基于数学模型的网络优化方法研究

基于数学模型的网络优化方法研究

赵鹏 通信一团技术室

摘 要 为了提高网络链路的利用率，解决网络传输中的最大流问题，该文利用建立数学模

型的方法来求解网络的传输路径，研究了基于路径的网络优化方法。该方法能够极大地提高网络的链路利用率，从而降低网络的拥塞，使得网络的性能得到较大改善。

关键词 网络优化 最大流 数学模型

1 引言

随着网络技术的进步和人们对多媒体综合业务需求，传统的数据网络逐渐转向多媒体网络，在这过程中，除了相关服务以外，我们还面临许多极具战性的网络设计和优化问题。网络优化的目标是提高或保持网络质量，而网络质量是各种因素相互作用的结果，随着网络优化工作的深入开展和优化技术的提高，优化的范围也在不断扩大。

在计算机网络优化设计中，各条链路的容量分配和各节点间的路由选择是两个重要问题。在给定网络拓扑结构和各节点间传输流量的条件下，如何确定各条链路的容量大小和选择各节点间的最佳路由，使整个网络成本费用最低并能满足规定的性能指标呢？

许多网络优化的文献，研究针对CDMA 网络、GPRS 网络、GSM 网络、PHS 网络等具体网络在投入运行后，对网络进行参数采集、数据分析，找出影响网络质量的原因，通过技术手段或参数调整使网络达到最佳运行状态，涉及到交换网络技术、无线参数、小区参数配置、信令和设备技术等方面。

本文针对目前许多网络传输链路和网络设备没有得到充分利用，从而影响网络性能的问题，利用网络优化方法从理论上进行分析，研究了用于提高网络链路利用率的基于路径的网络优化方法，该方法能够充分地利用网络链路进行流量传输，从而改善网络的整体性能。

2 网络优化理论

很多情况下可以将网络优化问题转化成数学问题进行研究和分析。从根本上讲，优化问题包含三个基本要素：

决策变量集合或向量：n

R x ∈（本文，x 代表在一条或多条路径上的流量） 目标函数R R x f n

→:)(

一组约束条件g(x)和h(x)，用来定义x 的范围。

解决优化问题实际上就是找出一个点x*，使得f(x)最大化或最小化。

典型的网络优化问题包含找出一组路由和该路由上的流量值以便达到最大或最小化目标函数的目的。目标函数可以代表最大链路利用率、平均延迟或其他指标。

基于路径的问题首先要计算出网络流可能流经的路径，要最大限度的利用网络链路，同时路径上的流量不能超过链路容量。

对于基于路径的网络优化问题可以简单表示成： max f(x)

s.t.

∑∈=P

p p

b x

A j i u x

P

j i ij p

∈∀≤∑∈),( ),(

0≥x

x p 为路径p 上的数据流，b 为要传输的流量，u ij 为弧（i,j ）上的容量，A 代表网络中弧的集合，P 为源点——目的点之间路径的集合。

3 基于数学模型的网络优化方法

3.1 最大流问题的研究

在现实网络中，如图1所示的网络结构是很常见的。当从源点向目的点传输流量时，如何充分利用整个网络资源，达到要求的服务质量是我们要考虑的事情。传统的IP 网络是通过路由算法找到一条按某种算法达到的最优路径，如，RIP ，OSPF 等。

图1 进行研究的网络拓扑结构

图中每条弧上的数字代表了相应链路的可用链路容量，单位为Mbps 。从路由器1到路由器有多条路径：

path1：1→2→3→6；path2：1→2→5→6；path3：1→4→5→6； path4：1→4→3→6；path5：1→2→3→5→6；⋅⋅⋅⋅⋅⋅

我们要研究的是在多条路径的条件下，通过分析选取合适路径，使得所有源点与目的点之间的流量达到最大。

首先，建立网络的数学模型。令g(V ，A)代表网络，V 代表网络中的节点集合，A 代表链路集合，s k 代表第k 条路径的源点，t k 代表第k 条路径的目的点，f k 代表第k 条路径的传输流量，K 为所有路径的编号集合，x ij 为弧（i ，j ）上的流量，u ij 为弧（i ，j ）的容量上界。

运用关联矩阵b Nx =进行分析，其中，向量b k = {b i k }，⎪⎩

⎪⎨⎧==+=其他如果果 0t i -s i 如 k k k k k

i f f b

那么，对于我们要研究的最大流问题可以用数学模型描述为：

∑∈K k k f max （1）

s.t. K k b Nx k

k

∈∀= （2）

∑∈∈∀≤K

k ij k ij

A j i u x

),( （3）

A j i K k x k ij ∈∀∈∀≥),( , 0 （4）

该情况下的最大流问题一般来讲是一种大规模线性规划问题，可以直接采用线性规划、整

数规划等方法求解。

图1中假定网络有两个源点和目的点，第一条源点——目的点从路由器1到路由器6，第二条源点——目的点从路由器2到路由器5。

网络的关联矩阵为： N= ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------1001000000110011000001100010100011100100000001110100

00000011

相应的两个源点和目的点的b 为

T f f b ]- 0 0 0 0 [111=，T f f b ]0 - 0 0 0[222=，其中，T 表示转置，0,21≥f f 。

求解公式（1）、（2）、（3）、（4）所确定的线性规划。则Nx = b 可表示为：

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢

⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------i

i i i i

i i i

i i i i

f f x x x x x x x x x x 0000100100000011001100000110001010001110010000000111010000000011

56454336352524231412 其中，i=1，2。对于第一条源点——目的点的1ij x 记为x ij ，将第二条源点——目的点的2

ij x 记为y ij 。经过简化，得到下面的线性规划：

)max (21f f +

s.t. x 12+x 14=f 1；

x 23+x 24+x 25-x 12=0；

1 2 3 4 5 6 x 12 x 14 x 23 x 24 x 25 x 35 x 36 x 43 x 45 x 56