完全非弹性碰撞动能损失最大的证明方法

完全非弹性碰撞动能损失最大的证明方法

方法一：用柯尼希定理很容易证明

(柯尼希定理:一个质点系的总动能，等于它的质心动能与各质点相对于质心的动能之和。E=E1+E2)

在碰撞前，系统的总动能E 等于质心动能与各质点相对于质心的动能之和。而在碰撞过程中以及碰撞以后，两物体的质点的速度是不变的，不管碰撞是弹性的还是非弹性的都是如此。因为碰撞中两物体之间的作用力，是系统内部的力，即内力，是不能改变系统总动量的，当然也不能改变系统质心的速度,所以不能改变质心的动能。所以，不管是什么类型的碰撞，都不能改变质心动能E1。

在碰撞以后，如果两物体粘在一起，动能E2为0,即完全非弹性碰撞. 所以碰撞为完全非弹性碰撞时,E=E1.系统损失机械能最多.

方法二：数学计算法

首先，两个都有速度太难算了,不如引入相对速度v(v=v1-v2).则原题简化为A 以v 的速度向静止的B 运动

根据动量守恒定律：b a v m v m v m 211+= 根据能量守恒定律，则有E mv mv mv b a ++=2222

12121 (E 为能量损失) 消去vb,化简得:02)(2)(1

22121221=+---+m Em v m m vv m v m m a a 关于a v 的二次方程有解,则0≥∆即:)

(2212

21m m v m m E +≤ 当取等号时,E 最大.2

11m m v m v a += 代入动量守恒式得:vb=va 所以此时为完全非弹性碰撞.

算得好辛苦啊

E<或=m1m2v^2/(2m1+2m2)

当取等号时,E 最大.

下面开始讲如何算出:va=m1v/(m1+m2)

把E=m1m2v^2/(2m1+2m2)代入 (m1+m2)va^2-2m1vva-(m2-m1)v^2+2Em2/m1=0 化简得:(m1+m2)va^2-2m1vva+(m1v)^2/(m1+m2)=0

这步应该不难得到,带进去时发现有两项通分后可以使方程大大简化.

接着对该方程两边同乘以(m1+m2)得:

[(m1+m2)va]^2-2(m1+m2)m1vva+(m1v)^2=0

观察发现它竟然是一个完全平方式!!

[(m1+m2)va-m1v]^2=0

即:va=m1v/(m1+m2)