动点问题(讲义)
数学动点问题(讲义)含练习试题
P
（ 1 ） D， F 两点间的距离是 ，
（2）射线 QK 能否把四边形 CDEF 分成面积相等的两部分？ Q
出相应的 t 值；若不能，说明理由．
．C 若能，求
（ 3）当点 P 运动到折线 EF- FC 上，且点 P 又恰好落在射线 运 QK 上时，求 t 的值． A E B 动（ 4）连接 PG，当 PG∥AB 时，请直接写出 t 的值．
动
在 （
M A
D 不
与
边
A ND G A D G
上 A
时 ，
（ G
N
BC BC
B
A D GA D G
C B
C
3. 如图 1，正方形 ABCD 中，点A，B 的坐标分别为 (0，10) ，(8，
4) ，点 C 在第一象限．动点 P 在正方形 ABCD 的边上，从点
A 出发沿 A→ B→ C→D 匀速运动，同 时动点 Q 以相同的速度在 x 轴正半轴上运动，当点 P 到达点 D 时， 两点同时停止运动，设运动的时间为 t 秒． （1）当点 P 在AB 边上运动时，点 Q 的横坐标 x（长度单位） 关于运动 时间 t （秒）的函数图象如图 2 所示，请求出点 Q 开始运动时的坐标 及点 P 的运动速度． （ 2）求正方形 ABCD 的边长及顶点 C 的坐标． （ 3）在（1 ）中当 t 为何值时， △OPQ 的面积最大？求出此时 点 P 的 坐标． （ 4）如果点 P，Q 保持原速度不变， 当点 P 沿A→ B→ C→D 匀速运动 时， OP 与 PQ 能否相等？若能，请求出所有符合条件 的 t 值；若不能 ，请说明理由．
①根据起点、终点，确定运动路径； ② 速③状态转折点，确定分段，常见状态转折点为拐点； 度④所求目标——明确思考方向．
等腰三角形中的动点问题讲义
等腰三角形性质及分类讨论（讲义）一、知识点睛1. 在等腰三角形中，顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（也称“三线合一”），这是等腰三角形的重要性质．，这是等腰三角形的重要性质． 2. 在一个三角形中，当中线，高线，角平分线“三线”中有“两线”重合时，尝试构造等腰三角形．尝试构造等腰三角形． 3. 分类讨论的类型：分类讨论的类型：①定义法则．①定义法则．如绝对值，平方，完全平方式等．如绝对值，平方，完全平方式等． ②关键词不明确．②关键词不明确．如等腰三角形的角（底角与顶角），边（底边与腰）等．，边（底边与腰）等． ③位置不确定．③位置不确定．如线段端点的位置，角的位置，高等．如线段端点的位置，角的位置，高等． ④对应关系不确定．④对应关系不确定．如两部分的差，全等三角形对应关系等．如两部分的差，全等三角形对应关系等． 4. 分类讨论题目解题要点：分类讨论题目解题要点：①辨识类型；①辨识类型；②画出各种类型的图形并求解；②画出各种类型的图形并求解； ③根据标准进行取舍．③根据标准进行取舍．标准包括限制条件，实际意义等．标准包括限制条件，实际意义等．二、精讲精练1. 已知：如图，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，CD ，BE 交于点O ．求证：AB =AC ．AO EC DB2. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =90º，AB =AC ，BD 平分平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，若CE =5cm ，求BD 的长．的长．AB ECD3. 如图，在△ABC中，延长BC到D，使CD=AC，连接AD，CF平分∠ACB，交AB于F，AF=BF．求证：BC=CD ．FDCBA4. 如图，在△ABC中，点E在AB上，AE=AC，连接CE，点G为EC的中点，连接AG并延长交BC于D，连接ED，过点E作EF∥BC交AC于点F ．求证：EC平分∠DEF ．GEB F CDA5. （1）若4x2-(m-1)xy+9y2是完全平方式，则m=_________．（2）若x2-4xy+ny2是完全平方式，则n=_________．（3）若9x2-12xy+(m+1)2y2是完全平方式，则m=_________．6. 等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，则顶角的度数为______________．7. 已知一等腰三角形的三边分别是3x-1，x+1，5，则x=________．8. 在直线l上任取一点A，截取AB=2cm，再截取AC=3cm，则线段BC的长为______________．9. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为__________．10. 若等腰三角形的底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分成的两部分之差为3cm，则腰长为__________．11. 已知等腰三角形的周长为20cm，两边的差为2cm，则底边长为__________．12. 已知：如图，线段AB 的端点A 在直线l 上，AB 与l 的夹角为30º，请在直线l 上另找一点C ，使△ABC 是等腰三角形．这样的点能找几个？求出每个等腰三角形顶角的度数．等腰三角形顶角的度数．30°lA B13. 如图，在Rt △ABC 中，中，∠∠ACB =90°，∠ABC =60°，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△PAB 为等腰三角形，找出所有符合条件的点P ．A B C三、回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】1. 证明略（提示：连接BC ，证明AC =BC ，AB =BC ）2. 10cm （提示：延长CE 交BA 的延长线于点F ，证明BD =2CE ）3. 证明略（提示：延长CF 到E ，使CF =EF ，连接BE ，证明，证明△AFC ≌△BEF ，再证明BE =BC ） 4. 证明略（提示：利用等腰三角形“三线合一”，证明证明略（提示：利用等腰三角形“三线合一”，证明AD ⊥EC ，再证明ED =CD ，利用平行导角），利用平行导角） 5. （1）-11，13（2）4 （3）1，-36. 120°或20°7. 28. 1cm 或5cm9. 65°或115° 10. 8cm 11. 8cm 或163cm12. 作图略作图略 13. 作图略作图略等腰三角形性质及分类讨论（随堂测试）1. 若x 2-(a+1)xy +4y 2是完全平方式，则a =_________．2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形顶角的度数为______________． 3. 如图，在△ABC 中，D ，E 为BC 上的点，AC =CD ，CF ⊥AD交AD 于G ，交AB 于F ，AD 平分∠BAE ．求证：DF ∥AE ．【参考答案】1．3或-5 2．50°或130°3．证明略；（利用等腰三角形“三线合一”得到AG =DG ，得到AF =FD ，证得∠FAD =∠FDA ，由角平分线可得∠FDA =∠EAD ，所以DF ∥AE ）FCGEDBA等腰三角形性质及分类讨论（作业）14. 已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD =CD ，E ，F 分别为AB ，AC 边上的点，BE =CF ． 求证：DE =DF ．15. 已知：如图，在等边△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，CE =CD ，DM ⊥BC ，垂足为M ．求证：BM =ME ．16. 如图，在△ABC 中，D 为BC 上一点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，DE 平分∠ADB ，AF =FC ，连接AD ． 求证：BD =CD ．FB EADC17. 若4x 2-axy +16y 2是完全平方式，则a =_________．18. 在直线l 上任取一点A ，截取AB =8cm ，点C 为AB 中点，截取CD =5cm ，则线段AD 的长为______________．19. 若等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则此等腰三角形顶角的度数为M DC B AEFD CB AE______________． 20. 已知一等腰三角形的三边分别是5x -3，3x +3，27，则x =__________．21. 等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线夹角为30°，则顶角的度数为__________． 22. 已知等腰三角形的周长为24cm ，两边的差为3cm ，则底边长为__________．23. 在已知直线l 上找一点C ，和直线外的A ，B 两点组成一个等腰三角形．一共可以画出几个符合条件的等腰三角形？请你在直线l 上找出所有符合条件的点C ．BAl【参考答案】1. 证明略（提示：延长AD 到H ，使DH =AD ，连接BH ，证明，证明△BHD ≌△CAD ，导出AB =AC ，再证明△BED ≌△CFD ） 2. 证明略（提示：连接BD ，利用“三线合一”，利用“三线合一”证明∠DBE =∠E =30°） 3. 证明略（提示：证明AD =DC ，AD =BD ） 4. ±16 5. 1cm 或9cm 6. 80°或40° 7. 6或8 8. 60°或120° 9. 10cm 或6cm10. 点C 有5个，作图略个，作图略特殊三角形（讲义）一、知识点睛1．等边三角形．等边三角形①定义：①定义： 的三角形是等边三角形．的三角形是等边三角形． ②判定：②判定： 的等腰三角形是等边三角形．的等腰三角形是等边三角形．的三角形是等边三角形．③性质：等边三角形等边三角形 、 ． 2．等腰直角三角形．等腰直角三角形①定义：①定义：有一个角是有一个角是有一个角是的等腰三角形是等腰直角三角形． ②判定：②判定： 的三角形是等腰直角三角形．的三角形是等腰直角三角形． ③性质：等腰直角三角形等腰直角三角形 ， ． 3．直角三角形．直角三角形 性质：性质：． ．ACB30°CBD A二、精讲精练1. 如图，以BC 为边在正方形ABCD 内部作等边△PBC ，连接AP ，DP ，则∠APD =_____________．PB DC AGAB EFC M N第1题图题图 第2题图题图2. 如图，点C 为线段AB 上一点，△MAC 和△NBC 均是等边三角形，连接AN 交CM 于点E ，连接BM 交CN 于点F ，交AN 于点G ，连接EF ．有如下结论：①AN =BM ；②CE =CF ；BCABCA③EF ∥AB ；④∠NGF =60°．其中，正确结论有__________．3. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，D ，E 是△ABC 内两点，AD 平分∠BAC ，∠EBC =∠E =60°，若BE =6cm ，DE =2cm ，则BC =________．BE DCA4. 已知：如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =60°，∠BCD =120°．求证：BC +DC =AC ．DCBA5. 已知：在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 的中点．的中点．（1）如图，E ，F 分别是AB ，AC 上的动点，且BE =AF ．求证：△DEF 为等腰直角三角形；为等腰直角三角形；（2）在（1）的条件下，四边形AEDF 的面积是否变化，证明你的结论；的面积是否变化，证明你的结论； （3）若E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，仍有BE =AF ，其他条件不变，那么△DEF 是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．D CEB AF6. 现有两个全等的含30°，60°角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，E ，A ，C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的中点M ，连接ME ，MC ．试判断△EMC 的形状，并说明理由．的形状，并说明理由．MBEDCA7. 如图，在锐角△ABC 中，∠BAC =60°，BN ，CM 为高，P 为BC 的中点，连接MN ，MP ，NP ，则以下结论中：①NP =MP ；②当∠ABC =60°时，MN ∥BC ；③BN =2AN ； ④AN :AB =AM :AC ．正确的有（．正确的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个三、回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】 一、精讲精练1．①三边都相等；②有一个角是60°；有两个角是60°；③三边都相等，三个内角都是60°． 2．①直角；②有两个角是45°；③两直角边相等，两底角都是45°． 3．30°角所对的直角边是斜边的一半．角所对的直角边是斜边的一半．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．二、精讲精练1． 150°ACNP MB2． ①②③④①②③④ 3． 8cm 4． 证明：如图，延长BC 到E ，使CE =CD ，连接DE ，BD ．∵∠BCD =120° ∴∠1=60°∴△DCE 为等边三角形为等边三角形 ∴DC =DE ，∠2=60° ∵AB =AD ，∠BAD =60° ∴△ABD 为等边三角形为等边三角形 ∴AD =BD ，∠3=60° ∴∠2=∠3∴∠ADC =∠BDE 在△ADC 和△BDE 中AD BD ADC BDE DC DE =ìïÐ=Ðíï=î∴△ADC ≌△BDE （SAS ） ∴AC =BE ∵BE =BC +CE=BC +DC ∴BC +DC =AC5． （1）略；）略；（2）四边形AEDF 的面积保持不变，S =12ABC S D（3）△ABC 仍为等腰直角三角形仍为等腰直角三角形 6． △EMC 是等腰直角三角形是等腰直角三角形 7． C321E A B C D特殊三角形（作业）1. 如图，以正方形ABCD 的边AB 为一边向外作等边△ABE ，则∠BED 的度数为________．B C EADOAB C DE第1题图题图 第2题图题图2. 如图，△ABD ，△ACE 都是等边三角形，BE 和CD 交于点O ，连接BC ，则∠BOC =__________．3. 已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠D =60°，AB =BC ，AD =DC ，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上．若∠EAF =60°，求证：△AEF 是等边三角形．是等边三角形．FA B C DE4. 已知：如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 为AC中点，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ．求证：EF =EG ．D GA B CF E5. 已知：如图，在△ABC 中，∠BAC >90°，BD ，CE 分别为AC ，AB 边上的高，F为BC 的中点．连接DE ，DF ，EF ．求证：∠FED =∠FDE ．FAB C DE6. 纳米技术（nanotechnology ）是用单个原子、分子制造物质的科学技术，研究结构尺寸在0.1至100纳米范围内材料的性质和应用．已知，某分子的直径约为0.399纳米，则这个分子的直径可用科学记数法表示为（ ）米．（保留两个有效数字）留两个有效数字）A ．3.9×10-1B ．3.9×10-10C ．4.0×10-10D ．4.0×10-17. 如图1，在长方形ABCD 中，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC →CD →DA 运动至点A 停止．设点P 运动的时间为x ，△ABP 的面积为y ，若y 与x 的关系图象如图2所示，则m 的值是（的值是（ ） A ．2.5 B ．4.5 C ．5D ．7 图2图1y 102 m xABC DP8. 在△ABC 中，AB =6，AC =4，则中线AD 的取值范围是______．【参考答案】1．45° 2．120° 3．证明：如图，连接AC ∵∠B=∠D =60°，AB=BC,AD=DC ∴△ABC 和△ACD 是等边三角形是等边三角形 ∴∠ACE=∠CAD =60°AC=AD ∵∠EAF =60° ∴∠CAD -∠CAF=∠EAF -∠CAF ∴∠EAC=∠FAD 在△EAC 和△FAD 中FEDCBAACE D AC AD EAC FAD Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴△EAC ≌△FAD （ASA ） ∴AE=AF ∴△AEF 是等边三角形是等边三角形 4．证明：连接DE ∵AC=BC ，∠ACB=90°∴∠A =45° ∵CD ⊥AB∴∠ADC =90°，AD =12AB∴CD =12AB∴AD =CD∵E 为AC 中点中点∴DE =12AC=AE ，DE ⊥AC ，∠1=45°∴∠AED =90°，∠A =∠1 ∴∠2+∠DEF =90° ∵EF ⊥BE∴∠3+∠DEF =90° ∴∠2=∠3在△AEF 和△DEG 中123A EA ED Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴△AEF ≌△DEG （ASA ）∴EG =EF5．证明：∵BD ，CE 分别为AC ，AB 边上的高边上的高 ∴∠BDC =∠CEB =90°∵F 是BC 的中点的中点∴EF =12BC ，DF =12BC∴∠FED =∠FDE6．C 7．B8．15AD <<321E FCBAGD 第3题图题图第4题图题图FA B CD E特殊三角形随堂测试题 姓名________1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，D 是BC 边上的一点，EC ⊥BC ，EC =BD ，连接AD ，AE ，DE ．点F 为DE 中点，连接AF ，CF ． 求证：（1）AD =AE ；（2）AF =CF ．FED CBA【参考答案】略轴对称的实际应用（讲义）一、知识点睛1．折叠问题：．折叠问题：（1）性质：折叠是________变换，_________________为对称轴，折叠前后的图形___________，对应边相等，对应角相等．，对应边相等，对应角相等． （2）思考步骤：）思考步骤：①找折痕；②转移对应边，对应角；③与背景条件结合．①找折痕；②转移对应边，对应角；③与背景条件结合． 2．轴对称最值问题：．轴对称最值问题：（1）特征：有定点，有动点，动点在___________上运动，求动点与定点连接组成的线段和（周长）最小．接组成的线段和（周长）最小．（2）解决方法：以动点所在的直线为对称轴，作定点的对称点，________________，利用两点之间线段最短进行处理．，利用两点之间线段最短进行处理．例题：在直线l 上找一点P ，使得在直线同侧的点A ，B 到点P 的距离之和AP +BP 最小．最小．lBA二、精讲精练1. 如图，把一张长方形的纸片ABCD ，沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在M ，N的位置上，EM 与BC 相交于点G ，若，若∠EFG =55°，则∠1的度数是_______________．G 1N MFE DCB Aα30°B AD第1题图题图 第2题图题图2. 有一条长方形纸带，按如图方式折叠，纸带重叠部分中的∠α=________．3. 如图a 是长方形纸带，∠DEF =25°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是________．图c图b图a BCDEFA G F EDC B A G A BCDEF4. 如图所示，一个边长是1cm 的正方形，的正方形，沿一条直线折叠，阴影部分的周长是沿一条直线折叠，阴影部分的周长是_________．MNAB CDE H第4题图题图 第5题图题图5. 如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN ，再把B 点折叠在折痕MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为H ，则，则 ∠AHB 的度数是__________．6. 如图将长方形ABCD 沿AC 折叠，使点B 落在点E 处，若长方形ABCD 的周长为46cm ，则△AEF 的周长为__________．A BCD E F7. 已知：如图，点P ，Q 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的两个定点，在BC 上求作一点R ，使△PQR 的周长最短．的周长最短．ABC PQ8. 已知：如图，∠ABC =30°，P 为∠ABC 内部一点，BP =4，如果点M ，N 分别为边BA ，BC 上的两个动点，请画图说明当M ，N 在什么位置时使得△PMN 的周长最小，并求出△PMN 周长的最小值．BACP9. 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =120°，∠B =∠D =90°，在BC ，CD 上分别找一点M ，N ．当△AMN 周长最小时，周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为的度数为___________________________．．DCABB A MCD N10. 已知：如图，点P ，Q 为∠AOB 内部两点，点M ，N 分别为OA ，OB 上的两个动点，作四边形PMNQ ，请作图说明当点M ，N 在何处时四边形PMNQ 的周长最小．周长最小．OA BQP三、回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】一、知识点睛1．（1）轴对称，折痕所在直线，全等）轴对称，折痕所在直线，全等 2．（1）定直线）定直线 （2）将折线转直）将折线转直 二、精讲精练 1．110°110°2．75° 3．105°105°4．4cm5．75° 6．23cm7．如图所示，以BC 为对称轴作点P 的对称点P ʹ，连接QP ʹ交BC 于点R ，则点R 即为所求．即为所求．RP'QP CBA8．作图略，△PMN 周长的最小值为4 9．120°10．如图所示：点M ，N 即为所求即为所求Q'P'N MP QB AO轴对称的实际应用（随堂测试）1. 点D ，E 分别在等边△ABC 的边AB ，BC 上，将△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在B 1处，DB 1，EB 1分别交边AC 于点F ，G ．若∠BDE =50°，则∠CGE =________．B 1GF EDCBA2. 如图，∠AOB =60°，点P 为∠AOB 内部任意一点，OP =5cm ，点E ，F 分别是∠AOB 两边OA ，OB 上的动点，请画图求解，当△PEF 的周长最小时，点O到EF 的距离是_____．PB OAAEO F B P【参考答案】1．80° 2．2.5cm轴对称的实际应用（作业）1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落在边CB上A ʹ处，折痕为CD ，则∠A ʹDB =_______．A ′A DB C BE ADFGC第1题图题图 第2题图题图2. 已知：如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，EF 为折痕．若折叠后∠BCE =30°，BE =2，则矩形纸片的长AB =________，△CEF 的周长为_______________．3. 如图，一牧童在A 处放牛，其家在B 处，A ，B 到河岸的距离分别为AC ，BD ，且AC =BD ，已知A 到河岸CD 的中点的距离为500米．牧童从A 处把牛牵到河边饮水后再回家，请作图说明牧童怎样走路程最短，并求出最短路程．河边饮水后再回家，请作图说明牧童怎样走路程最短，并求出最短路程．A B CD4. 如图，∠AOB =60°，点P 在∠AOB 的角平分线上，OP =10cm ，点E ，F 分别是∠AOB 两边OA ，OB 上的动点，当△PEF 的周长最小时，点P 到EF 的距离是__________．．OPB AP O F EAB5. 如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线，G 为AD 的中点，延长BG 交AC 于点E ，过点C 作CF ⊥AD 于点H ，交AB 于点F ．下列说法中正确的有_______． ①AG 是△ABE 的角平分线；②BE 是△ABD 的中线；的中线；③CH 为△ACD 边AD 上的高；④AH 是△ACF 边CF 上的高；⑤AD 是△ACF 的角平分线．的角平分线．6. 已知2x 3+x =2，求2x 6+3x 4+x 2-x +9的值．的值．【参考答案】1．10° 2．6；12 3．最短路程为1000米 4．5cm 5．①③④．①③④ 6．11E F C D B AG H。
第一讲讲义动点问题
A E B 图1 A E B
D F C B E
A
D F C B E
A P
D N F C
M D F C 图 4（备用）
图2 D F
M 图3
（第 25 题） A E B 图 5（备用）
7
C 中国领先的中小学教育品牌
方法回顾
通过这节课的学习，你有哪些收获和感悟？
8
）
3 6． 已知抛物线 y k ( x 1)( x ) 与 x 轴交于 A，B，与 y 轴交于点 C，则能使△ABC 为等腰三角形的抛物线的条 k
数是（ A. 2 ） B. 3 C. 4 D. 5
二、认真填一填（每个 5 分） 7．数据 1，1，1，3，4 的平均数是________；众数是________ 8．某企业向银行贷款 1000 万元，一年后归还银行 1065.6 多万元，则年利率高于______% 9．已知 a (a 3) 0 ，若 b 2 a ，则 b 的取值范围是________ 10．已知一个底面为菱形的直棱柱，高为 10cm，体积为 150cm3，则这个棱柱的下底面积为________cm2；若该棱柱、 侧面展开图的面积为 200cm2， 记底面菱形的顶点依次为 A， B， C， D， AE 是 BC 边上的高， 则 CE 的长为________cm 11、(单动点问题)如图 1，在等腰梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， E 是 AB 的中点，过点 E 作 EF ∥ BC 交 CD 于点 F ． AB 4，BC 6 ，∠B 60 . （1）求点 E 到 BC 的距离； （2）点 P 为线段 EF 上的一个动点，过 P 作 PM EF 交 BC 于点 M ，过 M 作 MN ∥ AB 交折线 ADC 于点 N ， 连结 PN ，设 EP x . ①当点 N 在线段 AD 上时（如图 2） ， △PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出 △PMN 的周长；若改变，请说 明理由； ②当点 N 在线段 DC 上时（如图 3） ，是否存在点 P ，使 △PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 x 的值；若不存在，请说明理由. N P
动点问题(讲义及答案)
动点问题（讲义）一、知识点睛由点（___________）的运动产生的几何问题称为动点问题．动点问题的解决方法：1.研究_____________，_____________；2.分析_____________，分段；3.表达_____________，建等式．二、精讲精练1.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点E为边AD上一点，且AE=7．动点P从点B出发，沿BC向点C以每秒2个单位的速度运动，连接AP，DP．设点P运动时间为t秒．（1）当t=1.5时，△ABP与△CDE是否全等，请说明理由；（2）当t为何值时，△DCP≌△CDE．2.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=12，BC=24，动点P从点A出发沿AD向点D以每秒1个单位的速度运动，动点Q从点C出发沿CB向点B以每秒2个单位的速度运动，P，Q同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，连接PQ，DQ．设点P运动时间为x秒，请求出当x为何值时，△PDQ≌△CQD．3.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．点P在线段BC上以每秒3cm的速度由点B 向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动．设点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPD与△CQP全等，求此时t的值及点Q的运动速度．4.已知：如图，正方形ABCD的边长为10cm，点E在边AB上，且AE=4cm，点P在线段BC上以每秒2cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CD上由点C向点D运动．设点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPE与△CQP全等，求此时t的值及点Q的运动速度．5.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=DC=4，AD=BC=5．延长BC到E，使CE=2，连接DE．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P运动时间为t秒．（1）请用含t的式子表达△ABP的面积S．（2）是否存在某个t值使得△DCP和△DCE全等，若存在，请求出所有的t值；若不存在，请说明理由．6.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=CD=3cm，AD=BC=5cm，动点P从点B出发，以每秒1cm的速度沿BC方向向点C运动，动点Q从点C出发，以每秒2cm的速度沿CD-DA-AB 向点B运动，P，Q同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，设点P运动时间为t秒．请回答下列问题：（1）请用含t的式子表达△CPQ的面积S，并直接写出t的取值范围．（2）是否存在某个t值使得△ABP和△CDQ全等，若存在，请求出所有的t值；若不存在，请说明理由．【参考答案】【知识点睛】速度已知1．研究基本图形，标注；2．分析运动过程，分段；3．表达线段长，建等式．【精讲精练】1.解：（1）当t =1.5时，△ABP ≌△CDE ．理由如下：如图，由题意得BP =2t∴当t =1.5时，BP =3∵AE =7，AD =10∴DE =3∴BP =DE在矩形ABCD 中AB =CD ，∠B =∠CDE在△ABP 和△CDE 中AB CD B CDE BP DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABP ≌△CDE （SAS ）（2）如图，由题意得BP =2t∵BC =10∴CP =10-2t若使△DCP ≌△CDE ，则需CP =DE即10-2t =3，t =72∴当t =72时，△DCP ≌△CDE ．2.解：如图，由题意得AP =x ，CQ =2x∵AD =12∴DP =12-x要使△PDQ ≌△CQD ，则需DP =QC即12-x =2x ，x =4∴当x =4时，△PDQ ≌△CQD ．3.解：如图，由题意得BP =3t∵BC =8∴PC =8-3t∵AB =10，D 为AB 中点∴BD =12AB =5①要使△BDP ≌△CPQ ，则需BD =CP ，BP =CQ即5=8-3t ，t =1∴CQ =3t =3则Q 的速度为Q v =s t =31=3（cm/s ）即当t =1，Q 的速度为每秒3cm 时，△BDP ≌△CPQ ．②要使△BDP ≌△CQP ，则需BP =CP ，BD =CQ 即3t =8-3t ，CQ =5∴t =43则Q 的速度为Q v =st =5×34=154（cm/s ）即当t =43，Q 的速度为每秒154cm 时，△BDP ≌△CQP ．综上所述，当t =1，Q 的速度为每秒3cm 或t =43，Q 的速度为每秒154cm 时，△BPD 与△CQP 全等．4.解：如图，由题意得BP =2t∵正方形ABCD 的边长为10cm∴AB =BC =10∴PC =10-2t∵AE =4∴BE =10-4=6①要使△BEP ≌△CPQ ，则需EB =PC ，BP =CQ即6=10-2t ，CQ =2t∴t =2，CQ =4则点Q 的速度为Q v =s t =42=2（cm/s ）即当t =2，Q 的速度为每秒2cm 时，△BEP ≌△CPQ ．②要使△BEP ≌△CQP ，则需BP =CP ，BE =CQ即2t =10-2t ，CQ =6∴t =52则点Q 的速度为Q v =s t=6×25=125（cm/s ）即当t =52，Q 的速度为每秒125cm 时，△BEP ≌△CQP ．综上所述，当t =2，Q 的速度为每秒2cm 或t =52，Q 的速度为每秒125cm 时，△BEP 与△CQP 全等．5.解：（1）①当P 在BC 上时，如图，由题意得BP =2t （0＜t ≤2.5）1214224ABP S AB BP t t∆=⋅=⨯⨯=∴ ②当P 在CD 上时，（2.5＜t ≤4.5）12145210ABP S AB BC ∆=⋅=⨯⨯=∴③当P 在AD 上时，由题意得AP =14-2t （4.5＜t ＜7）12141422284ABP S AB AP t t∆=⋅=⨯⨯=∴--（）（2）①当P 在BC 上时，如图，由题意得BP =2t要使△DCP ≌△DCE ，则需CP =CE∵CE =2∴5-2t =2，t =1.5即当t =1.5时△DCP ≌△DCE②当P 在CD 上时，不存在t 使△DCP 和△DCE 全等③当P 在AD 上时，由题意得BC +CD +DP =2t ∵BC =5，CD =4，∴DP =2t -4-5要使△DCP ≌△CDE ，则需DP =CE即2t -9=2，t =5.5即当t =5.5时，△DCP ≌△CDE ．综上所述，当t =1.5或t =5.5时，△DCP 和△DCE 全等．6.解：（1）①当Q 在CD 上时，如图，由题意得CQ =2t ，BP=t∴CP=5-t （0＜t ≤1.5）2121 (5)225CPQ S CP CQ t t t t ∆=⋅=-⋅=-∴②当Q 在DA 上时，（1.5＜t ≤4）121(5)327.5 1.5CPQ S CP CD t t∆=⋅=⨯=∴--③当Q 在AB 上时，由题意得BQ =11-2t （4＜t ＜5）2121(5)(112)2215522CPQ S CP BQ t t t t ∆=⋅=-⨯-=-+∴①当Q 在CD 上时，不存在t 使△ABP 和△CDQ 全等②当Q在AD上时，如图，由题意得DQ=2t-3要使△ABP≌△CDQ，则需BP=DQ∵DQ=2t-3，BP=t∴t=2t-3，t=3即当t=3时，△ABP≌△CDQ．③当Q在AB上时，不存在t使△ABP和△CDQ全等综上所述，当t=3时，△ABP和△CDQ全等．11。
动点问题(讲义及答案)
动点问题（讲义）一、知识点睛动点问题的处理思路 1. 研究背景图形．2. 分析运动过程，分段，定范围．（关注四要素）①根据起点、终点，确定时间范围； ②速度（注意速度是否变化）；③状态转折点，确定分段，常见状态转折点为拐点； ④所求目标——明确方向．3. 分析几何特征，表达，设计方案求解．画出符合题意的图形，表达线段长，根据几何特征列方程求解，结合范围验证结果．二、精讲精练1. 如图所示，菱形ABCD 的边长为6厘米，∠B =60°．从初始时刻开始，点P ，Q 同时从点A 出发，点P 以1厘米/秒的速度沿A →C →B 的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿A →B →C →D 的方向运动，当点Q 运动到点D 时，P ，Q 两点同时停止运动．设P ，Q 运动x 秒时，△APQ 与△ABC 重叠部分的面积为y 平方厘米，解答下列问题：（1）点P ，Q 从出发到相遇所用时间是____________秒； （2）在点P ，Q 运动的过程中，当△APQ 是等边三角形时，x 的值为____________；（3）求y 与x 之间的函数关系式．A BCDQP DCBA2. 如图1，正方形 ABCD 中，点A ，B 的坐标分别为(0，10)，(8，4)，点C 在第一象限．动点P 在正方形ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同的速度在x 轴正半轴上运动，当点P 到达点D 时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）当点P 在AB 边上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图2所示，请求出点Q 开始运动时的坐标及点P 的运动速度． （2）求正方形ABCD 的边长及顶点C 的坐标．（3）在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大？求出此时点P 的坐标．（4）如果点P ，Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等？若能，请求出所有符合条件的t 值；若不能，请说明理由．10111Oxt图2图1ABCDOPQ xy备用图yxODCBA备用图yxODCBA备用图yxODCBA3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发，沿CA以每秒1个单位长度的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原速度沿AC返回；点Q从点A出发，沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动．伴随着P，Q的运动，DE始终保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P，Q同时出发，当点Q运动到点B时，两点同时停止运动．设点P，Q运动的时间是t秒（0t>）．（1）当t=2时，AP=_____，点Q到AC的距离是_________．（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t 的函数关系式（不必写出t的取值范围）．（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值．QDPE C BA AB CA B C4. 如图，在Rt ABC △中，∠C =90°，AB =50，AC =30，D ，E ，F 分别是AC ，AB ，BC 的中点．点P 从点D 出发，沿折线DE -EF -FC -CD 以每秒7个单位长度的速度匀速运动；点Q 从点B 出发，沿BA 方向以每秒4个单位长度的速度匀速运动．过点Q 作射线QK ⊥AB ，交折线BC -CA 于点G ．点P ，Q 同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时，P ，Q 两点都停止运动，设点P ，Q 运动的时间是t 秒（0t >）． （1）D ，F 两点间的距离是___________．（2）射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由．（3）当点P 运动到折线EF -FC 上，且点P 又恰好落在射线QK 上时，求t 的值．（4）连接PG ，当PG ∥AB 时，请直接．．写出t 的值． QKG FEDC BAPABC D EF三、回顾与思考_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ABCD EFFEDC BAABCDE F【参考答案】1． （1）6（2）8（3）2223 032333 36237315 3 6962y x x y x x x y x x x ⎧=<⎪⎪⎪⎪=-+<<⎨⎪⎪=-+-<⎪⎪⎩≤≤ 2． （1）Q （1，0），V p =1cm/s（2）10，C (14，12) （3）当t =476时，S 最大，此时P （94531510，）（4）53t =或29513t = 3． （1）1，85（2）22655S t t =-+（3）98t =或158t =（4）52t =或4514t =4． （1）25（2）578t =（3）18541t =或152t =（4）53t =或34043t =。
动点问题(习题)含讲义
A
E B FC A
BC A
BC
2. 如图，在 Rt △ABC 中，∠ A=90 °，AB =6 ，AC =8 ， D，E 分别为 边 AC
，BC 的中点．点 P 从点 A 出发，沿折线 AD -DE- EB 以每秒 3 个单位长 度的速度向点 B 匀速运动；点 Q 也从点 A 出发，沿射线 AB 以每秒 2 个单位长度的速度运动， 当点 P 到达点 B 时，P，Q 两点同时停止运动 ． 设 （ 1）当点 P 到达点 B 时，求 t 的值． 点 （2）设△BPQ 的面积为 S，当点 Q 在线段 AB 上运动时， 求出S 与t 之 间的函数关系式． P （ 3）是否存在 t 值，使 PQ∥DB ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请 ， 说明理由． Q
? 例题示范
动点问题（习题）
例1：如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠C=90 °，AD=3 cm ， DC=15 cm
，BC=24 cm ．点 P 从A 点出发，沿 A→D→ C 的方向 以 1 cm/s 的速度
匀速运动，同时点 Q 从C 点出发，沿 C→
B 的方向以 2 cm/s 的速度匀速运动．当其中一点到达终点时， 另一点也
Q
P
BC AD
BC
? 思考小结
表达线段长是动点问题解题过程中重要环节之一． 段长时思考方向如下： ①利用 s= vt ，用动点走过的路程来表达；
表达线
②利用动点所走路程和线段长组合，来表达新线段长；
③和角度结合在一起，利用相似或三角函数来表达．
【参考答案】
? 课前预习
动点问题（讲义）
按要求完成下列题目： 4
A 运 动 的 时 间 为
t BE C
秒 （
数轴类动点问题(讲义及答案)
数轴类动点问题（讲义）➢知识点睛1.由点（速度已知）的运动产生的几何问题称为动点问题．动点问题的解决方法：（1）研究背景图形；（2）分析运动过程；（3）表达线段长，建方程．2.数轴上点的平移：数轴上，若点A表示的数为a，则点A向左平移2个单位得到的数为a-2，点A向右平移3个单位得到的数为a+3．3.数轴上两点的距离公式：数轴上，若点A表示的数为a，点B表示的数为b，则A，B之间的距离可表示为a b，或者表示为右边的数减去左边的数．➢精讲精练1.已知：如图，A，B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-20，B点对应的数为100．（1）请直接写出AB的中点M对应的数；（2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，请求出C点对应的数是多少；（3）若电子蚂蚁P从B点出发，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，请求出D点对应的数是多少．AA2.如图，点A在数轴上所对应的数为-2．（1）点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数；（2）在（1）的条件下，点A以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到-4所在的点处时，求A，B两点间的距离；（3）在（2）的条件下，现A点静止不动，B点沿数轴向左以原速运动时，经过多长时间A，B两点相距4个单位长度？（直接写出答案）A3.已知数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数-24，-10，10，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示P到点C的距离：PC=______．（2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C 点运动，Q点到达C点后停止运动．在点Q开始运动后，P，Q两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由．A B CA B C4.“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福点”，若C到A，B的距离之和为6，则C叫做A，B的“幸福中心”．（1）如图1，点A表示的数为-1，则A的幸福点C所表示的数应该是_____；（2）如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为-2，点C就是M，N的幸福中心，则C所表示的数可以是_______（填一个即可）；（3）如图3，A，B，P为数轴上三点，点A所表示的数为-1，点B所表示的数为4，点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，当经过多少秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心？图1图2P图35. 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A ，B 表示的数分别为a ，b ，则A ，B 两点之间的距离AB =|a -b |，线段AB 的中点表示的数为2a b ．【问题情境】如图，数轴上点A 表示的数为-2，点B 表示的数为8，点P 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）． 【综合运用】 （1）填空：①A ，B 两点之间的距离AB =_______，线段AB 的中点表示的数为______； ②用含t 的代数式表示：t 秒后，点P 表示的数为_________，点Q 表示的数为___________．（2）求当t 为何值时，P ，Q 两点相遇，并写出相遇点所表示的数．（3）求当t为何值时，PQ=12 AB．（4）若点M为P A的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN 的长．A B08-2086.如图，数轴上点A，B到表示-2的点的距离都为6，P为线段AB上任一点，C，D两点分别从P，B同时向A点移动，且C点的运动速度为每秒2个单位长度，D点的运动速度为每秒3个单位长度，运动时间为t秒．（1）A点表示的数为_______，B点表示的数为________，AB=________．（2）若P点表示的数是0，①运动1秒后，求CD的长度；②当D在BP上运动时，求线段AC，CD之间的数量关系式．（3）若t=2秒，CD=1，请直接写出P点表示的数．P DC BAA B7.如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示-10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半；点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，当点P到达B点时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒．（1）用含t的代数式表示动点P在运动过程中距O点的距离．（2）P，Q两点相遇时，求出相遇时间及相遇点M所对应的数是多少．（3）是否存在P，O两点在数轴上相距的长度与Q，B两点在数轴上相距的长度相等？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由．【参考答案】➢精讲精练1.（1）M对应的数为40（2）C点对应的数为28（3）D点对应的数是-2602.（1）点B对应的数为4（2）AB=12（3）4秒或8秒3.（1）34-t（2）点P表示的数为-2或84.（1）-4或2（2）1（3）1.75秒或4.75秒5.（1）①10，3；②-2+3t，8-2t（2）t=2时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数为4（3）当t=1或3时，12 PQ AB（4）MN的长度不变，MN=5 6.（1）-8，4，12（2）①CD=3；②AC=2CD（3）P点表示的数为1或3.7.（1）PO=t-5（2）相遇时间为232，相遇点M表示的数为132（3）t=2或132时，PO=BQ。
最全动点问题讲义
动点路径（轨迹）问题动点路径问题中，核心方法是寻找定点、定线、定长、定角等，再根据线与圆的基本概念及基本性质确定运动轨迹所形成的图形.一、定点+定长⇒圆二、定线+定角⇒圆三、定线+定长⇒线段四、旋转缩放（主从联动）⇒从路径=主路径×缩放比五、坐标定位（多点运动）⇒建系求函数一、定点+定长⇒圆1.如图，OA⊥OB，垂足为O，P、Q分别是射线OA、OB上的两个动点，点C是线段PQ的中点，且PQ=4.则动点C运动形成的路径长是___.2.矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是BC边上一动点，把△ABP沿AP翻折△AQP，CQ的最小值________二、定线+定角⇒圆3.已知A（0，3），B（1,0），P是线段AO上动点，AQ⊥BQ，当点P从点A运动到点O 时，Q点经过的路径长为________4.如图，半径为2CM，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一动点P，从P向半径OA引垂线PH交OA于点H.设△OPH的内心为I，当P从点A运动到点B时，I点的运动轨迹长_____三、定线+定长⇒线段5.如图所示,扇形OAB从图①无滑动旋转到图②,再由图②到图③,∠O=60∘，OA=1.求O点所运动的路径长.四、旋转缩放（主从联动）⇒从路径=主路径×缩放比6.如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC.（1）求证：AC=AD+CE；（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q. i）当点P与A，B两点不重合时，求DPPQ的值；ii）当点P从点A运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长.五、坐标定位（多点运动）⇒建系求函数7.如图在Rt△ABC中,∠C=90∘，AC=8，BC=6，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。
级数学第13讲一次函数之动点问题目讲义
第十三讲 一次函数之动点问题（讲义）一、知识点睛1．函数背景下研究动点问题：①把 转成 信息（边和角）；②分析运动过程，注意 ，确定对应的 ； ③画出符合题意的图形，研究几何特征，设计解决方案．2．解决具体问题时会涉及 ，需要注意两点： ①路程即线段长，可根据s =vt 直接表达 或 ； ②根据研究几何特征的需求进行表达，既要利用 ，又要结合 ．二、精讲精练1. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为直角梯形，A （10，0），B （6，3）．动点P ，Q 分别从C ，A 两点同时出发，点P 以每秒1个单位的速度由C 向B 运动，点Q 以每秒2个单位的速度由A 向O 运动，当点Q 停止运动时，点P 也停止运动，设运动时间为t 秒．（1）当t 为何值时，四边形PQAB 是等腰梯形？（2）当t 为何值时，直线PQ 平分梯形OABC 的面积，并求出此时直线PQ 的解析式．CQ PBA O y xxy O A BC2. 如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形OABC 是菱形，A （-3，33），点C 在x 轴正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ． （1）求直线AC 的解析式；（2）如图2，连接BM ，动点P 从点A 出发，沿折线A —B —C 以2个单位/秒的速度向终点C 匀速运动．设△PMB 的面积为S （S ≠0），运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式，写出自变量t 的取值范围；（3）当t 为何值时，△PMB 的面积是菱形OABC 面积的14？xMy H O CBA图1y AHBMOCxy AHBMOCx3. 如图，直线=3+43y x 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，直线BC 与x 轴交于点C ，∠ABC =60°． （1）求直线BC 的解析式．（2）若动点P 从A 点出发沿AC 方向向点C 运动（点P 不与 点A ，C 重合），同时动点Q 从C 点出发沿折线C —B —A 向点A 运动（点Q 不与点A ，C 重合），动点P 的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q 的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ 的面积为S ，运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．（3）M 是y 轴上的一个动点，当t =4时，平面内是否存在一点N ，使得以A ，Q ，M ，N 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．xyO ABC 图2C BA Oy x4. 如图，直线343y x =-+与x 轴交于点A ，与直线3y x=交于点P ．（1）求点P 的坐标．（2）判断△OP A 的形状并说明理由．（3）动点E 从原点O 出发，以每秒2个单位的速度沿折线 O —P —A 向点A 匀速运动（点E 不与点O ，A 重合），过点E 分别作EF ⊥x 轴于点F ，EB ⊥y 轴于点B ．设运动t 秒时，矩形EBOF 与△OP A 重叠部分的面积为S ．求S 与t 之间的函数关系式．PFE BAO yxxyO AFPyP5. 如图，直线l 的解析式为y =-x +4，它与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，平行于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点，运动时间为t 秒（0<t <4）． （1）求A ，B 两点的坐标；（2）用含t 的代数式表示△MON 的面积S 1；（3）以MN 为对角线作矩形OMPN ，记△MPN 和△OAB 重叠部分的面积为S 2，试探究S 2与t 之间的函数关系．N MPlmBAOy xxy OABl xy OAB l三、回顾与思考______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________（本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
初中数学人教版八年级上册三角形全等之动点问题(讲义及答案)
初中数学人教版八年级上册实用资料三角形全等之动点问题（讲义）➢课前预习已知：如图，AB=18 cm，动点P从点A出发，沿AB以2 cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B出发，沿BA以1 cm/s的速度向点A运动．P，Q两点同时出发，当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动．设点P运动的时间为t秒，请解答下列问题：（1）AP=_______，QB=_______（含t的式子表达）；（2）在P，Q相遇之前，若P，Q两点相距6 cm，则此时t的值为_______．➢知识点睛由点（___________）的运动产生的几何问题称为动点问题．动点问题的解决方法：1.研究_____________；2.分析_____________，分段；3.表达_____________，建等式．➢精讲精练1.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点E为边EAD上一点，且AE=7．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC向点C运动，连接AP，DP．设点P运动时间为t秒．（1）当t=1.5时，△ABP与△CDE是否全等？请说明理由；（2）当t为何值时，△DCP≌△CDE．2.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=12，BC=24，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AD向点D运动，动点Q从点C 出发以每秒2个单位的速度沿CB向点B运动，P，Q同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，连接PQ，DQ．设点P运动时间为x秒，请求出当x为何P D A值时，△PDQ ≌△CQD ．3. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC =10 cm ，BC =8 cm ，点D 为AB 的中点．点P 在线段BC 上以每秒3 cm 的速度由点B 向点C 运动，同时点Q 在线段CA 上由点C 向点A 运动．设点P 运动时间为t 秒，若某一时刻△BPD 与△CQP 全等，求此时t 的值及点Q 的运动速度．D CBA4.已知：如图，正方形ABCD的边长为10 cm，点E在边AB上，且AE=4 cm，点P在线段BC上以每秒2 cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CD上由点C向点D运动．设点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPE与△CQP 全等，求此时t的值及点Q的运动速度．5. 已知：如图，在长方形ABCD 中，AB =DC =4，AD =BC =5．延长BC 到E ，使CE =2，连接DE ．动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC -CD -DA 向终点A 运动，设点P 运动时间为t 秒． （1）请用含t 的式子表达△ABP 的面积S ．（2）是否存在某个t 值，使得△DCP 和△DCE 全等？若存在，请求出所有满足条件的t 值；若不存在，请说明理由．DA6. 已知：如图，在长方形ABCD 中，AB =CD =3 cm ，AD =BC =5 cm ，动点P 从点B 出发，以每秒1 cm 的速度沿BC 方向向点C 运动，动点Q 从点C 出发，以每秒2 cm 的速度沿CD -DA -AB 向点B 运动，P ，Q 同时出发，当点P 停止运动时，点Q 也随之停止，设点P 运动时间为t 秒．请回答下列问题：（1）请用含t 的式子表达△CPQ 的面积S ，并直接写出t 的取值范围．（2）是否存在某个t 值，使得△ABP 和△CDQ 全等？若存在，请求出所有满足条件的t 值；若不存在，请说明理由．DA【参考答案】➢课前预习（1）2t，t（2）4s➢知识点睛速度已知1．研究背景图形，标注；2．分析运动过程，分段；3．表达线段长，建等式．➢精讲精练1.解：（1）当t=1.5时，△ABP≌△CDE．理由如下：如图，由题意得BP=2t∴当t=1.5时，BP=3∵AE=7，AD=10∴DE=3∴BP=DE在矩形ABCD 中 AB =CD ，∠B =∠CDE 在△ABP 和△CDE 中AB CD B CDE BP DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABP ≌△CDE （SAS ） （2）如图，由题意得BP =2t ∵BC =10 ∴CP =10-2t若使△DCP ≌△CDE ，则需CP =DE即10-2t =3，t =72∴当t =72时，△DCP ≌△CDE ．2. 解：如图，由题意得AP =x ，CQ =2x∵AD =12 ∴DP =12-x要使△PDQ ≌△CQD ，则需DP =QC 即12-x =2x ，x =4∴当x =4时，△PDQ ≌△CQD ．3. 解：如图，由题意得BP =3t∵BC =8 ∴PC =8-3t∵AB =10，D 为AB 中点 ∴BD =12AB =5 ①要使△BDP ≌△CPQ ， 则需BD =CP ，BP =CQ 即5=8-3t ，t =1 ∴CQ =3t =3则Q 的速度为Q v =s t =31=3（cm/s ）即当t =1，Q 的速度为每秒3cm 时，△BDP ≌△CPQ ．②要使△BDP ≌△CQP ，则需BP =CP ，BD =CQ 即3t =8-3t ，CQ =5∴t =43则Q 的速度为Q v =s t =5×34=154（cm/s ）即当t =43，Q 的速度为每秒154cm 时，△BDP ≌△CQP ．综上所述，当t =1，Q 的速度为每秒3cm 或t =43，Q 的速度为每秒154cm 时，△BPD 与△CQP 全等．4. 解：如图，由题意得BP =2t∵正方形ABCD 的边长为10cm ∴AB =BC =10 ∴PC =10-2t ∵AE =4 ∴BE =10-4 =6①要使△BEP ≌△CPQ ， 则需EB =PC ，BP =CQ 即6=10-2t ，CQ =2t ∴t =2，CQ =4则点Q 的速度为Q v =s t =42=2（cm/s ）即当t =2，Q 的速度为每秒2cm 时，△BEP ≌△CPQ ． ②要使△BEP ≌△CQP ， 则需BP =CP ，BE =CQ 即2t =10-2t ，CQ =6∴t =52则点Q 的速度为Q v =st=6×25=125（cm/s ） 即当t =52，Q 的速度为每秒125cm 时，△BEP ≌△CQP ．综上所述，当t =2，Q 的速度为每秒2cm 或t =52，Q 的速度为每秒125cm 时，△BEP 与△CQP 全等．5. 解：（1）①当P 在BC 上时，如图，由题意得BP =2t （0<t ≤2.5）1214224ABP S AB BP t t∆=⋅=⨯⨯=∴②当P 在CD 上时，（2.5<t ≤4.5）12145210ABP S AB BC∆=⋅=⨯⨯=∴ ③当P 在AD 上时，由题意得AP =14-2t （4.5<t <7）12141422284ABP S AB APt t ∆=⋅=⨯⨯=∴--（） （2）①当P 在BC 上时， 如图，由题意得BP =2t要使△DCP ≌△DCE ，则需CP =CE ∵CE =2 ∴5-2t =2，t =1.5即当t =1.5时，△DCP ≌△DCE②当P 在CD 上时，不存在t 使△DCP 和△DCE 全等 ③当P 在AD 上时，由题意得BC +CD +DP =2t ∵BC =5，CD =4， ∴DP =2t -9要使△DCP ≌△CDE ，则需DP =CE 即2t -9=2，t =5.5即当t =5.5时，△DCP ≌△CDE ．综上所述，当t =1.5或t =5.5时，△DCP 和△DCE 全等．6. 解：（1）①当Q 在CD 上时，如图，由题意得CQ =2t ，BP=t ∴CP=5-t （0<t ≤1.5）2121(5)22 5CPQ S CP CQt t t t ∆=⋅=-⋅=-∴11 ②当Q 在DA 上时，（1.5<t ≤4）121(5)327.5 1.5CPQ S CP CDt t∆=⋅=⨯=∴--③当Q 在AB 上时，由题意得BQ =11-2t （4<t <5） 2121(5)(112)2215522CPQ S CP BQt t t t ∆=⋅=-⨯-=-+∴（2）①当Q 在CD 上时，不存在t 使△ABP 和△CDQ 全等 ②当Q 在AD 上时，如图，由题意得DQ =2t -3要使△ABP ≌△CDQ ，则需BP =DQ∵DQ =2t -3，BP =t∴t =2t -3，t =3即当t =3时，△ABP ≌△CDQ ．③当Q 在AB 上时，不存在t 使△ABP 和△CDQ 全等 综上所述，当t =3时，△ABP 和△CDQ 全等．。
相似三角形中的动点问题综合讲义
相似之动点问题（讲义）一、知识点睛动点问题解决套路1．研究基本图形，标注基本图形是动点运动的背景，需要研究边和角，寻找模型或结构，或者转化坐标和表达式．2．分析运动过程，分段，定范围关注起点、终点和状态转折点．状态转折点是图形状态发生变化的点，常见的状态转折点有拐点、相遇点等．3．根据不变特征建等式依分段画图形，表达相关线段长，根据不变特征建等式，结合范围验证结果．表达的常用手段有s=vt、相似、勾股定理等；根据不变特征建等式需要把不变特征跟基本图形信息结合起来考虑，常见不变特征有相似、直角、等腰等．二、精讲精练1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC:BC=4:3．点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿折线B→C→A 向点A运动，速度为2cm/s，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为x（s）．（1）设△PBQ的面积为y（cm2），求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）当Q在BC上运动时，是否存在以点B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．（3）当Q在CA上运动，且PQ⊥AB时，以点B，P，Q为顶点的三角形与△ABC是否相似？请说明理由．CA B2． 如图，直角梯形OABC 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，OA ∥CB ，A (4，0)，B (3，3)．点M 从点O 出发以每秒2个单位长的速度向点A 运动，同时点N 从点B 出发，以每秒1个单位长的速度向点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．过点N 作NP ⊥x 轴于点P ，连接AC 交NP 于点Q ，连接MQ ．设运动时间为t （秒）．（1）使线段AQ ，QM ，MA 能围成三角形的t 的取值范围 是_____________．（2）求△AQM 的面积S 与运动时间t 之间的函数关系式． （3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在， 求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．3． 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =3，DC =5，AB=B =45°．动点M 从点B 出发，沿线段BC 以每秒1个单位长的速度向终点C 运动，动点N 同时从点C 出发，沿折线C →D →A 以同样速度向终点A 运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t （秒）．（1）求在运动过程中形成的△MCN 的面积S 与运动时间t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． （2）当N 在CD 上运动时，△MCN 能否成为等腰三角形？ 若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．ADBC如图，直角梯形OABC 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，OA ∥CB ，A (15，0)，B (10，12)．动点P ，Q 分别从O ，B 两点同时出发，点P 以每秒2个单位长的速度沿OA 方向向终点A 运动，点Q 以每秒1个单位长的速度沿BC 方向向终点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．线段OB ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交AB 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ，Q 的运动时间为t （秒）．（1）当t 为何值时，四边形PABQ 是平行四边形？ （2）当t =2秒时，求梯形OFBC 的面积； （3）当t 为何值时，△PQF 是等腰三角形？三、 回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】1.（1）2248035351423755x x x y x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤．（2）存在，3013x =．（3）不相似 2.（1）0≤t <2（2）23332442S t t t =-++<（0）≤（3）存在，M (2,0)或M (2619，0)3.（1）22405522058t tt S t t ⎧-+⎪=⎨⎪-+⎩＜＜≤≤（2）能成为等腰三角形，50511t =或 4. （1）t =5（2）174（3）t =13或56或43或193相似之动点问题（每日一题） 姓名_________1． 如图1，在四边形ABCD 中，∠D =90°，BC ∥AD ，BC =20，DC =16，AD =30．动点P 从点D 出发，沿射线DA 方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动．设运动时间为t （秒）．（1）设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．（2）当t 为何值时，使得线段PQ 与线段AB 相交于点O ，且2AO =OB ？ （3）当t 为何值时，使得PQ ⊥BD ？（4）当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？备用图备用图图1ABCD ABCD Q PDCBA2． 如图，边长为4的等边三角形AOB 的顶点O 在坐标原点，点A 在x 轴正半轴上，点B 在第一象限．一动点P 沿x 轴以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，当点P 到达点A 时停止运动，设点P 运动的时间是t （秒）．将线段BP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转60°得到点C ，点C 随点P 的运动而运动，连接CP ，CA ，过点P 作PD ⊥OB 于点D ． （1）填空：PD 的长为_______（用含t 的代数式表示）． （2）求点C 的坐标（用含t 的代数式表示）．（3）在点P 从O 向A 运动的过程中，△PCA 能否成为直角三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．3．如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC=120°．动点P，Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P，Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t（s）．（1）在点P，Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由．（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．①当t为何值时，点P，M，N在同一直线上？②当点P，M，N不在同一直线上时，是否存在这样的t值，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由．4．如图，直角梯形OABC中，AB∥OC，其中O(0，0)，A(0，，B(4，，C(8，0)，OH⊥BC于点H．（1）求∠HOC的度数．（2）动点P从点O出发，沿线段OH向点H运动，动点Q从点A出发，沿线段AO向点O运动，两点同时出发，速度均为每秒1个单位长度，设运动时间为t（秒）．①若直线QP交x轴的正半轴于点N，当t为何值时，QP=2PN？②在P，Q运动过程中，是否存在t值，使得△OPQ与△HOB相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．5．如图，已知一次函数y=-x+7与正比例函数y=43x的图象交于点A，且与x轴交于点B．过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O→C→A的路线向点A运动，同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P的运动时间为t（秒）．（1）求点A和点B的坐标．（2）当t为何值时，以A，P，R为顶点的三角形的面积为8？（3）是否存在以A，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【参考答案】1.解：（1）由题意得：CQ=t ∴BQ=20-t∴S=12(20-t)×16=-8t+160（2）如果线段PQ与线段AB相交，则P点应运动到A点的左侧，此时15<t≤20由题意得：AP=2t-30，△BOQ∽△AOP∴BQ BO AP AO==2即202 230tt-= -∴t=16即：当t=16s时，2AO=OB（3）MPQAB CD当PQ⊥BD时，过点Q作QM⊥AD交AD于点M由题意得：PM=PD-MD=PD-CQ=t，△PQM∽△DBC∴PM QM DC BC=即：16 1620 t=∴t=12.8s（4）NPQB CD A过点P作PN⊥BC于点N①PB=PQ时，BN=NQ，即：20-2t=t，解得t=203；②当PQ=BQ时，t2+162=(20-t)2，解得t=185；③当BQ=PB时，无解．综上，当t=203s或185s时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．2.解：（1（2）过C作CE⊥OA于E ∴∠PEC=90°由题意知：OD=1 2 t∴BD=4-1 2 t∵线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C ∴∠BPC=60°∵∠OPD=30°∴∠BPD+∠CPE=90°∵∠BPD+∠DBP=90°∴∠DBP=∠CPE∴△PCE∽△BPD∴CE PE PC PD BD BP==11242PEt==-∴CE=4，PE=2-14t∴OE=2+34t∴C(2+34t)（3）能①当∠PCA=90°时，作CF⊥PA∴△PCF∽△CAF∴PF CFCF AF=∴2CF PF AF=⋅∵PF=2-14t，AF=4-OF=2-34t，CF=4t ∴213)(2)(2)44t t=--∴t=2，此时P是OA的中点．②当∠CAP=90°时，C的横坐标就是4∴2+34t =4∴t=8 3综上，当t=2s或83s时，△PCA能成为直角三角形．3.解：（1）∵AB=20cm，∠ABC=120°∴∠BAO=30°∴AO=，AC=①0<t≤5时，AP=4t，AQ=∴AP AB AQ AO∵∠BAO=30°∴△APQ∽△ABO ∴∠AQP=90°即：PQ⊥AC②当5＜t≤10时，CP=40－4t，CQ=同理可证：△PCQ∽△BCO∴∠CQP=90°即：PQ⊥AC综上，在点P，Q运动过程中，始终有PQ⊥AC．（2）①由题意得，CM =AQ=，AP =4t 若点P ，M ，N 在同一直线上，则AMt ∴ AM ＋CM＋=∴ t =307 ②存在 设l 交AC 于HHMAB CD P Q ON当点N 在AD 上时，若PN ⊥MN ，则∠NMH =30°=∠NAH ∴ MH =2NH ，NH =AH ∴ AC －CM －AH =2NH =2 AH即：－3t ＝2×3t ∴ t =2N H MAB CD PQO N当点N 在CD 上时，若PM ⊥MN ，则∠HMP =30° ∴ MH =2PH同理可得：t =203 综上，当t =2s 或203s 时，存在以PN 为一直角边的直角三角形．4.解：（1）由题意得：OA=AB=4，∠OAB=90°，OC=8 ∴OB=8，∠AOB=30°∴∠BOC=60°，OC=OB即：△BOC是等边三角形∵OH⊥BC∴∠HOC=30°（2）①过点N作NK⊥x轴交OH于点K ∴△POQ∽△PKN如果QP=2PN，则12 NK PK PN OQ OP PQ===由题意得：OQ=t，OP=t∴PK=12t，NK=12(t)∴OK=3 2 t∵∠HOC＝30°∴1)12322tNKOK t==∴t＝5②存在当QP ⊥OH 时，△OPQ ∽△HOB ∵ ∠QOP =60° ∴12OP OQ == ∴ t=3当PQ ⊥OA 时，△OPQ ∽△BOH则2OP OQ == ∴ t综上，当t=3s或3s 时，△OPQ 与△HOB 相似．5.解：（1）由题意得：A 为y =-x +7与43y x =交点 联立得743y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得34x y =⎧⎨=⎩ ∴ A (3，4)∵ B 为y =-x +7与x 轴交点 ∴ B (7，0) （2）①图1如图1所示，当0≤t ≤4时，点P 在线段OC 上 则P (0，t )，R (7-t ，0) ∵ A （3，4），AC ⊥y 轴 ∴ AC =3，OC =4 ∵ OP =t ∴ CP =4-t ∴ S △ACP =12AC CP ⋅=3(4)2t - ∵ BR =t ，OB =7 ∴ OR =7-t∴ S △OPR =12OP OR ⋅=1(7)2t t -∴ S △APR =S 梯形ACOR - S △ACP - S △OPR=131(37)4(4)(7)222t t t t +-⋅----=214142t t -+若S △APR =8，则214142t t -+=8，即t =2或t =6（舍）②图2如图2所示，当4<t <7时，点P 在线段AC 上 ∵ OC +CP =t ，OC +AC =7 ∴ AP =7-t ∴ S △APR =12AP OC ⋅=-2t +14 若S △APR =8，则-2t +14=8，即t =3（舍） 综上，t =2时，S △APR =8. （3）存在①图3如图3所示，当0≤t ≤4时，点P 在线段OC 上，过A 作AD ⊥x 轴于点D ， 则OD =AC =3，AD =OC =4 ∴ OA =5，BD =OB -OD =4∴∠ABO=45°∴AB=∵l∥y轴∴QR=BR=t∵OP=t∴PQ∥x轴此时欲使△APQ为等腰三角形，显然只有使AP=AQ 在Rt△ACP中，AC=3，CP=4-t，∴229(4)AP t=+-在Rt△BRQ中，∠QBR=45°∴QB，2AQ=2()AB BQ-=2)若AP=AQ，则t=1或t=7（舍）②图4如图4所示，当4<t<7时，点P在线段AC上则AP=7-t，OR=7-t∵△OQR∽△AOC∴OQ OR AO AC=∴OQ=5 (7) 3t-∴AQ=520 33 t-若AP=AQ则t=41 8若AP=PQ，过点P作PE⊥AQ于点E，则AE=12AQ=51063t-∵∠PEA=90°，∠P AE=∠OAC ∴△P AE∽△OAC∴AE AP AC OA=即：51063t-=3(7)5t-解得t=226 43若AQ=PQ类比上一种情况，可以解得t=5综上，当t的值为1s或418s或22643s或5s，以A，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形．相似之动点问题（随堂测试）1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．点P从点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，同时点Q从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？（2）在运动过程中，是否存在某一时刻使△APQ为等腰三角形？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．【参考答案】（1）1025713t=或；（2）525321t=或．A CB相似之动点问题（作业）1. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点O 与坐标原点重合，点A ，B 坐标分别为(8，6)，(16，0)．点P 从点O 出发沿OA 方向向终点A 运动，速度为每秒1个单位，点Q 从点B 出发沿BO 方向向终点O 运动，速度为每秒2个单位．如果P ，Q 同时出发，用t （秒）表示运动时间，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．（1）设△OPQ 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式． （2）△OPQ 与△OAB 能否相似？若能，求出相应的t 值； 若不能，请说明理由．2. 如图，直线y =-4x -4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，直线y =43x -b 过点C ，与x 轴交于点B ．动点D 从点A 出发，沿线段AB 向终点B 运动，同时动点E 从点B 出发，沿线段BC 向终点C 运动，速度均为每秒1个单位长度，设运动时间为t （秒），当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动． （1）连接ED ，设△BDE 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关 系式；（2）在运动过程中，当△BDE 为等腰三角形时，求t 的值．【参考答案】1. （1）232455y t t =-+(08)t <<（2）能相似，12840219t t ==或 2. （1）22855S t t =-+（2）202421111t =或或相似之动点问题讲义第1题过程示范1．解：在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =10，AC :BC =4:3 ∴AC =8，BC =6（1）①当0<x ≤3时，BQ =2x ，AP =x ∴BP =10-x图1MBCPQ如图1，过点Q 作QM ⊥AB 于点M ，则 △BMQ ∽△BCA ∴MQ BQCA BA =即2810MQ x=∴85MQ x = ∴214825y BP QM x x =⋅=-+②当3<x <7时，AQ =14-2x ，BP =10-x图2NA P QC如图2，过点Q 作QN ⊥AB 于点N ，则 △AQN ∽△ABC ∴AQ QN AB BC = 即142106x QN -= ∴()31425QN x =- 2123514255y BP QN x x =⋅=-+ 综上，()()2248035351423755x x x y x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤，，（2）存在，理由如下： 当Q 在BC 上运动，即0<x ≤3时， ∵∠QBP=∠ABC由题意，需分成两种情况：① 如图3，PA QCB图3△BPQ ∽△BAC ∴BP BQ BA BC = 即102106x x -=∴x =3013，符合题意 ② 如图4，图4P CQ△BQP ∽△BAC ∴BQ BP BA BC = 即210106x x -=∴x =5011，不符合题意 综上：x =3013（3）不相似，理由如下： 如图5，图5PQCB∵PQ ⊥AB ，∠C =90°，∠A =∠A ， ∴△APQ ∽△ACB ∴AP AQ PQ AC AB CB == 即1428106x x PQ -== ∴56421313x PQ ==， ∴741013PB x =-=∵2137PQ BC PB AC =≠∴△BPQ 与△ABC 不相似.。
数轴上的动点问题 专题讲义设计(自编版)
数轴上的动点问题讲义一．动点问题的处理方法“点-线-式”三步二．动点问题的解题步骤1.列点：将已知点用具体的数表示，未知动点用含t的式子表示①点的左右移动：数轴上的点向左移动用减法，移动几个单位长度就减去几，向右移动用加法，移动几个单位长度就加上几。
②点的表示：通常用含t的式子表示数轴上的动点，可以根据动点的位置、速度和移动的方向将点表示出来。
例题1：如图，数轴上点A表示的数为-3，点B表示的数为6，动点P从A出发向右运动，速度2为每秒个单位长度，动点Q从B出发向左运动，速度为每秒3个单位长度，t秒后，求动点P、Q表示的数。
2.列线：利用两点间距离的表示方法将线段用具体的数或式子表示出来数轴上两点之间的距离三种表示方式：①如果两个点所表示的数的大小已知，直接用较大的数减去较小的数；②如果两个点所表示的数的大小未知，则用两个数的差的绝对值表示；③动点的起始点和终止点之间的线段可以用动点所走的路程表示。
例题2：数轴上点A表示的数为-3，点B表示的数为6，动点P从A出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，动点Q从B出发向左运动，速度为每秒3个单位长度，t秒后，求线段AB、AQ、BP、PQ、AP、BQ的长。
3.列式：解决数轴上的动点问题的一个重要方法就是方程法，可以根据题目中的线段之间的数量关系，列出方程并解方程例题3：已知数轴上A、B两点对应数分别为-2和4，P为数轴上一点，对应的数为x。
若点P到A、B两点的距离相等，求点P对应的数。
三、动点问题的常用工具1.中点公式：如图，数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，C点表示的数为c，且B为A、C中点，则b=2ca2.解绝对值方程：①|a|=b，则a=±b ②|a|=|b|，则a=±b ③|x-a|+|x-b|=c（零点分段法）3.分类讨论思想：例题4：已知数轴上两点A、B对应的数分别为-3、5，P为数轴上的动点，其对应的数为x。
数轴上是否存在点P，使得点P到A、B的距离之和为10，若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由。
中考动点问题专题教师讲义带答案
中考动点型问题专题一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这种问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。
二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动转变来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手腕和方式，来探讨与发觉图形性质及图形转变，在解题进程中渗透空间观念和合情推理。
在动点的运动进程中观看图形的转变情形，明白得图形在不同位置的情形，做好计算推理的进程。
在转变中找到不变的性质是解决数学“动点”探讨题的大体思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
三、中考考点精讲考点一：成立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭露了运动转变进程中量与量之间的转变规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动转变,引发未知量与已知量间的一种转变关系,这种转变关系确实是动点问题中的函数关系.例1 （2015•兰州）如图，动点P从点A动身，沿线段AB运动至点B后，当即按原路返回，点P在运动进程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时刻t的函数图象大致为（）A．B．C．D．思路分析：分析动点P的运动进程，采纳定量分析手腕，求出S与t的函数关系式，依照关系式能够得出结论．解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：（1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）；（2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）．综上，整个运动进程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2），这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求．故选B．点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题进程中求出了函数关系式，这是定量的分析方式，适用于本题，若是仅仅用定性分析方式则难以作出正确选择．对应训练1．（2015•白银）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部份的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）转变的函数图象大致是（）A．B．C．D．1．C考点二：动态几何型题目点动、线动、形动组成的问题称之为动态几何问题. 它要紧以几何图形为载体，运动转变为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这种题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力和分析问题和解决问题的能力.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，因此要把握好一样与特殊的关系；分析进程中，专门要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
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动点问题（讲义）
➢ 课前预习
1. 由点的运动（速度已知）产生的几何问题称为动点问题．
动点问题的解决方法： （1）研究_________________； （2）分析_________________，分段； （3）表达_________________，建方程．
2. 根据前期训练的标准动作及上述内容，完成下题．
如图，△ABC 是边长为6的等边三角形．动点P 从点A 出发，沿折线AB -BC 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PQ ⊥AC 于点Q ．设点P 运动的时间为t 秒，请用含t 的式子分别表达出PQ 和AQ 的长．
思路分析：
3s 3s
2/s :06P A B C t −−→−−→≤≤（）（）
①当03t ≤≤时，PQ =_________，AQ =__________； ②当36t <≤时，PQ =_________，AQ =__________．
➢ 知识点睛
1. 动点问题的特征是速度已知，主要考查运动的过程．
2. 动点问题处理框架： （1）研究背景图形；
（2）分析运动过程，分段、定范围； 借助线段图分析运动过程时，要关注四要素： ①起点、终点——明确运动路径； ②速度——确定时间范围； ③状态转折点——确定分段； ④所求目标——明确思考方向．
（3）分析几何特征、表达、设计方案求解．
分段画图，表达相关线段长，列方程求解，回归范围进行验证．
➢ 精讲精练
1. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是BC 的中点，AD =5，BC =12，
Q
B P
C
A
CD=2
4，∠C=45°．动点P从点B出发，以每秒
2个单位长度的速度沿线段BC向终点C运动．设运动的时间为t（s）．（1）当t的值为____________时，以点P，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形；
（2）当t的值为____________时，以点P，A，D，E为顶点的四边形是菱形．
E P D
C
B
A
E D
C
B
A
2.如图，△ABC是边长为6 cm的等边三角形，射线AD//BC，点E从点A出发
沿射线AD以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s 的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t的值为_______时，以点A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形；
（2）当t的值为_______时，以点A，C，E，F为顶点的四边形是菱形．
3.如图，直线2
y x
=-+与x轴、y轴分别交于点A，B，与直线y=x交于点C．动点P从原点O O→B→A的路线
向终点A运动（点P不与点O，A重合），同时动点Q从点A出发，以每秒
1个单位长度的速度沿A→O→C的路线向终点C运动（点Q不与点A，C重
合），设点P运动的时间为t（秒）．设△APQ的面积为S，求S与t之间的
函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
E
D
C
B
A
D
C
B
A
于点C ．动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA 方向向终
点A 运动，同时动点F 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线AC -CO 向终点O 运动，设点F 运动的时间为t （秒）．
（1）设△OEF 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．（这里规定：线段是面积为零的三角形）
（2）当12t ≤≤时，是否存在某一时刻，使得△OEF 是等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
5. 如图，直线2y x =+与直线y =交于点A ，与x 轴交于点B ，∠AOB
平分线OC 交AB 于点C ．动点P 从点B 出发沿折线BC -CO 以每秒1个单位长度的速度向终点O 运动，同时动点Q 从点C 出发沿折线CO -OA 以相同的速度向终点A 运动，设点P 运动的时间为t （秒）． （1）AC =________，BC =________；
（2）设△CPQ 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；
（3）当点P 在OC 上，点Q 在OA 上运动时，是否存在某一时刻，使得△OPQ 是等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
【参考答案】
➢课前预习
1.（1）背景图形；（2）运动过程；（3）线段长
2.
，t
；② t.
➢精讲精练
1.（1）1
2
或
11
2
；（2）
11
2
2.（1）2或6；（2）6
3.
2
2
2
(0
2
12
2) 22
(24(22 2
t
S t t
t t
<
⎪
⎪
⎪+
⎪
=-+
⎨
-+++<<+⎪
⎪⎩
≤
4.（1
）
2
2
1
(0)
4
11
(12)
44
11
(21
22
t S t t
t t
⎪
⎪⎪
=-+<
⎨
⎪
⎪+
-+<
⎪
⎪⎩
≤≤
≤
≤
（2）存在，t
的值为
1
2
1
5.（1）1，2
（2
）
2
2
(0)
1
+1 (12
4
(24)
t
S t t t
t
⎧
⎪
⎪
⎪
=-<+
⎨
+
⎩
≤≤2
≤
≤
（3）存在，t的值为3，
5
1
动点问题（随堂测试）
1.如图，直线l1
：y=+与x轴、y轴分别交于点A，B，直线l2
：y=+
与x轴交于点C，与直线l1交于点D，连接BC．动点M从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线CD-DB向终点B匀速运动，动点N从点A同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线AB-BC向终点C匀速运动．设△
运动的时间为t秒，求S与t之间的函数关系式．
的三角形）
【参考答案】
1
．
2
2
2
(02)
(2(24)
2(1624(42
0(26)
t
t t t
S
t t t
t ⎧+
⎪
-++<
⎪
=⎨
-++<+⎪
⎪
+<⎩
≤≤
≤
≤
≤。