组合数学(西安电子科技大学(第二版))习题4答案

习题四（容斥原理）

1．试求不超过200的正整数中素数的个数。

解：因为2215225,13169==，所以不超过200的合数必是2,3,5,7,11,13的倍数，

而且其因子又不可能都超过13。

设i A 为数i 不超过200的倍数集，2,3,5,7,11,13i =，则

22001002A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，3200663A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，5200405A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，7200287A ⎢⎥

==⎢⎥⎣⎦， 112001811A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，132001513A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，232003323A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦

， 252002025A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，272001427A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，2112009211A A ⎢⎥

==⎢⎥⨯⎣⎦， 2132007213A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，352001335A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，37200937A A ⎢⎥

==⎢⎥⨯⎣⎦， 3112006311A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，3132005313A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，57200557A A ⎢⎥

==⎢⎥⨯⎣⎦， 5112003511A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，5132003513A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，7112002711A A ⎢⎥

==⎢⎥⨯⎣⎦， 7132002713A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，111320011113A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，2352006235A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦， 2372004237A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，231120032311A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，231320022313A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦ 2572002257A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，251120012511A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，251320012513A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦， 271120012711A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，271320012713A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦

， 21113200021113A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，3572001357A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦

，351120013511A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦

351320013513A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，371120003711A A A ⎢⎥

==⎢⎥⨯⨯⎣⎦

，…， 235720002357A A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⨯⎣⎦，…，23571113200023571113A A A A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⎣⎦

， 所以 23571113200(1006640281815)

(3320149713965533221)(6432211110111i i j i j k i j k l

i

i j

i j k

i j k l

i j k l m i j k l m n

i j k l m

i j k l m n

A A A A A A S A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A <<<<<<<<<<<<<<<=-+-

+

-

+

=-++++++++++++++++++++-+++++++++++++∑∑∑

∑

∑

∑

0)00041

+-+=

但这41个数未包括2,3,5,7,11,13本身，却将非素数1包含其中， 故所求的素数个数为：416146+-=

2．问由1到2000的整数中：

（1）至少能被2，3，5之一整除的数有多少个？ （2）至少能被2，3，5中2个数同时整除的数有多少个？ （3）能且只能被2，3，5中1个数整除的数有多少个？ 解：设i A 为1到2000的整数中能被i 整除的数的集合，2,3,5i =，

则2200010002A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，320006663A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，520004005A ⎢⎥

==⎢⎥⎣⎦， 23200033323A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，25200020025A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，35200013335A A ⎢⎥

==⎢⎥⨯⎣⎦， 235200066235A A A ⎢⎥

==⎢⎥⨯⨯⎣⎦

， （1）即求235A A A ++，根据容斥原理有：

235235232535235

()1000666400(333200133)661466

A A A A A A A A A A A A A A A ++=++-+++=++-+++=

（2）即求232535A A A A A A ++，根据容斥原理有：

232535

232535235235235235()333200133266534

A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ++=++-+++=++-⨯=

（3）即求[1]N ，根据Jordan 公式有：

11

12233

235232535235[1]2()310006664002(333200133)366932

N q C q C q A A A A A A A A A A A A =-+=++-⨯+++⨯=++-⨯+++⨯=

3．求从1到500的整数中能被3和5整除但不能被7整除的数的个数。 解：设i A 为1到500的整数中能被i 整除的数的集合，3,5,7i =，

则35001663A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，55001005A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，7500717A ⎢⎥

==⎢⎥⎣⎦， 355003335A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，375002337A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，575001457A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 3575004357A A A ⎢⎥

==⎢⎥⨯⨯⎣⎦

， 满足条件的整数个数为：357A A A ，根据容斥原理有： 3573535733429A A A A A A A A =-=-=

4．某人参加一种会议，会上有6位朋友，他和其中每一人在会上各相遇12次，每二人各相遇6次，每三人各相遇4次，每四人各相遇3次，每五人各相遇2次，与六人都相遇1次，一人也没遇见的有5次。问该人共参加几次会议？ 解：设S 为该人参加的所有会议组成的集合，

设i A 表示该人与第i 个朋友相遇的所有会议构成的子集，1,2,,6i =，则

112i R A ==，1,2,

,6i =

26i j R A A ==，34i j k R A A A ==，43i j k l R A A A A ==，52i j k l m R A A A A A ==， 61234561R A A A A A A ==，

则，

123456

123456

616263646566

61215620415362128

A A A A A A C R C R C R C R C R C R +++++=-+-+-=⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-=

则该人共参加会议次数为： 28533S =+=（次）。