2.1.2圆的参数方程

2.圆的参数方程的一般形式 圆心为(a,b)，半径为r的圆:(x-a)2+(yb)2=r2的参数方程为
x a r cos 为参数 y b r sin
y
r
a, b
o

x
例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它化为参 数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，
o
P

M
Q x
x
2 cos 6 2 sin cos 3, y sin 2 2
x cos 3 (为参数) y sin
所以，点M的轨迹的参数方程是
练习 、指出参数方程{ 1 圆心坐标、半径。
x 2 cos 5 y 3 2 sin
坐标是M ( x, y )，那么＝t，设 OM ＝r， . 那么由三角函数的定义有： x r cost x y cost , sin t 即{ (t为参数) y r sin t r r
M(x,y)Biblioteka r oM0
x
这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方 程。其中参数t有明确的物理意义(质点作匀 速圆周运动的时刻)
y
M(x,y)
考虑到 t，也可以取为参数，有 x r cos ， 为参数 y r sin . 这也是圆心在原点O，半径为r的圆的参数 方程，其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆 时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度.
r o

M0
x
2.圆的参数方程 圆心为原点，半径为r的圆:x2+y2=r2的 参数方程为
(为参数)所表示圆的
圆心（- 5,3），半径r 2.
x r r cos r 2、圆{ (为参数，r 0)的直径 y r sin 2 （2，1） 是4，则圆心坐标是 __________ ___
3、P ( x, y )是曲线{
x 2 cos y sin
的几何意义：旋转角
2.圆的参数方程
探究：如图设圆O的半径为r，动点M从初始位置M0(t=0时出发)，
按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，点M绕点O转动的角速度为ω， 那么，怎样刻画运动中的点M的位置呢？
那么由三角函数的定义有： x r cost x y cost , sin t 即{ (t为参数) y r sin t r r
2.1.2
圆的参数方程
2.圆的参数方程
探究：如图设圆O的半径为r，动点M从初始位置M0(t=0时出发)，
按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，点M绕点O转动的角速度为ω， 那么，怎样刻画运动中的点M的位置呢？ 显然，点M的位置由时刻t惟一确定，因此 y
可以取t为参数. 如果在时刻t，点M转过的角度是，
（x+1）2+（y-3）2=1，
∴参数方程为
x 1 cos y 3 sin
(θ为参数)
例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是 x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周 运动时，求点M的轨迹的参数方程。
y
解：设点M的坐标是( x, y )，xOP , 则点 P的坐标是(2 cos ,2 sin ), 由中点坐标公式得：
x r cos 为参数 y r sin
说明：
y
M(x,y)
的几何意义：旋转角
r o
1.同一曲线选取的参数不同，会有不同形 式的参数方程；
2.在圆的参数方程中，参数θ有明确的几何意
义；

M0
x
3.在参数方程后必须注明“谁是参数”，若参 数有限制还要给出参数的取值范围.
(为参数)上任
）
意一点, 则( x 5) 2 ( y 4) 2 的最大值为 （ A
A、 36 C、 26
B、 6 D、 25
小节：
圆的参数方程的表达式
x r cos 为参数 y r sin
x a r cos 为参数 y b r sin