信号处理及其应用：第5章 数字滤波器基础

切比雪夫滤波器的特点是无零点，极点分布 在长轴在虚轴，短轴在实轴上的椭圆上，而 不是巴特沃斯滤波器在Ωc为半径的圆上
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长轴:Ωpshε 短轴:Ωpchε
通带波纹度与ε有关，在１~
1 1 2
之间变化
例 设计切比雪夫低通滤波器，要求通带边界频 率fc = 2kHz，通带波纹δ1=1dB，阻带起始频 率fz=4kHz，在Ωz处衰减δz>15dB。
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例：
A(2 ) 2 2
1 4 ，求 H (s)
因此设计滤波器的数学模型的关键是找到合 适的幅度平方函数 A(2 ) ，目前常用的两种幅 度平方函数是巴特沃斯函数和切比雪夫函数。
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5.5模拟滤波器的设计
5.5.1 巴特沃斯滤波器
巴特沃斯幅度平方函数：
A(2
)
1Baidu Nhomakorabea
(
1
)2n
c
式中n为滤波器阶次
特点：
1）Ω=Ωc时, 止频率
A(2) 12，Ωc为-3dB 频率，即截
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2)通带具有最大平坦幅度特性：Ω↑，幅度单 调下降。
3)阶次n ↑，曲线趋近于理想滤波器。 4)H(s)无零点，极点分布在|s|=Ωc 为半径的圆
上，称巴特沃斯圆。
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例：n=4，求H(s)
用归一化频率求传递函数，分母多项式的系 数是固定的。因此可以通过查表的方法求出 10阶以内的传递函数表达式
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5.5.3 频率变换 由低通滤波器的传递函数，通过变量变换（映 射），可以设计高通、带通、带阻滤波器。 1）低通到高通的变换 设低通滤波器为HL（p） p j HL ( j) 频响
高通滤波器为HH（s）S j HH ( j)频响 有对应关系：λ→±∞ <==>Ω→0
λ→0<==>Ω→±∞ 所以，λ与Ω成反比，λ∝1/Ω，即p与s成反比。
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理想滤波器不是因果系统，因此其在物理上 是不可实现的。
物理上可实现的因果系统只对幅频特性加以 改进，即：在通带与阻带之间增加过渡带， 在通带内允许有规定范围内的偏差，在阻带 内达到规定的衰减即可。
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δp—通带误差带或波纹度
δz—阻带误差带
p —通带边界频率 Z —阻带边界频率
若 ， H (P ) 0.707 H (O ) P C ——-3dB带宽频率， 截止频率。
第五章 数字滤波器基础
本章讲授：模拟滤波器的设计；模拟滤波器 的实现；离散系统的时域分析；离散系统的z 域分析；离散系统的频率响应。 5.4模拟滤波器的基本概念及设计方法 5.4.1基本概念 滤波—对信号进行频率选择，突出有用信号， 抑制干扰。 滤波器—具有一定的传输选择特性的信号处理 装置。
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模拟滤波器：输入输出都是模拟信号，主要 由放大器、RCL网络构成，分为有源、无源 滤波器，是一种线性时不变系统。
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系统增益归一化，分贝值 G() 20lg H ()
H () max
系统衰减
() 20lg H () H () max
5.4.4模拟滤波器的一般设计方法
模拟滤波器设计主要是从幅频特性H( j) 入手，
而幅频特性不是实函数，因此从幅度平方函
数
H ( j入)手2 ，因为
H (与j) 2 H (具j有)
形上没有畸变，即：y(t) kx(t tD )
法一：利用傅氏变换的延时特性
法二：稳态输出与正弦信号输入关系
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H ( j) k
() ()
系统对于所有频率的信号，放大倍数k相同， 延迟时间τ相同。一般要求在信号有效频带 （通带）内满足即可。
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5.4.3滤波器的理想特性与实际特性 理想滤波器性能要求：无失真的传输有用信 号，完全抑制干扰信号 ①在通带内，满足无失真条件 ②在阻带，幅频为零 根据通带、阻带：低通、高通、带通、带阻。
例 试确定巴特沃斯滤波器的传递函数。 要求：fc=2kHz, 阻带边界频率fz=4kHz, 衰减
δz≥15dB. （增益≤-15dB）
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5.5.2 切比雪夫滤波器 特点：①通带有波纹 ②阻带衰减快
1)切比雪夫多项式，n阶表达式，分段函数
Cn
(x)
cos(n cos1 ch(nch 1 x)
x)
| x | 1 | x | 1
相似的波形
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H j
1 0.707
H j 2
C
1
0.5
C
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1）幅度平方函数特点：
h（t）为实函数，由傅里叶变换的奇偶性：
H ( j) H ( j)
由于 所以
H ( j) 2 H ( j) H ( j) H ( j) 2 H ( j) H ( j)
可证 H (s)H (s) 是 S 2 的函数，令 s j
则 H ( j) 2 H ( j) H ( j) H (s) H (s) |s j 是 2 的函数。
如果知道了幅度平方函数 A(2 ) 便可分离 出 H (s)，由此可以得到系统传递函数。
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2）由幅度平方函数，求传递函数 已知 A(2 ) A(s2 )2s2 H (s)H (s) 如何确定 H (s) ？根据 H (s) 和H (s)的特点 若H (s)有一极(零)点 S j 则 H (s) 对应有一极(零)点 S j 因此,只要将 A(s2 ) 的极零点合理分配给 H (s) 和 H (s) 即可，在分配时考虑： （1）系统稳定，极点全在左半平面。 （2）最小相位系统，零点全在左半平面。
5.4.2无失真传输条件
设滤波器的传递函数为H(S)，冲激响应为h(t)。
则： 时域
：H (s)
Y (s) X (s)
Y(s) H (s) X (s)
h(t) L1[H (s)]
y(t) h(t) x(t)
x( )h(t )d
2
Y () H () X ()
频率响应 H ( j) H (s) |s j H ( j) e j( j) 无失真传输：输出的信号幅度是输入信号的 比例放大，时间上允许有一定的滞后，但波
无论|x|≤1还是|x|>1, 切比雪夫多项式的递推 公式是一致的
Cn1 (x) 2xCn (x) Cn1 (x)
无论x取何值，均有C0(x)=1 ， C1(x)=x
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2)切比雪夫滤波器幅度平方函数，n阶 ：
| H () |2 A(2 )
1
1
2Cn
2
(
p
)
式中n为阶次，ε为波纹度<1，Ωp为波纹边界 频率点。一般在设计滤波器时给出Ωp，波纹 度ε或衰减δ（dB），然后确定阶次n，查表 便可得到H(s)