF =⋅∠==． ∵ ⊙D 的半径为1，∴ 21D F =．∴ 2272AD AF D F =-=．∴ 22cos AE AD OAF =⋅∠72==，22OE OA AE =-=．∴2D x =．由①②可得，D x的取值范围是≤D x≤．………………………………………… 5分（3）画图见图15．．……………………………… 7分图15。