解三角形应用题

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八年级数学三角形应用题

八年级数学三角形应用题

八年级数学三角形应用题一、三角形边长与周长问题。

1. 一个三角形的三条边分别为3x,4x,5x,其周长为36,求x的值。

- 解析:- 已知三角形周长等于三条边之和,可列出方程3x + 4x+5x = 36。

- 合并同类项得12x = 36。

- 解得x = 3。

2. 三角形的一边长为5cm,另外两边长相等且它们的和为12cm,求这个三角形的周长。

- 解析:- 设相等的两边长为x cm,则2x = 12,解得x = 6。

- 三角形周长为5 + 6+6=17cm。

3. 已知三角形的三边长分别为a,a + 1,a+2,且其周长为12,求a的值。

- 解析:- 根据周长定义a+(a + 1)+(a+2)=12。

- 展开式子得a+a + 1+a+2 = 12。

- 合并同类项3a+3 = 12。

- 移项得3a=12 - 3=9。

- 解得a = 3。

二、三角形内角和问题。

4. 在ABC中,∠ A=∠ B + 10^∘,∠ C=∠ A+10^∘,求ABC各内角的度数。

- 解析:- 因为三角形内角和为180^∘,即∠ A+∠ B+∠ C = 180^∘。

- 又因为∠ A=∠ B + 10^∘,∠ C=∠ A+10^∘=∠ B+10^∘+10^∘=∠ B + 20^∘。

- 把∠ A=∠ B + 10^∘,∠ C=∠ B + 20^∘代入∠ A+∠ B+∠ C = 180^∘得:(∠ B + 10^∘)+∠ B+(∠ B + 20^∘)=180^∘。

- 合并同类项得3∠ B+30^∘=180^∘。

- 移项得3∠ B=180^∘-30^∘=150^∘。

- 解得∠ B = 50^∘。

- 则∠ A=∠ B + 10^∘=60^∘,∠ C=∠ A+10^∘=70^∘。

5. 已知ABC中,∠ A = 2∠ B,∠ C=3∠ B,求∠ A、∠ B、∠ C的度数。

- 解析:- 因为∠ A+∠ B+∠ C = 180^∘,又∠ A = 2∠ B,∠ C=3∠ B。

初三解直角三角形应用题

初三解直角三角形应用题

初三解直角三角形应用题在一个阳光明媚的下午,咱们的班级决定搞一次户外活动。

老师说,咱们去爬山,真是令人兴奋啊!同学们纷纷欢呼,想着在山顶可以俯瞰四周的美景,感觉就像一只飞翔的小鸟。

不过,话说回来,爬山可不是简单的事,尤其是当你脑袋里还在想着那个搞笑的段子时,脚下的路可得小心点。

到了山脚下,大家开始兴奋地讨论谁先到达山顶。

小明兴致勃勃地表示自己绝对能第一到达,顺便还给我们讲了个笑话。

大家哈哈大笑,结果小明的笑声把一只路过的小鸟吓跑了。

咱们这群孩子,有的急得像热锅上的蚂蚁,有的则在一旁笑嘻嘻地准备拍照,生怕错过任何一个瞬间。

开始爬山了,哎呀,这可真是个挑战!上坡的路弯弯曲曲,有的地方坡度还挺陡。

走着走着,小李突然说:“要是咱们能算出这个三角形的高就好了!”这话一出,大家都愣住了。

什么三角形?大家的脑袋里都开始冒出各种形状,有的甚至想到了吃的。

小红一边喘着气,一边用力挥手:“哎,你们别闹了,快点上山吧!”这时,小刚却认真起来:“我来给大家讲解一下直角三角形的知识!”哇,这小子一说,大家可都认真听了。

小刚一边指着前面的山,一边说:“看,这个山的高度就是直角三角形的一条边,坡道的长度就是斜边,咱们走的这条路,就是底边!”同学们都像听到了天籁之音,纷纷点头。

哎呀,真是个好机会,既能锻炼身体,又能学知识,真是两全其美。

小刚说完,大家突然觉得爬山也变得有趣了许多。

每个人都开始认真算起了角度、长度,搞得跟上数学课一样。

小明还在一旁想出了一道题:“如果这个直角三角形的底边是4米,高是3米,那斜边是多少呢?”同学们纷纷开始计算。

这个时候,小红开始笑了:“你们真是天真,以为在爬山还能做题呢!”终于,我们爬到了一个平台上,大家都累得气喘吁吁。

可是,看到眼前的美景,所有的疲惫都一扫而空。

山下的风景简直美得像画一样,远处的村庄就像点缀在绿色海洋里的小岛。

小刚得意地说:“你看,这就是直角三角形的力量!”这时,小明忍不住反击:“直角三角形能飞吗?我倒是想看!”就在大家说笑时,突然有个同学指着山下大喊:“看,那儿有个小湖!”大家的注意力瞬间被吸引过去,纷纷围拢过去,恨不得立刻飞下去。

六年级数学上册解应用题中的几何三角形问题

六年级数学上册解应用题中的几何三角形问题

六年级数学上册解应用题中的几何三角形问题三角形是数学中的一个重要概念,它在几何学中有着广泛的应用和研究。

在六年级数学上册中,我们将学习解决一些应用题中涉及到的几何三角形问题。

本文将详细介绍几个常见的几何三角形问题,并解答这些问题。

问题一:一个完全成年的大象每天需要多少升水?解析:我们首先需要知道大象每天需要的水量。

根据养殖专家的研究数据,一个完全成年的大象每天需要饮用 150 升的水。

因此,一个完全成年的大象每天需要 150 升的水。

问题二:如图所示,三个大三角形 ABC、ADE 和 FGH 相似,AB=7.5cm,AD=4.5cm,FG=9cm。

试求 AE 和 GH 的长度。

解析:根据相似三角形的性质,我们知道相似三角形的对应边的比值相等。

因此,我们可以设置比例方程:AE/AB = AD/AEGH/AB = DG/GH将已知的数值代入方程,得到:AE/7.5 = 4.5/AEGH/7.5 = DG/GH通过求解方程组,可以得到 AE 和 GH 的长度。

问题三:如图所示,三角形 ABC 中,∠ABC=90°,BC=8cm,AC=6cm。

请计算∠BAC 的正弦、余弦和正切值。

解析:根据三角函数的定义,我们知道正弦、余弦和正切分别是三角形的边长比值。

根据题目中给出的数据,我们可以通过三角函数的公式计算出∠BAC 的正弦、余弦和正切值。

问题四:如图所示,正三角形 ABC 中,AB=5cm。

请计算 BC 边的长度。

解析:由于正三角形的三个边相等,因此 BC 的长度也等于AB,即 BC=5cm。

问题五:如图所示,在直角三角形 ABC 中,∠ACB=90°,BC=3cm,AC=4cm。

请计算∠BAC 的正切值。

解析:根据三角函数的定义,正切是三角形的边长比值。

我们可以通过已知数据计算∠BAC 的正切值。

问题六:如图所示,三角形 ABC 中,AC=12cm,∠ACB=60°。

请计算 AB 和 BC 的长度。

一年级数学应用题认识三角形的应用题

一年级数学应用题认识三角形的应用题

一年级数学应用题认识三角形的应用题一年级数学应用题——认识三角形的应用题假如你是一名一年级的小学生,老师给你出了一些关于三角形的应用题,让你运用所学的知识解决问题。

快来看看下面这些有趣的数学题吧!1. 小明做了一个三角形的模型,它的底边是12厘米,高度是8厘米。

请你计算一下这个三角形的面积是多少。

解答:我们知道,三角形的面积可以通过底边和高度相乘再除以2来计算。

所以,这个三角形的面积等于(12厘米 * 8厘米)/ 2 = 96平方厘米。

2. 小华正在修建一个小花园,他想让花园的形状是一个直角三角形,其中直角边的长度是4米,斜边的长度是5米。

请你计算一下花园的面积是多少。

解答:我们知道,直角三角形的面积可以通过两条直角边的乘积再除以2来计算。

所以,这个花园的面积等于(4米 * 5米)/ 2 = 10平方米。

3. 小明和小华都有一块土地,他们决定将土地划分为两个形状相同的三角形,其中一个三角形的底边是8米,高度是6米。

请你计算一下这个三角形的面积是多少,然后帮助小明和小华计算出他们各自土地的面积。

解答:根据题目描述,这个三角形的面积可以通过底边和高度相乘再除以2来计算。

所以,这个三角形的面积等于(8米 * 6米)/ 2 = 24平方米。

根据题目要求,小明和小华各自的土地面积都是24平方米。

4. 小明正在做一张海报,他想在海报的顶部制作一个等腰三角形的图案。

他测量了一下等腰三角形的底边长度是12厘米,两边的长度都是6厘米。

请你帮助小明计算一下这个等腰三角形的面积。

解答:我们知道,等腰三角形的面积可以通过底边和高度相乘再除以2来计算。

由于等腰三角形的高度垂直于底边并且通过顶点,所以可以通过勾股定理计算出高度的长度。

根据勾股定理,高度的长度等于(6厘米^2 - 3厘米^2)^0.5 = (36厘米^2 - 9厘米^2)^0.5 = (27厘米^2)^0.5 = 3√3 厘米。

因此,这个等腰三角形的面积等于(12厘米 * 3√3 厘米)/ 2 = 18√3 平方厘米。

解直角三角形的典型例题

解直角三角形的典型例题

一、知识概述1、仰角、俯角仰角、俯角:视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫做仰角,在水平线下方的叫做俯角.如图所示.说明:仰角、俯角一定是水平线与视线的夹角,即从观察点引出的水平线与视线所夹的锐角.2、坡角和坡度坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,用字母α表示.坡度(坡比):坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度,用字母i表示.则.如图所示说明:(1)坡角的正切等于坡度,坡角越大,坡度也越大,坡面越陡.(2)在解决实际问题时,遇到坡度、坡角的问题,常构造如图所示的直角三角形.3、象限角象限角:指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫象限角,如图中的目标方向线OA、OB、OC、OD的方向角分别表示北偏东30°,南偏东45°,北偏西60°,南偏西80°,如:东南方向,指的是南偏东45°角的方向上.如图所示.二、重点难点疑点突破1、怎样运用解直角三角形的方法解决实际问题在解决实际问题时,解直角三角形有着广泛的应用.我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决,具体地说,要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系,这样就可运用解直角三角形的方法了.一般有以下三个步骤:(1)审题,通过图形(题目没画出图形的,可自己画出示意图),弄清已知和未知;(2)找出有关的直角三角形,或通过作辅助线产生有关的直角三角形,把问题转化为解直角三角形的问题;(3)根据直角三角形元素(边、角)之间关系解有关的直角三角形.其中,找出有关的直角三角形是关键,具体方法是:(1)将实际问题转化为直角三角形中的数学问题;(2)作辅助线产生直角三角形,再把条件和问题转化到这个直角三角形中,使问题解决.2、在学习中应注意两个转化(1)把实际问题转化成数学问题这个转化分两个方面:一是将实际问题的图形转化为几何图形,画出正确的平面或截面示意图,并赋予字母;二是将已知条件转化成示意图中的边或角.(2)把数学问题转化成解直角三角形问题.如果示意图形不是直角三角形,可添加适当的辅助线,把它们分割成一些直角三角形和矩形,把实际问题转化为解直角三角形问题,把可解的直角三角形纳入基本类型,确定合适的边角关系,细心推理,按要求精确度作近似计算,最后写出答案并注明单位.三、典型例题讲解1、测量河宽例1、如图,河边有一条笔直的公路l,公路两侧是平坦的草地.在数学活动课上,老师要求测量河对岸B点到公路的距离,请你设计一个测量方案.要求:(1)列出你测量所使用的测量工具;(2)画出测量的示意图,写出测量的步骤;(3)用字母表示测得的数据,求出B点到公路的距离.分析:这是一个实际问题,要求B到CD的距离,可转化为直角三角形,然后在两个直角三角形中,可分别用含有AB的式子表示AC和AD,而AC+AD=m,可运用解方程的方法求出AB即可.解:(1)测角器、尺子;(2)测量示意图如下图所示;测量步骤:①在公路上取两点C,D,使∠BCD,∠BDC为锐角;②用测角器测出∠BCD=α,∠BDC=β;③用尺子测得CD的长,记为m米;④计算求值.(3)解:设B到CD的距离为x米,作BA⊥CD于点A,在△CAB中,x=CAtanα,点评:运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题,要求我们要具备数学建模能力(即将实际问题转化为数学问题).2、仰角、俯角问题例2、为申办2010年冬奥会,须改变哈尔滨市的交通状况.在大直街拓宽工程中,要伐掉一棵树AB.在地面上事先划定以B为圆心、半径与AB等长的圆形危险区.现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶端A点的仰角为60°,树的底部B的俯角为30°(如图).问距离B点8米远的保护物是否在危险区内?分析:解决测量问题要明确仰角、俯角、视角、坡度、坡角等名词术语.要考查距离B点8米远的保护物是否在危险区内,关键的一点是要测算树AB的高度.解:过点C作CE⊥AB,垂足为E.在Rt△CBE中,在Rt△CAE中,故AB=AE+BE=≈4×1.73=6.92(米)<8(米).因此可判断该保护物不在危险区内.3、坡角、坡度(坡比)例3、如图,一水坝横断面为等腰梯形ABCD,斜坡AB的坡度为,坡面AB的水平宽度为上底宽AD为4m,求坡角B,坝高AE和坝底宽BC各是多少?分析:首先将实际问题转化为数学问题,如图所示,实际上已知求∠B、AE、BC.此题实质转化为解直角三角形的问题.点评:(1)解应用题时,解题过程中可以不写各数量的单位,但最后作答时务必写清单位名称.(2)应用问题尽管题型千变万化,但关键是设法化归为解直角三角形问题,必要时应添加辅助线,构造出直角三角形,梯形也是通过作底边的高线来构造直角三角形.(3)本题主要应用坡度是坡角的正切函数而求出坡角,运用坡度的概念求出梯形高,运用等腰梯形性质求出底边.4、象限角例4、如图,一轮船自西向东航行,在A处测得某岛C,在北偏东60°的方向上,船前进8海里后到达B,再测C岛,在北偏东30°的方向上,问船再前进多少海里与C岛最近?最近距离是多少?分析:将实际问题转化为数学问题,并构造出与实际问题有关的直角三角形,如图所示.船沿AB方向继续前进至D处与C岛最近,此问题实质就是已知∠CAB=90°-60°=30°,∠ABC=90°+30°=120°,AB=8海里,求BD和CD的解直角三角形问题.解:根据题设可知△ABC中,∠CAB=30°,∠ABC=120°,∴∠ACB=180°-30°-120°=30°,AB=BC=8,作CD⊥AB于D.∴最近距离即为C到AB所在直线的垂线段CD的长度.在Rt△CBD中,BC=8,∠CBD=60°,点评:根据题意准确画出示意图是解这类题的前提和保障.5、开放探究题例5、(荆州市)某海滨浴场的沿岸可以看作直线,如图,1号救生员在岸边A点看到海中的B点有人求救,便立即向前跑300米到离B点最近的D点,再跳入海中游到B点救助;若每位救生员在岸上跑步的速度都是6米/秒,在水中游泳的速度都是2米/秒,∠BAD=45°.(1)请问1号救生员的做法是否合理?(2)若2号救生员从A跑到C,再跳入海中游到B点救助,且∠BCD=65°,请问谁先到达点B?(所有数据精确到0.1,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,)分析:(1)比较1号救生员从点A直接游到点B所用时间与从点A跑到点D再游到点B的时间即可作出判断.(2)分别计算出1号救生员、2号救生员所用时间,再作判断.点评:掌握探究题的探究方法非常重要,本题中救生员赶到点B的时间是我们探究的核心问题,如何准确求出救生员赶到点B所用时间是解决本题的关键.。

解三角形应用题(7)含答案

解三角形应用题(7)含答案

H G F D C BA45°30°C A 解三角形应用题(7)1.如图,自卸车厢的一个侧面是矩形ABCD ,AB =3米,BC =0.5米,车厢底部离地面1.2米,卸货时,车厢倾斜的角度θ=60°,问此时车厢的最高点A 离地面多少米?(精确到1米)2.如图,某幼儿园为了加强安全管理,决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º,已知原滑滑板AB 的长为5米,点D 、B 、C 在同一水平地面上. ⑴改善后滑滑板会加长多少?(精确到0.01)⑵若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全,原滑滑板的前方有6米长的空地,像这样改造是否可行?说明理由 (参考数据: 2 =1.414, 3 =1.732,6 =2.449 )3.如图,A 城气象台测得台风中心从A 城正西方向300千米B 处以每小时107 千米的速度向北偏东60°的BF 方向移动,距台风中心200千米的范围内为受台风影响的区域(1)问A 城是否会受这次台风的影响?并说明理由(2)若A 城受到这次台风的影响,那么A 城遭受这次影响的时间有多少长?4.如图,在气象站台A 的正西方向240km 的B 处有一台风中心,该台风中心以每小时20km 的速度沿北偏东60°的BD 方向移动,在距离台风中心130km 内的地方都要受到其影响。

⑴台风中心在移动过程中,与气象台A 的最短距离是多少?⑵台风中心在移动过程中,气象台将受台风的影响,求台风影响气象台的时间会持续多长?北60o东DC BAA P东北4560 5.今年五、六月份,我省各地、市普遭暴雨袭击,水位猛涨.某市抗洪抢险救援队伍在B 处接到报告:有受灾群众被困于一座遭水淹的楼顶A 处,情况危急!救援队伍在B 处测得A 在B 的北偏东600的方向上(如图所示),队伍决定分成两组:第一组马上下水游向A 处就人,同时第二组从陆地往正东方向奔跑120米到达C 处,再从C 处下水游向A 处救人,已知A 在C 的北偏东300的方向上,且救援人员在水中游进的速度均为1米/秒.在陆地上奔跑的速度为4米/秒,试问哪组救援队先到A 处?请说明理由(参考数据 3 =1.732)6.如图,甲船在港口P 的北偏西60°方向,距港口80海里的A 处,沿AP 方向以12海里/时的速度驶向港口P .乙船从港口P 出发,沿北偏东45°方向匀速驶离港口P ,现两船同时出发,2小时后乙船在甲船的正东方向.求乙船的航行速度.(精确到0.1海里/时,参考数据: 3 ≈1.73, 2 ≈1.41)7.在一次课题学习课上,同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬,小明同学绘制的设计图如图所示,其中,AB 表示窗户,且AB=2米,BCD 表示直角遮阳蓬,已知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD 的最小夹角α为18.6°,最大夹角β为64.5°.请你根据以上数据,帮助小明同学计算出遮阳蓬中CD 的长是多少米?(结果保留两个有效数字)(参考数据sin18.6°=0.32,tan18.6°=0.34,sin64.5°8.如图,沿水库拦水坝的背水坡将坝顶加宽2米,由原来的背水坡坡角为30°改建成坡度为i=1:2.5,已知坝高6米,坝长50米,求完成这项工程需要多少方土?(参考数据:3 ≈1.73,2 ≈1.41)9.某森林管理处雇用两架直升飞机向森林喷洒农药,两机从同一地点A出发,甲机沿东北方向以20km/h的速度飞行,乙机沿南偏东30°方向以20 2 km/h的速度飞行,3小时后,乙机发现有部分药品误放在甲机上了,而此时,乙机只能沿北偏东15°方向追赶甲机,则乙机应以怎样的速度飞行,才能赶上甲机?10.如图,小山的顶部是一块平地,在这块平地上有一高压输电的铁架,小山的斜坡的坡度i=1∶ 3 ,斜坡BD的长是50米,在山坡的坡底B处测得铁架顶端A的仰角为45,在山坡的坡顶D处测得铁架顶端A的仰角为60°.(1)求小山的高度;(2)求铁架的高度.( 3 ≈1.73,精确到0.1米)11.在湖水高出水面50米的山顶A处,望见一艘飞艇停留在湖面上空某处,观察到飞艇底部标志P处的仰角为45°,其在湖中的像的俯角为60°,试求飞艇离湖面的高度。

解直角三角形典型应用20例子

解直角三角形典型应用20例子

解直角三角形.典型应用题20例1.已知:如图,河旁有一座小山,从山顶 A 处测得河对岸点 C 的俯角为30°,测得岸边点D 的俯角为45°,又知河宽 CD 为50m .现需从山顶 A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆 绳AC ,求山的高度及缆绳 AC 的长(答案可带根号)•2•已知:如图,一艘货轮向正北方向航行,在点 A 处测得灯塔M 在北偏西30°,货轮以每小时20海里的速度航行,1小时后到达B 处,测得灯塔 M 在北偏西45°,问该货轮 继续向北航行时,与灯塔 M 之间的最短距离是多少 ?(精确到0.1海里,J 3止1.732)3.已知:如图,在两面墙之间有一个底端在端在B 点;当它靠在另一侧墙上时,梯子的顶端在45°.点D 到地面的垂直距离 DE =3J2m ,求点B 到地面的垂直距离 BC •4.已知:如图,小明准备测量学校旗杆 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上, 上的影长CD = 8m ,太阳光线AD 与水平地面成26°角,斜坡CD 与水平地面所成的锐 角为30°,求旗杆 AB 的高度(精确到1m ) •A 点的梯子,当它靠在一侧墙上时,梯子的顶D 点.已知/ BAC = 60°,/ DAE=AB 的高度,当他发现斜坡正对着太阳时,旗杆AB测得水平地面上的影长 BC = 20m ,斜坡坡面北A5.已知:如图,在某旅游地一名游客由山脚一个景点B ,再由B 地沿山坡BC 行走320米到达山顶C ,如果在山顶 C 处观测到景点 B 的俯角为60°.求山高CD (精确到0.01米).5.已知:如图,小明准备用如下方法测量路灯的高度:他走到路灯旁的一个地方,竖起一 根2m 长的竹竿,测得竹竿影长为 1m ,他沿着影子的方向,又向远处走出两根竹竿的 长度,他又竖起竹竿,测得影长正好为2m .问路灯高度为多少米 ?运动员从营地A 出发,沿北偏东60°方向走了 500 30°方向走了 500m ,到达目的地 C 点.求IIIA 沿坡角为30°的山坡AB 行走400m ,到达6.已知:如图,在一次越野比赛中,到达B 点,然后再沿北偏西北n(1)A 、C 两地之间的距离;⑵确定目的地C 在营地A 的什么方向?已知:如图,在1998年特大洪水时期,要加固全长为10000m 的河堤.大堤高5m ,坝顶宽4m ,迎水坡和背水坡都是坡度为1 : 1的等腰梯形.现要将大堤加高坡度改为1 : 1.5.已知坝顶宽不变,求大坝横截面面积增加了多少平方米, 多少立方米的土石?(1)BC 的长; ⑵△ ABC 的面积.(1)求AB 的长;a⑵求证:—一si n ot7. 1m ,背水坡完成工程需已知:如图,在△ ABC 中, 9. 已知:如图,在△ ABC 中, AC = b , BC = a ,锐角/ A = Ct ,/ B =P .__b sin P . A拓展、探究、思考AB = c , AC = b ,锐角/ A = Ct .RRt △ ADC 中,/ D = 90°,/ A=a ,/ CBD = P , AB = a.用含a 及P的三10.已知:如图,在角函数的式子表示CD的长.11.已知:△ ABC 中,/ A = 30°, AC = 10,12.已知:四边形 ABCD 的两条对角线 AC 、=a (0 °v a v 90° ),求此四边形的面积. BD 相交于 E 点,AC = a , BD = b , / BEC13 ..已知:如图, 长.(精确到 AB = 52m , / DAB = 430.01m),/ CAB = 40°,求大楼上的避雷针 CD 的□□□□□□□□□ □□口□□口口口口口□□口口□□口口14.已知:如图, 知测角仪AB 的高为在距旗杆 25m 的A 处,用测角仪测得旗杆顶点C 的仰角为30°,已BC =5J2,求 AB 的长.4 1如图,△ ABC 中,AC = 10, si nC=-,si nB=-,求 AB .3如图,在O O 中,/ A =/ C ,求证:AB = CD (利用三角函数证明).如图,P 是矩形ABCD 的CD 边上一点,PE 丄AC 于E , PF 丄BD 于F , AC18.已知:如图,一艘渔船正在港口 A 的正东方向40海里的B 处进行捕鱼作业,突然接到通知,要该船前往C 岛运送一批物资到 A 港,已知C 岛在A 港的北偏东60 ° 方向,且在B 的北偏西45°方向.问该船从B 处出发,以平均每小时20海里的速 度行驶,需要多少时间才能把这批物资送到A 港(精确到1小时)(该船在C 岛停留半个小时"(丁㊁止1.41, J 3 7.73, J 6 止 2.45)15 .已知:16.已知:17.已知:=15, BC = 8,求 PE + PF.C19.已知:如图,直线y = —x+ 12分别交X轴、y轴于A、B点,将△ AOB折叠,使A 点恰好落在0B的中点C处,折痕为DE .(1)求AE 的长及sin / BEC 的值; ⑵求△ CDE 的面积.20..已知:如图,斜坡 PQ 的坡度i = 1 : J 3,在坡面上点0处有一根1m 高且垂直于水平面的水管0A ,顶端A 处有一旋转式喷头向外喷水,水流在各个方向沿相同的 抛物线落下,水流最高点 M 比点A 高出1m ,且在点A 测得点M 的仰角为30°, 以0点为原点,OA 所在直线为 标系•设水喷到斜坡上的最低点为(1) 写出A 点的坐标及直线 PQ 的解析式; (2) 求此抛物线AMC 的解析式;⑶求 I X C — X B I ; ⑷求B 点与C 点间的距离.y 轴,过O 点垂直于OA 的直线为X 轴建立直角坐 B ,最高点为C.。

初中数学解直角三角形的实际应用题(精编版)

初中数学解直角三角形的实际应用题(精编版)

解直角三角形C1.如图1,一架飞机在空中P处探测到某高山山顶D处的俯角为60°,此后飞机P60以300米/秒的速度沿平行于地面AB的方向匀速飞行,飞行10秒到山顶D的D正上方C处,此时测得飞机距地平面的垂直高度为12千米,求这座山的高(精确到0.1千米)12千A G图1B 2.如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB的坡角∠BAD=60 ,坡长AB=203m,为加强水坝强度,将坝底从A处向后水平延伸到F处,使新的背水坡的坡角∠F=45 ,求AF的长度(结果精确到1米,参考数据cos20°≈0.94,sin20°≈0.34,sin18°≈0.31,参考数据:2≈1.414,3≈1.732).(2题图)cos18°≈0.953.施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行.现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB=4米,斜面E17cm 距离BC=4.25米,斜坡总长DE=85米.A B(1)求坡角∠D的度数(结果精确到1°);CD F(2)若这段斜坡用厚度为17cm的长方体台阶来铺,需要铺几级台阶?(第3题)4.在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN(如图),在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°,且与A相距40km的B处;经过1小时20分钟,又测得该轮船位于A的北偏东60°,且与A相距83km的C处.B北(1)求该轮船航行的速度(保留精确结果);(2)如果该轮船不改变航向继续航行,那么轮船能否正好行至码头MN靠岸?请说明理由.lCA M N东5.如图是某货站传送货物的平面示意图.为了提高传送过程的安全性,工人师傅欲减小传送带与地面的夹角,使其由45°改为30°.已知原传送带AB长为4米.(1)求新传送带AC的长度;(2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道,试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走。

解直角三角形的应用题型

解直角三角形的应用题型

解直角三角形的应用题型直角三角形是初中数学中一个重要的概念,也是解决实际问题中常用的基本图形之一。

在应用题中,我们经常需要用到直角三角形的性质和定理,以解决各种实际问题。

下面列举一些常见的直角三角形应用题型。

1. 求斜边长已知直角三角形的一条直角边和另一条边的长度,求斜边长。

这类问题可以用勾股定理解决,即斜边的长度等于直角边长度的平方加上另一条边长度的平方的平方根。

例题:已知直角三角形的一个直角边为3,另一条边长为4,求斜边长。

解:斜边长等于3的平方加上4的平方的平方根,即√(3+4)=√25=5。

2. 求角度已知直角三角形两个角度,求第三个角度。

由于直角三角形的内角和为180度,因此第三个角度可以用90度减去已知的两个角度得到。

例题:已知直角三角形两个角度分别为30度和60度,求第三个角度。

解:第三个角度等于90度减去30度和60度的和,即90-30-60=0度。

3. 求高已知直角三角形的斜边和一条直角边,求高。

我们可以通过求出这个三角形的面积以及底边长度来求出高,也可以利用正弦定理或余弦定理求出高。

例题:已知直角三角形的斜边长为5,直角边长为3,求高。

解:利用勾股定理可求出这个三角形的面积为(3*4)/2=6。

利用面积公式S=1/2*底边长*高,可得高为(2*6)/3=4。

4. 求面积已知直角三角形的两条直角边长度,求面积。

我们可以利用面积公式S=1/2*底边长*高求出面积。

例题:已知直角三角形的两条直角边长分别为4和3,求面积。

解:利用面积公式S=1/2*4*3,可得面积为6。

以上是直角三角形应用题的一些常见类型,希望能对大家的学习有所帮助。

解直角三角形经典题型应用题

解直角三角形经典题型应用题

解直角三角形经典题型应用题1. 一个田径运动员越过一根高度为2米的木板,如果他离地面的水平距离是3米,那么他的起跳点距离木板底部的高度是多少?解:设起跳点距离木板底部的高度为x,则根据勾股定理,得到:$x^2 + 3^2 = 2^2$化简得:$x^2 = 2^2 - 3^2 = -5$由于x是高度,因此应该为正数。

但是由于方程无解,因此无法解出起跳点距离木板底部的高度。

这个结果告诉我们,如果要跨越一个木板,距离不能太远,否则就无法起跳!2. 一个人看到一个高楼,测得距离为50米,角度为30度,那么这个高楼的高度是多少?解:设高楼的高度为h,根据三角函数,得到:$tan(30) = \frac{h}{50}$化简得:$h = 50\times tan(30) = 50 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \approx28.87$因此,这个高楼的高度约为28.87米。

3. 一个人站在一座桥上,看到一条河流在他的正下方流过,测得桥与河面的垂直距离为20米,角度为45度,那么河宽是多少?解:设河宽为w,根据三角函数,得到:$tan(45) = \frac{w}{20}$化简得:$w = 20\times tan(45) = 20$因此,河宽为20米。

4. 在一个矩形田地中,角A的顶点和角B的底点均在田地边界上,角A的角度为30度,角B的角度为60度,且田地的长宽比为3:2,那么田地的面积是多少?解:假设田地的长为3x,宽为2x,则田地的面积为6x²。

又根据三角函数,得到:$tan(30) = \frac{3x}{y}$$tan(60) = \frac{2x}{y}$化简得:$x = y\times tan(30) = y\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}$ $x = y\times tan(60) = y\cdot\sqrt{3}$解得:$y = 6\sqrt{3}$因此,田地的面积为6x² = 1080平方米。

解三角形应用题及答案

解三角形应用题及答案

解三角形的实际应用(1)测量高度问题; (2)测量角度问题; (3)测量距离问题; (4)计算三角形面积。

例:习题部分 1、如图1-2-22,在一幢20m 高的楼顶测得对面一塔顶部的仰角为600,塔基的俯角为450,那么这座塔的高度是( )A 、m ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+33120 B 、m )31(20+ B 、 C 、m )26(10+ D 、m )26(20+2、有一长为10m 的斜坡,倾斜角为750,在不改变坡高和坡顶的前提下,要通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为300,则坡底要延长( ) A 、5m B 、10m C 、m 210 D 、m 3103、一货轮航行到M 处,测得灯塔S 在货轮的北偏东150方向,与灯塔S 相距20n miel,随后货轮按北偏西300的方向航行3h 后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为( )A 、n )26(310+ mile/h B 、n )26(310- mile/h C 、n )36(310+ mile/h D 、n )36(310- mile/h4、海上有A 、B 两个小岛相距10n mile ,从A 岛望C 岛和B 岛成600,从B 岛望C 岛和A 岛成750的视角,则B ,C 之间的距离为( ) A 、n 310 mile B 、n 3610 mile C 、n 25 mile D 、n 65 mile 5、某人向正东方向走x km 后向右转1500,然后朝新方向走3km ,结果他离出发点恰好是3km ,那么x 的值是( ) A 、3 B 、32 C 、32或3 D 、36、如图1-2-23,为了测量某障碍物两侧A ,B 间的距离,给定下列四组数据,测量时应当用数据( )A 、βα,,,b aB 、αB 、C 、γ,,b aD 、b ,,βα7、已知两座灯塔A 与B 与海洋观测站C 的距离相等,灯塔A 在观测站C 的北偏东400,灯塔B 在观测站C 的南偏东600,则灯塔A 在灯塔B 的( )0 0008、如图1-2-24,从气球A 测得正前方的济南全运会两个体育馆B 、C 的俯角分别为βα、。

解直角三角形的应用题(经典体例)

解直角三角形的应用题(经典体例)

BS ABDC A 解直角三角形的应用题(经典体例)1、如图,在山顶上有一电视塔,为了测量山高,在地面上引一条基线EDC ,在M 处用测角仪测得塔顶的仰角为45º,在N 处测得山顶的仰角为30º,仪器高为1.5米,CD=50米,又已知电视塔高为250米,求山高BE (结果保留根号)2、如图,某国侦察机B飞抵我国近海搞侦察活动,我战斗机A奋起拦截,地面雷达C测得:当两机处在同一方向,且在同一高度时,它们的仰角分别为∠DCA=16°,∠DCB=15°,它们与雷达的距离分别为AC=80千米,BC=81千米,求此时两机距离是多少千米?(精确到0.01千米)sin150.26,cos150.97,tan150.27,sin160.28,cos160.96,tan160.29︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈3、A城气象台测得台风中心在A城正西方向300千米的B处,以每小时千米的速度向北偏东60°的BF方向移动,距台风中心200千米的范围是受台风影响的区域.(1)A城是否受到这次台风的影响?为什么?(2)如果A城受到台风影响,那么受影响有多长时间?4、如图,已知灯塔S周围15海里范围内有暗礁,一艘轮船以每小时20海里速度向正北方向航行,在A处测得灯塔S在轮船北偏东30°的方向上,1小时后轮船航行到B处,在B处测得灯塔S在船北偏东75°的方向上.(1) 求灯塔S与B的距离;(2) 如果轮船不改变航向,继续向正北航行有无触礁危险?为什么?A B E D C MNF E D C B A 604530D E F C BA EF D C B A 5、浦东机场沿东海岸的拦水坝,拟将背水坡的坝顶加宽2米,坡度由原来的1∶2改成1∶2.5,已知坝高6米,坝长100米. (1) 求加宽部分横断AFEB的面积;(2) 完成这一工程需要多少方材料?6、如图,有一段防洪大堤,其横断面为梯形ABCD,AB∥DC,斜坡AD的坡度为1∶1.2,斜坡BC的坡度为1∶0.8,大堤顶宽DC为6米,为了增强抗洪能力,现将大堤加高,加高部分的横断面为梯形DCEF,EF∥DC,点E、F分别在AD、BC的延长线上.当新大堤顶宽EF为3.8米时,大堤加高了多少米?7、如图,测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角为45°,沿着坡角为30°的山坡前进1000米到达D处,在D处测得山顶B的仰角为60°,求山的高度.8、如图,公路L与正北方向的夹角为60°,甲乙两校分别位于公路边的A、B两点处,在甲校的正东方向千米的C处有一雕塑,乙校在该雕塑的北偏东α的方向上,已知tan α=,求甲乙两校的距离.。

解直角三角形应用题类型大全

解直角三角形应用题类型大全

P B A 图10北东N M 解直角三角形练习班级 姓名1.我国为了维护队钓鱼岛P 的主权,决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航.在一次巡航中,轮船和飞机的航向相同(AP ∥BD ),当轮船航行到距钓鱼岛20km 的A 处时,飞机在B 处测得轮船的俯角是45°;当轮船航行到C 处时,飞机在轮船正上方的E 处,此时EC=5km .轮船到达钓鱼岛P 时,测得D 处的飞机的仰角为30°.试求飞机的飞行距离BD (结果保留根号).2. (2013•湘西州)钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土,为宣誓主权,我海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进行维权活动,如图,一艘海监船以30海里/小时的速度向正北方向航行,海监船在A 处时,测得钓鱼岛C 在该船的北偏东30°方向上,航行半小时后,该船到达点B 处,发现此时钓鱼岛C 与该船距离最短.(1)请在图中作出该船在点B 处的位置;(2)求钓鱼岛C 到B 处距离(结果保留根号)3.(2013•红河)如图,某山顶上建有手机信号中转塔AB ,在地面D 处测得塔尖的仰角60ADC ∠=,塔底的仰角45BDC ∠=,点D 距塔AB 的距离DC 为100米,求手机信号中转塔AB 的高度(结果保留根号).4。

如图10, 在东西方向的海岸线MN 上有A 、B 两艘船,均收到已触礁搁浅的船P 的求救信号,已知船P 在船A 的北偏东60°方向,船P 在船B 的北偏西45°方向,AP 的距离为30海里.(1) 求船P 到海岸线MN 的距离(精确到0。

1海里); (2) 若船A 、船B 分别以20海里/小时、15海里/小时的速度同时出发,匀速直线前往救援,试通过计算判断哪艘船先到达船P 处.5.(2013•绥化)如图,在△ABC 中,AD ⊥BC 于点D ,AB=8,∠ABD=30°,∠CAD=45°,求BC 的长.BACD60456 如图,在两建筑物之间有一旗杆,高15米,从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点,且俯角α为60º,又从A点测得D点的俯角β为30º,若旗杆底G为BC的中点,求矮建筑物的高CD.7 (2013鞍山)如图,某幼儿园为了加强安全管理,决定将园内的滑滑板的倾斜度由45°降为30°,已知原滑滑板AB的长为5米,点D、B、C 在同一水平地面上.求:改善后滑滑板会加长多少?(精确到0.01)(参考数据:=1.414,=1。

解三角形应用题

解三角形应用题

2021/3/10
讲解:XX
16
课堂互动讲练
【思路点拨】 本例考查正弦、 余弦定理的建模应用.如图所示,注 意到最快追上走私船且两船所用时间 相等,若在D处相遇,则可先在△ABC 中求出BC,再在△BCD中求∠BCD.
2021/3/10
讲解:XX
17
课堂互动讲练
【解】 设缉私船用 t h 在 D 处追上 走私船,
讲解:XX
20
规律方法总结
1.解三角形的一般步骤 (1)分析题意,准确理解题意. 分清已知与所求,尤其要理解应 用题中的有关名词、术语,如坡度、 仰角、俯角、方位角等. (2)根据题意画出示意图.
2021/3/10
讲解:XX
21
规律方法总结
(3)将需求解的问题归结到一个或 几个三角形中,通过合理运用正弦定 理、余弦定理等有关知识正确求 解.演算过程中,要算法简练,计算 正确,并作答.
18
课堂互动讲练

sin∠ABC=ABCC·sin∠BAC=
26·23=
2 2.
∴∠ABC=45°.∴BC 与正北方向垂直.
∵∠CBD=90°+30°=120°.
在△BCD 中,由正弦定理,得
sin∠BCD=BD·siCn∠D CBD=101ts0in132t 0°=12,
∴∠BCD=30°,
即缉私船沿东偏北 30°方向能最快追上走私船.
例例22一艘渔船在我海域遇一艘渔船在我海域遇险且最多只能坚持险且最多只能坚持45钟我海军舰艇在钟我海军舰艇在aa处获悉后立即测出该渔船在方后立即测出该渔船在方位角为位角为4545o距离为10的的cc处并测得渔船以处并测得渔船以99海里里时的速度正沿方位角为时的速度正沿方位角为105105oo的方向航行我海军的方向航行我海军舰艇立即以舰艇立即以2121海里度前去营救

中考数学总复习《解直角三角形的应用题》专题测试卷(附答案)

中考数学总复习《解直角三角形的应用题》专题测试卷(附答案)

中考数学总复习《解直角三角形的应用题》专题测试卷(附答案)1.如图,小明为了测量学校旗杆CD的高度,在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.5米的测角仪AB,测得旗杆顶端D的仰角为32°,求旗杆的高度CD.(结果精确到0.1米)【参考数据:sin32°=0.53,cos32°=0.85,tan32°=0.62】2.如图,在一次数学实践活动中,小明同学为了测量学校旗杆EF的高度,在观测点A处观测旗杆顶点E的仰角为45°,接着小明朝旗杆方向前进了7m到达C点,此时,在观测点D处观测旗杆顶点E的仰角为60°.假设小明的身高为1.68m,求旗杆EF的高度.(结果保留一位小数.参考数据:√2≈1.414,√3≈ 1.732)3.如图,在徐州云龙湖旅游景区,点A为“彭城风华”观演场地,点B为“水族展览馆”,点C为“徐州汉画像石艺术馆”.已知∠BAC=60°,∠BCA=45°,AC=1640m.求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB(精确到1m).(参考数据:√2≈1.41,√3≈1.73)4.大连作为沿海城市,我们常常可以在海边看到有人海钓.小华陪爷爷周末去东港海钓,爷爷将鱼竿AB摆成如图所示.已知AB=2.4m,在有鱼上钩时,鱼竿与地面的夹角∠BAD=45°.此时鱼线被拉直,鱼线BO= 3m.点O恰好位于海面,鱼线BO与海面OH的夹角∠BOH=60°.求海面OH与地面AD之间的距离DH的长.(结果保留一位小数,参考数据:√2=1.414,√3=1.73)5.让运动挥洒汗水,让青春闪耀光芒.重庆某中学倡议全校师生“每天运动一小时,快乐学习每一天”,响应学校号召,小明决定早睡早起,每天步行上学.如图,小明家在A处,学校在C处,从家到学校有两条线路,他可以从点A经过点B到点C,也可以从点A经过点D到点C.经测量,点B在点A的正北方向,AB=300米.点C在点B的北偏东45°;点D在点A的正东方向,点C在点D的北偏东30°方向CD=2900米.(1)求BC的长度(精确到个位);(2)小明每天步行上学都要从点A到点C,路线一;从点A经过点B到点C,路线二;从点A经过点D到点C,请计算说明他走哪一条路线较近?(参考数据:√2≈1.414,√3≈1.732,√6≈2.449)6.拉杆箱是外出旅行常用工具.某种拉杆箱示意图如图所示(滚轮忽略不计),箱体截面是矩形BCDE,BC 的长度为60cm,两节可调节的拉杆长度相等,且与BC在同一条直线上.如图1,当拉杆伸出一节(AB)时,AC与地面夹角∠ACG=53°;如图2,当拉杆伸出两节(AM、MB)时,AC与地面夹角∠ACG=37°,两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同.求每节拉杆的长度.(参考数据:sin53°≈45,sin37°≈35,tan53°≈4 3,tan37°≈34)7.某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间,小刚站在雕像前,自C处测得雕像顶A的仰角为53°,小强站凤栖堂门前的台阶上,自D处测得雕像顶A的仰角为45°,此时,两人的水平距离EC为0.45m,已知凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3.(参考数据:sin53°≈45,cos53°≈35,tan53°≈43)(1)计算台阶DE的高度;(2)求孔子雕像AB的高度.8.如图为某景区平面示意图,C为景区大门,A,B,D分别为三个风景点.经测量,A,B,C在同一直线上,且A,B在C的正北方向,AB=240米,点D在点B的南偏东75∘方向,在点A的东南方向.(参考数据:√2≈1.414,√3≈1.732)(1)求B,D两地的距离;(结果精确到0.1米)(2)大门C在风景点D的南偏西60∘方向,景区管理部门决定重新翻修CD之间的步道,求CD间的距离.9.小明和小玲游览一处景点,如图,两人同时从景区大门A出发,小明沿正东方向步行60米到一处小山B处,再沿着BC前往寺庙C处,在B处测得亭台D在北偏东15°方向上,而寺庙C在B的北偏东30°方向上,小玲沿着A的东北方向上步行一段时间到达亭台D处,再步行至正东方向的寺庙C处.(1)求小山B与亭台D之间的距离;(结果保留根号)(2)若两人步行速度一样,则谁先到达寺庙C处.(结果精确到个位,参考数据:√2≈1.41,√3≈1.73,√6≈2.45)10.研学实践:为重温解放军东渡黄河“红色记忆”,学校组织研学活动,同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地,在了解相关历史背景后,利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据.数据采集:如图,点A是纪念碑顶部一点,AB的长表示点A到水平地面的距离.航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升,飞行至距离地面20米的点C处时,测得点A的仰角∠ACD=18.4°;然后沿CN方向继续飞行,飞行方向与水平线的夹角∠NCD=37°,当到达点A正上方的点E处时,测得AE=9米数据应用:已知图中各点均在同一竖直平面内,E,A,B三点在同一直线上.请根据上述数据,计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长.(结果精确到1米.参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,sin18.4°≈0.32,cos18.4°≈0.95,tan18.4°≈0.33)11.【综合与实践】如图1,光线从空气射入水中会发生折射现象,其中α代表入射角,β代表折射角.学习小组查阅资料了解到,若n=sinαsinβ,则把n称为折射率.(参考数据:sin53°≈45,cos53°≈35,tan53°≈43)【实践操作】如图2,为了进一步研究光的折射现象,学习小组设计了如下实验:将激光笔固定在MN处,光线可沿PD照射到空容器底部B处,将水加至D处,且BF=12cm时,光点移动到C处,此时测得DF=16cm,BC=7cm四边形ABFE是矩形,GH是法线.【问题解决】(1)求入射角∠PDG的度数;(2)请求出光线从空气射入水中的折射率n.12.数学兴趣小组设计了一款含杯盖的奶茶纸杯(如图1),图2为该纸杯的透视效果图,在图3的设计草图中,由AF、线段EF和ED构成的图形为杯盖部分,其中AF、与ED均在以AD为直径的⊙O上,且AF= ED,G为EF的中点,点G是吸管插孔处(忽略插孔直径和吸管直径),由点A,B,C,D构成的图形(杯身部分)为等腰梯形,已知杯壁AB=13.6cm,杯底直径BC=5.8cm,杯壁与直线l的夹角为84°.(1)求杯口半径OD的长;(2)若杯盖顶FE=3.2cm,吸管BH=22cm,当吸管斜插,即吸管的一端与杯底点B重合时,求吸管漏出杯盖部分GH的长.(参考数据:sin84∘≈0.995,cos84∘≈0.105,tan84∘≈9.514,√15.93≈3.99,17.5222≈307.02,√315.43≈17.76,结果精确到0.1cm).13.为了保护小吉的视力,妈妈为他购买了可升降夹书阅读架(如图1),将其放置在水平桌面上的侧面示意图(如图2),测得底座高AB为2cm,∠ABC=150°,支架BC为18cm,面板长DE为24cm,CD为6cm.(厚度忽略不计)(1)求支点C离桌面l的高度:(计算结果保留根号)(2)小吉通过查阅资料,当面板DE绕点C转动时,面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时,能保护视力.当α从30°变化到70°的过程中,问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了?增加或减少了多少?(精确到0.1cm,参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75)14.如图,四边形ABCD是某公园的游览步道(步道可以骑行),把四个景点连接起来,为了方便,在景点C的正东方设置了休息区K,其中休息区K在景点A的南偏西30°方向800√2米处,景点A在景点B的北偏东75°方向,景点B和休息区K两地相距400√5米(∠ABK<90°),景点D分别在休息区K、景点A的正东方向和正南方向.(参考数据:√2≈1.41,√5≈2.24,√6≈2.45)(1)求步道AB的长度;(2)周末小明和小宏相约一起去公园游玩,他们在景点C一起向正东出发,不久到达休息区K,他们发现有两条路线到达景点A,于是小宏想比赛看谁先到达景点A.他们分别租了一辆共享单车,两人同时在K点出发,小明选择①K−B−A路线,速度为每分钟320米;小宏选择②K−D−A路线,速度为每分钟240米,其中两人在各个景点停留的时间不计.请你通过计算说明,小明和小宏谁先到达景点A呢?15.某公园里有一座凉亭,亭盖呈圆锥状,如图所示,凉亭的顶点为O,点O在圆锥底面、地面上的正投影分别为点O1,O2,点P为圆锥底面的圆上一点,数据显示,该圆锥的底面半径为2米(即O1P=2米),圆锥底面离地面的高度为3米(即O1O2=3米).(1)若OO1=2米,求圆锥的侧面积;(2)现计划对亭盖的外部进行喷漆作业,需测算亭盖的外部面积(即圆锥的侧面积).因凉亭内堆积建筑材料,导致无法直接测量OO2的高度,工人先在水平地面上选取观测点A,B(A,B,O2在同一直线上),利用测角仪分别测得点O的仰角为α,β,其中tanα=12,tanβ=25,再测得A,B两点间的距离为m米(即AB=MN=m米),已知测角仪的高为1米(即MA=NB=QO2=1米),求亭盖的外部面积(用含m的代数式表示).16.赤水河畔的“美酒河”三个大字,是世界上最大的摩崖石刻汉字.小茜想测量绝壁上“美”字AG的高度,根据平面镜反射原理可推出入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角(如图中∠DEC=∠AEB,∠DFC=∠GFB),具体操作如下:将平面镜水平放置于E处,小茜站在C处观测,俯角∠MDE=45°时,恰好通过平面镜看到“美”字顶端A处(CD为小茜眼睛到地面的高度),再将平面镜水平放置于F处观测,俯角∠MDF=36.9°时,恰好通过平面镜看到“美”字底端G处.测得BE=163.3m,CE=1.5m,点C,E,F,B在同一水平线上,点A,G,B在同一铅垂线上.(参考数据:sin36.9°≈0.60,cos36.9°≈0.80,tan36.9°≈0.75)(1)CD的高度为__________m,CF的长为__________m;(2)求“美”字AG的高度.17.风能是一种清洁无公害的可再生能源,利用风力发电非常环保.如图1所示,是一种风力发电装置;如图2为简化图,塔座OD建在山坡DF上(坡比i=3:4,DE垂直于水平地面EF,O,D,E三点共线),坡面DF长10m,三个相同长度的风轮叶片OA,OB,OC可绕点O转动,每两个叶片之间的夹角为120°;当叶片静止,OA与OD重合时,在坡底F处向前走25米至点M处,测得点O处的仰角为53°,又向前走23.5米至点N处,测得点A处的仰角为30°(点E,F,M,N在同一水平线上).(1)求叶片OA的长;(2)在图2状态下,当叶片绕点O顺时针转动90°时(如图3),求叶片OC顶端C离水平地面EF的距离.(参考数据:sin53°≈45,cos53°≈35,tan53°≈43,√3≈1.7,结果保留整数)18.贵州旅游资源丰富.某景区为给游客提供更好的游览体验,拟在如图①景区内修建观光索道.设计示意图如图②所示,以山脚A为起点,沿途修建AB,CD两段长度相等的观光索道,最终到达山顶D处,中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m.索道AB与AF的夹角为15°,CD与水平线的夹角为45°,A,B 两处的水平距离AE为576m,DF⊥AF,垂足为点F.(图中所有点都在同一平面内,点A,E,F在同一水平线上)(1)求索道AB的长(结果精确到1m);(2)求水平距离AF的长(结果精确到1m).(参考数据:sin15°≈0.26cos15°≈0.97tan15°≈0.27√2≈1.41)19.春天是踏青的好季节小明和小华决定去公园出游踏青.如图已知A为公园入口景点B位于A点东北方向400√2米处景点E位于A点南偏东30°方向景点B在景点E的正北方向景点C既位于景点B正东方向310米处又位于景点D的北偏西37.5°方向.景点F既位于景点E的正东方向又位于景点D的正南方向.DF=400米.(参考数据:√2≈1.41,√3≈1.73,sin37.5°≈35,cos37.5°≈45,tan37.5°≈34)(1)求BE的长;(精确到个位)(2)小明选择了游览路线①:A−B−C−D小明行驶的平均速度是72米/分小明在景点B、C处各停留了10分钟、5分钟.小华选择了游览路线②:A−E−F−D小华行驶的平均速度为96米/分.小华在景点E、F处各停留了9分钟、8分钟.请通过计算说明:小明和小华谁先到达景点D处.20.如图是一种家用健身卷腹机由圆弧形滑轨⌒AB可伸缩支撑杆AC和手柄AD构成.图①是其侧面简化示意图.滑轨⌒AB支撑杆AC与手柄AD在点A处连接其中D A B三点在一条直线上.(1)如图① 固定∠DAC=120°,若BC=30√6cm,AC=60cm,求∠ABC的度数;(2)如图② 固定∠DAC=100°若AC=50cm,∠ABC=30°时圆弧形滑轨AB所在的圆恰好与直线BC 相切于点B求滑轨⌒AB的长度.(结果精确到0.1 参考数据:π取3.14 sin70°≈0.940)参考答案:1.解:由题意得BE⊥CD于EBE=AC=22米∠DBE=32°在Rt△DBE中DE=BE⋅tan∠DBE=22×0.62≈13.64(米)CD=CE+DE=1.5+13.64≈15.14(米)答:旗杆的高CD约为15.14米.2.解:延长AD交EF于点G设EG=x∵AD∥BF,EF⊥BF∵AG⊥EF∵∠B=∠F=∠AGF=90°∵四边形ABFG是矩形∠AGE=90°∵∠EAG=45°∵∠AEG=90°−∠EAG=45°∵AG=EG=x∵AD=7∵DG=x−7∵∠EDG=60°=√3∵tan∠EDG=EGDG=√3∵xx−7∵x=7(3+√3)2∵EG=7(3+√3)2∵GF=AB=1.68∵EF=EG+GF=7(3+√3)2+1.68≈7(3+1.732)2+1.68 =16.562+1.68=18.242≈18.2.故旗杆EF的高度约18.2m.3.解:过B作BH⊥AC于H设AH=xm∵∠BAC=60°∵∠ABH=90°−60°=30°∵AB=2AH=2xm∵tanA=tan60°=BHAH=√3∵BH=√3xm∵∠BCA=45°∠BHC=90°∵△BHC是等腰直角三角形∵CH=BH=√3xm∵AH+CH=√3x+x=AC=1640≈600.7∵x=√3+1∵AB=2x≈1201(m).答:“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB约是1201m.4.解:过点B作BC⊥OH交OH于点C延长AD交BC于点E∵四边形DECH是矩形∵DH=CE.根据题意可知∠BAD=45°,∠BOH=60°在Rt△ABE中AB=2.4m∵sin∠BAE=BEAB即sin45°=BE2.4=1.2×1.41=1.692.解得BE=2.4×√22在Rt△BOC中BO=3m∵sin∠BOC=BCBO即sin60°=BC3=1.5×1.73=2.595解得BC=3×√32∵DH=CE=BC−BE=0.903≈0.9(m).所以海面OH与地面AD之间得距离DH的长0.9m.5.(1)解:过点C作CM⊥AD交AD的延长线于点M过点B作BN⊥AM交AM于点N过点D作DH⊥BN 交BN于点H.由题可知:∠CBN=45°∠A=90°∠CDM=60°.∵四边形ABNM、四边形ABHD、四边形DMNH都是矩形△BCN是等腰直角三角形.在Rt△CMD中∵∠CDM=60°CD=2900米∵DM=12DC=1450米CM=√3DM=1450√3米∵AB=MN=300米∵CN=CM−MN=(1450√3−300)米在Rt△CBN中∠CBN=45°∵CB=√2CN=(1450√6−300√2)米≈3127米答:BC的长度为3127米.(2)解:路线一:AB+BC=(300+1450√6−300√2)米≈3427米∵AM=BN=CN=(1450√3−300)米∵AD=AM−DM=(1450√3−1750)米∵路线二:AD+CD=(1450√3+1150)米≈3361米∵3427<3361∵路线二较近.6.解:如图1 作AF⊥CG垂足为F设AB=xcm则AC=60+x∵sin53°=AFAC =AF60+x∴AF=(60+x)⋅sin53°如图2 作AH⊥CG垂足为H则AC=60+2x∴AH=(60+2x)⋅sin37°∵AF=AH∴(60+x)⋅sin53°=(60+2x)⋅sin37°∴4(60+x)5=3(60+2x)5解得:x=30.答:每节拉杆的长度为30cm.7.(1)解:∵凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3EC为0.45m∵DE EC =13∴DE=EC3=0.15m即台阶DE的高度为0.15m;(2)解:如图所示设AB的对边为MN作DF⊥MN于F∵由题意得四边形NFDE是矩形∵FN=DE=0.15m DF=NE设MN=xm则MF=(x−0.15)m在Rt△MFD中∠MDF=45°∵FD=MF=(x−0.15)m∵NC=NE−EC=(x−0.15)−0.45=(x−0.6)m∵tan53°=MNNC ≈43即xx−0.6=43解得x=2.4经检验x=2.4是原方程的解答:孔子雕像AB的高度约2.4m.8.(1)解:过点B作BP⊥AD于点P由题意知∠BAD=45∘∠CBD=75∘∴∠ADB=30∘∠ABP=45∘=∠A∴BD=2BP AP=BP在Rt△ABP中AB=240米∴AP=BP=AB=120√2(米)sin45∘∴BD=2BP=240√2≈339.4(米).答:B、D两地的距离约为339.4米;(2)解:过点B作BM⊥CD于点M由(1)得BD=2BP=240√2(米)∵∠CDB=180∘−60∘−75∘=45∘∠CBD=75∘∠DCB=60∘∴∠DBM=45∘=∠CDB∴BM=DM在Rt△BDM中BD=240√2sin45∘=BMBD∴BM=DM=BD⋅sin45∘=240√2×√2=240(米)2在Rt△BCM中∠CBM=75∘−45∘=30∘∴CM=BM⋅tan30∘=80√3(米)∴DC=DM+CM=240+80√3(米).9.解:(1)作BE⊥AD于点E由题意知AB=60∠A=45°∠ABD=90°+15°=105°∠CBA=90°+30°=120°在Rt△ABE中在Rt△BDE中ED=√3BE=30√6BD=2BE=60√2∴小山B与亭台D之间的距离60√2米(2)延长AB作DF⊥BA于点F作CG⊥BA于点G则∠CBG=180°−∠CBA=60°由题意知CD∥AB∵四边形CDFG是矩形∵CG=DF,CD=FG.∵AE=30√2ED=30√6∴AD=30√2+30√6在Rt△AFD中DF=AF=√2=30+30√3CG=DF=30+30√3米在Rt△BCG中BG=√3=10√3+30∴CD=FG=AB+BG−AF=60−20√3∴S玲=AD+CD=30√2+30√6+60−20√3≈141.2米S明=AB+BC=60+60+20√3≈154.6米∵141.2<154.6且两人速度一致∴小玲先到.答:小玲先到达寺庙C处.10.解:如图:延长CD交AB于点H则四边形CMBH为矩形∴CM=HB=20在Rt△ACH中∠AHC=90°∠ACH=18.4°∴tan∠ACH=AH CH∴CH=AHtan∠ACH=AHtan18.4°≈AH0.33在Rt△ECH中∠EHC=90°∠ECH=37°∴tan∠ECH=EH CH∴CH=EHtan∠ECH=EHtan37°≈EH0.75设AH=x.∵AE=9∴EH=x+9∴x0.33=x+90.75解得x≈7.1∴AB=AH+HB≈7.1+20=27.1≈27(米).答:点A到地面的距离AB的长约为27米.11.(1)解:如图1 ∵GH∥FB∴∠DBF=∠PDG,∵BF=12cm,DF=16cm,∴tan∠DBF=DFBF=1612=43,∵tan53°≈4 3∴入射角∠PDG约为53°.(2)解:如图2 作DM⊥AB于点T在Rt△BDF中BF=12cm,DF=16cm∴BD=√DF2+BF2=20cm,在Rt△DTC中TC=DF−BC=16−7=9cm,DT=BF=12cm∴CD=√DT2+TC2=√122+92=15cm,∴光线从空气射入水中的折射率∴光线从空气射入水中的折射率n=43.12.(1)解:过点B作BP⊥AD于点D过点C作CQ⊥AD于点Q延长BC到点R ∵四边形BCQP是矩形∵BC=QP BP=CQ∵AB=13.6cm杯底直径BC=5.8cm杯壁与直线l的夹角为84°点A B C D构成的图形(杯身部分)为等腰梯形∵AD∥BC CD=AB=13.6cm QP=BC=5.8cm∵∠A=∠D=∠DCR=84°∵BP=CQ CD=AB∵Rt△ABP≌Rt△DCQ(HL)∵AP=DQ∵AP=DQ=CDcosD=13.6×0.105=1.428(cm)CQ=CDsinD=13.6×0.995=13.532(cm)∵AD=2AP+PQ=DQ=2×1.428+5.8=8.656(cm)AD=4.328≈4.3(cm)∵OD=12故杯口半径OD的长为4.3cm.(2)解:连接GO并延长交BC于点N∵G为EF的中点EF=1.6(cm)∵GO⊥EF,EG=FG=12连接FD∵ AF=ED,∵∠EFD=∠ADF,∵AD∥EF∵GO⊥AD∵ AD∥BC∵GO⊥BC∵NO=13.532(cm)∵GO=√(4.3)2−(1.6)2≈4.0(cm)∵GN≈17.532(cm)∵GB=√(17.532)2+(2.9)2≈17.77(cm)∵GH=BH−GB=22−17.77≈4.2(cm)13.(1)解:过点C作CF⊥l于点F过点B作BM⊥CF于点M∴∠CFA=∠BMC=∠BMF=90°.由题意得:∠BAF=90°∴四边形ABMF为矩形∴MF=AB=2cm∠ABM=90°.∵∠ABC=150°∴∠MBC=60°.∵BC=18cm∴CM=BC⋅sin60°=18×√32=9√3(cm).∴CF=CM+MF=(9√3+2)cm.答:支点C离桌面l的高度为(9√3+2)cm;(2)解:过点C作CN∥l过点E作EH⊥CN于点H∴∠EHC=90°.∵DE=24cm CD=6cm∴CE=18cm.当∠ECH=30°时EH=CE⋅sin30°=18×12=9(cm);当∠ECH=70°时EH=CE⋅sin70°≈18×0.94=16.92(cm);∴16.92−9=7.92≈7.9(cm)∴当α从30°变化到70°的过程中面板上端E离桌面l的高度是增加了增加了约7.9cm.14.(1)解:由题意得∠DAK=30°∠BAD=75°∠D=90°AK=800√2米BK=400√5米∵∠BAK=∠BAD−∠DAK=75°−30°=45°过点K作KH⊥AB于H则∠AHK=∠BHK=90°∵△AHK为等腰直角三角形∵AH=KH=√22AK=√22×800√2=800米∵BH=√BK2−KH2=√(400√5)2−8002=400米∵AB=AH+BH=800+400=1200米;(2)解:∵AK=800√2∠DAK=30°∠D=90°∵DK=12AK=400√2米AD=AK·cos30°=800√2×√32=400√6米∵路线②K−D−A的路程为KD+AD=400√2+400√6≈1544米∵小宏到达景点A的时间为1544÷240≈6.43分钟∵路线①K−B−A的路程为KB+BA=400√5+1200≈2096米∵小明到达景点A的时间为2096÷320≈6.55分钟∵6.43<6.55∵小宏先到达景点A.15.(1)解:由题意得:∠OO1P=90°.∵OO1=2米O1P=2米∴OP=2√2(米).∴圆锥的侧面积=π×2√2×2=4√2π(米2).答:圆锥的侧面积为4√2π平方米;(2)解:由题意得:∠OQM=90°.设OQ长x米.∵tanα=1 2∴MQ=2x米.∵MN=m米∴NQ=(m+2x)米.∵tanβ=2 5∴xm+2x =25.解得:x=2m.∵O1O2=3米QO2=1米∴OO1=2m+1−3=(2m−2)米.∵O1P=2米∠OO1P=90°.∴OP=√22+(2m−2)2=√4m2−8m+8=2√m2−2m+2(米).∴圆锥的侧面积=π×2√m2−2m+2×2=4π√m2−2m+2(米2).答:亭盖的外部面积为4π√m2−2m+2平方米.16.(1)解:∵∠MDE=45°∴∠DEC=45°∵DC⊥BC∴△DCE是等腰直角三角形∴DC=CE=1.5m 在Rt△DCF中∠DFC=36.9°DC=1.5m∴DF=DCsin36.9°=1.50.60=2.5(m)∴CF=√DF2−DC2=√2⋅52−1⋅52=2(m);故答案为:1.52;(2)∵∠DEC=45°∴∠AEB=45°∴∠BAE=45°∴AB=BE=163.3m由题意可知∠MDF=36.9°∴∠GFB=∠DFC=∠MDF=36.9°∵EF=CF−CE=2−1.5=0.5(m)∴BF=163.3−0.5=162.8(m)在Rt△BFG中BG=tan∠GFB⋅BF≈0.75×162.8=122.1(m)∴AG=163.3−122.1=41.2(m)即“美”字的高度AG约为41.2m.17.(1)解:∵DE垂直于水平地面EF∵∠E=90°∵坡比i=3:4∵DE EF =34设DE=3xm则EF=4xm ∵坡面DF长10m∵(3x)2+(4x)2=102解得:x=2(负值舍去)∵DE=6m EF=8m∵MF=25m∵ME=MF+EF=33m由题意得:∠OME=53°=44m∵OE=ME⋅tan53°≈33×43∵MN=23.5m∵NE=ME+MN=56.5m.由题意得:∠N=30°≈32m∵AE=NE⋅tan30°=56.5×√33∵OA=OE−AE=44−32=12m.(2)如图过点C作CH⊥OE于点M CG⊥NE于G∵∠CHE=∠HEG=∠CGE=∠CHO=90°∵四边形HEGC是矩形∵EH=CG∵叶片绕点O顺时针转动90°∵∠AOE=90°∵∠AOC=120°∵∠COH=30°由题意得:OC=OA=12m=6√3m∵OH=OCcos∠COH=12×√32∵CG=HE=OE−OH=44−6√3≈34m.∵叶片OC顶端C离水平地面EF的距离为34m.18.(1)解:在Rt△ABE中∠AEB=90°∠A=15°AE=576m∴AB=AEcosA =576cos15°≈594(m).答:索道AB的长约为594m.(2)延长BC交DF于点G∵BC∥AF DF⊥AF∴DG⊥CG.∵四边形BEFG为矩形.∴EF=BG.∵CD=AB≈594m∠DCG=45°∴CG=CD·cos∠DCG≈594×cos45°=297√2(m).∴AF=AE+EF=AE+BG=AE+BC+CG≈576+50+297√2≈1045(m).答:水平距离AF的长约为1045m19.(1)解:如图所示过点A作AH⊥BE于点H∵∠BAH=45°,AB=400√2米∴AH=BH=√22AB=400米∵∠AEB=30°∴HE=√3AH=400√3米AE=2AH=800米∴BE=400+400√3≈1092(米).∴BE长约1092米.(2)解:小华先到达景点D处理由如下:如图过点C作CN⊥EF于点N过点D作DM⊥BE于点M交CN于点G则四边形BCNE和四边形DFNG都是矩形∴BC=EN BE=CN=(400+400√3)米GN=DF=400米DG=NF∴CG=CN−GN=400√3米∵景点C既位于景点B正东方向310米处又位于景点D的北偏西37.5°方向.∴BC=310(米)∠DCN=37.5°在Rt△CGD中cos∠DCN=CGCD tan∠DCN=DGCG∴CD=CGcos37.5°=400√345≈865(米)DG=CG⋅tan37.5°=400√3×34≈519(米)∴EF=EN+NF=BC+DG≈829(米)∵小明选择了游览路线①:A−B−C−D小明行驶的平均速度是72米/秒.小明在景点B、C处各停留了10分钟、5分钟∴小明的游览时间为400√2+310+86572+10+5≈39(分钟)在Rt△AEH中AH=400米∠EAH=60°∴AE=AHcos60°=40012=800(米)∵小华选择了游览路线②:A−E−F−D小华行驶的平均速度为96米/秒.小华在景点E、F处各停留了9分钟、8分钟∴小华的游览时间为800+829+40096+9+8≈38(分钟)∴小华的游览时间更短先到达景点D处.20.(1)解:如图过点C作CE⊥AB垂足为E∵∠DAC=120°∴∠EAC=180°−∠DAC=60°在Rt△AEC中AC=60cm∴CE=AC⋅sin60°=60×√32=30√3(cm)在Rt△BEC中BC=30√6cm∴sin∠EBC=ECBC=√330√6=√22∴∠ABC=45°∴∠ABC的度数约为45°;(2)解:如图过点A作AF⊥BC垂足为F∵圆弧形滑轨⌒AB所在的圆恰好与直线BC相切于点B ∴过点B作HB⊥BC作AB的垂直平分线MG交HB于点O连接OA∴OB=OA∴圆弧形滑轨⌒AB所在的圆的圆心为O∵∠DAC=100°∠ABC=30°∴∠ACF=∠DAC−∠ABC=100°−30=70°在Rt△AFC中AC=50cm∴AF=AC⋅sin70°≈50×0.940=47(cm)在Rt△AFB中∠ABC=30°∴AB=2AF=2×47=94(cm)∵OB⊥BC∴∠OBC=90°∴∠OBA=∠OBC−∠ABC=60°∴△OBA为等边三角形∴OB=AB=94cm∠BOA=60°∴滑轨⌒AB的长度=60π×94180≈98.4(cm)∴滑轨AB⌒AB的长度约为98.4cm.。

中考专题训练(解直角三角形应用题)—解析版

中考专题训练(解直角三角形应用题)—解析版

答:这两座建筑物顶端 C 、 D 间的距离为 20 39m .
【解答】解:过点 C 作 CD ⊥ AB 于点 D ,由题意得: BCD = 30 ,设 BC = x ,则:
在 RtBCD 中, BD = BC sin 30 = 1 x , CD = BC cos 30 = 3 x ;
2
2
AD = 30 + 1 x , 2
则 AD = AE + EB = 20 3 + 20 = 20( 3 + 1)(m) ,
在 RtADC 中, A = 30 , DC = AD = (10 + 10 3)m .
2 答:塔高 CD 为 (10 + 10 3)m .
测得屋檐 E 点的仰角为 60 ,房屋的顶层横梁 EF = 12m , EF / /CB , AB 交 EF 于点 G (点 C , D , B 在同一
∴tan30°= x , x+6
解得 x≈8.22, 根据题意可知: DM=MH=MN+NH, ∵ MN=AC=10, 则 DM=10+8.22=18.22, ∴ CD=DM+MC=DM+EF=18.22+1.6=19.82≈19.8(m). 答:建筑物 CD 的高度约为 19.8m.
9.(2020·四川眉山)某数学兴趣小组去测量一座小山的高度,在小山顶上有一高度为 20 米的发射塔 AB ,如 图所示,在山脚平地上的 D 处测得塔底 B 的仰角为 30 ,向小山前进 80 米到达点 E 处,测得塔顶 A 的仰角为 60 ,求小山 BC 的高度.
AD2 + CD2 = AC 2 ,即: (30 + 1 x)2 + ( 3 x)2 = 702 ,

解直角三角形典型例题

解直角三角形典型例题

解直角三角形典型例题知识点1、直角三角形边、角之间的关系: sinA=cosB=c a sinB=cosA=c b tanA=cotB=b a cotA=tanB=ab【典型题例】1.在RtΔABC 中,∠C=900,则下列等式中不正确的是( ) (A )a=csinA ;(B )a=bcotB ;(C )b=csinB ;(D )Bbc cos =. 2.某人沿倾斜角为β的斜坡走了100米,则他上升的高度是 米.3.如图,ABCD 为正方形,E 为BC 上一点,将正方形折叠,使A 点与E 点重合,折痕为MN ,若 .(1)求△ANE 的面积;(2)求sin ∠ENB 的值.知识点2、方位角问题:【典型题例】某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l (如图)救生员甲在A 处的瞭望台上观察海面情况,发现其正北方向的B 处有人发出求救信号.他立即沿AB 方向径直前往救援,同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙.乙马上从C 处入海,径直向B 处游去.甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D 处,再向B 处游去.若CD=40米,B 在C 的北偏东35方向,甲、乙的游泳速度都是2米/秒.问谁先到达B 处?请说明理由.(参考数据:sin550.82cos550.57tan55 1.43≈≈≈,,)知识点3、仰角和俯角问题:【典型题例】1.为测楼房BC 的高,在距楼房30米的A 处,测得楼顶B 的仰角为α,则楼房BC 的高为( ) (A )30tan α米;(B )30tan α米; (C )30sin α米; (D )30sin α米2.随着科学技术的不断进步,我国海上能源开发和利用已达到国际领先水平.下图为我国在南海海域自主研制的海上能源开发的机器装置AB ,一直升飞机在离海平面l 距离为150米的空中点P 处,看到该机器顶部点A 处的俯角为38°,看到露出海平面的机器部分点B 处的俯角为65°,求这个机器装置露出海平面部分AB 的高度?(结果精确到0.1,参考数据:sin 65=0.9063,sin 38=0.6157,tan 38=0.7813,tan 65=2.1445.)知识点4、坡度和坡角问题:【典型题例】如图,某水库大坝的横断面是等腰梯形,坝顶宽6米,坝高10米,斜坡AB 的坡度为1:2.现要加高2米,在坝顶宽度和斜坡坡度均不变的情况下,加固一条长50米的大坝,需要多少土方?知识点5、综合应用问题:【典型题例】为倡导“低碳生活”,常选择以自行车作为代步工具,如图1所示是一辆自行车的实物图.车架档AC 与CD 的长分别为45㎝,60㎝,且它们互相垂直,座杆CE 的长为20 cm ,点A ,C ,E 在同一条直线上,且∠CAB =75°,如图.(1)求车架档AD 的长;(2)求车座点E 到车架档AB 的距离. (结果精确到1 cm .参考数据: sin75°=0.966, cos75°=0.259,tan75°=3.732)αCBAabc解直角三角形典型例题作业一、选择题1.已知在Rt ABC △中,9012C BC AC ∠=︒==,,,则tan A 的值为( ) A .2 B.122.如图,在Rt△ABC 中,CD 是斜边AB 上的中线,已知CD=5,AC=6,则tan B 的值是( )A. 45B. 35C. 34D. 433.如图,O 为原点,点A 的坐标为(30),,点B 的坐标为(04),,D ⊙过A B O 、、三点,点C 为弧ABO 上一点(不与O A 、两点重合),则cos C 的值为( )A .34B .35C .43D .454.如图,直径为10的⊙A 经过点C (0,5)和点O (0,0),B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点,则cos∠OBC的值为( )A .12 BC .35D .455.如图,已知△ABC 中,∠C = 90︒,tan A =21,D 是AC 上一点,∠CBD =∠A ,则sin∠ABD =( ). A .53 B .510 C .103D .101033题图 4题图6.如图,在Rt ABO △中,斜边1AB =,若OC BA ∥,36AOC =∠,则( )(A )点B 到AO 的距离为sin 54 (B )点B 到AO 的距离为sin 36(C )点A 到OC 的距离为sin36sin54 (D )点A 到OC 的距离为cos35sin 54 二、填空题 7. 如图,在山坡AB 上种树,已知∠C =90°,∠A =30°,AC =6米,则相邻两树的坡面距离AB = 米.7题图 8题图 9题图 10题图8.如图,在平行四边形ABCD 中,AE ⊥BC 于E ,AF ⊥CD 于F ,若AE =4AF =6,sin∠BAE =35,则CF = .9.如图,为了测量电线杆AB 的高度,小明将测角仪放在与电线杆的水平距离为9m 的D 处.若测角仪CD 的高度为1.5m ,在C 处测得电线杆顶端A 的仰角为36°,则电线杆AB 的高度约为______m (精确到0.1m ).(参考数据:sin360.59cos360.81tan360.73≈,≈,≈) 10. 如图,将矩形ABCD 沿CE 折叠,点B 恰好落在边AD 的F 处.如果23AB BC =,那么tan DCF ∠的值是 .11. 如图,某公园入口处原有三级台阶,每级台阶高为18cm ,深为30cm ,为方便残疾人士,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起点为A ,斜坡的起始点为C ,现设计斜坡BC 的坡度1:5i =,则AC 的长度是 cm . 三、应用题 12. (2011 山东省青岛市) 某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾斜角由原来的40º减至35º.已知原楼梯AB 长为5m ,调整后的楼梯所占地面CD (参考数据:sin40º≈0.64,cos40º≈0.77,sin35º≈0.57,13. 如图,在ABC △中,90A ∠=°,O 是BC 边上一点,以O 为圆心的半圆分别与AB AC 、边相切于D E 、两点,连接OD .已知23BD AD ==,. 求:(1)tan C ;(2)图中两部分阴影面积的和.14.如图所示,小明在自家楼顶上的点A 处测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高度,测得电梯楼顶部B 处的仰角为45°,底部C 处的俯角为26°,已知小明家楼房的高度15AD =米,求电梯楼的高度BC (结果精确到0.1米).(参考数据:sin 260.44cos 260.90tan 260.49.°≈,°≈,°≈)C DBA2题图 5题图 6题图B C AC选做题15. 如图所示,A B ,两地之间有条河,原来从A 地到B 地需要经过桥DC ,沿折线A D C B →→→到达.现在新建了桥EF ,可直接沿直线AB 从A 地到达B 地.已知11k m BC =,45A ∠=,37B ∠=,桥DC 和AB 平行,则现在从A 地到B 地可比原来少走多少路程?(结果精确到0.1km1.41,sin 370.60≈,cos370.80≈)16.(2012 湖北省黄石市) 如图所示(左图为实景侧视图,右图为安装示意图),在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器:先安装支架AB 和CD (均与水平面垂直),再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高,公司规定:AD 与水平面夹角为1θ,且在水平线上的射影AF 为1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ,并已知1tan 1.082θ=,2tan 0.412θ=.如果安装工人确定支架AB 高为25cm ,求支架CD 的高(结果精确到1cm )?A BCDA BD EC F1θ 2θ图(9)。

解三角形应用题(3)含答案

解三角形应用题(3)含答案

解三角形应用题(3)1.市政府为改善我市的交通状况,促进经济发展,在“温泉——崇阳”路段间修建了“翠竹岭”隧道。

如图,隧道BC 沿直线ABC 打通,测得∠ABD=167.2°,BD=600m, ∠D=77.2°。

已知汽车走隧道的耗油量为0.2升/km ,走原山坡公路的耗油量为0.6升/km 。

隧道长与山坡公路长的比为1:10,那么汽车每通过“翠竹岭”一次,走隧道比走山坡公路节省油料多少升(精确到0.1升)?(参考数据:sin12.8°=0.2215,sin77.2°=0.9750,cos12.8°=0.9750,cos77.2°=0.2215)2.如图8,小唐同学正在操场上放风筝,风筝从A 处起飞,几分钟后便飞达C 处,此时,在AQ 延长线上B 处的小宋同学,发现自己的位置与风筝和旗杆PQ 的顶点P 在同一直线上. (1)已知旗杆高为10米,若在B 处测得旗杆顶点P 的仰角为30°,A 处测得点P 的仰角为45°,试求A 、B 之间的距离;(2)此时,在A 处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°,若绳子在空中视为一条线段,求绳子AC 约为多少?(结果可保留根号)3.某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园,如图,∠ACB=900,AC=80米,BC=60米。

(1)若入口E 在边AB 上,且与A 、B 等距离,求从入口E 到出口C 的最短路线的长,(2)若线段CD 是一条水渠,且D 点在边AB 上,已知水渠的造价为10元/米,则D 点在距A 点多远处时,此水渠的造价最低?最低造价是多少?A图8CBA(第3题4.如图所示,A 、B 两地之间有一条河,原来从A 地到B 地需要经过DC ,沿折线A →D →C →B 到达,现在新建了桥EF ,可直接沿直线AB 从A 地到达B 地.已知BC =11km ,∠A =45°,∠B =37°.桥DC 和AB 平行,则现在从A 地到达B 地可比原来少走多少路程?(结果精确到0.1km .参考数据: 1.412≈,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80)5.某校九年级(2)班在测量校内旗杆高度的数学活动中,第一组的同学设计了两种测量方案,并根据测量结果填写了如下《数学活动报告》中的一部分.数学活动报告 活动小组:第一组 活动地点:学校操场 活动时间:××××年××月××日年上午9:00 活动小组组长:×××皮尺、测角仪皮尺、测角仪(1)请你在方案一二中任选一种方案....(多选不加分),根据方案提供的示意图及相关数据填写表中的计算过程、测量结果.(2)请你根据所学的知识,再设计一种不同于方案一、二的测量方案三,并完成表格中方案三的所有栏目的填写.(要求:在示意图中标出所需的测量数据?长度用字母a b c ,,……表示,角度用字母αβγ,,……表示).BA C DMNαβDA αMCNGB β6.图,A市气象站测得台风中心在市正东方向320千米处,正以每小时25千米的速度向西北的OP 方向移动已知台风中心240千米处的范围内是受台风影响的区域,问A市是否受到这次台风的影响?如受影响,那么遭受台风影响的时间有多长?如不受影响,说明理由.7.象台发布的卫星云图显示,代号为W的台风在某海岛(设为点O)的南偏东45方向的B点生成,测得OB .台风中心从点B以40km/h的速度向正北方向移动,经5h后到达海面上的点C处.因受气旋影响,台风中心从点C开始以30km/h的速度向北偏西60方向继续移动.以O为原点建立如图12所示的直角坐标系.(1)台风中心生成点B的坐标为,台风中心转折点C的坐标为;(结果保留根号)(2)已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭.如果某城市(设为点A)位于点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上,那么台风从生成到最初..侵袭该城要经过多长时间?C6045解三角形应用题(2)答案:1.v=23.09﹥222.AB=(1500 3 +1500)米3.AB=5 3 +2﹤12 ∴不需要4.BC=100 AC=100 35.最大高度为35.5+21=56.5米最远距离为18 3 ≈31.2米6.⑴BD=160﹤200 ∴会受到⑵AE=160 3 -120∴t=(160 3 -120)÷40≈3.8小时。

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本文首先梳理了三角形应用题的基础知识,如仰角、俯角、方位角和坡比等关键概念。随后,详细阐述了解斜三角形在实际应用中的广泛性和重要性,特别是在测量、航海、几何和物理等领域。解题的一般步骤包括准确理解题意、画出示意图、将问题归结到三角形中并运用正弦定理、余弦定理等知识进行求解,最后检验答案的实际意义。通过具体例题,如测量两点间距离、测量高度和测量角度等,展示了如何运用这些知识和步骤解决实际问题。例如,在测量高度问题中,通过观测点的仰角和俯角数据,利用三角函数计算出物体的高度。在测量角度问题中,通过解三角形求出相关角度。这些例题不仅
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