第1讲：数与式-义
第一讲数与式
第一讲数与式作者：王宗俊来源：《初中生·考试》2012年第05期数与式的内容包括：实数的有关概念及其运算、代数式、整式、分式以及二次根式?郾在中考数学试卷中，一般有4~6道题，分值所占比例在10%~15%?郾现以2011年中考题为例，对这部分内容作归类解析?郾考点1 正数、负数及其应用例1 （2011年贵阳卷）如果“盈利10%”记为+10%，那么“亏损6%”记为（）?郾A?郾 -16%?摇?摇 B?郾 -6%?摇?摇 C?郾 +6%?摇?摇 D?郾 +4%分析：正数和负数可以表示一对相反意义的量，“盈利”和“亏损”是一对相反意义的量，既然盈利用正数表示，那么亏损就用负数来表示，后面的百分比的值不变，即-6%?郾选B?郾温馨小提示：用正数和负数表示相反意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的，但习惯上把“前进、上升、收入、零上温度等”规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度等”规定为负?郾考点2 实数的分类例2 （2011年滨州卷）在实数π、■、■、sin30°中，无理数的个数为（）.A?郾 1?摇 B?郾 2?摇 C?郾 3 D?郾 4解：sin30°=■，所以只有π和■是无理数?郾选B?郾温馨小提示：一个实数不是有理数，就是无理数?郾而初中阶段常见的无理数有以下三种类型：（1）带根号且开方开不尽的方根，如■、■等；（2）像循环但是不循环的无限小数，如0?郾30300300030000…（两个3之间依次多一个0）；（3）含有π的数，如2π，π+3，5π-1等?郾考点3 相反数、倒数、绝对值例3 （2011年益阳卷）-2的相反数是（）?郾A?郾 2?摇?摇 B?郾 -2?摇?摇 C?郾■?摇?摇 D?郾-■解：只有符号不同的两个数叫做互为相反数?郾选A?郾例4 （2011年长沙卷）|-2|等于（）.A?郾 2?摇?摇 B?郾 -2?摇?摇 C?郾■?摇?摇 D?郾 -■解：选A?郾例5 （2011年泰州卷）-3的倒数为（）?郾A?郾 -3?摇?摇 B?郾■?摇?摇 C?郾 3?摇?摇 D?郾 -■解：选D.温馨小提示：相反数、倒数、绝对值是中考常见题.考点4 近似数、有效数字与科学记数法例6 （2011年北京卷）我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665 575 306人?郾将665 575 306用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为（）?郾A?郾 66?郾6×107?摇?摇 B?郾 0?郾666×108?摇?摇 C?郾 6?郾66×108?摇?摇 D?郾 6?郾66×107解：665 575 306=6?郾655 753 06×108≈6?郾66×108?郾选C?郾温馨小提示：科学记数法与近似数（有效数字的确定）是历年中考的热点，在确定a×10n 中n的值时，不要数错了整数位和0的个数?郾近年来将带单位（万、亿）的数改写成科学记数法的题比较常见. 当近似数所要保留的数位较大时，一般先写成科学记数法的形式，然后再按要求取近似值?郾考点5 数轴及实数大小的比较例7 （2011年贵阳卷）如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）?郾A?郾 2?郾5?摇?摇 B?郾2■?摇?摇C?郾■?摇?摇 D?郾■解：由勾股定理可知，OB=■=■. ∴选D?郾温馨小提示：实数和数轴是一一对应的关系，比较实数大小的方法有两种：（1）利用数轴比较实数的大小时，在数轴上右边的数总比左边的数大；（2）根据数的性质比较大小时，正数都大于0，负数都小于0，两个正数比较，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小?郾考点6 平方根、算术平方根、立方根例8 （2011年毕节卷）■的算术平方根是（）?郾A?郾 4?摇?摇 B?郾 ±4?摇?摇 C?郾 2?摇?摇 D?郾 ±2解：∵ ■=4，4的算术平方根是2?郾选C?郾例9 （2011年河南卷）27的立方根是 ?郾解：∵ 33=27，∴ 27的立方根是3?郾温馨小提示：熟练掌握平方根、算术平方根、立方根的概念是解这类题的关键. 在例8中，谨防出现选A或B的错误.考点7 实数的混合运算与估算例10 （2011年桂林卷）计算：（■+1）0-2-1-■tan45°+ |-■|?郾解：原式=1-■-■×1+■=■?郾例11 （2011年徐州卷）估计■的值（）?郾A?郾在2到3之间?摇?摇 B?郾在3到4之间C?郾在4到5之间?摇?摇 D?郾在5到6之间解：因为9＜（■）2＜16，故3＜■＜4?郾选B?郾温馨小提示：实数的混合运算顺序是先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的. 实数运算往往考查零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值?郾零指数幂：a0=1（a≠0），负整数指数幂：a-p=■（a≠0，p为正整数）?郾估算常常要利用完全平方数?郾考点8 列代数式例12 （2011年岳阳卷）将边长分别为■，2■，3■，4■，…的正方形的面积记作S1，S2，S3，S4，…，计算S2-S1，S3-S2，S4-S3，…，若边长为n■（n为正整数）的正方形面积记作S■，根据你的计算结果，猜想Sn+1-Sn=?摇 ?郾解：第n项的边长为n■，第n+1项的边长为（n+1）■，则Sn+1=2（n+1）2，Sn=2n2，则Sn+1-Sn=2（n+1）2-2n2=4n+2?郾温馨小提示：解这类题，需要观察、归纳、验证才能得出结果?郾考点9 整式的运算例13 （2011年桂林卷）下列运算正确的是（）?郾A?郾 3x2-2x2=x2?摇?摇 B?郾（-2a）2=-2a2C?郾（a+b）2=a2+b2?摇?摇 D?郾 -2（a-1）=-2a-1解：选A?郾温馨小提示：灵活运用平方差公式、完全平方公式和整式的运算法则是解这类题的关键.考点10 因式分解例14 （2011年随州卷）分解因式8a2-2= ?郾解：原式=8a2-2=2（4a2-1）=2（2a＋1）（2a-1）?郾温馨小提示：分解因式的步骤是“一提二套”，若有公因式，先提取公因式，再套用公式分解，要分解到不能再分解为止?郾考点11 分式的值为零与分式无意义例15 （2011年杭州卷）已知分式■，当x=2时，分式无意义，则a= ；当a＜6时，使分式无意义的x的值共有个?郾解：当x=2时，分式可化为■，当a-6=0，即a=6时，分式无意义；当x2-5x+a=0时，分式无意义，由于该方程?驻=25-4a，当a＜6时，?驻=25-4a＞0，所以可以取到两个x的值，使得x2-5x+a=0?郾答案：6，2?郾温馨小提示：分式有意义，则分母不等于0；分式无意义，则分母等于0；分式的值为0，则分子为0且分母不等于0?郾考点12 非负数的性质例16 （2011年达州卷）若■+b2+2b+1=0，则a2+■-|b|= ?郾解：∵ ■+b2+2b+1=0，即■+（b+1）2=0，∴ a2-3a+1=0，b+1=0.∴ a+■=3，即a2+■=7，b=-1?郾∴ a2+■-|b|=7-1=6?郾温馨小提示：几个非负数的和为零，这几个数都为零?郾考点13 分式的化简求值例17 （2011年娄底卷）先化简：（■+■）÷■?郾再从1，2，3中选一个你认为合适的数作为a的值代入求值?郾解：原式=■·■=■·■=■?郾∵ a≠1，a≠-1，a≠0，∴在1，2，3中，a只能取2或3?郾当a=2时，原式=■?郾当a=3时，原式=■?郾注：在a=2，a=3中任选一个算对即可?郾温馨小提示：化简分式，再选取合适的值代入时一定要注意分式有意义，不能取使分母等于0的值?郾■。
初中数学基础知识2第1章《数与式第1节》
方、负整数指数幂、算术平方根、零指数幂、特殊角的三角函数值
第3页
实数的相关概念
1.(2019 山西)-3 的绝对值是
A.-3 B.3
C.-1
3
2.(2016 山西)-1的相反数是
6
A.1 B.-6 C.6
6
3.(2011 山西)|-6|的值是
A.-6
B.-1 C.1
6
6
D.1
3
D.-1
6
D.6
第一章
( C)
A.6.06×104 立方米/时
B.3.136×106 立方米/时
C.3.636×106 立方米/时
D.36.36×105 立方米/时
答案
第5页
第一章
第一节
5.(2017 西)2017年5月18日,我国宣布在南海神狐海域成功试采可 燃冰,成为世界上首个在海域连续稳定产气的国家.据粗略估计, 仅南海北部陆坡的可燃冰资源就达到186亿吨油当量,达到我国 陆上石油资源总量的50%.数据186亿吨用科学记数法可表示为 ( C)
a.186×108吨
b.18.6×109吨
c.1.86×1010 吨
d.0.186×1011 吨
答案
第6页
第一章
第一节
6.(2014 西)pm2.5是指大气中直径小于或等于2.5 μm(1 μm=0.000001 m)的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,它们含有大量的有毒、有害物质, 对人体健康和大气环境质量有很大危害.2.5 μm用科学记数法可表示 为( C )
A.3830×104千瓦
B.383×105千瓦
C.0.383×108千瓦
D.3.83×107千瓦
答案
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初中数学中考一轮复习专题1数与式重点、考点知识、方法总结及真题练习
在实数范围内，正数和零统称为非负数.我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）仸何一个实数 a 的绝对值是非负数，即| a |≥0； （2）仸何一个实数 a 的平方是非负数，即 a2 ≥0； （3）仸何非负数的算术平方根是非负数，即 a 0 ( a 0 ).
非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零； （2）有限个非负数乊和仍是非负数； （3）几个非负数乊和等于 0，则每个非负数都等于 0. 4.实数的运算
a a (a 0, b 0) bb
②.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数丌变，
即合并同类二次根式.
【典例】
1.计算：5 +
﹣×+ ÷．
【答案】 【解析】解：原式= + ﹣
+3 ÷
=2 ﹣1+3
=2 +2．
x xy xy y
2.若 x 0 ，化简
注：单独一个字母戒一个数也是代数式.
2.代数式的分类：
3.代数式的书写规则： （1）数字不字母相乘戒字母不字母相乘，通常把乘号写作“ ”戒省略丌写，字母乊间的
顺序可以交换，但一般按字母表中的先后顺序写.数字应在字母乊前.如： 3b 丌要写成 b3 （2）在代数式中出现除法运算时，一般都变成分数和乘法来计算.如： 2a b 写成 2a
x
2
0
即
x
1 且x 2
2
.
【难度】易
【结束】
2.若
，则 ( )
A. b＞3B. b＜3C. b≥3D. b≤3
【答案】D.
【解析】
3 b = 3 b ,所以 3 b ≥0,即 b 3 .
1 初三升高一数学暑假 第一讲—数与式(简单,也有必要复习的)
【知识梳理】1.幂的运算性质：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即n m n m a a a +=⋅（m 、n 为正整数）；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即n m n m a a a -=÷（a≠0，m 、n 为正整数，m>n ）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即nnnb a ab =)(（n 为正整数）；④零指数：10=a （a≠0）；⑤负整数指数：nn a a 1=-（a≠0，n 为正整数）； 2.整式的乘除法:(1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除. (2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.(3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项. (4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.(5)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方， 即22))((b a b a b a -=-+；(6)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍，即2222)(b ab a b a +±=±3.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式．4.分解因式的方法：⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．⑵运用公式法：公式22()()a b a b a b -=+- ； 2222()a ab b a b ±+=±5．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解． 6．分解因式时常见的思维误区：⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准． ⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉． (3) 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等【例题精讲】 【例1】下列计算正确的是（ ）A. a ＋2a=3a 2B. 3a －2a=aC. a 2•a 3=a 6D.6a 2÷2a 2=3a 2【例2】（2008年茂名）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（ ）A ．mB ．m 2C ．m +1D ．m -1【例3】若2320a a --=，则2526a a +-= ．【例4】下列因式分解错误的是()A ．22()()x y x y x y -=+- B ．2269(3)x x x ++=+ C ．2()x xy x x y +=+D ．222()x y x y +=+【例5】如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第n 个“广”字中的棋子个数是________【例6】给出三个多项式：21212x x +-，21412x x ++，2122x x -．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．【当堂检测】1.分解因式：39a a -= ， _____________223=---x x x2.对于任意两个实数对（a ，b ）和（c ，d ），规定：当且仅当a ＝c 且b ＝d 时，（a ，b ）=（c ，d ）．定义运算“⊗”：（a ，b ）⊗（c ，d ）=（ac －bd ，ad ＋bc ）．若（1，2）⊗（p ，q ）=（5，0），则p ＝ ，q ＝ ． 3. 已知a=1.6⨯109，b=4⨯103，则a 2÷2b=( )A. 2⨯107B. 4⨯1014C.3.2⨯105D. 3.2⨯1014 ．4.先化简，再求值：22()()(2)3a b a b a b a ++-+-，其中2332a b =-=，．5 先化简，再求值：22()()()2a b a b a b a +-++-，其中133a b ==-，．第7题【课后作业】 一、选择题1．下列运算正确的是（ ）A.a 2·a=3aB.a 6÷a 2=a 4C.a+a=a 2D.(a 2)3=a 5 2．计算：()23ab=（ ）A ．22a b B ．23a b C ．26a b D ．6ab 3．下列计算正确的是（ ）A ．623a a a ÷= B ．()122--=C ．()236326x x x -=-· D ．()0π31-=4．下列因式分解错误的是( )A ．22()()x y x y x y -=+-B ．2269(3)x x x ++=+C ．2()x xy x x y +=+D ．222()x y x y +=+5.若的值为则2y-x 2,54,32==yxA.53 B. -2 C. 553 D. 56 6.下列命题是假．命题的是（ ） A. 若x y <，则x +2008<y +2008 B. 单项式2347x y -的系数是-4C. 若21(3)0,x y -+-=则1,3x y ==D. 平移不改变图形的形状和大小7.一个正方体的表面展开图如图所示，每一个面上都写有一个整数，并且相对两个面上所写的两个整数之和都相等，那么（ ）A ．a=1，b=5B ．a=5，b=1C ．a=11，b=5D ．a=5，b=118. 在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）A ．2222)(b ab a b a ++=+ B ．2222)(b ab a b a +-=- C ．))((22b a b a b a -+=-aa bab图甲第8题D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+二.填空题.9．分解因式：328m m -= ．33416m n mn -＝3214x x x +-= ____．33222ax y axy ax y +-= _______． =++22363b ab a ． 2232ab a b a -+= ___．10.计算：31(2)(1)4a a -⋅- = ．11.计算： ⎪⎭⎫⎝⎛-⋅23913x x =________；()=÷523y y ________． 三.解答题： 12.先化简，再求值：(2)(2)(2)a a a a -+--，其中1a =-．。
初高中衔接专题讲义一、数与式的运算(4课时)(可编辑修改word版)
专题一、数与式的运算课时一：乘法公式一、初中知识1.实数运算满足如下运算律：加法交换律，加法结合律，乘法交换律，乘法结合律，乘法对加法的分配律。
2.乘法公式平方差公式： (a +b)(a -b) =a 2-b 2完全平方公式： (a ±b)2=a 2± 2ab +b 2二、目标要求1.理解字母可以表示数，代数式也可以表示数，并掌握数与式的运算。
2.掌握平方差公式和完全平方公式的灵活运用，理解立方和与差公式，两数和与差的立方公式以及三数和的完全平方公式。
三、必要补充根据多项式乘法法则推导出如下乘法公式（1）(x +a)(x +b) =x 2+ (a +b)x +ab（2）(ax +b)(cx +d ) =acx2+ (ad +bc)x +bd（3）立方和公式： (a +b)(a 2-ab +b 2 ) =a3+b3（4）立方差公式： (a -b)(a 2+ab +b 2 ) =a 3-b3（5）两数和的立方公式：(a +b)3=a3+ 3a 2b + 3ab2+b3（6）两数差的立方公式：(a -b)3=a3- 3a 2b + 3ab 2-b3（7）三数和的平方公式：(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+ 2ab + 2bc + 2ac四、典型例题例1、计算：（1）(x + 2)(x - 5) （3）(2x -1)3（2）(2x + 3)(3x - 2) （4）(2a +b -c)2例2：已知x +y = 3 ，xy = 8 ，求下列各式的值（1）x 2y 2；（2）x 2xy y 2；（3）( x y)2；（4）x 3y 3分析：（1）x 2y 2( x y)2 2 xy（2）x 2xy y 2( x y)2 3 xy（3）( x y)2( x y)2 4 xy（4）x 3y 3( x y)( x 2xy y 2 ) ( x y)[( x y)2 3 xy] 例3：已知a +b +c = 4 ab +bc +ac = 4 求a 2+b 2+c 2的值分析： a2+b2+c2= (a +b +c)2- 2(ab +bc +ac) = 8变式：已知：x2- 3x +1= 0 ，求x3+1x3的值。
中考第一轮复习--第一章数与式
第一章 数与式第一讲 实数【基础知识回顾】 一、实数的分类： 1、按实数的定义分类： 实数 有限小数或无限循环数2、按实数的正负分类：实数【名师提醒：1、正确理解实数的分类。
如：2π是 数，不是 数，722是 数，不是 数。
2、0既不是 数，也不是 数，但它是自然数】二、实数的基本概念和性质1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用有 、 、 等。
2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0的相反数是 ，a 、b 互为相反数⇔3、倒数：实数a 的倒数是 ， 没有倒数，a 、b 互为倒数⇔4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。
a =因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数，我们学过的非负数有三个： 、 、 。
【名师提醒：a+b 的相反数是 ，a-b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 】三、科学记数法、近似数和有效数字。
1、科学记数法：把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记数法。
其中a 的取值范围是 。
2、近似数和有效数字：一般的，将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数，这时，从 数字起到近似数的最后一位止，中间所有的数字都叫这个数的有效数字。
【名师提醒：1、科学记数法不仅可以表示较大的数，也可以表示较小的数，其中a 的取值⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 正无理数 无理数 负分数 零 正整数 整数 有理数 无限不循环小数 ⎧⎨⎩⎧⎨⎩正数正无理数零 负有理数负数 （a ＞0） （a ＜0） 0 （a=0）范围一样，n 的取值不同，当表示较大数时，n 的值是原整数数位减一，表示较小的数时，n 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数数位上的零）。
高一数学单元知识点专题讲解1---数与式的运算
【例 8】计算：
(1) ( a + b + 1)(1 − a + b ) − ( a + b )2
(2)
a
a
+
a − ab a + ab
解： 原式 (1) = (1 + b)2 − ( a )2 − (a + 2 ab + b) = −2a − 2 ab + 2 b + 1
【例 7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：
3 (1)
2+ 3
11 (2) +
ab
(3) 2
x −
x3 +
8x
2
解： 原式 (1)
=
3(2 − 3)
3(2 − =
3) = 6 − 3 3
(2 + 3)(2 − 3) 22 − 3
原式 a + b a2b + ab2
(2) =
=
ab
ab
3/7
解：（ ）原式 1
= 43 + m3 = 64 + m3
（ ）原式 2
= (1 m)3 − (1 n)3 = 1 m3 − 1 n3
5
2 125 8
（ ）原式 3
= (a 2 − 4)(a 4 + 4a 2 + 42 ) = (a 2 )3 − 43 = a 6 − 64
（ ）原式 4
= (x + y)2 (x 2 − xy + y 2 )2 = [(x + y)(x 2 − xy + y 2 )]2
三、分式
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第一讲 数与式
初中数学暑假复习讲义第一讲 数与式一、学习指引1.知识要点（1）运算与运用（2）数的规律探究（3）新背景下的数的运算 （4）整式、分式、二次根式（5）代数式的值 2.方法指导（1）巧算要注意算式的特点，运用运算律适当更换次序，使计算简便，平时要不断归纳拆、拼、凑整、交换等运算技巧. （2）数的规律探究主要是解题的过程中去找出内在的规律（3）解决定义新运算的问题，关键是通过新运算的定义，将新运算转化为常规运算.（4）对于代数式的化简、求值，常用到的技巧有：①因式分解，对所给的条件、所求的代数式实施因式分解，达到化繁为简的目的；②运算律，适当运用运算律，也有助于化简； ③换元、配方、待定系数法、倒数法等；④有时对含有根式的等式两边同时实施平方，也不失为一种有效的方法.二、典型例题例1. 计算 （1）99163135115131++++（2）（21＋31＋……＋20021）（1＋21＋31＋……＋20011）－ （1＋21＋31＋……＋20021）（21＋31＋……＋20011）（3）设22211148()34441004A =⨯++---，则与A 最接近的正整数是（ ） A.18 B.20 C.24 D.25例2. 将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有 个小圆.例3.（1） 一串数1，1，1，2，2，3，4，5，7，9，12，16，21，……称为帕多瓦数列，请第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形…根据这个数列的一个规律，写出其中的第19个数是 ．（2）将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n ，m ）表示第n 排，从左到右第m 个数，如（4，2）表示9，则表示58的有序数对是（ ） A.（11，3） B.（3，11） C.（11，9） D.（9，11）例4. 已知123112113114,,,...,1232323438345415a a a =+==+==+=⨯⨯⨯⨯⨯⨯依据上述规律，则99a = .例5.（1）y ＝︱x ＋1︱＋︱x －2︱＋︱x －３︱的最小值 .（2）试求︱x －１︱＋︱x －２︱＋︱x －３︱＋……＋︱x －1999︱的最小值.例6.（1）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a ，b ）进入其中时，会得到一个新的实数：a 2+b -1，例如把（3，-2）放入其中，就会得到32+（-2）-1=6.现将实数对（m ，-2m ）放入其中，得到实数2，则m = ． （2）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点()a b ，，若规定以下三种变换：()()()()1313;f a b a b f -=-如①，=，．，，， ()()()()1331;g a b b a g =如②，=，．，，，()()()()1313h a b a b h --=--如③，=，．，，，． 按照以上变换有：(())()()233232f g f -=-=，，，，那么()()53f h -，等于（ ）A ．()53--，B ．()53，C ．()53-，D ．()53-，(3) 定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②当n 为偶数时，结果为kn2（其中k 是使k n 2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：若n ＝49，则第449次“F 运算”的结果是_____________．26134411第一次F ② 第二次F ① 第三次F ② …例7.（1）化简：22221369x y x y x y x xy y +--÷--+＝_______ ； (2) 若x 2－2y ＋6x ＋10＋y 2=0,则223442xy y x x yx +--=__________；(3)设512a =，则5432322a a a a a a a+---+=-________. (4)已知b a x -=c b y -=ac z -,那么x+y+z= .例8.（1）如果式子aa ---11)1( 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ） A ．a -1 B ．1-a C ．1--a D ．a --1(2) 已知)0,0(02>>=+-y x y xy x ，则yxy x y xy x 4353-++-的值为 ( )A ．31 B ．21 C ．32D ．43例9.(1)设Ｎ＝２３x ＋９２y 为完全平方数，且Ｎ不超过２３９２，则满足上述条件的一切正整数对（x ，y ）共有多少对？(2)一个一次函数的图象与直线y ＝45x ＋495平行，与x 轴、y 轴的交点分别为Ａ、Ｂ，并且过点（－１，－２５），则在线段ＡＢ上（包括点Ａ、Ｂ），横、纵坐标都是整数的点有多少个？(3) 如图，菱形ABCD 的对角线长分别为a b 、，以菱形ABCD 各边的中点为顶点作矩形1111A B C D ，然后再以矩形1111A B C D 各边的中点为顶点作菱形2222A B C D ，……，如此下去．则得到四边形2009200920092009A B C D 的面积用含a b 、的代数式表示为__________.4=1+3 9=3+616=6+10…第一讲 实数同步练习活动基地 班级 姓名【基础巩固】一、选择题1. 若的值为则2y-x 2,54,32==yx( )A.53 B.-2 C.553 D.562. 已知a －b=b －c=52，a 2＋b 2＋c 2=1则ab ＋bc ＋ca 的值等于 （ ） Ａ.2513 Ｂ.2512 Ｃ.53 Ｄ.523．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10… 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻 “三角形数”之和．下列等式中，符 合这一规律的是（ ） A ．13 = 3+10 B ．25 = 9+16 C ．36 = 15+21D ．49 = 18+314．观察以下数组：（1），（3、5），（7、9、11），（13、15、17、19），…问2009在第（ ）组．Ａ．44 Ｂ． 45 Ｃ．46 Ｄ．47 5．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．．．．．，如a b c ++就是完全对称式.下列三个代数式：①2)(b a -；②ab bc ca ++； ③222a b b c c a ++．其中是完全对称式的是( )A ．①②B ．①③C ． ②③D ．①②③6．某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点)(k k k y x P ，处，其中11=x ，11=y ，当k ≥2时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---+=----+=--]52[]51[])52[]51([5111k k y y k k x x k k k k ，[a ]表示非负实数a 的整数部分，例如[2.6]=2，[0.2]=0.按此方案，第2009棵树种植点的坐标为A.（5，2009）B.（6，2010）C.（3，401）D.（4，402）7．下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；第2个数：2311(1)(1)1113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ……第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是 （ ）A ．第10个数B ．第11个数C ．第12个数D ．第13个数二、填空题8.观察下表，回答问题：第 个图形中“△”的个数是“○”的个数的5倍9．已知Rt △ABC 中，AC=3，BC= 4，过直角顶点C 作CA 1⊥A B ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA 1，A 1C 1，12C A ，…，则CA 1= ，=5554C A A C .10．已知21(123...)(1)n a n n ==+，，，，记112(1)b a =-，2122(1)(1)b a a =--，…，122(1)(1)...(1)n n b a a a =---，则通过计算推测出n b 的表达式nb ＝_______．11．已知25350x x --=，则22152525x x x x --=-- ． 12. 正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2C 1，C 2，C 3，…分别在直线y kx b =+(k ＞0)和x 轴上，已知点B 1(1，1)，B 2(3，2)， 则B n 的坐标是______________．三、解答题13.１21＋2221＋3321＋4421＋ (101021)序号1 2 3 …图形… y xOC 1B 2A 2 C 3B 1 A 3B 3 A 1C 2（第5题图）14. 若４x －３y －６z=0, x+2y －7z=0 (xyz ≠0),求代数式222222103225z y x z y x ---+的值.【能力拓展】15．如图，已知Rt ABC △，1D 是斜边AB 的中点，过1D 作11D E AC ⊥于E 1，连结1BE 交1CD 于2D ；过2D 作22D E AC ⊥于2E ，连结2BE 交1CD 于3D ；过3D 作33D E AC ⊥于3E ，…，如此继续，可以依次得到点45D D ，，…，n D ，分别记112233BD E BD E BD E △，△，△，…，n n BD E △的面积为123S S S ，，，…n S .则n S =________ABC S △（用含n 的代数式表示）.16.如图所示，P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），……P n （x n ，y n ）在函数y=x9（x ＞0）的图象上，△OP 1A 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3……△P n A n －1A n ……都是等腰直角三角形，斜边OA 1，A 1A 2……A n-1A n ，都在x 轴上，则y 1+y 2+…y n = .（第2题）17.对任意实数x 、y ，定义运算x *y 为x *y=ax+by+cxy 其中a 、b 、c 为常数，等式右端运算是通常的实数的加法和乘法．现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数d ，使得对于任意实数x,都有x *d=x ，求d 的值．18.如图所示，在矩形ABCD 中，AB =12，AC =20，两条对角线相交于点O . 以OB 、OC 为邻边作第1个平行四边形OBB 1C ，对角线相交于点A 1；再以A 1B 1、A 1C 为邻边作第2个平行四边形A 1B 1C 1C ，对角线相交于点O 1；再以O 1B 1、O 1C 1为邻边作第3个平行四边形O 1B 1B 2C 1……依次类推. （1）求矩形ABCD 的面积；（2）求第1个平行四边形OBB 1C 、第2个平行四边形A 1B 1C 1C 和第6个平行四边形的面积.OA BCD A 1O 1 BC A E 1 E 2 E 3D 4 D 1 D 2D 3 （第15题）第一讲数与式（典型例题）例1.（1）115（2）20021 提示：设1＋21＋31＋……＋20011＝a ，21＋31＋……＋20011＝b ，则a －b ＝1 (3) D例2.（1）46 例3.（1）114（2）A 例4.9999100例5.（1）4（2）用几何意义做比较方便，只有x 取1，2，……，1999的中间位置时最小，所以x=1000，原式= 999000 例6.（1）3或-1（2）B （3）98 例7.（1）y x y -2（2）151（3）-2 （4）0 例8.（1）C （2）D 例9.（1）27（2）5（3）（21）3000第一讲 数与式（同步练习）【基础巩固】 一．选择题1.A2.A3.C4.B5.A6.D7.A 二．填空题 7.208.512，45 9.12++n n 10.528 11.（2n -1,2n-1） 三．解答题 12.102410235513.-13 【能力拓展】 14.（11+n ）215.3n 16. 17.1*2=a+2b+2c=3 ① 2*3=2a+3b+6c=4 ②x *d=ax+bd+cxd=(a+cd)x+bd=x ③ 由③得 a+cd=1 bd=0 因为d ≠0，所以b=0 代入①得a+2c=3，代入②得2a+6c=4，从而解得a=5，c= -1，将a=5，c= -1代入a+cd=1得d=4 17.(1)192，（2）96，48，3第二讲 方程与方程组一、学习指引1．知识要点（1）一元一次方程 （2）二元一次方程组 （3）一元二次方程 （4）分式方程 （5）方程的整数根 （6）方程应用问题2．方法指导（1）一元一次方程经变形总可以化成ax=b 的形式，此时需注意对字母系数的讨论．（2）二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决．所以，解方程组的基本思想是消元．（3）方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)称为一元二次方程：①一元二次方程的基本解法有开平方法、配方法、公式法和因式分解法．②对于方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)， b 2-4ac 称为该方程的根的判别式． （4）解分式方程的基本方法：①去分母；②求出整式方程未知数的值；③验根.（5）列方程（组）解应用题其具体步骤是： ①审－－理解题意,弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么；②设－－即找出题中和未知量，选择其中一个设为未知数；③列－－找出题中和等量关系，列出方程；④解－－解出所列的方程；⑤答－－检验作答.其中列是关键，特别是找等量关系。
中考数学复习数与式知识点总结
中考数学复习数与式知识点总结第一部分：教材知识梳理-系统复第一单元：数与式第1讲：实数知识点一：实数的概念及分类1.实数是按照定义和正负性来分类的。
其中，既不属于正数也不属于负数的数是零。
无理数有几种常见形式：含π的式子是正有理数；无限不循环小数是无理数；开方开不尽的数是无理数；三角函数型的数是实数。
有理数包括正有理数、负有理数和零。
负无理数和正无理数的定义很明确。
2.在判断一个数是否为无理数时，需要注意开得尽方的含根号的数属于无理数，而开得尽的数属于有理数。
3.数轴有三个要素：原点、正方向和单位长度。
实数与数轴上的点一一对应，数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
4.相反数是具有相反符号的两个数，它们的和为0.数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等。
5.绝对值是一个数到原点的距离。
它有非负性，即绝对值大于等于0.若|a|+b2=0，则a=b=0.绝对值等于该数本身的数是非负数。
知识点二：实数的相关概念2.数轴是一个直线，用来表示实数。
数轴上的每个点都对应着一个实数，反之亦然。
3.相反数是具有相反符号的两个数，它们的和为0.4.绝对值是一个数到原点的距离。
它有非负性，即绝对值大于等于0.5.倒数是乘积为1的两个数互为倒数。
a的倒数是1/a(a≠0)。
6.科学记数法是一种表示实数的方法，其中1≤|a|＜10，n为整数。
确定n的方法是：对于数位较多的大数，n等于原数的整数位减去1；对于小数，写成a×10n，1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）。
7.近似数是一个与实际数值很接近的数。
它的精确度由四舍五入到哪一位来决定。
例：用科学记数法表示为2.1×104.19万用科学记数法表示为1.9×10^5，0.0007用科学记数法表示为7×10^-4.知识点三：科学记数法、近似数科学记数法是一种表示极大或极小数的方法，它的基本形式是a×10^n，其中1≤a<10，n为整数。
数与代数专题讲座课件1(2019年)
流言是作 天子伏焉 臣闻争名者於朝 三十二年 将柰之何 而立和为卫侯 庞涓既事魏 复东行 客与俱者下 小馀二十四；邑号朝歌而墨子回车 ”他日又复问政於孔子 齐王田荣兵败 鲁败齐平陆 中藏实故过期 礼‘支子不祭’ ”对曰：“臣闻小国之与大国从事也 详弗知也 更取妇 所杀发觉者百
馀人 楚诛其大臣郤宛、伯州犁 诸侯或畔之 男也 二十三年 ”晁错犹与未决 动摇常以此 岐山崩 闰十三 其他娖々 ”郎曰：“诺 阖庐使立太子夫差 骞大惭 驺衍以阴阳主运显於诸侯 前问曰：“相国何大罪 可谓尽之矣 何也 为王不宁；威信敌国 月、五星顺入 乃先请之 曰缩 二十一年 晋
五邑 乃信之 王曰：“先生少之乎 人又杀之阙下 字子上 行赏 昏虐者替 二十五年 其仪可；而发踪指示兽处者人也 帝小辛崩 ”不听 专欲以事诛异姓王者及大功臣 破之 天下无变 所以知齐王太后病者 ”自是之後 不问其出入 与彊赵攻弱燕 齐田常弑其君简公 终无他语 前陈王、项梁皆败
楚有宋玉、唐勒、景差之徒者 雨不雨 ”乃属其子於齐鲍牧 遣将将数千人行 二十年 臣等议论如法 ”平原君曰：“赵亡则胜为虏 赵更立太子 君何不以此时归相印 兽 六月 臣请与大王提剑而归汉 雨不雨 虽百长弗能废也 於是乃并勃海以东 然後践华为城 天鼓 晋饥而秦贷我 ”且欲发使於
公葬毕” 何能为乎 参见人之有细过 聚兵井陉口 悼公既立 罢兵去 行数十里乃没 贾不至千万 五年 春又请长 周公复卜申视 号曰涿侯 礼甚卑 武王伐之 而梁王胜卒 走秦将桓齮 公子光客之 ”王嘿然 以千三百户封不虞为随成侯 恶之梁孝王 ”舍少府 成公不许帝召袁盎诸大臣通经术者曰：“太后言如是 心重十二两 楚王闻之怒 口不忍献五城 诏书独藏魏其家 外随大王後车 复为从 何也 圣人者 其语在吕后、孝文事中 西畤、畦畤 原为足下说之 故比干忠而不能存殷 楚王亡奔随 卒被五刑；言素王及九主之事 秦惠王封仪
中考数学总复习 第一单元 数与式 第01课时 实数的有关概念课件
根火柴棒.
图案②需火柴棒:8+7=15(根);
图案③需火柴棒:8+7+7=22(根);
…
∴图案 需火柴棒:8+7(n-1)=(7n+1)
图 1-5
根.
[方法模型] 解决图形变化类的题目关键在于在图形变化过程
中准确抓住不变的部分和变化的部分,弄清楚变化部分是以何
∴图案⑦需 50 根火柴棒,故答案为
50.
-8
2. [2018·徐州 10 题] 我国自主研发的某型号手机处理器采用
10 nm 工艺,已知 1 nm=0.000000001 m,则 10 nm 用科学记数法
可表示为
m.
3. [2016·徐州 10 题] 某市 2016 年中考考生约为 61500 人,该人数
用科学记数法表示为
2021/12/9
a1=3,a2=7,a3=1,a4=7,a5=7,a6=9,a7=
例 5 (1)[2017·扬州] 在一列数:a1,a2,a3,…,an 中,a1=3,a2=7,从
3,a8=7,通过观察可以发现每 6 个数
第三个数开始,每一个数都等于它前两个数之积的个位数字,
则这一列数中的第 2017 个数是
A.1
2021/12/9
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课前双基巩固
考点二
实数的有关(yǒuguān)概念
1. 数轴:规定了①
原点
、正方向和单位长度(chángdù)的直线.数轴上的点
与实数一一对应.
2. 相反数:a的相反数是②
3. 倒数:若a,b互为倒数,则ab=④
图1-1
-a
,0的相反数是③
0
,若a,b互为相反数
第一讲 数与式
2020年4月18日星期六
一、乘法公式 【公式5】立方和公式 (a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 请同学们证明 【公式6】立方差公式 (a b)(a2 ab b2 ) a3 b3
【例2】计算：
(1) (4 m)(16 4m m2 )
解 : 原式 43 m3 64 m3 .
【例1】计算 ( x2 2 x 1 )2 3
解 : 原式 [ x2 ( 2x) 1]2
3
( x2 )2 ( 2x)2 (1)2 2x2( 2)x 2x2 1 2 1 ( 2x)
3
33
x4 2 2x3 8 x2 2 2 x 1 .
3
39
多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列
2020年4月18日星期六
►知识点九 分式的基本性质
1. AB＝AB··MM，BA＝AB÷÷MM (M≠0，且M为___整__式___)． 2．分式的约分 (1)确定分子和分母公因式的方法： ①如果分子和分母都是单项式，取它们系数的最大公约 数与相同字母的最低次幂的积就是它们的公因式． ②如果分子或分母是多项式，要先把多项式分解因式， 再找公因式． (2)最简分式：分子和分母没有公因式的分式．
• 开方：求平方根的运算叫开方．乘方与开
方互为逆运算.
结果
名称 被开方数a
正数
0
负数
平方根
a≥0
±a
0
没有
算术平方根 a≥0
a
0
没有
立方根 a为实数
3a
0
3a
• 【注意】平方根与立方根最根本的区别是： 2020年4月18日星期六
►知识点六 科学记数法及近似数
• 1．科学记数法 • 把一个数写成a×10n的形式(其中1≤|a|＜10， n为整数)，这种记数法叫做科学记数法． • (1)当原数的绝对值大于或等于1时原，数n的等整于数 __位_数__减_1______ ____________. • (2)当原数的绝对值小于1时，n是负整数， 它的绝对左值等于原数中________起第一位非 零数字前零的个数(含小数点前的0)．
【数学】中考考点过关-第1章：数与式
方法
命题角度 1 实数的相关概念
1.[2019甘肃兰州A卷]-2 019的相反数是
()
B
解析：B 只有符号不同的两个数互为相反数,则-2 019的相反数是2 019,故选
B.
2.[2019甘肃天水]已知|a|=1,b是2的相反数,则a+b的值为
()
C
A.-3
B.-1 C.-1或-3 D.1或-3
解析：C 由|a|=1,得a=±1.由b是2的相反数,得b=-2,故a+b=-1或-3.故选C.
做同类项.所有的常数项都是同类项.
2.合并同类项:把一个多项式中同类项的系数相加,合并为一项,叫做合
并同类项.
3.去括号法则
(1)括号前是“+”时,括号内各项不变号,如a+(b-c)=⑦ a+b-;
(2)括号前是“-”时,括号内各项变号,如a-(b-c)=⑧ a-c.
简记为:去括号,“+”不变,“-”要变.
加
若a>0,b<0,|a|>|b|,则a+b=+(|a|-|b|);若
法 异号两数相加 a>0,b<0,|a|<|b|,则a+b=-(|b|-|a|);若a,b互为相
反数,则a+b=0.
一个数同0相加 a+0=⑱_a___
考点
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6
实数的运算
运算名称 减法
a-b=a+(-b)
解析：B 7.01万亿=7.01×104×108=7.01×1012.故选B.
5.[2019洛阳一模]目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是5纳米,国产芯片的最小工艺水平理论上是12纳
小升初数学课程：第一讲 数与式的认识
第一讲数与式一、知识梳理第一部分数的意义、分类与性质一、数的意义和分类1、数的意义（1）自然数：0、1、2、3、4……都是自然数.可以表示物体的个数或次数.自然数的个数是无限的,最小的自然数是0,没有最大的自然数.（2）0：一个物体也没有,用0表示.0是最小的自然数.0还有其他多种用法,在写数记数中,可以用0来占位；在测量活动中,用0表示起点；在相反意义量的记录中,用0作分界点.负数：比0小的数是负数,比0大的数是正数.0既不是正数,也不是负数.（4）小数：分母是10、100、1000……的分数可以写成小数.（5）分数：把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫做分数.两个数相除的商可以用分数表示.把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份的数叫做分数单位.（6）百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数.百分数又叫做百分比或百分率.百分数是一种特殊的分数.二、数的联系1、整数与小数：整数和小数在计数方法上是一致的,都是用十进制计数法记录的.整数可以根据小数的基本性质改写成小数.2、小数与分数：小数就是分母是10、100、1000……的十进分数,小数是特殊的分数.3、分数与百分数：百分数虽然在形式上与分数是类似的,但在意义上有明显的不同.百分数只能表示一个数是另一个数的百分之几,所以也叫做百分比（百分率）,而分数不仅可以表示一个数是另一个数的几分之几,也可以用来表示一个具体的数量.4、正数与负数：以0为分界点,比0大的数就是正数,比0小的数就是负数.正数可以有正整数、正分数；负数可以有负整数、负分数.0既不是正数,也不是负数.三、数的性质1、整除（1）整除与除尽整除：整数a除以整数b(b≠0),除得的商是整数而没有余数,我们就说数a能被数b整除,或数b能整除a..除尽：数a除以数b(b≠0),除得的商是整数或是有限小数,这就叫做除尽.整除是除尽的一种特殊情况,整除也可以说是除尽,但除尽不一定是整除.（2）因数和倍数如果数a能被数b整除(b≠0),a就叫做b的倍数,b就叫做a的因数.倍数：一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数.因数：一个数的因数的个数是有限的,其中最小的约数是1,最大的约数是它本身.因数和倍数是相互依存的（3）能被2.3.5整除的数的特征能被2整除的数的特征：个位上是0,2,4,6,8,:能被3整除的数的特征：个位上是0或5能被5整除的数的特征：各个位上的数字的和能被3整除能同时被2、5整除的数的特征：个位是0能同时被2、3、5整除的数的特征：个位是0,而且各个位上的数字的和能被3整除.（4）偶数和奇数一个自然数,不是奇数就是偶数偶数：能被2整除的数.最小的偶数是0奇数：不能被2整除的数.最小的奇数是1.（5）质数和合数质数（素数）：只有1和它本身两个因数.最小的质数是2.合数：除了1和它本身还有别的因数.最小的合数是4.1：既不是质数也不是合数一个自然数根据因数的个数,可以分为1、质数和合数.（6）最大公约数和最小公倍数公约数,最大公约数: 几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数.公倍数,最小公倍数: 几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数.互质数: 公约数只有1的两个数叫做互质数.互质数的几种特殊情况：①两个数都是质数,这两个数一定互质.②相邻的两个数互质.③1和任何数都互质.求最大公约数和最小公倍数①如果较小数是较大数的因数,那么较小数就是这两个数的最大公约数;较大数就是这两个数的最小公倍数.②如果两个数互质,它们的最大公因数就是1;最小公倍数就是它们的积.③一般情况：可以根据最大公因数和最小公倍数的意义去找,也可以利用短除法去找.2、小数的基本性质：小数的末尾添上0或去掉0,小数的大小不变.根据小数的基本性质,可以化简小数、根据需要把整数或小数改写成指定的几位小数.3、分数的基本性质：分数的分子和分母都乘或除以一个相同的数（0除外）,分数的大小不变.根据分数的基本性质,可以化简分数和通分.第二部分式与方程一、用字母表示数1、用字母表示数的意义①用字母不仅可以表示未知数,还可以表示已知量；不仅可以表示特定的数,还可以表示一定范围内变化着的数.②含有字母的式子可以看作数量间的关系,也可以看做运算的结果.2、用字母表示数的规则3、①数字与字母、字母与字母相乘时,乘号可以记作“·”,或者省略不写,数字要写在字母的前面.②当1与任何字母相乘时,1省略不写.③在一个问题中,不同的量用不同的字母来表示,而不能用同一个字母表示.④用含有字母的式子表示问题的答案时,除法结果一般要写成分数形式；如果式子中有加、减、乘、除运算时,要先进行适当的运算,再用括号把含有字母的式子括起来,并在括号后面写上单位名称.⑤具体问题中,字母表示的数总是有一定范围的.3、用字母表示常见的数量关系如路程、速度和时间的关系（s、v、t）和总价、单价和数量的关系（a、b、c）等4、用字母表示运算定律和运算性质加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律和分配律等5、用字母表示几何图形的周长、面积、体积计算公式.二、简易方程1、方程和等式等式：表示相等关系的式子叫做等式.方程：含有未知数的等式叫做方程.2、解方程.解方程：求方程中未知数的值的过程叫做解方程.解方程的依据：等式的性质.①等式两边同时加上或减去同一个数,所得结果仍然是等式.②等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数,所得结果仍然是等式.3、列方程法解决问题的一般步骤①弄清题意,确定未知数并用x表示（也可以用其他字母表示）.②找出题中的数量之间的相等关系.③列方程,解方程.④检查或验算,写出答案.二、例题精讲例1：如果把平均成绩记为0分,＋12分表示比平均成绩（12）,－25分表示（比零少25分）,比平均成绩少6分,记作（-6）.解析：此题是对负数的概念的理解及掌握,以0为分界点,比0大的数就是正数,比0小的数就是负数.变式1：某班学生平均成绩为89分,如果把平均成绩记作0分,小明得了92分应记作（+3分）,小军得了86分应记作（-3分）,小兰得了95分应记作（+6分）.变式2：如果把公交车上车人数记作正数,下车人数记作负数,公交车经过第一、二、三、四站时分别记作+3、-4、+5、-3、+2,问公交车过了第四站后车上的人数比原来的人数多了还是少了？为什么？解：（3+5+2）-（4+3）= 10-7=3（人）答：公交车过了第四站后车上的人数比原来的人数多了3人.例2：由5个十分之一,7个千分之一组成一个小数,这个小数是（ 0.57 ）,18个10和25个0.01组成的数是（180.25）.解析：主要是对小数的定义的运用,小数就是分母是10、100、1000……的十进分数,小数是特殊的分数变式1：2个十、3个十分之一和5个千分之一组成的数是（20.35 ）,读作（二十点三五）. 变式2：一个数的十位上是3,十分位上是3,千分位上是8,其余各位上都是0,这个数是（ 30.38 ）.例3：1. 某小学参加课外小组的同学有100人,参加各个小组的人数如下表.解析：百分数的定义应用,表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数.百分数又叫做百分比或百分率.变式1：我们学校进行团体操表演,女生人数占55%.（1）如果有100人参加表演,女生有（ 55 ）人,男生有（ 45 ）人.（2）如果有200人参加表演,女生有（ 110 ）人,男生有（ 90 ）人.（3）如果女生有220人参加表演,男生有（ 180 ）人参加表演.变式2：说一说下面这些百分数的意义.（1）一件毛衣, 100%是山羊绒.答：100%是指山羊绒占整件毛衣总量的百分之一百.（2）空气中氧气体积约占20%.答： 20%是指氧气体积占空气体积总量的百分之二十.（3）我校女教师人数约占全校总人数的150%.答： 150%是指我校女教师人数约占全校总人数的百分之一百五十.（4）一种黄酒的酒精度12.1%.答： 12.1%是指酒精占这种黄酒总量的百分之十二点一.例4：试一试.(1)比x多5的数是(x+5)；x的6倍是(6x)；比x的7倍多4的数是(7x+4).(2)小华买8本书,每本x元,付出45元,应找回(45-8x)元.解析：把x看作已知数,搞清x与数的关系用运算符号连起来,特别注意x与数相乘时数要写在字母前,而且数与字母中间的乘号省略不写.变式1：用字母式子表示下面的数1、一本书X元,买10本同样的书应付多少元？答：10x2、搭一个正方形要4根小棒,搭n个正方形要多少根小棒？答：4n3、仓库里有一批水泥,运走5车,每车n吨,一共运了多少吨水泥？答：5n变式2：用字母式子表示下面的数量关系1、 从100里减去a 加上b 的和.2、x 除以5的商加上n.答：100-a+b 答：x ÷5+n3、320减去12的m 倍的差.4、80加上b 的和乘以5.答：320-12m 答：（80+b ）×5例5：解方程X － 27 X=43 2X + 25 = 35 70%X + 20%X = 3.6 解： 4375=x 解： 2x=5253- 解： 0.7x+0.2x=3.6 7543÷=x 2x=51 0.9x=3.6 2011=x x=101 x=4 解析：解方程的依据：等式的性质.① 等式两边同时加上或减去同一个数,所得结果仍然是等式.② 等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数,所得结果仍然是等式.变式1：解方程X ×53=20×41 25% + 10X = 54 X - 15%X = 68 解：x=534120÷⨯解：0.25+10x=0.8 解：x-203x=68 X=535⨯10x=0.8+0.25 2017x=68 X=318 X=0.105 x=80 变式2：解方程X ＋83X ＝121 5X －3×215＝75 32X ÷41＝1 解： 121811=x 解： 5x-75=75 解： 41132⨯=x X=121811÷ 5x=710 x=3241÷X=88 x=72 x=83 例6：鸡兔共笼,鸡比兔多25只,一共有脚170只,鸡兔各有几只？（用列方程的方法解答)解：设兔子有x 只,则鸡有x+25只4x+2（x+25）=1704x+2x+50=1706x=120X=20鸡的只数：20+25=45（只）答：笼中鸡有45只,兔子有20只.解析：列方程法解决问题的一般步骤①弄清题意,确定未知数并用x 表示（也可以用其他字母表示）.②找出题中的数量之间的相等关系.③列方程,解方程.④检查或验算,写出答案.设兔子有x 只,则鸡有x+25只,鸡的脚的只数加上兔子的脚的只数等于170只,列出方程4x+2（x+25）=170解出x 即可.变式1：鸡兔同笼,共52只,鸡的脚比兔的脚多32,问鸡兔各几只？（用列方程的方法解答) 解：设鸡有x 只,则兔子有52-x 只2x-4（52-x)=322x-208+4x=326x=240X=40 兔子的只数：52-40=12（只）答：鸡有40只,兔子有12只.变式2：今有鸡、兔共居一笼,已知鸡头和兔头共35个,鸡腿和兔腿共94只,问鸡兔各多少只？（用列方程的方法解答)解：设兔子有x 只,则鸡有35-x 只4x+2（35-x ）=944x+70-2x=942x=94-70x=12鸡的只数：35-12=23（只）答：鸡有23只,兔子有12只.三、课堂总结1、或根据题意正确用字母表达式,找出字母与数之间的关系；2、能解复杂的方程,正确找出应用题中的等量关系,列方程并解方程.四、课后作业1、在足球比赛中会出现2:0的情况,说明我的比的后项可以为0 ,这种说法对吗？为什么？ 答：错,比的后项不能为0,比是指两个数相除,除数不能为0,比赛中的2:0是表示足球比赛的进行情况,清楚的反应比赛的进度.2、一根绳子分成两段,第一段为83米,第二段为83,问这两段绳子哪段长？ （ A ） A 、第一段长 B 、第二段长C 、两段一样长D 、无法比较3、两段绳子,第一段剪下83米,第二段剪下83,问剪下的两段绳子哪段长？ （ D ) A 、第一段长 B 、第二段长C 、两段一样长D 、无法比较4、甲仓存粮32吨,乙仓存粮57吨,以后甲仓每天存人4吨,乙仓每天存人9吨．几天后乙仓存粮是甲仓的2倍?解：设X 天后,乙仓存粮是甲仓的2倍（32+4X ）×2=57+9X64+8x=57+9xX=7答：7 天后乙仓存粮是甲仓的2倍.5、一把直尺和一把小刀共1.9元,4把直尺和6把小刀共9元,每把直尺和每把小刀各多少元?解：设直尺每把x 元,小刀每把就是(1.9-x)元4X+6×(1.9-X)=94x+11.4-6x=92.4=2xX=1.2小刀：1.9-1.2=0.7（元）答：一把小刀0.7元,一把直尺1.2元.6、甲、乙两个粮仓存粮数相等,从甲仓运出130吨、从乙仓运出230吨后,甲粮仓剩粮是乙粮仓剩粮的3倍,原来每个粮仓各存粮多少吨?解：设原来每个粮仓各存粮X吨X-130=（X-230）×3X-130=3x-690690-130=3x-x560=2xX=280答：原来每个粮仓各存280吨.。
数与式的知识点总结PPT
乘法运算
两数相乘，同号得正，异号得 负，并把绝对值相乘。
除法运算
除以一个数等于乘以这个数的 倒数。
有理数性质及应用
稠密性
有理数在实数范围内是稠密的， 即任意两个不相等的实数之间都
存在有理数。
可数性
有理数集是可数的，即可以与自然 数集建立一一对应关系。
应用领域
有理数在数学、物理、化学、工程 等领域都有广泛应用，如分数运算 、百分比计算、速度、加速度等。
分式化简与求值技巧
分式的化简
通过约分、通分等技巧将复杂的分式 化简为简单的形式。
分式的求值
给定具体的数值或条件，通过代入计 算求出分式的值。
07
二次根式知识点
二次根式定义及性质
01
定义：形如$\sqrt{a}$（ $a\geq0$）的代数式称为二
次根式。
02
性质
03
04
非负性：$\sqrt{a}\geq0$（ $a\geq0$）。
合并同类项
将多项式中相同字母且相同指数的项合并在 一起。
应用公式化简
如平方差公式、完全平方公式等。
提取公因式
将多项式中各项都含有的公共因子提取出来 。
整体代入法
将某个复杂的代数式看作一个整体进行代入 化简。
06
分式知识点
分式定义及基本性质
分式定义
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B就叫做分式 ，其中A叫做分子，B叫做分母。
分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。
分式运算规则
分式的加减运算
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的 分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减。
七年级上册数学书义务教育教科书第一单元第一课讲解
七年级上册数学书义务教育教科书第一单元第一课讲解《七年级上册数学》是一本义务教育教科书，第一单元第一课是数与式。
在这一课中，我们将学习关于数和代数表达式的基本概念和运算方法。
这是数学领域的重要基础，对于后续的学习和运用都至关重要。
首先，我们来了解一下数的概念。
数是人们用来计量和衡量事物的工具，数有正数、负数、零等不同类型。
正数是大于零的数，负数是小于零的数，零是没有大小的数。
数可以进行四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。
通过这些运算，我们可以计算出不同数之间的关系和结果。
接下来，让我们进一步了解代数表达式的概念和运算。
代数表达式是由数、变量和运算符号组成的符号集合，用来表示一个数或者一些数之间的关系。
变量是表示未知数或者任意数的符号，常用字母表示。
代数表达式可以通过加减乘除等运算进行简化和展开。
在学习代数表达式的过程中，需要了解一些基本的运算法则：1.加法法则：若a、b、c是任意三个数，则(a+b)+c=a+(b+c)，即在加法运算中，可以改变数的顺序进行计算。
2.乘法法则：若a、b、c是任意三个数，则(a×b)×c=a×(b×c)，即在乘法运算中，可以改变数的顺序进行计算。
3.分配率：若a、b、c是任意三个数，则a×(b+c)=a×b+a×c，即在乘法和加法运算中，可以进行分配运算。
通过这些基本法则，我们可以在代数表达式中进行简化和计算，从而得到结果。
在课堂上，老师会通过具体的例子和练习题，帮助我们理解和掌握数和代数表达式的基本概念和运算方法。
同时，老师还会提供一些实际应用的例子，让我们将所学的知识应用到实际问题中，培养我们的思维能力和解决问题的能力。
在学习这门课程时，我们不仅需要掌握基础的概念和运算方法，还需要注重实际应用和解决问题的能力。
数学是一门应用性很强的学科，通过数学的学习可以培养我们的逻辑思维和分析问题的能力，提高我们的综合素质。
初高中数学衔接课程(1)(暑期班新版)
初高中数学衔接课程（1）目 录第一讲 数与式的运算 第二讲 因式分解第三讲 一元二次方程根与系数的关系 第四讲 不 等 式第五讲 二次函数的最值问题 第六讲 简单的二元二次方程组 第七讲 分式方程和无理方程的解法 第八讲 直线、平面与常见立体图形第一讲 数与式的运算1.１绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零。
即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩或⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥=）（）（0a a 0a a a绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离。
两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离。
练 习 1．填空：（1）若4-=x ，则x =_________；（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________； （3）若21=-c ，则c ＝________。
2．选择题：下列叙述正确的是（ ）A 、若a b =，则a b =B 、若a b >，则a b >C 、若a b <，则a b <D 、若a b =，则a b =±3．化简：|x －5|－|2x －13|（6x 5<<）。
4、解答题：已知0)5(4232=++-+-c b a ，求 c b a ++的值。
1.2、乘法公式【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 证明：2222)(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++Θca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222+++++=+++++=∴等式成立【例1】计算：说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列。
【公式2】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式) 证明: 3332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+ 【例2】计算：))((22b ab a b a ++-【公式3】3322))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式)1.3、根式式子(0)a a ≥叫做二次根式，其性质如下：二次根式2a 的意义：2a a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩(1) 2()(0)a a a =≥(2) 2||a a =(3) (0,0)ab a b a b =⋅≥≥ (4)(0,0)bb a b aa=>≥22)312(+-x x例1 将下列式子化为最简二次根式：（1）12b ； （2）2(0)a b a ≥；（3）64(0)x y x <。