《函数的最大(小)值与导数》教案

《函数的最大(小)值与导数》教案

【教学目标】

1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；

2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤． 【教学重点】利用导数求函数的最大值和最小值的方法．

【教学难点】函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系． 【教学过程】 一、复习回顾： 1．极值的概念：

极大值： 一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)，x 0是极大值点．

极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)．就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0)，x 0是极小值点．

2． 判断函数)(x f y =的极值的方法： 解方程0)(='x f .当0)(0='x f 时：

（1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，那么)(0x f 是极大值； （2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，那么)(0x f 是极小值. 3． 求可导函数f (x )的极值的步骤： （1）确定函数的定义区间，求导数f ′(x )； （2）求方程f ′(x )=0的根；

（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不

改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值． 二、新知探究：

1．函数的最大值和最小值 观察右图中一个定义在闭区间

[]b a ,上的函数)(x f 的图象，你能找

出它的极大值点，极小值点吗？

图中极大值点是：g e c 、、， 极小值点是：f d b 、、．

函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(a f ，最小值是)(d f ．

一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值． 说明：⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数

x

x f 1

)(=

在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值； ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．

⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．

(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个．

⒉利用导数求函数的最值步骤:

由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．

设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：

⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；

⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值．

三、讲解范例：

例1、求函数1212)(3+-=x x x f 在[0, 3]上的最大值，最小值.

变式练习：求函数263)(23-+-=x x x x f 在区间[-1,1]上的最值. （最大值:2，最小值:-12）

例2、已知函数a x x x x f +++-=93)(23;

(1)求f(x)的单调递减区间；（答案：),3(),1,(+∞--∞）

(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.（答案：-7）

四、课堂小结 ：

⑴函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；

⑵函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；

⑶闭区间[]b a ,上的连续函数一定有最值；开区间),(b a 内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．

的变化情况如下：、上变化时，在当舍或得由解：)()(]3,0[)(220)()2)(2(3123)(''2

'x f x f x x x x f x x x x f -===+-=-=12)(04-)(2有最大值时，当，

有最小值时，所以，当x f x x f x ==

五、当堂检测：

1．下列说法正确的是( )

A ．函数的极大值就是函数的最大值

B ．函数的极小值就是函数的最小值

C ．函数的最值一定是极值

D ．在闭区间上的连续函数一定存在最值 2．函数y =f (x )在区间［a ,b ］上的最大值是M ，最小值是m ,若M =m ,则f ′(x ) ( ) A ．等于0

B ．大于0

C ．小于0

D ．以上都有可能

3．函数y =2342

1

3141x x x ++，在［-1,1］上的最小值为( )

A ．0

B ．－2

C ．－1

D ．1213

4．设y =|x |3,那么y 在区间［-3,-1］上的最小值是( ) A ．27

B ．－3

C ．－1

D ．1

5．设f (x )=ax 3－6ax 2+b 在区间［-1，2］上的最大值为3，最小值为－29，且a >0,则( ) A ．a =2,b =29

B ．a =2,b =3

C ．a =3,b =2

D ．a =－2,b =－3

答案：1．D 2．A 3．A 4．D 5．B 六、课后作业：习题1.3A 组第6题