函数奇偶性经典讲义-新

Ⅰ复习提问
（一）奇偶函数的定义
（二）、函数按奇偶分类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数也不是偶函数（非奇非偶）
（三）、奇偶函数的性质： 1、奇函数的反函数也是奇函数
2、奇偶函数的加减：±±±奇奇=奇，偶偶=偶，奇偶=非奇非偶；奇偶函数的乘除：同偶异奇
3、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。

4、定义在R 上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和
()()()()()()
()22
f x f x f x f x f x --+-=
+奇偶 （四）、函数奇偶性的做题方法与步骤。

第一步，判断函数的定义域是否关于原点对称；第二步，求出()f x -的表达式；第三步，
比较()()f x f x -与的关系()()()()f x f x f x f x -⎧⎪⎨-⎪⎩
与相等，函数为偶
与互为相反数，函数为奇函数
Ⅱ 题型与方法归纳
题型与方法()()()()()0,0,020,===f x f x f x f x ⎧+-=⎧⎪→⎪⎨
--=⎪⎪⎩⎨±±±⎧⎪
⎨⎪
⎩⎩则是奇函数
定义法：1）看定义域是否关于对称，）若则是偶函数奇偶加减：奇奇奇，偶偶偶，奇偶非奇非偶快速判定奇偶乘除：同偶异奇。

一、判定奇偶性
例1：判断下列函数的奇偶性
1) ()()21f x x x =+ 2）()112
log x x f x -⎛⎫ ⎪+⎝⎭
= 3）(
)f x =4）(
)f x =）()2
2110
2
110
2x x f x x x ⎧+>⎪⎪=⎨
⎪--<⎪⎩
解：1）()f x 的定义域为R ，()()
()
()2
211f x x x x x -=--+=+()f x =所以原函数为偶函数。

2）()f x 的定义域为
11x x
-+0>即11x -<<，关于原点对称()()()11112
2
log log x x x x f x ⎛⎫
--+⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪+--⎝⎭
⎝⎭
-==
()21log 1x f x x -⎛⎫
=-=- ⎪+⎝⎭
，所以原函数为奇函数。

3） ()f x 的定义域为2
210
10
x x ⎧-≥⎪⎨-≥⎪⎩即1x =±，关于原点对称，又()()110f f -==即
()()()()1111f f f f -=-=-且 ，所以原函数既是奇函数又是偶函数。

4）()f x 的定义域为20
20x x -≥⎧⎨-≥⎩ 即2x =，定义域不关于原点对称，所以原函数既不是奇函数又不是偶
函数。

5）分段函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞关于原点对称， 当0x >时，0x -<，()()()2
22111111222f x x x x f x ⎛⎫-=-
--=--=-+=- ⎪⎝⎭ 当0x <时，0x -> ，()()()2
22111111222f x x x x f x ⎛⎫-=
-+=+=---=-
⎪⎝⎭
综上所述，在()(),00,-∞⋃+∞上总有()()f x f x -=- 所以原函数为奇函数。

注意：在判断分段函数的奇偶性时，要对x 在各个区间上分别讨论，应注意由x 的取值范围确定应用相应的函数表达式。

练习1：判断下列函数的奇偶性
1）()()()()
2616x x f x x x -+=- 2）(
)22
f x x =
+- 3）(
)f x = 4）()22f x x x =++- 5）()22
00
x x
x f x x x
x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩
二、利用奇偶性求函数解析式：
例2：设()f x 是R 上是奇函数，且当[)0,x ∈+∞时(
)(1f x x =，求()f x 在R 上的解析式 解：当[)0,x ∈+∞时有(
)(1f x x =，设(),0x ∈-∞， 则()0,x -∈+∞，从而有
()(
)(
(11f x x x -=-=- ，
()f x 是R 上是奇函数，∴()()f x f x -=-
所以()(
)(1f x f x x =--= ，因此所求函数的解析式为(
)(
(1010
x x f x x x ⎧+≥⎪
=⎨
<⎪⎩
注意：在求函数的解析式时，当球自变量在不同的区间上是不同表达式时，要用分段函数是形式表示出来。

练习2：已知()y f x =为奇函数，当0x ≥时，()22f x x x =-+，求()f x 的表达式。

练习3、已知()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()x f x g x e +=，求函数()f x 的表达式。

例3：设函数()f x 是定义域R 上的偶函数，且图像关于2x =对称，已知[2,2]x ∈-时，()21f x x =-+ 求[]6,2x ∈--时()f x 的表达式。

解：图像关于2x =对称，()()22f x f x ∴-=+， ()()()22f x f x =-- =()()()4[4]4f x f x f x -=--=- ()()4f x f x =+ 4T ∴= []6,2x ∈--
[]42,2x +=- ∴()()()2
441f x x f x +=-++= 所以[]6,2x ∈--时()f x 的表达式为()f x =()2
41x -++
练习3：已知函数 ()f x 为奇函数，当0x ≥时，()223f x x x =-，求()f x 的表达式。

例4：已知函数()538f x x ax bx =++-且()210f -=，求()2f 的值
解：令()53g x x ax bx =++，则()()8f x g x =- ()()()22810218f g g -=--=⇒-=
()g x 为奇函数，∴()()()2218218g g g -=-=∴=- ()()22818826f g =-=--=- 练习4：已知函数()7534f x ax bx cx dx =-+--且()39f -=-，求()3f 的值。

例5：定义在R 上的偶函数()f x 在区间(),0-∞上单调递增，且有()()2221321f a a f a a ++<-+ 求a 的取值范围。

解：
2217212048a a a ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，2
2123213033a a a ⎛
⎫-+=-+> ⎪⎝
⎭，且()f x 为偶函数，且在区间
(),0-∞单调递增，()f x ∴在区间()0,+∞上为减函数，∴221a a ++>2321a -+⇒03a <<
所以a 的取值范围是()0,3。

点评：利用函数的奇偶性及单调性，将函数值之间的大小关系转换为自变量的大小关系，从而应用不等式有关知识求解.
练习5：定义在()1,1-上的奇函数()f x 为减函数，且()()2110f a f a -+-<，求实数a 的取值范围。

练习6：定义在[]2,2-上的偶函数()g x ，当0x ≥时，()g x 为减函数，若()()1g m g m -<成立，求m 的取值范围。

三、抽象函数奇偶性的判断
解题方法与步骤：（1）设/令 （2）求值 （3）判断 对任意的,x y ，均有()()()f xy xf y yf x =+，是判断函数奇偶性。

解：设y=-1，则()()()1f x xf f x -=--。

令x=y=-1, ()()1
112
f f -=-,令x=y=1，()10f =, 所以()()f x f x -=-，()f x 是奇函数。

练习1、已知()()()()2,f x y f x y f x f y -++=且()00f ≠，判断函数()f x 的奇偶性。

练习2、()()()f x y f x f y +=+，,x y R ∈，判断函数的奇偶性。

趁热打铁
1、判断下列函数的奇偶性.
(1)59
++=x x y ；(2))1(log 2
++=x x y a ；(3)2x x e e y -+=；(4) 2
x
x e e y --=
2、设函数)(x f 定义在],[a a -上，证明：
(1))()(x f x f -+为偶函数；(2) )()(x f x f --为奇函数.
3、若函数()f x 在区间3
3,2a a ⎡⎤-⎣⎦上是奇函数，则a=( )
A . -3或1 B. 3或-1 C. 1 D. -3
4、 已知函数(
)f x =
，则它是（ ）
A 奇函数
B 偶函数
C 即是奇函数又是偶函数
D 既不是奇函数又不是偶函数
5. ,,x y R ∈ ()()()f xy f x f y =+,判断()f x 的奇偶性。

温故知新 1． 判断下列函数的奇偶性
()()()()24
12;
2sin cos ;13sin cos ;
4ln
.1y x x y x x x
y x x y x
=-=+=-=-
（5）()()2
13f x x x =-≤≤ （6）()()()()
100
01
0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩ 2.已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( ). A.(25)(11)(80)f f f -<< B. (80)(11)(25)f f f <<- C. (11)(80)(25)f f f <<- D. (25)(80)(11)f f f -<<
3.已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+）
，则(2008)(2009)f f -+的值为（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
4.函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则 ( ) (A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数 5、已知函数1
()21
x
f x a =-
+.
（1）求证：不论a 为何实数()f x 总是为增函数； （2）确定a 的值，使()f x 为奇函数； （3）当()f x 为奇函数时，求()f x 的值域。

6、函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且对任意的x R ∈，均有()()2f x f x +=成立。

当[]0,1x ∈时，
()()log 2,1a f x x a =->
（1）当[]21,21()x k k k Z ∈-+∈时，求()f x 的表达式； （2）若()f x 的最大值为
12，解关于x 的不等式()14
f x >。

例1.判断下列函数的奇偶性 （1）x
x x x f -+-=22)
2()( （2）)22(,22)
2()(<<--+-=x x
x
x x f （3）)1ln()(2++=x x x f
（4）x
x
x f +-=11lg )( 例1 判断函数(x)=3x 2
, x
的奇偶性。

判断函数 的奇偶性。

判断函数的奇偶性。

判断函数 的奇偶性。

判断函数
例2．已知)0(),2
1
121(
)(≠+-⋅=x x x f x
（1） 判断f(x)的奇偶性。

（2） 证明f(x)>0. 1． 已知奇偶性求值
例.（1）已知|||1|)(a x x x f +--=是奇函数，则.______2010
=a
（2）若x
a x x x f )
)(1()(++=
是奇函数，则a=________.
（3）已知函数)0)(21
21
2()(2≠-+-⋅=x a a x x f x
是偶函数，则a=________ 1.判断下列函数的奇偶性：
（1）1
()f x x x
=+ （2）21()22x f x x -=+- （3）()2121f x x x =++-
（4）11
()212
x f x =+- （5）(1()11x f x x x -=++ （6）=y ()x a a R -∈
（7）()
()
22
4
0()40x x x x
f x x x x x ⎧++>⎪⎪=⎨-+⎪->⎪⎩
2．若()()2
()233f x k x k x =-+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是
3.已知5
3
()8f x x ax bx =++-，且(2)10f -=，则(2)f 等于（ ）
()26
()18()10()10A B C D ---
4．已知函数()f x 是定义R 在上的奇函数，且当0x >时，2
()1f x x x =++，求()f x 的解析式.
5．设()f x 为偶函数，()g x 是奇函数，且1
()()1
f x
g x x +=
-，求()f x 、()g x 的解析式.
6．函数()()0y f x x =≠是奇函数，且当()0,x ∈+∞时是增函数，若(1)0f =，求不等式102f x x ⎡⎤
⎛⎫-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
的解集.
7．定义在[]1,1-上的偶函数()f x ，当0x ≥时，()f x 为增函数，若(1)(2)f m f m +<成立，求m 的取值范围.
8.已知函数2
()3f x ax bx a b =+++为偶函数，其定义域是[]1,2a a -，求()f x 的值域
9．已知函数2()1ax b f x x +=
+是定义在(1,1)-上的奇函数，且12
()25
f =（1）确定函数()f x 的解析式；(2)用定义()f x 证明在(1,1)-上是增函数（3）解不等式(1)()0f t f t -+<.
高考题练习
10.（07广东文3）若函数3
()()f x x x =∈R ，则函数()y f x =-在其定义域上是（ ）．
A ．单调递减的偶函数
B ．单调递减的奇函数
C ．单调递增的偶函数
D ．单调递增的奇函数
11.（10安徽理4）若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足()()11,22f f ==，则()()34f f -=（ ）． A ．-1 B ．1 C ．-2 D ．2
12.（10广东文3）若函数()33x
x
f x -=+与()33x
x
g x -=-的定义域均为R ，则（ ）．
A ．()f x 与()g x 均为偶函数
B ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数
C ．()f x 与()g x 均为奇函数
D ．()f x 为偶函数，()g x 为奇函数
13.（07山东理4）设111
32a ⎧
⎫∈-⎨⎬⎩⎭
，，，，则使函数a
y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为（ ） A ．1，3
B ．1-，1
C ．1-，3
D ．1-，1，3
14.（08安徽理11）若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()x
f x
g x e -=，则有（ ） A ．(2)(3)(0)f f g <<
B ．(0)(3)(2)g f f <<
C ．(2)(0)(3)f g f <<
D ．(0)(2)(3)g f f <<
15.（08湖北文6）已知()f x 在R 上是奇函数，且2
(4)(),(0,2)()2,f x f x x f x x +=∈=当时，
(7)f =则（ ）
.2 C
16.（10山东文5）设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x
f x x b =++(b 为常数)，则()1f -=
（ ）．
A ．3
B ．1-
C ．1
D ．3-
17.（08重庆理6）若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1,x 2∈R 有f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)+1,,则下列说法一定正确的是（ ） (A)f (x )为奇函数
（B ）f (x )为偶函数
(C) f (x )+1为奇函数 （D ）f (x )+1为偶函数
18.（上海文9）若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，，则该函数的解析式()f x = ．
函数y =的图象关于( )对称
轴 B.直线y=x C.原点 轴。