解三角形应用题

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考点二 测量高度
测量高度问题一般是利用地面上 的观测点，通过测量仰角、俯角等数 据计算物体的高度；这类问题一般用 到立体几何知识，先把立体几何问题 转化为平面几何问题，再通过解三角 形加以解决．
例2 某人在山顶P处观察地面上相距2500 m的两个目 标A、B，测得目标A在南偏西57°，俯角为30°， 同时测得目标B在南偏东78°，俯角是45°，求山高 (设A、B与山底在同一平面上，计算结果精确到0.1 m)．
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考点三 测量角度
测量角度问题也就是通过解三角形求角问题， 求角问题可以转化为求该角的函数值；如果是用余 弦定理求得该角的余弦，该角容易确定，如果用正 弦定理求得该角的正弦，就需要讨论解的情况了．
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例3 在海岸 A 处，发现北偏东 45°
方向，距 A 处( 3－1) n mile 的 B 处有一艘走私船， 在 A 处北偏西 75° 的方向， 距离 A 处 2 n mile 的 C 处 的缉私船奉命以 10 3 n mile/h 的
解三角形的应用. 练习1、我舰在敌岛A南50°西相距12海里B处，发现敌舰正由 岛沿北10°西的方向以10海里/时的速度航行，我舰要用2小时
追上敌舰，则需要的速度大小为 分析：2小时敌舰航行距离AC=20，由
AB=12，∠BAC=120°， 余弦定理可解我舰航行距离 BC。
。
C
10 °
A
50 ° B 南
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所以由余弦定理得 2 2 2 AB ＝ AQ ＋ BQ － 2AQ· BQcos∠AQB ， 2 2 2 即 2500 ＝ ( 3h) ＋h － 2 3h· h· cos135° 2 ＝ (4＋ 6)h ， 2500 ∴h＝ ≈984.4(m)． 4＋ 6 因此所求山高约为 984.4 m.
规律方法总结
(3)将需求解的问题归结到一个或 几个三角形中，通过合理运用正弦定 理、余弦定理等有关知识正确求 解．演算过程中，要算法简练，计算 正确，并作答． (4)检验解出的答案是否具有实际 意义，对解进行取舍．
规律方法总结
2．解斜三角形实际应用举例 (1)常见的几种题型 测量距离问题、测量高度问题、 测量角度问题、计算面积问题、航海 问题、物理问题等． (2)解题时需注意的几个问题 ①要注意仰角、俯角、方位角等 名词，并能准确地找出这些角； ②要注意将平面几何中的性质、 定理与正、余弦定理结合起来，发现 题目中的隐含条件，才能顺利解决．
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【解】 设缉私船用 t h 在 D 处追上 走私船， 则有 CD＝10 3t， BD＝10t， 在△ABC 中， ∵AB＝ 3－1， AC＝2， ∠BAC＝120° ， 由余弦定理，得 2 2 2 BC ＝ AB ＋ AC － 2AB· ACcos∠BAC ＝ ( 3 － 1)2 ＋ 22 － 2· ( 3 － 1)· 2· cos120° ＝6. ∴BC＝ 6，
例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。
测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C， 测出AC的距离是100m，∠BAC＝45o， ∠ACB ＝75o，求A、B两点间的距离.
分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形
AB AC ＝ sin C sin B
例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种 测量两点间的距离的方法。
基础知识梳理
2．解斜三角形在实际中的应用 解斜三角形在实际中的应用非常 广泛，如测量、航海、几何、物理等 方面都要用到解三角形的知识．解题 的一般步骤是： (1)分析题意，准确理解题意．分 清已知与所求，尤其要理解应用题中 的有关名词、术语，如坡度、仰角、 俯角、方位角等． (2)根据题意画出示意图．
∴可解出AM= 15 2 5 6
≈8.97>8 ∴无触礁危险 北 75 北 30
20 2
A
B
C
M
小结：求解三角形应用题的一般步骤：
1、分析题意，弄清已知和所求；
2、根据题意，画出示意图；
3、将实际问题转化为数学问题，写出
已知所求；
4、正确运用正、余弦定理。
基本概念和公式.
例1 海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛
和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视
角，那么B岛和C岛间的距离是 。
C 60°
A
75°
B
基本概念和公式
练习1.如图,Leabharlann Baidu艘船以32海里/时的速度向
正北航行,在A处看灯塔S在船的北偏东200, 30分钟后航行到B处,在B处看灯塔S在船的 北偏东650方向上,求灯塔S和B处的距离. （保留到0.1海里） 解：AB=16，由正弦定理知： BS/sin20°=AB/sin45° 可求BS=7.7海里。
解斜三角形理论应用于实际问题应注意：
1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。 2、要明确题目中一些名词、术语的意义。如 视角，仰角，俯角，方位角等等。 3、动手画出示意图，利用几何图形的性质， 将已知和未知集中到一个三角形中解决。 4、计算要认真，尽量不使用计算器。
解三角形的应用. 例2 一艘渔船在我海域遇 险，且最多只能坚持45分 钟，我海军舰艇在A处获悉 后，立即测出该渔船在方 位角为45o 、距离为10海里 的C处，并测得渔船以9海 里/时的速度正沿方位角为 105o的方向航行，我海军 舰艇立即以21海里/时的速 度前去营救。求出舰艇的 航向和赶上遇险渔船所需 的最短时间，能否营救成 功？ N
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【规律小结】 (1)依据题意画图是解决三角形应 用题的关键．本例中，既有方位角(它是在水平面上所 成的角)，又有俯角(它是铅垂面上所成的角)，因而本 例的图形是一个立体图形，因此在画图时，可画立体 图形和平面图形两个图，以对比分析求解； (2)由本例可知，方位角是相对于在某地而言的， 因此在确定方位角时，必须先弄清是哪一点的方位 角．从这个意义上来说，方位角是一个动态角，在理解 题意时，应把它看活，否则在理解题意时将可能产生偏 差．
2 3 (9 ) AB BC 3 3 3 2 sinCAB 由正弦定理： 2 sin120 sinCAB 14 21 3
2 5 t1 , t 2 解得： 3 12 （舍去）
CAB 22
∴航向为北偏东45 +22 =67
o
o
o
时间40分钟能营救成功。
练习2：海中有岛A，已知A岛周围8海里内有暗礁，今有一 货轮由西向东航行，望见A岛在北75°东，航行20 2 海里后，
见此岛在北30°东，如货轮不改变航向继续前进，问有无触
礁危险。
A
北 北
B
20 2
C
M
解： 在△ABC中∠ACB=120°∠BAC=45°由正弦定理得：
AB BC sin120 sin45
由BC=20 2 ,可求AB
∴
得AM= 15 2 5 6
≈8.97>8
A
北 30
20 2
∴无触礁危险
北 75
B
C
M
解： 在Rt△ABM中，AM/BM=tan15° 在Rt △ACM中 ，AM/CM=tan60°
∴ BM= AM/ tan15°， CM= AM/ tan60 °
由BC=BM-CM=20 2
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AC 2 3 2 且 sin∠ABC＝ · sin∠BAC＝ · ＝ . 2 BC 6 2 ∴∠ABC＝45° .∴BC 与正北方向垂直． ∵∠CBD＝90° ＋30° ＝ 120° . 在△BCD 中，由正弦定理，得 BD· sin∠CBD 10tsin120° 1 sin∠BCD＝ ＝ ＝ ， 2 CD 10 3t ∴∠BCD＝30° ， 即缉私船沿东偏北 30° 方向能最快追上走私船．
速度追截走私船．此时，走私船正以 10 n mile/h的速度从B处向北偏东30° 方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最 快追上走私船？
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【思路点拨】 本例考查正弦、 余弦定理的建模应用．如图所示，注 意到最快追上走私船且两船所用时间 相等，若在D处相遇，则可先在 △ABC中求出BC，再在△BCD中求 ∠BCD.
解三角形应用举例
基础知识梳理
1．有关概念 (1)仰角与俯角：与目标视线在同 一铅垂平面内的水平视线和目标视线 的夹角．目标视线在水平视线上方时 叫 仰角 ，目标视线在水平视线下方 时叫 俯角 ．
基础知识梳理
如图所示．
基础知识梳理
(2)方位角：从正 北 方向沿顺时 针到目标方向线的水平角叫方位角． (3)坡角：坡面与 水平 面的夹角 叫坡角． (4)坡比：坡面的铅直高度与水平 长度之 比 叫做坡比．
基础知识梳理
(3)将需求解的问题归结到一个或 几个三角形中，通过合理运用正弦定 理、余弦定理等有关知识正确求 解．演算过程中，要算法简练，计算 正确，并作答． (4)检验解出的答案是否具有实际 意义，对解进行取舍．
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考点一 测量距离
有关距离测量问题，主要是测量从 一个可到达的点到一个不能到达的点之 间的距离问题，如海上、空中两点测量， 隔着某一障碍物两点测量等．由于该问 题不能采取实地测量，解决它的方法是 建立数学模型，即构造三角形，转化为 解三角形问题．通常是根据题意，
C
105o
N
45o
10海里
B
A
解三角形的应用. 解：设所需时间为t小时，在点B处 相遇（如图）在△ABC中， ACB = 120, AC = 10, AB = 21t, BC = 9t 由余弦定理： (21t) 2 = 10 2 + (9t) 2 2 × 1 0 × 9 t × c o s 1 2 0 整理得： 36t2 9t 10 = 0
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【名师点评】 首先应明确方位 角的含义，在解应用题时，分析题意， 分清已知与所求，再根据题意正确画 出示意图，这是最关键、最重要的一 步，通过这一步可将实际问题转化成 可用数学方法解决的问题，解题时也 要注意体会正、余弦定理“联袂”使 用的优点．
规律方法总结
1．解三角形的一般步骤 (1)分析题意，准确理解题意． 分清已知与所求，尤其要理解应 用题中的有关名词、术语，如坡度、 仰角、俯角、方位角等． (2)根据题意画出示意图．
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设山高 PQ＝h，则△APQ、△BPQ 均 为直角三角形， 在图①中， ∠PAQ＝30° ， ∠PBQ＝45° . 1 ∴AQ ＝ PQ ＝ 3 h ， BQ ＝ tan30° 1 PQ ＝ h. tan45° 在图②中，∠AQB＝57° ＋78° ＝ 135° ， AB＝ 2500，