2016年云南省第一次省统测理科数学(高清牛逼版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学I卷(含答案)
2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)理 数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|x 2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=( ) A.(-3,-32)B.(-3,32)C.(1,32)D.(32,3)2.设(1+i)x=1+yi,其中x,y 是实数,则|x+yi|=( ) A.1B.√2C.√3D.23.已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100=( ) A.100B.99C.98D.974.某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13B.12C.23D.345.已知方程x 2m 2+n -y 23m 2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( ) A.(-1,3)B.(-1,√3)C.(0,3)D.(0,√3)6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π7.函数y=2x 2-e |x|在[-2,2]的图象大致为( )8.若a>b>1,0<c<1,则( ) A.a c <b cB.ab c <ba cC.alog b c<blog a cD.log a c<log b c9.执行下面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y 的值满足( )A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x10.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A,B 两点,交C 的准线于D,E 两点.已知|AB|=4√2,|DE|=2√5,则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2B.4C.6D.811.平面α过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A,α∥平面CB 1D 1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB 1A 1=n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.√32B.√22C.√33D.1312.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2),x=-π4为f(x)的零点,x=π4为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在(π18,5π36)单调,则ω的最大值为( ) A.11B.9C.7D.5第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .14.(2x+√x)5的展开式中,x3的系数是.(用数字填写答案)15.设等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为.16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(Ⅰ)求C;,求△ABC的周长.(Ⅱ)若c=√7,△ABC的面积为3√3218.(本小题满分12分)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都(Ⅰ)证明:平面ABEF⊥平面EFDC;(Ⅱ)求二面角E-BC-A的余弦值.19.(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(Ⅰ)求X的分布列;(Ⅱ)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;(Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?20.(本小题满分12分)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(Ⅰ)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2有两个零点.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB=120°.以O 为圆心,12OA 为半径作圆.(Ⅰ)证明:直线AB 与☉O 相切;(Ⅱ)点C,D 在☉O 上,且A,B,C,D 四点共圆,证明:AB∥CD.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =acost ,y =1+asint (t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ.(Ⅰ)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (Ⅰ)画出y=f(x)的图象; (Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)一、选择题1.D 易知A=(1,3),B=(32,+∞),∴A∩B=(32,3).故选D.2.B ∵x,y∈R,(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi, ∴{x =1,y =1,∴|x+yi|=|1+i|=√12+12=√2.故选B. 3.C 设{a n }的公差为d,由等差数列前n 项和公式及通项公式,得{S 9=9a 1+9×82d =27,a 10=a 1+9d =8,解得{a 1=-1,d =1,a n =a 1+(n-1)d=n-2,∴a 100=100-2=98.故选C.4.B 解法一:7:30的班车小明显然是坐不到了.当小明在8:00前到达,或者8:20之后到达,他等车的时间将不超过10分钟,故所求概率为10+1040=12.故选B.解法二:当小明到达车站的时刻超过8:00,但又不到8:20时,等车时间将超过10分钟,其他时刻到达车站时,等车时间将不超过10分钟,故等车时间不超过10分钟的概率为1-2040=12.5.A ∵原方程表示双曲线,且焦距为4, ∴{m 2+n >0,3m 2-n >0,m 2+n +3m 2-n =4,①或{m 2+n <0,3m 2-n <0,-(3m 2-n )-(m 2+n )=4,②由①得m 2=1,n∈(-1,3).②无解.故选A.6.A 由三视图可知,该几何体是一个球被截去18后剩下的部分,设球的半径为R,则该几何体的体积为78×43πR 3,即283π=78×43πR 3,解得R=2.故其表面积为78×4π×22+3×14×π×22=17π.选A.7.D 当x∈(0,2]时,y=f(x)=2x 2-e x, f '(x)=4x-e x. f '(x)在(0,2)上只有一个零点x 0,且当0<x<x 0时, f '(x)<0;当x 0<x≤2时, f '(x)>0.故f(x)在(0,2]上先减后增,又f(2)-1=7-e 2<0,所以f(2)<1.故选D.8.C 解法一:由a>b>1,0<c<1,知a c>b c,A 错;∵0<c<1,∴-1<c-1<0,∴y=x c-1在x∈(0,+∞)上是减函数, ∴b c-1>a c-1,又ab>0,∴ab·b c-1>ab·a c-1,即ab c>ba c,B 错; 易知y=log c x 是减函数,∴0>log c b>log c a,∴log b c<log a c,D 错;由log b c<log a c<0,得-log b c>-log a c>0,又a>b>1>0,∴-alog b c>-blog a c>0,∴alog b c<blog a c,故C 正确.解法二:依题意,不妨取a=10,b=2,c=12.易验证A 、B 、D 均是错误的,只有C 正确. 9.C x=0,y=1,n=1,x=0,y=1,n=2;x=12,y=2,n=3;x=32,y=6,此时x 2+y 2>36,输出x=32,y=6,满足y=4x.故选C.10.B 不妨设C:y 2=2px(p>0),A(x 1,2√2),则x 1=(2√2)22p=4p,由题意可知|OA|=|OD|,得(4p )2+8=(p 2)2+5,解得p=4.故选B.11.A 如图,延长B 1A 1至A 2,使A 2A 1=B 1A 1,延长D 1A 1至A 3,使A 3A 1=D 1A 1,连结AA 2,AA 3,A 2A 3,A 1B,A 1D.易证AA 2∥A 1B∥D 1C,AA 3∥A 1D∥B 1C.∴平面AA 2A 3∥平面CB 1D 1,即平面AA 2A 3为平面α.于是m∥A 2A 3,直线AA 2即为直线n.显然有AA 2=AA 3=A 2A 3,于是m 、n 所成的角为60°,其正弦值为√32.选A.12.B 依题意,有{ω·(-π4)+φ=mπ,ω·π4+φ=nπ+π2(m 、n∈Z),∴{ω=2(n -m )+1,φ=2(m+n )+14π. 又|φ|≤π2,∴m+n=0或m+n=-1.当m+n=0时,ω=4n+1,φ=π4,由f(x)在(π18,5π36)上单调,得πω≥5π36-π18,∴ω≤12,取n=2,得ω=9, f(x)=sin (9x +π4)符合题意.当m+n=-1时,φ=-π4,ω=4n+3,取n=2,得ω=11, f(x)=sin (11x -π4),此时,当x∈(π18,536π)时,11x-π4∈(1336π,2318π), f(x)不单调,不合题意.故选B.二、填空题 13.答案 -2解析 由|a+b|2=|a|2+|b|2,知a⊥b,∴a·b=m+2=0,∴m=-2. 14.答案 10解析 T r+1=C 5r (2x)5-r·(√x )r=25-rC 5r·x 5-r2,令5-r2=3,得r=4,∴T 5=10x 3,∴x 3的系数为10.15.答案 64解析 设{a n }的公比为q,于是a 1(1+q 2)=10,① a 1(q+q 3)=5,② 联立①②得a 1=8,q=12, ∴a n =24-n,∴a 1a 2…a n =23+2+1+…+(4-n)=2-12n2+72n =2-12(n -72)2+498≤26=64.∴a 1a 2…a n 的最大值为64.16.答案 216 000解析 设生产产品A x 件,产品B y 件,依题意,得{x ≥0,y ≥0,1.5x +0.5y ≤150,x +0.3y ≤90,5x +3y ≤600,设生产产品A,产品B 的利润之和为E 元,则E=2 100x+900y.画出可行域(图略),易知最优解为{x =60,y =100,此时E max =216 000. 三、解答题17.解析 (Ⅰ)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分) 2cos Csin(A+B)=sin C. 故2sin Ccos C=sin C.(4分) 可得cos C=12,所以C=π3.(6分)(Ⅱ)由已知,得12absin C=3√32. 又C=π3,所以ab=6.(8分)由已知及余弦定理得,a 2+b 2-2abcos C=7. 故a 2+b 2=13,从而(a+b)2=25.(10分) 所以△ABC 的周长为5+√7.(12分)18.解析 (Ⅰ)由已知可得AF⊥DF,AF⊥FE,所以AF⊥平面EFDC.(2分)又AF ⊂平面ABEF,故平面ABEF⊥平面EFDC.(3分) (Ⅱ)过D 作DG⊥EF,垂足为G,由(Ⅰ)知DG⊥平面ABEF.以G 为坐标原点,GF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,|GF ⃗⃗⃗⃗⃗ |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.(6分)由(Ⅰ)知∠DFE 为二面角D-AF-E 的平面角,故∠DFE=60°,则|DF|=2,|DG|=√3,可得A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0,√3). 由已知得,AB∥EF,所以AB∥平面EFDC.(8分) 又平面ABCD∩平面EFDC=CD,故AB∥CD,CD∥EF.由BE∥AF,可得BE⊥平面EFDC,所以∠CEF 为二面角C-BE-F 的平面角,∠CEF=60°.从而可得C(-2,0,√3).所以EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3),EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,-4,√3),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,0,0).(10分) 设n=(x,y,z)是平面BCE 的法向量,则 {n ·EC ⃗⃗⃗⃗ =0,n ·EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x +√3z =0,4y =0.所以可取n=(3,0,-√3).设m 是平面ABCD 的法向量,则{m ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.同理可取m=(0,√3,4).则cos <n,m>=n ·m |n ||m |=-2√1919. 故二面角E-BC-A 的余弦值为-2√1919.(12分)19.解析 (Ⅰ)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而 P(X=16)=0.2×0.2=0.04; P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24; P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2; P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08; P(X=22)=0.2×0.2=0.04.(4分) 所以X 的分布列为X 16 17 18 19 20 21 22 P0.040.160.240.240.20.080.04(6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n 的最小值为19.(8分) (Ⅲ)记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元). 当n=19时,EY=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4 040.(10分) 当n=20时,EY=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4 080.可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.(12分)20.解析 (Ⅰ)因为|AD|=|AC|,EB∥AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC. 所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆A 的标准方程为(x+1)2+y 2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.(2分)由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24+y 23=1(y≠0).(4分) (Ⅱ)当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为y=k(x-1)(k≠0), M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).由{y =k (x -1),x 24+y 23=1得(4k 2+3)x 2-8k 2x+4k 2-12=0.则x 1+x 2=8k 24k 2+3,x 1x 2=4k 2-124k 2+3. 所以|MN|=√1+k 2|x 1-x 2|=12(k 2+1)4k 2+3.(6分)过点B(1,0)且与l 垂直的直线m:y=-1k (x-1),A 到m 的距离为√k 2+1,所以|PQ|=2√42-(2)2=4√4k 2+3k +1.故四边形MPNQ 的面积S=12|MN||PQ|=12√1+14k 2+3.(10分)可得当l 与x 轴不垂直时,四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,8√3). 当l 与x 轴垂直时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ 的面积为12. 综上,四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,8√3).(12分)21.解析 (Ⅰ)f '(x)=(x -1)e x+2a(x-1)=(x-1)(e x+2a).(2分) (i)设a=0,则f(x)=(x-2)e x, f(x)只有一个零点.(3分)(ii)设a>0,则当x∈(-∞,1)时, f '(x)<0;当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.又f(1)=-e, f(2)=a,取b 满足b<0且b<ln a2,则f(b)>a 2(b-2)+a(b-1)2=a (b 2-32b)>0,故f(x)存在两个零点.(4分)(iii)设a<0,由f '(x)=0得x=1或x=ln(-2a).若a≥-e2,则ln(-2a)≤1,故当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0,因此f(x)在(1,+∞)单调递增.又当x≤1时f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.(6分)若a<-e 2,则ln(-2a)>1,故当x∈(1,ln(-2a))时, f '(x)<0;当x∈(ln(-2a),+∞)时, f'(x)>0.因此f(x)在(1,ln(-2a))单调递减,在(ln(-2a),+∞)单调递增.又当x≤1时f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.综上,a 的取值范围为(0,+∞).(8分)(Ⅱ)不妨设x 1<x 2.由(Ⅰ)知,x 1∈(-∞,1),x 2∈(1,+∞),2-x 2∈(-∞,1), f(x)在(-∞,1)单调递减,所以x 1+x 2<2等价于f(x 1)>f(2-x 2),即f(2-x 2)<0.由于f(2-x 2)=-x 2e 2-x 2+a(x 2-1)2,而f(x 2)=(x 2-2)e x 2+a(x 2-1)2=0,所以f(2-x 2)=-x 2e 2-x 2-(x 2-2)e x 2.(10分) 设g(x)=-xe 2-x-(x-2)e x,则g '(x)=(x-1)(e 2-x-e x). 所以当x>1时, g '(x)<0,而g(1)=0,故当x>1时,g(x)<0. 从而g(x 2)=f(2-x 2)<0,故x 1+x 2<2.(12分) 22.证明 (Ⅰ)设E 是AB 的中点,连结OE.因为OA=OB,∠AOB=120°,所以OE⊥AB,∠AOE=60°.(2分)在Rt△AOE 中,OE=12AO,即O 到直线AB 的距离等于☉O 的半径,所以直线AB 与☉O 相切.(5分)(Ⅱ)因为OA=2OD,所以O 不是A,B,C,D 四点所在圆的圆心.设O'是A,B,C,D 四点所在圆的圆心,作直线OO'.由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上,又O'在线段AB 的垂直平分线上,所以OO'⊥AB.(9分) 同理可证,OO'⊥CD,所以AB∥CD.(10分)23.解析 (Ⅰ)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2+(y-1)2=a 2.C 1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆.(3分)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0.(5分)(Ⅱ)曲线C 1,C 2的公共点的极坐标满足方程组 {ρ2-2ρsinθ+1-a 2=0,ρ=4cosθ.(6分) 若ρ≠0,由方程组得16cos 2θ-8sin θcos θ+1-a 2=0,由tan θ=2,可得16cos 2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a 2=0,解得a=-1(舍去),或a=1.(8分) a=1时,极点也为C 1,C 2的公共点,在C 3上.(9分) 所以a=1.(10分)24.解析 (Ⅰ)f(x)={x -4,x ≤-1,3x -2,-1<x≤32,-x +4,x >32,(3分)y=f(x)的图象如图所示.(5分)(Ⅱ)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;(6分)或x=5,(7分)当f(x)=-1时,可得x=13或x>5}.(9分) 故f(x)>1的解集为{x|1<x<3};f(x)<-1的解集为{x|x<13或1<x<3或x>5}.(10分)所以|f(x)|>1的解集为{x|x<13。
云南省2016年1月普通高中学业水平考试(数学试卷)
【考试时间：2016年1月11日上午8:30——10:10，共100分钟】云南省2016年1月普通高中学业水平考试数学试卷[考生注意]：考试用时100分钟，必须在答题卡上指定位置按规定要求作答，答在试卷上一律无效.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+.球の表面积公式：24S R π=,体积公式：343V R π=,其中R 表示球の体积.柱体の体积公式：V Sh =，其中S 表示柱体の底面面积，h 表示柱体の高.锥体の体积公式：13V Sh =，其中S 表示锥体の底面面积，h 表示锥体の高.选择题（共51分）一、选择题：本大题共17个小题，每小题3分，共51分。
在每小题给出の四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题卡相应の位置上填涂。
1.已知集合{}0,1,2,3M =，{}1,3,4N =，那么MN 等于A.{}0 B.{}0,1 C.{}1,3D.{}0,1,2,3,4sin 75cos15cos75sin15︒︒︒︒-の值等于A .0B . 12C . 2D . 23.同时掷两枚质地均匀の硬币，则至少有一枚出现正面の概率是A .1B . 34C . 12D . 144.不等式240x -<の解集为A .()2,+∞ B .(),2-∞ C .()2,2- D .()(),22,-∞-+∞5.若等差数列{}n a 中，12a =，56a =，则公差d 等于A .3B .2C .1D .0 6.已知向量a =()sin ,2θ-, b =()1,cos θ，且a ⊥b ，则tan θの值为A .2B . 2-C . 12D . 12-7.某校有男生450人，女生500人，现用分层抽样の方法从全校学生中抽取一个容量为95の样本，则抽出の男生人数是A . 45B . 50C .55D .608.已知直线m 、n 和平面α满足//m α，n α⊥，则m 和n の位置关系一定是 A .平行 B .垂直 C .相交 D .异面 9.经过点(3,0)B ，且与直线250x y +-=垂直の直线の方程是A .260x y --= B . 230x y -+= C . 230x y +-= D .230x y --=10. 2324log 3log 5log 5⋅+の值为A . 52B . 25C .2D . 1211.如图，向圆内随机掷一粒豆子（豆子の大小忽略不计），则豆子恰好落在圆の内接正方形中の概率是 A .3πB .2πC . 4π D . 5π12.一个空间几何体の正视图与侧视图为全等の正三角形，俯视图是一个半径为1の圆，那么这个几何体の体积为A . 23π B . 2πC. 3π D.正视图 侧视图 俯视图13.有一个容量为100の样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本の频率分布直方图得，样本数据落在区间[]10,12内の频率数是A .9B .18C .27D .3814.在ABC ∆中，a ,b ,c 分别是角A 、B 、C 所对の边，且2a =,2b =,45A ︒=,则角B 等于 A .30︒ B . 60︒ C . 30︒或150︒ D . 60︒或120︒15.已知AD 是ABC ∆の一条中线，记向量AB =a ，AC =b ，向量AD 等于A . ()12a b -+ B . ()12a b + C . ()12a b - D . ()12a b -- 16.函数()ln 1f x x =-の零点所在の区间为A .()2,3 B . ()3,4 C . ()0,1 D . ()1,217.已知()f x の定义在R 上の偶函数，且在区间(],0-∞上为减函数，则(1)f 、(2)f -、(3)f の大小关系是A . (1)(2)(3)f f f >->B . (2)(1)(3)f f f ->>C .(1)(3)(2)f f f <<- D . (1)(2)(3)f f f <-<非选择题（共49分）二、 填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分。
云南省2016年高考理科数学试题及答案(Word版)
云南省2016年高考理科数学试题及答案（Word 版）（满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题 ，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知Z=（m+3）+（m-1）i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）（-3,1） （B ）（-1,3） （C ）()1,+∞ （D ）(),3-∞-（2）已知集合{}1,2,3A =，{}|(1)(2)0,B x x x x Z =+-<∈，则AB =（A ）{1} （B ）{1,2} （C ）{0,1,2,3} （D ）{-1,0,1,2,3}（3）已知向量a=（1，m ），b=（3，-2），且（a+b ）⊥b ，则m=（A ）-8 （B ）-6 （C ）6 （D ）8（4）圆22x +y -2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=（A ）4-3 （B ）3-4（C ）3 （D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小明回合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π （7）若将函数2sin 2y x = 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后的图像对称轴为 （A ）()26k x k Z ππ=-∈（B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈（D ）()212k x k Z ππ=+∈（8）中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算 法的。
执行该程序框图，若输入的 x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输入的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos （4π-α）=35，则sin2α= （A ）725 （B ）15 （C ）-15 （D ）-725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数12,,...,n x x x ， 12,,...,n y y y 构成n 个数对11,x （y ），22,x （y ），…，,n n x （y ），其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 （A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11 1F ,2F 是双曲线E ：22221a x y b+=的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，121sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（A （B ）32（C （D ）2（12）已知函数f x ∈（）（R ）满足f x =f x （-）2-（），若函数x 1y=x+与y=f x （）图像的x 1y=f x x +（）交点为（1x ，1y ）；（2x ，2y ），…，（m x ，m y ），则1()mi i i x y =+=∑ （A ）0 (B)m (C)2m (D)4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学1卷及解析
开始 输入x,y,nny y n x x =-+=,213622≥+y x1+=n n2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分.（1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则( )（A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3(,3)2（2）设yi x i +=+1)1(，其中x ，y 是实数，则i =x y +( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2（3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a ( )（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97（4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )（A ）31（B ）21（C ）32（D ）43（5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) （A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3)（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是( )（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π（8）若101a b c >><<，，则( ) （A ）c c a b <（B ）c c ab ba <（C ）log log b a a c b c <（D ）log log a b c c < （7）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为( )（A ）（B ）（9）执行右面的程序图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ，y 的值满足( ) （A ）2y x =（B ）3y x =（C ）4y x =（D ）5y x =(10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的标准线于D 、E 两点.已知|AB |=|DE|=C 的焦点到准线的距离为( ) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a 过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，a //平面CB 1D 1， a 平面ABCD =m ， a 平面ABA 1B 1=n ，则m 、n 所成角的正弦值为( )(B (D)1312.已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为( )（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13) 设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m =________.(14) 5(2x 的展开式中，x 3的系数是________.（用数字填写答案）（15）设等比数列错误!未找到引用源。
2016年云南省高考理科数学试题及答案
2016年云南省高考理科数学试题及答案2016年云南省高考理科数学试题及答案。
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24题，满分150分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 $Z=(m+3)+(m-1)i$ 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 $m$ 的取值范围是（）A。
$(-3,1)$B。
$(-1,3)$C。
$(1,+\infty)$D。
$(-\infty,-3)$2.已知集合$A=\{1,2,3\}$，$B=\{x|(x+1)(x-2)<0,x\in Z\}$，则 $A\cup B=$（）A。
$\{1\}$B。
$\{1,2\}$C。
$\{0,1,2,3\}$D。
$\{-1,0,1,2,3\}$3.已知向量 $a=(1,m)$，$b=(3,-2)$，且 $(a+b)\perp b$，则$m=$（）A。
$-8$B。
$-6$C。
$6$D。
$8$4.圆 $x+y-2x-8y+13=0$ 的圆心到直线 $ax+y-1=0$ 的距离为1，则 $a=$（）A。
$-\frac{22}{43}$B。
$-\frac{3}{4}$C。
$3$D。
$\frac{2}{3}$5.如图，XXX从街道的 $E$ 处出发，先到 $F$ 处与XXX 会合，再一起到位于 $G$ 处的老年公寓参加志愿者活动，则XXX到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）A。
$24$B。
$18$XXXD。
$9$6.右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A。
$20\pi$B。
$24\pi$C。
$28\pi$D。
$32\pi$7.若将函数 $y=2\sin^2 x$ 的图像向左平移 $\pi$ 个单位长度，则平移后的图像对称轴为（）A。
$x=-\frac{1}{2}+\frac{k\pi}{6}$，$k\in Z$B。
2016年高考全国Ⅰ卷理科数学试题(含答案解析)
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学适用地区：福建、广东、安徽、湖北、湖南、江西、山西、河南、河北 注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}2430A x x x =-+<，{}230x x ->,则AB =（A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭（B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭（C ）31,2⎛⎫⎪⎝⎭（D ）3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭2．设 (1 + i)x = 1 + y i ，其中y x ,是实数，则|x + y i| = （A ）1（B ）2（C ）3（D ）23．已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10 = 8，则a 100 = （A ）100（B ）99（C ）98（D ）974．某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车， 且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）345．已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值 范围是（A ）()1,3-（B ）(-（C ）()0,3（D ）(6．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条 相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是 （A ）17π（B ）18π （C ）20π（D ）28π7．函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为8．若101a b c >><<，,则 （A ）c c a b <（B ）c c ab ba < （C ）a log b c ＜ b log a c（D ）log log a b c c <9．执行右面的程序框图,如果输入的011x y n ===，，,则输出x , y 的值满足 （A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x =（D ）5y x =是 否ny y n x x =-+=,213622≥+y x输入n y x ,,输出y x ,开始 结束1+=n n10．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=DE|=则C 的焦点到准线的距离为（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）811．平面α过正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1, α ∩平面ABCD = m , α ∩平面AB B 1A 1 = n ,则m 、n 所成角的正弦值为（A ）2（B ）2（C ）3（D ）1312. 已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π= 为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2016年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2016 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5 分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）2．（5 分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y 是实数，则|x+yi|=（）A．1 B．C．D．23．（5 分）已知等差数列{a n}前9 项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．974．（5 分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30 发车，小明在7：50 至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是（）A．B．C．D．5．（5 分）已知方程﹣=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）6．（5 分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5 分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y 的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x10．（5 分）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A、B 两点，交C 的准线于D、E 两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C 的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．811．（5 分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n 所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5 分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω 的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.13．（5 分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=．14．（5 分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是．（用数字填写答案）15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n 的最大值为．16．（5 分）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5 个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3 个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600 个工时的条件下，生产产品A、产品B 的利润之和的最大值为元．三、解答题：本大题共5 小题，满分60 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC 的面积为，求△ABC 的周长．18．（12 分）如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E 与二面角C﹣BE﹣F 都是60°．（I）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（II）求二面角E﹣BC﹣A 的余弦值．19．（12 分）某公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数．（I）求X 的分布列；（II）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n 的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19 与n=20 之中选其一，应选用哪个？20．（12 分）设圆x2+y2+2x﹣15=0 的圆心为A，直线l 过点B（1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E．（I）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II）设点E 的轨迹为曲线C1，直线l 交C1 于M，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．21．（12 分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（I）求a 的取值范围；（II）设x1，x2 是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．请考生在22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10 分）如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB=120°．以O 为圆心，OA 为半径作圆．（I）证明：直线AB 与⊙O 相切；（II）点C，D 在⊙O 上，且A，B，C，D 四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为（t 为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（I）说明C1 是哪种曲线，并将C1 的方程化为极坐标方程；（II）直线C3 的极坐标方程为θ=α0，其中α0 满足tanα0=2，若曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上，求a．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（I）在图中画出y=f（x）的图象；（II）求不等式|f（x）|＞1 的解集．2016 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5 分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；4O：定义法；5J：集合．【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），∴A∩B=（，3），故选：D．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（5 分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y 是实数，则|x+yi|=（）A．1 B．C．D．2【考点】A8：复数的模．【专题】34：方程思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数相等求出x，y 的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即|x+yi|=|1+i|= ，故选：B．【点评】本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x，y 的值是解决本题的关键．3．（5 分）已知等差数列{a n}前9 项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．97【考点】83：等差数列的性质．【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}前9 项的和为27，S9===9a5．∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故选：C．【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．4．（5 分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30 发车，小明在7：50 至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】5I：概率与统计．【分析】求出小明等车时间不超过10 分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设小明到达时间为y，当y 在7：50 至8：00，或8：20 至8：30 时，小明等车时间不超过10 分钟，故P==，故选：B．【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．5．（5 分）已知方程﹣=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）【考点】KB：双曲线的标准方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n 的取值范围．【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，当焦点在x 轴上时，可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1，∵方程﹣=1 表示双曲线，∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n 的取值范围是：（﹣1，3）．当焦点在y 轴上时，可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1，无解．故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．6．（5 分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．7．（5 分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2 时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0 有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．8．（5 分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c【考点】R3：不等式的基本性质．【专题】33：函数思想；35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式．【分析】根据已知中a＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数f（x）=x c在（0，+∞）上为增函数，故a c＞b c，故A 错误；函数f（x）=x c﹣1 在（0，+∞）上为减函数，故a c﹣1＜b c﹣1，故ba c＜ab c，即ab c ＞ba c；故B 错误；log a c＜0，且log b c＜0，log a b＜1，即=＜1，即log a c＞log b c．故D错误；0＜﹣log a c＜﹣log b c，故﹣blog a c＜﹣alog b c，即blog a c＞alog b c，即alog b c＜blog a c，故C 正确；故选：C．【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小，熟练掌握对数函数和幂函数的单调性，是解答的关键．9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y 的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．（5 分）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A、B 两点，交C 的准线于D、E 两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C 的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】K8：抛物线的性质；KJ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，x A==，|OD|=|OA|，=+5，解得：p=4．C 的焦点到准线的距离为：4．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力．转化思想的应用．11．（5 分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n 所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角．【分析】画出图形，判断出m、n 所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1 是正三角形．m、n 所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n 所成角的正弦值为：．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（5 分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω 的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性．【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω 的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9 时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω 的最大值为9，故选：B．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.13．（5 分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=﹣2 ．r +1【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5A ：平面向量及应用． 【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得•=0．向量=（m ，1），=（1，2），可得 m +2=0，解得 m=﹣2． 故答案为：﹣2．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．14．（5 分）（2x +）5 的展开式中，x 3 的系数是 10 ．（用数字填写答案）【考点】DA ：二项式定理．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5P ：二项式定理． 【分析】利用二项展开式的通项公式求出第 r +1 项，令 x 的指数为 3，求出 r ，即可求出展开式中 x 3 的系数． 【解答】解：（2x +）5 的展开式中，通项公式为：T = =25﹣r，令 5﹣=3，解得 r=4 ∴x 3 的系数 2=10．故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（5 分）设等比数列{a n }满足 a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则 a 1a 2…a n 的最大值为 64 ．1 2 n 1 【考点】87：等比数列的性质；8I ：数列与函数的综合．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；54：等差数列与等比数列． 【分析】求出数列的等比与首项，化简 a 1a 2…a n ，然后求解最值． 【解答】解：等比数列{a n }满足 a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，可得 q （a 1+a 3）=5，解得 q=． a 1+q 2a 1=10，解得 a 1=8．则 a a …a =a n •q1+2+3+…+（n ﹣1）=8n • = = ，当 n=3 或 4 时，表达式取得最大值： =26=64．故答案为：64．【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力．16．（5 分）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg ，乙材料 1kg ，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg ，乙材料 0.3kg ，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100元，生产一件产品 B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150kg ，乙材料 90kg ，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A 、产品 B 的利润之和的最大值为 216000元．【考点】7C ：简单线性规划．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想．【分析】设 A 、B 两种产品分别是 x 件和 y 件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设 A 、B 两种产品分别是 x 件和 y 件，获利为 z 元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A 时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000 元．故答案为：216000．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．三、解答题：本大题共5 小题，满分60 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC 的面积为，求△ABC 的周长．【考点】HU：解三角形．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC 不为0 求出cosC 的值，即可确定出出C 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b 的值，即可求△ABC 的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC 中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC 的周长为5+．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12 分）如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E 与二面角C﹣BE﹣F 都是60°．（I）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（II）求二面角E﹣BC﹣A 的余弦值．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5H：空间向量及应用；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）证明AF⊥平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）证明四边形EFDC 为等腰梯形，以E 为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC 的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A 的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF 为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE 为二面角D﹣AF﹣E 的平面角；由ABEF 为正方形，AF⊥平面EFDC，∵BE⊥EF，∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE，可得∠CEF 为二面角C﹣BE﹣F 的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB✪平面EFDC，EF⊂平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四边形EFDC 为等腰梯形．以E 为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，a），=（﹣2a，0，0）设平面BEC 的法向量为=（x1，y1，z1），则，则，取=（，0，﹣1）．设平面ABC 的法向量为=（x2，y2，z2），则，则，取=（0，，4）．设二面角E﹣BC﹣A 的大小为θ，则cosθ===﹣，则二面角E﹣BC﹣A 的余弦值为﹣．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．19．（12 分）某公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数．（I）求X 的分布列；（II）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n 的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19 与n=20 之中选其一，应选用哪个？【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）由已知得X 的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．（II）由X 的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P （X≤n）≥0.5 中n 的最小值．（III）法一：由X 的分布列得P（X≤19）=．求出买19 个所需费用期望EX1和买20 个所需费用期望EX2，由此能求出买19 个更合适．法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19 时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19 个更合适．【解答】解：（Ⅰ）由已知得X 的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P （X=16）=（）2=，P（X=17）=，P（X=18）=（）2+2（）2=，P（X=19）= =，P（X=20）= ==，P（X=21）= =，P（X=22）= ，∴X 的分布列为：（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）==．P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．∴P（X≤n）≥0.5 中，n 的最小值为19．（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．买19 个所需费用期望：EX1=200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×=4040，买20 个所需费用期望：EX2= +（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，∵EX1＜EX2，∴买19 个更合适．解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n=19 时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，当n=20 时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080，∴买19 个更合适．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．20．（12 分）设圆x2+y2+2x﹣15=0 的圆心为A，直线l 过点B（1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E．（I）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II）设点E 的轨迹为曲线C1，直线l 交C1 于M，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．【考点】J2：圆的一般方程；KL：直线与椭圆的综合．【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求得圆A 的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E 的轨迹为以A，B 为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A 到PQ 的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0 即为（x+1）2+y2=16，可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，由AC=AD，可得∠D=∠C，即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E 的轨迹为以A，B 为焦点的椭圆，且有2a=4，即a=2，c=1，b==，则点E 的轨迹方程为+=1（y≠0）；（Ⅱ）椭圆C1：+=1，设直线l：x=my+1，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，则|MN|=•|y1﹣y2|=•= •=12•，A 到PQ 的距离为d==，|PQ|=2 =2=，则四边形MPNQ 面积为S= |PQ|•|MN|= ••12•=24•=24，当m=0 时，S 取得最小值12，又＞0，可得S＜24•=8 ，即有四边形MPNQ 面积的取值范围是[12，8）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．21．（12 分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（I）求a 的取值范围；（II）设x1，x2 是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．【考点】51：函数的零点；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4C：分类法；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2可得：f′（x）=（x﹣1）e x+2a （x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），对a 进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案．（Ⅱ）设x1，x2 是f（x）的两个零点，则﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，分析g（x）的单调性，令m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=，设h（m）=，m＞0，利用导数法可得h（m）＞h（0）=0 恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，∴f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①若a=0，那么f（x）=0⇔（x﹣2）e x=0⇔x=2，函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；②若a＞0，那么e x+2a＞0 恒成立，当x＜1 时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；当x＞1 时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；此时当x=1 时，函数f（x）取极小值﹣e，由f（2）=a＞0，可得：函数f（x）在x＞1 存在一个零点；当x＜1 时，e x＜e，x﹣2＜﹣1＜0，∴f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0 的两根为t1，t2，且t1＜t2，则当x＜t1，或x＞t2 时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，故函数f（x）在x＜1 存在一个零点；即函数f（x）在R 是存在两个零点，满足题意；③若﹣＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne=1，当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，当ln（﹣2a）＜x＜1 时，x﹣1＜0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0 恒成立，故f（x）单调递减，当x＞1 时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，故当x=ln（﹣2a）时，函数取极大值，由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0 得：函数f（x）在R 上至多存在一个零点，不合题意；④若a=﹣，则ln（﹣2a）=1，当x＜1=ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，当x＞1 时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，故函数f（x）在R 上单调递增，函数f（x）在R 上至多存在一个零点，不合题意；⑤若a＜﹣，则ln（﹣2a）＞lne=1，当x＜1 时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0 恒成立，故f（x）单调递减，当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，故当x=1 时，函数取极大值，由f（1）=﹣e＜0 得：函数f（x）在R 上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a 的取值范围为（0，+∞）证明：（Ⅱ）∵x1，x2 是f（x）的两个零点，∴f（x1）=f（x2）=0，且x1≠1，且x2≠1，∴﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，∵g′（x）=，∴当x＜1 时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1 时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=﹣=，设h（m）= ，m＞0，则h′（m）= ＞0 恒成立，即h（m）在（0，+∞）上为增函数，h（m）＞h（0）=0 恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）⇔g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）⇔2﹣x1＞x2，即x1+x2＜2．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，分类讨论思想，难度较大．请考生在22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10 分）如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB=120°．以O 为圆心，OA 为半径作圆．（I）证明：直线AB 与⊙O 相切；（II）点C，D 在⊙O 上，且A，B，C，D 四点共圆，证明：AB∥CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）设K 为AB 中点，连结OK．根据等腰三角形AOB 的性质知OK⊥ AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB 是圆O 的切线．（Ⅱ）设圆心为T，证明OT 为AB 的中垂线，OT 为CD 的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）设K 为AB 中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB 与⊙O 相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O 不是A，B，C，D 四点所在圆的圆心．设T 是A，B，C，D 四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT 为AB 的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT 为CD 的中垂线，∴AB∥CD．【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为（t 为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（I）说明C1 是哪种曲线，并将C1 的方程化为极坐标方程；（II）直线C3 的极坐标方程为θ=α0，其中α0 满足tanα0=2，若曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上，求a．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）把曲线C1 的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1 是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ 化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线C2、C3 的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x 为圆C1 与C2 的公共弦所在直线方程，把C1 与C2 的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x 可得1﹣a2=0，则a 值可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1 为以（0，1）为圆心，以a 为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0 满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上，∴y=2x 为圆C1 与C2 的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（I）在图中画出y=f（x）的图象；（II）求不等式|f（x）|＞1 的解集．【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1 时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）= ，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1 时，|x﹣4|＞1，解得x＞5 或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1 或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5 或x＜3，即有x＞5 或≤x＜3．综上可得，x＜或1＜x＜3 或x＞5．则|f（x）|＞1 的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．。
2016年云南省高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅲ)
2016年云南省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅲ）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合S ＝{x|(x −2)(x −3)≥0}，T ＝{x|x >0}，则S ∩T ＝（ ）A.[2, 3]B.(−∞, 2]∪[3, +∞)C.[3, +∞)D.(0, 2]∪[3, +∞)2. 若z ＝1+2i ，则4i z⋅z −1=( ) A.1B.−1C.iD.−i3. 已知向量BA →=(12, √32)，BC →=(√32, 12)，则∠ABC =( ) A.30∘ B.45∘C.60∘D.120∘4. 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A 点表示十月的平均最高气温约为15∘C ，B 点表示四月的平均最低气温约为5∘C ．下面叙述不正确的是（ ）A.各月的平均最低气温都在0∘C 以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20∘C 的月份有5个5. 若tanα=34，则cos 2α+2sin2α=( )A.6425B.4825C.1D.16256. 已知a =243，b =323，c =2513，则（ ）A.b <a <cB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b7. 执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=()A.3B.4C.5D.68. 在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则cosA=()A.3√1010B.−√1010C.√1010D.−3√10109. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A.18+36√5B.54+18√5C.90D.8110. 在封闭的直三棱柱ABC−A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A.4πB.9π2C.6π D.32π311.已知O为坐标原点，F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点，P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A.1 3B.12C.23D.3412. 定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，⋯，a k中0的个数不少于1的个数．若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A.18个B.16个C.14个D.12个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.若x，y满足约束条件{x−y+1≥0x−2y≤0x+2y−2≤0，则z＝x+y的最大值为________．函数y=sinx−√3cosx的图像可由函数y=sinx+√3cosx的图像至少向右平移________个单位长度得到．已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)=ln(−x)+3x，则曲线y=f(x)在点(1, −3)处的切线方程是________．已知直线l:mx+y+3m−√3=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l 的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|=2√3，则|CD|=________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．(1)证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5=3132，求λ．如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1−7分别对应年份2008−2014．（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以证明；（2）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：∑y i 7i=1=9.32，∑t i 7i=1y i =40.17，√∑(7i=1y i −y)2=0.55，√7≈2.646． 参考公式：r =∑n √∑(n i=1t i −t )2∑(n i=1y i −y)2，回归方程y ^=a ^+b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^=∑n∑(n i=1t i −t )2，a ^=y −b ^t ．如图，四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD // BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．（1）证明：MN // 平面PAB ；（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．已知抛物线C:y 2=2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR // FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．设函数f(x)=αcos2x +(α−1)(cosx +1)，其中α>0，记|f(x)|的最大值为A ． （1）求f′(x)；（2）求A ；（3）证明：|f ′(x)|≤2A ．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]如图，⊙O 中AB^的中点为P ，弦PC ，PD 分别交AB 于E ，F 两点．（1）若∠PFB =2∠PCD ，求∠PCD 的大小；（2）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明：OG ⊥CD ．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =√3cosαy =sinα（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)＝2√2．（1）写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|2x −a|+a ．(1)当a =2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)=|2x −1|，当x ∈R 时，f(x)+g(x)≥3，求a 的取值范围．参考答案与试题解析2016年云南省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅲ）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】求出S 中不等式的解集确定出S ，找出S 与T 的交集即可．【解答】由S 中不等式解得：x ≤2或x ≥3，即S ＝(−∞, 2]∪[3, +∞)，∵ T ＝(0, +∞)，∴ S ∩T ＝(0, 2]∪[3, +∞)，2.【答案】C【考点】复数的运算【解析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】z ＝1+2i ，则4i zz −1=4i (1+2i)(1−2i)−1=4i 5−1=i ． 3.【答案】A【考点】向量模长的计算数量积表示两个向量的夹角数量积的坐标表达式【解析】根据向量BA →,BC →的坐标便可求出BA →⋅BC →，及|BA →|,|BC →|的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC 的值，根据∠ABC 的范围便可得出∠ABC 的值．【解答】解：BA →⋅BC →=√34+√34=√32，|BA →|=|BC →|=1, ∴ cos∠ABC =BA →BC →|BA →||BC →|=√32,又0≤∠ABC ≤180∘,∴ ∠ABC =30∘．故选A ．4.D【考点】进行简单的合情推理【解析】此题暂无解析【解答】解：由图可知平均最高气温高于20∘C的月份为七月和八月，有2个，所以选项D不正确．故选D．5.【答案】A【考点】三角函数的化简求值【解析】将所求的关系式的分母“1”化为(cos2α+sin2α)，再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα=34，∴cos2α+2sin2α=cos2α+4sinαcosαsin2α+cos2α=1+4tanαtan2α+1=1+4×34916+1=6425．故选A．6.【答案】A【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用【解析】此题暂无解析【解答】解：a=243=1613，b=323=913，c=2513，由幂函数y=x13在(0,+∞)上单调递增，可得b<a<c．故选A．7.【答案】B【考点】程序框图【解析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s>16，退出循环，输出n的值为4．解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1，不满足条件s>16，执行循环体，a=−2，b=6，a=4，s=10，n=2，不满足条件s>16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3，不满足条件s>16，执行循环体，a=−2，b=6，a=4，s=20，n=4，满足条件s>16，退出循环，输出n的值为4．故选B.8.【答案】B【考点】余弦定理【解析】作出图形，再根据余弦定理即可求得答案．【解答】解：如图所示，设△ABC中角A,B，C对应的边分别为a,b，c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ.∵在△ABC中，B=π4，BC边上的高AD=ℎ=13BC=13a，∴BD=AD=13a，CD=23a.在Rt△ADC中，cosθ=ADAC=a3√(13a)+(2a3)=√55，故sinθ=2√55，∴cosA=cos(π4+θ)=cosπ4cosθ−sinπ4sinθ=√22×√55−√22×2√55=−√1010．故选B．9.【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】此题暂无解析【解答】解：由三视图可知该多面体为一个斜四棱柱，底面是边长为3的正方形，该斜四棱柱是棱长为6的正方体的一部分，如图所示，其面积为(3×3+3×6+3×3√5)×2=54+18√5．故选B．10.【答案】B【考点】球内接多面体球的体积和表面积【解析】根据已知可得直三棱柱ABC−A1B1C1的内切球半径为32，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r=6+8−102=2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC−A1B1C1的内切球半径为32，此时V的最大值43π×(32)3=9π2.故选B.11.【答案】A【考点】椭圆的离心率椭圆的定义【解析】本题考査椭圆方程与几何性质．【解答】解：由椭圆的对称性，不妨设OE的中点为N，直线l的方程为y=k(x+a)(k>0)，分别令x =−c 与x =0得|FM|=k(a −c)，|OE|=ka ，由△OBN ∼△FBM 得|ON||FM|=|OB||BF|，即ka 2k(a−c)=a a+c ，整理得c a =13，所以椭圆离心率为e =13．故选A ．12.【答案】C【考点】数列的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：当m =4时，数列共有8项，由题可知，a 1=0，a 8=1，分类考虑：①当前四项全为0时，后四项全为1，满足条件，有1个；②当前四项有三项为0时，第2，3，4项任取两项为0，第5，6，7项任取一项为0，共有C 32⋅C 31=9个；③当前四项有两项为0时，则第2或3项为0，第5项一定为0，第6，7项有一项为0，共有C 21⋅C 21=4个．综上，共有1+9+4=14个．故选C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.【答案】32【考点】简单线性规划【解析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y 轴的截距最大值．【解答】不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D 点时，z 最大，由{x −2y =0x +2y −2=0得D(1, 12)， 所以z ＝x +y 的最大值为1+12=32；【答案】2π3【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】令f(x)=sinx+√3cosx=2in(x+π3)，则f(x−φ)=2in(x+π3−φ)，依题意可得2in(x+π3−φ)=2in(x−π3)，由π3−φ=2kπ−π3(k∈Z)，可得答案．【解答】解：∵y=f(x)=sinx+√3cosx=2sin(x+π3)，y=sinx−√3cosx=2sin(x−π3)，∴f(x−φ)=2sin(x+π3−φ)(φ>0)，令2sin(x+π3−φ)=2sin(x−π3)，则π3−φ=2kπ−π3(k∈Z)，即φ=2π3−2kπ(k∈Z)，当k=0时，正数φmin=2π3，故答案为：2π3．【答案】2x+y+1=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程函数奇偶性的性质【解析】由偶函数的定义，可得f(−x)=f(x)，即有x>0时，f(x)=lnx−3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：f(x)为偶函数，可得f(−x)=f(x)，当x<0时，f(x)=ln(−x)+3x，设x>0时，则−x<0,故f(x)=f(−x)=lnx−3x，f′(x)=1x−3，可得f(1)=ln1−3=−3，f′(1)=1−3=−2，则曲线y=f(x)在点(1, −3)处的切线方程为y−(−3)=−2(x−1)，即为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．【答案】4【考点】直线与圆相交的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：设圆心O到直线l的距离为d，则2√12−d2=2√3,∴d=3，即√3|√m2+1=3，∴m=−√33.此时直线l的方程为−√33x+y−2√3=0.∴l的倾斜角为30∘，如图所示.过C作BD的垂线，垂足为E，则|CE|=|AB|=2√3.∵CE//l，∴∠ECD=30∘，∴|CD|=|CE|cos30∘=4.故答案为：4.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【答案】解：(1)∵S n=1+λa n，λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时，a n=S n−S n−1=1+λa n−1−λa n−1=λa n−λa n−1，即(λ−1)a n=λa n−1，即a na n−1=λλ−1，(n≥2)，∴{a n}是等比数列，公比q=λλ−1，当n=1时，S1=1+λa1=a1，即a1=11−λ，∴a n=11−λ⋅(λλ−1)n−1．(2)若S5=3132，则若S5=1+λ(11−λ)⋅(λλ−1)4=3132，即(λ1−λ)5=3132−1=−132，则λ1−λ=−12，得λ=−1．【考点】数列递推式等比关系的确定【解析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．【解答】解：(1)∵S n=1+λa n，λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时，a n=S n−S n−1=1+λa n−1−λa n−1=λa n−λa n−1，即(λ−1)a n=λa n−1，即a na n−1=λλ−1，(n≥2)，∴{a n}是等比数列，公比q=λλ−1，当n=1时，S1=1+λa1=a1，即a1=11−λ，∴a n=11−λ⋅(λλ−1)n−1．(2)若S5=3132，则若S5=1+λ(11−λ)⋅(λλ−1)4=3132，即(λ1−λ)5=3132−1=−132，则λ1−λ=−12，得λ=−1．【答案】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵ r =∑=7√∑(7i=1t i −t )2∑(7i=1y i −y)2∑7√∑(7i=1t i −t )2∑(7i=1y i−y)22√7⋅0.55≈ 2.892.9106≈0.996，∵ 0.996>0.75，故y 与t 之间存在较强的正相关关系；（2）b ^=∑=n ∑(ni=1t i −t )2∑≈7∑t i27i=1−7t 2 2.8928≈0.103，a ^=y −b ^t ≈1.331−0.103×4≈0.92，∴ y 关于t 的回归方程^y=0.10t +0.92，2016年对应的t 值为9， 故^y=0.10×9+0.92=1.82， 预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨． 【考点】求解线性回归方程 【解析】（1）由折线图看出，y 与t 之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t 值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 【解答】 解：（1）由折线图看出，y 与t 之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵ r =∑=7√∑(7i=1t i −t )2∑(7i=1y i −y)2∑7√∑(7i=1t i −t )2∑(7i=1y i−y)22√7⋅0.55≈ 2.892.9106≈0.996，∵ 0.996>0.75，故y 与t 之间存在较强的正相关关系；（2）b ^=∑=n ∑(ni=1t i −t )2∑≈7∑t i27i=1−7t 2 2.8928≈0.103，a ^=y −b ^t ≈1.331−0.103×4≈0.92，∴ y 关于t 的回归方程^y=0.10t +0.92，2016年对应的t 值为9， 故^y=0.10×9+0.92=1.82， 预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨． 【答案】证明：法一、如图，取PB 中点G ，连接AG ，NG ， ∵ N 为PC 的中点，∴ NG // BC ，且NG =12BC ，又AM =23AD =2，BC ＝4，且AD // BC ， ∴ AM // BC ，且AM =12BC ， 则NG // AM ，且NG ＝AM ，∴ 四边形AMNG 为平行四边形，则NM // AG ， ∵ AG ⊂平面PAB ，NM 平面PAB ， ∴ MN // 平面PAB ； 法二、在△PAC 中，过N 作NE ⊥AC ，垂足为E ，连接ME ， 在△ABC 中，由已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，得cos∠ACB =42+32−322×4×3=23，∵ AD // BC ，∴ cos∠EAM =23，则sin∠EAM =√53，在△EAM 中，∵ AM =23AD =2，AE =12AC =32，由余弦定理得：EM =√AE 2+AM 2−2AE ⋅AM ⋅cos∠EAM =√94+4−2×32×2×23=32，∴ cos∠AEM =(32)2+(32)2−42×32×32=19，而在△ABC 中，cos∠BAC =32+32−422×3×3=19，∴ cos∠AEM ＝cos∠BAC ，即∠AEM ＝∠BAC ， ∴ AB // EM ，则EM // 平面PAB ．由PA ⊥底面ABCD ，得PA ⊥AC ，又NE ⊥AC ， ∴ NE // PA ，则NE // 平面PAB ． ∵ NE ∩EM ＝E ，∴ 平面NEM // 平面PAB ，则MN // 平面PAB ；在△AMC 中，由AM ＝2，AC ＝3，cos∠MAC =23，得CM 2＝AC 2+AM 2−2AC ⋅AM ⋅cos∠MAC =9+4−2×3×2×23=5．∴ AM 2+MC 2＝AC 2，则AM ⊥MC ， ∵ PA ⊥底面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，∴ 平面ABCD ⊥平面PAD ，且平面ABCD ∩平面PAD ＝AD ， ∴ CM ⊥平面PAD ，则平面PNM ⊥平面PAD ．在平面PAD 内，过A 作AF ⊥PM ，交PM 于F ，连接NF ，则∠ANF 为直线AN 与平面PMN 所成角．在Rt △PAC 中，由N 是PC 的中点，得AN =12PC =12√PA 2+PC 2=52， 在Rt △PAM 中，由PA ⋅AM ＝PM ⋅AF ，得AF =PA⋅AM PM=√42+22=4√55， ∴ sin∠ANF =AFAN=4√5552=8√525．∴ 直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为8√525．【考点】直线与平面所成的角 直线与平面平行 【解析】（1）法一、取PB 中点G ，连接AG ，NG ，由三角形的中位线定理可得NG // BC ，且NG =12BC ，再由已知得AM // BC ，且AM =12BC ，得到NG // AM ，且NG ＝AM ，说明四边形AMNG 为平行四边形，可得NM // AG ，由线面平行的判定得到MN // 平面PAB ； 法二、证明MN // 平面PAB ，转化为证明平面NEM // 平面PAB ，在△PAC 中，过N 作NE ⊥AC ，垂足为E ，连接ME ，由已知PA ⊥底面ABCD ，可得PA // NE ，通过求解直角三角形得到ME // AB ，由面面平行的判定可得平面NEM // 平面PAB ，则结论得证； （2）连接CM ，证得CM ⊥AD ，进一步得到平面PNM ⊥平面PAD ，在平面PAD 内，过A 作AF ⊥PM ，交PM 于F ，连接NF ，则∠ANF 为直线AN 与平面PMN 所成角．然后求解直角三角形可得直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值． 【解答】证明：法一、如图，取PB 中点G ，连接AG ，NG ， ∵ N 为PC 的中点，∴ NG // BC ，且NG =12BC ，又AM =23AD =2，BC ＝4，且AD // BC ， ∴ AM // BC ，且AM =12BC ，则NG // AM ，且NG ＝AM ，∴ 四边形AMNG 为平行四边形，则NM // AG ， ∵ AG ⊂平面PAB ，NM 平面PAB ， ∴ MN // 平面PAB ； 法二、在△PAC 中，过N 作NE ⊥AC ，垂足为E ，连接ME ， 在△ABC 中，由已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，得cos∠ACB =42+32−322×4×3=23，∵ AD // BC ，∴ cos∠EAM =23，则sin∠EAM =√53，在△EAM 中，∵ AM =23AD =2，AE =12AC =32，由余弦定理得：EM =√AE 2+AM 2−2AE ⋅AM ⋅cos∠EAM =√94+4−2×32×2×23=32，∴ cos∠AEM =(32)2+(32)2−42×32×32=19，而在△ABC 中，cos∠BAC =32+32−422×3×3=19，∴ cos∠AEM ＝cos∠BAC ，即∠AEM ＝∠BAC ， ∴ AB // EM ，则EM // 平面PAB ．由PA ⊥底面ABCD ，得PA ⊥AC ，又NE ⊥AC ， ∴ NE // PA ，则NE // 平面PAB ． ∵ NE ∩EM ＝E ，∴ 平面NEM // 平面PAB ，则MN // 平面PAB ；在△AMC 中，由AM ＝2，AC ＝3，cos∠MAC =23，得CM 2＝AC 2+AM 2−2AC ⋅AM ⋅cos∠MAC =9+4−2×3×2×23=5．∴ AM 2+MC 2＝AC 2，则AM ⊥MC ， ∵ PA ⊥底面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，∴ 平面ABCD ⊥平面PAD ，且平面ABCD ∩平面PAD ＝AD ， ∴ CM ⊥平面PAD ，则平面PNM ⊥平面PAD ．在平面PAD 内，过A 作AF ⊥PM ，交PM 于F ，连接NF ，则∠ANF 为直线AN 与平面PMN 所成角．在Rt △PAC 中，由N 是PC 的中点，得AN =12PC =12√PA 2+PC 2=52， 在Rt △PAM 中，由PA ⋅AM ＝PM ⋅AF ，得AF =PA⋅AM PM=√42+22=4√55， ∴ sin∠ANF =AF AN=4√5552=8√525．∴ 直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为8√525．【答案】(1)证明：连接RF ，PF ，由AP =AF ，BQ =BF 及AP // BQ ，得∠AFP +∠BFQ =180∘， ∴ ∠PFQ =90∘， ∵ R 是PQ 的中点， ∴ RF =RP =RQ ， ∴ △PAR ≅△FAR ，∴ ∠PAR =∠FAR ，∠PRA =∠FRA ，∵ ∠BQF +∠BFQ =180∘−∠QBF =∠PAF =2∠PAR ， ∴ ∠FQB =∠PAR ， ∴ ∠PRA =∠PRF ， ∴ AR // FQ ．(2)设A(x1, y1)，B(x2, y2)，F(12, 0)，准线为x=−12，S△PQF=12|PQ|=12|y1−y2|，设直线AB与x轴交点为N，∴S△ABF=12|FN||y1−y2|，∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴x N=1，即N(1, 0)．设AB中点为M(x, y)，由{y12=2x1y22=2x2得y12−y22=2(x1−x2)，又y1−y2x1−x2=yx−1，∴yx−1=1y，即y2=x−1．∴AB中点轨迹方程为y2=x−1．【考点】抛物线的求解轨迹方程【解析】(1)连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PRF，即可证明AR // FQ；(2)利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．【解答】(1)证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP // BQ，得∠AFP+∠BFQ=180∘，∴∠PFQ=90∘，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≅△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180∘−∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PRF，∴AR // FQ．(2)设A(x1, y1)，B(x2, y2)，F(12, 0)，准线为x=−12，S△PQF=12|PQ|=12|y1−y2|，设直线AB与x轴交点为N，∴S△ABF=12|FN||y1−y2|，∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴x N=1，即N(1, 0)．设AB中点为M(x, y)，由{y12=2x1y22=2x2得y12−y22=2(x1−x2)，又y1−y2x1−x2=yx−1，∴yx−1=1y，即y2=x−1．∴AB中点轨迹方程为y2=x−1．【答案】（1）解：f′(x)=−2αsin2x−(α−1)sinx．（2）解：当α≥1时，|f(x)|=|αcos2x+(α−1)(cosx+1)|≤α+2(α−1)=3α−2=f(0)．因此A=3α−2．当0<α<1时，将f(x)变形为f(x)=2αcos2x+(α−1)cosx−1．令g(t)=2αt2+(α−1)t−1，则A是|g(t)|在[−1,1]上的最大值，g(−1)=α，g(1)= 3α−2，且当t=1−α4α时，g(t)取得极小值，极小值为g(1−α4α)=−(α−1)28α−1=α2+6α+18α．令−1<1−α4α<1，解得α>15．（i）当0<α≤15时，g(t)在(−1,1)内无极值点，|g(−1)|=α，|g(1)|=2−3α，|g(−1)|<|g(1)|，所以A=2−3α．（ii）当15<α<1时，由g(−1)−g(1)=2(1−α)>0，知g(−1)>g(1)>g(1−α4α)．又|g(1−α4α)|−|g(−1)|=(1−α)(1+7α)8α>0，所以A=|g(1−α4α)|=α2+6α+18α．综上A={2−3α,0<α≤15,α2+6α+18α,15<α<1, 3α−2,α≥1.（3）证明：由（1）得|f′(x)|=|−2αsin2x−(α−1)sinx|≤2α+|α−1|．当0<α≤15时，|f′(x)|≤1+α≤2−4α<2(2−3α)=2A．当15<α<1时，A=α8+18α+34≥1，所以|f′(x)|≤1+α<2A．当α≥1时，|f′(x)|≤3α−1≤6α−4=2A．所以|f′(x)|≤2A．【考点】利用导数研究函数的单调性三角恒等变换综合应用【解析】本题考查三角恒等变换、导数的计算、三角函数的有界性．【解答】（1）解：f′(x)=−2αsin2x−(α−1)sinx．（2）解：当α≥1时，|f(x)|=|αcos2x+(α−1)(cosx+1)|≤α+2(α−1)=3α−2=f(0)．因此A=3α−2．当0<α<1时，将f(x)变形为f(x)=2αcos2x+(α−1)cosx−1．令g(t)=2αt2+(α−1)t−1，则A是|g(t)|在[−1,1]上的最大值，g(−1)=α，g(1)= 3α−2，且当t=1−α4α时，g(t)取得极小值，极小值为g(1−α4α)=−(α−1)28α−1=α2+6α+18α．令−1<1−α4α<1，解得α>15．（i）当0<α≤15时，g(t)在(−1,1)内无极值点，|g(−1)|=α，|g(1)|=2−3α，|g(−1)|<|g(1)|，所以A=2−3α．（ii）当15<α<1时，由g(−1)−g(1)=2(1−α)>0，知g(−1)>g(1)>g(1−α4α)．又|g(1−α4α)|−|g(−1)|=(1−α)(1+7α)8α>0，所以A=|g(1−α4α)|=α2+6α+18α．综上A={2−3α,0<α≤15,α2+6α+18α,15<α<1, 3α−2,α≥1.（3）证明：由（1）得|f′(x)|=|−2αsin2x−(α−1)sinx|≤2α+|α−1|．当0<α≤15时，|f′(x)|≤1+α≤2−4α<2(2−3α)=2A．当15<α<1时，A=α8+18α+34≥1，所以|f′(x)|≤1+α<2A．当α≥1时，|f′(x)|≤3α−1≤6α−4=2A．所以|f′(x)|≤2A．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]【答案】（1）解：连接PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，由⊙O中AB^的中点为P，可得∠4=∠5，在△EBC中，∠1=∠2+∠3，又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，即有∠2=∠4，则∠D=∠1，则四点E，C，D，F共圆，可得∠EFD+∠PCD=180∘，由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，即有3∠PCD=180∘，可得∠PCD=60∘；（2）证明：由C，D，E，F共圆，由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G可得G为圆心，即有GC=GD，则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，则OG⊥CD．【考点】与圆有关的比例线段【解析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD的度数；（2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得证．【解答】（1）解：连接PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，由⊙O 中AB^的中点为P ，可得∠4=∠5， 在△EBC 中，∠1=∠2+∠3，又∠D =∠3+∠4，∠2=∠5，即有∠2=∠4，则∠D =∠1，则四点E ，C ，D ，F 共圆，可得∠EFD +∠PCD =180∘，由∠PFB =∠EFD =2∠PCD ，即有3∠PCD =180∘，可得∠PCD =60∘；（2）证明：由C ，D ，E ，F 共圆，由EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G可得G 为圆心，即有GC =GD ，则G 在CD 的中垂线，又CD 为圆G 的弦，则OG ⊥CD ．[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】曲线C 1的参数方程为{x =√3cosαy =sinα（α为参数）， 移项后两边平方可得x 23+y 2＝cos 2α+sin 2α＝1， 即有椭圆C 1:x 23+y 2＝1；曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)＝2√2，即有ρ(√22sinθ+√22cosθ)＝2√2， 由x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，可得x +y −4＝0，即有C 2的直角坐标方程为直线x +y −4＝0；由题意可得当直线x +y −4＝0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x +y −4＝0平行的直线方程为x +y +t ＝0，联立{x +y +t =0x 2+3y 2=3可得4x 2+6tx +3t 2−3＝0， 由直线与椭圆相切，可得△＝36t 2−16(3t 2−3)＝0，解得t ＝±2，显然t ＝−2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|=√1+1=√2，此时4x 2−12x +9＝0，解得x =32， 即为P(32, 12)． 另设P(√3cosα, sinα)，由P 到直线的距离为d =√3cosα+sinα−4|√2 π此时可取α=π6，即有P(32, 12)．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C 1的普通方程，运用x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C 2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x +y −4＝0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x +y −4＝0平行的直线方程为x +y +t ＝0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t ，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P 的直角坐标． 另外：设P(√3cosα, sinα)，由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P 的坐标．【解答】曲线C 1的参数方程为{x =√3cosαy =sinα（α为参数）， 移项后两边平方可得x 23+y 2＝cos 2α+sin 2α＝1， 即有椭圆C 1:x 23+y 2＝1；曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)＝2√2，即有ρ(√22sinθ+√22cosθ)＝2√2， 由x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，可得x +y −4＝0，即有C 2的直角坐标方程为直线x +y −4＝0；由题意可得当直线x +y −4＝0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x +y −4＝0平行的直线方程为x +y +t ＝0，联立{x +y +t =0x 2+3y 2=3可得4x 2+6tx +3t 2−3＝0， 由直线与椭圆相切，可得△＝36t 2−16(3t 2−3)＝0，解得t ＝±2，显然t ＝−2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|=√1+1=√2，此时4x 2−12x +9＝0，解得x =32， 即为P(32, 12)． 另设P(√3cosα, sinα)，由P 到直线的距离为d =√3cosα+sinα−4|√2 π此时可取α=π6，即有P(32, 12)．[选修4-5：不等式选讲]【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=|2x−2|+2，∵f(x)≤6，∴|2x−2|+2≤6，∴|2x−2|≤4，∴|x−1|≤2，∴−2≤x−1≤2，解得−1≤x≤3，∴当a=2时，不等式f(x)≤6的解集为{x|−1≤x≤3}．(2)∵g(x)=|2x−1|，∴f(x)+g(x)=|2x−1|+|2x−a|+a≥3，∴ 2|x−12|+2|x−a2|+a≥3，∴|x−12|+|x−a2|≥3−a2，当a≥3时，不等式恒成立；当a<3时，|x−12|+|x−a2|≥12|a−1|≥3−a2>0，∴(a−1)2≥(3−a)2，解得a≥2，即2≤a<3；综上所述，a的取值范围是[2, +∞)．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）当a＝2时，由已知得|2x−2|+2≤6，由此能求出不等式f(x)≤6的解集．（2）由f(x)+g(x)＝|2x−1|+|2x−a|+a≥3，得|x−12|+|x−a2|≥3−a2，由此能求出a的取值范围．【解答】解：(1)当a=2时，f(x)=|2x−2|+2，∵f(x)≤6，∴|2x−2|+2≤6，∴|2x−2|≤4，∴|x−1|≤2，∴−2≤x−1≤2，解得−1≤x≤3，∴当a=2时，不等式f(x)≤6的解集为{x|−1≤x≤3}．(2)∵g(x)=|2x−1|，∴f(x)+g(x)=|2x−1|+|2x−a|+a≥3，∴ 2|x−12|+2|x−a2|+a≥3，∴|x−12|+|x−a2|≥3−a2，当a≥3时，不等式恒成立；当a<3时，|x−12|+|x−a2|≥12|a−1|≥3−a2>0，∴(a−1)2≥(3−a)2，解得a≥2，即2≤a<3；综上所述，a的取值范围是[2, +∞)．。
2016届云南省高三第一次统一测试理综卷(2016.03)(1)
2016 年云南省第一次高中毕业生复习统一检测理科综合 物理试题 2016.3.22二、选择题（本题共8小题，每小题6分。
14至17题，每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，18至21题有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，选对但不全的 得3分，有选错的得0分）14．如图所示，质量均为m 的A 、B 两球，由一根劲度系数为k 的轻弹簧连接静止于半径 为R 的光滑半球形碗中，弹簧水平，两球间距为R 且球半径远小于碗的半径。
则弹簧 的原长为。
A 、mg R k +B 、2mg R k+ C 、233mg R k + D 、33mg R k + 15、如图甲所示，静止于光滑水平面上的小物块，在水平拉力F 的作用下从坐标原点O 开 始沿x 轴正方向运动，F 随物块所在位置坐标x 的变化关系如图乙所示，图线右半部分 为四分之一圆弧，则小物块运动到2x 。
处时的动能可表示为A 、0B 、0m F xC 、01(1)2m F x π+D 、01(1)22m F x π+ 16．如图所示，在等边三角形ABC 所在平面内有一匀强电场，将一带正电的点电荷从A 点 移到B 点和从B 点移到C 点，电场力均做负功且数值相同，则如下四个图中，电场强 度E 方向的标示正确的是17．如图所示为超声波测速示意图。
一固定的超声波测速仪每隔1s 向小汽车发出一个超声波 脉冲信号，己知第一个超声波t 0＝0时刻发出，遇到小汽车后返回，t l ＝l.0s 时刻接收到反 射波同时发出第二个超声波，t 2＝1.9s 时刻接收到第二个反射波。
若超声波在空气中的传 播速度为3.4 x 102m/s ，小汽车在这段时间的运动视为匀速运动，根据上述条件可知A ．小汽车向超声波测速仪运动，速度为17.9m/sB ．小汽车向超声波测速仪运动，速度为17.0m/sC ．小汽车背离超声波测速仪运动，速度为17.9m/sD ．小汽车背离超声波测速仪运动，速度为17.0m/s18．2016年，我国将择机发射“天宫二号”空间实验室，并发射“神州十一号”载人飞船 和“天舟货运飞船”，一与“天宫二号”交会对接，若“天宫二号”在离地面一定高度的 圆轨道上绕地球运行，下列说法正确的是A ．“天宫二号”的在轨环绕速度大于第一宇宙速度B ．“天宫二号”的在轨环绕速度小于第一宇宙速度C ．飞船从高轨道转移到低轨道首先要减速D ．飞船从高轨道转移到低轨道首先要加速19．如图所示的匀强磁场中，从O 点沿OA 方向垂直磁场发射两个比荷相同的带电粒子，一粒子经时间t 1到达直线OC 上的P 点，其速率为v l ；另一粒子经时间t 2到达直线OC 上的Q 点，其速率为v 2。
2016年高考数学新课标1卷理科试题高清无水印-适用湖北、广东、陕西、四川、重庆、福建、安徽
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共5页，24题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选做题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题， 每小题5分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（A ）3(3,)2-- （B ）3(3,)2- （C ）3(1,)2 （D ）3(,3)2（2）设(1i)1i x y +=+， 其中x ，y 是实数， 则i =x y +（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 （3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 （4）某公司的班车在7: 30， 8: 00， 8: 30发车，小明在7: 50至8: 30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（5）已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（A ）(1,3)-- （B ）(1,3)- （C ）(0,3) （D ）(0,3)（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径. 若该几何体的体积是283π，则它的 表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π （7）函数22xy x e =-在[–2,2]的图像大致为（8）若1a b >>，01c <<，则（A ）c c a b < （B ）c cab ba <（C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c < （9）执行右面的程序图，如果输入的01x y ==，，1n =，则输出x ，y 的值满足（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =（10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的标准线于D 、 E 两点. 已知42AB =， 25DE =，则C 的焦点到准线的距离为 （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8（11）平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，α//平面CB 1D 1，αI 平面ABCD = m ，αI 平面ABA 1B 1 = n ，则m ，n 所成角的正弦值为（A ）32 （B ）22 （C ）33（D ）13（12）已知函数()sin()f x x+ωϕ=(0)2πωϕ>≤，，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为 ()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ（，）单调，则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2016届昆明市市统测理数(一)
2016届昆明市市统测理数(一)秘密★启用前【考试时间：10月12日 1 5：00-17：00】昆明市2016届高三摸底调研测试理科数学试卷第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)设全集U=R，集合A={x| x(x -3)>0}，则C A=U(A) [0，3](B)(0，3)(C) (-∞,0) U(3,+ ∞)(D) (-∞,0] U[3,+ ∞)(2) 设复数z满足(13)3,i z i z-=+=则(A)一i (B) i (C)34 55i- (D) 3455i+(3)设命题p：∀x∈R ，2x>0，则⌝p为(A) ∀x∈R, 2x<0(B) ∀x∈R, 2x<0(C) ∃xo∈R, 2xo <0(D) ∃3xo∈R, 2xo <0(4) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于(A) 8+4π(B) 8+2π(C) 8+4π3(D) 8+2π3(5)设a，b∈N*，记R(a\b)为a除以b所得的余数．执行如图所示的程序框图，若输入a=243，b=45，则输出的值等于(A) 0(B) 1(C) 9(D) 18(6)已知ω>0，在函数y=sinωx与y=cosωx的图像的交点中，相邻两个交点的横坐标之差为1，则ω=(A)1 (B)2 (C)π(D) 2πu u u r u u u r，AP与CD (7)己知四边形ABCD为正方形，3=BP CPu u u r u u u r u u u r交于点E，若PE mCP nPD=+则m-n=(A)一23 (B) 23 (C) —13 (D) 13(8)己知a ∈（0，2π），cos(a +4π)= 一35，则tan a = (A) 17 (B) 7 (C) 34(D) 43(9)四人进行一项游戏，他们约定：在一轮游戏中，每人掷一枚质地均匀的骰子1次，若 某人掷出的点数为5或6，则此人游戏成功，否则游戏失败．在一轮游戏中，至少有2人游戏成功的概率为(A) 127 (B) 827 (C) 1127 (D) 89(10)已知F 1，F 2为双曲线C 的左，右焦点，过F 1的直线分别交C 的左，右两支于A ，B 两点，若△AF 2B 为等腰直角三角形，且∠AF 2B=90°，那么C 的离心率为(A) 2 (B) 3 (C)2 (D)3(11)已知曲线f(x)=e 2x - 2e x+ax -1存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围为(A)(3，+∞) (B) [3，72] (C) (一∞，72] (D)(0，3)(12)棱长为a的正方体可任意摆放，则其在水平平面上投影面积的最大值为(A) 23a： (B) 22a (C) 233 (D) 2a2第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2016年高考全国卷一理科数学试题及答案
2016年普通高等学校招生全统一考试全国卷一理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2430A x x x =-+<,{}032>-=x x B ，则=B A（A ）（3-，23-) （B)（3-,23） （C ）（1,23） （D ）(23-，3）2.设yi x i +=+1)1(，其中x ,y 是实数，则=+yi x（A ）1 （B)2 (C ）3 （D ）23.已知等差数列{}n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a（A)100 （B ）99 （C ）98 （D ）974.某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(A)31（B ）21 （C)32 (D ）435.已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则m 的取值范围是 （A ）(1-，3) (B ）（1-，3） （C ）(0，3） （D)（0，3）6.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是328π，则它的表面积是 （A ）17π (B)18π （C)20π (D ）28π7.函数xe x y -=22在[]22，-的图象大致为（A) （B ） （C ） （D)8.若1>>b a ，10<<c ，则（A)c c b a < (B ）c c ba ab < （C ）c b c a a b log log < (D ）c c b a log log <9.执行右图的程序框图，如果输入的0=x ，1=y ,1=n ,则输出y x ,的值满足（A ）x y 2= （B ）x y 3= （C)x y 4= （D)x y 5=10.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知24=AB ，52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（A)2 （B ）4 （C ）6 （D ）811.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α∥平面11D CB ，α∩平面m ABCD =，α∩平面n A ABB =11，则n m ,所成角的正弦值为(A ）23 （B ）22 （C ）33 （D ）3112.已知函数)sin()(ϕω+=x x f )2,0(πϕω≤>，4π-=x 为)(x f 的零点,4π=x 为)(x f y =图象的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调,则ω的最大值为 （A ）11 (B ）9 （C ）7 （D)5二、填空题：本题共4小题，每小题5分. 13.设向量)1,(m a =，)2,1(=b ，且222b a ba +=+,则=m ．14.5)2(x x +的展开式中，3x 的系数是 ．（用数字填写答案)15.设等比数列{}n a 满足1031=+a a ,542=+a a ，则n a a a ⋯21的最大值为 ．16.某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。
云南省2016年高考理科数学试题及答案(Word版)
云南省2016年高考理科数学试题及答案（Word 版）（满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题 ，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知Z=（m+3）+（m-1）i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）（-3,1） （B ）（-1,3） （C ）()1,+∞ （D ）(),3-∞-（2）已知集合{}1,2,3A =，{}|(1)(2)0,B x x x x Z =+-<∈，则AB =（A ）{1} （B ）{1,2} （C ）{0,1,2,3} （D ）{-1,0,1,2,3}（3）已知向量a=（1，m ），b=（3，-2），且（a+b ）⊥b ，则m=（A ）-8 （B ）-6 （C ）6 （D ）8（4）圆22x +y -2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=（A ）4-3 （B ）3-4（C ）3 （D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小明回合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π （7）若将函数2sin 2y x = 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后的图像对称轴为 （A ）()26k x k Z ππ=-∈（B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈（D ）()212k x k Z ππ=+∈（8）中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算 法的。
执行该程序框图，若输入的 x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输入的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos （4π-α）=35，则sin2α= （A ）725 （B ）15 （C ）-15 （D ）-725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数12,,...,n x x x ， 12,,...,n y y y 构成n 个数对11,x （y ），22,x （y ），…，,n n x （y ），其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 （A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11 1F ,2F 是双曲线E ：22221a x y b+=的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，121sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（A （B ）32（C （D ）2（12）已知函数f x ∈（）（R ）满足f x =f x （-）2-（），若函数x 1y=x+与y=f x （）图像的x 1y=f x x +（）交点为（1x ，1y ）；（2x ，2y ），…，（m x ，m y ），则1()mi i i x y =+=∑ （A ）0 (B)m (C)2m (D)4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
2016年_全国I卷理科数学(原卷+答案)
2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（ ）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（ ）A．1B．C．D．23．（5分）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（ ）A．100B．99C．98D．974．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）A．B．C．D．5．（5分）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（ ）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（ ）A．17πB．18πC．20πD．28π7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（ ）A．B．C．D．8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（ ）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（ ）A．y=2xB．y=3xC．y=4xD．y=5x10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（ ）A．2B．4C．6D．811．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，则m、n所成角的正弦值为（ ）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）单调，则ω的最大值为（ ）A．11B．9C．7D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.13．（5分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m= ．14．（5分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是 ．（用数字填写答案）15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为 ．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？20．（12分）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（ ）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），∴A∩B=（，3），故选：D2．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（ ）A．1B．C．D．2【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即|x+yi|=|1+i|=，故选：B．3．（5分）（2016•新课标Ⅰ）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（ ）A．100B．99C．98D．97【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故选：C4．（5分）（2016•新课标Ⅰ）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）A．B．C．D．【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P==，故选：B5．（5分）（2016•新课标Ⅰ）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（ ）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n的取值范围．【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，当焦点在x轴上时，可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1，∵方程﹣=1表示双曲线，∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）．当焦点在y轴上时，可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1，无解．故选：A．6．（5分）（2016•新课标Ⅰ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（ ）A．17πB．18πC．20πD．28π【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．7．（5分）（2016•新课标Ⅰ）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（ ）A．B．C．D．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D8．（5分）（2016•新课标Ⅰ）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（ ）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c【分析】根据已知中a＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数f（x）=x c在（0，+∞）上为增函数，故a c＞b c，故A错误；函数f（x）=x c﹣1在（0，+∞）上为减函数，故a c﹣1＜b c﹣1，故ba c＜ab c，即ab c＞ba c；故B错误； log a c＜0，且log b c＜0，log a b＜1，即=＜1，即log a c＞log b c．故D错误；0＜﹣log a c＜﹣log b c，故﹣blog a c＜﹣alog b c，即blog a c＞alog b c，即alog b c＜blog a c，故C正确；故选：C9．（5分）（2016•新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（ ）A．y=2xB．y=3xC．y=4xD．y=5x【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C10．（5分）（2016•新课标Ⅰ）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（ ）A．2B．4C．6D．8【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，x A==，|OD|=|OA|，=+5，解得：p=4．C的焦点到准线的距离为：4．故选：B．11．（5分）（2016•新课标Ⅰ）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，则m、n所成角的正弦值为（ ）A．B．C．D．【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．12．（5分）（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）单调，则ω的最大值为（ ）A．11B．9C．7D．5【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.13．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m= ﹣2 ．【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得•=0．向量=（m，1），=（1，2），可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）（2016•新课标Ⅰ）（2x+）5的展开式中，x3的系数是 10 ．（用数字填写答案）【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3，求出r，即可求出展开式中x3的系数．【解答】解：（2x+）5的展开式中，通项公式为：T r+1==25﹣r，令5﹣=3，解得r=4∴x3的系数2=10．故答案为：10．15．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为 64 ．【分析】求出数列的等比与首项，化简a1a2…a n，然后求解最值．【解答】解：等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a1+q2a1=10，解得a1=8．则a1a2…a n=a1n•q1+2+3+…+（n﹣1）=8n•==，当n=3或4时，表达式取得最大值：=26=64．故答案为：64．16．（5分）（2016•新课标Ⅰ）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 216000 元．【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案为：216000．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）（2016•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，∵sinC≠0，sin（A+B）=sinC∴cosC=，又0＜C＜π，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．18．（12分）（2016•新课标Ⅰ）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【分析】（Ⅰ）证明AF⊥平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角；由CE⊥BE，BE⊥EF，可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四边形EFDC为等腰梯形．以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，a），=（﹣2a，0，0）设平面BEC的法向量为=（x1，y1，z1），则，则，取=（，0，﹣1）．设平面ABC的法向量为=（x2，y2，z2），则，则，取=（0，，4）．设二面角E﹣BC﹣A的大小为θ，则cosθ===﹣，则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣．19．（12分）（2016•新课标Ⅰ）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？【分析】（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P（X≤n）≥0.5中n的最小值．（Ⅲ）由X的分布列得P（X≤19）=．求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望EX2，由此能求出买19个更合适．【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P（X=16）=（）2=，P（X=17）=，P（X=18）=（）2+2（）2=，P（X=19）==，P（X=20）==，P（X=21）==，P（X=22）=，∴X的分布列为：X16171819202122P（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）==．P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19．（Ⅲ）由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．买19个所需费用期望：EX1=200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×=4040，买20个所需费用期望：EX2=+（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，∵EX1＜EX2，∴买19个更合适．20．（12分）（2016•新课标Ⅰ）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD 于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．【分析】（Ⅰ）求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0即为（x+1）2+y2=16，可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，由AC=AD，可得∠D=∠C，即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且有2a=4，即a=2，c=1，b==，则点E的轨迹方程为+=1（y≠0）；（Ⅱ）椭圆C1：+=1，设直线l：x=my+1，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，则|MN|=•|y1﹣y2|=•=•=12•，A到PQ的距离为d==，|PQ|=2=2=，则四边形MPNQ面积为S=|PQ|•|MN|=••12•=24•=24，当m=0时，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24•=8，即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8）．21．（12分）（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2可得：f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），对a进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案．（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，则﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，分析g（x）的单调性，令m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=，设h（m）=，m＞0，利用导数法可得h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，∴f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①若a=0，那么f（x）=0⇔（x﹣2）e x=0⇔x=2，函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；②若a＞0，那么e x+2a＞0恒成立，当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；此时当x=1时，函数f（x）取极小值﹣e，由f（2）=a＞0，可得：函数f（x）在x＞1存在一个零点；当x＜1时，e x＜e，x﹣2＜﹣1＜0，∴f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0的两根为t1，t2，且t1＜t2，则当x＜t1，或x＞t2时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，故函数f（x）在x＜1存在一个零点；即函数f（x）在R是存在两个零点，满足题意；③若﹣＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne=1，当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当ln（﹣2a）＜x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=ln（﹣2a）时，函数取极大值，由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；④若a=﹣，则ln（﹣2a）=1，当x＜1=ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故函数f（x）在R上单调递增，函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；⑤若a＜﹣，则ln（﹣2a）＞lne=1，当x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=1时，函数取极大值，由f（1）=﹣e＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a的取值范围为（0，+∞）证明：（Ⅱ）∵x1，x2是f（x）的两个零点，∴f（x1）=f（x2）=0，且x1≠1，且x2≠1，∴﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，∵g′（x）=，∴当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=﹣=，设h（m）=，m＞0，则h′（m）=＞0恒成立，即h（m）在（0，+∞）上为增函数，h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）⇔g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）⇔2﹣x1＞x2，即x1+x2＜2．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•新课标Ⅰ）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．【分析】（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB是圆O的切线．（Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT为AB的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为CD的中垂线，∴AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．【分析】（Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a2=0，则a值可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3．综上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．。
2016年云南省高考数学试卷(理科)(全国新课标ⅲ)
2016年云南省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅲ）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）2．（5分）若z=1+2i，则=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．68．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．﹣B．C．﹣ D．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90 D．8110．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB． C．6πD．11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2016年云南省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（﹣∞，2]∪[3，+∞），∵T=（0，+∞），∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞），故选：D．2．（5分）若z=1+2i，则=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【解答】解：z=1+2i，则===i．故选：C．3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选A．4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，故选：D5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵a==，b=，c==，综上可得：b＜a＜c，故选A7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．故选：B．8．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．﹣B．C．﹣ D．【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，∴BD=AD=a，CD=a，在Rt△ADC中，cosθ===，故sinθ=，∴cosA=cos（+θ）=cos cosθ﹣sin sinθ=×﹣×=﹣．故选：A．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90 D．81【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的斜四棱柱，其底面面积为：3×6=18，侧面的面积为：（3×3+3×）×2=18+18，故棱柱的表面积为：18×2+18+18=54+18．故选：B．10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB． C．6πD．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r==2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±b=±，可得P（﹣c，±），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH=k BM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e==．故选：A．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是2x+y+1=0．【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）=﹣3，可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1），即为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=4．【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，∴=3，∴m=﹣∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．【解答】解：（1）∵S n=1+λa n，λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=1+λa n﹣1﹣λa n﹣1=λa n﹣λa n﹣1，即（λ﹣1）a n=λa n﹣1，∵λ≠0，a n≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，即=，（n≥2），∴{a n}是等比数列，公比q=，当n=1时，S1=1+λa1=a1，即a1=，∴a n=•（）n﹣1．（2）若S5=，则若S5=1+λ[•（）4]=，即（）5=﹣1=﹣，则=﹣，得λ=﹣1．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵r==≈≈≈0.993，∵0.993＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）==≈≈0.103，=﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92，∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92，2016年对应的t值为9，故=0.10×9+0.92=1.82，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，∵N为PC的中点，∴NG∥BC，且NG=，又AM=，BC=4，且AD∥BC，∴AM∥BC，且AM=BC，则NG∥AM，且NG=AM，∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB，∴MN∥平面PAB；法二、在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=，∵AD∥BC，∴cos，则sin∠EAM=，在△EAM中，∵AM=，AE=，由余弦定理得：EM==，∴cos∠AEM=，而在△ABC中，cos∠BAC=，∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，∴NE∥PA，则NE∥平面PAB．∵NE∩EM=E，∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB；（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM2=AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC=．∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN==，在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF=，∴sin．∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，∴∠PFQ=90°，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≌△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为x=﹣，S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，=|FN||y1﹣y2|，∴S△ABF∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴x N=1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），又=，∴=，即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．【解答】（I）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx．（II）当a≥1时，|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）|（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）（|cosx|+1）|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0），因此A=3a﹣2．当0＜a＜1时，f（x）等价为f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos2x+（a﹣1）cosx﹣1，令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1，则A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2，且当t=时，g（t）取得极小值，极小值为g（）=﹣﹣1=﹣，（二次函数在对称轴处取得极值）令﹣1＜＜1，得a＜（舍）或a＞．因此A=3a﹣2①当0＜a≤时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2﹣3a，|g（﹣1）|＜|g（1）|，∴A=2﹣3a，②当＜a＜1时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（），又|g（）|﹣|g（﹣1）|=＞0，∴A=|g（）|=，综上，A=．（III）证明：由（I）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a﹣1|，当0＜a≤时，|f′（x）|≤1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A，当＜a＜1时，A==++≥1，∴|f′（x）|≤1+a≤2A，当a≥1时，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A，综上：|f′（x）|≤2A．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．【解答】（1）解：连接PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，由⊙O中的中点为P，可得∠4=∠5，在△EBC中，∠1=∠2+∠3，又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，即有∠2=∠4，则∠D=∠1，则四点E，C，D，F共圆，可得∠EFD+∠PCD=180°，由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，即有3∠PCD=180°，可得∠PCD=60°；（2）证明：由C，D，E，F共圆，由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G可得G为圆心，即有GC=GD，则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，则OG⊥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，即有椭圆C1：+y2=1；曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．。
2016届云南省高三下学期第一次高中毕业生复习统一测试数学(理)试题(解析版)
【考点】简单的线性规划．
11．在长为 3 m的线段 AB 上任取一点 P ，则点 P 与线段 AB 两端点的距离都大于 1 m
的概率等于（ ）
1
A．
2
【答案】 D
1
B．
4
2
C．
3
1
D．
3
【解析】试题分析：设线段 AB 的三等分点分别为 C , D （如图所示） ，因为点 P 与线段
AB 两端点的距离都大于 1 m ，所以 P 在线段 CD 上，则点 P 与线段 AB 两端点的距离
6
6
3
6
y cos 2x
的图象，只需要将 y sin 2 x 的图象向左平移 个单位；故选 D．
6
6
【考点】 1.诱导公式； 2.三角函数的图像变换．
1
1
8．在数列 an 中， a1
2 , a2
3 , an an 2 1 ，则 a2016 a2017 (
)
5
A．
6
【答案】 C
7
B．
3
7
C．
2
D． 5
25 2
；故选 B．
3
3
【考点】 1.三视图； 2.组合体的体积．
7．为得到 y cos 2x
的图象，只需要将 y sin 2x 的图象（ ）
6
A．向右平移 个单位
3
B．向右平移 个单位
6
C．向左平移 个单位
3
D．向左平移 个单位
6
【答案】 D
【
解
析
】
试
题
分
析
：
因
为
y cos(2 x ) cos( 2x) sin(2x ) sin[ 2(x )] ， 所 以 为 得 到
2016年高考数学试题全国1卷(理科)(精校高清)
4
(D)5
4
为 f ( x) 图 像 的 对 称 轴 ， 所 以
本卷包括必考题和选考题两部分。第 12~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22~24 题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。 2 2 2 (13)设向量 a m, 1，b 1, 2 ，且 | a b | | a | | b | ，则 m = 【答案】 2
(16)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、 乙两种新型材料． 生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg， 乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 个工时．生 产一件产品 A 的利润为 2100 元， 生产一件产品 B 的利润为 900 元． 该企业现有甲材料 150kg， 乙材料 90kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元． 【答案】 216000 【解析】设生产产品 A 、产品 B 分别为 x 、 y 件，利润之和为 z 元，那么
1.5 x 0.5 y150, x 0.3 y90, ① 5 x 3 y600, x0, y0. 目标函数 z 2100 x 900 y .
y
z 2100 x 900 y
M
300, 3x y 10 x 3 y900, 二元一次不等式组①等价于 5 x 3 y600, ② x0, y0.
3 2
(B) ( 3, )
3 2
(C) (1, )
3 2
B
(D) ( ,3)
3 2
3 3 }={x| x 3} . 2 2 (2)设 (1 i) x 1 yi ，其中 x ， y 实数，则 x yi =
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2016年云南省第一次高中毕业生复习统一检测理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，复数121,1z i z i =+=-，则12z z =（ D ） A ．12-B ．12C ．i -D ．i 2.已知平面向量()()3,6,,1a b x ==-，如果//a b ，那么||b =（B ） AB．2 C ．3 D ．323.函数22sin cos 2sin y x x x =-的最小值为（C ）A ．-4 B．1- C．1 D ．-24. 101x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数等于（ A ）A ．45B ．20C ．-30D ．-90 5.若运行如图所示程序框图，则输出结果S 的值为（ A ） A ．94 B ．86 C ．73 D ．566.下图是底面半径为1，高为2的圆柱被削掉一部分后剩下的几何体的三视图（注：正视图也称主视图，俯视图也称左视图），则被削掉的那部分的体积为（ B ） A ．23π+ B ．523π- C ．53-2π D ．223π-7.为得到cos(2)6yx π=-,只需要将sin 2y x =的图像（ D ）A.向右平移3π个单位B.向右平移6π个单位C.向左平移3π个单位 D.向左平移6π个单位 8.在数列{}n a 中，12211,,123n n a a a a +===，则20162017a a +=( C ) A ．56 B ．73 C ．72D ．59.已知,a b 都是实数，:2:；P a b q +=直线0x y +=与圆()()222x a y b -+-=相切，则p 是q 的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10. 若,x y 满足约束条件4335251-+x y x y x -≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ C ）A ．6B ．5C ．3D ．111.在长为3m 的线段AB 上任取一点P ，则点P 与线段AB 两端点的距离都大于1m 的概率等于（ D ） A ．12 B ．14 C ．23 D ．1312.已知双曲线M 的焦点12,F F 在x 30y +=是双曲线M 的一条渐近线，点P 在双曲线M 上，且120PF PF ⋅=，如果抛物线216y x =的准线经过双曲线M 的一个焦点，那么12||||PF PF ⋅=（ D ） A ．21 B ．14 C ．7 D ．0第Ⅱ卷二、填空题13.已知函数()f x 的定义域为实数集R ，()lg ,0,90,0x x x R f x x x >⎧∀∈-=⎨-≤⎩，则()()10100f f --的值为 -8 .14.已知三棱锥P ABC -的顶点、、B 、C P A 在球O 的表面上，ABC ∆边三角形，如果球O 的表面积为36π，那么P 到平面ABC 距离的最大值为3+15.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，如果ABC ∆的面积等于8，5a =,4tan 3B =-,那么sin sin sin a b cA B C ++++=416.已知实数,a b 都是常数，若函数2112x a x y be x --=++的图象在切点10,2⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为2113420,2x a x x y y be x --+-==++与()31y k x =-的图象有三个公共点，则实数k 的取值范围是1(,)(0,)4-∞-⋃+∞. 三、解答题17. (本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，322n n a S -=.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)求证：221n n n S S S ++<.(Ⅰ)解：∵对任意正整数n ，322n n a S -=，∴11322n n a S ++-= ∴1133220n n n n a a S S ++--+=，即()113320n n n n a a S S ++---= ∴113320n n n a a a ++--=，解得13n n a a +=. 当1n =时，11322a S -=，即12=a .∴123n n a -=⨯ ∴数列{}n a 的通项公式为123n n a -=⨯.(II)证明：又（I ）可得-12(13)313n n n S ⨯-==- 1212212131,S 3 1.430..n n n n n n n n n n n S S S S S S S ++++++++∴=-=-∴-=-⨯<∴<18. (本小题满分12分)某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛.(Ⅰ)设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A ,求事件A 的概率()P A ；(Ⅱ)设X 为选出的4人中女生的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.解： (Ⅰ) 由已知，得()2222233348635C C C C P A C +==， 所以事件A 的概率为635. (Ⅱ)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.由已知得()()453481,2,3,4k kC C P X k k C -===. 所以随机变量X 的分布列为：随机变量X 的数学期望()12341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.19. (本小题满分12分)如图，在三棱锥A BCD -中，,,CD BD AB AD E ⊥=为BC 的中点.(Ⅰ)求证：AE BD ⊥；(Ⅱ)设平面ABD ⊥平面,2,4BCD AD CD BC ===，求二面角B AC D --的正弦值.yB(Ⅰ)证明：设BD 的中点为O ，连接,AO EO ， ∵AB AD =，∴AO BD ⊥， 又∵E 为BC 的中点，∴//EO CD ， ∵CD BD ⊥，∴EO BD ⊥. ∵OAOE O =，∴BD ⊥平面AOE ，又∵AE ⊂平面AOE ，∴AE ⊥BD . (Ⅱ)解：由(Ⅰ)知：AO BD ⊥，EO BD ⊥，∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD =BD ，AO ⊂平面ABD ， ∴AO ⊥平面BCD .∵EO ⊂平面BCD ,∴AO EO ⊥, ∴、、OE OD OA 两两互相垂直. ∵CD BD ⊥,4,2,BC CD BD ==∴==由O 为BD 的中点，AO BD ⊥，2AD =得1BO OD OA ====，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()()()()()0,0,0,0,0,1,0,,,O A B C D ，∴()()()0,3,1,2,3,1,0,3,1AB AC AD =--=-=-.设平面ABC 的一个法向量为(),,nx y z =，则,n AB n AC ⊥⊥.∴020z x z ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩,取y =33x z =⎧⎨=⎩，∴()3,3,3n =-是平面ABC 的一个法向量.同理可求平面ADC 的一个法向量()0,m =. 设二面角B AC D --的大小为θ，则7|cos |||7||||m n m n θ⋅==∵0θπ<<. ∴sin θ==，∴二面角B AC D --的正弦值为7.20. (本小题满分12分)已知焦点在y 轴上的椭圆E 的中心是原点O ，，以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为:l y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆E 交于、A B 两个相异点，且AP PB λ=.(Ⅰ) 求椭圆E 的方程；(Ⅱ)是否存在m ，使4OA OB OP λ+=？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.解：(Ⅰ)根据已知设椭圆E 的方程为()222210y x a b a b +=>>，焦距为2c ，由已知得c a =2222,4a c b a c ==-=.∵以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为∴2,1a b ==∴==.∴椭圆E 的方程为2214y x +=. (Ⅱ)根据已知得()0,P m ，由AP PB λ=，得()OP OA OB OP λ-=-.∴()1OA OB OP λλ+=+.∵4OA OB OP λ+=,∴()14=OP OP λ+，若0m =，由椭圆的对称性得AP PB =，即0OA OB +=. ∴0m =能使4OA OB OP λ+=成立. 若0m ≠，则14λ+=，解得3λ=. 设()()1122,,,A x kx m B x kx m ++，由22440y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得()2224240kx mkx m +++-=，由已知得()()222244440m k k m ∆=-+->，即2240k m -+>. 且212122224,44km m x x x x k k --+==++.…10分由3AP PB =得123x x -=，即123x x =-.∴()21212340x x x x ++=, ∴()()2222224412044m k m k k-+=++，即222240m k m k +--=.当21m =时，222240m k m k +--=不成立.∴22241m k m -=-,∵2240k m -+>, ∴2224401m m m --+>-,即()222401m m m ->-. ∴214m <<,解得21m -<<-或12m <<.综上述，当21m -<<-或0m =或12m <<时，4OA OB OP λ+=.21. (本小题满分12分)已知()()ln 212321x f x x x +=+-+.(Ⅰ)求证：当 0x =时，()f x 取得极小值；(Ⅱ)是否存在满足0n m >≥的实数,m n ，当[],x m n ∈时，()f x 的值域为[],m n ？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由. 解：(Ⅰ)证明：由已知得()f x 的定义域为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 当12x >-时，()()()()()22222ln 21882ln 21'22121x x x x f x x x -++++=-=++. 设()()2882ln 21F x x x x =+++，则()()()2'21F x f x x =+，当12x >-时，22188822x x x ⎡⎤⎛⎫+=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦是单调递增函数，()2ln 21x +也是单调递增函数， 当12x >-时，()()2882ln 21F x x x x =+++单调递增. ∴当102x -<<时，()()00F x F <=，当0x >时，()()00F x F >=. ∴当102x -<<时，()'0f x <，()f x 单调递减，当0x >时，()'0f x >，()f x 单调递增.∴当0x =时，()f x 取得极小值.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 在[)0,+∞上是单调递增函数，若存在满足0n m >≥的实数m ，n ，当[],x m n ∈时，()f x 的值域为[],m n ，则()(),f m m f n n ==，即()f x x =在[)0,+∞上有两个不等的实根m ，n .∴()2273ln 210x x x ++-+=在[)0,+∞上有两个不等的实根m ，n ，设()()2273ln 21H x x x x =++-+，则()28185'21x x H x x ++=+.当0x >时，210x +>，281850x x ++>，所以()28185'021x x H x x ++=>+， ∴()H x 在[)0,+∞上是单调递增函数，即当0x ≥时，()()03H x H ≥=.∴()2273ln 210x x x ++-+=在[)0,+∞上没有实数根.所以，不存在满足条件的实数m ，n .请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. (本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲如图，BC 是⊙O 的直径，EC 与⊙O 相切于,C AB 是⊙O 的弦，D 是AC 弧的中点，BD 的延长线与CE 交于E .(Ⅰ)求证： BC CD BD CE ⋅=⋅； (Ⅱ)若93,5CE DE ==，求AB .（Ⅰ）证明：∵BC 是⊙O 的直径，EC 与⊙O 相切于C ，D 是AC 弧的中点， ∴,90CBD ECD BDC CDE BCE ∠=∠∠=∠=∠=， ∴BCD ∆∽CED ∆. ∴BC BDCE CD=， ∴BC CD BD CE ⋅=⋅.（Ⅱ）解：设BA 的延长线与CD 的延长线交于F ， ∵D 是AC 弧的中点，∴ABD CBD ∠=∠， ∵BC 是⊙O 的直径，∴90BDC BDF ∠=∠=， ∴BDC BDF ∆≅∆.∴,CD FD BC BF ==,在Rt CDE ∆中，125CD ==. ∴125FD =. ∵90BDC BCE ∠=∠=,∴2CD BD DE =⋅,∴2165CD BD DE ==,∴4BC ==,∴4BF =.………………………………8分 由割线定理得()FB AB FB FD FC -⋅=⋅， 即()12244455AB -⨯=⨯，解得2825AB =.CB∴2825AB =. 23. (本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为12x t y t =-⎧⎨=+⎩,（t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=.(Ⅰ)直接写出直线l 、曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设曲线C 上的点到与直线l 的距离为d ，求d 的取值范围.解：（Ⅰ）直线l 的直角坐标方程为30x y -+=，曲线C 的直角坐标方程为2233x y +=. （Ⅱ）∵曲线C 的直角坐标方程为2233x y +=，即2213y x +=， ∴曲线C上的点的坐标可表示为()cos αα. ∵2sin 3106πα⎛⎫-+≥> ⎪⎝⎭，∴2sin 3d πα⎛⎫-+ ⎪===， ∴d2，d2.∴22d ≤≤ 即d的取值范围为22，⎣⎦. 24. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知()2122f x x x x =-++++.(Ⅰ)求证：()5f x ≥；(Ⅱ)若对任意实数()229,1521x f x a a -<++都成立，求实数a 的取值范围.（Ⅰ）证明：∵()43,25,2127,1243,2x x x f x x x x x --≤-⎧⎪-<≤-⎪=⎨+-<≤⎪⎪+>⎩，∴()f x 的最小值为5，∴()5f x ≥.(Ⅱ)解：由（Ⅰ）知：()152f x -的最大值等于5. ∵()222299111511a a a a +=++-≥-=++， “=”成立()22911=a a⇔++，即a =∴当a =时，2291a a ++取得最小值5. 当a ≠22951a a +>+， 又∵对任意实数x ，()2291521-f x a a <++都成立， ∴a ≠∴a 的取值范围为a ≠。