组合数学(西安电子科技大学(第二版))习题4答案

习题四（容斥原理）1．试求不超过200的正整数中素数的个数。

解：因为2215225,13169==，所以不超过200的合数必是2,3,5,7,11,13的倍数，而且其因子又不可能都超过13。

设i A 为数i 不超过200的倍数集，2,3,5,7,11,13i =，则22001002A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，3200663A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，5200405A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，7200287A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦， 112001811A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，132001513A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，232003323A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 252002025A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，272001427A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，2112009211A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 2132007213A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，352001335A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，37200937A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 3112006311A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，3132005313A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，57200557A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 5112003511A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，5132003513A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，7112002711A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 7132002713A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，111320011113A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，2352006235A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦， 2372004237A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，231120032311A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，231320022313A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦ 2572002257A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，251120012511A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，251320012513A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦， 271120012711A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，271320012713A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦， 21113200021113A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，3572001357A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，351120013511A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦351320013513A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，371120003711A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，…， 235720002357A A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⨯⎣⎦，…，23571113200023571113A A A A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⎣⎦， 所以 23571113200(1006640281815)(3320149713965533221)(6432211110111i i j i j k i j k lii ji j ki j k li j k l m i j k l m ni j k l mi j k l m nA A A A A A S A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A <<<<<<<<<<<<<<<=-+-+-+=-++++++++++++++++++++-+++++++++++++∑∑∑∑∑∑0)00041+-+=但这41个数未包括2,3,5,7,11,13本身，却将非素数1包含其中， 故所求的素数个数为：416146+-=2．问由1到2000的整数中：（1）至少能被2，3，5之一整除的数有多少个？ （2）至少能被2，3，5中2个数同时整除的数有多少个？ （3）能且只能被2，3，5中1个数整除的数有多少个？ 解：设i A 为1到2000的整数中能被i 整除的数的集合，2,3,5i =，则2200010002A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，320006663A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，520004005A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦， 23200033323A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，25200020025A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，35200013335A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 235200066235A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦， （1）即求235A A A ++，根据容斥原理有：235235232535235()1000666400(333200133)661466A A A A A A A A A A A A A A A ++=++-+++=++-+++=（2）即求232535A A A A A A ++，根据容斥原理有：232535232535235235235235()333200133266534A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ++=++-+++=++-⨯=（3）即求[1]N ，根据Jordan 公式有：1112233235232535235[1]2()310006664002(333200133)366932N q C q C q A A A A A A A A A A A A =-+=++-⨯+++⨯=++-⨯+++⨯=3．求从1到500的整数中能被3和5整除但不能被7整除的数的个数。

解：设i A 为1到500的整数中能被i 整除的数的集合，3,5,7i =，则35001663A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，55001005A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，7500717A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦， 355003335A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，375002337A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，575001457A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 3575004357A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦， 满足条件的整数个数为：357A A A ，根据容斥原理有： 3573535733429A A A A A A A A =-=-=4．某人参加一种会议，会上有6位朋友，他和其中每一人在会上各相遇12次，每二人各相遇6次，每三人各相遇4次，每四人各相遇3次，每五人各相遇2次，与六人都相遇1次，一人也没遇见的有5次。

问该人共参加几次会议？ 解：设S 为该人参加的所有会议组成的集合，设i A 表示该人与第i 个朋友相遇的所有会议构成的子集，1,2,,6i =，则112i R A ==，1,2,,6i =26i j R A A ==，34i j k R A A A ==，43i j k l R A A A A ==，52i j k l m R A A A A A ==， 61234561R A A A A A A ==，则，12345612345661626364656661215620415362128A A A A A A C R C R C R C R C R C R +++++=-+-+-=⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-=则该人共参加会议次数为： 28533S =+=（次）。

5．n 位的四进制数中，数字1，2，3各自至少出现一次的数有多少个？ 解：设S 表示所有n 位四进制数构成的集合，i A 为不出现i 的数的集合，1,2,3i =，则1233n A A A ===，1213232n A A A A A A ===，1231A A A =， 则由逐步淘汰原理，可得 1231231213231231()()43321nn nA A A S A A A A A A A A A A A A +=-+++++-=-+⨯-6．某照相馆给n 个人分别照相后，装入每人的纸袋里，问出现以下情况有多少种可能？（1）没有任何一个人得到自己的照片； （2）至少有一人得到自己的相片； （3）至少有两人得到自己的照片；解：以任一种装法为元素构成的集合记为S ，则!S n =。

设i A 表示第i 个人拿到自己的照片的所有装法组成的集合。

则公共数1(1)!i R A n ==-，同理2(2)!i j R A A n ==-，……， 12()!,1,2,,k k i i i R A A A n k k n ==-=（1）即求[0]N ，由问题的性质可知，这是一个错排问题，所以111[0]!1(1)1!2!!nn N D n n ⎛⎫==-+-+- ⎪⎝⎭（2）即求[1]L ，1111[1][0]!!(1)1!2!!n n L S N n D n n -⎛⎫=-=-=-++- ⎪⎝⎭⏹ 方法二：问题即：将所有可能的分配方案－没有任何一人得到自己的照片的方案，则，符合条件的方案数为：!n n D -， ⏹ 方法三：问题即求：()()1121211121111!11!2!3!!n n nn n n n A A A R R R n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭（3）问题即求：[2][0][1]L S N N =--，1112131111223311[2][0][1]!((1))2!!3!!!((1)!(2)!(3)!1!2!(2)!2!3!(3)!!!(1)0!)(1)!!0!111!(1)!(1(1))1!2!(1)!n nn n n n n n n n n n n L S N N n D C C R C C R C C R C C R n n n D n n n n n n n n n n n D n n n ---=--=---+-+-=--⨯--⨯-+⨯----+-⨯-=--⨯--+-+--1!n n n D nD -⎡⎤⎢⎥⎣⎦=--7．把{,,,,,,,,}a a a b b b c c c 排成相同字母互不相邻的排列，有多少种排法？解：设S 为所有排列的组成的集合，则9!16803!3!3!S ==，设i A ：表示排列中有相邻i 个元素都是a 的排列集合；2,3i =；设i B ：表示排列中有相邻i 个元素都是b 的排列集合；2,3i =； 设i C ：表示排列中有相邻i 个元素都是c 的排列集合；2,3i =； 则：3337!1401!3!3!A B C ====，3333335!201!1!3!A B A C B C ====， 3333!6A B C ==，（即将aaa 、bbb 或ccc 看为一个元素）2228!7!11201409801!1!3!3!1!3!3!A B C ===-=-=（将aa 与a 看做为不同的两个元素参与排列，但在出现aaa 时就重复计算，(aa)a 、a(aa)看为两个不同的排列，因此aaa 多计算了一次） 因为22A B 为aa,bb 图象都出现的排列集合，当我们将aa 与a ，bb 与b 看作不同的两对元素进行排列时，在aa 与a 相遇而成aaa 图象及bb 与b 相遇而成bbb 图象时会产生重复计数。