电网络理论

泛地应用于整流、变频、调制、限幅等信号处理的许 多方面。
由例1可以看出，在时变偏置电源作用下，一个非线性 时不变电阻元件的小信号等效电阻是线性时变的，这是
一个十分有用的结果。显然，如果希望得到线性时不变 的小信号等效电阻，只需将偏置电源换为直流电源即可。
例2说明流控非线性电阻可以改变频率。即流控非线 性电阻元件的电压与电流虽然都是正弦的，但频率不 同。
阻元件 压控电阻 i(t) g(u(t), t)
单调电阻
函数f、g不依赖于时间变量t ，称为时不变的电阻元 件 ；反之则是时变的。
非线性电阻电路的小信号分析 以流控电阻元件为例
思路： i(t) I (t) i(t)
u(t) U (t) u(t)
U (t) u(t) f (I (t) i(t))
忆阻 荷控忆阻元件 ψ (t) (q(t), t)
元件 磁控忆阻元件 q(t) Q( (t), t)
单调型 、 时不变、 时变
忆阻元件的u-i关系
（1）荷控时不变忆阻元件
u(t) d d(q) dq d(q) i(t)
dt dq dt dq
忆阻的定义
M (q) d(q) dq
具有电阻的量纲
L2
根据理想变压器的元件特性
u1 n L1
u2
L2
二端口电感电流关系
u1 (t )
L1
di1 (t ) dt
M
di2 (t ) dt
i1(t)
L2 L1
i2(t)
1 L1
t
u
01
(
)d
i1 (0)
L2 L1
i2
(0)
对于右下角二端网络
1
i1 (t )
L1
t
0 u1(
)d
iL1
耦合电感元件的成分关系
1 2
(t) (t )
L1 M
M
L2
i1 (t ) i2 (t )
故为二端口电感元件。
理想变压器的元件特性
u (t) 1 i2 (t)
0
n
n 0
i (t) 1 u2 (t)
理想变压器是二端口电阻元件。
耦合电感元件的耦合系数等于1，即 M L1L2 则此
全耦合的耦合电感元件等效于在一个变比为 n L1 L2
容许信号偶(admissible signal pair):
在整个时间区间 [t0，)里，对n端口(或
(n+1)端)元件N观测到的一对动态无关变 量向量 (ξ (t), η (t))
成分关系
相对于同一起始时间t0测出的N的
所有 容许信号偶的全体 。
代数成分关系
如果元件N的成分关系可以用只包
含(t)和(t)的代数方程表示，而不
网络变量向量偶和它们的四种代数成分关系
11––22 电电阻阻元元件件
n端口电阻性元件的成分关系
fR (u(t), i(t),t) 0
二端电阻元件的成分关系
fR (u(t),i(t),t) 0
又称二端电阻元件的特性方程。 线性、 非线性
非线性 流控电阻 u(t) f(i(t),t)
二端电
单值函数
u(t) L(t) di(t) i(t) dL(t)
dt
dt
(4)线性时不变电感 u(t) L di(t) dt
非线性电感的小信号行为
(t) f (i(t))
i(t) I (t) i(t)
(t) (t) (t)
(t) f (I (t)) (t) (t) f (I (t) i(t)) (t) f '(I (t)) i(t) Ld (t) i(t)
t0
ik
(
)d
qk (t0 )
t
t0 ik ( )d
动态无关的网络变量偶：
(uk，ik)、（uk，qk）、(ik，k)和（k，qk）这四
种组合的二变量之间存在预先规定的依赖于元件 N的关系。
由一对 动态无关的网络变量向量构成的向量偶
称为动态无关变量向量偶，记为
(ξ, η )(u,i), (u,q), (i,ψ ), (ψ ,q)
Cd(t)= f (U(t))是原非线性电容元件的小信号等效电容，
又称动态电容。
与电阻元件类似，在时变偏置电压源作用下, 一个非线 性时不变电容元件的小信号等效电容是线性时变电容。 如果希望得到参数可调的线性时不变小信号等效电容, 则偏置电源应采用电压可调的直流电源。
例1-4是一个电子调谐装置的电路，通过计算可得电路
fL (i(t),ψ (t),t) 0
二端电感元件的成分关系
fL (i(t), (t),t) 0
又称为二端电感元件的特性方程。
非线性电 感元件
磁控电感 i(t) h( (t), t) 流控电感 (t) f (i(t), t)
单调型、 时不变、 时变
电感元件的电压—电流关系
u(t) d (t)
Ld(t)=f '(I (t))是原非线性电感元件的小信号等效电感， 又称动态电感。
在时变偏置电流源作用下，一个非线性时不变电感元件 的小信号等效电感是一个线性时变电感。如果希望得到 参数可调的线性时不变小信号等效电感，则偏置电源应 采用电流可调直流电源。
上面的结论在工程技术中是十分有用的，例如，磁放大 器就是基于上述原理的。
(0)
1 n
i2 (t )
n
L1 / L2
1 iL1(0) i1(0) n i2(0)
i1
n:1
i2
+
iL1
+
两图中端口u-i关系是相同的， u1 L1
u2
即二者是等效的。
–
–
1-5 忆阻元件
n端口元件的成分关系
f (ψ (t), q(t), t) 0 M
二端忆阻元件的成分关系
fM ( (t), q(t), t) 0
i(t) d f (u(t), t) f (u,t) du f (u,t)
dt
u dt t
(2)荷控型非线性时变电容
u(t) h(q(t),t)
du h(q,t) i(t) h(q,t)
dt q
t
(3)线性时变电容 q(t) C(t) u(t)
i(t) C(t) du(t) u(t) dC(t)
U (t) f (I (t))
称为原非线性电阻元件的
u(t)
Rd (t)
i(t)
小信号等效电阻。由此可 作出计算δu小信号等效电
路。
Rd (t) f '(I (t))
线性非时变电阻元件是将电能转化为热能，而非线性 电阻和时变电阻元件的作用已远不能仅用“将电能转
化为热能”来描述。非线性电阻和线性时变电阻被广
dt
(1)流控型非线性时变电感 (t) f (i(t), t)
u(t) d f (i(t), t) f (i, t) di f (i, t)
dt
i dt t
(2) 磁控型非线性时变电感
i(t) h( (t), t)
di(t) h( , t) u(t) h( , t)
dt
t
(3)线性时变电感
1971年，忆阻器：下落不明的电路元件，蔡少棠
2008.5，寻获下落不明的忆阻器，《自然》 ，惠普 公司实验室的研究人员，设计出能工作的忆阻器实 物模型。这项发现将可能用来制造非易失性存储设 备、即开型PC、更高能效的计算机和类似人类大脑 方式处理与联系信息的模拟式计算机，对电子科学 的发展历程将产生重大影响。
i(t) dq dQ( ) d dQ( ) u(t) dt d dt d
忆导的定义
W ( ) dQ( ) 具有电导的量纲 d
t
(t ) u( )d
故W()与忆阻元件端电压的过去历史情况有关，即 W()可视为一个有记忆作用的电导参数，由此而命
名为忆导。
对于单调忆阻元件
u M(q)i
四种理想受控源、理想变压器、回转器和负阻抗变换 器等元件都是二端口电阻元件，因为它们的元件特性 都是用端口电压向量和端口电流向量间的代数成分关 系来表征的。
独立电压源与独立电流源的元件特性分别用u-i平面上 的平行于i轴与平行于u轴的直线表示，因此，它们均 属于非线性电阻元件。
1-3 电容元件
n端口电容元件的成分关系 fC (u(t), q(t), t) 0
1-6 网络的线性和非线性
传统的线性网络 一个网络若仅含线性非源元件和独立源，则称为 线性网络。按此定义的线性网络中，所含线性电 感的电流和线性电容的电压可具有任意初始值。
对小信号的谐振频率为
fo 2
1 LCd
2
1 kLU0
调节直流偏置电压U0，可达到改变谐振频率的目的。
+ U0
+ u–
–
L
+
us(t)
R
–
在现代通讯网络中常用以得到调幅和调频信号以及实 现电子可调滤波器，后者是带宽与延迟均为时间函数 的滤波器，在这种电路中，就需要用时变电容。
1-4 电感元件
n端口电感元件的成分关系
dt
dt
Байду номын сангаас
(4)线性时不变电容
i(t) C du(t) dt
非线性电容的小信号行为
q(t) f (u(t))
u(t) U (t) u(t)
q(t) Q(t) q(t)
Q(t) f (U (t))
Q(t) q(t) f (U (t) u(t))
q(t) f '(U (t)) u(t) Cd (t) u(t)
荷控忆阻元件
u(t) M(q) i(t)
t
q(t) i( )d
忆阻元件在时刻t的电荷值决定于从-到t的所有时刻的电流 之值，因而M(q)与元件电流的历史情况有关。故把M(q)视为 一个有记忆作用的电阻参数，命名为忆阻(memristance)。
（2）磁控忆阻元件
M (q) d(q) dq
的理想变压器输入端并联L1所构成的二端口网络。
i1 +
M
i2
+
i1
n:1
i2
+
iL1
+
u1 L1
L2 u2
u1 L1
u2
–
–
–
–
证明： 二端口电压的关系
u1
L1
di1 dt
M di2 dt
L1
di1 dt
L1 L2
di2 dt
L1
u2
M
di1 dt
L2
di2 dt
L1 L2
di1 dt
L2
di2 dt
关系对电路的行为是毫无影响的。
1–1 容许信号偶和基本元件组
动态相关的网络变量偶：
(uk，k)和(ik，qk)两对变量不依赖于元 件性质 ,称为动态相关的网络变量偶
uk
(t)
d k (t)
dt
ik
(t)
dqk (t) dt
(t) k
t0
uk
(
)d
k
(t0 )
t
t0 uk ( )d
qk (t)
含它们的导数和积分。
动态成分关系
如果成分关系不能用ξ和的代数
方程表示。
fR (u, i,t) 0
fR(·)为电阻类元件的伏－安关系
fc (u, q,t) 0
fC(·)为电容类元件的伏－库关系
f (i,ψ ,t) 0
fL(·)为电L 感类元件的安－韦关系
fM (ψ ,q,t) 0
fM(·)为忆阻类元件的韦－库关系
二端电容元件 的成分关系 fC (u(t), q(t), t) 0
又称为二端电容元件的特性方程。
非线性 荷控电容 u(t) h(q(t), t)
二端电
容元件 压控电容 q(t) f (u(t), t)
单调型、 时不变、 时变
电容元件的电压与电流之间的关系
(1)压控型非线性时变电容
q(t) f (u(t),t)
t2 u(t)i(t)dt
t1
集总公设：
假定任一网络变量信号仅是独立变量时间t的函数, 而与测点的空间坐标无关,即认为电磁波的传播是 瞬时完成的。换句话讲,对于以光速传播的电磁波 而言,电路的长短和电气装置的大小可以忽略不计。 这样便可将任一电磁过程中的各个方面(电场储能, 磁场储能,电能的损耗等)孤立开来,各自分别存在 于某一元件上,而一个电路中各个元件的空间位置
电网络理论
电网络理论包括：网络分析和网络综合。 网络分析：给定网络的结构和参数，在已知激励下求网 络的响应。 网络综合：给定网络的激励—响应关系特性，确定应有 的网络结构和参数。
对于线性电路而言，网络分析问题一般是具有唯一解 的，比较简单。而网络综合问题则较为复杂，为了解决 同一个网络综合问题，常常有各种不同的方法和步骤， 可得到多个满足给定响应特性的解（有时在一定限制条 件下也会无解）。无论何种网络综合方法，都是以网络 分析的理论和方法为基础的。
i W ( )u
W ( ) 1
M (q)
忆阻元件的提出，则首先是根据另一对动态无关的网
络变量(、q)的代数成分关系定义，从而实现了电网
络理论中基本元件组的完备性。
加州大学伯克利分校的美籍华人蔡少棠教授，44年 前就预测有忆阻元件的存在。但这么多年来，难以 找出某种简单的器件，其模型就是忆阻元件。根据 忆阻元件的特性和电压、电流关系，人们可以用含 有源器件的电路来实现它。
第一章 网络元件和网络的基本性质
电网络的基本变量：i u q 对应于电磁场： H E D
i H dl 电流连续性 l
u E dl 电位单值性 l
q D dS 电荷守恒性 s
B dS 磁通连续性 s
()
B
电功率p和能量W（基本复合量）
p(t) u(t)i(t)
W (t1,t2 )