【课件-高等数学】_第四章一元函数的积分及其应用_3

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一元函数积分学及其应用.ppt

分号, f(x)称为被积函数, f(x)dx称为被积表达式， x称为积分变量．
如果F(x)是f (x)在区间Ⅰ内的一个原函数，则
f (x)dx F(x) C .
因此，求不定积分只要求出它的一个原函数，再加一个任意常数即可．
10
函数f (x)的不定积分含有任意常数C，因此对每一个给定的C，都有一个确定的原函数，在几何上，相应地就有一条确定的曲线，称为f (x)的积分曲线．因为C可以取任意数值，因此不定积分表示f (x)的一族积分曲线，如图5.1.1所示．这族曲线的特点是，它在横坐标相同的点处，所有的切线都彼此平行.
柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题上长期存在的混乱，向分析的全面严格华迈出了关键的一布。
5
§5.1 不定积分
1. 不定积分的概念与性质
（1）不定积分概念（2）不定积分的基本性质（3）基本积分公式
2. 换元积分法
（1）第一类换元积分法
（2）第二类换元积分法（3）分部积分法
（4）有理函数和三角函数的有理式的积分
证当x＞0时，(ln| x | )′＝(lnx)′＝
x
当x＜0时，(ln|x|)′＝[ln(x)] 1 x
故 (ln | x |) 1 x
由不定积分定义知
1
x dx ln | x | C 20
例5.1.5 求 x2 xdx
解
x2 xdx
5
x2dx

5 1
柯西努力研读 Laplace 的《天体力学》与 Lagrange 的《函数理论》， 1815年之前，柯西想在学术圈谋取教职的心愿一直不顺遂。
2
但1816年，在他获得法国科学院的大奖后，两年内就成为科学院院士，法兰西学院院士并获得综合工艺学院的教职。

2014届高三新课标理科数学一轮复习课件第四章第4讲定积分及其应用举例

a b
2．定积分在几何中的应用：被积函数为 y＝f(x)，由曲线 y＝ f(x)与直线 x＝a，x＝b(a<b)和 y＝0 所围成的曲边梯形的面积为 S. (1)当 f(x)>0 时，S＝ f (x)dx.
a b
(2)当 f(x)<0 时，S＝－ f (x)dx.

b
(3)当 x∈[a，c]时， f(x)>0；当 x∈[c，b]时，f(x)<0，则 S＝ f (x)dx－ f (x)dx.
y＝kx，则由 2 y＝x －4x， x＝0，得 y＝0 x＝k＋4，或 y＝kk＋4.
(1)当 k＋4>0，即 k>－4 时，面积 S＝＝
k 4 0
( kx－x2＋4x)dx
1 2 1 3 2k＋4 kx － x ＋2x 0 3 2
1
a
5．汽车以v＝3t＋2 (单位：m/s)作变速直线运动时，在第1 s 6.5 至第2 s间的1 s内经过的路程是______ m.
考点1 定积分的计算
例 1：①(2011 年福建) A．1
1
(e x ＋2x)dx 等于( C ) 0
1
B．e－1
C．e
D．e＋1
解析： (e x +2x)dx=(ex+x2)
0
π·32 9 9－x2dx＝ 4 ＝4π，选 C.
③
2
1
5 2 |1－x|dx＝____.
2 1 2
解析： |1－x|dx＝ ( 1－x)dx＋ ( x－1)dx
1 1 1
1 21 ＝x －2x －1＋ 3 5 ＝2－0＋2－1＝2.
1 2 2 x －x1 2

《高等数学》第四版课件-学习指导与习题解析

了解常见无穷级数的性质与求和方法，
如几何级数与幂级数。
3
级数应用
探索级数在实际问题中的应用，如泰勒级数展开与函数逼近。
常微分方程
一阶常微分方程
研究一阶常微分方程的解法与存在唯一性，探索微分方程在实际问题中的应用。
二阶常系数齐次线性微分方程
学习二阶常系数齐次线性微分方程的解法，包括特征方程与特解构造。
微积分学基本定理
不定积分定积分牛顿-莱布尼茨公式
计算函数的不定积分，包括常用的积分表达式。
介绍定积分的概念与性质，以及计算定积分的方法。
理解牛顿-莱布尼茨公式的意义与应用，掌握计算不定积分与定积分的关系。
无穷级数
1
级数收敛性
学习级数的概念与收敛性判定方法，如
常见级数
2
比较判别法与根值判别法。
《高等数学》第四版课件 -学习指导与习题解析
这份课件旨在通过学习指导与习题解析帮助读者理解和掌握《高等数学》第四版的重要内容。从数学分析基础到线性变换，让我们一起探索数学的奥妙！
数学分析基础
1
实数与函数
介绍实数与函数的概念，探索数轴与集合等基础知识。
2
极限
学习Epsilon-Delta定义与极限的计算方法与性质。
2 基与维数
了解线性空间的基与维数，及其在矩阵和向量空间中的应用。
3 线性变换
研究线性变换的定义与性质，包括线性变换的判断与矩阵表示。
矩阵与行列式
矩阵运算
掌握矩阵的加法、乘法及其性质，了解矩阵的转置与对角化。
行列式
学习行列式的计算方法，如拉普拉斯展开和性质运算。
向量分析与曲面积分
1
向量的概念与运算

第四章积分及其应用部分考研真题及解答

第四章积分及其应用 4.1不定积分的概念01.34)设()f x 在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且满足1130(1)(),(1).x f kxe f x dx k -=>⎰证明至少存在一点(0,1),ξ∈使得1()2(1)().f f ξξξ-'=-（积分中值定理+辅助函数()()x F x xe f x -=）.4.2不定积分的计算02.4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ，则()x f x dx '=⎰22ln ln x x C -+01.1)求2arctan xxe dx e⎰（分部积分+裂项） 01.2)求03.2) 计算不定积分.)1(232arctan dx x xe x ⎰+【详解】设t x tan =，则dx x xe x ⎰+232arctan )1(=tdt t t e t 2232sec )tan 1(tan ⎰+=.sin tdt e t ⎰又t d e tdt e t t cos sin ⎰⎰-==)cos cos (tdt e t e tt ⎰--=tdt e t e t e tt t sin sin cos ⎰-+-，故.)c o s (s i n 21s i n C t t e t d t e tt +-=⎰ 因此 dx x xe x⎰+232arctan )1(=C x x x e x ++-+)111(2122arctan =.12)1(2arctan C x e x x++- 06.2) arcsin xxe dx e ⎰求解：原式=22arcsin arcsin ()x x xx e t de e t dt e t =⎰⎰令1arcsin arcsin ()t td t t =-=-+⎰2arcsin arcsin 1(2)2(1)t t udu t t u u -=-+=-+-⎰2arcsin 1t du t u =-+-⎰arcsin 11ln 21t u C t u -=-+++arcsin arcsin 12x x x x e e dx C e e ∴=-++⎰09.23)计算不定积分ln(1(0)x +>⎰t =得22212,1(1)tdtx dx t t -==-- 原式2222221ln(1)ln(1)(1)(1)(1)t t dt t d t t t --=+=+---⎰⎰ 2221ln(1)11ln(1)().1111t t d dt t t t t +=+=----+⎰⎰ 222ln(1)111ln(1)111()ln 14(1)4(1)2(1)1412(1)t t t dt C t t t t t t t +--++=-++=+-+--++--+⎰1ln(14x C =++-+11ln(122x C =+++-+ 09.农)不定积分2,,2t x t dx tdt === 原式2ln(2)ln(2).222ln(2)ln(2)22t t tdt dt t d t t t t ++===++++⎰⎰⎰2ln (2)t c =++2ln (2c =+4.3定积分的概念与性质 04.2) 22lim ln (1)n n→∞+[]B（A ）221ln xdx ⎰. （B ）212ln xdx ⎰.（C ）212ln(1)x dx +⎰. （D ）221ln(1)x dx +⎰02.2) 1lim1cosn n→∞++=提示：利用定积分定义+降幂公式07.1234)连续函数y =f (x )在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()().xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是（ C ）(A ) 3(3)(2)4F F =--. (B) 5(3)(2)4F F =. (C) )2(43)3(F F =-. (D) )2(45)3(--=-F F .03.2) 设⎰=401tan πdx xx I ,dx x xI ⎰=402tan π, 则 [ B ](A) .121>>I I (B) .121I I >> (C) .112>>I I (D) .112I I >>06.4) 设函数()f x 与()g x 在[0,1]上连续，且()()f x g x ≤，且对任何(0,1)c ∈（ D ）（A ）1122()()c cf t dtg t dt ≥⎰⎰（B ）1122()()c cf t dtg t dt ≤⎰⎰（C ）11()()cc f t dt g t dt ≥⎰⎰（D ）11()()ccf t dtg t dt ≤⎰⎰10.123)（I ）比较[]10|ln |ln(1)nt t dt +⎰与10|ln |ntt dt ⎰（1,2,n =）的大小，说明理由. （辅助函数求导法证明ln(1)(01)t t t +<≤≤）（II ）记[]1|ln |ln(1)nn t t dt μ=+⎰（1,2,n =），求极限lim n n μ→∞. （利用前问结果+夹逼定理）4.4微积分学基本定理01.34)设函数0()(),xg x f u du =⎰其中21(1),012(),1(1),123x x f x x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩则()g x 在区间(0,2)内（ D ）（A ）无界（B ）递减（C ）不连续（D ）连续04.4) 设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(，则(A) F (x )在x = 0点不连续.(B) F (x )在(-∞ , +∞)内连续，但在x = 0点不可导. (C) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，且满足)()(x f x F ='.(D) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，但不一定满足)()(x f x F ='.[ B ]06.2) 设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则0()xf t dt ⎰是[B]（A ）连续的奇函数（B ）连续的偶函数（C ）在x =0间断的奇函数（D ）在x =0间断的偶函数02.24)设函数()f x 连续，则下列函数中，必为偶函数的是（ D ）（A ）20()xf t dt ⎰ （B ）20()xf t dt ⎰（C ）[()()]xt f t f t dt --⎰（D ）0[()()]xt f t f t dt +-⎰注：0()()xF x f t dt =⎰与()f x 奇偶性相反05.12)设F (x )是连续函数f (x )的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 [ A ](A ) F (x )是偶函数⇔f (x )是奇函数. (B) F (x )是奇函数⇔f (x )是偶函数.(C) F (x )是周期函数⇔f (x )是周期函数. (D) F (x )是单调函数⇔f (x )是单调函数. 04.12)把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===302sin ,tan ,cos 2γβα，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 [ B ] (A) γβα,,. (B) βγα,,. (C) γαβ,,. (D) αγβ,,. 08.1)设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰，则()f x '的零点个数为（ B ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）308.3) 设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0()()xf t dtg x x=⎰的（ B ）()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点. ()C 无穷间断点. ()D 振荡间断点.09.123) 设函数()y f x =在区间[-1,3]上的图形为则函数0()()xF x f t dt =⎰为（ D ）(考点：函数与其导函数之间的关系，定积分的几何意义。

22考研复习全书选讲第五讲一元函数积分学(3)2021.4.30

2022年研究生入学考试高等数学复习全书选讲
2021年4月
第五讲一元函数积分学(3)
定积分的应用
定积分应用的基本原理——微元法
在用定积分求面积、体积、平均值、表面积、弧长、功、引力、压力等问题时,常常要
利用微元法思想,其基本步骤如下:
（1）所求量 U 是与区间[a, b]以及定义在其上的函数 f (x)有关的量；
其中 (t)、 (t)在[, ]上具有一阶连续导数, 且 (t)、 (t)不同
时为零(极,坐则标曲方线程弧)设长曲为线S弧=由极坐2(标t)方程2
(t)
r
dt
=
. r
(θ)
(
α
≤
θ
≤
β)
给
出, 其中 r (θ)在[, ]上具有一阶连续导数, 则曲线弧长为
S r2( ) r2( ) d .
直线 x=1 所成的旋转体体积 V1.(3) 求 D 绕 x 轴旋转一周所得
旋转体的体积 V2. (3) D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积
V2
1 (e x )2 dx
1 (ex)2 dx e2 .
0
6
V2 2
e y( y ln y)dy e2 .
0e
6
全书一，P123[例2]；全书二，P119[例2]；
0
2
a2( 1 cos )2 ( a sin )2 d
0
2 2a c osd
0
2
a8
si
2
n0
=
8a|
.
全书三，P114[例5]；
例 8(2010 数 3) 设位于曲线 y
1
( e x<+ )下方, x 轴上方的

高等数学(微积分)ppt课件

，且f'(x0)=0，则可通过二阶导数 f''(x0)的符号来判断f(x)在x0处取得极大值还是极小值。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义无穷序列的部分和序列
级数的性质加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散部分和序列有极限则级数收敛，否则发散
常见级数及其敛散性等差级数、等比级数、调和级数、交错级数等，通过比较法、比值法、根值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时的无穷小量。

电子教案-高等数学(工科类)(魏寒柏骈俊生)ppt-第四章一元函数积分学及其应用-电子课件

计
算
A
1 x2dx
0
1x3 3
1 0
1 3
0
1 3
例计算下列定积分
41
第二
(1)
1
dx x
(2) 2 cosxdx 0
节
解：先运用相应的积分公式求出原函数，再
定积
利用牛顿-莱布尼兹公式计算它在上、下限处
分的
函数值的差。
计算
(1)
4 1
1 dx 2 x
x
4 1
4
2
2
(2)
2
2 cosxdx sin x 1 0 1
第
点x1 x2 , , xn1 ，如果记x0 a, xn b，这样就把区
一节
间[a,b] 任意分成了n 个小区间[xi1, xi ], i 1,2, , n，其长
度对应记为xi xi xi1 ，且将所有小区间长度的最
定积分的概
大值记为 max{ xi}。在每个小区间[xi1, xi ]上任取一
一节
“取极限”四个步骤.
定
(1) “分割”
积分
在区间[0,1]内均匀地插入n 1个分点：
的概念
x1
1 n , x2
2 , n
, xn1
n 1 n
得到n个等分小区间，记
小区间对应的小曲边形
面积为si (i 1,2, , n) ，于
是有：A
n
si
i 1
(2) “近似”
第一节
以点每xi 个ni 处小的区函间数的值长度f (xi)x作i 1n高作，底就，可区得间到的n右个端小矩形，如果把它们的面积分别记作Ai ,(i 1,2, ,n)

一元函数积分学及其应用(课件)

注意：利用MATLAB的int函数求不定积分时，只是求出被积函数的一个原函数，不会自动补充常数项 C 。
18
第、。二节不定积分的运算
、
【例 5】求 sin2 x d x 。 2
解
sin2 x d x 1 cos x d x
2
2
1 d x 1 cos x d x
2
2
1 x 1 sin x C 22
1 3
x3
x2
，
所以
1 3
x3
是
x
2
的一个原函数
因此
x2 d x 1 x3 C 。 3
8
第一节不定积分的概念与性质
【例２】求 1 d x ， x (∞,0)∪(0,∞) 。 x
解当 x > 0 时，由于 (ln x) 1 ，所以 ln x 是 1 在 (0,∞) 内的一个原函数。因此，在 (0,∞)
该性质可推广到被积函数是有限多个函数代数和（差）的情况，即
[ f1(x) f2 (x) fn (x)]d x f1(x) d x f2 (x) d x fn (x) d x 。
法则 2 被积函数中的常数因子可以提到积分号外面，即
kf (x)d x k f (x)d x ( k 是常数, k 0 )。
第、一节不定积分的概念与性质
、
三、不定积分的性质求不定积分和求导数（微分）互为逆运算，即当微分号与积分号放在一起时会“抵消”掉，显然有以下两条基本性质：
性质 4.1 [ f (x)d x] f (x) 或 d f (x)d x f (x)d x ；性质 4.2 F(x)d x F(x) C 或 d F(x) F(x) C 。
间 I 内的不定积分，记为 f (x)d x ，即

高等数学第4章一元函数积分学及其应用

x
10
水平渐近线: 若 lim f x c，则直线y c是y f x 的图形 x x x
的水平渐近线。
y
y
1
y ex
y thx
O
O
x
-1
x
x ，y 0.
x ，y 1; x ，y 1.
y 0是y e x的水平渐近线。 y 1是y thx的水平渐近线。
11
5.当x 时, f x A与两个单边极限的关系：
成立, 则称x x0时, f x有右极限A.记作:
f
x0
0
lim
xx0 0
f
x
A.
极限存在的充要条件(38
题)
定理3：
lim
x x0
f x
A
f x0
0
f x0
0
A
注：定理3经常用于判断极限不存在的情况。
8
4. x 时函数 f (x) 的极限
自变量的绝对值x 无限增大x 时, 函数值f x无限接近于确定的数值A f x A, 则A就叫做函数f x当x 时的
存在点x0的某一去心邻域,在该邻域内f x 0,
这与f x 0的假设矛盾. 故A 0.
问题：比较定理1、2，注意“＞”和“≥”，为什么？
6
3. 左、右极限，函数极限存在的充分必要条件左、右极限：
x x0意味着点x从x0的左右两侧都无限趋近于x0 .
如果只考虑点x从x0的左侧无限趋近于x0 ,记作x x0 0.
注3: 正数与x无关，仅依赖于，但不是唯一的,
比小的任何正数都可以。
3
几何解释： lim f x A x x0
y
A
A
。

高等数学课件第4章一元函数微分学

要
熟
(1)1cs xcco xtd x csx cC ;
记
(12)
1 dxarcsinxC;
1 x2
(13)
2020/3/22
11x2dx微积分a--r不c定t积a分n 概念x 与性质 C.
12
例1 求积分 (3x22x1)dx
3x2dx 2xdx 1dx
x3x2xC 注:最后结果
x
2
dx
21a(a1xa1x)dx
21a(d(aaxx)d(aaxx))
1(lnaxlnax)C 1 ln a x C公式!
或
2a1 x2
a2
dx
1 ln 2a
xa xa
2a C
ax
2020/3/22
微积分--不定积分概念与性质
29
例6
1
dx
116x x2
1 d(x3)
20(x3)2
arcsin(x3)C 20
1 a)(x
dx b)
提示：拆项
[注 : 1 1( 1 1)] (xa)(xb) baxa xb
2020/3/22
微积分--不定积分概念与性质
23
作业：
P164： 4-1 (2)(3)(7)(8) 4-3
预习4.2 换元积分法
2020/3/22
微积分--不定积分概念与性质
24
复习: F(x)dx F d(xF)(xC) F(x)C
如果函数 f ( x)在区间 I 内连续，那么在区间 I内存在可导函数 F (x )，使 x I ，都有 F ( x ) f ( x ) .
简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？

一元函数的积分学及其应用2

b
F a f (x)dx.
第2页/共15页
2.平面图形的面积计算
1）直角坐标系情形
由定积分的几何意义，在区间 [a, b] 上的非负连
续曲线 y f (x) 、 x 轴及二直线 x a 与 x b 所围成的曲边梯形的面积 S 是
b
S a f (x)dx ，
其中被积表达式 f (x)dx 就是直角坐标下的面积元素，
物体移动了距离s时，力F 对物体所作的功为
W F s.
如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法” 思想.
第7页/共15页
第8页/共15页
2. 水压力
由物理学知道，在水深为h处的压强为 p gh ，这里是水的密度．如果有一面积为 A 的平板水平地放置在水深为h处，那么，平板
点 M ，计算该棒对质点 M 的引力．
解建立坐标系如图
ly
取y为积分变量
yБайду номын сангаас
l 2
,
2l ,
取任一小区间[ y, y dy]
2 y dy
yr
o a •M
x
将典型小段近似看成质点
l 2
小段的质量为 dy,
第13页/共15页
小段与质点的距离为 r a2 y2 ,
引力
mdy
F k a2 y2 ,
这是 F 能用定积分计算的前提，于是，上述四步简化后形成实用
的微元法.
定积分应用的微元法：
(一) 在区间 a,b 上任取一个微小区间 x, x dx ，然后写出
在这个小区间上的部分量ΔF 的近似值，记为dF f (x)dx (称为 F 的微元);
（二）将微元dF 在a,b 上积分（无限累加），即得

第四一元函数积分学-精选

x 2 sx i n 2 x sx in d x 2 s x x i 2 n x d (c x )o
x 2 sx i 2 n x cx o 2 s sx i C n
(4 )e xco xs d e x xd(sxi)n
exsixn sixn (d ex)
举例：书P155～157
例1：求下列不定积分。
(1)(xx1sinx)dx
(2) ex(32x)dx
解 (1 )(xx 1 six)n d x (1 1 x six)n
1d x 1xd xsinx d x
xln| x| cos C
(2 )e x(3 2 x)d x(3 e x (2 e )x)dx
exsixnexsixndx
exsixn exd(co x)s
e x s x i c n x x o e ( c s x ) d ( o e x )s
视 (3x 1 )u1u1d 0 x11u1 1C
3
311
还u原 3x11(3x1)11 C 33
一般地，凑微分法是先将∫f(x)dx中的f(x)dx凑成微分形式(可统一变量的微分形式)
f( x ) d x f1 ( u ( x )d ( ) u ( x )视 ) u ( x ) u f1 ( u ) du
定理1，若F(x)是f(x)在某区间上的原函数，则
F(x)+C(C为任意常数)包含了f(x)的全体原函数。如：在任一点x处切线斜率为2x的曲线方程是y=x2+c 2、不定积分的定义定义2，对于某区间D上的函数f(x)，若存在原函数，则
称f(x)为可积函数，并将f(x)的全体原函数记为

《高等数学(一)微积分》讲义

f −1 : f (D) → D
5. 复合函数
给定函数链 f : D1 → f (D1) g : D → g(D) ⊂ D1
则复合函数为 f o g : D → f [g(D) ]
6. 初等函数由基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的由一个表达式表示的函
数。
4/69
二、极限（1．概念回顾 2、极限的求法，）
=
lim
x→π
1 cos x
sin x
-2 ⋅ 2（π
−
2 x）=
lim
x→π
1 -4 sin
cos x
x（π − 2x）
2
2
2
=
lim
x→π
1 -4 sin
x
⋅
cos
lxi→mπ（π −
2xx ）=
1 -4
lim
x→π
−
sin −2
x =
−
1 8
2
2
2
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注：使用洛必达法则必须判断所求的极限是分式型的未定式 ∞ 、 0 。 ∞0
例 5：
求 lim x→∞
x+5 x2 − 9
．
解：
lim
x→∞
x+5 x2 − 9
=
lim
x→∞
1 x
+
5 x2
1−
9 x2
=
1 lim( x→∞ x
+
5 x2
)
=
0
=
0．
lim(1 −
x→∞
9 x2
)
1
知识点：设a0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m, n ∈ N ，

医学高等数学PPT课件

（4）利用函数的连续性计算：连续函数在一点的极限值等于函数在该点的函数值。（5）利用洛必塔法则计算：参看第四章的有关内容。
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2、函数连续理解函数在一点连续的概念，它包括三层含义：① f (x) 在 x 0 的一个邻域内有定义； ② f (x) 在 x 0 处存在极限；③极限值等于 f (x) 在 x 0 处的函数值，这三点缺一不可。若函数f (x) 在 x 0 至少有一条不满足上述三条，则函数在该点是间断的，会求函数的间断点。了解函数在区间上连续的概念，由函数在一点连续的定义，会讨论分段函数的连续性。知道连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍是连续函数，两个连续函数的复合仍为连续函数，初等函数在其定义域内是连续函数。知道闭区间上连续函数的性质（最大最小值存在定理、零点定理、介值定理）。
求 y 直接求导比较麻烦，采用取对数求导法，将上式两端取对数得
两端求导得
lny1lnx (1)1lnx (2)
2
3
y 1 1 y 2(x1) 3(x2)
整理后便可得 y x1 x8 3 x2 6(x2 x2)
⒍了解高阶导数的概念；会求函数的二阶导数。
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第二章：一元函数微分学二、导数的应用
则 f [ ( x ) ( x ] ) d f x [ ( x ) d ( ] x ) F [ ( x ) C ]
______凑微分法
x ( t )
f ( x ) d x f [ ( t ) d ] ( t ) f [ ( t ) ( ] t ) d F [ t( t ) C ]
微分四则运算法则与导数四则运算法则类似
d(uv)dudv

《高等数学》PPT课件-第三章一元函数积分学

一般规律如下：当被积函数中含有可令令可令基本积分表
六、分部积分
问题解决思路利用两个函数乘积的求导法则.
分部积分公式
例1 求积分解（一）令
显然，选择不当，积分更难进行. 解（二）令
练习求积分解令
例2 求积分解
（再次使用分部积分法）
总结 (1)若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
有理函数
多项式 + 真分式
相除
分解
若干最简分式之和
【例】
【难点】将真分式化为最简分式之和.
真分式积分举例 [例1] 求 [解] 特点：分母可以分解为两个一次因式之积
待定系数法
故
[例2] 求 [解]
于是原式=
特点：分母含有二次质因式方法具有一般性
[例3] 求积分
化成含有重因式
[解] 特点：分母中两个因式有公因式
2. 使用经验 : “反对幂指三” , 前 u 后v ′
3. 题目类型 : 分部化简— 降幂法；转换法；循环法.
【注意】循环法两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C .
七、有理函数的积分
1.【有理函数】两个多项式的商表示的函数称之(有理分式).
时, 为假分式;
时, 为真分式
和都是
的原函数，
（为任意常数）
（为任意常数）
4. 不定积分的定义：
积分号
被积函数
被积表达
式
积分变量
任意常数
例1 求解
例2 求解
5. 不定积分的几何意义：

高等数学1微积分教材

高等数学1微积分教材微积分是高等数学中的重要分支，它是研究函数变化的一种方法和技巧。

在高等数学教学中，微积分教材起着承上启下的作用，帮助学生掌握微积分的基本原理和应用技巧。

本文将就高等数学1微积分教材的内容进行详细分析。

第一章：函数与极限第一章主要介绍了函数的概念和性质，并引入了极限的概念。

通过学习这一章的内容，学生将对函数的定义和图像有一个初步的了解，并能够通过极限求解一些基本的函数极限值。

第二章：导数与微分第二章是微积分的核心章节，主要讲解导数和微分的概念及其应用。

在这一章中，学生将学习导数的定义、性质和求导的基本法则，掌握导数的几何和物理意义，并能够用导数求解函数的最值、切线和曲率等问题。

第三章：不定积分第三章讲解不定积分的概念和性质，介绍了不定积分的基本法则和求解方法。

学生将通过学习本章的内容，掌握不定积分的计算技巧，能够求解简单的不定积分和定积分，并理解积分的几何和物理意义。

第四章：定积分与应用第四章是定积分的学习内容，主要介绍了定积分的概念、性质和计算方法，在此基础上，应用定积分解决几何问题和物理问题。

通过学习本章，学生将掌握定积分的计算技巧，能够利用定积分求解面积、弧长、体积等问题。

第五章：微分方程第五章是微分方程的学习内容，主要介绍了微分方程的基本概念、解的存在唯一性和一阶微分方程的常见解法。

学生将通过学习本章，掌握一阶微分方程的解法，并能够应用微分方程解决实际问题。

第六章：无穷级数第六章讲解了无穷级数的概念、性质和判敛方法，引入了收敛级数与函数展开的概念。

学生将通过学习本章，了解无穷级数的表示方法和性质，掌握级数收敛的判定方法，并能够将函数展开成幂级数。

通过以上章节的学习，学生将初步掌握高等数学1微积分的基本原理和应用技巧。

除了以上章节外，高等数学1微积分教材还涵盖了其他相关内容，如多元函数的导数和积分、微分方程的高阶解法等。

在教学过程中，教师需要结合具体的教学实际，灵活运用教材内容，设计合理的练习和习题，帮助学生深入理解微积分的概念和方法，并培养其分析和解决问题的能力。

【课件-高等数学】_第四章 一元函数的积分及其应用_3