【恒心】2015届河南省八市重点高中高三第二次联考数学(理科)试题及参考答案【扫描版】
河南省八市重点高中2015届高三教学质量监测考试+数学(理)试题(解析版)
2015年河南省八市重点高中高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x||x+1|≤2}，B={x|y=lg（x2﹣x﹣2）}，则A∩∁R B（）A．[3，﹣1）B．[3，﹣1] C．[﹣1，1] D．（﹣1，1]【考点】：交、并、补集的混合运算．【专题】：集合．【分析】：求出集合A，B的等价条件，即可得到结论．【解析】：解：A={x||x+1|≤2}={x|﹣3≤x≤1}，B={x|y=lg（x2﹣x﹣2）}={x|x2﹣x﹣2＞0}={x|x ＞2或x＜﹣1}，则∁R B={x|﹣1≤x≤2}，则A∩∁R B={x|﹣1≤x≤1}，故选：C【点评】：本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．2．（5分）如图所示的复平面上的点A，B分别对应复数z1，z2，则=（）A．﹣2i B．2i C．2 D．﹣2【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：由图求出z1，z2，代入后利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【解析】：解：由图可知，z1=﹣1+i，z2=2+2i，则．故选：A．【点评】：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．（5分）设函数f（x），g（x）分别为定义在R上的奇函数和偶函数且满足f（x）+g（x）=x3﹣x2+1，则f（1）=（）A．﹣l B．l C．﹣2 D．2【考点】：函数奇偶性的性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据题意，计算出f（1）+g（1）、﹣f（1）+g（1）的值即可．【解析】：解：由题可知：f（1）+g（1）=1﹣1+1=1，f（﹣1）+g（﹣1）=﹣1﹣1+1=﹣1，由∵f（x），g（x）分别为定义在R上的奇函数和偶函数，∴﹣f（1）+g（1）=﹣1，所以f（1）=1，故选：B．【点评】：本题考查函数的奇偶性，属于基础题．4．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：根据题意，得双曲线的渐近线方程为y=±x，再由双曲线离心率为2，得到c=2a，由定义知b==a，代入即得此双曲线的渐近线方程．【解析】：解：∵双曲线C方程为：=1（a＞0，b＞0）∴双曲线的渐近线方程为y=±x又∵双曲线离心率为2，∴c=2a，可得b== a因此，双曲线的渐近线方程为y=±x故选：D．【点评】：本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与基本概念，属于基础题．5．（5分）某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外活动分别成立绘画，象棋和篮球兴趣小组，现有甲，乙，丙、丁四名同学报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人报名，则不同的报名方法有（）A．12种B．24种C．36种D．72种【考点】：计数原理的应用．【专题】：计算题；概率与统计．【分析】：根据题意，分2步进行【分析】：①在4个人中任取2人，作为一个整体，②将这个整体与其他3人进行全排列，对应3个活动小组，分别计算这2步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解析】：解：根据题意，分析可得，4个人中有2个人分在同一个组，在4个人中任取2人，作为一个整体，有C42=6种情况，将这个整体与其他3人进行全排列，对应3个活动小组，有A33=6种情况，则共有6×6=36种不同的报名方法，故选：C．【点评】：本题考查分步计数原理的运用，关键是认真分析题意，确定计算的步骤．6．（5分）已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是（）A．B．C．D．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由该棱锥的三视图判断出该棱锥的几何特征，以及相关几何量的数据，再求出该棱锥外接球的半径和体积．【解析】：解：由该棱锥的三视图可知，该棱锥是以边长为的正方形为底面，高为2的四棱锥，做出其直观图所示：则PA=2，AC=2，PC=，PA⊥面ABCD，所以PC即为该棱锥的外接球的直径，则R=，即该棱锥外接球的体积V==，故选：C．【点评】：本题考查了由三视图求几何体的外接球的体积，解题的关键是根据三视图判断几何体的结构特征及相关几何量的数据．7．（5分）执行如图的程序框图，当k的值为2015时，则输出的S值为（）A．B．C．D．【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=0+++…+的值，用裂项法即可求值．【解析】：解：模拟执行程序框图，可得第一次循环，S=0+，n=1＜2015；第二次循环，S=0++，n=2＜2015；第二次循环，S=0++，n=3＜2015；…当n=2015时，S=0+++…+=1﹣…+﹣=1﹣=，此时满足2015≥2015，退出循环，输出S的值为：．故选：C．【点评】：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型⇒③解模．8．（5分）已知，则=（）A．B．C．D．【考点】：两角和与差的正弦函数；三角函数中的恒等变换应用．【专题】：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】：首先对函数的关系式进行灵活的恒等变换，进一步利用诱导公式和2倍角公式进行变形，进一步求出结果．【解析】：解：===又由于===由==1﹣故原式=故选：B【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，诱导公式的应用，及相关的运算问题，主要考查学生对关系式的灵活变换能力．9．（5分）已知x，y满足区域D：，给出下面4个命题：p1：∀x，y∈D，2x﹣y≥2p2：∂x，y∈D，2x﹣y≤2p3：∂x，y∈D，p4：∀x，y∈D，，其中真命题是（）A．p1，p3 B．p2，p3 C．p1，p4 D．p2，p4【考点】：简单线性规划．【专题】：计算题；作图题；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】：由题意作出其平面区域，令z=2x﹣y，由几何意义可知﹣6≤z≤3；再由表示区域内的点（x，y）与定点（﹣2，﹣1）的连线的斜率，从而确定答案即可．【解析】：解：由题意作出其平面区域，如图所示的阴影部分△ABC，令z=2x﹣y，则由图象可知，直线2x﹣y﹣z=0经过点C时，z取得最大值，经过点A时，z取得最小值；由于C（2，1），A（﹣1，4）；故﹣6≤z≤3；故p2：∂x，y∈D，2x﹣y≤2正确；而表示区域内的点（x，y）与定点（﹣2，﹣1）的连线的斜率，故结合图象可知，≤≤5，故p4：∀x，y∈D，正确；故选D．【点评】：本题考查了全称命题与特称命题的真假性的判断及简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．10．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，过点A作准线l的垂线，垂足为E，当A点坐标为（3，y0）时，△AEF为正三角形，则此时△OAB的面积为（）A．B．C．D．【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：过F作AE的垂线，垂足为H，则H为AE的中点，利用A点坐标为（3，y0），可求p，可得抛物线的方程，求出直线AF的方程，与抛物线方程联立求出A，B的坐标，即可求出△OAB的面积．【解析】：解：如图所示，过F作AE的垂线，垂足为H，则H为AE的中点，因为A点坐标为（3，y0），所以AE=3+，EH=p，所以2p=3+，所以p=2，所以y2=4x，此时A（3，2），k AF=，所以直线AF的方程为（x﹣1），代入抛物线方程可得3（x﹣1）2=4x，解得x=3或，所以y=2或﹣，所以△AOB的面积为=，故选：A．【点评】：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，求出抛物线方程、直线AF的方程是解题的关键．11．（5分）已知函数f（x）=﹣5，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，则a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，﹣1]【考点】：利用导数研究函数的单调性；抽象函数及其应用．【专题】：函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】：根据不等式恒成立，利用参数分类法进行转化为a≥x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立，构造函数h（x）=x﹣x2lnx，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系求出函数的最值即可．【解析】：解：函数g（x）的导数g′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），∴函数g（x）在[，]上递减，则[，2]上递增，g（[）=，g（2）=8﹣4﹣5=﹣1，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，即当≤x≤2时，f（x）≥1恒成立，即恒成立，即a≥x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立，令h（x）=x﹣x2lnx，则h′（x）=1﹣2xlnx﹣x，h′′（x）=﹣3﹣2lnx，当在≤x≤2时，h′′（x）=﹣3﹣2lnx＜0，即h′（x）=1﹣2xlnx﹣x在≤x≤2上单调递减，由于h′（1）=0，∴当≤x≤1时，h′（x）＞0，当1≤x≤2时，h′（x）＜0，∴h（x）≤h（1）=1，∴a≥1．故选：B．【点评】：本题主要考查不等式恒成立问题，构造函数利用参数分离法结合函数单调性和导数之间的关系转化为求函数的最值是解决本题的关键．12．（5分）已知定义域为R的连续函数f（x），若f（x）满足对于∀x∈R，∂m∈R（m≠0），都有f（m+x）=﹣mf（x）成立，则称函数f（x）为“反m倍函数”，给出下列“反m倍函数”的结论：①若f（x）=1是一个“反m倍函数”，则m=﹣1；②f（x）=sinπx是一个“反1倍函数”；③f（x）=x2是一个“反m倍函数”；④若f（x）是一个“反2倍函数”，则f（x）至少有一个零点，其中正确结论的个数是（）A．l B．2 C． 3 D． 4【考点】：抽象函数及其应用．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据“反m倍函数”的定义分别进行判断即可．【解析】：解：根据“反m倍函数”的定义，∵∀x∈R，∂m∈R（m≠0），都有f（m+x）=﹣mf（x）成立，∴f（m+x）+mf（x）=0成立，①若f（x）=1，则f（x+m）+mf（x）=0，∴m+1=0，即m=﹣1，故①正确，②若f（x）=sinπx，则f（1+x）+f（x）=sinπ（x+1）+sinπx=﹣sinπx+sinπx=0，故②正确，③若f（x）=x2，则（x+m）2+mx2=0，即（m+1）x2+2mx+m2=0，则，此时方程无解，故不存在m，故③错误．④若f（x+2）+2f（x）=0，取x=0，若f（2），f（0）有一个为0即正确，若都不为0，则f （2），f（0）互为相反数，则f（2）f（0）＜0，∴在区间（0，2）内一定有零点，故④正确，故正确的是①②④，故选：C．【点评】：本题主要考查命题的真假判断，根据抽象函数的表达式结合“反m倍函数”的定义是解决本题的关键．二、填空题：（本太题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知的展开式中含x2项的系数为12，则展开式的常数项为160．【考点】：二项式系数的性质．【专题】：二项式定理．【分析】：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中含x2项的系数，再根据x2项的系数为12，求得a的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解析】：解：由于的展开式的通项公式为T r+1=•a r•x3﹣r，令3﹣r=2，可得r=1，故展开式中含x2项的系数为6a=12，可得a=2．再令3﹣r=0，可得r=3，故展开式的常数项为•23=160，故答案为：160．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14．（5分）已知不等式，照此规律，总结出第n（n∈N*）个不等式为1+＜．【考点】：归纳推理．【专题】：推理和证明．【分析】：从已知的三个不等式分析，从左边各加数的分母以及右边分子与分母的关系入手得到规律．【解析】：解：由已知三个不等式可以写成1+，1+，1+，照此规律得到第n个不等式为1+＜；故答案为：1+＜（n∈N+）．【点评】：本题考查了归纳推理；关键是由已知的三个不等式发现与序号的关系，总结规律．15．（5分）如图，已知Rt△ABC中，点O为斜边BC的中点，且AB=8，AC=6，点E为边AC上一点，且，若，则λ=．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：根据已知条件及图形得出：，，并且，所以由即可得到=﹣20，进行数量积的运算即可求得λ．【解析】：解：，；∵∠BAC=90°，∴；又；∴；∴．故答案为：．【点评】：考查向量加法的平行四边形法则，向量加法的几何意义，以及数量积的运算，两非零向量垂直的充要条件．16．（5分）巳知△ABC的内角A、B、C对应的边分别为a，b，c，且关于x的方程2a2+2x2+b2=2bx+2ax只有一个零点，，S△ABC=sinA•sinB，则边c=1．【考点】：余弦定理；正弦定理．【分析】：由关于x的方程的判别式等于零求得b=a；根据，求得cosC=﹣，C=；由正弦定理求得a=csinA，b=csinB，代入S△ABC=sinA•sinB，求得边c的值．【解析】：解：△ABC中，关于x的方程2a2+2x2+b2=2bx+2ax，即2x2﹣2bx﹣2ax+2a2+b2=0，根据此方程有唯一解，可得△=﹣8（2a2+b2）=0，∴b=a．又，∴3acosC+c•cosA=0，即3sinAcosC+sinCcosA=0，故2sinAcosC+sin（A+C）=0，即2acosC+b=0，即2acosC+a=0，∴cosC=﹣，C=．由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC=5a2，∴c=a．∵==，∴a=csinA，b=csinB，∴S△ABC=sinA•sinB=•sinC=csinA•csinB，∴c2=1，∴c=1．【点评】：本题主要考查二次函数的性质，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．三、解答题：（共4个小题，每1小题12分，共48分）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，对于任意的正整数n，直线x+y=2n总是把圆平均分为两部分，各项均为正数的等比数列{b n}中，b6=b3b4，且b3和b5的等差中项是2a3．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】：数列的求和．【专题】：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】：（1）由直线与圆的位置关系可得S n=n2，所以a1=S1=1，所以a n=2n﹣1；由b6=b3b4，得b1=1，又b3和b5的等差中项是2a3，得q=2，从而；（2）根据T n=1+3×2+5×22+…+（2n﹣1）×2n﹣1，与2T n=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）×2n，可得﹣T n，即得T n=3+（2n﹣3）2n．【解析】：解：（1）由于x+y=2n总是将圆平均分为两部分，所以，即S n=n2，所以a1=S1=1，当n≥2时=2n﹣1，经检验n=1时也成立，所以a n=2n﹣1；等比数列{b n}中由于b6=b3b4，即，故b1=1，设公比q＞0，由b3和b5的等差中项是2a3，及2a3=2×（2×3﹣1）=10，可知b3+b5=20，所以q2+q4=20，解得q=2，从而；（2）若c n=a n b n，则T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，所以T n=1+3×2+5×22+…+（2n﹣1）×2n﹣1，2T n=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）×2n，两式相减，得﹣（2n﹣1）2n==﹣3+2×2n﹣（2n﹣1）2n=﹣3+（3﹣2n）2n，所以T n=3+（2n﹣3）2n．【点评】：本题考查等比数列的通项公式、等差中项的应用、错位相减法求和，考查转化与化归思想、运算求解能力和数据处理能力，属于中档题．18．（12分）某市在2 015年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布N （115，25），现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间现将结果按如下方式分为6组，第一组[80，90），第二组[90，100），…第六组[130，140]，得到如右图所示的频率分布直方图（1）试估计该校数学的平均成绩（同一维中的数据用该区间的中点值作代表）；（2）这50名学生中成绩在120分（含120分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X，求X的分布列和期望附：若，则P（u﹣ς＜X＜u+ς）=0.6826，P（u﹣2ς＜X＜u+2ς）=0.9544，P（u﹣3ς＜X＜u+3ς）=0.9974．【考点】：频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．【专题】：应用题；概率与统计．【分析】：（1）根据频率和为1，求出成绩在[120，130）的频率，再计算这组数据的平均数；（2）根据正态分布的特征，计算50人中成绩在130分以上以及[120，140]的学生数，得出X的可能取值，计算对应的概率，列出X的分布列，计算期望值．【解析】：解：（1）根据频率分布直方图，得；成绩在[120，130）的频率为1﹣（0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10）=1﹣0.88=0.12；所以估计该校全体学生的数学平均成绩为85×0.1+95×0.24+105×0.3+115×0.16+125×0.12+135×0.08=8.5+22.8+31.5+18.4+15+10.8=107，所以该校的数学平均成绩为107；（2）因为=0.0013，根据正态分布：P（115﹣3×5＜X＜115+3×5）=0.9974，所以P（X≥130）=，又0.0013×10000=13，所以前13名的成绩全部在130分以上；根据频率分布直方图得，这50人中成绩在130分以上（包括130分）的有0.08×50=4人，而在[120，140]的学生共有0.12×50+0.08×50=10，所以X的可能取值为0、1、2、3，所以P（X=0）===，P（X=1）===，P（X=2）===，P（X=3）===；所以X的分布列为数学期望值为EX=0×+1×+2×+3×=1.2．【点评】：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了正态分布的应用问题，考查了离散型随机变量的分布列与期望的计算问题，是综合性题目．19．（12分）如图所示的多面体ABC﹣EFGH中，AB∥EG，AC∥EH，且△ABC与△EGH相似，AE⊥平面EFGH，EF=FG=，且AC=EH，AE=EG（1）求证，BF⊥EG；（2）求二面角F﹣BG﹣H的余弦值．【考点】：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（1）取EG的中点O，连结OF、OB，通过线面垂直的判定定理及性质定理即得结论；（2）以O为原点，以OF、OG、OB所在直线的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则所求值即为平面GBF的一个法向量与平面GBH的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．【解析】：（1）证明：∵AB∥EG，且△ABC∽△EGH，AC=EH，∴AB=EG，取EG的中点O，连结OF、OB，∴OB∥AE，又∵AE⊥平面EFGH，∴OB⊥平面EFGH，又∵EG⊂平面EFGH，∴OB⊥EG，又∵EF=FG=，∴OF⊥EG，∵OF∩OB=O，∴EG⊥平面OBF，∵BF⊂平面OBF，∴BF⊥EG；（2）解：由（1）知OF、OG、OB两两垂直，如图，以O为原点，以OF、OG、OB所在直线的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵GH=1，EH=，∠EGH=90°，∴EG==2，∵EF=FG=，∴OF=1，∵AE=EG，∴OB=2，∴F（1，0，0），G（0，1，0），B（0，0，2），H（﹣1，1，0），∴=（1，﹣1，0），=（0，﹣1，2），=（﹣1，0，0），设平面GBF的一个法向量为=（x1，y1，z1），由，得，令z1=1，得=（2，2，1），设平面GBH的一个法向量为=（x2，y2，z2），同理可得=（0，2，1），∴===，由图可知，二面角F﹣BG﹣H为钝角，∴其余弦值为．【点评】：本题考查空间线面位置关系的判断及求二面角，考查空间想象能力、运算求解能力及推理论证能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分割为F1，F2，左右端点分别为曲A1，A2，抛物线y2=4x与椭圆相交于A，B两点且其焦点与F2重合，AF2=（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作直线l与椭圆相交于P，Q两点（不与A1，A2重合），求与夹角的大小．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：计算题；压轴题；向量与圆锥曲线．【分析】：（Ⅰ）根据题意，设A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），求出抛物线y2=4x的焦点坐标，可得c2=1，进而分析可得A的坐标，代入椭圆的方程可得有+=1，解可得a2=4，进而可得b2=3，即可得椭圆的方程；（Ⅱ）根据题意，分两种情况讨论：①当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=，②当直线l的斜率存在且不为0时，设其斜率为k，则直线的方程为y=k（x﹣）；每种情况下求出与的值，再求其乘积均可得•=﹣1，由向量数量积的性质分析可得答案．【解析】：解：（Ⅰ）根据题意，设A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），抛物线y2=4x与椭圆相交于A，B两点且其焦点与F2重合，而抛物线y2=4x的焦点为（1，0），则C2=1，由题意可得AF2=x0+=x0+1=，故x0=；所以y02=4×=，则y0=，则A（，），有+=1，解可得a2=4，又由c2=1，则b2=3，故椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=，由于，可得=1﹣=，所以y=±，所以P（，）Q（，﹣），因为A 2（2，0），所以=﹣1，=1，所以•=﹣1，所以所以A2P与A2Q垂直，②当直线l的斜率存在且不为0时，设其斜率为k，则直线的方程为y=k（x﹣）；联立可得，⇒49（3+4k2）x2﹣112k2x+16k2﹣12×49=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），A2（2，0），则x1+x2=，x1•x2=，=，═•==﹣1，所以A2P与A2Q垂直，综合可得所以与夹角的大小为90°．【点评】：本题考查直线与椭圆方程的综合运用，涉及抛物线的简单性质，解题注意圆锥曲线的方程的标准形式，本题求出抛物线的焦点是解题的突破点之一．21．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣x+1，g（x）=﹣x2+（a+1）x+1．（1）若对任意的x∈[1，e]，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数h（x）在其定义城内存在实数x0，使得h（x0+k）=h（x0）+h（k）（k≠0且为常数）成立，则称函数h（x）为保k阶函数，已知H（x）=f（x）﹣（a﹣1）x+a﹣1为保a阶函数，求实数a的取值范围．【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（1）把对任意的x∈[1，e]，不等式f（x）≥g（x）恒成立，转化为a（x﹣lnx）≤x2﹣2x恒成立，再由x﹣lnx＞0得恒成立．构造函数F（x）=，利用导数求其最小值得答案；（2）由H（x）=f（x）﹣（a﹣1）x+a﹣1=alnx﹣x+1﹣ax+x+a﹣1=alnx﹣ax+a（x＞0），根据保a阶函数的概念列式，整理得到ln（x0+a）﹣（x0+a）+1=lnx0﹣x0+1+lna﹣a+1，即ln（x0+a）=lnx0+lna+1，转化为，由x0＞0可得实数a的取值范围是．【解析】：解：（1）∵对任意的x∈[1，e]，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即alnx﹣x+1≥﹣x2+（a+1）x+1恒成立，a（x﹣lnx）≤x2﹣2x恒成立，∵x∈[1，e]，∴lnx≤lne=1≤x，∵上式等号不能同时成立，∴lnx＜x，即x﹣lnx＞0，∴恒成立．令F（x）=，∴a≤F（x）min（x∈[1，e]），由于，由于1≤x≤e，∴x﹣1＞0，x+2﹣2lnx=x+2（1﹣lnx）＞0，∴F′（x）＞0．∴函数F（x）=在区间[1，e]上单调递增，∴F（x）≥F（1）=．∴a≤﹣1；（2）∵H（x）=f（x）﹣（a﹣1）x+a﹣1=alnx﹣x+1﹣ax+x+a﹣1=alnx﹣ax+a（x＞0），根据保a阶函数的概念，∴存在x0＞0，使得H（x0+a）=H（x0）+H（a），即a[ln（x0+a）﹣（x0+a）+1]=a（lnx0﹣x0+1）+a（lna﹣a+1）=a（lnx0﹣x0+1+lna﹣a+1），∴ln（x0+a）﹣（x0+a）+1=lnx0﹣x0+1+lna﹣a+1，即ln（x0+a）=lnx0+lna+1，即，∴．∴，∵x0＞0，∴a．∴实数a的取值范围是．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了数学转化与化归、分离参数等数学思想方法，着重考查恒成立问题的解法，难度较大．四、选做题：【选修4－1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）已知BC为圆O的直径，点A为圆周上一点，AD⊥BC于点D，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，过点B作BE垂直PA的延长线于点E．求证：（1）PA•PD=PE•PC；（2）AD=AE．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：选作题；推理和证明．【分析】：（1）证明△APD∽△BPE，可得AP•PE=PD•PB，因为PA，PB分别为圆O的切线与割线，所以PA2=PB•PC，两式相除，即可证明PA•PD=PE•PC；（2）连接AC，DE，证明A，D，B，E四点共圆且AB为直径，即可得出AD=AE．【解析】：证明：（1）因为AD⊥BP，BE⊥AP，所以△APD∽△BPE，所以，所以AP•PE=PD•PB，因为PA，PB分别为圆O的切线与割线，所以PA2=PB•PC，所以=，所以PA•PD=PE•PC；（2）连接AC，DE，因为BC为圆O的直径，所以∠BAC=90°，所以AB⊥AC．因为=，所以AC∥DE，所以AB⊥DE，因为AD⊥BP，BE⊥AP，所以A，D，B，E四点共圆且AB为直径，因为AB⊥DE，所以AD=AE．【点评】：本题考查三角形相似的判定与性质，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．五、选做题：【选修4－4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）23．已知曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣2ρcosθ+4ρsinθ+1=0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l经过点P（﹣1，1）且倾斜角为（Ⅰ）写出直线l的参数方程和曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．【考点】：简单曲线的极坐标方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：（I）由直线l经过点P（﹣1，1）且倾斜角为，可得直线l的参数方程为，（t为参数）；把dr 曲线C的极坐标方程即可得到普通方程．（II）把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程可得：=0，利用|PA|•|PB|=|t1t2|即可得出．【解析】：解：（I）∵直线l经过点P（﹣1，1）且倾斜角为，∴直线l的参数方程为，（t为参数）；曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣2ρcosθ+4ρsinθ+1=0，化为x2+y2﹣2x+4y+1=0，即（x﹣1）2+（y+2）2=4．（II）把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程可得：=0，∴t1t2=9．∴|PA|•|PB|=|t1t2|=9．【点评】：本题考查了直线的参数方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、选做题：【选修4－5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）≥4﹣x；（Ⅱ）a，b∈{y|y=f（x）}，试比较2（a+b）与ab+4的大小．【考点】：绝对值不等式的解法．【专题】：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】：（Ⅰ）对x讨论，当x＜﹣1时，当﹣1≤x≤2时，当x＞2时，去掉绝对值，解不等式，即可得到解集；（Ⅱ）由于f（x）≥3，则a≥3，b≥3，作差比较，注意分解因式，即可得到结论．【解析】：解：（Ⅰ）当x＜﹣1时，f（x）=1﹣2x，f（x）≥4﹣x即为1﹣2x≥4﹣x，解得x≤﹣3，即为x≤﹣3；当﹣1≤x≤2时，f（x）=3，f（x）≥4﹣x即为3≥4﹣x，解得x≥1，即为1≤x≤2；当x＞2时，f（x）=2x﹣1，f（x）≥4﹣x即为2x﹣1≥4﹣x，解得x≥，即为x＞2．综上可得，x≥1或x≤﹣3．则解集为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）；（Ⅱ）由于f（x）≥3，则a≥3，b≥3，2（a+b）﹣（ab+4）=2a﹣ab+2b﹣4=（a﹣2）（2﹣b），由于a≥3，b≥3，则a﹣2＞0，2﹣b＜0，即有（a﹣2）（2﹣b）＜0，则2（a+b）＜ab+4．【点评】：本题考查绝对值不等式的解法，主要考查分类讨论的思想方法和作差法比较两数的大小，属于中档题．。
河南省洛阳市2015届高三第二次统一考试数学理试题Word版含答案
2014—一2015学年高中三年级第二次统一考试数学试卷（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卷上．2．考试结束，将答题卷交回．一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．已知i 是虚数单位，若复数z 满足zi ＝1＋i ，则复数z 的实部与虚部之和为A ．0B ．1C ．D ．42．集合A ＝{x ｜x ＜0}，B ＝{x ｜y ＝lg[x （x ＋1）]}，若A －B ＝{x ｜x ∈A ，且x B}，则 A －B ＝A ．{x ｜x ＜－1}B ．{x ｜－1≤x ＜0}C ．{x ｜－1＜x ＜0}D ．{x ｜x ≤－1}3．若函数y ＝f （2x ＋1）是偶函数，则函数y ＝f （x ）的图象的对称轴方程是A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－24．设等比数列{n a }的公比为q ，则“0＜q ＜1”是“{n a }是递减数列”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数f （x ）＝2x ，g （x ）＝lgx ，若有f （a ）＝g （b ），则b 的取值范围是A ．[0，＋∞）B ．（0，＋∞）C ．[1，＋∞）D ．（1，＋∞）6．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若S ＋2a ＝2()b c ＋， 则cosA 等于A ．45B ．－45C ．1517D ．－15177．6(1)(2)x x ＋－的展开式中4x 的系数为 A ．－100 B ．－15 C ．35 D ．2208．安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为A ．115B ．15C ．14D ．129．已知双曲线C ：2221x a b2y －＝（a ＞0，b ＞0），斜率为1的直线过双曲线C 的左焦点且与该曲线交于A ，B 两点，若OA uu r ＋OB uu u r 与向量n r ＝（－3，－1）共线，则双曲线C 的离心率为ABC ．43D ．3 10．设函数f （x ）＝x ｜x －a ｜,若对1x ,2x ∈[3，＋∞）,1x ≠2x ,不等式1212()()f x f x x x －－＞0恒成立，则实数a 的取值范围是A ．（－∞，－3]B ．[－3，0）C ．（－∞，3]D ．（0，3]11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为A ．1 B．2CD ．12．已知点A 、B 、C 、D 均在球O 上，AB ＝BC,AC ＝3，若三棱锥D －ABCO 的表面积为A ．36πB ．16πC ．12πD ．163π 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．13．执行下面的程序，若输入的x ＝2，则输出的所有x 的值的和为________________．14．已知tan α，tan β分别是2lg(652)x x －＋＝0的两个实根，则tan （α＋β）＝_________． 15．已知向量a r ，满足｜a r ｜＝2，｜b r ｜＝1，且对一切实数x ，｜a r ＋xb r ｜≥｜a r ＋b r ｜恒成立，则a r ，b r 的夹角的大小为________________．16．已知F 1，F 2分别是双曲线22233x y a －＝（a ＞0）的左，右焦点，P 是抛物线28y ax ＝与双曲线的一个交点，若｜PF 1｜＋｜PF 2｜＝12，则抛物线的准线方程为_____________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知正项数列{n a }的前n 项和为n S ，对n ∈N ﹡有2n S ＝2n n a a ＋．（1）求数列{n a }的通项公式；。
河南省郑州市2015年高中毕业年级第二次质量预测试卷(理)
2015年高中毕业年级第二次质量预测理科数学 参考答案一、选择题BCDC BDDC ADCA二、填空题13.2； 14. )161,0(±；15. 1-； 16. (2) (3) (4). 三、解答题17.解：(Ⅰ)设等差数列公差为d ，由题意知0>d ， 因为1143,25,a a a +成等比数列，所以11324)25(a a a =+， )101)(21()327(2d d d ++=+∴，即,04536442=+-d d 所以),2215(23舍去-==d d ……… 4分 所以213-=n a n . ……… 6分 （Ⅱ）)231131(34)23)(13(411+--=+-==+n n n n a a b n n n ， ……… 8分 所以41111112().32558313232n n T n n n =-+-++-=-++.18. （1）证明：取AC 中点O ，连接O A 1，因为平面⊥ABC 平面C C AA 11，AC O A ⊥1，所以⊥O A 1平面ABC所以⊥O A 1BC .又AC BC ⊥，所以⊥BC 平面C C AA 11，所以BC AC ⊥1 .……… 4分在菱形C C AA 11中，C A AC 11⊥.所以⊥AC 平面BC A 1，所以11AC B A ⊥.……… 6分 （2）以点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O 则)0,1,0(-A ，)0,1,2(B ，)0,1,0(C ，)3,2,0(1C ， )0,2,2(=，(11BB CC ==，设),,(z y x =是面11A ABB 的一个法向量，则0,01=⋅=⋅BB m AB m ， B 1即220,0,x y y +=⎧⎪⎨=⎪⎩ 取1-=z可得(3,1).m =-- ……… 10分又)0,0,1(E ,所以)3,2,1(1-=EC ，所以直线1EC 与平面11A ABB 所成的角的正弦值 |||||,cos |sin 11m EC m EC ⋅=><=θ=1442. ……… 12分 19.解：（1）恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是A,则1142268().15C C P A C ==……… 3分 （2）设销售A 商品获得的利润为ξ（单位：元）,依题意, 视频率为概率，为追求更多的利润，则商店每天购进的A 商品的件数取值可能为4件，5件，6件.当购进A 商品4件时，1504600,E ξ=⨯=当购进A 商品5件时，(150450)0.315050.7690.E ξ=⨯-⨯+⨯⨯=当购进A 商品6件时，100706150100)505150(3.0)5024150(x x E -⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-⨯=ξ =x 2780- ……… 9分 由题意6902780≤-x ，解得45x ≥，又知1003070x ≤-=，所以x 的取值范围为[]45,70，x ∈*N . ……… 12分 20.解:（1）因为椭圆)0,0(1:2222>>=+b a by a x C ,由题意得 422121=⨯⨯=∆b c S F BF , 22==a c e ，222c b a +=， 所以解得所以2284a b ⎧=⎨=⎩椭圆C 的方程为22184x y +=……… 4分 （2）假设存在圆心在原点的圆222r y x =+，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点N M ,,-=+，所以有0=⋅,设),(),,(2211y x N y x M ，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为y kx m =+，解方程组22184x y y kx m +==+⎧⎪⎨⎪⎩得222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=,则△=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+> )21(2)82)(21(4164222222,1k m k m k km x +-+-±-=;2182,2142221221km x x k km x x +-=+-=+∴ ……… 6分 22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++ 要使0=⋅ON OM ,需12120x x y y +=,即2222228801212m m k k k--+=++, 所以223880m k --=,所以223808m k -=≥又22840k m -+>,所以22238m m ⎧>⎨≥⎩, 所以283m ≥,即3m ≥3m ≤-,因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为r =,222228381318m m r m k ===-++,r =, 所求的圆为2283x y +=, ……… 10分 此时圆的切线y kx m =+都满足3m ≥3m ≤-, 而当切线的斜率不存在时切线为x =与椭圆22184x y +=的两个交点为或(满足0=⋅, 综上, 存在圆心在原点的圆2283x y +=满足条件. . ……… 12分21.解：（1）由已知得函数()f x 的定义域为}1|{>x x11)('-+=x a x f =11-+-x a ax 当0≥a 时，0)('>x f 在定义域内恒成立，)(x f 的单调增区间为),1(+∞，当0<a 时，由0)('=x f 得111>-=ax 当)11,1(a x -∈时，0)('>x f ；当),11(+∞-∈ax 时，0)('<x f ()f x 的单调增区间为)11,1(a -，减区间为),11(+∞-a.……… 5分 （2）由（1）知当ea -=11时，()f x 的单调增区间为),1(e ，减区间为),(+∞e . 所以0)1ln(1)()(max <-+-==e ee ef x f 所以)1ln(1)(|)(|---=-≥e e e e f x f 恒成立，当e x =时取等号. 令)(x g =x bx x 2ln 2+，则2ln 1)('x x x g -= ……… 7分 当e x <<1时，/()0g x >；当x e >时，/()0g x <从而()g x 在),1(e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减 所以，21)()(max b e e g x g +== ……… 10分 所以，存在x 使得不等式11|)(|--e x f ≤x bx x 2ln 2+成立 只需)1ln(1---e e e 1--e e 21b e +≤ 即：22ln(1).b e e ≥--- ……… 12分 22．（10分）选修4－1：几何证明选讲解：（1）证明：连结BE ，由题意知ABE ∆为直角三角形.因为90ABE ADC ∠=∠=0，AEB ACB ∠=∠， ABE ∆∽ADC ∆， 所以AB AE AD AC =，即AB AC AD AE ⋅=⋅. 又AB BC =，所以AC BC AD AE ⋅=⋅. ……… 5分（2）因为FC 是圆O 的切线，所以2FC FA FB =⋅， 又22,2==CF AF ，所以2,4=-==AF BF AB BF ，因为ACF FBC ∠=∠，又CFB AFC ∠=∠，所以AFC ∆∽CFB ∆.所以AF AC FC BC =，得2=⋅=CFBC AF AC ,sin 414sin ,42cos AEB ACD ACD ∠==∠∴=∠ 7144sin =∠=∴AEB AB AE ……… 10分 23．（10分）选修4－4：坐标系与参数方程解（1）由ααsin cos 3+=x 得1cos sin 32cos 2)sin cos 3(222++=+=αααααx ，所以曲线M 可化为21y x =-，]2,2[-∈x ，由sin()4πρθ+=sin cos θρθ=， 所以sin cos t ρθρθ+=，所以曲线N 可化为x y t +=. ……… 5分（2）若曲线M ，N 有公共点，则当直线N 过点)3,2(时满足要求，此时5=t ，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，联立21x y t y x +=⎧⎨=-⎩，得210x x t +--=， 14(1)0t ∆=++=，解得54t =-，综上可求得t 的取值范围是545≤≤-t . ……… 10分 24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲解：（I ）不等式14)(--<x x f ，即4123<-++x x ， 当32-<x 时，即,4123<+---x x 解得,3245-<<-x 当132≤≤-x 时，即,4123<+-+x x 解得,2132<≤-x 当1>x 时，即,4123<-++x x 无解， 综上所述)21,45(-∈x .……… 5分 （Ⅱ）411))(11(11≥+++=++=+n m m n n m n m n m ，令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>---≤≤-++--<++=+--=--=a x a x a x a x x a x x a x x f a x x g ,22,32,24,32,2223)()( 32-=∴x 时，a x g +=32)(max ，要使不等式恒成立， 只需432)(max ≤+=a x g 即3100≤<a . ……… 10分。
【Word版】河南省八市重点高中2015届高三教学质量监测考试数学(理)Word版含解析
河南省八市重点高中教学质量监测考试理科数学命题：汉文化百校联盟 审题：石家庄一中 石家庄二中 正定中学注意事项：1.本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第1卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题耳的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符台题目要求的.(1)已知集合 {}{}2|12,|lg(2)A x x B x y x x =+≤==--，则(A)[3,-1) (B)[3，-1] (C)[-1,1] (D)(-1,1](2)如图所示的复平面上的点A ，B 分别对应复数 12,z z ，则12z z = (A)-2i (B)2i(C)2 (D) -2(3)设函数()f x ，g(x)分别为定义在R 上的奇函数和偶函数且满足32()()1f x g x x x +=-+ 则 (1)f =(A)-l (B)l (C)-2 (D) 2 (4)已知双曲线 22221(0,0)x y a b a b-=>>的曲离心率为2，则双曲线的渐近线方程为(A) y =(B) 3y x =±(C) 2y x =±(D) y = (5)某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外活动分别成立绘画，象棋和篮球兴趣小组，现有甲，乙，丙、丁四名同学报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人报名，则不同的报名方法有(A)12种 （B)24种 (C)36种 (D)72种(6)已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是 (A) 43π (B)83π(C) （D)(7)执行右面的程序框图，当k 的值为2015时，则输出的S 值为(A)20132014(B) 20142015(C) 20152016(D) 20162017 (8)已知 1sin()cos 63παα+-=，则 2sin cos()6πα+= (A) 518- (B) 518 (C ） 79- (D) 79 (9)已知x ，y 满足区域 30:22010x y D x y x y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，给出下面4个命题：1:,,22p x y D x y ∀∈-≥ 2:,,22p x y D x y ∃∈-≤311:,,23y p x y D x +∃∈<+ 411:,,23y p x y D x +∀∈≥+ 其中真命题是 (A) 13p p ， (B) 23p p ， (C) 14p p ， (D) 24p p ，(10)已知抛物线 22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为 l ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，当A 点坐标为 0(3,)y 时，△AEF 为正三角形，则此时△OAB 的面积为(A)3 （B) (C)3(D) 3(11)已知函数 32()ln ,()5a f x x x g x x x x =+=--，若对任意的 121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有12()()2f x g x -≥ 成立，则a 的取值范围是(A) (0,)+∞ (B) [)1,+∞(c) (,0)-∞ (D) (],1-∞-(12)已知定义域为R 的连续函数 ()f x ，若 ()f x 满足对于 ,(0)x R m R m ∀∈∃∈≠，都有()()f m n mf x +=-成立，则称函数 ()f x 为“反m 倍函数”，给出下列“反m 倍函数”的结论：①若 ()1f x =是一个“反m 倍函数”，则 1m =-；②()sin f x x π=是一个“反1倍函数”；③ 2()f x x =是一个“反m 倍函数”；④若()f x 是一个“反2倍函数”，则()f x 至少有一个零点，其中正确结论的个数是(A)l (B)2 (C)3 (D)4 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2015年普通高中高三第二次联合考试理科数学附答案
BA BC 2 ，则 ABC 的面积为 （
A． 2
2
） C． 2 2 D． 4 2
B．
3 2
（10）已知抛物线 y ＝2px（p＞0）与双曲线 2－ 2＝1（a＞0，b＞0）有相同的焦点 F，点 A 是两曲线的一个交点，且 AF⊥x 轴，则双曲线的离心率为（ ( ) A． 2＋2 B． 5＋1 C． 3＋1
2015 年普通高中高三第二次联合考试理科数学
注意事项： 1． 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的 姓名、准考证号填写在答题卡上。 2． 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框 涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。写在本试卷上无效。 3． 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
D. 1,1
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。 第 13 题～第 21 题为必考题， 每个试题考生都必须做 答。第 22 题～第 24 题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。
（13）若复数 z
(a 2 4) (a 2)i 为纯虚数，则
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
（1）设集合 A
x y lg(3 2x)，集合 B y y
B． （﹣∞，1] C．
）
A． [ 0, )
3 2
（2） 若命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，则以下为真命题的是（
A． p q
河南省八市重点高中联考2015届高考数学模拟试卷理含解析
河南省八市重点高中联考2015届高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共60分1．已知集合A={x|4≤2x≤16}，B={a，b}，若A⊆B，则实数a﹣b的取值范围是( ) A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）2．设a∈R，若（a﹣i）2i（i为虚数单位）为正实数，则a=( )A．2 B．1 C．0 D．﹣13．设S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4＜0，a5＞|a4|，则使S n＞0成立的最小正整数n 为( )A．6 B．7 C．8 D．94．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l5．如果的值为( )A．B．C．﹣D．﹣6．已知点A、O、B为平面内不共线的三点，若A i（i=1，2，3，…，n）是该平面内的任一点，且有•=•，则点A i（i=1，2，3，…，n）在( )A．过A点的抛物线上B．过A点的直线上C．过A点的圆心的圆上D．过A点的椭圆上7．已知函数f（x）=x2﹣2ax+2a2﹣2（a≠0），g（x）=﹣e x﹣，则下列命题为真命题的是( )A．∀x∈R，都有f（x）＜g（x）B．∀x∈R，都有f（x）＞g（x）C．∃x0∈R，使得f（x0）＜g（x0）D．∃x0∈R，使得f（x0）=g（x0）8．非零向量，满足2•=，||+||=2，则，的夹角θ的最小值为( ) A．B．C．D．9．如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )A．B．3πC．D．2π10．已知直线（m+2）x+（m+1）y+1=0上存在点（x，y）满足，则m的取值范围为( )A．[﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣] C．[﹣1，] D．[﹣，]11．已知椭圆+=1（a＞b＞0，c为椭圆的半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2=（a+c）x与椭圆交于B，C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是( ) A．B．C．D．12．设集合A n={x|（x﹣1）（x﹣n2﹣4+lnn）＜0}，当n取遍区间（1，3）内的一切实数，所有的集合A n的并集是( )A．（1，13﹣ln3）B．（1，6）C．（1，+∞）D．（1，2）二、填空题：本大题共四个题，每小题5分，请将答案写在答案卡相应的位置上．13．观察下列等式，24=7+934=25+27+2944=61+63+65+67…照此规律，第4个等式可为__________．14．已知圆C：x2+y2﹣2ax+2ay+2a2+2a﹣1=0与直线l：x﹣y﹣1=0有公共点，则a的取值范围为__________．15．将函数f（x）=sin（2x+）向右平移个单位，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）与x=﹣，x=，x轴围成的图形面积为__________．16．已知数列{a n}的通项为a n=sin（+）+（n∈N*），则数列{a n}中最小项的值为__________．三、解答题．本题共6小题，共70分17．已知函数f（x）=x2+（lga+2）x+lgb满足f（﹣1）=﹣2且对于任意x∈R，恒有f（x）≥2x成立．（1）求实数a，b的值；（2）解不等式f（x）＜x+5．18．如图，在△ABC中，D为边AB上一点，DA=DC．已知B=，BC=1．（Ⅰ）若DC=，求角A的大小；（Ⅱ）若△BCD面积为，求边AB的长．19．已知函数f（x）=（x﹣2）2，f′（x）是函数f（x）的导函数，设由a1=3，a n+1=a n﹣，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．20．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AA1=8，AC=AB=5，BC=6，点A1在底面ABC的射影是线段BC的中点O，在侧棱AA1上存在一点E，且OE⊥B1C．（1）求证：OE⊥面BB1C1C；（2）求平面A1B1C与平面B1C1C所成锐二面角的余弦值的大小．21．如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O 为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．22．已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•e x定义域为[﹣2，t]（t＞﹣2）．（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（2）证明：对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足=（t﹣1）2，并确定这样的x0的个数．河南省八市重点高中联考2015届高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共60分1．已知集合A={x|4≤2x≤16}，B={a，b}，若A⊆B，则实数a﹣b的取值范围是( ) A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题；集合．分析：先化简A，注意运用指数函数的单调性解不等式，再根据集合的包含关系，求出a，b 的范围，运用不等式的性质，求出a﹣b的取值范围．解答：解：集合A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}={x|2≤x≤4}=[2，4]，∵A⊆B，B=[a，b]，∴a≤2，b≥4，∴a﹣b≤2﹣4=﹣2，即a﹣b的取值范围是（﹣∞，﹣2]．故选：A．点评：本题考查集合的包含关系及应用，考查指数不等式的解法，注意运用指数函数的单调性，同时必须掌握不等式的性质是解题的关键．2．设a∈R，若（a﹣i）2i（i为虚数单位）为正实数，则a=( )A．2 B．1 C．0 D．﹣1考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：化简复数到最简形式，由题意知，此复数的实部大于0，虚部等于0，解出a的值．解答：解：∵（a﹣i）2i=（a2﹣1﹣2ai）i=2a+（a2﹣1）i 为正实数，∴2a＞0，且（a2﹣1）=0，∴a=1，故选B．点评：本题考查两个复数代数形式的乘法，复数为正实数的条件．3．设S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4＜0，a5＞|a4|，则使S n＞0成立的最小正整数n 为( )A．6 B．7 C．8 D．9考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据给出的已知条件，得到a5+a4＞0，然后由等差数列的前n项和公式，结合等差数列的性质得答案．解答：解：在等差数列{a n}中，∵a4＜0，a5＞|a4|，得a5＞0，a5+a4＞0，，．∴使S n＞0成立的最小正整数n为8．故选：C．点评：本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题．4．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l考点：平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．解答：解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选D．点评：本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．5．如果的值为( )A．B．C．﹣D．﹣考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：由题意求出的范围，确定的符号，求出cosθ，利用二倍角公式求出的值．解答：解：因为，所以cosθ=﹣，，，所以=﹣=﹣；故选D．点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，注意角的范围的确定，三角函数的值的符号的确定，考查计算能力．6．已知点A、O、B为平面内不共线的三点，若A i（i=1，2，3，…，n）是该平面内的任一点，且有•=•，则点A i（i=1，2，3，…，n）在( )A．过A点的抛物线上 B．过A点的直线上C．过A点的圆心的圆上 D．过A点的椭圆上考点：向量的物理背景与概念．专题：平面向量及应用．分析：根据题意，得出⊥，即得出点A i（i=1，2，3，…，n）在过A点的直线上．解答：解：根据题意，得有•=•，∴（﹣）•=0；•=0，∴⊥；∴点A i（i=1，2，3，…，n）在过A点的直线上．故选：B．点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据向量的运算法则，寻求解答问题的途径，从而解答问题，是基础题．7．已知函数f（x）=x2﹣2ax+2a2﹣2（a≠0），g（x）=﹣e x﹣，则下列命题为真命题的是( )A．∀x∈R，都有f（x）＜g（x）B．∀x∈R，都有f（x）＞g（x）C．∃x0∈R，使得f（x0）＜g（x0）D．∃x0∈R，使得f（x0）=g（x0）考点：全称命题；特称命题．专题：简易逻辑．分析：求出两个函数的值域，然后判断选项即可．解答：解：函数f（x）=x2﹣2ax+2a2﹣2=（x﹣a）2+a2﹣2≥a2﹣2＞﹣2，g（x）=﹣e x﹣=﹣（e x+）≤﹣2，显然∀x∈R，都有f（x）＞g（x），故选：B．点评：本题考查函数的值域命题的真假的判断，基本知识的考查．8．非零向量，满足2•=，||+||=2，则，的夹角θ的最小值为( ) A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的数量积的定义和向量的平方即为模的平方，可得2cosθ=||•||，再由基本不等式，可得cosθ≤，结合余弦函数的性质，即可得到所求最小值．解答：解：非零向量，满足2•=，|即有2||•||•cosθ=||2•||2，即2cosθ=||•||，由||+||=2，则||•||≤（）2=1，即有cosθ≤，由于0≤θ≤π，则≤θ≤π，则当||=||=1时，，的夹角θ取得最小值为．故选C．点评：本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，以及基本不等式的运用，属于基础题．9．如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )A．B．3πC．D．2π考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：计算题；压轴题．分析：说明折叠后几何体的特征，求出三棱锥的外接球的半径，然后求出球的体积．解答：解：由题意平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，可知A′B⊥A′C，所以BC 是外接球的直径，所以BC=，球的半径为：；所以球的体积为：=．故选A点评：本题是基础题，考查折叠问题，三棱锥的外接球的体积的求法，考查计算能力，正确球的外接球的半径是解题的关键．10．已知直线（m+2）x+（m+1）y+1=0上存在点（x，y）满足，则m的取值范围为( )A．[﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣] C．[﹣1，] D．[﹣，]考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：将直线进行整理，得到直线过定点（﹣1，1），作出不等式组对应的平面区域，根据条件得到A．B应该在直线l的两侧或在直线l上，即可得到结论．解答：解：∵直线l：（m+2）x+（m+1）y+1=0等价为m（x+y）+（2x+y+1）=0，即，解得，∴直线过定点P（﹣1，1），作出不等式组对应的平面区域（阴影部分ABC），要使直线（m+2）x+（m+1）y+1=0上存在点（x，y）满足，则必有点A（1，2），B（1，﹣1）在l的两侧或在l上．得[（m+2）×1+（m+1）×2+1]•[（m+2）×1+（m+1）×（﹣1）+1]≤0，即2（3m+5）≤0，解得．故m的取值范围为（﹣∞，﹣]，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，根据条件求出直线过定点，以及利用不等式组作出平面区域是解决本题的关键．11．已知椭圆+=1（a＞b＞0，c为椭圆的半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2=（a+c）x与椭圆交于B，C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是( ) A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆方程求出F和A的坐标，由对称性设出B、C的坐标，根据平行四边形的性质求出横坐标，代入抛物线方程求出B的纵坐标，将点B的坐标代入椭圆方程，化简整理得到关于椭圆离心率e的方程，即可得到该椭圆的离心率．解答：解：由题意得，椭圆+=1（a＞b＞0，c为半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，则A（a，0），F（﹣c，0），∵抛物线y2=（a+c）x与椭圆交于B，C两点，∴B、C两点关于x轴对称，可设B（m，n），C（m，﹣n）∵四边形ABFC是平行四边形，∴2m=a﹣c，则，将B（m，n）代入抛物线方程得，n2=（a+c）m=（a+c）（a﹣c）=（a2﹣c2），∴，则不妨设B（，），再代入椭圆方程得，+=1，化简得，即4e2﹣8e+3=0，解得e=或1（舍去），故选：D．点评：本题考查椭圆、抛物线的标准方程，以及它们的简单几何性质，平行四边形的性质，主要考查了椭圆的离心率e，属于中档题．12．设集合A n={x|（x﹣1）（x﹣n2﹣4+lnn）＜0}，当n取遍区间（1，3）内的一切实数，所有的集合A n的并集是( )A．（1，13﹣ln3） B．（1，6）C．（1，+∞）D．（1，2）考点：函数的值域；并集及其运算．专题：函数思想；函数的性质及应用．分析：先求不等式的解集，再构造函数求出所有函数的值域再求值域的并集就可以了．解答：解：（x﹣1）（x﹣n2﹣4+lnn）=0的两根为x1=1，，又n2+4﹣lnn＞1，∴，设f（n）=n2+4﹣lnn，n∈（1，3），则，在n∈（1，3）时f′（n）＞0，∴f（n）在区间（1，3）上单调递增，即f（n）＜f（3）=13﹣ln3，所以集合A n的并集为（1，13﹣ln3）．故选：A．点评：本题利用构造函数，求函数的值域，注意先要求出不等式的解集，再求解集的并集．本题对初学者来讲有一定的难度，属于中档题．二、填空题：本大题共四个题，每小题5分，请将答案写在答案卡相应的位置上．13．观察下列等式，24=7+934=25+27+2944=61+63+65+67…照此规律，第4个等式可为54=121+123+125+127+129．考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：观察可知每一行的数字都是连续的奇数，且奇数的个数等于所在的行数，每行的第一数字为行数+1的3次方减去所在行数，解答：解：观察可知每一行的数字都是连续的奇数，且奇数的个数等于所在的行数，每行的第一数字为行数+1的3次方减去所在行数，设行数为n，用a n1表示每行的第一个数，则a n1=（n+1）3﹣n，因此第4行的第一个数为：（4+1）3﹣4=121，则第4个等式为54=121+123+125+127+129，故答案为：54=121+123+125+127+129．点评：本题解答的关键是发现规律，利用规律找出一般的解决问题的方法，进一步解决问题即可．14．已知圆C：x2+y2﹣2ax+2ay+2a2+2a﹣1=0与直线l：x﹣y﹣1=0有公共点，则a的取值范围为[﹣，）．考点：圆的一般方程．专题：直线与圆．分析：若圆C：x2+y2﹣2ax+2ay+2a2+2a﹣1=0与直线l：x﹣y﹣1=0有公共点，则，解得a的取值范围．解答：解：圆C：x2+y2﹣2ax+2ay+2a2+2a﹣1=0的圆心坐标为（a，﹣a），半径r=，若圆C：x2+y2﹣2ax+2ay+2a2+2a﹣1=0与直线l：x﹣y﹣1=0有公共点，则，解得：a∈[﹣，），故答案为：[﹣，）点评：本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的一般式方程，解答时易忽略1﹣2a＞0，而造成错解．15．将函数f（x）=sin（2x+）向右平移个单位，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）与x=﹣，x=，x轴围成的图形面积为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：导数的综合应用；三角函数的图像与性质．分析：数f（x）=sin（2x+）向右平移个单位，推出函数解析式，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，利用积分求函数y=g（x）与x=﹣，x=，x轴围成的图形面积．解答：解：将函数f（x）=sin（2x+）向右平移个单位，得到函数=sin（2x﹣π）=﹣sin2x，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）=﹣sinx的图象，则函数y=﹣sinx与x=﹣，x=，x轴围成的图形面积：﹣+=﹣cosx+cosx=+1=．故答案为：．点评：本题是中档题，考查三角函数图象的平移伸缩变换，利用积分求面积，正确的变换是基础，合理利用积分求面积是近年2015届高考必考内容．16．已知数列{a n}的通项为a n=sin（+）+（n∈N*），则数列{a n}中最小项的值为．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得n=4k，k∈N*时，a n=sin+；n=4k+1，k∈N*时，a n=sin（）+；n=4k+2，k∈N*时，a n=sin（）+；n=4k+3，k∈N*时，a n=sin（）+．由此能求出数列{a n}中最小项的值．解答：解：∵a n=sin（+）+（n∈N*），∴n=4k，k∈N*时，a n=sin+=，n=4k+1，k∈N*时，a n=sin（）+=，n=4k+2，k∈N*时，a n=sin（）+=，n=4k+3，k∈N*时，a n=sin（）+=．∴数列{a n}中最小项的值为．故答案为：．点评：本题考查数列中最小项的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦函数的周期性质的合理运用．三、解答题．本题共6小题，共70分17．已知函数f（x）=x2+（lga+2）x+lgb满足f（﹣1）=﹣2且对于任意x∈R，恒有f（x）≥2x成立．（1）求实数a，b的值；（2）解不等式f（x）＜x+5．考点：一元二次不等式的解法；二次函数的性质；函数最值的应用．专题：综合题．分析：（1）由f（﹣1）=﹣2，代入函数解析式得到关于lga与lgb的等式记作①，化简后得到关于a与b的等式记作②，又因为f（x）≥2x恒成立，把f（x）的解析式代入后，令△≤0得到关于lga与lgb的不等式，把①代入后得到关于lgb的不等式，根据平方大于等于0，即可求出b的值，把b的值代入②即可求出a的值；（2）由（1）求出的a与b的值代入f（x）的解析式中即可确定出f（x）的解析式，然后把f（x）的解析式代入到f（x）＜x+5中，得到关于x的一元二次不等式，求出一元二次不等式的解集即可．解答：解（1）由f（﹣1）=﹣2知，lgb﹣lga+1=0①，所以②．又f（x）≥2x恒成立，f（x）﹣2x≥0恒成立，则有x2+x•lga+lgb≥0恒成立，故△=（lga）2﹣4lgb≤0，将①式代入上式得：（lgb）2﹣2lgb+1≤0，即（lgb﹣1）2≤0，故lgb=1即b=10，代入②得，a=100；（2）由（1）知f（x）=x2+4x+1，f（x）＜x+5，即x2+4x+1＜x+5，所以x2+3x﹣4＜0，解得﹣4＜x＜1，因此不等式的解集为{x|﹣4＜x＜1}．点评：此题考查学生掌握不等式恒成立时所满足的条件，以及会求一元二次不等式的解集，是一道中档题．18．如图，在△ABC中，D为边AB上一点，DA=DC．已知B=，BC=1．（Ⅰ）若DC=，求角A的大小；（Ⅱ）若△BCD面积为，求边AB的长．考点：正弦定理；解三角形．专题：解三角形．分析：（1）在△BCD中，由正弦定理得到：，计算得到∠BDC，又由DA=DC，即可得到∠A；（2）由于△BCD面积为，得到，得到BD，再由余弦定理得到，再由DA=DC，即可得到边AB的长．解答：解：（1）在△BCD中，B=，BC=1，DC=，由正弦定理得到：，解得，则∠BDC=60°或120°．又由DA=DC，则∠A=30°或60°．（2）由于B=，BC=1，△BCD面积为，则，解得．再由余弦定理得到=，故，又由AB=AD+BD=CD+BD=，故边AB的长为：．点评：考查了正弦定理和余弦定理结合去解三角形，属于基础题．19．已知函数f（x）=（x﹣2）2，f′（x）是函数f（x）的导函数，设由a1=3，a n+1=a n﹣，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）f′（x）=2（x﹣2），由a n+1=a n﹣，可得a n+1=a n﹣，变形，利用等比数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）由题意b n=na n=，再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（I）f′（x）=2（x﹣2），由a n+1=a n﹣，可得a n+1=a n﹣，化为，变形，∴{a n﹣2}是以a1﹣2=1为首项，公比为的等比数列，∴，∴a n=2+．（Ⅱ）由题意b n=na n=，设数列的前n项和为T n，则T n=1++…+，=+…，=1++…+﹣=﹣=2﹣，即T n=，∴S n=T n+n2+n=+n2+n．点评：本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AA1=8，AC=AB=5，BC=6，点A1在底面ABC的射影是线段BC的中点O，在侧棱AA1上存在一点E，且OE⊥B1C．（1）求证：OE⊥面BB1C1C；（2）求平面A1B1C与平面B1C1C所成锐二面角的余弦值的大小．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由已知得A1O⊥面ABC，从而A1O⊥BC，由等腰三角形性质得BC⊥AO，从而EO⊥BC，又OE⊥B1C，由此能证明OE⊥面BB1C1C．（2）由勾股定理得AO=4，，分别以OC、OA、OA1为x、y、z轴建立空间坐标系，求出面A1B1C的法向量和面C1B1C的法向量，由此能求出平面A1B1C与平面B1C1C所成锐二面角的余弦值．解答：解：（1）证明：∵点A1在底面ABC的射影是线段BC的中点O，∴A1O⊥面ABC，而BC⊂面ABC，∴A1O⊥BC，…又∵AC=AB=5，线段BC的中点O，∴BC⊥AO，∵A1O∩AO=O，…∴BC⊥面A1OA，EO⊂面A1OA，EO⊥BC，又∵OE⊥B1C，B1C∩BC=C，B1C⊂面BB1C1C，BC⊂面BB1C1C，∴OE⊥面BB1C1C．…（2）解：由（1）知，在△AOB中，AO2+BO2=AB2，则AO=4，在△A1AO中，，则分别以OC、OA、OA1为x、y、z轴建立空间坐标系，C（3，0，0），A1（0，0，4），A（0，4，0），B（﹣3，0，0），∵，∴B1（﹣3，﹣4，4），∵，∴C1（3，﹣4，4），=（﹣3，0，4），=（﹣6，﹣4，4），=（0，﹣4，4），设面A1B1C的法向量=（x，y，z），，取=（1，﹣，），…设面C1B1C的法向量=（x，y，z），，取=（0，，1），…cos＜，＞==﹣，…所以平面A1B1C与平面B1C1C所成锐二面角的余弦值为．…点评：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养和向量法的合理运用．21．如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O 为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．考点：直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）依题意，得a=2，，由此能求出椭圆C的方程．（2）法一：点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），设y1＞0．由于点M 在椭圆C上，故．由T（﹣2，0），知=，由此能求出圆T的方程．法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），设sinθ＞0，由T（﹣2，0），得=，由此能求出圆T的方程．（3）法一：设P（x0，y0），则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…故，由此能够证明|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．则直线MP的方程为：，由此能够证明|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．解答：解：（1）依题意，得a=2，，∴c=，b==1，故椭圆C的方程为．…（2）方法一：点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），不妨设y1＞0．由于点M在椭圆C上，所以．（*）…由已知T（﹣2，0），则，，∴=（x1+2）2﹣==．…由于﹣2＜x1＜2，故当时，取得最小值为．由（*）式，，故，又点M在圆T上，代入圆的方程得到．故圆T的方程为：．…方法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），不妨设sinθ＞0，由已知T（﹣2，0），则=（2cosθ+2）2﹣sin2θ=5cos2θ+8cosθ+3=．…故当时，取得最小值为，此时，又点M在圆T上，代入圆的方程得到．故圆T的方程为：．…（3）方法一：设P（x0，y0），则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…故（**）…又点M与点P在椭圆上，故，，…代入（**）式，得：．所以|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．…方法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），不妨设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…故．所以|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．…点评：本题考查椭圆的方程和几何性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想．22．已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•e x定义域为[﹣2，t]（t＞﹣2）．（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（2）证明：对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足=（t﹣1）2，并确定这样的x0的个数．考点：根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；证明题；导数的综合应用．分析：（1）求导f′（x）=（2x﹣3）e x+（x2﹣3x+3）e x=（x2﹣x）e x，从而由导数的正负确定函数的单调性，从而求出t的取值范围；（2）化简=为x02﹣x0=，再令g（x）=x2﹣x﹣，从而问题转化为证明方程g（x）=x2﹣x﹣=0在（﹣2，t）上有解并讨论解的个数，再求得g（﹣2）=6﹣（t﹣1）2=﹣，g（t）=t（t﹣1）﹣（t﹣1）2=，从而分t＞4或﹣2＜t＜1，1＜t＜4，t=1，t=4讨论，从而证明并解得．解答：解：（1）因为f′（x）=（2x﹣3）e x+（x2﹣3x+3）e x=（x2﹣x）e x，由f′（x）＞0解得，x＞1或x＜0，由f′（x）＜0解得，0＜x＜1，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，∵函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数，∴﹣2＜t≤0，（2）证明：∵，又∵=，即为x02﹣x0=，令g（x）=x2﹣x﹣，从而问题转化为证明方程g（x）=x2﹣x﹣=0在（﹣2，t）上有解并讨论解的个数，因为g（﹣2）=6﹣（t﹣1）2=﹣，g（t）=t（t﹣1）﹣（t﹣1）2=，①当t＞4或﹣2＜t＜1时，g（﹣2）•g（t）＜0，此时g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且只有一解，②当1＜t＜4时，g（﹣2）＞0且g（t）＞0，但由于g（0）=＜0，此时g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且有两解，③当t=1时，g（x）=x2﹣x=0，解得x=0或1（舍），此时g（x）=0在（﹣2，t）上有且只有一解，④当t=4时，g（x）=x2﹣x﹣6=0，解得x=3或﹣2（舍），此时g（x）=0在（﹣2，t）上也有且只有一解，综上所述，对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足=，且当t≥4或﹣2＜t≤1时，有唯一的x0适合题意，当1＜t＜4时，有两个x0适合题意．点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的数学思想的应用，属于难题．。
河南15年高考数学试卷 (理科) 高清word 文字版
2015年普通高等学校招生全国统一试卷理科数学注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
（1）设复数z 满足i zz =-+11，则=z （ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 （2）=-000010sin 160cos 10cos 20sin （ ） （A ）23-（B ） 23（C ）21- （D ）21（3）设命题P ：,2,2n n N n >∈∃则P -为 （ ） （A ）n n N n 2,2>∈∀ （B ） n n N n 2,2≤∈∃ （C ）n n N n 2,2≤∈∀ （D ）n n N n 2,2=∈∃（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且每次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率 （ ）（A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312（5）已知()00,y x M 是双曲线12:22=-y x C 上的一点，21,F F 是C 上的两个焦点，若021<∙→→MF MF ，则0y 的取值范围是 （ ）（A ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-33,33 （B ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-63,63 （C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-322,322 （D ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-332,332 （6）《九章算术》是我国古代内人极为丰富的数学名著。
书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为“在屋内墙角处堆放米（，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧度为8尺米堆的高度为5尺，问米堆的体积和米各是多少？已知1斛米的体积为1.62立方米 （ ）（A ）14斛 （B ） 22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 （7）设D 为ABC ∆所在平面内的一点，→→=CD BC 3；则 （ ）（A ）→+→-=→AC AB AD 3431 （B ） →-→=→AC AB AD 3431（C ）→+→=→AC AB AD 3134 （D ）→-→=→AC AB AD 3134（8）函数())cos(ϕ+=wx x f 的部分图像如图所示，则()x f 的单调递减区间为 （ ）（A ）z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,43,41ππ （B ） z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,432,412ππ（C ）z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,43,41 （D ）z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,432,412（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n= （ ） （A ）5 （B ） 6 （C ）7 （D ）8（10）()52y x x ++的展开式，25y x 的系数为 （ ） （A ）10 （B ） 20 （C ）30 （D ）60（11）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成的几何体，该几何体的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为π2016+，则r= （ ）（A ）1 （B ） 2 （C ）4 （D ）8（12）设函数(),)12(a ax x e x f x +--=其中1<a ，若存在唯一的整数0x ，使得，则a 的取值范围是 （ ）（A ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,23e （B ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡-43,23e （C ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,23e （D ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23e第II 卷本卷分为必做题和选做题两部分，第（13）题-第（21）题为必做题，每个考生都必须作答，第（22）题-第（24）为选做题，考生按要求作答。
2015年河南省高考数学试卷(理科)(全国新课标ⅰ)
2015年河南省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设复数z满足=i，则|z|=（）A．1 B．C．D．22．（5分）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）A．B．C．D．3．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 4．（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.3125．（5分）已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛7．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ+，），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈zC．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．810．（5分）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A．10 B．20 C．30 D．6011．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．812．（5分）设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）13．（5分）若函数f（x）=xln（x+）为偶函数．则a=．14．（5分）一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为．15．（5分）若x，y满足约束条件．则的最大值为．16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是．三、解答题：17．（12分）S n为数列{a n}的前n项和，己知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和．18．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，BE=2DF，AE丄EC．（Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i﹣）2（w i﹣）（x i﹣）（y i（w i﹣）表中w i=1，=（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（u n v n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．选修4一1:几何证明选讲22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．选修4一4：坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．选修4一5：不等式选讲24．（10分）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．2015年河南省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2015•新课标Ⅰ）设复数z满足=i，则|z|=（）A．1 B．C．D．2【分析】先化简复数，再求模即可．【解答】解：∵复数z满足=i，∴1+z=i﹣zi，∴z（1+i）=i﹣1，∴z==i，∴|z|=1，故选：A．【点评】本题考查复数的运算，考查学生的计算能力，比较基础．2．（5分）（2015•新课标Ⅰ）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）A．B．C．D．【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=．故选：D．【点评】本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查．3．（5分）（2015•新课标Ⅰ）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4．（5分）（2015•新课标Ⅰ）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．【解答】解：由题意可知：同学3次测试满足X∽B（3，0.6），该同学通过测试的概率为=0.648．故选：A．【点评】本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．5．（5分）（2015•新课标Ⅰ）已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．【分析】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定y0的取值范围．【解答】解：由题意，=（﹣﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．【点评】本题考查向量的数量积公式，考查双曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础．6．（5分）（2015•新课标Ⅰ）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则r=8，解得r=，故米堆的体积为××π×（）2×5≈，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴÷1.62≈22，故选：B．【点评】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．7．（5分）（2015•新课标Ⅰ）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为的形式．【解答】解：由已知得到如图由===；故选：A．【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为．8．（5分）（2015•新课标Ⅰ）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ+，），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈zC．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ，可得f（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得f（x）的减区间．【解答】解：由函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为=2（﹣）=2，∴ω=π，f（x）=cos（πx+ϕ）．再根据函数的图象以及五点法作图，可得+ϕ=，k∈z，即ϕ=，f（x）=cos（πx+）．由2kπ≤πx+≤2kπ+π，求得2k﹣≤x≤2k+，故f（x）的单调递减区间为（，2k+），k∈z，故选：D．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题．9．（5分）（2015•新课标Ⅰ）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，S=，m=，n=1，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=6，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=7，满足退出循环的条件；故输出的n值为7，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．（5分）（2015•新课标Ⅰ）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A．10 B．20 C．30 D．60【分析】利用展开式的通项，即可得出结论．=，【解答】解：（x2+x+y）5的展开式的通项为T r+1令r=2，则（x2+x）3的通项为=，令6﹣k=5，则k=1，∴（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为=30．故选：C．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，确定通项是关键．11．（5分）（2015•新课标Ⅰ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2，又∵该几何体的表面积为16+20π，∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，故选：B．【点评】本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．12．（5分）（2015•新课标Ⅰ）设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）【分析】设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，问题转化为存在唯一的整数x0使得g （x0）在直线y=ax﹣a的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解关于a的不等式组可得．【解答】解：设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，∵g′（x）=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，当x＞﹣时，g′（x）＞0，∴当x=﹣时，g（x）取最小值﹣2，当x=0时，g（0）=﹣1，当x=1时，g（1）=e＞0，直线y=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，故﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1故选：D【点评】本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）13．（5分）（2015•新课标Ⅰ）若函数f（x）=xln（x+）为偶函数．则a= 1．【分析】由题意可得，f（﹣x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解【解答】解：∵f（x）=xln（x+）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴（﹣x）ln（﹣x+）=xln（x+），∴﹣ln（﹣x+）=ln（x+），∴ln（﹣x+）+ln（x+）=0，∴，∴lna=0，∴a=1．另解：函数f（x）=xln（x+）为偶函数，可得g（x）=ln（x+）为R上奇函数，即g（0）=0，即有a=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．14．（5分）（2015•新课标Ⅰ）一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为（x﹣）2+y2=．【分析】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程．【解答】解：一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．可知椭圆的右顶点坐标（4，0），上下顶点坐标（0，±2），设圆的圆心（a，0），则，解得a=，圆的半径为：，所求圆的方程为：（x﹣）2+y2=．故答案为：（x﹣）2+y2=．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，圆的方程的求法，考查计算能力．15．（5分）（2015•新课标Ⅰ）若x，y满足约束条件．则的最大值为3．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得，即A（1，3），则k OA==3，即的最大值为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及直线的斜率，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．16．（5分）（2015•新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是（﹣，+）．【分析】如图所示，延长BA，CD交于点E，设AD=x，AE=x，DE=x，CD=m，求出x+m=+，即可求出AB的取值范围．【解答】解：方法一：如图所示，延长BA，CD交于点E，则在△ADE中，∠DAE=105°，∠ADE=45°，∠E=30°，∴设AD=x，AE=x，DE=x，CD=m，∵BC=2，∴（x+m）sin15°=1，∴x+m=+，∴0＜x＜4，而AB=x+m﹣x=+﹣x，∴AB的取值范围是（﹣，+）．故答案为：（﹣，+）．方法二：如下图，作出底边BC=2的等腰三角形EBC，B=C=75°，倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB、EC于A、D，则四边形ABCD即为满足题意的四边形；当直线移动时，运用极限思想，①直线接近点C时，AB趋近最小，为﹣；②直线接近点E时，AB趋近最大值，为+；故答案为：（﹣，+）．【点评】本题考查求AB的取值范围，考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题：17．（12分）（2015•新课标Ⅰ）S n为数列{a n}的前n项和，己知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和．【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{a n}的通项公式：（Ⅱ）求出b n=，利用裂项法即可求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（I）由a n2+2a n=4S n+3，可知a n+12+2a n+1=4S n+1+3两式相减得a n+12﹣an2+2（an+1﹣a n）=4a n+1，即2（a n+1+a n）=a n+12﹣an2=（an+1+a n）（a n+1﹣a n），∵a n＞0，∴a n+1﹣a n=2，∵a12+2a1=4a1+3，∴a1=﹣1（舍）或a1=3，则{a n}是首项为3，公差d=2的等差数列，∴{a n}的通项公式a n=3+2（n﹣1）=2n+1：（Ⅱ）∵a n=2n+1，∴b n===（﹣），∴数列{b n}的前n项和T n=（﹣+…+﹣）=（﹣）=．【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．18．（12分）（2015•新课标Ⅰ）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F 是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，BE=2DF，AE 丄EC．（Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．【分析】（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG、EF、FG，运用线面垂直的判定定理得到EG⊥平面AFC，再由面面垂直的判定定理，即可得到；（Ⅱ）以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G﹣xyz，求得A，E，F，C的坐标，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG、EF、FG，在菱形ABCD中，不妨设BG=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=，BE⊥平面ABCD，AB=BC=2，可知AE=EC，又AE⊥EC，所以EG=，且EG⊥AC，在直角△EBG中，可得BE=，故DF=，在直角三角形FDG中，可得FG=，在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，FD=，可得EF=，从而EG2+FG2=EF2，则EG⊥FG，AC∩FG=G，可得EG⊥平面AFC，由EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC；（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G﹣xyz，由（Ⅰ）可得A（0，﹣，0），E（1，0，），F（﹣1，0，），C（0，，0），即有=（1，，），=（﹣1，﹣，），故cos ＜，＞===﹣．则有直线AE与直线CF 所成角的余弦值为．【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系和空间角的求法，主要考查面面垂直的判定定理和异面直线所成的角的求法：向量法，考查运算能力，属于中档题．19．（12分）（2015•新课标Ⅰ）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i﹣）2（w i﹣）（x i﹣）（y i（w i﹣）表中w i=1，=（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（u n v n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．【分析】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出，（Ⅱ）先建立中间量w=，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决；（Ⅲ）（i）年宣传费x=49时，代入到回归方程，计算即可，（ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．【解答】解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；（Ⅱ）令w=，先建立y关于w的线性回归方程，由于==68，=﹣=563﹣68×6.8=100.6，所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w，因此y关于x的回归方程为=100.6+68，（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值=100.6+68=576.6，年利润z的预报值=576.6×0.2﹣49=66.32，（ii）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z的预报值=0.2（100.6+68）﹣x=﹣x+13.6+20.12，当==6.8时，即当x=46.24时，年利润的预报值最大．【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题．20．（12分）（2015•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）【分析】（I）联立，可得交点M，N的坐标，由曲线C：y=，利用导数的运算法则可得：y′=，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程．（II）存在符合条件的点（0，﹣a），设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．直线方程与抛物线方程联立化为x2﹣4kx﹣4a=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k1+k2=．k1+k2=0⇔直线PM，PN的倾斜角互补⇔∠OPM=∠OPN．即可证明．【解答】解：（I）联立，不妨取M，N，由曲线C：y=可得：y′=，∴曲线C在M点处的切线斜率为=，其切线方程为：y﹣a=，化为．同理可得曲线C在点N处的切线方程为：．（II）存在符合条件的点（0，﹣a），下面给出证明：设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．联立，化为x2﹣4kx﹣4a=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4a．∴k1+k2=+==．当b=﹣a时，k1+k2=0，直线PM，PN的倾斜角互补，∴∠OPM=∠OPN．∴点P（0，﹣a）符合条件．【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）（2015•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．【分析】（i）f′（x）=3x2+a．设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0，f′（x0）=0解出即可．（ii）对x分类讨论：当x∈（1，+∞）时，g（x）=﹣lnx＜0，可得函数h（x）=min { f（x），g（x）}≤g（x）＜0，即可得出零点的个数．当x=1时，对a分类讨论：a≥﹣，a＜﹣，即可得出零点的个数；当x∈（0，1）时，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．对a分类讨论：①当a≤﹣3或a≥0时，②当﹣3＜a＜0时，利用导数研究其单调性极值即可得出．【解答】解：（i）f′（x）=3x2+a．设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0，f′（x0）=0，∴，解得，a=．因此当a=﹣时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）当x∈（1，+∞）时，g（x）=﹣lnx＜0，∴函数h（x）=min { f（x），g（x）}≤g（x）＜0，故h（x）在x∈（1，+∞）时无零点．当x=1时，若a≥﹣，则f（1）=a+≥0，∴h（x）=min { f（1），g（1）}=g（1）=0，故x=1是函数h（x）的一个零点；若a＜﹣，则f（1）=a+＜0，∴h（x）=min { f（1），g（1）}=f（1）＜0，故x=1不是函数h（x）的零点；当x∈（0，1）时，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．①当a≤﹣3或a≥0时，f′（x）=3x2+a在（0，1）内无零点，因此f（x）在区间（0，1）内单调，而f（0）=，f（1）=a+，∴当a≤﹣3时，函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点，当a≥0时，函数f（x）在区间（0，1）内没有零点．②当﹣3＜a＜0时，函数f（x）在内单调递减，在内单调递增，故当x=时，f（x）取得最小值=．若＞0，即，则f（x）在（0，1）内无零点．若=0，即a=﹣，则f（x）在（0，1）内有唯一零点．若＜0，即，由f（0）=，f（1）=a+，∴当时，f（x）在（0，1）内有两个零点．当﹣3＜a时，f（x）在（0，1）内有一个零点．综上可得：当或a＜时，h（x）有一个零点；当a=或时，h（x）有两个零点；当时，函数h（x）有三个零点．【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．选修4一1:几何证明选讲22．（10分）（2015•新课标Ⅰ）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC 交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．【分析】（Ⅰ）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x的方程x2=，解方程可得x 值，可得所求角度．【解答】解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，连接OE，则∠OBE=∠OEB，又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由已知得AB=2，BE=，由射影定理可得AE2=CE•BE，∴x2=，即x4+x2﹣12=0，解方程可得x=∴∠ACB=60°【点评】本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题．选修4一4：坐标系与参数方程23．（10分）（2015•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的极坐标方程为ρcosθ=﹣2，故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，求得ρ1=2，ρ2=，∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=．【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．选修4一5：不等式选讲24．（10分）（2015•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数f （x）的解析式，求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；再根据f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，从而求得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，即①，或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得＜x＜1，解③求得1≤x＜2．综上可得，原不等式的解集为（，2）．（Ⅱ）函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|=，由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （，0），B（2a+1，0），故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），由△ABC的面积大于6，可得[2a+1﹣]•（a+1）＞6，求得a＞2．故要求的a的范围为（2，+∞）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．参与本试卷答题和审题的老师有：刘长柏；qiss；maths；changq；caoqz；豫汝王世崇；cst；lincy；吕静；双曲线；whgcn；沂蒙松（排名不分先后）菁优网2017年3月2日。
河南省郑州市高考数学二模试卷 理(含解析)
河南省郑州市2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．1．（5分）设i是虚数单位，复数z=，则|z|=（）A．1 B．C．D．22．（5分）集合U={0，1，2，3，4}，A={1，2}，B={x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则∁U（A∪B）=（）A．{0，1，3，4} B．{1，2，3} C．{0，4} D．{0}3．（5分）已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m、n的比值=（）A．1 B．C．D．4．（5分）某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A．3种B．6种C．9种D．18种5．（5分）如图，y=f（x）是可导函数，直线L：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，令g（x）=xf（x），g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）=（）A．﹣1 B．0 C．2 D．46．（5分）有四个关于三角函数的命题：p1：sinx=siny⇒x+y=π或x=y；p2：∀x∈R，sin2+cos2=1；p3：x，y∈R，cos（x﹣y）=cosx﹣cosy；p4：∀x∈，=cosx．其中真命题是（）A．p1，p2B．p2，p3C．p1，p4D．p2，p47．（5分）若实数x、y满足且z=2x+y的最小值为4，则实数b的值为（）A．1 B．2 C．D．38．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8πB．16πC．32πD．64π9．（5分）已知函数f（x）=函数g（x）=f（x）﹣2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．C．10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A，且c=，C=，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．或11．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（）A．|BM|是定值B．点M在某个球面上运动C．存在某个位置，使DE⊥A1CD．存在某个位置，使MB∥平面A1DE12．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF1|=|F1F2|，且3|PF2|=2|QF2|，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知点A（﹣1，1）、B（0，3）、C（3，4），则向量在方向上的投影为．14．（5分）已知实数m是2和8的等比中项，则抛物线y=mx2的焦点坐标为．15．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是．16．（5分）已知偶函数y=f（x）对于任意的x∈（3）f（0）＜f（﹣）（4）f（）＜f（）三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）已知等差数列{a n}的各项均为正数，a1=1，且a3，a4+，a11成等比数列．（Ⅰ）求a n的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为2的菱形，平面ABC⊥平面AA1C1C，∠A1AC=60°，∠BCA=90°．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；（Ⅱ）已知点E是AB的中点，BC=AC，求直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值．19．（12分）某商场每天（开始营业时）以每件150元的价格购入A商品若干件（A商品在商场的保鲜时间为10小时，该商场的营业时间也恰好为10小时），并开始以每件300元的价格出售，若前6小时内所购进的商品没有售完，则商店对没卖出的A商品以每件100元的价格低价处理完毕（根据经验，4小时内完全能够把A商品低价处理完毕，且处理完后，当天不再购进A商品）．该商场统计了100天A商品在每天的前6小时内的销售量，制成如下表格（注：视频率为概率）．（其中x+y=70）前6小时内的销售量t（单位：件） 4 5 6频数30 x y（Ⅰ）若某该商场共购入6件该商品，在前6个小时中售出4件．若这些产品被6名不同的顾客购买，现从这6名顾客中随机选2人进行回访，则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是多少？（Ⅱ）若商场每天在购进5件A商品时所获得的平均利润最大，求x的取值范围．20．（12分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0），F 1、F2为左右焦点，B为短轴端点，且S=4，离心率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，且满足|+|=|﹣|？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=ax+ln（x﹣1），其中a为常数．（Ⅰ）试讨论f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=时，存在x使得不等式|f（x）|﹣≤成立，求b的取值范围．22．（10分）如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC•BC=AD•AE；（Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE的长．23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（α为参数），若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）=t（t为参数）．（Ⅰ）求曲线M和N的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．24．已知函数f（x）=|3x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），若|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．河南省郑州市2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．1．（5分）设i是虚数单位，复数z=，则|z|=（）A．1 B．C．D．2考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解答：解：∵z===i（1﹣i）=i+1，则|z|=．故选：B．点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）集合U={0，1，2，3，4}，A={1，2}，B={x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则∁U（A∪B）=（）A．{0，1，3，4} B．{1，2，3} C．{0，4} D．{0}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出集合B中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出B，求出A与B的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可求出所求解答：解：集合B中的不等式x2﹣5x+4＜0，变形得：（x﹣1）（x﹣4）＜0，解得：1＜x＜4，∴B={2，3}，∵A={1，2}，∴A∪B={1，2，3}，∵集合U={0，1，2，3，4}，∴∁∪（A∪B）={0，4}．故选：C．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．3．（5分）已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m、n的比值=（）A．1 B．C．D．考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：根据茎叶图，利用中位数相等，求出m的值，再利用平均数相等，求出n的值即可．解答：解：根据茎叶图，得；乙的中位数是33，∴甲的中位数也是33，即m=3；甲的平均数是=（27+39+33）=33，乙的平均数是==33，∴n=8；∴=．故选：D．点评：本题考查了中位数与平均数的计算问题，是基础题目．4．（5分）某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A．3种B．6种C．9种D．18种考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门；A类选修课选2门，B类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果解答：解：可分以下2种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C21C32种不同的选法；②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C22C31种不同的选法．∴根据分类计数原理知不同的选法共有C21C32+C22C31=6+3=9种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有9种．故选：C点评：本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想，属于基础题．5．（5分）如图，y=f（x）是可导函数，直线L：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，令g（x）=xf（x），g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）=（）A．﹣1 B．0 C．2 D．4考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：先从图中求出切线过的点，再求出直线L的方程，利用导数在切点处的导数值为切线的斜率，最后结合导数的概念求出g′（3）的值．解答：解：∵直线L：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，∴f（3）=1，又点（3，1）在直线L上，∴3k+2=1，从而k=，∴f′（3）=k=，∵g（x）=xf（x），∴g′（x）=f（x）+xf′（x）则g′（3）=f（3）+3f′（3）=1+3×（）=0，故选：B．点评：本题考查导数的几何意义，曲线在切点处的导数值为曲线的切线的斜率．6．（5分）有四个关于三角函数的命题：p1：sinx=siny⇒x+y=π或x=y；p2：∀x∈R，sin2+cos2=1；p3：x，y∈R，cos（x﹣y）=cosx﹣cosy；p4：∀x∈，=cosx．其中真命题是（）A．p1，p2B．p2，p3C．p1，p4D．p2，p4考点：命题的真假判断与应用．专题：三角函数的求值；简易逻辑．分析：根据三角函数的定义及周期性，可判断p1；根据同角三角函数基本关系的平方关系，可判断p2；根据两角差的余弦公式，可判断p3；根据二倍解的余弦公式，及根式的运算性质，可判断p4．解答：解：p1：若sinx=siny⇒x+y=π+2kπ或x=y+2kπ，k∈Z，故错误；p2：根据同角三角函数基本关系的平方关系，可得：∀x∈R，sin2+cos2=1，故正确；p3：x，y∈R，cos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny，与cosx﹣cosy不一定相等，故错误；p4：∀x∈，==|cosx|=cosx，故正确．故选：D．点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，全（特）称命题，三角函数，属于基础题．7．（5分）若实数x、y满足且z=2x+y的最小值为4，则实数b的值为（）A．1 B．2 C．D．3考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对于的平面区域，根据z=2x+y的最小值为4，利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对于的平面区域如图：∵z=2x+y的最小值为4，即2x+y=4，且y=﹣2x+z，则直线y=﹣2x+z的截距最小时，z也取得最小值，则不等式组对应的平面区域在直线y=﹣2x+z的上方，由；，解得，即A（1，2），此时A也在直线y=﹣x+b上，即2=﹣1+b，解得b=3，故选：D点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．8．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8πB．16πC．32πD．64π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，进而可得该几何体外接球的表面积．解答：解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，如图所示：由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，可得底面外接圆的半径为：r=2，由棱柱高为4，可得球心距为2，故外接球半径为：R==2，故外接球的表面积S=4πR2=32π，故选：C点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．9．（5分）已知函数f（x）=函数g（x）=f（x）﹣2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．C．所以；（Ⅱ）因为b n===，所以数列{b n}的前n项和T n==．点评：本题考查数列的通项公式及求前n项和，解题时要认真审题，仔细解答，采用裂项相消法是解题的关键，属中档题．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为2的菱形，平面ABC⊥平面AA1C1C，∠A1AC=60°，∠BCA=90°．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；（Ⅱ）已知点E是AB的中点，BC=AC，求直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）首先利用面面垂直转化成线面垂直，进一步得出线线垂直．（Ⅱ）根据两两垂直的关系，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进一步利用向量的夹角余弦公式求出线面的夹角的正弦值．解答：（Ⅰ）证明：取AC的中点O，连接A1O，由于平面ABC⊥平面AA1C1C，A1O⊥AC，所以：A1O⊥平面ABC，所以：A1O⊥BC，又BC⊥AC，所以：BC⊥平面A1BC所以：A1B⊥AC1．（Ⅱ）以O为坐标原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，A（0，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），C1（0，2，），则：，，设=（x，y，z）是平面ABB1A1的法向量，所以：，求得：，由E（1，0，0）求得：，直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值sinθ=cos=．点评：本题考查的知识要点：线面垂直与面面垂直与线线垂直之间的转化，空间直角坐标系，法向量的应用，线面的夹角的应用，主要考查学生的空间想象能力．19．（12分）某商场每天（开始营业时）以每件150元的价格购入A商品若干件（A商品在商场的保鲜时间为10小时，该商场的营业时间也恰好为10小时），并开始以每件300元的价格出售，若前6小时内所购进的商品没有售完，则商店对没卖出的A商品以每件100元的价格低价处理完毕（根据经验，4小时内完全能够把A商品低价处理完毕，且处理完后，当天不再购进A商品）．该商场统计了100天A商品在每天的前6小时内的销售量，制成如下表格（注：视频率为概率）．（其中x+y=70）前6小时内的销售量t（单位：件） 4 5 6频数30 x y（Ⅰ）若某该商场共购入6件该商品，在前6个小时中售出4件．若这些产品被6名不同的顾客购买，现从这6名顾客中随机选2人进行回访，则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是多少？（Ⅱ）若商场每天在购进5件A商品时所获得的平均利润最大，求x的取值范围．考点：古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）根据排列组合，可以求出总的事件的个数和满足条件的基本事件的个数，根据概率公式计算即可；（2）设销售A商品获得利润为X，则商店每天购进的A商品的件数取值可能为4件，5件，6件，分别求出其利润，根据题意列出不等式解得即可．解答：解：（1）恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是A，则P（A）==；（2）设销售A商品获得利润为X，（单位，元），以题意，视频率为概率，为追求更多的利润，则商店每天购进的A商品的件数取值可能为4件，5件，6件，当购进A商品4件时，EX=150×4=600，当购进A商品5件时，EX=（150×4﹣50）×0.3+150×5×0.7=690，当购进A商品6件时，EX=（150×4﹣2×50）×0.3+（150×5﹣50）×+150×6×=780﹣2x，由题意780﹣2x≤690，解得x≥45，又知x≤100﹣30=70，所以x的取值范围为．x∈N*．点评：本题考查了古典概型概率问题，以及数学期望的问题，属于中档题．20．（12分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0），F 1、F2为左右焦点，B为短轴端点，且S=4，离心率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，且满足|+|=|﹣|？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．考点：椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由题意可得方程=•2c•b=4，e==，且a2=b2+c2；从而联立解出椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆x2+y2=r2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，则可得•=0；再设M（x1，y1），N（x2，y2），当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为y=kx+m，联立方程组可得x1+x2=﹣，x1x2=；y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km （x1+x2）+m2=；从而再由x1x2+y1y2=0可得3m2﹣8k2﹣8=0，从而可解得m≥或m≤﹣；从而解出所求圆的方程为x2+y2=；再验证当切线的斜率不存在时也成立即可．解答：解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0），由题意可得，=•2c•b=4，e==，且a2=b2+c2；联立解得，；故椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆x2+y2=r2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，∵|+|=|﹣|，∴•=0；设M（x1，y1），N（x2，y2），当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为y=kx+m，解方程组得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，则△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0；即8k2﹣m2+4＞0；∴x1+x2=﹣，x1x2=；y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=；要使•=0，故x1x2+y1y2=0；即+=0；所以3m2﹣8k2﹣8=0，所以3m2﹣8≥0且8k2﹣m2+4＞0；解得m≥或m≤﹣；因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r=，r2===；故r=；即所求圆的方程为x2+y2=；此时圆的切线y=kx+m都满足m≥或m≤﹣；而当切线的斜率不存在时切线为x=±与椭圆+=1的两个交点为（，±），（﹣，±）；满足•=0，综上所述，存在圆心在原点的圆x2+y2=满足条件．点评：本题考查了圆锥曲线的应用，化简很复杂，应用到了根与系数的关系以简化运算，属于难题．21．（12分）已知函数f（x）=ax+ln（x﹣1），其中a为常数．（Ⅰ）试讨论f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=时，存在x使得不等式|f（x）|﹣≤成立，求b的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）先求函数f（x）的定义域及f′（x）=，再分a≥0时、a＜0时两种情况考虑即可；（Ⅱ）由（I）可得f（x）max=+ln（e﹣1）＜0，令，求出g（x）的单调区间，从而可得g（x）max=g（e）=，所以原不等式成立只需﹣≤，解之即可．解答：解：（Ⅰ）由已知易得函数f（x）的定义域为：{x|x＞1}，f′（x）=a+=，当a≥0时，f′（x）＞0在定义域内恒成立，f（x）的单调递增区间为（1，+∞），当a＜0时，由f′（x）=0得x=1﹣，当x∈（1，1﹣）时，f′（x）＞0，当x∈（1﹣，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）的单调递增区间为（1，1﹣），递减区间为（1﹣，+∞）；（Ⅱ）由（I）知当a=时，f（x）的单调增区间为（1，e），减区间为（e，+∞），所以f（x）max=f（e）=+ln（e﹣1）＜0，所以|f（x）|≥﹣f（e）=恒成立，当x=e时取等号．令，则，当1＜x＜e时，g（x）＞0；当x＞e时，g（x）＜0，从而g（x）在区间（1，e）上单调递增，在区间（e，+∞）上单调递减，所以g（x）max=g（e）=，所以，存在x使得不等式|f（x）|﹣≤成立，只需﹣≤，即：b≥﹣2ln（e﹣1）．点评：本题主要考查函数的单调性及与不等式的综合，比较复杂的函数的单调性，一般用导数来研究，将其转化为函数方程不等式综合问题解决，研究不等式时一定要先确定函数的单调性才能求解．22．（10分）如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC•BC=AD•AE；（Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：推理和证明．分析：（I）如图所示，连接BE．由于AE是⊙O的直径，可得∠ABE=90°．利用∠E与∠ACB 都是所对的圆周角，可得∠E=∠ACB．进而得到△ABE∽△ADC，即可得到．（II）利用切割线定理可得CF2=AF•BF，可得BF．再利用△AFC∽△CFB，可得AF：FC=AC：BC，进而根据sin∠ACD=sin∠AEB，AE=，即可得出答案．解答：证明：（I）如图所示，连接BE．∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°．又∠E与∠ACB都是所对的圆周角，∴∠E=∠ACB．∵AD⊥BC，∠ADC=90°．∴△ABE∽△ADC，∴AB：AD=AE：AC，∴AB•AC=AD•AE．又AB=BC，∴BC•AC=AD•AE．解：（II）∵CF是⊙O的切线，∴CF2=AF•BF，∵AF=2，CF=2，∴（2）2=2BF，解得BF=4．∴AB=BF﹣AF=2．∵∠ACF=∠FBC，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB，∴AF：FC=AC：BC，∴AC==．∴cos∠ACD=，∴sin∠ACD==sin∠AEB，∴AE==点评：本题考查了圆的性质、三角形相似、切割线定理，属于中档题．23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（α为参数），若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）=t（t为参数）．（Ⅰ）求曲线M和N的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）平方得x2=2cos2α，代入第二个式子化简得出ρsinθ+ρcosθ=t，根据y=ρsinθ，x=ρcosθ，化简得出x+y=t．（2）t=5，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍只有一个公共点，联立利用判别式问题求解．解答：解：（1）由x=，得x2=2cos2α，所以曲线M可化为y=x2﹣1，x∈，由ρsin（）=t，得ρsinθρcosθ=t，所以ρsinθ+ρcosθ=t，所以N可化为x+y=t，（2）若曲线N与曲线M有公共点，则当直线N过点（2，3）时，满足要求，此时t=5，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍只有一个公共点，联立得x2+x﹣1﹣t=0，△=1+4（1+t）=0，解得t=，综上可得t的取值范围≤t≤5．点评：本题考查了参数方程的与普通方程的转化问题，曲线的公共点问题，利用方程有解问题，转化为判别式求解，思路简单，属于中档题．24．已知函数f（x）=|3x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），若|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由条件利用基本不等式求得+≥4，结合题意可得|x﹣a|﹣|3x+2|≤4恒成立．令g（x）=|x﹣a|﹣|3x+2|，利用单调性求得它的最大值，再由此最大值小于或等于4，求得a的范围．解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|，即|3x+2|+|x﹣1|＜4，∴①，或②，或③．解①求得﹣＜x＜﹣，解②求得﹣≤x＜，解③求得x∈∅．综上可得，不等式的解集为（﹣，）．（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），∴+=（m+n）（+）=2++≥2+2=4，当且仅当m=n=时，取等号．再根据|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，可得|x﹣a|﹣f（x）≤4，即|x﹣a|﹣|3x+2|≤4．设g（x）=|x﹣a|﹣|3x+2|=，故函数g（x）的最大值为g（﹣）=+a，再由+a≤4，求得 0＜a≤．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
河南省八校高三第二次联考试数学(理)试题(扫描版)
理科数学 参考答案一、选择题AABBB DADAC CC二、填空题13、 14. 15. 16.①②③三、解答题17、【答案】解:（1）设的公差为.因为⎪⎩⎪⎨⎧==+,,122222b S q S b 所以⎪⎩⎪⎨⎧+==++．，q d q d q 6126 解得或（舍），. 故，…… 6分（2）由（1）可知，，所以()122113331n n c S n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭. 故()21111121211322313131n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦…………12分18解：记“第一、二、三次射击命中目标”分别为事件A ，B ，C ，，则， ......3分（1）“该射手射中目标”为事件D ，144958797211)(=⋅⋅-=D P ......5分 （2）射手得分为，则 ...... 6分 ， 1447819721)1(=⋅⋅==ξP ， ， ......10 分...... 12分19.(Ⅰ)，分别为的中点，为矩形， 2分EF DC EC DE ⊥∴=, ,又EF AB CD AB ⊥∴,//⊥∴=AE E EF BF , 面,面,平面⊥平面 4分(Ⅱ) EF DC EC DE ⊥∴=, ,又，PD AB CD AB ⊥∴,//又,所以面, ······6分建系为轴，为轴，为轴,，,平面法向量，平面法向量···9分]22,21[452c o s 2∈+=a θ，可得. ·······12分20. 解：(Ⅰ)椭圆的方程为. ……………………..4分（Ⅱ）直线的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而.由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)2(22y x x k y 得041616)41(2222=-+++k x k x k .设，则， 得, 从而，即………………8分 又，故直线的方程为由⎪⎩⎪⎨⎧=--=4)2(41x x k y 得⎪⎩⎪⎨⎧-==ky x 214,∴， 故，又∵， ∴322162216||=⨯≥+=k k k k MN ，当且仅当，即时等号成立，∴时，线段的长度取得最小值为. ………….12分24. 解：（Ⅰ）时，即求解 ①当时，23122x x x -+-≥∴≥ ②当时，3212220x x x x -+-≥∴-≥∴< ③当时，23212323x x x x -+-≥∴≤∴≤综上，解集为…………5分（Ⅱ）即251x a x x -≥---恒成立 令62,1()514,1x x g x x x x -≥⎧=---=⎨<⎩则函数图象为，…………10分。
2015-2016学年河南省八市重点高中高三(下)2月质检数学试卷(理科)(解析版)资料
2015-2016学年河南省八市重点高中高三（下）2月质检数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设i是虚数但单位，则复数的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．2．（5分）已知集合P={x|x2﹣2x﹣3≥0}，Q={x|1＜x＜4}，则P∩Q=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|3≤x＜4}C．{x|x≥4或x＜﹣3}D．{x|x＜﹣1或x＞3}3．（5分）已知角α的终边经过点（﹣3，4），则的值（）A．B．﹣C．D．﹣4．（5分）如图为教育部门对辖区内某学校的50名儿童的体重（kg）作为样本进行分析而得到的频率分布直方图，则这50名儿童的体重的平均数为（）A．27.5 B．26.5 C．25.6 D．25.75．（5分）已知双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）△ABC中，，则△ABC的形状一定为（）A．等腰直角神经性B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形7．（5分）某人驾车遇到险情而紧急制动并以速度v（t）=120﹣60t（t为事件单位s）形式至停止，则从开始制动到汽车完全停止所形式的距离（单位：m）为（）A．100 B．150 C．120 D．1608．（5分）某饮用水器具的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．6πB．8πC．7πD．11π9．（5分）若实数x，y满足，则的最小值为（）A．B．2 C．D．10．（5分）已知（1﹣x）（1+2x）5，x∈R，则x2的系数为（）A．50 B．20 C．30 D．4011．（5分）已知椭圆，左右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率不为0的直线l交椭圆于A，B两点，则|BF2||AF2|的最大值为（）A．3 B．6 C．4 D．12．（5分）若函数f（x）在去年[n，m]上恒有成立，则称区间[n，m]为函数f（x）的“k度约束区间”，若区间为函数f（x）=x2﹣tx+t2的“2度约束区间”，则实数k的取值范围是（）A．（1，2]B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．（5分）已知平面向量与的夹角为，则=．14．（5分）如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S=．15．（5分）按照国家的相关税法规定，作者的稿酬应该缴纳个人所得税，具体规定为：个人每次取得的稿酬收入，定额或定率减去规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，首先减去每次稿酬所得费用800元；每次收入在4000元以上的，首先减除20%的费用并且以上两种情况均使用20%的比例税率，且按规定应纳税额征30%，已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费（扣税前）为．16．（5分）已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，G是△ABC的三条边上中线的交点，若=，且≥cos2x﹣msinx（x∈R）恒成立，则实数m的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知首项为3的数列{a n}满足：=3，且b n=．（1）求证：数列{b n}是等差数列；（2）求数列{2n•b n}的前n项和T n．18．（12分）某革命老区为带动当地经济的发展，实现经济效益与社会效益双赢，精心准备了三个独立的方案；方案一：红色文化体验专营经济带，案二：农家乐休闲区专营经济带，方案三：爱国主义教育基础，通过委托民调机构对这三个方案的调查，结果显示它们能被民众选中的概率分别为，，．（1）求三个方案至少有两个被选中的概率；（2）记三个方案被选中的个数为ɛ，试求ɛ的期望．19．（12分）如图为AB上一点，且3OB=3OC=2AB，又PO⊥平面ABC，2DA=2AO=PO，且DA∥PO．（1）求证：平面PBD⊥平面COD；（2）求PD与平面BDC所成的角的正弦值．20．（12分）已知抛物线C的方程为x2=4y，M（2，1）为抛物线C上一点，F为抛物线的焦点．（1）求|MF|；（2）设直线l2：y=kx+m与抛物线C有唯一的公共点，且与直线l1：y=﹣1相交于点Q，试问，在坐标平面内是否存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的函数有且只有一个零点，求a的值（e为自然对数的底数）请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-1几何证明选讲]22．（10分）如图，半径为的△ABC的外接圆圆O的直径为AB，直线CE为圆O的切线且相切于点C，AD⊥CE于点D，AD=1．（1）求证：△ABC相似于△ACD；（2）求AC的长．[选修4-4坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，已知直线与圆O：ρ=4．（1）分别求出直线l与圆O对应的直角坐标系中的方程；（2）求直线l被圆O所截得的弦长．[选修4-5不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，且a+b=1．（1）若ab≤m恒成立，求m的取值范围；（2）若恒成立，求x的取值范围．2015-2016学年河南省八市重点高中高三（下）2月质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2016•重庆校级一模）设i是虚数但单位，则复数的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出复数z的共轭复数，则答案可求．【解答】解：∵==，∴复数的共轭复数为．则复数的共轭复数的虚部为：．故选：B．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的求法，是基础题．2．（5分）（2016•重庆校级一模）已知集合P={x|x2﹣2x﹣3≥0}，Q={x|1＜x＜4}，则P∩Q=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|3≤x＜4}C．{x|x≥4或x＜﹣3}D．{x|x＜﹣1或x＞3}【分析】求出P中不等式的解集确定出P，找出P与Q并集即可．【解答】解：由P中不等式变形得：（x+1）（x﹣3）＞0，解得：x＜﹣1或x＞3，即P={x|x＜﹣1或x＞3}，∵Q={x|1＜x＜4}，∴P∪Q={x|3≤x＜4}，故选：B【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）（2016•重庆校级一模）已知角α的终边经过点（﹣3，4），则的值（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，两角和的正弦公式，求得的值．【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣3，4），则sinα=，cosα=，∴=sinαcos+cosαsin=﹣×=，故选：C．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正弦公式，属于基础题．4．（5分）（2016•重庆校级一模）如图为教育部门对辖区内某学校的50名儿童的体重（kg）作为样本进行分析而得到的频率分布直方图，则这50名儿童的体重的平均数为（）A．27.5 B．26.5 C．25.6 D．25.7【分析】根据频率分布直方图，利用频率和为1求出a的值，再利用平均数的定义求出体重的平均数．【解答】解：根据频率分布直方图，得；（0.03+0.032+a+0.01+0.008）×10=1，解得a=0.02，所以这50名儿童的体重的平均数为=0.1×5+0.2×15+0.32×25+0.3×35+0.08×45=25.6．故选：C．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了平均数的计算问题，是基础题目．5．（5分）（2011•深圳二模）已知双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】因为焦点在x轴上的双曲线方程的渐近线方程为y=±，由双曲线的一条渐近线方程为y=，就可得到含a，b的齐次式，再把b用a，c表示，根据双曲线的离心率e=，就可求出离心率的值．【解答】解：∵双曲线的焦点在x轴上，∴渐近线方程为y=±，又∵渐近线方程为y=，∴∴∵b2=c2﹣a2，∴化简得，即e2=，e=故选A【点评】本题考查双曲线的性质及其方程．根据双曲线的渐近线方程求离心率，关键是找到含a，c的等式．6．（5分）（2016春•河南月考）△ABC中，，则△ABC的形状一定为（）A．等腰直角神经性B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形【分析】由已知利用正弦定理可求sinC，进而可得C=或，分类讨论，分别求出A的值即可判断得解．【解答】解：△ABC中，因为，由正弦定理，可得sinC=，故C=或，当C=时，A=，△ABC为直角三角形；当C=时，A=，△ABC为等腰三角形；综上，△ABC的形状一定为等腰三角形或直角三角形．故选：D．【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了运算能力，分类讨论思想，逻辑推理能力，属于基础题．7．（5分）（2016春•河南月考）某人驾车遇到险情而紧急制动并以速度v（t）=120﹣60t（t为事件单位s）形式至停止，则从开始制动到汽车完全停止所形式的距离（单位：m）为（）A．100 B．150 C．120 D．160【分析】令v（t）=120﹣60t=0，解得t=2，即汽车在2s后停止，根据定积分的物理意义可知：汽车刹车距离为S：S=（120﹣60t）dt，根据定积分的计算，即可求得S．【解答】解：令v（t）=120﹣60t=0，解得：t=2，汽车刹车距离为S：S=（120﹣60t）dt=（120t﹣30t2）=120，故答案选：C．【点评】本题考查定积分的计算，定积分的物理意义，考查计算能力，属于基础题．8．（5分）（2016•重庆校级一模）某饮用水器具的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．6πB．8πC．7πD．11π【分析】由三视图知该几何体底面半径为1、高为4的圆柱的上半部分被截去一部分后得到的几何体，由条件和圆柱的表面积公式求出该几何体的表面积．【解答】解根据三视图可知几何体是：底面半径为1、高为4的圆柱的上半部分被截去一部分后得到的几何体，∴该几何体的表面积S==7π，故选：C．【点评】本题考查由三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．9．（5分）（2016•重庆校级一模）若实数x，y满足，则的最小值为（）A．B．2 C．D．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，从而求出z的最小值．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：A（3，0），C（2，1），z==1+∈[，2]，故选：A．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，转化与划归思想以及运算能力．10．（5分）（2016•重庆校级一模）已知（1﹣x）（1+2x）5，x∈R，则x2的系数为（）A．50 B．20 C．30 D．40【分析】根据题意，（1﹣x）（1+2x）5展开式中x2的系数为（1+2x）5的展开式中x2的系数与x的系数之差，求出即可．【解答】解：因为（1﹣x）（1+2x）5=（1+2x）5﹣x（1+2x）5，（1+2x）5的通项公式为T r+1=•2r•x r，所以x2的系数为：•22﹣•2=40﹣10=30．故选：C．【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了基本的运算能力，是基础题目．11．（5分）（2016春•河南月考）已知椭圆，左右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率不为0的直线l交椭圆于A，B两点，则|BF2||AF2|的最大值为（）A．3 B．6 C．4 D．【分析】由椭圆的性质可得：当且仅当AB⊥x轴时，|AB|取得最小值．由椭圆的定义可知：|BF2|+|AF2|+|AB|=4a，再利用基本不等式的性质即可得出．|【解答】解：由椭圆，可得a=2，b2=3，c==1．∴左右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0）．当且仅当AB⊥x轴时，|AB|取得最小值为2×=3．由椭圆的定义可知：|BF2|+|AF2|+|AB|=4a=8，则|BF2|+|AF2|=8﹣|AB|≤8﹣3=5，∴5≥，可得|BF 2||AF2|≤，当且仅当|BF2|=|AF2|=时取等号．故选：D．【点评】本题考查了椭圆的定义及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）（2016春•河南月考）若函数f（x）在去年[n，m]上恒有成立，则称区间[n，m]为函数f（x）的“k度约束区间”，若区间为函数f（x）=x2﹣tx+t2的“2度约束区间”，则实数k的取值范围是（）A．（1，2]B．C．D．【分析】由x∈[，t]，（t＞0），得：t＞，由f（t）=t2﹣t•t+t2=t2≤2t得：t≤2，结合二次函数的性质求出t的范围即可．【解答】解：由题意得：≤x2﹣tx+t2≤2t对任意的x∈[，t]，（t＞0）都成立，由t＞得：t＞1，f（）=﹣1+t2＞2﹣1=1＞，由f（t）=t2﹣t•t+t2=t2≤2t得：t≤2，∵t＞1，∴f（）=﹣1+t2＜1﹣1+t2=t2，又f（x）=x2﹣tx+t2的对称轴是x=，由f（）=≥，得：t≥，由于＜1，∴t的范围是（1，2]，故选：A．【点评】本题考查新定义问题，考查学生的创新能力，解决问题的能力，是一道中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．（5分）（2016•重庆校级一模）已知平面向量与的夹角为，则=．【分析】利用向量的数量积以及向量的模的求法运算法则化简求解即可．【解答】解：向量与的夹角为，可得=||||cos=2×1×=，则==．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，向量的模的求法，考查计算能力．14．（5分）（2015•南开区一模）如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S=2500；．【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=1+3+5+7+…+99==2500．【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0S=1，i=3不满足条件i＞99，S=4，i=5不满足条件i＞99，S=9，i=7不满足条件i＞99，S=16，i=9…不满足条件i＞99，S=1+3+5+7+…+99，i=101满足条件i＞99，退出循环，输出S=1+3+5+7+…+99==2500．故答案为：2500．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了等差数列的求和，属于基本知识的考查．15．（5分）（2016春•河南月考）按照国家的相关税法规定，作者的稿酬应该缴纳个人所得税，具体规定为：个人每次取得的稿酬收入，定额或定率减去规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，首先减去每次稿酬所得费用800元；每次收入在4000元以上的，首先减除20%的费用并且以上两种情况均使用20%的比例税率，且按规定应纳税额征30%，已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费（扣税前）为2800元．【分析】由题意，设这个人应得稿费（扣税前）为x元，则280=（x﹣800）×20%×（1﹣30%），即可得出结论．【解答】解：由题意，设这个人应得稿费（扣税前）为x元，则280=（x﹣800）×20%×（1﹣30%）所以x=2800，故答案为：2800元．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，正确选择函数模型是关键．16．（5分）（2016春•河南月考）已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，G是△ABC的三条边上中线的交点，若=，且≥cos2x﹣msinx（x∈R）恒成立，则实数m的取值范围为[﹣4﹣2，4+2] ．【分析】由题意知G是△ABC的重心，++=，代入+（a+b）+2c=求出a、b、c的关系；由+≥cos2x﹣msinx恒成立，得出≥（cos2x﹣msinx）max，利用基本不等式求出+的最小值，构造函数g（x）=cos2x﹣msinx（x∈R），用换元法和分类讨论思想求出g（x）的最小值，再列出不等式求出m的取值范围．【解答】解：由题意知，G是△ABC的重心，则++=，即=﹣（+），代入+（a+b）+2c=，得：（1﹣2c）+（a+b﹣2c）=，则，解得；又+≥cos2x﹣msinx恒成立，即≥（cos2x﹣msinx）max，且+=（+）•1=（+）•（a+b）=3+（+）≥3+2=3+2，当且仅当时“=”成立；令g（x）=cos2x﹣msinx（x∈R），则g（x）=﹣2sin2x﹣msinx+1，设t=sinx，t∈[﹣1，1]；则g（t）=﹣2t2﹣mt+1，对称轴是t=﹣；①若﹣＜﹣1，即m＞4，则g（t）max=g（﹣1）=﹣1+m，令3+2≥﹣1+m，解得m≤4+2，即4＜m≤4+2；②若﹣＞1，即m＜﹣4，则g（t）max=g（1）=﹣1﹣m，令3+2≥﹣1﹣m，解得﹣4﹣2≤m＜﹣4；③若﹣1≤﹣≤1，即﹣4≤m≤4，则g（t）max=g（﹣）=1+，由3+2≥1+解得﹣4≤m≤4，故﹣4≤m≤4；综上，实数m的取值范围是[﹣4﹣2，4+2]．故答案为：[﹣4﹣2，4+2]．【点评】本题考查了三角函数、平面向量以及函数的综合应用问题，也考查了综合处理数学问题的能力．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）（2016春•河南月考）已知首项为3的数列{a n}满足：=3，且b n=．（1）求证：数列{b n}是等差数列；（2）求数列{2n•b n}的前n项和T n．【分析】（1）计算b n+1﹣b n==；（2）求出b n的通项公式，得出T n，使用错位相减法求和．【解答】解：（1）∵=3，∴=，∴b n+1﹣b n=﹣==．∴数列{b n}是等差数列．（2）b1==，∴b n=+（n﹣1）=n+．∴T n=2•+22•+23•+24•+…+2n•，①①×2得：2T n=22•+23•+24•+25•+…+2n+1•，②①﹣②得：﹣T n=1++++…+•2n﹣2n+1•=1﹣2n+1•+•=1﹣2n+1•+•（2n+1﹣4）=﹣﹣•2n+1．∴T n=+•2n+1．【点评】本题考查了数列等差关系的判断，数列求和，属于中档题．18．（12分）（2016•重庆校级一模）某革命老区为带动当地经济的发展，实现经济效益与社会效益双赢，精心准备了三个独立的方案；方案一：红色文化体验专营经济带，案二：农家乐休闲区专营经济带，方案三：爱国主义教育基础，通过委托民调机构对这三个方案的调查，结果显示它们能被民众选中的概率分别为，，．（1）求三个方案至少有两个被选中的概率；（2）记三个方案被选中的个数为ɛ，试求ɛ的期望．【分析】记三个方案记为甲、乙、丙，被选中的事件分别为A，B，C，则P（A）=，P（B）=，P（C）=（1）“只有两个方案被选中”可分为三种情形：①甲未被选中，乙、丙被选中，②乙未被选中，甲、丙被选中，③丙未被选中，甲、乙被选中，3个方案被选中，概率为××=从而求概率；（2）由题意可知ɛ的可能取值为0，1，2，3．求其概率从而求数学期望．【解答】解：记三个方案记为甲、乙、丙，被选中的事件分别为A，B，C，则P（A）=，P（B）=，P（C）=．（1）“只有两个方案被选中”可分为三种情形：①甲未被选中，乙、丙被选中，概率为P1=××=．②乙未被选中，甲、丙被选中，概率为P2=××=．③丙未被选中，甲、乙被选中，概率为P3=××=．以上三种情况是互斥的．因此只有两个方案被选中的概率为P=．3个方案被选中，概率为××=，∴三个方案至少有两个被选中的概率为+=；（2）由题意可知ɛ的可能取值为0，1，2，3．P（ɛ=0）=××=；P（ɛ=1）=××+××+××=；由（1）知P（ɛ=2）=；P（ɛ=3）=××=．故Eɛ=0×+1×+2×+3×=．【点评】本题考查了数学期望的求法，考查概率的计算，属于中档题．19．（12分）（2016春•河南月考）如图为AB上一点，且3OB=3OC=2AB，又PO⊥平面ABC，2DA=2AO=PO，且DA∥PO．（1）求证：平面PBD⊥平面COD；（2）求PD与平面BDC所成的角的正弦值．【分析】（1）设OA=1，利用勾股定理得出PD⊥OD，由OC⊥平面ABPD得出OC⊥PD，于是PD⊥平面COD，从而有平面PBD⊥平面COD；（2）以O为原点建立坐标系，求出和平面BCD的法向量，则PD与平面BDC所成的角的正弦值为|cos＜，＞|．【解答】证明：（1）设OA=AD=1，则OB=OC=OP=2，∵AD∥PO，PO⊥平面ABC，∴AD⊥平面ABC，∴AD⊥AO．∴OD=，PD=．又PO=2，∴PD2+OD2=PO2，∴PD⊥OD．∵OB=OC，，∴OC⊥AB．∵PO⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，∴PO⊥AB，又AB⊂平面ABPD，OP⊂平面ABPD，AB∩OP=O，∴OC⊥平面ABPD，∵PD⊂平面ABPD，∴OC⊥PD，又OC⊂平面COD，DO⊂平面COD，OC∩OD=O，∴PD⊥平面COD，∵PD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面COD．（2）以O为原点，以OC，OB，OP为坐标轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则P（0，0，2），B（0，2，0），C（2，0，0），D（0，﹣1，1）．∴=（0，﹣1，﹣1），=（2，﹣2，0），=（0，﹣3，1）．设平面BCD的法向量为=（x，y，z），则，∴，令x=1得=（1，1，3），∴cos＜＞===﹣．∴PD与平面BDC所成的角的正弦值为．【点评】本题考查了面面垂直的判定，空间向量的应用与线面角的计算，属于中档题．20．（12分）（2016春•河南月考）已知抛物线C的方程为x2=4y，M（2，1）为抛物线C上一点，F为抛物线的焦点．（1）求|MF|；（2）设直线l2：y=kx+m与抛物线C有唯一的公共点，且与直线l1：y=﹣1相交于点Q，试问，在坐标平面内是否存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，根据抛物线的定义，即可得到所求|MF|；（2）假设存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，由直线l2：y=kx+m与抛物线C有唯一公共点P知，直线l2与抛物线C相切，利用导数求出直线l2的方程，进而求出Q点坐标，根据直径所对的圆周角为直角，利用•=0，求出N点坐标．【解答】解：（1）抛物线C的方程为x2=4y的焦点坐标为F（0，1），准线方程为y=﹣1，由抛物线的定义可得|MF|=1+1=2；（2）由抛物线C关于y轴对称可知，若存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，则点N必在y轴上，设N（0，n），又设点P（x0，），由直线l2：y=kx+m与抛物线C有唯一公共点P知，直线l与抛物线C相切，由y=x2得y′=x，可得直线l2的斜率为x0，可得直线l的方程为y﹣=x0（x﹣x0），令y=﹣1得x=﹣，可得Q点的坐标为（﹣，﹣1），即有=（x0，﹣n），=（﹣，﹣1﹣n），由点N在以PQ为直径的圆上，可得•=﹣（1+n）（﹣n）=（1﹣n）•+n2+n﹣2=0，（*）要使方程（*）对x0恒成立，必须有，解得n=1，则在坐标平面内存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，其坐标为（0，1）．【点评】本题考查了抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，这类题目考查比较灵活，解决问题时注意几何关系向代数关系（即坐标关系）的转化．21．（12分）（2016•重庆校级一模）已知函数（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的函数有且只有一个零点，求a的值（e为自然对数的底数）【分析】（1）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）把方程化为=x2﹣2ex+a，求得h（x）=的最大值为h（e）=，再求得m（x）=x2﹣2ex+a 的最小值m（e）=a﹣e2，根据a﹣e2=求出a的值．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=，①△=1+4a≤0即a≤﹣时，x2+x﹣a≥0，则f′（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）递增，②①△=1+4a＞0即a＞﹣时，令f′（x）=0，解得：x1=＜0，x2=，若﹣＜a≤0，则x2≤0，∴f（x）在（0，+∞）递增，若a＞0，x∈（0，）时，f′（x）＜0，x∈（，+∞），f′（x）＞0，∴f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（2）关于x的方程g（x）=﹣f（x）+lnx+2e，可化为=x2﹣2ex+a，令h（x）=，令h′（x）=0，得x=e，故h（x）的最大值为h（e）=．令m（x）=x2﹣2ex+a，可得：x=e时，m（x）的最小值m（e）=a﹣e2 ，由a﹣e2=可得a=e2+．【点评】本题主要考查导数的运算法则的应用，利用导数求函数的单调区间、最值问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-1几何证明选讲]22．（10分）（2016•重庆校级一模）如图，半径为的△ABC的外接圆圆O的直径为AB，直线CE为圆O的切线且相切于点C，AD⊥CE于点D，AD=1．（1）求证：△ABC相似于△ACD；（2）求AC的长．【分析】（1）利用已知可得△ABC，△ACD为直角三角形，利用圆周角定理可得∠ABC=∠ACD，从而可证△ABC∽△ACD．（2）由（1）可得△ABC∽△ACD，利用相似三角形的性质可得=，进而即可解得AC的值．【解答】解：（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，∴△ABC直角三角形，∴△ACD为直角三角形，∵直线CE与圆O相切于点C，∴∠ABC=∠ACD，∴△ABC∽△ACD，得证．（2）∵由（1）可得△ABC∽△ACD．∴=，∴AC2=AB•AD，∵AB=9，AD=1，∴AC2=9，解得AC=3．【点评】本题主要考查了相似三角形，直线，圆等初等几何知识，考查了逻辑思维能力，运算能力，属于中档题．[选修4-4坐标系与参数方程]23．（2016•重庆校级一模）在极坐标系中，已知直线与圆O：ρ=4．（1）分别求出直线l与圆O对应的直角坐标系中的方程；（2）求直线l被圆O所截得的弦长．【分析】（1）先利用三角函数的和角公式展开直线的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标方程，（2）利用直角坐标中直线与圆的关系求出截得的弦长即可．【解答】解：（1）∵ρsin（θ+）=2，∴ρsinθ+ρcosθ=2，∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，∴化成直角坐标方程为：x+y﹣2=0，圆ρ=4化成直角坐标方程为x2+y2=16，（2）圆心到直线的距离为：d==2，∴截得的弦长为：2=4．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．[选修4-5不等式选讲]24．（2016•重庆校级一模）已知a＞0，b＞0，且a+b=1．（1）若ab≤m恒成立，求m的取值范围；（2）若恒成立，求x的取值范围．【分析】（1）由基本不等式可得；（2）问题转化为|2x﹣1|﹣|x+1|≤4，去绝对值化为不等式组，解不等式组可得．【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，且a+b=1，∴ab=，当且仅当a=b=时“=”成立，由ab≤m恒成立，故m≥；（2）∵a，b∈（0，+∞），a+b=1，∴+=（+）（a+b）=2++≥4，当且仅当a=b=时“=”成立，若恒成立，则只需|2x﹣1|﹣|x+1|≤4即可，只需或或，解得：﹣2≤x≤6．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，分段函数知识，考查运算能力，转化思想以及分类讨论思想，是一道中档题．2016年11月5日。
河南省八市重点高中2015届高三教学质量监测考试 理综试题及答案
河南省八市重点高中教学质量监测考试理科综合命题：汉文化百校联盟审题：石家庄一中石家庄二中正定中学注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再造涂其它答案标号框。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
可用到的相对原子量：H-l C-12 N-14 O-16 Na-23 S-32 Cl-30.5 Fe-56 Ni-59第I卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
l.如图所示，甲为甘蔗叶肉细胞内某结构，乙为该结构中某部位的局部放大。
下列有关说法正确的是A.己圈是甲图中①②部位的局部放大，该部位还能合成ATPB.乙图中光台色素在层析液中的溶解度不同，可以利用该原理将它们分离C.结构③消耗[H]，结构④中产生[H]D.甘蔗根尖细胞中无甲图所示结构，因此不具有发育成一个完整植株的潜能2.视网膜母细胞瘤是眼科最常见的恶性肿瘤，俗称眼癌，发病原因可能与RB蛋白缺失有关。
RB蛋白是常染色体上的RB基因编码的蛋白质，其分布于细胞核内，能抑制细胞增殖。
正常人体细胞中含有一对RB基因，当两个RB基因同时突变时，不能合成正常的RB蛋白，就会发生视阿膜母细胞瘤。
下列相关叙述正确的是A. RB蛋白的作用原理可能是在细胞核内合成后，与染色体结合，抑制其复制B. RB基因能抑制细胞癌变，在人体所有细胞中都有该基因C. RB基因发生的突变属于隐性突变，是RB基因的碱基序列定向突变造成的D.当父母双方都携带RB基因的突变基因时，儿子发病辜为四分之一3.下列关于群落的叙述中，正确的是A.土壤中的小动物不存在垂直分层现象B.群落中物种丰富度与种群密度呈正相关C.生物群落的营养关系越复杂，生态系统的恢复力稳定性越高D.群落演替受群落内部因素和外界因素的影响4.下列关于盐酸在不同生物学实验中作用的描述不正确的是A.在观察DNA和RNA在细胞中分布的实验中，盐酸可以改变细胞膜的通透性B.在观察洋葱根尖细胞有丝分裂实验中，盐酸有利于染色剂与染色体的结合C.在探究生物体维持pH稳定的机制实验中，用缓冲液和自来水作为对照，盐酸的浓度属于无关变量D.在探究pH对酶活性影响的实验中，盐酸用于调节溶液的pH，属于自变量5．某种农业害虫，雄虫的性染色体为XY，雌虫的为xx。
2015郑州二模数学理试题及答案
2015郑州二模数学理试题及答案2015年高中毕业年级第二次质量预测理科数学试题卷本试卷分第I卷（选择题）和第11卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．第I卷一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．1、设i是虚数单位，复数，则｜z｜＝A.1B.C.D. 22.集合U=｛0，1，2，3，4｝，A=｛1，2｝，B＝｛x Z｝x2一5x+4<0｝，则C u(AUB)＝A. { 0，1，3，4}B.｛1，2，3｝C.｛0，4｝D. { 0｝3.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m,n的比值＝A.1B.C.D.4．某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有A. 3种B. 6种C. 9种D.18种5.如图y= f (x)是可导函数，直线l: y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线，令g(x)=xf(x),g (x）是g(x)的导函数，则g （3）＝A. －1B. 0C. 2D. 46.有四个关于三角函数的命题：p1：sinx=siny =>x+y= 或x=y，其中真命题是A. p1，p3B. p2，p3C.p1，p4D. p2，p47.若实数x、y满足，且x=2x+y的最小值为4，则实数b的值为A.1B. 2C.D. 38.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为A. 8B. 16C. 32D. 649.已知函数f（x）＝，函数g(x) = f (x）一2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是A.［一1，3)B.〔-3，一1〕C.［-3，3）D.［一1，1)10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a，b，c，已知sin （B十A）＋sin（B－A）＝3sin2A，且，则△ABC的面积是11.如图，矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是A.｜BM｜是定值B．点M在某个球面上运动C.存在某个位置，使DE⊥A1 CD.存在某个位置，使MB//平面A1DE12.已知双曲线的左、右焦点分别是Fl，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P,Q两点，若｜PF1｜＝｜F1F2｜，且3｜PF2｜=2 ｜QF2｜，则该双曲线的离心率为A、B、C、2 D、第II卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13-21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第22-24题为选考题．考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知点A(－1，1）、B(0,3）、C(3，4），则向量在方向上的投影为．14.已知实数m是2和8的等比中项，则抛物线y=mx2的焦点坐标为15.执行如图所示的程序框图，输出的S值是．16.已知偶函数y= f (x)对于任意的x 满足f (x)cosx＋f(x)sinx>0(其中f (x)是函数f (x)的导函数），则下列不等式中成立的有三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、或演算步骤17.（本小题满分12分）已知等差数列｛｝的各项均为正数， =1，且成等比数列．（I）求的通项公式，（II）设，求数列｛｝的前n项和Tn.18.（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为2的菱形，平面ABC ⊥平面AA1 C1C, ∠A1AC=600, ∠BCA=900.（I）求证:A1B⊥AC1（II）已知点E是AB的中点，BC=AC，求直线EC1与平面平ABB1A1所成的角的正弦值。
2015年河南省高考数学试卷（理科）（全国新课标ⅰ）
2015年河南省高考数学试卷（理科）（全国新课标I）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1.（5分）设复数z满足上％i,贝lj|z|=（）l~zA.1B.C.V3D.22.（5分）sin20°cosl0°-cosl60°sinl0°=（）A.jZIB.C.D.L22223.（5分）设命题p：3nGN,n2>2%则「p为（）A.V n6N,n2>2nB.3nGN,n2^2nC.V nGN,n2^2nD.3nEN,n2=2n4.（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.己知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A.0.648B.0.432C.0.36D.0.3122c5.（5分）已知M（xo，yo）是双曲线C：上的一点，Fi,F2是C的左、右两个焦点，若则yo的取值范围是（）A.（乎争B.（华华C.（号，誓）D.（琴，誓）6.（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题："今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？"其意思为："在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？"已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,估算出堆放的米约有（）A. 14 斛B. 22 斛C. 36 斛D. 66 斛7. （5分）设D 为Z^ABC 所在平面内一点，BC=3CD＞贝J （）A. AD=-yAB+yAC B - ADABAC c - AD=yAB+yAC D - AD AB-y AC8. （5分）函数f （x ） =cos （cox+4））的部分图象如图所示，则f （x ）的单调递减区间为（ ）C. （k - k +旦），k£zD.（兀」，2k+旦），k£z 4 4 瓜4 彳9. （5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01,则输出的8 （ ）/输入//S・l/・0, m[s・s.招=5_2 m 7^7(W)A. 5B. 6C. 7D. 810. （5分）（x2+x+y ） 5的展开式中，x5y2的系数为（）A. 10B. 20C. 30D. 6011.（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20JI,12.（5分）设函数f（x）=e x（2x-1）-ax+a,其中a<l,若存在唯一的整数Xo使得f（Xo）<0,则a的取值范围是（）A.1）B.［_J-,旦）C.［旦，2）D.［旦，1）2e2e42e42e二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）13.（5分）若函数f（x）=xln（x+旗渗）为偶函数.贝"=—.2214.（5分）一个圆经过椭圆。
河南省八市重点高中2015届高三第二次联考9科答案
河南省八市重点高中2015届高三第二次联考语文.答案 (1)河南省八市重点高中2015届高三第二次联考英语.答案 (5)河南省八市重点高中2015届高三第二次联考数学（文科）.答案 (6)河南省八市重点高中2015届高三第二次联考数学（理科）.答案 (11)河南省八市重点高中2015届高三第二次联考政治参考答案 (16)河南省八市重点高中2015届高三第二次联考历史参考答案 (20)河南省八市重点高中2015届高三第二次联考地理.答案 (21)河南省八市重点高中2015届高三第二次联考物理.答案 (22)河南省八市重点高中2015届高三第二次联考化学.答案 (24)河南省八市重点高中2015届高三第二次联考生物.答案 (25)河南省八市重点高中2015届高三第二次联考语文·答案一、（9分，每小题3分）1．B。
（制作筷子的材料，最主流者为木材和竹子，春秋时期便已有牙箸、玉箸，秦汉时期有铜箸、铁箸，盛唐时有漆箸、金箸、银箸、象牙箸等，发展至今，制材可谓是五花八门。
）2．D。
（筷子古名曰“箸”，“箸”易名为“筷”有成说，与民间讳俗有关。
民间讳言“住”，故更之为“快”，又因筷子多以竹制成，就在“快”字头上添“竹”字头，“筷”字乃成；近代汉语中，单音节名词有向双音节名词发展的趋势，于是“筷子”应运而生。
）3．C。
（“昔者纣为象箸而箕子怖”，不是因为筷子只应该“大朴胜华”，而是箕子见微知著，从殷纣王使用象牙筷子吃饭一事推想到纣王可能由此骄奢淫逸，一发而不可收，终至亡国身死的结局。
因而箕子感到很可怕。
）4、答案：C解析：趣，催促。
5、C6、B解析：是前任县令中有三个因此受到牵连，其中一个还因为受牵累死去，江皋慨然承担所拖欠的赋税，让前县令离去，让牵累死去的县令的妻儿回了家。
7、（1）这些人是为饥寒所迫沦为盗贼的，安抚他们很容易，如果威逼，就会使他们跑到楚地去依靠强盗了。
(“辈、迫、走、藉”各1分，大意1分。
河南省中原名校高三数学上学期第二次联考试卷 理(含解析)
河南省中原名校2015届高三上学期第二次联考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分，每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）已知i是虚数单位，使（1+i）n为实数的最小正整数n为（）A．2 B．4 C．6 D．82．（5分）设U=R，集合A={y|y=，x＞1}，B={﹣2，﹣1，1，2}，则下列结论正确的是（）A．A∩B={﹣2，﹣1} B．（∁U A）∪B=（﹣∞，0）C．A∪B=（0，+∞）D．（∁U A）∩B={﹣2，﹣1}3．（5分）在抽查某批产品尺寸的过程中，样本尺寸数据的频率分布表如下，则m等于（）A．10 B．20 C．30 D．404．（5分）已知α，β是两个不同的平面，l，m，n是不同的直线，则正确命题为（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αB．若l∥m，m⊂α，则l∥αC．若α⊥β，α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥βD．若α⊥β，l⊥α，则l∥β5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．±x D．y=±x6．（5分）在△ABC中，点P在BC上，且，点Q是AC的中点，若，，则=（）A．（﹣2，7）B．（﹣6，21）C．（2，﹣7）D．（6，﹣21）7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．8．（5分）下列说法中，不正确的是（）A．“|x|=|y|”是“x=y”的必要不充分条件B．命题p：∀x∈R，sinx≤1，则￢p：∃x∈R，sinx＞1C．“λ≤2”是“数列a n=n2﹣λn+1（n∈N*）为递增数列”的充要条件D．命题p：所有有理数都是实数，q：正数的对数都是负数，则（￢p）∨（￢q）为真命题9．（5分）已知，则等于（）A．B．C．D．10．（5分）设x，y满足约束条件，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则+的最小值为（）A．4 B．C．D．711．（5分）（1+ax+by）n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为（）A．a=2，b=﹣1，n=5 B．a=﹣2，b=﹣1，n=6C．a=﹣1，b=2，n=6 D．a=1，b=2，n=512．（5分）已知函数f（x）=1+x﹣+﹣+…+，g（x）=1﹣x+﹣+…﹣，设F（x）=f（x+3）•g（x﹣4），且函数F（x）的零点均在区间（a＜b，a，b∈Z）内，则b ﹣a的最小值（）A．8 B．9 C．10 D．11二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）某算法的程序框如图所示，若输出结果为，则输入的实数x的值是．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）14．（5分）过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面，则此截面面积是球表面积的．15．（5分）在△ABC中，D为BC中点，若cos∠BAD=，cos∠CAD=，则=．16．（5分）如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f（x）的定义域，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“Л型函数”．那么下列函数：①f（x）=；②h（x）=lnx，x∈，∴A∩B={1，2}，（∁U A）∪B=（﹣∞，0]∪{1，2}，A∪B={﹣2，﹣1}∪（0，+∞），（∁U A）∩B={﹣2，﹣1}，故选：D．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3．（5分）在抽查某批产品尺寸的过程中，样本尺寸数据的频率分布表如下，则m等于（）A．10 B．20 C．30 D．40考点：频率分布直方图．专题：计算题．分析：根据图中各组的频率之和等于1及频率的计算公式，结合题意可得a值，再由频率的计算公式可得其频率，进而可得答案．解答：解：∵频率、频数的关系：频率=．∴∴a=0.1∵根据表中各组的频率之和等于1得，∴b=1﹣0.9=0.1，∴m=20．故选B．点评：本题考查读频数分布表的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，同时考查频率、频数的关系：频率=．4．（5分）已知α，β是两个不同的平面，l，m，n是不同的直线，则正确命题为（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αB．若l∥m，m⊂α，则l∥αC．若α⊥β，α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥βD．若α⊥β，l⊥α，则l∥β考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：由线面位置关系，逐个选项验证可得．解答：解：A选项，当l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α时，需保证m和n相交时才有l⊥α，故A不正确；B选项，若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故B不正确；C选项，当α⊥β，α∩β=l，m⊂α，m⊥l，必有m⊥β，为平面与平面垂直的性质，故C 正确；D选项，当α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故D不正确．故选：C点评：本题考查空间中的线面位置关系，属基础题．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．±x D．y=±x考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的离心率求出c与a的关系，再根据a、b、c的关系求出的值即得渐近线的方程．解答：解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，即=，∴c=a；又∵c2=a2+b2，∴a2=a2+b2，∴a2=b2，∴=；∴双曲线的渐近线方程为y=±x．故选：B．点评：本题考查了双曲线的几何性质的应用问题，解题时应灵活利用双曲线的离心率、a、b、c的关系以及渐近线的方程，是基础题．6．（5分）在△ABC中，点P在BC上，且，点Q是AC的中点，若，，则=（）A．（﹣2，7）B．（﹣6，21）C．（2，﹣7）D．（6，﹣21）考点：数量积的坐标表达式．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的坐标形式的运算法则求出，利用向量共线的充要条件求出，利用向量共线的充要条件求出解答：解：=（﹣3，2）∵点Q是AC的中点∴∵=（﹣6，21）故选B点评：本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件：⇔7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知该几何体，是过一正三棱柱的上底面一边作截面，截去的部分为三棱锥，利用间接法求出其体积．解答：解：由三视图可知该几何体，是过一正三棱柱的上底面一边作截面，截去的部分为三棱锥，而得到的几何体．原正三棱锥的底面边长为2，高为2，体积V1=Sh=×2=2．截去的三棱锥的高为1，体积V2=×1=故所求体积为V=V1﹣V2=故选A．点评：本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键8．（5分）下列说法中，不正确的是（）A．“|x|=|y|”是“x=y”的必要不充分条件B．命题p：∀x∈R，sinx≤1，则￢p：∃x∈R，sinx＞1C．“λ≤2”是“数列a n=n2﹣λn+1（n∈N*）为递增数列”的充要条件D．命题p：所有有理数都是实数，q：正数的对数都是负数，则（￢p）∨（￢q）为真命题考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A，C两个选项是判断充要性的问题，一看能否由已知推出结论，二看能否逆推回来，然后综合判断条件是结论的什么条件．对于B，是全称命题的否定，一是变量词，二是否结论；对于D，先判断命题p，q的真假，然后再判断结论中“或命题”的真假．解答：解：对于A．若|x|=|y|则x=±y，所以前者是后者的不充分条件，反之若x=y，则|x|=|y|，所以前者是后者的必要条件．故A为真命题；对于B．根据全称命题的否定方法可知，B为真命题；对于C．若数列a n=n2﹣λn+1（n∈N*）为递增数列，则只要，即λ≤3，就可以使数列{a n}为递增数列，此时不一定有λ≤2成立，故C为假命题；对于D．因为p为真，q为假，则￢p为假，￢q为真，根据或命题的真假规律方法可知（￢p）∨（￢q）为真命题，故D为真命题．故选C．点评：本题考查了全称命题的否定、简单复合命题的真假判断以及条件的充分必要性的判断方法，属于基础题．9．（5分）已知，则等于（）A．B．C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．分析：先将sin（）用两角和正弦公式化开，然后与sinα合并后用辅角公式化成一个三角函数，最后再由三角函数的诱导公式可得答案．解答：解：∵sin（）+sinα=sinα++sinα==﹣∴∴sin（）=﹣∵cos（α+）=cos（）=﹣sin（）=故选D．点评：本题主要考查两角和的正弦公式和三角函数的诱导公式．三角函数部分公式比较多，容易记混，对公式一定要强化记忆．10．（5分）设x，y满足约束条件，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则+的最小值为（）A．4 B．C．D．7考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=ax+by对应的直线进行平移，可得当x=3，y=4时，z最大值为3a+4b=7．然后利用常数代换结合基本不等式，可得当且仅当a=b=1时，+的最小值为7．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，0），B（0，1），C（3，4）设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），将直线l：z=ax+by进行平移，当l经过点C时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（3，4）=3a+4b=7，可得（3a+4b）=1因此，+=（3a+4b）（+）=（25+）∵≥2=24∴（25+24）≥×49=7，即当且仅当a=b=1时，+的最小值为7故选：D点评：本题给出二元一次不等式组，在已知目标函数z=ax+by最大值为7的情况下求+的最小值．着重考查了运用基本不等式求最值和简单的线性规划等知识，属于中档题．11．（5分）（1+ax+by）n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为（）A．a=2，b=﹣1，n=5 B．a=﹣2，b=﹣1，n=6C．a=﹣1，b=2，n=6 D．a=1，b=2，n=5考点：二项式系数的性质．分析：据（1+ax+by）n展开式中不含x的项是n个（1+ax+by）都不出ax即（1+ax+by）n 展开式中不含x的项的系数绝对值的和就是（1+by）n展开式中系数绝对值的和，同样的道理能得不含y的项的系数绝对值的和，列出方程解得．解答：解：不含x的项的系数的绝对值为（1+|b|）n=243=35，不含y的项的系数的绝对值为（1+|a|）n=32=25，∴n=5，，将各选项的参数取值代入验证知，a=1，b=2，n=5故选D．点评：利用分步乘法原理得展开式中各项的情况．12．（5分）已知函数f（x）=1+x﹣+﹣+…+，g（x）=1﹣x+﹣+…﹣，设F（x）=f（x+3）•g（x﹣4），且函数F（x）的零点均在区间（a＜b，a，b∈Z）内，则b ﹣a的最小值（）A．8 B．9 C．10 D．11考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：利用导数分别求出函数f（x）、g（x）的零点所在的区间，然后要求F（x）=f（x+3）•g（x﹣4）的零点所在区间，即求f（x+3）的零点和g（x﹣4）的零点所在区间，根据图象平移即可求得结果．解答：解∵f（0）=1＞0，f（﹣1）=1﹣1﹣﹣…﹣＜0，∴函数f（x）在区间（﹣1，0）内有零点；当x∈（﹣1，0）时，f′（x）=＞0，∴函数f（x）在区间（﹣1，0）上单调递增，故函数f（x）有唯一零点x∈（﹣1，0）；∵g（1）=1﹣1+﹣+…﹣＞0，g（2）=1﹣2+﹣+…+﹣＜0．当x∈（1，2）时，f′（x）=﹣1+x﹣x2+x3﹣…+x2013﹣x2014=＞0，∴函数g（x）在区间（1，2）上单调递增，故函数g（x）有唯一零点x∈（1，2）；∵F（x）=f（x+3）•g（x﹣4），且函数F（x）的零点均在区间（a＜b，a，b∈Z）内，∴f（x+3）的零点在（﹣4，﹣3）内，g（x﹣4）的零点在（5，6）内，因此F（x）=f（x+3）•g（x﹣3）的零点均在区间内，∴b﹣a的最小值为10．故选：C点评：本题考查函数零点判定定理和利用导数研究函数的单调性以及数列求和问题以及函数图象的平移，体现了分类讨论的思想，以及学生灵活应用知识分析解决问题的能力．属于中档题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）某算法的程序框如图所示，若输出结果为，则输入的实数x的值是．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）考点：选择结构．专题：阅读型．分析：本题考查条件结构，先根据算法语句写出分段函数，然后讨论x与1的大小选择相应的解析式，根据函数值求出自变量即可．解答：解：根据条件语句可知是计算y=，当x＞1，时log2x=，解得：x=，当x≤1，时x﹣1=，解得：无解，故答案为：．点评：本题主要考查了条件结构，以及分段函数和根据函数值求出自变量的问题，，如果将程序摆在我们的面前时，我们要从识别逐个语句，整体把握，概括程序的功能，同时考查了分类讨论的思想，属于基础题．14．（5分）过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面，则此截面面积是球表面积的．考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：利用球的半径，球心与截面圆的圆心的距离，求出截面圆的半径，截面面积和球的表面积，即可得到选项．解答：解：设球的半径为2，则球心与截面圆的圆心的距离为1；截面圆的半径为；所以截面圆的面积为3π；球的表面积为16π，所以截面面积是球表面积的．故答案为：点评：本题考查球的表面积，截面圆的面积，考查学生的计算能力，空间想象能力，属于常考题．15．（5分）在△ABC中，D为BC中点，若cos∠BAD=，cos∠CAD=，则=．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由cos∠BAD与cos∠CAD的值求出sin∠BAD与sin∠CAD的值，利用两角和与差的余弦函数公式求出cos∠BAC的值，确定出∠BAC的度数，由D为BC的中点，利用等底同高的两个三角形面积相等得到三角形ABD与三角形ACD面积相等，利用三角形面积公式列出关系式，整理得到AC=AB，在三角形ABC中，利用余弦定理列出关系式，整理得到AB=BC，即三角形ABC为等腰直角三角形，进而求出AC与AD的长，即可求出所求之比．解答：解：∵cos∠BAD=，cos∠CAD=，∴sin∠BAD=，sin∠CAD=，∴cos∠BAC=cos（∠BAD+∠CAD）=cos∠BADcos∠CAD﹣sin∠BADsin∠CAD=×﹣×=，∴∠BAC=45°，由D为BC的中点，得到S△ABD=S△ACD，即AB•ADsin∠BAD=AC•ADsin∠CAD，整理得：AC=AB，在△A BC中，利用余弦定理得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠BAC=AB2+2AB2﹣2AB2，即BC=AB，∴△ABC为等腰直角三角形，即∠ABC=90°，设AB=BC=2，则有BD=CD=1，AD=，AC=2，则==，故答案为：点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．（5分）如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f（x）的定义域，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“Л型函数”．那么下列函数：①f（x）=；②h（x）=lnx，x∈分析：利用定义能判断①②为“Л型函数”，通过举反例能推导出③④不为为“Л型函数”．解答：解：在①中，任给三角形，设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c，不妨假设a≤c，b≤c，由于＞，所以f（x）=为“Л型函数”，故①正确；在②中，任给三角形，设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c，不妨假设a≤c，b≤c，由于lna+lab=ln（ab）＞lnc，所以h（x）=lnx，x∈；所以，随机变量X的分布列为：其数学期望．点评：求离散型随机变量期望的步骤：①确定离散型随机变量的取值．②写出分布列，并检查分布列的正确与否．③求出期望．19．（12分）如图，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面，垂足E是圆O上异于C、D的点，AE=3，圆O的直径为9．（1）求证：平面ABCD⊥平面ADE；（2）求二面角D﹣BC﹣E的平面角的正切值．考点：平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题；证明题．分析：（1）欲证平面ABCD⊥平面ADE，根据面面垂直的判定定理可知在平面ABCD内一直线与平面ADE垂直，易证CD⊥平面ADE，从而得到结论；（2）过点E作EF⊥AD于点F，作FG∥AB交BC于点G，连接GE，根据二面角平面角的定义可知∠FGE是二面角D﹣BC﹣E的平面角，在Rt△EFG中，求出此角的正切值即可．解答：（1）证明：∵AE垂直于圆O所在平面，CD在圆O所在平面上，∴AE⊥CD．在正方形ABCD中，CD⊥AD，∵AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE．∵CD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ADE．（2）∵CD⊥平面ADE，DE⊂平面ADE，∴CD⊥DE．∴CE为圆O的直径，即CE=9．设正方形ABCD的边长为a，在Rt△CDE中，DE2=CE2﹣CD2=81﹣a2，在Rt△ADE中，DE2=AD2﹣AE2=a2﹣9，由81﹣a2=a2﹣9，解得，．∴．过点E作EF⊥AD于点F，作FG∥AB交BC于点G，连接GE，由于AB⊥平面ADE，EF⊂平面ADE，∴EF⊥AB．∵AD∩AB=A，∴EF⊥平面ABCD．∵BC⊂平面ABCD，∴BC⊥EF．∵BC⊥FG，EF∩FG=F，∴BC⊥平面EFG．∵EG⊂平面EFG，∴BC⊥EG．∴∠FGE是二面角D﹣BC﹣E的平面角．在Rt△ADE中，，AE=3，DE=6，∵AD•EF=AE•DE，∴．在Rt△EFG中，，∴．故二面角D﹣BC﹣E的平面角的正切值为．点评：本小题主要考查空间线面关系、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．20．（12分）设Q是直线y=﹣1上的一个动点，O为坐标原点，过Q作x轴的垂线l，过O 作直线OQ的垂线交直线l于P．（1）求点P的轨迹C的方程．（2）过点A（﹣2，4）作圆B：x2+（y﹣2）2=1的两条切线交曲线C于M、N两点，试判断直线MN与圆B的位置关系．考点：圆与圆锥曲线的综合；轨迹方程；直线与圆的位置关系．专题：综合题．分析：（1）设P（x，y），则Q（x，﹣1），由OP⊥OQ得，由此能得到P点的轨迹C的方程．（2）设过点A（﹣2，4）的直线为y=k（x+2）+4，把直线方程y=k（x+2）+4代入抛物线方程y=x2得x2﹣kx﹣2k﹣4=0可得另一个根为x'=k+2，由相切知3k2+8k+3=0．由根与系数的关系能导出直线MN的方程为4x﹣3y+1=0，由此知直线MN与圆B相切．解答：解：（1）设P（x，y），则Q（x，﹣1），由OP⊥OQ，得，由此能得到P点的轨迹C的方程为x2=y．（2）：设过点A（﹣2，4）的直线为y=k（x+2）+4，把直线方程y=k（x+2）+4代入抛物线方程y=x2．得x2﹣kx﹣2k﹣4=0，可得另一个根为x'=k+2，由相切知3k2+8k+3=0．设k1，k2是方程的两个根，由根与系数的关系能导出直线MN的方程为4x﹣3y+1=0，由此知直线MN与圆B相切．点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题时要注意公式的合理运用．21．（12分）已知函数f（x）=（2ax﹣x2）e ax，其中a为常数，且a≥0．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值点；（Ⅱ）若函数f（x）在区间上单调递减，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：（I）由题意把a代入，先使得函数解析式具体，再利用函数在定义域下导函数随自变量x的范围不同其正负符号也不同，得到函数f（x）的单调性的判断，从而零用极值的定义得到函数的极值；（II）由题意等价转化为函数在区间上恒成立问题，最终归结为求函数在定义域下求最值．解答：解法一：（Ⅰ）依题意得f（x）=（2x﹣x2）e x，所以f'（x）=（2﹣x2）e x，令f′（x）=0，得x=±，当时，f′（x）＜0，函数f（x）在此区间单调递减；当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在此区间上单调递增；当x∈时，f′（x）＜0，函数f（x）在此区间上单调递减；由上可知，x=﹣是函数f（x）的极小值点，x=是函数f（x）的极大值点．（Ⅱ）f'（x）=e ax，由函数f（x）在区间上单调递减可知：f′（x）≤0对任意恒成立，当a=0时，f′（x）=﹣2x，显然f'（x）≤0对任意恒成立；当a＞0时，f′（x）≤0等价于ax2﹣（2a2﹣2）x﹣2a≥0，因为，不等式ax2﹣（2a2﹣2）x﹣2a≥0等价于x﹣令g（x）=x﹣则g'（x）=1+，在上显然有g′（x）＞0恒成立，所以函数g（x）在单调递增，所以g（x）在上的最小值为由于f′（x）≤0对任意恒成立等价于x﹣对任意恒成立，需且只需g（x）min≥，即0≥，解得﹣1≤a≤1，因为a＞0，所以0＜a≤1．综合上述，若函数f（x）在区间上单调递减，则实数a的取值范围为0≤a≤1．点评：（I）此题考查了利用导函数求其函数的单调增减区间，还考查了求解一元二次不等式；（II）此题首先考查了数学常考的等价转化的数学思想，还考查了函数在定义域下恒成立问题的实质为求函数在定义域下的最值．请考生在22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按22题计分。
2015年河南省开封市高考数学二模试卷(理科)
2015年河南省开封市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题.1．设全集U =R ，集合(){}2lg 1M x y x ==-，{}02N x x =<<，则()U N M ð =（ ） A.{}21x x -<≤ B.{}01x x <≤ C.{}11x x -≤≤ D.{}1x x <答案：B考点：交集及其运算． 专题：函数的性质及应用．分析：由全集U =R ，集合(){}{}2lg 111M x y x x x huox ==-=<->，先求出U M ð，再由集合N 能够求出()U N M ð．解答：解： 全集U =R ，集合(){}{}2lg 111M x y x x x huox ==-=<->，{}11U M x x ∴=-≤≤ð， 集合{}02N x x =<<， ()()01U N M x x ∴=< ð≤．故选B ．点评：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2.若()12i i=1bi a +-，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则i a b +=（ ）A.1i 2+B.5C.54答案：D考点：点的极坐标和直角坐标的互化；复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出． 解答：解：()12i i=1bi a +- ，2i=1bi a ∴-+-， 21a ∴-=，1b =-，解得12a =-，1b =-．则11i i i 22a b +=--=+=．故选：D ．点评：本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式，属于基础题． 3.下列有关命题的说法正确的是（ ）A.命题“x ∀∈R ，均有210x x -+>”的否定是：“0x ∃∈R ，使得20010x x -+<”B.在ABC △ 中，“sin sin A B >”是“A B >”成立的充要条件C.线性回归方程y b a =+ 对应的直线一定经过其样本数据点()11,x y 、()22,x y 、 ，(),n n x y 中的一个D.在22⨯列联表中，ad bc -的值越接近0，说明两个分类变量有关的可能性就越大 答案：B考点：命题的真假判断与应用． 专题：简易逻辑．分析：A.写出命题“x ∀∈R ，均有210x x -+>”的否定，可判断A ；B.在ABC △ 中，利用正弦定理可知sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，可判断B ；C.线性回归方程y b a =+ 对应的直线不一定经过其样本数据点()11,x y 、()22,x y 、 ，(),n n x y 中的任何一个，可判断C ；D.在22⨯列联表中，ad bc -的值越接近0，说明两个分类变量有关的可能性就越小，可判断D ．解答：解：对于A ，命题“x ∀∈R ，均有210x x -+>”的否定是：“0x ∃∈R ，使得20010x x -+≤”，故A 错误；对于B ，在ABC △ 中，由正弦定理知，sin sin A B a b >⇔>，又a b A B >⇔>，所以在ABC △ 中，“sin sin A B >”是“A B >”成立的充要条件，B 正确；对于C ，线性回归方程y ba =+ 对应的直线不一定经过其样本数据点()11,x y 、()22,x y 、 、(),nnx y 中的一个，故C 错误；对于D ，在22⨯列联表中，ad bc -的值越接近0，说明两个分类变量有关的可能性就越小，故D 错误． 综上所述，A 、B 、C 、D 四个选项中，只有B 正确， 故选：B ．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查命题的否定、充分必要条件、线性回归方程及列联表的理解与应用，属于中档题．4.已知0a b >>，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C 的离心率之积1C 、2C 的离心率分别为（ ）A.12，3 2 D.14，答案：B考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab 关系，即可求解双曲线的渐近线方程．解答：解：0a b >>，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，1C双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，2C ，1C 与2C ，=，122b a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，b a =，则1C 的离心率c a =则2C 的离心率：c a =.故选：B ．点评：本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查．5.某几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此几何体的外接球的表面积为（ ）正视图侧视图俯视图A.3πB.4πC.2πD.5π2答案：A考点：由三视图求面积、体积． 专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，该几何体是正方体的内接正四棱锥．因此此几何体的外接球的直径2R =正方体的对解答：解：如图所示，该几何体是正方体的内接正四棱锥． 因此此几何体的外接球的直径2R =其表面积24π3πS R ==． 故选：A ．点评：本题考查了正方体的内接正四棱锥、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.函数()()()πsin 0,2f x x x ωφωφ⎛⎫=+∈>< ⎪⎝⎭R 的部分图象如图所示，如果1x 、2ππ,63x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且()()12f x f x =，则()12f x x +等于（ ）A.12D.1答案：C考点：由()sin y A x ωφ=+的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：通过函数的图象求出函数的周期，利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相，得到函数的解析式，利用函数的图象与函数的对称性求出()12f x x +即可． 解答：解：由图观察可知，ππ2π36T ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，2π2Tω∴==，函数的图象经过π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴可得：π0sin 3φ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，π2φ< ，∴可解得：π3φ=， ()πsin 23f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，12ππ2126x x +=⨯=，()122πsin3f x x ∴+==． 故选：C ．点评：本题考查三角函数的解析式的求法，函数的图象的应用，函数的对称性，考查计算能力，属于中档题．7.给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4 答案：C考点：选择结构．专题：图表型；分类讨论． 分析：由已知的流程图，我们易得这是一个计算并输出分段函数函数值的程序，我们根据条件，分2x ≤，25x <≤，5x >三种情况分别讨论，满足输入的x 值与输出的y 值相等的情况，即可得到答案． 解答：解：当2x ≤时，由2x x =得：0x =，1满足条件； 当25x <≤时，由23x x -=得：3x =，满足条件；当5x >时，由1x x=得：1x =±，不满足条件，故这样的x 值有3个． 故选C ．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，我们要先分析流程图（或伪代码）判断其功能，并将其转化为数学问题，建立数学模型后，用数学的方法解答即可得到答案．8.有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花不同的摆放种数是（ ） A.12 B.24 C.36 D.48考点：排列、组合及简单计数问题．分析：由题设中的条件知，可以先把黄1与黄2必须相邻，可先将两者绑定，又白1与白2不相邻，可把黄1与黄2看作是一盆菊花，与白1白2之外的菊花作一个全排列，由于此两个元素隔开了三个空，再由插空法将白1白2菊花插入三个空，由分析过程知，此题应分为三步完成，由计数原理计算出结果即可．解答：解：由题意，第一步将黄1与黄2绑定，两者的站法有2种，第二步将此两菊花看作一个整体，与除白1，白2之外的一菊花看作两个元素做一个全排列有22A 种站法，此时隔开了三个空，第三步将白1，白2两菊花插入三个空，排法种数为23A则不同的排法种数为22232A A 22624⨯⨯=⨯⨯=． 故选B ．点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是本题中所用到的绑定，与插空，不同的计数问题中所采用的技巧，将这些技巧与具体的背景结合起来，熟练掌握这些技巧．9.若sin cos θθ+πtan 3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ）A.1B.2C.1-D.3答案：B考点：两角和与差的正切函数． 专题：三角函数的求值．分析：利用三角恒等变换可得πsin cos 4θθθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭()π2π+4k k θ=∈Z ，再利用两角和的正切计算即可．解答：解：πsin cos 4θθθθθ⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， πsin 14θ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，()ππ2π+42k k θ∴+=∈Z ．()π2π+4k k θ∴=∈Z ．πππtan tan 343θ⎛⎫⎛⎫∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππtan tan 1432ππ1tan tan 43+===--故选：B ．点评：本题考查三角恒等变换的应用与两角和与差的正切函数，求得()π2π+4k k θ=∈Z 是关键，考查化归思想与运算求解能力，属于中档题．10.三棱锥S ABC -中，90SBA SCA ∠=∠=︒，ABC △是斜边AB a =的等腰直角三角形，则以下结论中： ①异面直线SB 与AC 所成的角为90︒． ②直线SB ⊥平面ABC ； ③平面SBC ⊥平面SAC ；④点C 到平面SAB 的距离是12a ．其中正确的个数是（ ）SBAA.1B.2C.3D.4答案：D考点：平面与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角． 专题：空间位置关系与距离．分析：由条件根据异面直线所成的角，直线和平面垂直的判定定理、性质定理，平面和平面垂直的判定定理，判断各个选项是否正确，从而得出结论．解答：解：由题意知AC ⊥平面SBC ，故AC SB ⊥，故①正确；再根据SB AC ⊥、SB AB ⊥，可得SB ⊥平面ABC ，平面SBC ⊥平面SAC ，故②③正确；取AB 的中点E ，连接CE ，可证得CE ⊥平面SAB ，故CE 的长度即为C 到平面SAB 的距离12a ，④正确， 故选：D ．点评：本题主要考查异面直线所成的角，直线和平面垂直的判定定理、性质定理，平面和平面垂直的判定定理的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．11.设实数x 、y 满足26260,0x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥≥，则{}max 231,22z x y x y =+-++的取值范围是（ ）A.[]2,5B.[]2,9C.[]5,9D.[]1,9-答案：B考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用作差法求出z 的表达式，然后根据平移，根据数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图： ()231223x y x y x y +--++=+-，即{}231,30max 231,2222,30x y x y z x y x y x y x y +-+-⎧=+-++=⎨+++-<⎩≥，其中直线30x y +-=过A ，C 点．在直线30x y +-=的上方，平移直线231z x y =+-（红线），当直线231z x y =+-经过点()2,2B 时，直线231z x y =+-的截距最大，此时z 取得最大值为223219z =⨯+⨯-=．在直线30x y +-=的下方，平移直线22z x y =++（蓝线），当直线22z x y =++经过点()0,0O 时， 直线22z x y =++的截距最小， 此时z 取得最小值为022z =+=． 即29z ≤≤， 故选：B ．点评：本题主要考查线性规划的应用，根据z 的几何意义确定对应的直线方程是截距本题的关键．难12.已知函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，且当(),0x ∈-∞时，()()'0f x xf x +<成立（其中()'f x 是()f x 的导函数），若()()0.30.333a f =⋅，()()ππlog 3log 3b f =⋅，3311log log 99c f ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A.a b c >>B.c a b >>C.c b a >>D.a c b >> 答案：B考点：函数单调性的性质；导数的运算；不等式比较大小． 专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由函数()1y f x =-的图象关于点看()1,0对称，知()f x 为奇函数，当(),0x ∈-∞时，()()'0f x xf x +<成立，所以()xf x 为减函数，由此能判断a ，b ，c 的大小关系．解答：解： 当(),0x ∈-∞时不等式()()'0f x xf x +<成立，即：()()'0xf x <， ()xf x ∴在(),0-∞上是减函数．又 函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，∴函数()y f x =的图象关于点()0,0对称， ∴函数()y f x =是定义在R 上的奇函数()xf x ∴是定义在R 上的偶函数 ()xf x ∴在()0,+∞上是增函数．又0.323131log 30log 29>>>>=- ，0.33212log 31log 309=->>>>，()()()0.30.333ππ11log log 33log 3log 399f f f ⎛⎫⎛⎫∴-->⋅>⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()()0.30.333ππ11log log 33log 3log 399f f f ⎛⎫⎛⎫>⋅>⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即：c a b >> 故选B ．点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数性质的合理运用． 二、填空题 13.设e 11a dx x =⎰，则二项式621ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为 ．答案：15考点：二项式系数的性质；定积分． 专题：计算题；二项式定理．分析：求出a ，在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．解答：解：e 1e1ln 11a dx x x ===⎰，∴二项式662211ax x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中的通项公式为()12316C 1r rr r T x -+=⋅-⋅， 令1230r -=，求得4r =，故展开式中的常数项为46C 15=， 故答案为：15．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3π4C =，sin A =，5c a -=考点：余弦定理；正弦定理． 专题：计算题；解三角形．分析：由已知可求得cos A ，sin B ，sin C，由正弦定理得sin sin a A c C ==，又因为5c a -=而可求得a ，即可由正弦定理求sina Bb A =的值． 解答：解：因为3π4C =，sin A =，所以cos A =，由三角形内角和得π4B A =-，所以πππsin sin sin cos cos sin 444B A A A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，已知3π4C =，所以sin C =，由正弦定理得sin sin a Ac C ==，又因为5c a -=所以5c =，a =由sin B=所以sin sin a Bb A=．点评：本题主要考查了正弦定理、两角差的正弦公式的应用，属于基本知识的考查．15.若函数()log 4a a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，（0a >且a ≠1）的值域为R ，则实数a 的取值范围是 ．答案：()(]0,11,4考点：对数函数的值域与最值． 专题：计算题．分析：函数()log 4a a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，（0a >且a ≠1）的值域为R ，则其真数在实数集上恒为正，将这一关系转化为不等式求解参数的范围即可．解答：解：函数()log 4a a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，（0a >且1a ≠）的值域为R ，其真数在实数集上恒为正，即40a x x +->恒成立，即存在x ∈R 使得4ax x+≤，又0a >且1a ≠. 故可求ax x +的最小值，令其小于等于4ax x+ ≥4∴，解得4a ≤，故实数a 的取值范围是()(]0,11,4 .故应填()(]0,11,4点评：考查存在性问题的转化，请读者与恒成立问题作比较，找出二者逻辑关系上的不同．16.已知a ，b 是单位向量，0a b ⋅= ，若向量c 与向量a 、b 共面，且满足1a b c --= ，则c的取值范围是 ．答案：1,1⎤⎦考点：平面向量数量积的运算． 专题：计算题；平面向量及应用．分析：由a ，b 是单位向量，0a b ⋅= ．可设()1,0a = ，()0,1b = ，(),c x y = ，由向量c 满足1c a b -+= ，可得()()22111x y -++=．其圆心()1,1C -，半径1r =．利用OC r c OC r -+ ≤即可得出．解答：解：由a ，b 是单位向量，0a b ⋅=，可设()1,0a = ，()0,1b = ，(),c x y =，向量c 满足1c a b -+=，()1,11x y ∴-+=，1，即()()22111x y -++=． 其圆心1,1C -，半径1r =．OC∴=11c =≤．c ∴的取值范围是1,1⎤⎦．故答案为：1,1⎤⎦．点评：本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、点与圆上的点的距离大小关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题． 三、解答题17.等差数列{}n a 中公差0d ≠，13a =，1a 、4a 、13a 成等比数列． （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设{}n a 的前n 项和为n S ，求：12111nS S S +++ ． 考点：数列的求和；等比数列的通项公式；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（I ）1a 、4a 、13a 成等比数列．可得24113a a a =，利用等差数列的通项公式可得()()2333312d d +=+，解出即可．（II ）由（I ）可得：()()32122n n n S n n ++==++，111122n S n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭．利用“裂项求和”即可得出． 解答：解：（I ）1a 、4a 、13a 成等比数列．24113a a a ∴=，()()2333312d d ∴+=+， 化为220d d -=，0d ≠， 解得2d =．()32121n a n n ∴=+-=+． （II ）由（I ）可得：()()32122n n n S n n ++==++，111122n S n n ⎛⎫∴=- ⎪+⎝⎭. 1211111111111111232435112n S S S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭． ()()3234212n n n +=-++． 点评：本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”，考查了计算能力，属于基础题．18.公司开发一新产品有甲、乙两种型号，现分别对这两种型号产品进行质量检测，从它们的检测数据中随机抽取8次（数值越大产品质量越好），记录如下： 甲：8.3，9.0，7.9，7.8，9.4，8.9，8.4，8.3 乙：9.2，9.5，8.0，7.5，8.2，8.1, 9.0，8.5 （Ⅰ）画出甲、乙两产品数据的茎叶图；（Ⅱ）现要从甲、乙中选一种型号产品投入生产，从统计学角度，你认为生产哪种型号产品合适？简单说明理由；（Ⅲ） 若将频率视为概率，对产品乙今后的三次检测数据进行预测，记这三次数据中不低于8.5分的次数为ξ，求ξ的分布列及期望E ξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；极差、方差与标准差；离散型随机变量及其分布列． 专题：概率与统计． 分析：（Ⅰ）由已知数据能作出甲、乙两产品数据的茎叶图．（Ⅱ）分别求出x 甲，x 乙，2S 甲，2S 乙，得到=x x 甲乙，22S S <甲乙，这说明甲的数据更加稳定，故生产甲产品合适．（Ⅲ）依题意，乙不低于8.5分的频率为12，ξ的可能取值为0，1，2，3，13,2B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭,由此能求解答：解：（Ⅰ）由已知作出甲、乙两产品数据的茎叶图如图：（Ⅱ）()1=8.39.07.97.89.48.98.48.3=8.58x +++++++甲，()1=9.29.58.07.58.28.19.08.5=8.58x +++++++乙，()()()()()()()()222222222=18.38.59.08.57.98.57.88.59.48.58.98.58.48.58.38.58=0.27S ⎡⎤-+-+-+-+-+-+-+-⎣⎦甲，()()()()()()()()222222222=19.28.59.58.58.08.57.58.58.28.58.18.59.08.58.58.58=0.405S ⎡⎤-+-+-+-+-+-+-+-⎣⎦乙，=x x 甲乙，22S S <甲乙， ∴甲和乙的质量数值的平均数相同，但甲的方差较小， 说明甲的数据更加稳定，故生产甲产品合适．（Ⅲ）依题意，乙不低于8.5分的频率为12，ξ的可能取值为0，1，2，3，则13,2B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，()30311=0=C 28P ξ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，()2131131C 228P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()2231132C 228P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()333113C 28P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，ξ∴的分布列为：3313012388882E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．0250125598740943398乙甲点评：本题主要考查茎叶图、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力．19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AC BB ⊥，11AB A B AC ===，1BB （Ⅰ）求证：1A B ⊥平面ABC ；（Ⅱ）若P 是棱11B C 的中点，求二面角1P AB A --的余弦值．C 1B 1A 1PCB考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定． 专题：空间位置关系与距离；空间角． 分析：（Ⅰ）由已知得AC ⊥平面11ABB A ，从而1AC A B ⊥，由勾股定理得1A B AB ⊥，从而能证明1A B ⊥平面ABC ．（Ⅱ）以B 为原点，以BC ，BA ，1BB 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角1P AB A --的余弦值．解答：（Ⅰ）证明： 在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AC BB ⊥， 又1AB BB B = ，AC ∴⊥平面11ABB A ， 又1A B ⊂平面11ABB A ，1AC A B ∴⊥， 11AB A B AC === ，1BB =22211AB A B AA ∴+=，1A B AB ∴⊥，又AC AB A = ，1A B ∴⊥平面ABC ．（Ⅱ）解：以11AC ，11A B ，1BA 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图1A xyz -直角坐标系， ()10,0,0A ，11,,022P ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,0,1B -，()110,1,0AB A B == ，11,,122PB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，设平面PAB 的法向量(),,n x y z =， 则0n AB ⋅=，即0y =， ()11,,,,1022n PB x y z ⎛⎫⋅=⋅---= ⎪⎝⎭，即102x z --=，取1z =，2x =-，()2,0,1n ∴=-，设平面11ABA B 的法向量()π1,0,0=，cos ,πn m n n m⋅=⋅． ∴二面角1P AB A --．点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20.已知函数()()()22211e x f x ax a x a a ⎡⎤=+-+--⎣⎦（其中a ∈R ）．（Ⅰ）若0x =为()f x 的极值点，求a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，解不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 专题：计算题；导数的概念及应用；导数的综合应用． 分析：（Ⅰ）求导()()22'1e x f x ax a x a ⎡⎤=+++⎣⎦，从而可得0a =；（Ⅱ）当0a =时，不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭可化为()()211e 112x x x x x ⎛⎫->-++ ⎪⎝⎭，即()211e 102x x x x ⎛⎫⎛⎫--++>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()21e 12x g x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，()()'e 1x h x g x x ==--，从而由导数解不等式．解答：解：（Ⅰ）()()()22211e x f x ax a x a a ⎡⎤=+-+--⎣⎦．()()22'1e x f x ax a x a ⎡⎤∴=+++⎣⎦，0x = 为()f x 的极值点，()0'0e 0f a ∴=⋅=， 0a ∴=；经检验成立；（Ⅱ）当0a =时，不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭可化为()()211e 112x x x x x ⎛⎫->-++ ⎪⎝⎭，即()211e 102x x x x ⎛⎫⎛⎫--++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()21e 12x g x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，()()'e 1x h x g x x ==--，()'e 1x h x =-；当0x >时，()'e 10x h x =->，当0x <时，()'e 10x h x =-<； 故()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增， 所以()()00h x h >=；故()g x 在R 上单调递增，且()00g =； 故21e 102x x x ⎛⎫-++> ⎪⎝⎭，0x >；21e 102x x x ⎛⎫-++< ⎪⎝⎭，0x <；所以原不等式的解集为{}01x x huox <>．点评：本题考查了导数的综合应用及不等式的解法的应用，属于中档题． 21.已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，抛物线上一点A 的横坐标为()110x x >，过点A 作抛物线C 的切线1l 交x 轴于点D ，交y 轴于点Q ，交直线:2pl y =于点M ，当2FD =时，60AFD ∠=︒． （1）求证：AFQ △为等腰三角形，并求抛物线C 的方程； （2）若B 位于y 轴左侧的抛物线C 上，过点B 作抛物线C 的切线2l 交直线1l 于点P ，交直线l 于点N ，求PMN △面积的最小值，并求取到最小值时的1x 值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程． 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设211,2x A x p ⎛⎫⎪⎝⎭，则A 处的切线方程为2111:2x x l y x p p =-，即可得到得D ，Q 的坐标，利用两点间的距离公式即可得到FQ AF =．由点A ，Q ，D 的坐标可知：D 为线段AQ 的中点，利用等腰三角形的性质可得FD AQ ⊥，可得AF ，利用两点间的距离概率及点A 满足抛物线的方程即可得出．（2）设()()222,0B x y x <，则B 处的切线方程为22224x x y x =-，与切线1l 的方程联立即可得到点P 的坐标，同理求出点M ，N 的坐标．进而得到三角形PMN 的面积12S MN h =⋅△（h 为点P 到MN 的距离），利用表达式及其导数即可得到最小值，即可得出1x 的值．解答：解：（1）设211,2x A x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则A 处的切线方程为2111:2x x l y x p p =-， 可得：1,02x D ⎛⎫⎪⎝⎭，210,2x Q p ⎛⎫- ⎪⎝⎭2122p x FQ AF p ∴=+=；AFQ ∴△为等腰三角形．由点A ，Q ，D 的坐标可知：D 为线段AQ 的中点，4AF ∴=，得：2122142216p x px p ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 2p ∴=，2:4C x y =．（2）设()()222,0B x y x <，则B 处的切线方程为22224x x y x =-,联立2222112424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得到点1212,24x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立211241x x y x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得到点112,12x M x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 同理222,12x N x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，设h 为点P 到MN 的距离，则()()22112121212124112212222416x x x x x x x x S MN h x x x x --⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯+---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△ ① 设AB 的方程为y kx b =+，则0b >，由24y kx b x y=+⎧⎨=⎩得到2440x kx b --=， 得121244x x k x x b +=⎧⎨=-⎩代入①得：S △要使面积最小，则应0k =，得到()1b S b+=△②t ，得()()223112t S t t t t t+==++△，则()()()22'2311t t S t t -+=△，所以当0,t ⎛∈ ⎝⎭时，()S t 单调递减；当t ⎫∈+⎪⎪⎝⎭∞时，()S t 单调递增，所以当t =S 213b t ==，0k =，所以113y=，解得1x =．故PMN △面积取得最小值时的1x 值为．点评：本题综合考查了利用导数的几何意义得到抛物线的切线的斜率、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、等腰三角形的性质、利用导数研究函数的单调性、极值与最值等知识与方法，熟练掌握其解题模式是解题的关键． 【选修4-1：几何证明选讲】22.如图，ABC △是直角三角形，90ABC ∠=︒，以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连接OD 交圆O 于点M ．（1）求证：O 、B 、D 、E 四点共圆； （2）求证：22DE DM AC DM AB =⋅+⋅．MECBAO考点：与圆有关的比例线段． 专题：证明题；直线与圆．分析：（1）连接BE 、OE ，由直径所对的圆周角为直角，得到BE EC ⊥，从而得出12DE BD BC ==，由此证出ODEQD ODB △△，得90OED OBD ∠=∠=︒，利用圆内接四边形形的判定定理得到O 、B 、D 、E 四点共圆；（2）延长DO 交圆O 于点H ，由（1）的结论证出DE 为圆O 的切线，从而得出2DE DM DH =⋅，再将DH 分解为DO OH +，并利用12OH AB =和12DO AC =，化简即可得到等式22DE DM AC DM AB =⋅+⋅成立． 解答：解：（1）连接BE 、OE ，则AB 为圆O 的直径，90AEB ∴∠=︒，得BE EC ⊥， 又D 是BC 的中点，ED ∴是Rt BEC △的中线，可得DE BD =．又OE OB = ，OD OD =，ODEQD ODB ∴∠△． 可得90OED OBD ∠=∠=︒，因此，O 、B 、D 、E 四点共圆； （2）延长DO 交圆O 于点H ，DE OE ⊥，OE 是半径，DE ∴为圆O 的切线．可得()2DE DM DH DM DO OH DM DO DM OH =⋅=⋅+=⋅+⋅. 12OH AB =，OD 为ABC △的中位线，得12DO AC =， 21122DE DM AC DM AB ⎛⎫⎛⎫∴=⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得22DE DM AC DM AB =⋅+⋅．HOACEM点评：本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等知识，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23.在直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为415315x ty t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为π4ρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭．（1）求直线I被曲线C所截得的弦长；（2）若(),M x y是曲线C上的动点，求x y+的最大值．考点：参数方程化成普通方程．专题：计算题；直线与圆；坐标系和参数方程．分析：（1）将曲线C化为普通方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理，即可求弦长．（2）运用圆的参数方程，设出M，再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得到最大值．解答：解：（1）直线I的参数方程为415315x ty t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（t为参数），消去t，可得，3410x y++=；由于π4ρθθθ⎫⎛⎫=+=⎪⎪⎪⎝⎭⎭,即有2cos sinρρθρθ=-，则有220x y x y+-+=，其圆心为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭，半径为r=，圆心到直线的距离110d=，75；（2）可设圆的参数方程为：1212xyθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（θ为参数），则设11,22Mθθ⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，则πsin4x yθθθ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，由于θ∈R，则x y+的最大值为1．点评：本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义及运用，考查学生的计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24.已知函数()1f x x=-（Ⅰ）解不等式()()248f x f x++≥；（Ⅱ）若1a<，1b<，0a≠，求证：()f ab bfa a⎛⎫> ⎪⎝⎭．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用；推理和证明．分析：（Ⅰ）依题意，()()32,31242134,32132,2x x f x f x x x x x x x ⎧⎪--<-⎪⎪++=-++=--<⎨⎪⎪+⎪⎩≤≥,利用分段函数分段解不等式()()248f x f x ++≥，即可求得其解集．（Ⅱ）1a <，1b <，()()1f ab b b f f ab a f ab a b aa a ⎛⎫⎛⎫>⇔>⇔->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 要证该不等式成立，只需证明2210ab a b --->即可．解答：（Ⅰ）解：()()32,31242134,32132,2x x f x f x x x x x x x ⎧⎪--<-⎪⎪++=-++=--<⎨⎪⎪+⎪⎩≤≥,当3x <-时，由328x --≥，解得103x -≤；当132x -<≤时，由48x -+≥，解得x ∈∅；当12x ≥时，由328x +≥，解得2x ≥所以，不等式()()248f x f x ++≥的解集为1023x x huox ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤≥；（Ⅱ）证明：()f ab b f aa ⎛⎫> ⎪⎝⎭等价于()b f ab a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即1ab a b ->-，因为1a <，1b <，所以()()()()222222221212110ab a b a b ab a ab b a b ---=-+--+=-->, 所以，1ab a b ->-，故所证不等式成立．点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，考运算及推理、证明能力，属于中档题．。
2015年河南省郑州市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2015年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．1．（5分）设i是虚数单位，复数z＝，则|z|＝（）A．1B．C．D．22．（5分）集合U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则∁U（A∪B）＝（）A．{0，1，3，4}B．{1，2，3}C．{0，4}D．{0}3．（5分）已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m、n的比值＝（）A．1B．C．D．4．（5分）某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A．3种B．6种C．9种D．18种5．（5分）如图，y＝f（x）是可导函数，直线L：y＝kx+2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，令g（x）＝xf（x），g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）＝（）A．﹣1B．0C．2D．46．（5分）有四个关于三角函数的命题：p1：sin x＝sin y⇒x+y＝π或x＝y；p2：∀x∈R，sin2+cos2＝1；p3：x，y∈R，cos（x﹣y）＝cos x﹣cos y；p4：∀x∈[0，]，＝cos x．其中真命题是（）A．p1，p2B．p2，p3C．p1，p4D．p2，p47．（5分）若实数x、y满足且z＝2x+y的最小值为4，则实数b的值为（）A．1B．2C．D．38．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8πB．16πC．32πD．64π9．（5分）已知函数f（x）＝函数g（x）＝f（x）﹣2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，3）B．[﹣3，﹣1]C．[﹣3，3）D．[﹣1，1）10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin（B+A）+sin（B ﹣A）＝2sin2A，且c＝，C＝，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．或11．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（）A．|BM|是定值B．点M在某个球面上运动C．存在某个位置，使DE⊥A1CD．存在某个位置，使MB∥平面A1DE12．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF1|＝|F1F2|，且3|PF2|＝2|QF2|，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知点A（﹣1，1）、B（0，3）、C（3，4），则向量在方向上的投影为．14．（5分）已知实数m是2和8的等比中项，则抛物线y＝mx2的焦点坐标为．15．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为．16．（5分）已知偶函数y＝f（x）对于任意的x∈[0，）满足f′（x）cos x+f（x）sin x＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式中成立的有．（1）f（﹣）＜f（）（2）f（﹣）＞f（﹣）（3）f（0）＜f（﹣）（4）f（）＜f（）三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）已知等差数列{a n}的各项均为正数，a1＝1，且a3，a4+，a11成等比数列．（Ⅰ）求a n的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为2的菱形，平面ABC⊥平面AA1C1C，∠A1AC＝60°，∠BCA＝90°．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；（Ⅱ）已知点E是AB的中点，BC＝AC，求直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值．19．（12分）某商场每天（开始营业时）以每件150元的价格购入A商品若干件（A商品在商场的保鲜时间为10小时，该商场的营业时间也恰好为10小时），并开始以每件300元的价格出售，若前6小时内所购进的商品没有售完，则商店对没卖出的A商品以每件100元的价格低价处理完毕（根据经验，4小时内完全能够把A商品低价处理完毕，且处理完后，当天不再购进A商品）．该商场统计了100天A商品在每天的前6小时内的销售量，制成如下表格（注：视频率为概率）．（其中x+y＝70）（Ⅰ）若某该商场共购入6件该商品，在前6个小时中售出4件．若这些产品被6名不同的顾客购买，现从这6名顾客中随机选2人进行回访，则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是多少？（Ⅱ）若商场每天在购进5件A商品时所获得的平均利润最大，求x的取值范围．20．（12分）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0），F 1、F2为左右焦点，B为短轴端点，且＝4，离心率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，且满足|+|＝|﹣|？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝ax+ln（x﹣1），其中a为常数．（Ⅰ）试讨论f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＝时，存在x使得不等式|f（x）|﹣≤成立，求b的取值范围．22．（10分）如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB＝BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC•BC＝AD•AE；（Ⅱ）若AF＝2，CF＝2，求AE的长．23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（α为参数），若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）＝t（t为参数）．（Ⅰ）求曲线M和N的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．24．已知函数f（x）＝|3x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）已知m+n＝1（m，n＞0），若|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．2015年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．1．（5分）设i是虚数单位，复数z＝，则|z|＝（）A．1B．C．D．2【解答】解：∵z＝＝＝i（1﹣i）＝i+1，则|z|＝．故选：B．2．（5分）集合U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则∁U（A∪B）＝（）A．{0，1，3，4}B．{1，2，3}C．{0，4}D．{0}【解答】解：集合B中的不等式x2﹣5x+4＜0，变形得：（x﹣1）（x﹣4）＜0，解得：1＜x＜4，∴B＝{2，3}，∵A＝{1，2}，∴A∪B＝{1，2，3}，∵集合U＝{0，1，2，3，4}，∴∁∪（A∪B）＝{0，4}．故选：C．3．（5分）已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m、n的比值＝（）A．1B．C．D．【解答】解：根据茎叶图，得；乙的中位数是33，∴甲的中位数也是33，即m＝3；甲的平均数是＝（27+39+33）＝33，乙的平均数是＝（20+n+32+34+38）＝33，∴n＝8；∴＝．故选：D．4．（5分）某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A．3种B．6种C．9种D．18种【解答】解：可分以下2种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C21C32种不同的选法；②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C22C31种不同的选法．∴根据分类计数原理知不同的选法共有C21C32+C22C31＝6+3＝9种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有9种．故选：C．5．（5分）如图，y＝f（x）是可导函数，直线L：y＝kx+2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，令g（x）＝xf（x），g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）＝（）A．﹣1B．0C．2D．4【解答】解：∵直线L：y＝kx+2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，∴f（3）＝1，又点（3，1）在直线L上，∴3k+2＝1，从而k＝，∴f′（3）＝k＝，∵g（x）＝xf（x），∴g′（x）＝f（x）+xf′（x）则g′（3）＝f（3）+3f′（3）＝1+3×（）＝0，故选：B．6．（5分）有四个关于三角函数的命题：p1：sin x＝sin y⇒x+y＝π或x＝y；p2：∀x∈R，sin2+cos2＝1；p3：x，y∈R，cos（x﹣y）＝cos x﹣cos y；p4：∀x∈[0，]，＝cos x．其中真命题是（）A．p1，p2B．p2，p3C．p1，p4D．p2，p4【解答】解：p1：若sin x＝sin y⇒x+y＝π+2kπ或x＝y+2kπ，k∈Z，故错误；p2：根据同角三角函数基本关系的平方关系，可得：∀x∈R，sin2+cos2＝1，故正确；p3：x，y∈R，cos（x﹣y）＝cos x cos y+sin x sin y，与cos x﹣cos y不一定相等，故错误；p4：∀x∈[0，]，＝＝|cos x|＝cos x，故正确．故选：D．7．（5分）若实数x、y满足且z＝2x+y的最小值为4，则实数b的值为（）A．1B．2C．D．3【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图：∵z＝2x+y的最小值为4，即2x+y＝4，且y＝﹣2x+z，则直线y＝﹣2x+z的截距最小时，z也取得最小值，则不等式组对应的平面区域在直线y＝﹣2x+z的上方，由；，解得，即A（1，2），此时A也在直线y＝﹣x+b上，即2＝﹣1+b，解得b＝3，故选：D．8．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8πB．16πC．32πD．64π【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，如图所示：由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，可得底面外接圆的半径为：r＝2，由棱柱高为4，可得球心距为2，故外接球半径为：R＝＝2，故外接球的表面积S＝4πR2＝32π，故选：C．9．（5分）已知函数f（x）＝函数g（x）＝f（x）﹣2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，3）B．[﹣3，﹣1]C．[﹣3，3）D．[﹣1，1）【解答】解：∵f（x）＝，∴g（x）＝f（x）﹣2x＝，而方程﹣x+3＝0的解为3，方程x2+4x+3＝0的解为﹣1，﹣3；若函数g（x）＝f（x）﹣2x恰有三个不同的零点，则，解得，﹣1≤a＜3实数a的取值范围是[﹣1，3）．故选：A．10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin（B+A）+sin（B ﹣A）＝2sin2A，且c＝，C＝，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．或【解答】解：∵在△ABC中，C＝，∴B＝﹣A，B﹣A＝﹣2A，∵sin（B+A）+sin（B﹣A）＝2sin2A∴sin C+sin（﹣2A）＝2sin2A，即sin C+cos2A+sin2A＝2sin2A，整理得：sin（2A﹣）＝sin C＝，∴sin（2A﹣）＝，又A∈（0，），∴2A﹣＝，解得A＝，当A＝时，B＝，tan C＝＝＝，解得a＝，∴S△ABC＝ac sin B＝××＝；故选：B．11．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（）A．|BM|是定值B．点M在某个球面上运动C．存在某个位置，使DE⊥A1CD．存在某个位置，使MB∥平面A1DE【解答】解：取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故D正确由∠A1DE＝∠MFB，MF＝A1D＝定值，FB＝DE＝定值，由余弦定理可得MB2＝MF2+FB2﹣2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，故A正确．∵B是定点，∴M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，故B正确，∵A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，∴存在某个位置，使DE⊥A1C不正确．故选：C．12．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF1|＝|F1F2|，且3|PF2|＝2|QF2|，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：如图，l为该双曲线的右准线，设P到右准线的距离为d；过P作PP1⊥l，QQ1⊥l，分别交l于P1，Q1；∵，3|PF2|＝2|QF2|；∴，；过P作PM⊥QQ1，垂直为M，交x轴于N，则：；∴解得d＝；∵根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|＝2a，∴|PF2|＝2c﹣2a；∴根据双曲线的第二定义，；整理成：；∴解得（舍去）；即该双曲线的离心率为．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知点A（﹣1，1）、B（0，3）、C（3，4），则向量在方向上的投影为2．【解答】解：由已知得到＝（1，2），＝（4，3），所以向量在方向上的投影为＝＝2；故答案为：2．14．（5分）已知实数m是2和8的等比中项，则抛物线y＝mx2的焦点坐标为（0，±）．【解答】解：∵实数m是2和8的等比中项，∴m2＝16，m＝±4，由y＝mx2，得，若m＝4，则，即2p＝，，焦点坐标为（0，）；若m＝﹣4，则，即2p＝，，焦点坐标为（0，﹣）．∴抛物线y＝mx2的焦点坐标为：（0，±）．故答案为：（0，±）．15．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为10．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S＝﹣12+22﹣32+42的值∵S＝﹣12+22﹣32+42＝10故答案为：1016．（5分）已知偶函数y＝f（x）对于任意的x∈[0，）满足f′（x）cos x+f（x）sin x＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式中成立的有（2）（3）（4）．（1）f（﹣）＜f（）（2）f（﹣）＞f（﹣）（3）f（0）＜f（﹣）（4）f（）＜f（）【解答】解：∵偶函数y＝f（x）对于任意的x∈[0，）满足f′（x）cos x+f（x）sin x＞0∴g（x）＝，g′（x）＝＞0，∴x∈[0，），g（x）＝是单调递增，且是偶函数，∴g（﹣）＝g（），g（﹣）＝g（），∵g（）＜g（），∴，即f（＞f（），（1）化简得出f（﹣）＝f（）＞f（），所以（1）不正确．（2）化简f（﹣）＞f（﹣），得出f（）＞f（），所以（2）正确．又根据g（x）单调性可知：g（）＞g（0），∴＞，∴f（0）＜f（），∵偶函数y＝f（x）∴即f（0）＜f（﹣），所以（3）正确．∵根据g（x）单调性可知g（）＞g（），∴，f（）＞f（）．所以（4）正确．故答案为：（2）（3）（4）三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）已知等差数列{a n}的各项均为正数，a1＝1，且a3，a4+，a11成等比数列．（Ⅰ）求a n的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列公差为d，由题意知d＞0，∵a3，，a11成等比数列，∴（）2＝a3a11，∴，即44d2﹣36d﹣45＝0，解得或（舍去），所以；（Ⅱ）因为b n＝＝＝，所以数列{b n}的前n项和T n＝＝．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为2的菱形，平面ABC⊥平面AA1C1C，∠A1AC＝60°，∠BCA＝90°．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；（Ⅱ）已知点E是AB的中点，BC＝AC，求直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AC的中点O，连接A1O，由于平面ABC⊥平面AA1C1C，A1O⊥AC，所以：A1O⊥平面ABC，所以：A1O⊥BC，又BC⊥AC，所以：BC⊥平面A1AC，又AC1⊥A1C，A1C为A1B的射影，所以：A1B⊥AC1．（Ⅱ）以O为坐标原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，A（0，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），C1（0，2，），则：，，设＝（x，y，z）是平面ABB1A1的法向量，所以：，求得：，由E（1，0，0）求得：，直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值sinθ＝cos＝．19．（12分）某商场每天（开始营业时）以每件150元的价格购入A商品若干件（A商品在商场的保鲜时间为10小时，该商场的营业时间也恰好为10小时），并开始以每件300元的价格出售，若前6小时内所购进的商品没有售完，则商店对没卖出的A商品以每件100元的价格低价处理完毕（根据经验，4小时内完全能够把A商品低价处理完毕，且处理完后，当天不再购进A商品）．该商场统计了100天A商品在每天的前6小时内的销售量，制成如下表格（注：视频率为概率）．（其中x+y＝70）（Ⅰ）若某该商场共购入6件该商品，在前6个小时中售出4件．若这些产品被6名不同的顾客购买，现从这6名顾客中随机选2人进行回访，则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是多少？（Ⅱ）若商场每天在购进5件A商品时所获得的平均利润最大，求x的取值范围．【解答】解：（1）恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是A，则P（A）＝＝；（2）设销售A商品获得利润为X，（单位，元），以题意，视频率为概率，为追求更多的利润，则商店每天购进的A商品的件数取值可能为4件，5件，6件，当购进A商品4件时，EX＝150×4＝600，当购进A商品5件时，EX＝（150×4﹣50）×0.3+150×5×0.7＝690，当购进A商品6件时，EX＝（150×4﹣2×50）×0.3+（150×5﹣50）×+150×6×＝780﹣2x，由题意780﹣2x≤690，解得x≥45，又知x≤100﹣30＝70，所以x的取值范围为[45，70]．x∈N*．20．（12分）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0），F 1、F2为左右焦点，B为短轴端点，且＝4，离心率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，且满足|+|＝|﹣|？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+＝1（a＞b＞0），由题意可得，＝•2c•b＝4，e＝＝，且a2＝b2+c2；联立解得，；故椭圆C的方程为+＝1；（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆x2+y2＝r2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，∵|+|＝|﹣|，∴•＝0；设M（x1，y1），N（x2，y2），当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为y＝kx+m，解方程组得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8＝0，则△＝（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）＝8（8k2﹣m2+4）＞0；即8k2﹣m2+4＞0；∴x1+x2＝﹣，x1x2＝；y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2＝；要使•＝0，故x1x2+y1y2＝0；即+＝0；所以3m2﹣8k2﹣8＝0，所以3m2﹣8≥0且8k2﹣m2+4＞0；解得m≥或m≤﹣；因为直线y＝kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r＝，r2＝＝＝；故r＝；即所求圆的方程为x2+y2＝；此时圆的切线y＝kx+m都满足m≥或m≤﹣；而当切线的斜率不存在时切线为x＝±与椭圆+＝1的两个交点为（，±），（﹣，±）；满足•＝0，综上所述，存在圆心在原点的圆x2+y2＝满足条件．21．（12分）已知函数f（x）＝ax+ln（x﹣1），其中a为常数．（Ⅰ）试讨论f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＝时，存在x使得不等式|f（x）|﹣≤成立，求b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知易得函数f（x）的定义域为：{x|x＞1}，f′（x）＝a+＝，当a≥0时，f′（x）＞0在定义域内恒成立，f（x）的单调递增区间为（1，+∞），当a＜0时，由f′（x）＝0得x＝1﹣，当x∈（1，1﹣）时，f′（x）＞0，当x∈（1﹣，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）的单调递增区间为（1，1﹣），递减区间为（1﹣，+∞）；（Ⅱ）由（I）知当a＝时，f（x）＝x+ln（x﹣1），且f（x）的单调增区间为（1，e），单调减区间为（e，+∞），所以f（x）max＝f（e）＝+ln（e﹣1）＜0，所以|f（x）|≥﹣f（e）＝恒成立，（当x＝e时取等号）令，则，当1＜x＜e时，g（x）＞0；当x＞e时，g（x）＜0，从而g（x）在区间（1，e）上单调递增，在区间（e，+∞）上单调递减，所以g（x）max＝g（e）＝，所以，存在x使得不等式|f（x）|﹣≤成立，只需﹣≤，即：b≥﹣2ln（e﹣1）．22．（10分）如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB＝BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC•BC＝AD•AE；（Ⅱ）若AF＝2，CF＝2，求AE的长．【解答】证明：（I）如图所示，连接BE．∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°．又∠E与∠ACB都是所对的圆周角，∴∠E＝∠ACB．∵AD⊥BC，∠ADC＝90°．∴△ABE∽△ADC，∴AB：AD＝AE：AC，∴AB•AC＝AD•AE．又AB＝BC，∴BC•AC＝AD•AE．解：（II）∵CF是⊙O的切线，∴CF2＝AF•BF，∵AF＝2，CF＝2，∴（2）2＝2BF，解得BF＝4．∴AB＝BF﹣AF＝2．∵∠ACF＝∠FBC，∠CFB＝∠AFC，∴△AFC∽△CFB，∴AF：FC＝AC：BC，∴AC＝＝．∴cos∠ACD＝，∴sin∠ACD＝＝sin∠AEB，∴AE＝＝23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（α为参数），若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）＝t（t为参数）．（Ⅰ）求曲线M和N的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．【解答】解：（1）由x＝，得x2＝2cos2α，所以曲线M可化为y＝x2﹣1，x∈[﹣2，2]，由ρsin（）＝t，得ρsinθρcosθ＝t，所以ρsinθ+ρcosθ＝t，所以N可化为x+y＝t，（2）若曲线N与曲线M有公共点，则当直线N过点（2，3）时，满足要求，此时t＝5，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍只有一个公共点，联立得x2+x﹣1﹣t＝0，△＝1+4（1+t）＝0，解得t＝，综上可得t的取值范围≤t≤5．24．已知函数f（x）＝|3x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）已知m+n＝1（m，n＞0），若|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|，即|3x+2|+|x﹣1|＜4，∴①，或②，或③．解①求得﹣＜x＜﹣，解②求得﹣≤x＜，解③求得x∈∅．综上可得，不等式的解集为（﹣，）．（Ⅱ）已知m+n＝1（m，n＞0），∴+＝（m+n）（+）＝2++≥2+2＝4，当且仅当m＝n＝时，取等号．再根据|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，可得|x﹣a|﹣f（x）≤4，即|x﹣a|﹣|3x+2|≤4．设g（x）＝|x﹣a|﹣|3x+2|＝，故函数g（x）的最大值为g（﹣）＝+a，再由+a≤4，求得0＜a≤．。
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数学（理科）·答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.45121123125127129=++++ 14.11,22⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭
15. 三、解答题：本大题共6小题，共70分。
17. （本小题满分10分）
解:（1）由f （﹣1）=﹣2知，lgb ﹣lga+1=0①，所以
②．
又f （x ）≥2x 恒成立，f （x ）﹣2x≥0恒成立，则有x 2+x ⋅lga+lgb≥0恒成立， 故△=（lga ）2﹣4lgb≤0， …………………………………………2分 将①式代入上式得：（lgb ）2﹣2lgb+1≤0，即（lgb ﹣1）2≤0，…………4分 故lgb=1即b=10，代入②得，a=100 …………………………………5分 （2）由（1）知f （x ）=x 2+4x+1，则可得f （x ）＜x+5，即x 2+4x+1＜x+5， 所以x 2+3x ﹣4＜0，………………………………………………………7分 解得﹣4＜x ＜1，因此不等式的解集为{x|﹣4＜x ＜1}． ……………10分
18. （本小题满分12分）
解：（1）在△BCD 中，B=
，BC=1，DC=
，由正弦定理得到：
，
解得， …………………………3分
则∠BDC=
3
π
或
23π．又由DA=DC ，则∠A=6π或3
π
． ……………6分
（2）由于B=，BC=1，△BCD 面积为，
则
，解得
． …………………………………8分
再由余弦定理得到
=
，
故
，…………………………………10分
又由AB=AD+BD=CD+BD=
，故边AB 的长为
． (12)
分
19. （本小题满分12分）
解：（I ）f′（x ）=2（x ﹣2），由1n n a a +=﹣
()
()
n n f a f a '， 可得
，
，∴{a n ﹣2}是以a 1﹣2=1为首项，公
比为的等比数列， ……………………………………………3分 ∴1112(2)()2
n n a a --=-⋅
，∴
．……………………………………………5分
（Ⅱ）由题意
，则
……………7分 令
① ①×得：
②
①﹣②得：==2（1﹣）﹣， (10)
分
即
，所以
……12分 20. （本小题满分12分）
（1）证明：∵点A1在底面ABC 的射影是线段BC 的中点O ，∴A1O ⊥面ABC ， 而BC ⊂面ABC ，∴A1O ⊥BC ，…………………………………………………………………1分 又∵AC=AB=5，线段BC 的中点O ，∴BC ⊥AO ，∵A1O ∩AO=O ，……………………………3分 ∴BC ⊥面A1OA ，EO ⊂面A1OA ，EO ⊥BC ，又∵OE ⊥B1C ，B1C ∩BC=C ， B1C ⊂面BB1C1C ，BC ⊂面BB1C1C ∴OE ⊥面BB1C1C ；……………………………………5分 （2）由（1）知，在AOB 中，222AO BO AB +=,则AO=4,
在1A AO 中, 22211A A AO A O =+,则1
AO =分别以OC 、OA 、OA 1为x 、y 、z 轴建立空间坐标系，
C （3，0，0），A 1（0，0，4
），
A （0，4，0），
B （﹣3，0，0），∵
， ∴B 1（﹣3，﹣4，4
），∵
，∴C 1（3，﹣4，4
），
=（﹣3，0，4），
=（﹣6，﹣4，4
），
=（0，﹣4，4
），
设面A 1B 1C 的法向量m =（x ，y ，z ），，
取m =（1，﹣，
），…………………………………………………………8分
设面C 1B 1C 的法向量=（x ，y ，z ），，取=（0，，1）， (9)
分
cos
，……11分
所以平面A 1B 1C 与平面B 1C 1 C 所成锐二面角的余弦值为
……………12分
21. （本小题满分12分）
解：（1）依题意，得a=2，，∴c=，b==1，故椭圆C的方程为
…3分
（2）方法一：点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），不妨设y1＞0．由于点M在椭圆C上，所以．（*）……………………4分
由已知T（﹣2，0），则，，
∴=（x1+2）2﹣
==．
由于﹣2＜x1＜2，故当时，取得最小值为．
由（*）式，，故，…………………………………………6分
又点M在圆T上，代入圆的方程得到．故圆T的方程为：．…7分
方法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），……4分
不妨设sinθ＞0，由已知T（﹣2，0），
则
=（2cosθ+2）2﹣sin2θ=5cos2θ+8cosθ+3
=．故当时，取得最小值为，
此时
，…………………………………………………………………………6分又点M在圆T上，代入圆的方程得到．故圆T的方程为：．…7分
（3）方法一：设P （x 0，y 0），则直线MP 的方程为：，
令y=0，得，同理：， ……………………9分
故 ，又点M 与点P 在椭圆上，
故，，代入（**）式，得：
……11分 所以|OR|•|OS|=|x R |•|x S |=|x R •x S |=4为定值． ………………………………………12分 方法二：设M （2cosθ，sinθ），N （2cosθ，﹣sinθ）， 不妨设sinθ＞0，P （2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ． 则直线MP 的方程为：，
令y=0，得，
同理：， …………………………………9分
故
…
11分
所以|OR|•|OS|=|x R |•|x S |=|x R •x S |=4为定值．……12分 22. （本小题满分12分）
（Ⅰ）解：因为f′（x ）=（2x ﹣3）e x +（x 2﹣3x+3）e x=2
()x
x x e -，
由f′（x ）＞0⇒x ＞1或x ＜0，由f′（x ）＜0⇒0＜x ＜1， ………………………2分 ∴函数f （x ）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减， ∵函数f （x ）在[﹣2，t]上为单调函数，∴﹣2＜t≤0， …………………………4分 （Ⅱ）证：因为
02000
()x f x x x e '=-，∴00()x f x e '=22(1)3t -，即为x 02﹣x 0=22(1)3t -， 令g （x ）=x 2﹣x ﹣22
(1)3
t -， ……………………………………………………5分
从而问题转化为证明方程g （x ）= x 2﹣x ﹣
22
(1)3t -=0在（﹣2，t ）上 有解并讨论解的个数，因为g （﹣2）=6﹣232(1)t -=﹣2
(4)(2)3
t t -+，
g （t ）=t （t ﹣1）﹣232
(1)t -=1(2)(1)3
t t +-，……………………………………7分
1)当t ＞4或﹣2＜t ＜1时，g （﹣2）•g （t ）＜0， 此时g （x ）=0在（﹣2，t ）上有解，且只有一解，
2）当1＜t ＜4时，g （﹣2）＞0且g （t ）＞0，但由于g （0）=﹣24
(1)3
t --＜0， 此时g （x ）=0在（﹣2，t ）上有解，且有两解， 3）当t=1时，g （x ）=x 2﹣x=0，解得x=0或1（舍）， 此时g （x ）=0在（﹣2，t ）上有且只有一解， 4）当t=4时，g （x ）=x 2﹣x ﹣6=0，解得x=3或-2（舍）
此时g （x ）=0在（﹣2，t ）上也有且只有一解，……………………………11分 综上所述，对于任意的t ＞﹣2，总存在x 0∈（﹣2，t ），满足
0()x f x e '=22
(1)3
t -， 且当t≥4或﹣2＜t≤1时，有唯一的x 0适合题意，当1＜t ＜4时，
有两个x 0适合题意．…………12分。