高一数学知识点汇总讲解大全知识讲解
高一数学复习重点知识点讲解
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高一数学复习重点知识点讲解在高一的数学学习中,有一些重点知识点需要我们加强复习和理解。
下面是几个重要的数学知识点的讲解。
一、集合与函数1. 集合的定义和表示方法:集合是指具有某种特定性质的元素的总体。
例如,全体大写字母组成的集合可以表示为A={A, B, C, ... , Z}。
2. 集合的运算:并集、交集和差集是常见的集合运算。
并集表示两个集合中的所有元素的总体,交集表示两个集合共有的元素,差集表示属于第一个集合而不属于第二个集合的元素。
3. 函数的定义和表示方法:函数是一种特殊的关系,每一个自变量都对应唯一的因变量。
通常用f(x)表示函数,其中x为自变量,f(x)为对应的因变量。
二、三角函数1. 基本三角函数:常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数和单位圆上的点的坐标有着密切的关系,通过它们可以计算角度和边长之间的关系。
2. 三角函数的性质:三角函数具有周期性、奇偶性、函数值范围等特点。
这些性质的理解对于解题和理论推导都很重要。
3. 三角函数的图像与变换:了解三角函数的图像变化规律,包括振幅、周期和相位差的变化,有助于我们对函数进行分析和绘图。
三、平面向量1. 平面向量的定义和表示方法:平面向量是具有大小和方向的量,通常用箭头表示。
向量的起点和终点可以表示向量的方向和位移。
2. 平面向量的运算:平面向量的运算包括加法、减法、数乘和点乘。
这些运算可以用来求解向量的模长、夹角、投影等问题。
3. 平面向量的共线和垂直判定:两个向量共线表示它们的方向相同或相反,可以通过比较它们的分量来进行判定。
两个向量垂直表示它们的内积为零。
四、导数与微分1. 导数的定义和计算方法:导数表示函数在某一点处的变化率,通常用f'(x)或dy/dx表示。
导数的计算可以通过通用的求导公式或链式法则进行。
2. 导数的应用:导数在求解函数的极值、函数图像的变化趋势和曲线的切线方程等问题中起着重要的作用。
高一数学知识点全部归纳
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高一数学知识点全部归纳一、集合1. 集合的概念:把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合。
2. 集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性。
3. 集合的表示方法:列举法、描述法、图示法。
4. 集合间的关系:子集、真子集、相等。
5. 集合的运算:交集、并集、补集。
二、函数1. 函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B的一个函数。
2. 函数的三要素:定义域、值域、对应法则。
3. 函数的表示方法:解析法、列表法、图象法。
4. 函数的单调性:设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x₁,x₂,当 x₁ x₂时,都有 f(x₁) f(x₂)(或 f(x₁) > f(x₂)),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数(或减函数)。
5. 函数的奇偶性:设函数 f(x)的定义域为 D,如果对于定义域D 内任意一个 x,都有x∈D,且 f(x) = f(x)(或 f(x) = f(x)),那么函数 f(x)就叫做奇函数(或偶函数)。
三、指数函数和对数函数1. 指数函数:一般地,函数 y = a^x(a > 0 且a ≠ 1)叫做指数函数。
指数函数的图象和性质:当 a > 1 时,函数在 R 上单调递增;当 0 a 1 时,函数在 R 上单调递减。
2. 对数函数:一般地,如果 a^x = N(a > 0 且a ≠ 1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x = logₐN。
函数 y = logₐx (a > 0 且a ≠ 1)叫做对数函数。
对数函数的图象和性质:当 a > 1 时,函数在(0, +∞) 上单调递增;当 0 a 1 时,函数在(0, +∞) 上单调递减。
数学课本知识点大全高一
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《高一数学课本知识点大全》高中数学是一门重要的学科,它不仅能够培养我们的逻辑思维能力,还能为我们的未来学习和生活打下坚实的基础。
高一是高中数学学习的关键时期,掌握好高一数学课本的知识点至关重要。
本文将对高一数学课本的知识点进行全面梳理。
一、集合与常用逻辑用语1. 集合的概念集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。
集合中的对象称为元素。
集合通常用大写字母表示,元素用小写字母表示。
2. 集合的表示方法(1)列举法:将集合中的元素一一列举出来,用花括号括起来。
(2)描述法:用集合中元素的共同特征来表示集合。
3. 集合的关系(1)子集:如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B,则称 A是 B 的子集,记作 A⊆B。
(2)真子集:如果 A 是 B 的子集,且存在元素x∈B 但 x∉A,则称 A 是 B 的真子集,记作 A⊂B。
(3)相等:如果 A⊆B 且 B⊆A,则称 A 与 B 相等,记作A=B。
4. 集合的运算(1)交集:由既属于集合 A 又属于集合 B 的所有元素组成的集合,记作A∩B。
(2)并集:由属于集合 A 或属于集合 B 的所有元素组成的集合,记作A∪B。
(3)补集:在全集 U 中,由不属于集合 A 的所有元素组成的集合,记作∁UA。
5. 常用逻辑用语(1)命题:可以判断真假的陈述句叫做命题。
(2)充分条件与必要条件:若 p⇒q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件。
(3)全称量词与存在量词:全称量词表示“所有”,存在量词表示“存在”。
二、函数的概念与性质1. 函数的概念设 A、B 是非空的数集,如果对于集合 A 中的任意一个数 x,按照某种确定的对应关系 f,在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y=f(x),x∈A。
2. 函数的三要素(1)定义域:函数中自变量 x 的取值范围。
(2)值域:函数值 y 的取值范围。
高一数学必修一知识点梳理与总结
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高一数学必修一知识点梳理与总结鹏博教育高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念集合是由一些元素组成的整体。
元素具有确定性、互异性和无序性。
例如,{a,b,c}和{a,c,b}表示同一集合。
集合可以用列举法和描述法表示。
例如,集合A可以表示为A={我校的篮球队员},或者用描述法表示为A={x R|x-3>2}。
常用的数集有非负整数集N、正整数集N*或N+、整数集Z、有理数集Q和实数集R。
二、集合间的基本关系集合间有包含关系和相等关系。
如果集合A包含于集合B,则称A为B的子集,记作A B。
如果A与B是同一集合,则记作A=B。
空集是不含任何元素的集合,记为Φ。
空集是任何集合的子集,也是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算集合的运算有交集、并集和补集。
交集是由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,记作A B。
并集是由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,记作A B。
补集是由S中所有不属于A的元素组成的集合,记作A的补集。
1.定义集合B为由集合A和集合B'中的元素组成的集合,即B={x|x∈A或x∈B'}。
如图1所示。
2.定义集合CSA为由集合S中属于A的元素和不属于A但属于S的元素组成的集合,即CSA={x|x∈S且(x∈A或x∉A)}。
如图2所示。
3.关于集合A的性质:A与自身的交集等于A本身,即A∩A=A。
A与空集的交集等于空集,即A∩Φ=Φ。
A与集合B的交集包含于A和B中元素共有的部分,即A∩B⊆A且A∩B⊆B。
A与集合B的并集包含于A和B中所有元素的集合,即A∪B包含于A和B的并集。
A与集合B的并集等于A和B中所有元素的集合加上A和B中共有的元素的集合,即A∪B=(A∖B)∪(B∖A)∪(A∩B)。
A与集合B的并集等于集合B与A的补集的补集的并集,即A∪B=(CuA')∩(CuB')。
4.选择题答案:A。
5.集合{a,b,c}的真子集共有7个。
高一数学复习考点知识与题型专题讲解1---集合的概念
![高一数学复习考点知识与题型专题讲解1---集合的概念](https://img.taocdn.com/s3/m/177a112103020740be1e650e52ea551810a6c929.png)
高一数学复习考点知识与题型专题讲解第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念【考点梳理】考点一元素与集合的概念1.元素:一般地,把研究对象统称为元素(element),常用小写的拉丁字母a,b,c…表示.2.集合:把一些元素组成的总体叫做集合(set),(简称为集),常用大写拉丁字母A,B,C…表示.3.集合相等:指构成两个集合的元素是一样的.4.集合中元素的特性:给定的集合,它的元素必须是确定的、互不相同的.考点二元素与集合的关系1.属于:如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a∈A.2.不属于:如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A,记作a∉A.考点三常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集) 正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N+Z Q R考点四:集合的表示(1)列举法:把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.(2)描述法:一般地,设A是一个集合,把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x 所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.【题型归纳】题型一:集合的概念1.考察下列每组对象,能组成一个集合的是()①一中高一年级聪明的学生;②直角坐标系中横、纵坐标相等的点;③不小于3的正整数;④3的近似值.A.①②B.③④C.②③D.①③2.下列说法中正确的有()个:①很小的数的全体组成一个集合:②全体等边三角形组成一个集合;③{}R表示实数集;④不大于3的所有自然数组成一个集合.A.1B.2C.3D.43.下列叙述正确的是()A .方程2210x x ++=的根构成的集合为{}1,1--B .{}220x x +==∅C .集合(){},5,6M x y x y xy =+==表示的集合是{}2,3D .集合{}1,3,5与集合{}3,1,5是不同的集合题型二:元素与集合的关系4.下列关系中①0N ∈;②27Z ∈;③3Z -∉;④Q π∉正确的个数为( )A .0B .1C .2D .35.下列五个写法,其中正确写法的个数为( )①{}{}00,1,3∈;②{}0∅⊆;③{}{}0,1,21,2,0⊆;④0∈∅;⑤0∅=∅IA .1B .2C .3D .46.设集合2{|2}M x R x =∈…,1a =,则下列关系正确的是( )A .a M ÜB .a M ∉C .{}a M ∈D .{}a M Ü题型三:元素特性技巧解题7.已知a R ∈,b R ∈,若集合{}2,,1,,0ba a ab a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭,则20192019a b +的值为( )A .2-B .1-C .1D .28.已知{},1,1A x x =+,{}22,,B x x x x =+,且A B =,则x =( )A .1x =或1x =-B .1x =C .0x =或1x =或1x =-D .1x =-9.含有三个实数的集合既可表示成,,1ba a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭,又可表示成{}2,,0a a b +,则20132014a b +()A .-1B .0C .1D .2题型四:集合的表示方法10.若用列举法表示集合311(,)1x y A x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪=⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭,则下列表示正确的是( ) A .{}32x y ==,B .{}(32),C .{}32,D .32x y =⎧⎨=⎩11.在直角坐标系内,坐标轴上的点构成的集合可表示为( )A .{(x ,y )|x =0,y ≠0或x ≠0,y =0}B .{(x ,y )|x =0且y =0}C .{(x ,y )|xy =0}D .{(x ,y )|x ,y 不同时为零}12.集合{1,3,5,7,9,…}用描述法可表示为( )A .{x |x =2n ±1,n ∈Z }B .{x |x =2n +1,n ∈Z }C .{x |x =2n +1,n ∈N *}D .{x |x =2n +1,n ∈N }【双基达标】一、单选题13.已知集合{}1,2A =,{},,B x x a b a A b A ==-∈∈,则集合B 中元素个数为( )A .1B .2C .3D .414.集合{3,x ,x 2–2x }中,x 应满足的条件是( )A .x ≠–1B .x ≠0C .x ≠–1且x ≠0且x ≠3D .x ≠–1或x ≠0或x ≠315.由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是( )A .{x |-3<x <11,x ∈Z }B .{x |-3<x <11}C .{x |-3<x <11,x =2k }D .{x |-3<x <11,x =2k ,k ∈Z }16.下列关系正确的是( )A .0N *∈B .Q π∈C .0∈∅D .2R ∈17.集合A ={1,-3,5,-7,9,L }用描述法可表示为()A .{x |x =2n ±1,n ∈N }B .{x |x =(-1)n (2n -1),n ∈N }C .{x |x =(-1)n (2n +1),n ∈N }D .{x |x =(-1)n -1(2n +1),n ∈N }18.下列叙述正确的是( )A .集合{x |x <3,x ∈N }中只有两个元素B .{x |x 2-2x +1=0}={1}C .整数集可表示为{Z }D .有理数集表示为{x |x 为有理数集}19.有下列四个命题:①{0}是空集;②若a N ∈,则a N -∉;③集合2{|210}A x R x x =∈-+=有两个元素;④集合6B x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭是有限集. 其中正确命题的个数是( )A .0B .1C .2D .320.已知关于x 的方程26(0)x x a a -=>的解集为P ,则P 中所有元素的和可能是( )A .3,6,9B .6,9,12C .9,12,15D .6,12,1521.对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示,其中正确的是( )A .{ x |是小于18的正奇数}B .{}|41,5x x k k Z k =+∈<且C .{}|43,,5x x s s N s =-∈≤且D .{}|43,,5x x s s N s *=-∈≤且22.给出下列6个关系:①22R ∈,②3Q ∈,③0N ∉,④4N ∉,⑤Q π∈,⑥2Z -∉,其中正确命题的个数为( )A .1B .2C .3D .4【高分突破】23.已知集合(){}223A x y x y x Z y Z =+≤∈∈,,,,则A 中元素的个数为( ) A .9B .8C .5D .424.集合{x |3213x -<-≤,x ∈Z }等于( )A .{1,2}B .{0,1,2}C .{1-,0,1,2}D .{0,1}25.已知集合M是方程x2-x+m=0的解组成的集合,若2∈M,则下列判断正确的是()A.1∈M B.0∈MC.-1∈M D.-2∈M26.已知x,y都是非零实数,x y xyzx y xy=++可能的取值组成集合A,则()A.2∈A B.3∉A C.-1∈A D.1∈A27.设集合{1,2,3,4}A=,{5,6}B=,{|,}C x y x A y B=+∈∈,则C中元素的个数为()A.3B.4C.5D.628.设非空数集M同时满足条件:①M中不含元素-1,0,1;②若a∈M,则11aa+-∈M.则下列结论正确的是()A.集合M中至多有2个元素B.集合M中至多有3个元素C.集合M中有且仅有4个元素D.集合M中至少有4个元素29.已知集合{1M=,2m+,24}m+,且5M∈,则m的值为()A.1或1-B.1或3C.1-或3D.1,1-或330.若集合A的元素y满足y=x2+1,集合B的元素(x,y)满足y=x2+1(A,B中x∈R,y∈R).则下列选项中元素与集合的关系都正确的是()A.2∈A,且2∈B B.(1,2)∈A,且(1,2)∈BC.2∈A,且(3,10)∈B D.(3,10)∈A,且2∈B二、多选题31.(多选题)下列各组中M ,P 表示不同集合的是( )A .M ={3,-1},P ={(3,-1)}B .M ={(3,1)},P ={(1,3)}C .M ={y |y =x 2+1,x ∈R},P ={x |x =t 2+1,t ∈R}D .M ={y |y =x 2-1,x ∈R},P ={(x ,y )|y =x 2-1,x ∈R}32.(多选题)若集合A ={x |kx 2+4x +4=0,x ∈R}只有一个元素,则实数k 的值为( ) A .0B .1C .2D .333.在整数集Z 中,被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”,记为[]k ,即[]{}5|Z k n k n =+∈,0k =,1,2,3,4,给出如下四个结论,其中,正确结论的是( ) A .[]20211∈B .[]33-∈C .若整数a ,b 属于同一“类”,则[]0a b -∈D .若[]0a b -∈,则整数a ,b 属于同一“类”34.设非空集合{}S x m x l =≤≤满足:当x S ∈时,有2x S ∈.给出如下四个命题,其中正确命题的有( )A .若1m =,则{}1S =B .若12m =-,则114m ≤≤C .若12l =,则202m -≤≤D .112m -≤≤ 35.下面四个说法中错误的是( )A .10以内的质数组成的集合是{2,3,5,7}B .由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}C .方程x 2﹣2x +1=0的所有解组成的集合是{1,1}D .0与{0}表示同一个集合36.设集合{}3,,A x x m n m n N *==+∈,若1x A ∈,2x A ∈,12x x A ⊕∈,则运算⊕可能是( ) A .加法B .减法C .乘法D .除法37.若集合A 具有以下性质:(1)0∈A ,1∈A ;(2)若x ∈A ,y ∈A ;则x ﹣y ∈A ,且x ≠0时,1x ∈A .则称集合A 是“好集”.下列命题中正确的是( )A .集合B ={﹣1,0,1}是“好集”B .有理数集Q 是“好集”C .整数集Z 不是“好集”D .设集合A 是“好集”,若x ∈A ,y ∈A ,则x +y ∈A三、填空题38.用符号“∈”或“∉”填空:(1)0______N ; (2)2021(1)-_____Z ;(3)44_____Q ; (4)2()π-_____R ;(5)1_____{|}1x x y x =-; (6)1_____{|}1x y y x =-; (7)(2,2)_____{|}1x x y x =-; (8)∅_____ {,{0}}∅.39.若集合2{|440}A x kx x =-+=只有一个元素,则集合A =______.40.已知集合{}221,(1),33A m m m m =+--+,若1A ∈,则2021m =__________.41.设集合{}222,3,3,7,2,0A a a a B a a⎧⎫=-++=-⎨⎬⎩⎭,已知4A ∈且4B ∉,则实数a 的取值集合为__________.42.用符号“∈”或“∉”填空:(1)设集合B 是小于11的所有实数的集合,则23________B ,1+2________B ; (2)设集合C 是满足方程x =n 2+1(其中n 为正整数)的实数x 的集合,则3________C ,5________C ;(3)设集合D 是满足方程y =x 2的有序实数对(x ,y )组成的集合,则-1________D ,(-1,1)________D .43.我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题:“今有三女,长女五日一归,中女四日一归,小女三日一归,问三女何时相会?”则此三女前三次相会经过的天数用集合表示为____.四、解答题44.(1)已知{}221,251,1A a a a a =-+++,2A -∈,求实数a 的值;(2)已知集合{}2340A x R ax x =∈--=,若A 中有两个元素,求实数a 的取值范围.45.已知函数f (x )=2x -ax +b (a ,b ∈R ).集合A ={x |f (x )-x =0},B ={x |f (x )+ax =0},若A ={1,-3},试用列举法表示集合B .46.用描述法表示下列集合,并思考能否用列举法表示该集合(1)所有能被3整除的自然数(2)不等式²230x x +-<的解集(3)²230x x+-=的解集47.已知集合A的元素全为实数,且满足:若a A∈,则11aAa+∈-.(1)若3a=-,求出A中其他所有元素;(2)0是不是集合A中的元素?请你设计一个实数a A∈,再求出A中的元素;(3)根据(1)(2),你能得出什么结论?48.已知集合A={x|ax2-3x+2=0}.(1)若集合A中只有一个元素,求实数a的值;(2)若集合A中至少有一个元素,求实数a的取值范围;(3)若集合A中至多有一个元素,求实数a的取值范围.【答案详解】1.C【详解】①“一中高一年级聪明的学生”的标准不确定,因而不能构成集合;②“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”的标准确定,能构成集合;③“不小于3的正整数”的标准确定,能构成集合;④“3的近似值”的标准不确定,不能构成集合.故选:C.2.B【详解】①很小的数不确定,不能组成一个集合,故错误:②全体等边三角形组成一个集合,故正确;③{}R 表示以实数集为元素的集合,不表示实数集,故错误;④不大于3的所有自然数是0,1,2,3,组成一个集合,故正确. 故选:B3.B【详解】对于A ,方程2210x x ++=的根构成的集合为{}1-,故A 错误;对于B ,方程220x +=无解,所以{}220x x +==∅,故B 正确;对于C ,集合(){},5,6M x y x y xy =+==为点集,集合{}2,3是数集, 故C 错误;对于D ,由集合元素的无序性可得集合{}{}13,1,5,3,5=,故D 错误. 故选:B.4.C【详解】①因为0是自然数,所以0N ∈,故正确;②因为27不是整数,所以27Z ∉,故错误;③因为3-是整数,所以3Z -∈,故错误;④因为π是无理数,所以Q π∉,故正确;故选:C.5.B【详解】解:①{}{}00,1,3Ü,故①错误,②{}0∅⊆,故②正确,③{}{}0,1,21,2,0=,故③正确,④0∉∅,故④错误,⑤0为元素,与∅无法运算,故⑤错误;故选:B6.D【详解】解:22x …,22x ∴-剟,{|22}M x R x ∴=∈-剟,又1a =,a M ∴∈,{}a M Ü.故选:D.7.B【详解】 因为{}2,,1,,0ba a ab a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭, 所以201b a a a b a ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩,解得01b a =⎧⎨=⎩或01b a =⎧⎨=-⎩, 当1a =时,不满足集合元素的互异性,故1a =-,0b =,()2019201920192019101a b +=-+=-,故选:B.8.D【详解】当1x =时,集合{}1,2,1A =,{}1,2,1B =都出现两个1,出现了互异性的错误,排除ABC ,当1x =-时,{}1,0,1A =-,{}1,0,1B =-,A B =,故选:D.本题考查了集合性质,属于基础题.9.A【详解】 解:由题意得,{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭,所以0b a=即0a ≠,1a ≠,即0b =,则有{}{}2,0,1,,0a a a =,所以21a =,解得1a =-, ∴201320141a b +=-.故选:A.10.B【详解】因为3111x y x y +=⎧⎨-=⎩可解得:32x y =⎧⎨=⎩, 所以{}311(,)(32)1x y A x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪==⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭,. 故选:B11.C【详解】A.表示x 轴和y 轴上的点,但不包含原点,故A 错误;B.集合中只有一个元素,就是原点,故错误;C.00xy x =⇔=或0y =,即表示坐标轴上点的集合,故C 正确;D.表示平面中的点,但不包含原点,故错误.故选:C.12.D对于A :{}{|}3,1,1,321,5x x n n Z =--=±∈,,故A 错误;对于B :{}{|}3,1,1,321,5x x n n Z =--=±∈,,故B 错误;对于C :{}*{|}3,5,217,x x n n N =+∈=,,故C 错误;对于D :{}{|}1,3,5,2,17x x n n N ==+∈,,故D 正确.故选:D13.C【详解】解:由题意知:{1,2}a ∈,{1,2}b ∈,{}{}|,,0,1,1B x x a b a A b A ==-∈∈=-,∴集合B 中元素个数为3.故选:C.14.C【详解】集合{3,x ,x 2–2x }中,x 2–2x ≠3,且x 2–2x ≠x ,且x ≠3,解得x ≠3且x ≠–1且x ≠0,故选:C .15.D【详解】解:大于-3且小于11的偶数,可表示为-3<x <11,x =2k ,k ∈Z ,所以由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是{x |-3<x <11,x =2k ,k ∈Z },故D 符合题意;对于A ,集合表示的是大于-3且小于11的整数,不符题意;对于B ,集合表示的是大于-3且小于11的数,不符题意;对于C ,集合表示的是大于-3且小于11的数,,但不一定是整数,不符题意. 故选:D.16.D【详解】对于A ,因为0不是正整数,所以0N *∉,所以A 错误,对于B ,因为π是无理数,所以Q π∉,所以B 错误,对于C ,因为空集是不含任何元素的集合,所以0∉∅,所以C 错误, 对于D ,因为2是实数,所以2R ∈,所以D 正确,故选:D17.C解:观察集合A 的前几项发现:A 的元素都是奇数,并且偶数项为负,奇数项为正; ∴可表示为(1)(21)n x n =-+,n N ∈;{|(1)(21)n A x x n ∴==-+,}n N ∈.故选:C.18.B【详解】A.集合中元素有0,1,2,错;B.{}{}22101x x x -+==,正确;C.整数集表示为Z ,错;D.有理数集表示为{x |x 为有理数},错.故选:B.19.B【详解】①{0}中有一个元素0,不是空集,不正确;②中当0a =时不成立,不正确;③中2210x x -+=有两个相等的实数根,因此集合只有一个元素,不正确; ④中集合6{|}{1,2,3,6}B x N N x=∈∈=是有限集,正确, 故选:B20.B【详解】解:关于x 的方程26(0)x x a a -=>等价于260x x a --=①,或者260x x a -+=②. 由题意知,P 中元素的和应是方程①和方程②中所有根的和.0a >,对于方程①,()2(6)413640a a ∆=--⨯⨯-=+>.∴方程①必有两不等实根,由根与系数关系,得两根之和为6. 而对于方程②,364a ∆=-,当9a =时,0∆=可知方程②有两相等的实根为3, 在集合中应按一个元素来记,故P 中元素的和为9; 当9a >时,∆<0方程②无实根,故P 中元素和为6; 当09a <<时,方程②中0∆>,有两不等实根,由根与系数关系,两根之和为6, 故P 中元素的和为12.故选:B .21.D【详解】对于A :{ x |是小于18的正奇数}={}1,3,5,7,9,11,13,15,17,,故A 错误; 对于B :{}{}|41,53,1,5,9,13,17x x k k Z k =+∈<=-且,故B 错误; 对于C :{}{}|43,,53,1,5,9,13,17x x s s N s =-∈≤=-且,故C 错误;对于D :{}{}|43,,51,5,9,13,17x x s s N s *=-∈≤=且,故D 正确.故选:D22.A【详解】R 、Q 、N 、Z 分别表示实数集、有理数集、自然数集、整数集, 所以,22R ∈,3Q ∉,0N ∈,42N =∈,Q π∉,22Z -=∈, 因此,①正确,②③④⑤⑥不正确,故选:A .23.A【详解】223x y +≤23,x ∴≤x Z ∈1,0,1x ∴=-当1x =-时,1,0,1y =-;当0x =时,1,0,1y =-;当1x =时,1,0,1y =-;所以共有9个,故选:A.24.B【详解】解:{x |3213x -<-≤,x ∈Z }={x |2-<2x ≤4,x ∈Z }={x |1-<x ≤2,x ∈Z }={0,1,2}, 故选:B .25.C【详解】由2∈M 知2为方程x 2-x +m =0的一个解,所以22-2+m =0,解得m =-2.所以方程为x 2-x -2=0,解得x 1=-1,x 2=2.故方程的另一根为-1.故选:C .26.C【详解】①当x >0,y >0时,z =1+1+1=3;②当x >0,y <0时,z =1-1-1=-1;③当x <0,y >0时,z =-1+1-1=-1;④当x <0,y <0时,z =-1-1+1=-1,∴集合A ={-1,3}.∴-1∈A .故选:C27.C【详解】因集合{1,2,3,4}A =,{5,6}B =,又,x A y B ∈∈,则当5y =时,x y +的值有:6,7,8,9,当6y =时,x y +的值有:7,8,9,10,于是得{6,7,8,9,10}C =, 所以C 中元素的个数为5.故选:C28.D【详解】因为a ∈M ,11a a+-∈M , 所以111111aa a a ++-+--=-1a ∈M , 所以1111a a +---=11a a -+∈M , 又因为11111a a a a -++--+=a ,所以集合M 中必同时含有a ,-1a ,11a a+-,11a a -+这4个元素, 由a 的不确定性可知,集合M 中至少有4个元素.故选:D29.B【详解】解:5{1∈,2m +,24}m +,25m ∴+=或245m +=,即3m =或1m =±.当3m =时,{1M =,5,13};当1m =时,{1M =,3,5};当1m =-时,{1M =,1,5}不满足互异性,m ∴的取值集合为{1,3}.故选:B . 30.C 【详解】集合A 中的元素为y ,是数集,又y =x 2+1≥1,{}[)211,A y y x ==+=+∞,故2∈A ,集合B 中的元素为点(x ,y ),且满足y =x 2+1,(){}2,1B x y y x ==+,经验证,(3,10)∈B .故选:C . 31.ABD 【详解】选项A 中,M 是由3,-1两个元素构成的集合,而集合P 是由点(3,-1)构成的集合;选项B 中,(3,1)与(1,3)表示不同的点,故M ≠P ;选项C 中,M ={y |y =x 2+1,x ∈R}=[)1,+∞,P ={x |x =t 2+1,t ∈R}=[)1,+∞,故M =P ; 选项D 中,M 是二次函数y =x 2-1,x ∈R 的所有因变量组成的集合,而集合P 是二次函数y =x 2-1,x ∈R 图象上所有点组成的集合. 故选ABD . 32.AB 【详解】集合A 中只有一个元素,即方程kx 2+4x +4=0只有一个根, 当k =0时,方程为一元一次方程,只有一个根,当k ≠0时,方程为一元二次方程,若只有一个根,则∆=16-16k =0,即k =1,所以实数k 的值为0或1. 故选:AB 33.ACD 【详解】对于A :因为202140451=⨯+,所以[]20211∈,故选项A 正确; 对于B :因为()3512-=⨯-+,所以[]32-∈,故选项B 错误;对于C :若a 与b 属于同一类,则15a n k =+,25b n k =+,()[]1250(a b n n -=-∈其中1n ,2Z)n ∈,故选项C 正确;对于D :若[]0a b -∈,设5,Z a b n n -=∈,即5,Z a n b n =+∈,不妨令5,Z b m k m =+∈,0k =,1,2,3,4,则()555a m n k m n k =++=++,m ∈Z ,Z n ∈,所以a 与b 属于同一类,故选项D 正确; 故选:ACD. 34.ABC 【详解】对于A 选项,若1m =,则2211x l x l ≤≤⇒≤≤, 根据当x S ∈时,有2x S ∈,可得21l l l≥⎧⎨≤⎩,得101l l ≥⎧⎨≤≤⎩,可得1l =,故{}1S =,A 对; 对于B 选项,若12m =-,则214m =,则214l ll⎧≤⎪⎨≤⎪⎩,解得114l ≤≤,B 对;对于C 选项,若12l =,则12S x m x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭,即212022m m m ≤≤⇒-≤≤,C 对; 对于D 选项,若1m =-,1l =时,此时{}11S x x =-≤≤符合题意,D 错. 故选:ABC .35.CD 【详解】解:10以内的质数组成的集合是{2,3,5,7},故A 正确;由集合中元素的无序性知{1,2,3}和{3,2,1}表示同一集合,故B 正确; 方程x 2﹣2x +1=0的所有解组成的集合是{1},故C 错误; 由集合的表示方法知0不是集合,故D 错误, 故选:CD . 36.AC由题意可设1113x m n =+,2223x m n =+,其中1m ,2m ,1n ,2n N *∈, 则()1212x x m m +=+()123n n ++,12x x A +∈,所以加法满足条件,A 正确;()()1212123x x m m n n -=-+-,当12n n =时,12x x A -∉,所以减法不满足条件,B 错误;()121212112133x x m m n n m n m n ==++,12x x A ∈,所以乘法满足条件,C 正确;11122233x m n x m n +=+,当()11220mnm n λλ==>时,12xA x ∉,所以出发不满足条件,D 错误.故选:AC . 37.BCD 【详解】解:对于A ,假设集合B 是“好集”,因为1B -∈,1B ∈,所以112B --=-∈,这与2B -∉矛盾,所以集合B 不是“好集”.故A 错误;对于B ,因为0Q ∈,1Q ∈,且对任意的x Q ∈,y Q ∈有x y Q -∈,且0x ≠时,1Q x ∈,所以有理数集Q 是“好集”,故B 正确;对于C ,因为2Z ∈,但12Z ∉,所以整数集Z 不是“好集”.故C 正确;因为集合A 是“好集”,所以0A ∈,又y A Î,所以0y A -∈,即y A -∈,又x A ∈,所以()x y A --∈,即x y A +∈,故D 正确. 故选:BCD .38.∈∈∉∈∉∉∉∈. 【详解】(1)N 是自然数集,所以0N ∈; (2)Z 是整数集,所以()202111Z -=-∈;(3)Q 是有理数集,所以442Q =∉; (4)R 是实数集,所以()2R ππ-=∈;(5)1xy x =-中1x ≠,所以11x x y x ⎧⎫∉=⎨⎬-⎩⎭; (6)1xy x =-={}1y y ≠,所以11x y y x ⎧⎫∉=⎨⎬-⎩⎭; (7)(2,2)表示点,{|}1xx y x =-表示数集,所以()2,21x x y x ⎧⎫∉=⎨⎬-⎩⎭; (8)集合{}{},0∅中有2个元素,分别是∅,{}0,所以{}{},0∅∈∅. 故答案为:∈;∈; ∉;∈; ∉; ∉;∉;∈ 39.{}1或{}2解:A 只有一个元素;∴方程2440kx x -+=只有一个解;0k =①时,440x -+=,1x =,满足题意; 0k ≠②时,16160k =-=;1k ∴=;解2440x x -+=得,2x =;{}1A ∴=或{}2.故答案为:{}1或{}2. 40.1 【详解】依题意,分别令11m +=,得0m =,此时()211m -=,不满足互异性; 当()211m -=,得0m =或2m =,检验后,都不满足互异性; 当2331m m -+=,解得:1m =或2m =,经检验,1m =,成立, 所以20211=m . 故答案为:1 41.{4} 【详解】当234a a -=时,可得4a =或1a =-, 若1a =-时,则274a a++=,不合题意;若4a =时,则2711.5a a ++=,|2|2a -=符合题意;当274a a++=,可得1a =-或2a =-, 若1a =-,则234a a -=,不合题意; 若2a =-,则|2|4a -=,不合题意. 综上所述:4a =. 故答案为:{4}42.∉ ∈ ∉ ∈ ∉ ∈ 【详解】(1)∵231211=> ∴23∉B ; ∵(1+2)2=3+22<3+2×4=11, ∴1+2<11 ,∴1+2∈B .(2)∵n 是正整数,∴n 2+1≠3,∴3∉C ; 当n =2时,n 2+1=5,∴5∈C .(3)∵集合D 中的元素是有序实数对(x ,y ),则-1是数, ∴-1∉D ;又(-1)2=1,∴(-1,1)∈D . 故答案为:∉,∈,∉,∈,∉,∈. 43.{}60,120,180 【详解】因为三女相会经过的天数是5,4,3的公倍数,且它们的最小公倍数为60, 所以三女前三次相会经过的天数用集合表示为{}60,120,180. 故答案为:{}60,120,180. 44.(1)32a =-;(2)9016a a ⎧-<<⎨⎩或}0a >. 【详解】(1)因为210a +>,故212a +≠-, 因为2A -∈,则12a -=-或22512a a ++=-.①当12a -=-时,即当1a =-时,此时212512a a a -=++=-,集合A 中的元素不满足互异性; ②当22512a a ++=-时,即22530a a ++=,解得32a =-或1a =-(舍),此时512a -=-,21314a +=,集合A 中的元素满足互异性. 综上所述,32a =-;(2)因为集合{}2340A x R ax x =∈--=中有两个元素,则09160a a ≠⎧⎨∆=+>⎩,解得916a >-且0a ≠, 因此,实数a 的取值范围是9016a a ⎧-<<⎨⎩或}0a >. 45.{-3,3}. 【详解】:解答:A ={1,-3},∴f (1)−1=0,f (−3)−(−3)=0,即1−a +b −1=b −a =0,(9+3a +b )+3=3a +b +12=0, 解得a =−3,b =−3.∴f (x )+ax =2x +3x -3+(-3x )=2x -3=0. ∴x =±3, ∴B ={-3,3}. 46 【详解】(1){|3,}x x n n N =∈,集合中元素个数无穷,不能用列举法表示; (2)2230x x +-<,即(1)(3)0x x -+<,31x -<<,集合为{|31}x x -<<,集合中元素有无数个,不能用列举法表示; (3)集合可表示为2{|230}x x x +-=,列举法表示为{3,1}-.47.(1)由题意可知:3A -∈,则()()131132A +-=-∈--,11()12131()2A +-=∈--,1132113A +=∈-,12312A +=-∈-, 所以A 中其他所有元素为11223-,,; (2)假设0A ∈,则10110A +=∈-,而当1A ∈时,11a a+-不存在,假设不成立, 所以0不是A 的元素,取3a =,则13213A +=-∈-,1(2)11(2)3A +-=-∈--,11()13121()3A +-=∈--,1123112A +=∈-, 所以当3A ∈,A 中的元素是:3,2-,13-,12;(3)猜想A 中没有元素1-,0,1;A 中有4个元素,其中两个元素互为负倒数,另两个元素也互为负倒数. 由(2)知:0,1A ∉, 若1A -∈,则1(1)01(1)A +-=∈--,与0A ∉矛盾,则有1A -∉,即1,0,1-都不在集合A 中, 若实数1a A ∈,则12111a a A a +=∈-,12131211111111111a a a a A a a a a +++-===-∈+---, 311431111()111111()a a a a A a a a +-+-===∈-+--,1415114111111111a a a a a A a a a -+++===∈---+, 又由集合元素互异性知,A 中最多只有4个元素1234,,,a a a a 且132411,a a a a =-=-, 显然12a a ≠,否则11111a a a +=-,得211a =-无实数解,同理,14a a ≠,即A 中有4个元素,所以A中没有元素101-,,;A中有4个元素,其中两个元素互为负倒数,另两个元素也互为负倒数.48.(1)a=0或a=98;(2)9|8a a⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭;(3)a≥98或a=0.【详解】解:(1)当a=0时,原方程可化为-3x+2=0,得x=23,符合题意.当a≠0时,方程ax2-3x+2=0为一元二次方程,由题意得,∆=9-8a=0,得a=98.所以当a=0或a=98时,集合A中只有一个元素.(2)由题意得,当0,980,aa≠⎧⎨∆=->⎩即a<98且a≠0时方程有两个实根,又由(1)知,当a=0或a=98时方程有一个实根.所以a的取值范围是9|8a a⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭.(3)由(1)知,当a=0或a=98时,集合A中只有一个元素.当集合A中没有元素,即A=∅时,由题意得0,980,aa≠⎧⎨∆=-<⎩解得a>98.综上得,当a≥98或a=0时,集合A中至多有一个元素.。
高一数学知识讲解
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高一数学知识讲解高一数学是学习数学的起点,它奠定了后续数学学习的基础。
本文将以高一数学的知识为主线,讲解其中的一些重要内容。
一、集合与函数集合是高一数学的基础概念之一,它是由一定规则确定的元素所组成的整体。
集合的运算有交、并、差等,通过集合的运算可以解决很多实际问题。
函数是一种特殊的集合关系,它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数在数学中有着广泛的应用,例如描述两个变量之间的关系等。
二、平面几何平面几何是高一数学的重要内容之一,它研究的是平面上的图形和变换。
通过学习平面几何,我们可以了解到点、线、面等基本概念,以及它们之间的关系和性质。
平面几何的应用非常广泛,例如在建筑设计、地图绘制等领域都有着重要的作用。
三、解析几何解析几何是高一数学的一大亮点,它将代数和几何相结合,通过坐标系来研究几何图形。
通过解析几何,我们可以用代数的方法解决几何问题,例如求两点之间的距离、求直线的方程等。
解析几何在数学和物理等领域中都有着广泛的应用。
四、数列与数学归纳法数列是高一数学中的一个重要概念,它是按照一定规律排列的一组数。
数列的求和、通项公式等都是高一数学的重点内容。
数学归纳法是解决数列问题的一种常用方法,通过观察数列的性质,利用归纳的思想进行证明。
数列与数学归纳法在数学中有着广泛的应用,例如在概率论、组合数学等领域。
五、三角函数三角函数是高一数学中的一大难点,它是研究角和三角形的函数。
通过学习三角函数,我们可以了解到正弦、余弦、正切等函数的定义、性质和应用。
三角函数在物理、工程等领域中有着广泛的应用,例如在力学中描述物体的运动、在电路中描述交流电的变化等。
六、概率与统计概率与统计是高一数学中的一大亮点,它研究的是随机事件的概率和数据的统计规律。
通过学习概率与统计,我们可以了解到事件的概率计算方法、统计图表的绘制和数据的分析等。
概率与统计在现实生活中有着广泛的应用,例如在投资决策、医学研究等领域。
高中高一数学各章知识点总结《整理》
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高中高一数学各章知识点总结高中高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性:1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示:{ … } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2.集合的表示方法:列举法与描述法。
注意啊:常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集)记作:N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作 a∈A ,相反,a不属于集合A 记作 aA举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。
描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x R| x-3>2}或{x| x-3>2}4、集合的分类:1.有限集含有有限个元素的集合2.无限集含有无限个元素的集合3.空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B 是同一集合。
高一上册数学知识点全面总结及详细解析2024版
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高一上册数学知识点全面总结及详细解析2024版引言高一上册数学是高中数学学习的基础阶段,涵盖了代数、几何、函数等多个方面的知识点。
本文将对这些知识点进行详细总结,帮助学生更好地掌握和应用这些知识。
第一章:集合与函数1. 集合的概念集合的定义与表示方法:集合是指某些确定的、不同的对象的全体。
常用大写字母表示集合,小写字母表示集合中的元素。
集合的表示方法有列举法和描述法。
集合的基本运算(并集、交集、补集):并集是指两个集合中所有元素的集合,交集是指两个集合中共有元素的集合,补集是指全集中不属于某集合的元素的集合。
子集与全集:如果集合A的所有元素都是集合B的元素,则A是B的子集。
全集是指包含所有讨论对象的集合。
2. 函数的概念函数的定义与表示方法:函数是指两个集合之间的一种对应关系,其中每个元素在第一个集合中都有唯一的元素与之对应。
常用符号f(x)表示函数。
函数的性质(单调性、奇偶性、周期性):单调性指函数在某区间内是否保持递增或递减,奇偶性指函数是否关于原点对称或关于y轴对称,周期性指函数是否存在一个周期使得函数值重复出现。
反函数与复合函数:反函数是指将原函数的自变量与因变量互换得到的新函数,复合函数是指两个函数的组合。
第二章:基本初等函数1. 一次函数一次函数的定义与图像:一次函数是指形如y=ax+b的函数,其图像是一条直线。
一次函数的性质与应用:一次函数的斜率a决定了直线的倾斜程度,截距b 决定了直线与y轴的交点。
一次函数广泛应用于实际问题的建模与求解。
2. 二次函数二次函数的定义与图像:二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数,其图像是一条抛物线。
二次函数的性质(顶点、对称轴、开口方向):二次函数的顶点是抛物线的最高或最低点,对称轴是通过顶点的垂直线,开口方向由系数a的正负决定。
二次函数的应用:二次函数在物理、经济等领域有广泛应用,如抛物运动、利润最大化等问题。
3. 指数函数与对数函数指数函数的定义与性质:指数函数是指形如y=a^x的函数,其图像呈指数增长或衰减。
高一数学必修一各章知识点总结
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高一数学必修一各章知识点总结高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1.元素的三个特性:(1)元素的确定性如:世界上最高的山(2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合2. 3.集合的表示:{ …集合的含义集合的中} 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法:列举法与描述法。
◆注意:常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集)记作:N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R1)列举法:{a,b,c……}2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。
{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}4)Venn图:4、集合的分类:(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集A?有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是注意:B同一集合。
?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即:①任何一个集合是它本身的子集。
A?A②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A)③如果 A?B, B?C ,那么 A?C④如果A?B 同时 B?A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
◆有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集三、集合的运算例题:1.下列四组对象,能构成集合的是() A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2.集合{a ,b ,c }的真子集共有个3.若集合M={y|y=x 2-2x+1,x ∈R},N={x|x ≥0},则M 与N 的关系是 .4.设集合A=}{12x x 1,且n ∈N *.◆负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n 。
高一数学必修1知识点大全
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高一数学必修1知识点大全一、集合。
1. 集合的概念。
- 集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。
这些对象称为集合的元素。
例如,全体自然数组成一个集合,每个自然数就是这个集合的元素。
- 集合通常用大写字母表示,如A、B、C等,元素用小写字母表示,如a、b、c等。
- 元素与集合的关系:如果a是集合A的元素,就说a∈ A(读作“a属于A”);如果a不是集合A的元素,就说a∉ A(读作“a不属于A”)。
2. 集合的表示方法。
- 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内。
例如,集合A = {1,2,3}。
- 描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合。
一般形式为{xp(x)},其中x是集合中的代表元素,p(x)是元素x所满足的条件。
例如,{xx是大于2的整数}。
- 区间表示法:对于数集,还可以用区间表示。
- 开区间(a,b)={xa < x < b};- 闭区间[a,b]={xa≤slant x≤slant b};- 半开半闭区间(a,b]= {xa < x≤slant b},[a,b)={xa≤slant x < b};- 无穷区间(-∞,+∞)=R,(a,+∞)={xx > a},[a,+∞)={xx≥slant a},(-∞,b)={xx < b},(-∞,b]={xx≤slant b}。
3. 集合间的基本关系。
- 子集:如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A称为集合B的子集,记作A⊆ B(读作“A包含于B”)或B⊇ A(读作“B包含A”)。
如果A⊆ B且B⊆ A,那么A = B。
- 真子集:如果A⊆ B,且存在元素x∈ B,x∉ A,那么集合A是集合B的真子集,记作A⊂neqq B。
- 空集:不含任何元素的集合叫做空集,记作varnothing。
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
4. 集合的基本运算。
- 交集:由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A 与B的交集,记作A∩ B={xx∈ A且x∈ B}。
高一数学预习知识点汇总
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高一数学预习知识点汇总高一数学预知识点——集合的定义一、知识点讲解1.集合的概念:研究对象统称为元素,一些元素组成的总体叫做集合,也简称集。
2.集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性。
3.元素与集合的关系:1) 如果a是集合A的元素,就说a属于A,记作a∈A。
2) 如果a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作a∉A。
4.常用数集及其记法:全体非负整数的集合:N或N+;所有正整数的集合:N;全体整数的集合:Z;全体有理数的集合:Q;全体实数的集合:R。
5.集合的分类:1) 有限集:含有有限个元素的集合。
2) 无限集:含有无限个元素的集合。
3) 空集:不含任何元素的集合∅。
二、经典例题1.下列所给对象能构成集合的是(D)圆心为定点,半径为1的圆内的点能组成一个集合。
2.集合{1,3,5,7,9}用描述法表示应是(A){x|x是不大于9的非负奇数}。
3.已知集合A={(x,y)|x=y+1,|x|<2,x∈Z},用列举法表示集合A= {(-1,0),(0,-1),(1,0)}。
高一数学预知识点——集合的运算一、知识点讲解1.包含关系:1) 子集:任意x∈A,都有x∈B,则称集合A是集合B的子集。
记作A⊆B(或B⊇A),读作A含于B或B包含A。
2) 规定:任何一个集合是它本身的子集。
对于集合A、B、C,如果A⊆B,且B⊆C,则A⊆C。
3≤x≤7},集合A={x|x∈S。
x为偶数},集合B={x|x∈S。
x为奇数},则A∩B=()A){5}(B){4,6}C){}(D)∅解析】集合A包含S中的4和6,集合B包含S中的3、5、7,它们的交集为空集。
答案】D正确判断的序号是2.对于③,f(x)=x-2x+1化简得f(x)=-x+1,而g(t)=t-2t+1化简得g(t)=-t+1,所以f(x)和g(t)不是同一函数。
对于④,f(x)=|x-1|-|x|,当x≥1时,f(x)=x-1-x=-10.所以f(f(x))<0,即正确判断的序号是4.2.已知函数f(x)=x-3,g(x)=2x+1,则f(g(x))=________.解析】f(g(x))=f(2x+1)=(2x+1)-3=2x-2.所以f(g(x))=2x-2.答案】2x-2.1.图象与直线x=1最多有一个交点;对于③,f(x)与g(x)的定义域、值域和对应关系均相同,因此f(x)和g(x)表示同一函数;对于④,由于f(1)=1-1/2=1/2,所以f(1/2)=2f(1)=2.1.图象和直线x=1最多只有一个交点。
高一数学全部知识点
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高一数学全部知识点1.数与式•自然数、整数、有理数、实数、复数的概念和性质•数轴与绝对值•等式、方程、不等式的基本概念•映射、函数及函数表示法2.函数与图像•函数的定义、定义域、值域、图像和性质•常见函数的图像特征:常函数、一次函数、二次函数、绝对值函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等•函数的运算和复合3.直线和圆•直线的斜率和方程•直线的相关性质和判定方法:平行、垂直、重合•圆的定义、圆心、半径、圆的方程•直线与圆的位置关系:相切、相离、相交4.三角函数•弧度制与角度制的转换•三角函数的概念和性质:正弦、余弦、正切、余切、割、余割•三角函数的图像、周期性和性质•三角函数的运算:加法、差法、倍角、半角公式5.平面向量•向量的概念、模长和方向角•向量的基本运算:加法、数乘、数量积、向量积•向量的共线和垂直关系•平面向量的应用:向量的投影、向量的夹角、平面向量的推导公式6.数列与数列的极限•数列的概念和性质•等差数列和等比数列:通项公式、前n项和公式•数列的极限概念和性质•常见数列的求和公式:等差数列求和、等比数列求和、等差数列求和公式、等比数列求和公式7.数与函数•幂函数、指数函数和对数函数:定义、图像、性质和运算•二次函数:定义、图像、性质和运算•理解指数函数和对数函数的反函数关系8.三角比与三角函数图像的特征•三角比的概念和性质:正弦、余弦、正切、余切、割、余割•三角函数图像的性质:振幅、周期、相位差、图像的平移和伸缩•三角函数的变换公式:倍角、半角、和差、积化和差9.立体几何基础•空间几何基本概念:点、直线、平面等•空间几何图形的性质和判断方法•立体几何的基本概念:体积、面积、曲面积•平行线与平面的关系:平面的平行、垂直和倾斜关系10.空间向量•空间向量的概念和性质•空间向量的坐标表示法和线性运算•空间向量的数量积和向量积•平面与空间的位置关系:平面与平面的位置关系、直线与平面的位置关系、直线和直线的位置关系11.导数•导数的定义和性质•基本初等函数的导数•导数的运算:和、差、积、商、复合函数和参数函数的导数•导数的应用:函数的凹凸性、函数的最值和曲线的切线方程12.数列的概念和表示方法•数列的概念和性质•数列的递推公式和通项公式•等差数列和等比数列的判定方法和求和公式•数列极限的概念和极限性质13.概率与统计•随机事件的概念和性质•频率与概率的关系•排列与组合的概念和计算方法•统计的基本概念和统计方法以上是高一数学的全部知识点,希望对你的学习有所帮助。
高一数学知识点全解
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高一数学知识点全解必修一第一章,集合与函数概念 一,集合1.集合的有关概念:1) 集合的含义:一般的指定的某些对象的全体称为集合(也称为集),集合中的每个对象是集合的一个元素。
2) 集合元素的三个特性:① 元素的确定性 ,如:世界上最高的山② 元素的互异性, 如:由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y ,} ③ 元素的无序性, 如:{A,B,C}和{A,C,B}表示同一个集合 3) 集合的表示方法:① 列举法,将集合中的元素一一列举出来。
如:{我们班的全体学生},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}② 描述法,将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内。
如:{x 23|>-∈x R },{(x,y)|2x+3y=0,x R y R ∈∈,}③ Venn 图,例题:(集合的意义与表示方法)1.一直集合A={33,,222)1(++++a a a a } 若1A ∈,求实数a 的值2.试用列举法和描述法分别表示下列集合① 方程022=-x 所有实根组成的集合 ② 由大于10小于20的整数组成的集合*思考:能否用例举法表示不等式?37<-X作业:基础篇1,基础篇下列集合中,表示方程组的解集的是( )(A ) (B )(C )(D )2,若集合只有一个元素,则实数的值加强篇1,集合A 的元素由0232=+-x kx 的解组成,其中,R k ∈若A 中的元素之多有一个,求k 的 值 2,若,求实数的值。
二,集合间的基本关系 1,“包含”关系--子集注意:A BA AB B A B A B A B ⊄⊆,记作不包含,或者集合不包含于集合反之:集合是同一集合与)的一部分:(是)有两种可能(212“相等”关系:A=B (5》5,且5《5)实例:设 }1,1{},01|{2-==-=B x x A “两个集合表示的元素相通则集合相等”即:① 任何一个集合是它本身的子集② 真子集:如果A B A B ≠⊆,且那就是说集合A 是集合B 的真子集,记作A B(或者B A )③ 如果A B ⊆,C B ⊆,那么C A ⊆ ④ 如果B A A B B A =⊆⊆那么同时 3,不含任何元素的集合叫空集,记作* 有N 个元素的集合,含有个真子集子集,122-N N例题(集合间的基本关系) 1,设,,若,则实数的取值范围是( )(A ) (B ) (C ) (D )2,若集合、、,满足,,则与之间的关系为( )(A ) (B )(C ) (D )作业:基础篇1、图中阴影部分表示的集合是 ( ) A. B C A U I B. B A C U I C. )(B A C UI D. )(B A C UY2、已知集合A={x x ≤2,R x ∈},B={x x ≥a},且B A ⊆,则实数a 的取值范围是( ) (A )a ≥-2 (B )a ≤-2 (C )a ≥2 (D )a ≤23、设全集{}+∈≤=N x x x U ,8|,若{}8,1)(=B C A U I ,{}6,2)(=B A C U I , {}7,4)()(=B C A C U U I ,则 ( )(A ){}{}6,2,8,1==B A (B ){}{}6,5,3,2,8,5,3,1==B A (C ){}{}6,5,3,2,8,1==B A (D ){}{}6,5,2,8,3,1==B A 4、设P=}|),{(},|{22x y y x Q x y x ===,则P 、Q 的关系是 ( ) (A )P ⊆Q(B )P ⊇Q(C )P=Q (D )P ⋂Q=∅加强篇 1,已知集合,,且,求实数的取值范围。
高一数学知识点与习题讲解
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高一数学知识点与习题讲解第一章集合与函数基础知识点整理第1讲1.1.1 集合的含义与表示知识要点:1.把一些元素组成的总体叫作集合(set),其元素具有三个特征,即确定性、互异性、无序性.2.集合的表示方法有两种:列举法,即把集合的元素一一列举出来,并用花括号“ {}”括起来,基本形式为佝盘忌,耳},适用于有限集或元素间存在规律的无限集.描述法,即用集合所含元素的共同特征来表示,基本形式为{X A|P(x)},既要关注代表元素x,也要把握其属性P(x),适用于无限集.3.通常用大写拉丁字母A,B,C,表示集合.要记住一些常见数集的表示,如自然数集N,正整数集N*或N ,整数集Z有理数集Q, 实数集R4.元素与集合之间的关系是属于(belong to )与不属于(not belong to),分别用符号、表示,例如3 N, 2 N .例题精讲:【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合:(1)由方程x(x2 2x 3) 0的所有实数根组成的集合;(2)大于2且小于7的整数.解:(1)用描述法表示为:{x R|x(x2 2x 3) 0};用列举法表示为{0, 1,3}.(2)用描述法表示为:{x Z|2 x 7};用列举法表示为{3,4,5,6}.【例2 ]用适当的符号填空:已知A {x|x 3k 2,k Z},B {x|x 6m 1,m Z},则有:17 ____ A; —5 ____ A 17 __________ B解:由3k 2 17,解得k 5 Z,所以17 A ;由3k 2 5 ,解得k 7 Z,所以5 A ;3由6m 1 17,解得m 3 Z,所以17 B.【例3]试选择适当的方法表示下列集合:(教材P6练习题2, P13 A 组题4)(1)一次函数y x 3与y 2x 6的图象的交点组成的集合;(2)二次函数y x2 4的函数值组成的集合;(3)反比例函数y 2的自变量的值组成的集合.x解: (1) {(x,y)| ' % 3 } {(1,4)}.y 2x 6(2){y|y x2 4} {y|y 4}.(3){x|y 2} {x|x 0}.x点评:以上代表元素,分别是点、函数值、自变量.在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4},也注意对比(2)与(3)中的两个集合,自变量的范围和函数值的范围,有着本质上不同,分析时一定要细心.【例4]已知集合A {a|戶1有唯一实数解},试用列举法表示集合x 2A.解:化方程—1为:x2 x (a 2) 0 .应分以下三种情况:x 2⑴方程有等根且不是 2 :由4=0,得a 9 ,此时的解为x 1,4 2 合.⑵方程有一解为• 2,而另一解不是2:将x 2代入得a 2, 此时另一解x1 2,合.⑶方程有一解为2,而另一解不是V :将x 2代入得a 2 , 此时另一解为x .2 1,合.综上可知,A { 9, ,2, 2}.4点评:运用分类讨论思想方法,研究出根的情况,从而列举法表示•注意分式方程易造成增根的现象•第2讲1.1.2 集合间的基本关系知识要点:1.一般地,对于两个集合A B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,则说两个集合有包含关系,其中集合A是集合B的子集(subset),记作A B(或B A),读作“ A含于B” (或“ B 包含A').2.如果集合A是集合B的子集(A B),且集合B是集合A的子集(B A),即集合A与集合B的元素是一样的,因此集合A与集合B相等,记作A B.3.如果集合A B,但存在兀素x B,且x A,则称集合A是集合B 的真子集(proper subset ),记作A B (或B A).4.不含任何元素的集合叫作空集(empty set),记作,并规定空集是任何集合的子集(1){菱形}{平行四边形三角形}.等腰三角形}等边(2) {x R|x2 2 0};{0};N {0}.(2) =, €, 吕,亍.【例2】设集合A {x|x二n2 能A_B歸_AA. B.表示A与B关系的是(). Z}, B12,n Z},则下列图形!:A. ' B〕解:简单列举两个集合的一些元素, 1, 丄,0,二,1,二,},2 2 2B { , i, 2,2,i, },易知B A,故答案选A.另解:由B {x|x 2n 1 2 ,nZ},易知A,故答案选A.【例3】若集合M x|x2x 6 0 ,Nx|ax 1 0,且N M ,求实数5.性质:A A ;若A B , B C,则A C ;若Ap|B A,贝卩A B ;若A^B A,贝卩B A.例题精讲:【例1】用适当的符号填空:a的值.解:由x2 x 6 0 x 2或(i )若a 0时,得N ,此时,N M ;(ii )若a 0时,得N {-}.若NM ,满足12或13,解得a a a1或a 12 3故所求实数a的值为0或1或1.2 3点评:在考察“ A B ”这一关系时,不要忘记“”,因为A时存在A B.从而需要分情况讨论.题中讨论的主线是依据待定的元素进行•【例4】已知集合A={a, a+b, a+2b},B={a, ax, ax2}.若A=B,求实数x的值.解:若 a b ax2a+ax2-2 ax=0,所以a( x-1) 2=0,即a=0 或x=1.a 2b ax当a=0时,集合B中的元素均为0,故舍去;当x=1时,集合B中的元素均相同,故舍去.. 2若a ax2ax2- ax- a=0.a 2b ax因为a z0,所以2x2-x-1=0,即(x-1)(2 x+1)=0. 又x工1,所以只有x 1.2经检验,此时A=B成立.综上所述x -.2点评:抓住集合相等的定义,分情况进行讨论.融入方程组思想,结合元素的互异性确定集合.第3讲1.1.3 集合的基本运算(一)知识要点:解:在数轴上表示出集合A B, A|[B{X|3 x集合的基本运算有三种,即交、并、补,学习时先理解概念,并掌握符号等,再结合解题的训练,而达到掌握的层次.下面以表格的形式归纳三种基本运算如下.例题精讲:【例1】设集合U R,A {X| 1 X 5},B {X|3 X19},求A B B,(U(A U B).C U(A B) {X|X 1或X 9},【例2】设A {x Z||x| 6} , B 1,2,3 , C 3,4,5,6,求:(1)Af](B「|C) ;(2) AplOLJc).解:;A 6, 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,345,6 .(1)又T B% 3,二A「(B「|C) 3 ;(2)又丫B|JC 1,2,3,4,5,6 ,得C A(B^C) 6, 5, 4, 3, 2, 1,0 .•••A^C A(B U C) 6, 5, 4, 3, 2, 1,0 .【例3】已知集合A {x| 2 x 4} , B {x|x m},且A* A,求实数m的取值范围.解:由Ap|B A,可得A B.在数轴上表示集合A与集合B,如右图所示:由图形可知,m 4 .点评:研究不等式所表示的集合问题,常常由集合之间的关系, 得到各端点之间的关系,特别要注意是否含端点的问题【例4】已知全集U {x|x 10且x N*},A {2,4,5,8},B {1,3,5,8},求C U(A U B),C u(A「|B),(C U A^(C U B),(C d A) J (C d B),并比较它们的关系解:由A「B {1,2,3,4,5,8},贝S C U(A J B) {6,7,9}. 由A「B {5,8},贝S C u(Ap)B) {1,2,346,7,9}由C U A {1,3,6,7,9} , C U B {2,4,6,7,9},则(C u A)f](C u B) {6,7,9},(C U A)U(C U B) {1,2,3,4,6,7,9}.由计算结果可以知道,(C u A)U(C u B) C u(A『B),(C u A)f|(C u B) C u(^.B).另解:作出Venn图,如右图所示,由图形可以直接观察出来结点评:可用Venn图研究(C U A)U GB)C U(A『B)与(C u A)p|(C u B)C U(A J B),在理解的基础记住此结论,有助于今后迅速解决一些集合问题.第4讲1.1.3 集合的基本运算(二)知识要点:1.含两个集合的Venn图有四个区域,分别对应着这两个集合运算的结果.我们需通过Venn图理解和掌握各区域的集合运算表示,解决一类可用列举法表示的集合运算.通过图形,我们还可以发现一些集合性质:C U (A 口B) (C U A) I (C U B) , C U(^J B)(C U A)『G B).2.集合元素个数公式:n(A「B) n(A) n(B) n(A^B).3.在研究集合问题时,常常用到分类讨论思想、数形结合思想等.也常由新的定义考查创新思维.例题精讲:【例1】设集合A 4,2a 1,a2,B 9,a 5,1 a,若A^B 9,求实数a的值.解:由于A 4,2a 1,a2,B 9,a 5,1 a,且B 9,则有:当2a 1=9时,解得a=5 ,此时A={-4, 9, 25}, B={9, 0, -4},不合题意,故舍去;当a2=9时,解得a=3或—3 .a=3时,A={-4,5,9}, B={9, -2,-2},不合题意,故舍去;a= —3, A={ —4, —7,9}, B={9, —8, 4},合题意、.所以,a=—3.【例2】设集合A {x|(x 3)(x a) 0,a R} , B {x|(x 4)(x1) 0},求A U B ,A". (教材P14 B组题2) 解:B {1,4}.当a 3 时,A {3},则A「B {1,3,4}, B ;当a 1时,A {1,3},则A「B {1,3,4} , A^B {1};当a 4 时,A {3,4},则A「B {1,3,4}, A「B {4};当a 3 且a 1 且a 4 时,A {3,a},贝卩A J B {1,3,4,a} , B .点评:集合A含有参数a,需要对参数a进行分情况讨论.罗列参数a的各种情况时,需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析,不多不少是分类的原则.【例3】设集合A ={ x| x2 4x 0},B ={x| x2 2(a 1)x a2 1 0,a R},若A B=B,求实数a的值.解:先化简集合A={ 4,0}.由A B=B,则B A可知集合B可为,或为{0},或{- 4},或{ 4,0}.(i )若B=,贝S 4(a 1)2 4(a2 1) 0,解得a V 1 ;(ii )若o B,代入得a2 1 =0 a=1 或a= 1 ,当a = 1时,B=A,符合题意;当a= 1时,B={0} A,也符合题意.(iii )若一4 B,代入得a2 8a 7 0 a =7或a=1,当a = 1时,已经讨论,符合题意;当a=7时,B={ —12, —4},不符合题意.综上可得,a=1或a < 1 .点评:此题考查分类讨论的思想,以及集合间的关系的应用.通过深刻理解集合表示法的转换,及集合之间的关系,可以把相关问题化归为解方程的问题,这是数学中的化归思想,是重要数学思想方法.解该题时,特别容易出现的错误是遗漏了A=B和B=的情形,从而造成错误.这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.【例4】对集合A与B,若定义A B {x|x A,且x B},当集合A {x|x 8,x N*},集合B {x|x(x 2)(x 5)(x 6) 0}时,有A B= .(由教材P12补集定义“集合A相对于全集U的补集为C U A {x|x U,且X A} ”而拓展)解:根据题意可知,A {123,4,5,6,7,8},B {0,2,5,6}由定义A B {x|x A,且x B},贝SA B {1,3,4,7,8}.点评:运用新定义解题是学习能力的发展,也是一种创新思维的训练,关键是理解定义的实质性内涵,这里新定义的含义是从A中排除B的元素.如果再给定全集U则A B也相当于Ap|(C u B).第5讲1.2.1 函数的概念知识要点:1.设A、B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f : A—B为从集合A到集合B的一个函数(function ), 记作y=f(x),x A.其中,x叫自变量,x的取值范围A叫作定义域(domain),与x的值对应的y值叫函数值,函数值的集合{f(x)|x A}叫值域(range).2.设a、b是两个实数,且a<b,贝卩:{x| a< x< b} = [ a, b]叫闭区间;{ x| a<x<b} = (a, b)叫开区间;{x| a<x<b} =[a,b), { x| a<x< b} = (a,b],都叫半开半闭区间.符号:Q”读“无穷大” ;“―^”读“负无穷大” ;“ +乂”读“正解:(1)要使函数有意义,则5 4x 0,解得x ;■所以原函数的3x 2 y 5 4x 1 12x 84 5 4x3(4x 5) 234x3234 5 4x;,所以值域(2) (x 1 22)所以原函数的定义域是R,值域【例3】已知函数f(1求:(1)f(2)的值;(2)f(x)的表无穷大”.则{x|x a} (a, ) , {x|x a} [a, ) , {x|x b} ( ,b) , {x|x b} ( ,b], R (,).3.决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则.当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时,函数才是同一函数.例题精讲:【例1】求下列函数的定义域:(1)V 1;(2)y 3「x—3.y |x 2 i, 2 解:(1)由x 2 1 0,解得x 1且x 3,所以原函数定义域为( ,3尢(3, MJ(1)•(2)由 3 ,解得x 3且x 9,Vx 1 2 0所以原函数定义域为[3,9)卩(9,).【例2】求下列函数的定义域与值域:(1)y;(2)5 4xy x2 x 2.定义域是{x|x J.为{y| y -}■4达式1 x r_x2x2 ,x R .1 x(1 )求f(x) f( f(1) f(2)f(3)f(4) f1 1 9 f(3)解: (1) 由 f (x)f()丄)的 xf(》i -2X 1 1 2x2x21 x1 x2 21.1 x点评:对规律的发现,f(-))2(f ⑶ (f(4)f(-)) - 3 4 2能使我们实施巧算•正确探索出前一问的 解:("由Y 2,解得x 3,所以f (2)1(2)设一 t ,解得x 」,所以f (t ) 口,即f (x )1 x1 t1 t点评:此题解法中突出了换元法的思想.这类问题的函数式没有 直接给出,称为抽象函数的研究,常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.结论,是解答后一问的关键第6讲1.2.2 函数的表示法知识要点:1. 函数有三种表示方法:解析法(用数学表达式表示两个变量之间的对应关系,优点:简明,给自变量可求函数值);图象法(用图象表示两个变量的对应关系,优点:直观形象,反应变化趋势) ;列表法(列出表格表示两个变量之间的对应关系,优点:不需计算就可 看出函数值).2. 分段函数的表示法与意义(一个函数,不同范围的x ,对应法 则不同)【例4】已知函数f (x )x(2)原式 f (i ) (f ⑵【例2】已知f(x)二3x 3 * 2x 233x x3. 一般地,设A B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对 应法则f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一 确定的元素y 与之对应,那么就称对应f :A B 为从集合A 到集合B 的一个映射(mappi ng ).记作“ f: A B ” .判别一个对应是否映射的关键:A 中任意,B 中唯一;对应法则f.例题精讲:【例1】如图,有一块边长为a 的正方形铁皮,将其四个角各 截去一个边长为x 的小正方形,然后折成一个无盖的盒子,写出体积V 以x 为自变量的函数式是 ________________________________________ ,这个解:(1)由绝对值的概念,有y |x 2| x 2, x 22 x, x 2所以,函数y |x 2|的图象如右图所示3x 3, x 1(2) y |x 1| |2x 4| x 5, 2 x 1 ,3x 3, x 2所以,函数y |X 1| |2x 4|的图象如右图所示点评:含有绝对值的函数式,可以采用分零点讨论去绝对值的方法,将函数式化为分段函数,然后根据定义域的分段情况,选择相应的解析式作出函数图象.【例4】函数f (x) [x]的函数值表示不超过X的最大整数,例如[3.5] 4,[2.1] 2,当x ( 2.5,3]时,写出f(x)的解析式,并作出函数的图象.3, 2.5 x 22, 2 x 11, 1 X 0解:f(x) 0, 0 x 1 .函数图象如右:1, 1 x 22, 2 x 33, x 3点评:解题关键是理解符号m的概念,抓住分段函数的对应函数式•第7讲1.3.1 函数的单调性知识要点:1.增函数:设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量X1, x,当X1VX2 时,都有f(X1)Vf(X2),那么就说f (x)在区间D上是增函数(increasing function ).仿照增函数的定义若 a 0,当 X 1X 2b2a 时,有XX 2 0 , X 1X 2-,即 a(x 1 x 2) b 0 , a从而 f(xj f (X 2) 0,即 f (X 1) f(X 2), 所以f(x)在(却上单调递增.同【例1】试用函数单调性的定义判断函数f(x)互在区间(0, 1)x 1X 1,X 2€(0,1)且X 1 X 22x .2x 2fg g f2(X 2 xj x 1 1 x 2(X i 1)(X 21)由于 0 x 1 x 2 1 , x 1 1 0 , x 20,故 f(x 1) f 区)0,即f(x)化).所以,函数f(x)X2X1 在(0,1) 上是减函数.【例2】求二次函数 f(x) ax 2bx c(a 0)的单调区间及单调性. 解:设任意X 1, X 2且X 1X 2 .则 2f(X 1)f (X 2) (ax 1 bxc) (ax 22bx 2 c)a(x 122X 2 ) b(x 1X 2)可定义减函数.2. 如果函数f(x)在某个区间D 上是增函数或减函数,就说f(x) 在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫f(x )的单调区间.在 单调区间上,增函数的图象是从左向右是上升的(如右图1),减函数 的图象从左向右是下降的(如右图 2).由此,可以直观观察函数图 象上升与下降的变化趋势,得到函数的单调区间及单调性 .3. 判断单调性的步骤:设X !、x 2 €给定区间,且x !<x 2;-计 算f(Xj — f(X 2)-判断符号-下结论.例题精讲:上的单调性.(x 1 X 2)[a(N X 2) b].时,函数取最大值4ac b 2 4a【例3】求下列函数的单调区间: (1) y |x 1| |2x 4| ; (2) y X 2 2|x| 3.3x 3, x 1解:(1) y |X 1| |2x 4| x 5, 2 x 1,其图象如右.由图可知,函数在( 减函数.点评:函数式中含有绝对值,可以采用分零点讨论去绝对值的方 法,将函数式化为分段函数.第2小题也可以由偶函数的对称性,先 作y 轴右侧的图象,并把y 轴右侧的图象对折到左侧,得到f (|x|)的 图象.由图象研究单调性,关键在于正确作出函数图象.第8讲1.3.1函数最大(小)值知识要点:1. 定义最大值:设函数y f (x )的定义域为I ,如果存在实数M 满 足:对于任意的x € I ,都有f (x )< M 存在x o € I ,使得f (x °)= M 那 么,称M 是函数y f (x )的最大值(Maximum Value ).仿照最大值定义,可以给出最小值(Minimum Value )的定义.2.配方法:研究二次函数y ax 2 bx c (a 0)的最大(小)值,先2 2配方成y a (x 卫)2 4a 」后,当a 0时,函数取最小值为 如卫;当2a 4a4a3.单调法:一些函数的单调性,比较容易观察出来,或者可以由图可知,函数在[2, (2)y x 2 2|x| 31]、[0,1]上是增函数,在[1,0]、[1,)上是解:配方为y由(X 1)2(x2) (x -)22【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出先证明出函数的单调性,再利用函数的单调性求函数的最大值或最小4.图象法:先作出其函数图象后,然后观察图象得到函数的最大值或最小值.例题精讲:【例1】求函数y 26的最大值•x x 1所以函数的最大值为8.时,每天可售出100件.现在他采用提高售出价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每件提价1元,其销售量就要减少10件,问他将售出价定为多少元时,才能使每天所赚得的利润最大?并求出最大利润.解:设他将售出价定为x元,则提高了(x 10)元,减少了10(x 10) 件,所赚得的利润为y (x 8)^100 10(x 10)].即y 10x2 280x 1600 10(x 14)2 360. 当x 14 时,y max 360.所以,他将售出价定为14元时,才能使每天所赚得的利润最大,最大利润为360元.【例3】求函数y 2x •. x 1的最小值.解:此函数的定义域为1,,且函数在定义域上是增函数,所以当x 1时,y min 2 1 1 2,函数的最小值为2.点评:形如y ax b Jex d的函数最大值或最小值,可以用“单调性法研究,也可以用换元法研究. 厂\【另解】令4X1 t,则to ,x t2 1 ,所以■…“ 丁y 2t2t 2 2(t 4)4罟,在t 0时是增函数,当t 0时,y min 2,I ;故函数的最小值为2.【例4】求下列函数的最大值和最小值:(1)y 3 2x x2, x [ I,2] ;(2)y |x 11 |x 2|.解:(1)二次函数y 3 2x x2的对称轴为x —,即x 1.2a2x 1 ( 1 x 2).最小值为-3.点评:二次函数在闭区间上的最大值或最小值,常根据闭区间与 对称轴的关系,结合图象进行分析.含绝对值的函数,常分零点讨论 去绝对值,转化为分段函数进行研究.分段函数的图象注意分段作出第9讲1.3.2 函数的奇偶性知识要点:画出函数的图象, 9 4 *所以函数y 3 2x 由图可知,当x 1时,ymaxx 2, x [ 5,3]的最大值为2 2当x4,最小值为(2) y |x 1| |x 2|作出函数的图象,由图可知, y [ 3,3].所以函数的最大值为3,g(x)1.定义:一般地,对于函数f (x )定义域内的任意一个 X ,都有 f( x) f(x),那么函数f(x)叫偶函数(even function ).如果对于函 数定义域内的任意一个X ,都有f( x) f(x)),那么函数f(x)叫奇函数(odd function ).2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称,奇函数的图象关 于原点中心对称,偶函数图象关于 y 轴轴对称.3. 判别方法:先考察定义域是否关于原点对称,再用比较法、 计算和差、比商法等判别f( X)与f(x)的关系.例题精讲:【例1】判别下列函数的奇偶性: (1)f(x) x 3 - ; ( 2) f(x) |x 1| |x 1| ; ( 3) f (x) x 2 x 3.x解:(1)原函数定义域为{x|x 0},对于定义域的每一个X ,都有 f ( x) ( x)3丄(x 3 -)f (x),所以为奇函数.xx(2) 原函数定义域为R,对于定义域的每一个X ,都有f( x) | x 1| | x 1| |x 1| |x 1| f(x),所以为偶函数.(3) 由于f( x) x 2 x 3 f(x),所以原函数为非奇非偶函数.【例2】已知f (x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f (x)f(x)、g(x).1f (x) g(x) 则x 11 f( x) g( x)x 11f(x) g(x)即X 11 f (X) g(x)X 1解:盒子的高为X ,长、宽为a -2x ,所以体积为V = x(a -2x)* 2.解:T f (x)是奇函数,g(x)是偶函数, f ( x) f(x) , g( x)g(x).两式相减,解得f(x)4 ;两式相加,解得X 1g(x)1 x2 1又由a-2x 0,解得x a.2所以,体积V以x为自变量的函数式是V x(a-2x)2,定义域为{x|0 x |}.X ( ,1),求f[f (0)]的值.x (1,)解:T 0 ( ,1),二f (0)= 32 .又T 32>1,f ( 3 2 )=( 3 2 ) 3+( 3 2 ) -3=2+^ =5,即f [ f (0)]= 5.2 2 2【例3】画出下列函数的图象:(1)y |x 2|;(教材P26练习题3)(2)y |x 1| |2x 4|.3 (x 2)3 (x 1)。
2020高中数学必修1知识点(超全)
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2020高中数学必修1知识点(超全)高中数学知识点必修1第一章集合与函数概念1.1.1 集合的含义与表示1) 集合的概念是指集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。
2) 常用数集及其记法:N表示自然数集,N*或N+表示正整数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集。
3) 集合与元素间的关系:对象a与集合M的关系是a∈M,或者a∉M,两者必居其一。
4) 集合的表示法包括自然语言法、列举法、描述法和图示法。
5) 集合的分类包括有限集、无限集和空集(∅)。
1.1.2 集合间的基本关系6) 子集、真子集、集合相等的定义和符号表示如下:名称记号意义子集 A⊆B A中的任一元素都属于B真子集 A⊂B A⊆B,且B中至少有一元素不属于A集合相等 A=B A中的任一元素都属于B,B中的任一元素都属于A7) 已知集合A有n(n≥1)个元素,则它有2n个子集,2n-1个真子集,2n-1个非空子集和0个非空真子集。
1.1.3 集合的基本运算8) 交集、并集、补集的定义和符号表示如下:名称记号意义交集A∩B {x|x∈A,且x∈B}并集 A∪B {x|x∈A,或x∈B}补集 A' {x|x∈U,且x∉A}补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法1) 含绝对值的不等式|x|0)的解集为{-a<x<a}。
1.解一元一次不等式对于形如 $ax+b$ 的一元一次不等式,可以将其看成一个整体,化成 $|ax+b|a(a>0)$ 型的不等式来求解。
2.解一元二次不等式对于形如 $ax^2+bx+c$ 的一元二次不等式,首先计算其判别式 $\Delta=b^2-4ac$,然后根据二次函数$y=ax^2+bx+c(a>0)$ 的图像,分类讨论 $\Delta$ 的大小关系。
当 $\Delta>0$ 时,解集为 $\{x|xx_2\}$;当 $\Delta=0$ 时,解集为 $\{x|x=x_1\}$;当 $\Delta<0$ 时,无实数解。
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高中数学知识点汇总(高一)高中数学知识点汇总(高一) (1)一、集合和命题 (2)二、不等式 (4)三、函数的基本性质 (6)四、幂函数、指数函数和对数函数 (12)(一)幂函数 (12)(二)指数& 指数函数 (13)(三)反函数的概念及其性质 (14)(四)对数& 对数函数 (15)五、三角比 (17)六、三角函数 (24)一、集合和命题一、集合:(1)集合的元素的性质:确定性、互异性和无序性;(2)元素与集合的关系:① a A a 属于集合 A ;② a A a 不属于集合 A .(3)常用的数集:N 自然数集;N *正整数集;Z 整数集;Q 有理数集;R 实数集;空集;C 复数集;Z 正整数集Q;Z 负整数集Q 正有理数集R;负有理数集R正实数集.负实数集(4)集合的表示方法:有限集集合无限集列举法;描述法例如:①列举法:{ z, h, a, n, g }(5)集合之间的关系:;②描述法:{ x x 1} .①A B 集合A 是集合B 的子集;特别地, A A ;A BA C .B CA B② A B 或A B集合 A 与集合 B 相等;③ A B 集合A 是集合B 的真子集.例:N Z Q R C ;N Z Q R C .④空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.(6)集合的运算:①交集:A B { x x A且x B} 集合A 与集合B 的交集;②并集:A B { x x A或x B} 集合A 与集合B 的并集;③补集:设U 为全集,集合 A 是U 的子集,则由U 中所有不属于 A 的元素组成的集合,叫做集合 A 在全集U 中的补集,记作CUA .④得摩根定律:CU( A I B )C U A U C U B ;C U ( A U B) C U A I C U B(7)集合的子集个数:若集合 A 有 n(n N *) 个元素,那么该集合有 2n个子集; 2n1个真子集; 2n1个非空子集;2n2 个非空真子集.二、四种命题的形式:(1)命题:能判断真假的语句.(2)四种命题:如果用 和 分别表示原命题的条件和结论,用 和 分别表示 和 的否定,那么四种命题形式就是:逆否命题关系同真同假关系 原命题逆否命题逆命题否命题(3)充分条件,必要条件,充要条件:①若,那么 叫做 的充分条件, 叫做 的必要条件;②若且,即,那么 既是 的充分条件,又是的必要条件,也就是说, 是 的充分必要条件,简称充要条件.③欲证明条件是结论 的充分必要条件,可分两步来证:第一步:证明充分性:条件 结论 ; 第二步:证明必要性:结论条件 .(4)子集与推出关系:设 A 、 B 是非空集合, A{ x x 具有性质} , B{ y y 具有性质 } ,则 A B 与等价.结论:小范围 大范围;例如:小明是上海人小明是中国人.小范围是大范围的充分非必要条件; 大范围是小范围的必要非充分条件.命题原命题逆命题否命题逆否命题表示形式 若 ,则若 ,则 ; 若 ,则 ; 若 ,则 . 逆命题关系 原命题 逆命题逆否命题 否命题 否命题关系 原命题 否命题 逆否命题 逆命题1 2 0 0 1 2 二、不等式一、不等式的性质:1、a b,b ca c ; 2、ab ac b c ;不等式的性质3、a b,c 0ac bc ;4、a b, c d a c b d ;5、a b 0, c d 0ac bd ;6、 a b 01 1 ;ab7、a b 0二、一元一次不等式:anb n(n N *) ;8、a b 0 nanb (n N *,n 1) .一元一次不等式 ax b a 0a 0解集xb xb aaa 0b 0b 0R三、一元二次不等式:ax 2bx c0(a 0)△ b24ac 0△ b24 a c 0△ b 24ac 0的根的判别式y ax2bx c(a 0)ax 2bx c 0(a 0){ x 1 , x 2} ,x 1 x 2{ x 0 }ax 2bx c 0(a 0) ( , x ) U (x , ) ( , x ) (x , )Rax 2bx c 0(a 0) ( x 1 , x 2 )ax 2bx c 0(a 0)( , x ] U [ x , )RR2axbx c 0(a 0)[ x 1 , x 2 ]{ x 0 }四、含有绝对值不等式的性质:(1) a ba b a b ;(2) a 1 a 2 a n a 1 a 2 a n .五、分式不等式:(1) ax b 0 cx d(ax b)(cx d) 0 ;( 2) ax b 0cx d(ax b )(cx d ) 0 .六、含绝对值的不等式:x aa 0a 0x aa 0 a 0 x aa 0 a 0 a 0 x aa 0 a 0 a 0a x ax a 或xaRa x ax 0x a 或xaR七、指数不等式:(1) af ( x )a( x)(a 1) f ( x)( x) ; ( 2) af ( x)a( x )(0a 1) f ( x)( x) .八、对数不等式:(x) 0 (1) log a f (x)log a ( x)(a 1)f (x);( x)(2) log af (x) log a ( x)(0 a 1)f (x) f (x)0 . ( x)九、不等式的证明:(1)常用的基本不等式:① a2b 22ab( a 、b R ,当且仅当 a b 时取“ ”号) ;②a b 2ab (a 、 b Ra2b2,当且仅当 aa b b 时取“ ”号) ;2 补充公式: 2ab.21 1 a b③ a3b3c3 3abc (a 、b 、c R ,当且仅当 a b c 时取“ ”号 ) ;④ a b c3 3abc (a 、b 、c R ,当且仅当 a b c 时取“ ”号 ) ; ⑤a 1 a 2n a nna 1 a 2a n (n 为大于 1 的自然数, a 1 , a 2 , , a nR ,当且仅当a 1a 2a n 时取“ ”号) ;(2)证明不等式的常用方法:①比较法; ②分析法;③综合法.0 三、函数的基本性质一、函数的概念:(1)若自变量对应法则x 因变量y ,则y 就是x 的函数,记作y f (x), x D ;x 的取值范围 D 函数的定义域;y 的取值范围函数的值域.求定义域一般需要注意:①y1,f ( x)f ( x) 0 ;②y n f (x) , f ( x) 0 ;③y ( f ( x)) , f ( x) 0 ;④y logaf ( x) ,f ( x) 0 ;⑤y log f ( x ) N , f ( x) 0 且f ( x) 1 .(2)判断是否函数图像的方法:任取平行于y 轴的直线,与图像最多只有一个公共点;(3)判断两个函数是否同一个函数的方法:①定义域是否相同;②对应法则是否相同.二、函数的基本性质:(1)奇偶性:函数y f (x), x D“定义域D 关于0 对称”成立①“定义域 D 关于0 对称”;前提条件 f ( x) f ( x) f ( x) f ( x)②“ f(x) f ( x) ”;③“f (x) f ( x) ”成立成立①不成立或者①成立②、③都不成立奇偶性偶函数奇函数奇偶函数图像性质关于y 轴对称关于O(0,0) 对称非奇非偶函数注意:定义域包括0 的奇函数必过原点(2)单调性和最值:O(0,0) .前提条件y f ( x), x D ,I D ,任取x1, x2区间I单调增函数x1 x2或x1 x2f (x1 ) f (x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )单调减函数x1 x2或x1 x2f (x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f (x2 )最小值yminf ( x0 ) 任取x D ,存在x0 D , f (x) f (x0 )最大值ymax f ( x) 任取x D ,存在x0 D , f (x) f ( x) f注意:①复合函数的单调性:函数外函数 yf (x)内函数复合函数 y g (x)yf [g (x)]②如果函数 yf ( x) 在某个区间 I 上是增(减)函数,那么函数 y f (x) 在区间 I 上是单调函数,区间 I 叫做函数 yf ( x) 的单调区间 .(3)零点:若 yf ( x), x D , c D 且 f ( c) 0 ,则 x c 叫做函数 y f (x) 的零点.y零点定理 :f ( x ), x [a,b]存在x 0(a,b);特别地, 当yf ( x), x [ a, b] 是单调函数 ,f (a) f (b) 0 f (x 0 ) 0且 f (a ) f (b) 0 ,则该函数在区间 [a ,b] 上有且仅有 一个零点, 即存在 唯一 x 0 (a,b) ,使得 f (x 0 ) 0 .(4)平移的规律:“左加右减,下加上减” .函数 向左平移 k 向右平移 k向上平移 h向下平移 h备注yf ( x) y f (x k ) y f ( x k)y hf ( x)y hf ( x)k, h 0(5)对称性:①轴对称的两个函数:函数yf ( x)对称轴x 轴 y 轴y xyxx m y n函数yf ( x)yf ( x)xf ( y)xf ( y)yf (2 m x)2n yf (x)②中心对称的两个函数:函数 对称中心函数yf ( x) ( m, n)2n yf ( 2m x)③轴对称的函数:函数y f (x)对称轴y 轴x m条件f (x)f ( x)f ( x)f (2 m x)单调性ZZ Z]]Z ]] Z]]Z注意: f (a x)f (b x) f (x) 关于 xa b 对称;2f (a x)f (a x)f (x) 关于 x a 对称;f (x)f ( x)f (x) 关于 x 0 对称,即 f (x) 是偶函数.④中心对称的函数:函数对称中心yf (x)(m, n)条件f ( x) 2n f (2 m x)注意: f (a x) f (b x) cf (x) 关于点 ( a b , c) 对称;2 2 f (a x) f (b x) 0a bf (x) 关于点 ( ,0) 2 对称;f (a x)f (a x) 2bf ( x) 关于点 (a, b) 对称;f (x) f ( x) 0f (x) 关于点 (0,0) 对称,即 f (x) 是奇函数.(6)凹凸性:设函数 yf ( x), x D ,如果对任意 x , xD ,且 xx ,都有 f x 1 x 2 f ( x 1 ) f ( x 2 ),则称121222函数 yf ( x) 在 D 上是凹函数;例如: y x 2 .进一步,如果对任意x , x ,L xD ,都有 fx 1x 2 L x n f ( x 1 ) f ( x 2 ) L f (x n ) ,则称函1 2 nnn数 yf ( x) 在 D 上是凹函数;该不等式也称琴生不等式或詹森不等式;设函数 yf ( x), x D ,如果对任意 x , xD ,且 xx ,都有 f x 1 x 2 f ( x 1 ) f ( x 2 ),则称121222函数 yf ( x) 在 D 上是凸函数.例如: y lg x .进一步,如果对任意x , x ,L xD ,都有 fx 1x 2 L x n f ( x 1 ) f ( x 2 ) L f (x n ) ,则称函1 2 nnn数 y f ( x) 在 D 上是凸函数;该不等式也称琴生不等式或詹森不等式.(7)翻折:函数翻折后翻折过程y f ( x ) 将y f ( x) 在y 轴右边的图像不变,并将其翻折到y 轴左边,并覆盖.y f ( x) 将y f ( x) 在x 轴上边的图像不变,并将其翻折到x 轴下边,并覆盖.y f (x) y f ( x ) 第一步:将y f ( x) 在y 轴右边的图像不变,并将其翻折到左边,并覆盖;第二步:将x 轴上边的图像不变,并将其翻折到x 轴下边,并覆盖.y f (x) (8)周期性:将y f ( x) 在x 轴上边的图像保持不变,并将x 轴下边的图像翻折到x 轴上边,不覆盖.若y f ( x), x R ,T 0,任取x R ,恒有 f ( x T ) f ( x) ,则称T 为这个函数的周期.注意:若T 是y f ( x) 的周期,那么kT (k Z ,k 0) 也是这个函数的周期;周期函数的周期有无穷多个,但不一定有最小正周期.① f ( x a) f ( x b) ,a b f ( x) 是周期函数,且其中一个周期T a b ;(阴影部分下略)② f (x) f ( x p) ,p 0 T 2 p ;③ f (x a) f ( x b ),a b T 2 a b ;④ f (x) 1 或f (x p )f ( x)1,p 0f ( x p )T 2 p ;⑤ f (x) 1 f ( x p)或f ( x) f (x p) 1,p 0T 2 p ;11 ⑥ f (x) f ( x p )f ( x p )或f ( x)f (x p) 1f (x p) 1,p 0T 4 p ;1 f ( x p) f (x p) 1⑦ f (x) 关于直线x a ,x b ,a b 都对称T 2 a b ;⑧ f (x) 关于两点( a, c) ,(b, c) ,a b 都成中心对称T 2 a b ;⑨ f (x) 关于点(a, c) ,a 0 成中心对称,且关于直线x b ,a b 对称T 4 a b ;⑩若 f ( x) f (x a ) f ( x 2a) L f (x na ) m(m 为常数,n N *),则f ( x) 是以(n 1)a 为周期的周期函数;若 f ( x) f (x a) f ( x 2a )L f ( x na ) m (m 为常数,n 为正偶数),则 f ( x) 是以2( n 1)a 为周期的周期函数.三、V 函数:定义形如y a x m h(a 0) 的函数,称作V 函数.分类y a x m h, a 0 y a x m h, a 0 图像定义域R值域[ h, ) ( , h]对称轴x m开口向上向下顶点( m, h)在( , m] 上单调递减;在( , m] 上单调递增;单调性在[ m, ) 上单调递增.在[ m, ) 上单调递减.注意当m 0时,该函数为偶函数四、分式函数: 定义 形如 y xa (a x0) 的函数,称作 分式函数 .分类y x a ,ax0 (耐克函数 )y x a, a 0x图像定义域(,0) U (0, )值域(, 2 a ] U [2 a,)R渐近线x 0, y x单调性在 ( , a ] , [ a , ) 上单调递增;在( ,0) , (0,) 上单调递增;在[a ,0) , (0, a ] 上单调递减.五、曼哈顿距离:在平面上, M ( x 1, y 1 ) , N ( x 2 , y 2 ) ,则称 dx 1 x 2y 1 y 2 为 MN 的曼哈顿距离.六、某类带有绝对值的函数:1、对于函数 yx m ,在 x m 时取最小值;2、对于函数 y x mx n , m n ,在 x [ m , n] 时取最小值;3、对于函数 y x mx n x p , m n p ,在 x n 时取最小值;4、对于函数 y x mx n x px q , m n p q ,在 x [ n, p ] 时取最小值;x 2n , x 1x 2 L x 2n ,在 x [ x n , x n 1 ] 时取最小值;x 2n 1 ,x 1 x 2 Lx 2 n 1 ,在 x x n 时取最小值.思考:对于函数 y x 1 2 x 3 x 2 ,在 x时取最小值.5、推广到 y x x 1x x 2 L x y x x 1x x 2Lx四、幂函数、指数函数和对数函数(一)幂函数(1)幂函数的定义:形如y x a (a R) 的函数称作幂函数,定义域因 a 而异.(2)当a 0,1 时,幂函数y x a (a R) 在区间[ 0, ) 上的图像分三类,如图所示.(3)作幂函数y x a ( a0,1) 的草图,可分两步:①根据a 的大小,作出该函数在区间[ 0, ) 上的图像;②根据该函数的定义域及其奇偶性,补全该函数在( ,0] 上的图像.(4)判断幂函数y x a (a R) 的a 的大小比较:方法一:y x a ( a R) 与直线x m(m 1) 的交点越靠上, a 越大;方法二:y x a ( a R) 与直线x m(0 m 1) 的交点越靠下, a 越大(5)关于形如y ax b(ccx d0) 的变形幂函数的作图:①作渐近线(用虚线):x d、ya;c c②选取特殊点:任取该函数图像上一点,建议取(0, b ) ;d③画出大致图像:结合渐近线和特殊点,判断图像的方位(右上左下、左上右下).x x xx xxy(二)指数 & 指数函数1、指数运算法则:①a a yax y;② (a )a ;③ (a b)xxa xa b ;④ ( )a xx ,其中( a, b 0, x 、y R) .2、指数函数图像及其性质:/yxa (a 1)bbxy a (0a 1)图像定义域R值域(0,)奇偶性 非奇非偶函数渐近线x 轴单调性在( ,) 上单调递增;在(,) 上单调递减;①指数函数 ya x的函数值恒大于零;②指数函数 y性质a 的图像经过点 (0,1) ;③当 x 0 时, y 1;③当 x 0时, 0 y 1;当 x 0 时, 0y 1 .当 x 0时, y 1 .3、判断指数函数 y a 中参数 a 的大小:方法一: y a 与直线x m(m 0) 的交点越靠上, a 越大;方法二: y a x与直线 x m(m 0) 的交点越靠下, a 越大.yx11 1(三)反函数的概念及其性质1、反函数的概念:对于函数y f (x) ,设它的定义域为 D ,值域为 A ,如果对于 A 中任意一个值y ,在D 中总有唯一确定的x 值与它对应,且满足y f ( x) ,这样得到的x 关于y 的函数叫做y f ( x) 的反函数,记作x f ( y) .在习惯上,自变量常用x 表示,而函数用y 表示,所以把它改写为y f ( x)( x A) .2、求反函数的步骤:(“解”“换”“求”)①将y f ( x) 看作方程,解出x f ( y) ;②将x 、y 互换,得到y f 1( x) ;③标出反函数的定义域(原函数的值域).3、反函数的条件:定义域与值域中的元素一一对应.4、反函数的性质:①原函数y f ( x) 过点(m, n) ,则反函数y f 1 ( x) 过点(n, m) ;②原函数y f ( x) 与反函数y f (x) 关于y x 对称,且单调性相同;③奇函数的反函数必为奇函数.5、原函数与反函数的关系:/ 函数y f (x) y f 1 ( x)定义域 D A值域 A D(四)对数 & 对数函数1、指数与对数的关系:ab NabNlog a Nb指数幂 底数对数真数2、对数的运算法则:① log a 1 0 , log a a 1 , a loga NN ;②常用对数 lg Nlog 10 N ,自然对数 ln Nlog e N ;③ log a (MN ) log a Mlog a M N ,log a Nlog a M log a N , log a Mn log a M ;④ log Nlog aN,log b1 m, log nbm log b , log c bloglog bb ,a Nlog abN.blog a blog b aana3、对数函数图像及其性质:/y log a x(a 1) y log a x(0 a 1)图像定义域(0, )值域 R 奇偶性非奇非偶函数渐近线y 轴单调性在(0, ) 上单调递增;在(0, ) 上单调递减;①对数函数 y log a x 的图像在 y 轴的右方;②对数函数 y 性质log a x 的图像经过点 (1,0) ;③当 x 1时, y 0 ;③当 x 1时, y 0 ;当 0 x 1 时, y 0 .当 0 x 1 时, y 0 .a a a cn4、判断对数函数y logx, x 0 中参数a 的大小:a方法一:y logx, x 0 与直线y m( m 0) 的交点越靠右,a 越大;a方法二:y logx, x 0 与直线y m(m 0) 的交点越靠左,a 越大.a五、三角比1、角的定义:(1)终边相同的角:①与2k , k Z 表示终边相同的角度;②终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同;③与k , k Z 表示终边共线的角(同向或反向).(2)特殊位置的角的集合的表示:位置角的集合在x 轴正半轴上{ 2k, k Z}在x 轴负半轴上{ 2k, k Z}在x 轴上{k , k Z} 在y 轴正半轴上{ 2k , k Z }2在y 轴负半轴上{ 2k 3,k Z } 2在y 轴上{k , k Z }2在坐标轴上{k , k Z }2在第一象限内{ 2k 2 k, k Z }2在第二象限内{ 2k22k , k Z }在第三象限内{ 2k 2k 32, k Z }在第四象限内{ 2k 322k 2 ,k Z }(3)弧度制与角度制互化:180①rad 180 ;②1rad ;③1180rad .(4)扇形有关公式:①l;r②弧长公式:l r ;③扇形面积公式:S 1 lr 1r 2(想象三角形面积公式).2 2 (5)集合中常见角的合并:x 2k x 2kx 2k x 2k x 2kx kxk2x k2224x kxk, k Z4x 2k x 2k 5 44xk3 2 4x 2k4x k4 4(6)三角比公式及其在各象限的正负情况:以角的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴建立直角坐标系,在的终边上任取一个异于原点的点P( x, y) ,点P 到原点的距离记为r ,则( 7)特殊角的三角比:角度制弧度制0 sin1 2270360 3 222 3 1 0 1 022cos13 2 2 1 0 1 0 122tan3 13无 0 无 03( 8)一些重要的结论: (注意,如果没有特别指明, k 的取值范围是 k Z )①角 和角 的终边:角 和角 的终边关于 x 轴对称关于 y 轴对称关于原点对称sin sin cos cos tantansin sin cos cos tantansin sin cos cos tantan② 的终边与的终边的关系. 2的终边在第一象限 (2k,2 k ) 2(k , k) ; 2 4 的终边在第二象限 (2 k ,2 k 2 ) (k 2, k ) ; 4 2 的终边在第三象限 (2k ,2 k 3 )( k, k 3) ; 2 22 4的终边在第四象限 (2k3 ,2 k2 )(k 3 , k ) .③ sin 与 cos 的大小关系: 32, 2 k 24 0 ); 4 4,2 k50 ); 4 4 ,2k 5 0 ). 44 304560901806432sin cos (2 k sin cos (2 k sin cos{2 k) 的终边在直线 y x 右边( x y )} 的终边在直线的终边在直线 y y x 左边(x 上( x xy y④sin 与cos 的大小关系:, k ) 4 4x y的终边在x y0 x y 0或;0 x y 0, k 3)x y的终边在0 x y 0或;4 4 x y 0 x y 0, k 3} ,k Z 的终边在y x .4 42、三角比公式:(1)诱导公式:(诱导公式口诀:奇变偶不变,符号看象限)第一组诱导公式:第二组诱导公式:第三组诱导公式:(周期性)(奇偶性)(中心对称性)sin( 2k) sin sin( ) sin sin( ) sincos(2 k) cos cos( ) cos cos( ) costan(2k ) tan tan( ) tan tan( ) tancot( 2k) cot cot( ) cot cot( ) cot第四组诱导公式:(轴对称)第五组诱导公式:(互余性)第六组诱导公式:sin( ) sin sin(2) cos sin(2) coscos( tan( cot( ) cos) tan) cotcos(2tan(2cot(2) sin) cot) tancos( )2tan( )2cot( )2sincottan(2)同角三角比的关系:倒数关系:商数关系:平方关系:sin csc 1 tan sin (cos 0) sin 2cos 2 1cos tan sec 1cot 1 cotcoscossin(sin 0)21 tan21 cot2sec2csc(3)两角和差的正弦公式:sin( ) sin cos cos sin ;两角和差的余弦公式:两角和差的正切公式:cos(tan() cos cos)tan tansin.sin ;1 tan tansin cos (k sin cos (k sin cos { k( 4)二倍角的正弦公式: sin 22 sin cos ;二倍角的余弦公式:二倍角的正切公式: cos 2tan 2cos 22 tansin2;1 2 sin22 cos21 ;1 tan 2降次公式:万能置换公式:1 cos 2sin 2sin221 cos22 2 1 cos 2cos 21 cos2 2sin 22 tan 1 tan 21 tan2 cos2 2;1 sinsincos cos 2 1 tan 2 tan21 cos2 1 cos22 221 sin sin cos2 2tan 22 tan 1 tan 2sin1 cos半角公式: tan ;2 1 cos( 5)辅助角公式:①版本一:sinsinb a 2b 2a sinb cos②版本二: a2b2sin( ) ,其中 0 2 ,cos. a a2b2a sinbcosa2b 2sin() ,其中 a, b 0,0, tan b .2a3、正余弦函数的五点法作图:以 y sin( x) 为例,令 x依次为 0, , , 3, 2 2 2,求出对应的 x 与 y 值,描点 ( x, y) 作图.4、正弦定理和余弦定理:( 1)正弦定理: a sin A b sin B csin C2R(R 为外接圆半径 ) ;其中常见的结论有: ① a 2Rsin A , b 2Rsin B , c 2Rsin C ;② sin A a , sin B2Rb , sin Cc ; 2R 2R ③ sin A : sin B : sin C a : b : c ;aRsin B sin C④S △ ABC 2R 2sin A sin B sin C ; S △ ABCbR sin A sin C ; S △ ABC abc .4 R cRsin A sin B( 2)余弦定理:版本一:a2b 2c 2 b2 a 2c2 c2a2b22bc cosA 2accosB 2abcosC;版本二:cos AcosB cosCb2c2a22bca 2c 2b ;2ac b2a 2 c 2 2ab( 3)任意三角形射影定理(第一余弦定理) :5、与三角形有关的三角比:( 1)三角形的面积:a b c os C c cos B b c cos A a cos C . ca cos Bb cos A① S △ ABC② S △ ABC 1dh ; 2 1 absin C 1 bcsin A1ac sin B ;2 2 2③ S △ ABCl l al b l c , l 为 △ABC 的周长. 2 2 2 2( 2)在 △ABC 中,① a b A B sin A sin B cos A cosB cot A cot B ;②若 △ ABC 是锐角三角形,则 sin A cosB ;sin( A B ) sin C cos( A B ) cos C tan( A B ) tan C ③ sin( B C ) sin A ; cos(B C ) cos A ; tan( B C )tan A ;sin( A C ) sin Bcos( A C )cos Btan( A C )tan Bsin A cos B C tan A cot B C22 2 2 ④ sinBcos A C ; tan B cot A C; 2 2 2 2 sinC cos A B tan C cot A B22 2 2sin Acos Bsin Bcos A sin C cos A⑤ 2 2 ;sin A cos C2 2 ; sin B cos C 2 2 ; sin C cos B 2 2 2 2 2 2sin A sin B cos A cos B2 2 2 2 sin A sin C cos A cosC sin A sin B sinCcos A cos B cos C;2 2 2 2 2 2 2 2 2 2sin B sin C cos B cos C2 2 2 22( ] sin A sin B sin C 4cos A cos B cosC2 2 2⑥ cos A cosB cosC 1 4sin A sin B sin C;2 2 2 sin A sin B sin C 4sin A sin B cosC2 2 2sin 2A sin 2B sin 2C 4sin Asin B sin C ; cos2A cos2B cos2C4cos A cosB cosC 1sin A ⑦cos A sin B cosBsin C cosC(0,3 3 ] 2 ; 3(1, 2sin Asin B sin C sin Asin B sin C cos A cosB cosC (0,3 3] 8 cosA cosB cosC . 1 1, 8其中,第一组可以利用琴生不等式来证明;第二组可以结合第一组及基本不等式证明.( 3)在 △ABC 中,角 A 、 B 、 C 成等差数列 B.3( 4) △ABC 的内切圆半径为 r6、仰角、俯角、方位角:略2S .a b c7、和差化积与积化和差公式(理科) :( 1)积化和差公式: sin coscos sincos cossin sin1[sin( ) sin( )] 2 1[sin( ) sin( )] 2 ; 1[cos( ) cos( )] 2 1[cos( ) cos()]2( 2)和差化积公式: sin sin 2sinsinsin 2coscoscos 2coscoscos2sincos 22 sin2 2.cos 2 2 sin22]六、三角函数1、正弦函数、余弦函数和正切函数的性质、图像:y sin xy cosxy tan x定 义 RR域{ x x k, k Z}2值 [ 1,1]域 奇 [ 1,1]R偶 奇函数偶函数奇函数性 周期 性 最小正周期 T 2最小正周期 T 2 最小正周期 T[2 k 单 ,2 k 2 ] Z ; 2 [2 k, 2k ] Z ;(k, k ) Z 调 [2 k,2 k 3] ] . [2 k , 2 k] ] .22性22( k Z )( k Z )( k Z )当 x 2k最时, y min 1 ; 2当 x 2k时, y min1 ;无值 当 x 2k时, y 2max1;当 x 2k 时, y max 1 ;图像例 1:求函数 y 5sin(2 x) 的周期、单调区间和最值. (当 x 的系数为负数时,单调性相反) 3解析:周期 T22,由函数 y sin x 的递增区间 [2 k , 2 k 22] ,可得2k2x2k ,即 k5 x k , 232 1212 5 于是,函数 y 5sin(2 x) 7 的递增区间为 [ k 3, k ] . 12 12 7同理可得函数 y 5sin(2 x) 7 递减区间为 [ k 3, k ] . 1212当 2x 2k3,即 x k 2 时,函数 y 12 5sin(2 x ) 取最大值 5; 3当2x 2k ,即3 2 x k5时,函数y125sin(2 x ) 取最大值 5 .3例2:求函数y 5sin(2x ) 7, x3 [0, ] 的单调区间和最值.2解析:由x [0, ] ,可得2x2[ ,4] .3 3 3然后画出 2 x的终边图,然后就可以得出3当2x [ , ] ,即x3 3 24 [0, ] 时,函数y125sin(2 x ) 7 单调递增;3当2x [ , ] ,即x3 2 3 [ , ] 时,函数y12 25sin(2 x ) 7 单调递减.3同时,当2x ,即x3 2时,函数y125sin(2 x ) 7 取最大值12;3当2 x4,即3 3x 时,函数y25sin(2 x ) 7 取最小值735 3;2注意:当x 的系数为负数时,单调性的分析正好相反.2、函数y A s in( x ) h &y A cos( x ) h &y A tan( x ) h ,其中A0, 0 :(1)复合三角函数的基本性质:三角函数y A s in( x ) h y A c os( x ) h y A tan( x ) h其中A0, 0 其中A0, 0 其中A0, 0 振幅 A 无基准线y h定义域( , ) { x x k , k Z }2 值域[ A h, A h] ( , )最小正周期T2T1 1频率 f fT 2 T 相位x初相2( 2)函数 y A s in( x) h 与函数 y sin x 的图像的关系如下:①相位变换: 当0 时, ysin x向左平移个单位y sin( x ) ;当0 时, y ②周期变换: sin x向右平移 个单位y sin( x) ;当1时, ysin( x所有各点的横坐标缩短到原来的)1倍(纵坐标不变)y sin( x) ;当 01时, y ③振幅变换:sin( x所有各点的横坐标伸长到原来的)1倍(纵坐标不变)y sin( x) ;当 A 1时, y sin( x) 所有各点的纵坐标伸长到原来的A 倍(横坐标不变)y A sin( x ) ;当 0 A 1时, y sin( x)所有各点的纵坐标缩短到原来的A 倍(横坐标不变)y A s in( x) ;④最值变换:当 h 0时,当 h 0 时, y A s in( xy A s in( x所有各点向上平行移动所有各点向下平行移动 h 个单位h 个单位y A sin( xy A sin( x) h ;) h ;注意:函数 y A cos( x) h 和函数 y A tan( x) h 的变换情况同上.3、三角函数的值域:(1)) y a sin x b 型:设 t sin x ,化为一次函数 y at b 在闭区间 [ 1,1] 上求最值.(2)) ya sinx b cos x c , a ,b 0 型:引入辅助角 , tanb,化为 ya ab sin(x) c .(3)) ya sin2x b sin x c 型:设 t sin x [ 1,1],化为二次函数 y at 2 bt c 求解.(4)) ya sinxcos x b(sin x cos x) c 型:a (t21)设t sin x cos x [ 2, 2] ,则t 21 2sin x cos x ,化为二次函数 ybt c 在闭2区间 t [ 2, 2] 上求最值.2) )22 2(5)) y a tan x b cot x 型:设 t(6)) y tan x ,化为a sin x b 型:c sin x dy atb ,用“ Nike 函数”或“差函数”求解.t方法一:常数分离、分层求解;方法二:利用有界性,化为 1 sin x 1 求解.(7)) y a sin x b 型: c cosx d化为 a sin x yc cos x b dy ,合并 ay c sin( x) b dy ,利用有界性,sin(x)b dy [ 1,1]求解.a2y 2c2(8)) a sinx cos x b sin 2 x c cos 2x ,( a 0,b, c 不全为 0)型:利用降次公式,可得 asin x cosx b sin 2x ccos 2xasin 2 x c b cos2x b c,然后利用辅 助角公式即可. 4、三角函数的对称性: 2 2 2对称中心 对称轴方程y sin x(k ,0) , k Z xk , k Z2y cos x ( k,0) , k Z 2x k , k Zytan xy cot xk( ,0) k Z / 2 ( k,0) k Z /2备注:① y sin x 和 y cosx 的对称中心在其函数图像上;② y tan x 和 y cot x 的对称中心不一定在其函数图像上. (有可能在渐近线上)例 3:求函数 y 5sin(2 x) 7 的对称轴方程和对称中心.3解析:由函数 ysin x 的对称轴方程 x k, k Z 2,可得 2x k3 , k Z2解得 xk , k Z .122k 所以,函数 y 5sin(2 x) 7 的对称轴方程为 3 x , k Z . 122由函数 y sin x 的中心对称点 (k ,0) , k Z ,可得 2x3k , k Z解得 xk , k Z .62所以,函数 y 5sin(2 x) 7 的对称中心为 ( 3 k ,7) , k Z .6 25、反正弦、反余弦、反正切函数的性质和图像:y arcsin x y arccosx y arctanx 定义域[ 1,1] [ 1,1] ( , )值域[ , ]2 2 [ 0, ] ( , )2 2奇偶性奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在[ 1,1]上是增函数在[ 1,1]上是减函数在( , ) 上是增函数对称中心点(0,0) 点(0, )2点(0,0) 图像重要结论:(1)先反三角函数后三角函数:①a [ 1,1] sin(arcsin a) cos(arccosa ) a ;②a R tan(arctan a ) a .(2)先三角函数后反三角函数:①[ , ]2 2arcsin(sin ) ;②[0, ] arccos(cos ) ;③( , )2 2arctan(tan ) .(3)反三角函数对称中心特征方程式:①a [ 1,1] arcsin( a)arcsin a ;②a [ 1,1] arccos( a) arccos a;③a ( , ) arctan( a )arctan a.6、解三角方程公式:sin x a, a 1 x k ( 1)k arcsina, k Zcos x a, a 1 x 2k arccosa, k Z.tan x a, a R x k arctana, k Z。
高一数学上册全部讲解知识点
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高一数学上册全部讲解知识点一、知识概述《集合》①基本定义:集合就像是把一些有共同特征的东西放在一起的一个“大筐”。
比如你们班的同学就可以组成一个集合,这些同学就是这个集合里的元素。
②重要程度:在高一数学中算是入门基础的东西,是理解函数等很多知识的基石。
③前置知识:基本的数的概念,像自然数、整数啥的要有个大概了解。
④应用价值:在生活中安排活动分组时就像划分集合,比如打篮球分组把人分成两组,这两组就是两个集合。
《函数的概念》①基本定义:函数就像一个机器,给它一个输入(自变量),然后就会有确定的输出(因变量)。
例如,一个卖水果的,你输入要的苹果数量(自变量),根据苹果的单价,就会得到要付的钱(因变量)。
②重要程度:函数贯穿整个高中数学,是非常重要的内容。
③前置知识:集合的知识要掌握,因为函数是建立在两个非空数集之间的对应关系。
④应用价值:在经济领域计算成本与利润关系等,通过改变生产量(自变量)得出利润(因变量)的值。
《函数的定义域与值域》①基本定义:定义域就是自变量能取的那些值的范围,值域就是函数值(因变量的值)的范围。
好比做蛋糕,面粉(自变量)的量有个可用的范围(定义域),最后做出蛋糕的大小(函数值)也有个范围(值域)。
②重要程度:这对于准确理解函数很重要。
③前置知识:函数概念要清楚。
④应用价值:在现实中规划产量(定义域)时要考虑最终产出(值域),避免资源浪费或者产量不足。
二、知识体系①知识图谱:集合是基础,函数的定义域、值域等都是函数这个大内容下的细分部分。
②关联知识:集合与函数是层层递进的关系,后续的函数性质等都和定义域值域等相关知识有关。
③重难点分析:- 集合那里难点在于集合元素的性质理解准确。
比如互异性,说实话有时候很容易忽略。
- 函数概念重点在于理解对应关系,难点在于一些复杂的函数关系的理解。
- 定义域值域难点在于准确求出根据不同情况的取值范围。
④考点分析:- 集合在考试中会考查元素的从属关系,集合间的运算(交、并、补)等。
高一数学知识点的讲解大全
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高一数学知识点的讲解大全随着中学生的进一步学习,高一数学成为了学生们的主要科目之一。
高一数学知识是中学数学学科的基础,为后续学习和应用各个数学领域打下了坚实的基础。
在本文中,将对高一数学中重要的知识点进行讲解,帮助学生们更好地理解数学知识。
一、函数与方程高一数学中,最常见的数学概念之一就是函数与方程。
函数是一种关系,它将一个集合的每个元素映射到另一个集合中唯一的元素。
函数可以用来描述自然界中的各种变化和规律。
常见的函数类型有线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
方程是两个表达式之间用等号连接的数学语句。
方程是数学建模和问题解决中的重要工具,它可以帮助我们找到未知数的值。
常见的方程类型有一元一次方程、一元二次方程、一元高次方程和二元方程等。
解方程需要掌握多种转化和求解方法。
二、三角函数三角函数作为数学中的重要分支,被广泛用于物理、工程、建筑和计算机图形等领域。
在高一数学中,常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数可以帮助我们描述和计算各种三角形的边长和角度。
在学习三角函数时,需要熟悉三角函数的定义和性质,掌握如何在单位圆上确定角度和弧度的关系,以及如何应用三角函数解决实际问题。
此外,还需要了解三角函数的图像和周期性特点,以及求解三角方程的方法。
三、数列与数列的通项公式数列是按照一定规律排列的数的集合。
在高一数学中,需要学习如何根据给定的规律确定数列的通项公式,并利用通项公式计算数列的各项值。
常见的数列有等差数列和等比数列。
等差数列是指相邻两项之差恒定的数列,其通项公式为an = a1 + (n-1)d,其中a1为首项,d为公差。
而等比数列是指相邻两项之比恒定的数列,其通项公式为an = a1 *r^(n-1),其中a1为首项,r为公比。
四、平面几何平面几何是数学的一个分支,它研究平面上的点、线、面与其之间的关系。
在高一数学中,我们将学习平面几何中的基本概念和定理,如点、直线、射线、角度、四边形等。
高一数学知识点归纳讲解
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高一数学知识点归纳讲解数学作为一门学科,对于高中生来说是非常重要和必修的科目之一。
高一是数学学习的起点,也是打好数学基础的关键时期。
本文将对高一数学的主要知识点进行归纳和讲解,帮助同学们加深对这些知识的理解和掌握。
一、函数与方程在高一数学的开篇,我们首先要学习的是函数与方程。
函数是数学中一个非常重要的概念,它描述了一个输入与输出之间的关系。
我们要学会化简函数,解一元一次方程和一元一次不等式,理解函数的图像和图像的性质,以及函数之间的复合和反函数。
二、数列与数列极限数列是数学中一系列按照一定规律排列的数,数列的极限是数列在无穷项时的趋势和特性。
我们要学会求解数列的通项公式,计算数列的和与积,以及研究数列的收敛性与发散性。
三、平面向量平面向量是数学中一个重要的概念,它是有大小有方向的量。
我们要学会表示向量,求解向量之间的运算,如加减、数乘和数量积。
还要学会进行向量的线性运算、共线与平行判定以及解决向量相关的几何应用问题。
四、平面几何平面几何是数学中的一个分支,主要研究平面上的几何图形和几何变换。
我们要学会证明平面几何性质,如直角、平行和相似等性质,掌握解决平面几何问题的方法和技巧。
五、三角函数三角函数是数学中的一个重要内容,它是角度和圆的弧度之间的函数关系。
我们要学会计算三角函数的值,掌握三角函数的性质和公式,理解与三角函数有关的三角恒等式和三角方程,并能够解决各种三角函数相关的实际问题。
六、概率与统计概率与统计是数学中的一个分支,主要研究随机事件的发生概率和数据的收集、整理和分析。
我们要学会计算基本事件的概率,掌握概率的加法和乘法规则,了解概率分布、期望和方差的概念,掌握统计数据的处理和分析方法。
七、数学建模数学建模是将数学方法和技巧应用于实际问题的过程,是数学学习的一个重要环节。
我们要学会分析建模问题,选择合适的数学方法,进行数学模型的建立和求解,评价和优化数学模型,并能够将数学建模应用于解决实际问题。
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高一数学知识点汇总讲解大全高中数学知识点汇总(高一)高中数学知识点汇总(高一) 0一、集合和命题 (1)二、不等式 (3)三、函数的基本性质 (5)四、幂函数、指数函数和对数函数 (12)(一)幂函数 (12)(二)指数&指数函数 (13)(三)反函数的概念及其性质 (14)(四)对数&对数函数 (15)五、三角比 (17)六、三角函数 (24)一、集合和命题一、集合:(1)集合的元素的性质: 确定性、互异性和无序性; (2)元素与集合的关系: ①a A ∈↔a 属于集合A ; ②a A ∉↔a 不属于集合A . (3)常用的数集:N ↔自然数集;↔*N 正整数集;Z ↔整数集; Q ↔有理数集;R ↔实数集;Φ↔空集;C ↔复数集;⎪⎩⎪⎨⎧↔↔-+负整数集正整数集Z Z ;⎪⎩⎪⎨⎧↔↔-+负有理数集正有理数集Q Q ;⎪⎩⎪⎨⎧↔↔-+负实数集正实数集R R .(4)集合的表示方法:集合⎩⎨⎧↔↔描述法无限集列举法有限集;例如:①列举法:{,,,,}z h a n g ;②描述法:{1}x x >. (5)集合之间的关系:①B A ⊆↔集合A 是集合B 的子集;特别地,A A ⊆;A BA CBC ⊆⎧⇒⊆⎨⊆⎩.②B A =或A BA B ⊆⎧⎨⊇⎩↔集合A 与集合B 相等; ③A B ⊂≠↔集合A 是集合B 的真子集.例:N Z Q R ⊆⊆⊆C ⊆;N Z Q R C ⊂⊂⊂⊂≠≠≠≠. ④空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. (6)集合的运算:①交集:}{B x A x x B A ∈∈=且I ↔集合A 与集合B 的交集; ②并集:}{B x A x x B A ∈∈=或Y ↔集合A 与集合B 的并集;③补集:设U 为全集,集合A 是U 的子集,则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合,叫做集合A 在全集U 中的补集,记作A C U .④得摩根定律:()U U U C A B C A C B =I U ;()U U U C A B C A C B =U I(7)集合的子集个数:若集合A 有*()n n N ∈个元素,那么该集合有2n 个子集;21n -个真子集;21n -个非空子集;22n -个非空真子集. 二、四种命题的形式:(1)命题:能判断真假的语句.(2)四种命题:如果用α和β分别表示原命题的条件和结论,用α和β分别表示α和β的否定,那么四种命题形式就是:(3)充分条件,必要条件,充要条件:①若βα⇒,那么α叫做β的充分条件,β叫做α的必要条件;②若βα⇒且αβ⇒,即βα⇔,那么α既是β的充分条件,又是β的必要条件,也就是说,α是β的充分必要条件,简称充要条件.③欲证明条件α是结论β的充分必要条件,可分两步来证: 第一步:证明充分性:条件⇒α结论β; 第二步:证明必要性:结论⇒β条件α. (4)子集与推出关系:设A 、B 是非空集合,}{α具有性质x x A =,}{β具有性质y y B =, 则B A ⊆与βα⇒等价.结论:小范围⇒大范围;例如:小明是上海人⇒小明是中国人. 小范围是大范围的充分非必要条件; 大范围是小范围的必要非充分条件.二、不等式一、不等式的性质:二、一元一次不等式:三、一元二次不等式:)0(2>++=a c bx ax y)0(02>=++a c bx ax },{21x x ,21x x < }{0x Φ )0(02>>++a c bx ax 12(,)(,)x x -∞+∞U),(),(00+∞-∞x x YR)0(02><++a c bx ax ),(21x x Φ Φ )0(02>≥++a c bx ax 12(,][,)x x -∞+∞URR)0(02>≤++a c bx ax],[21x x}{0xΦ四、含有绝对值不等式的性质:(1)b a b a b a -≥±≥+; (2)n n a a a a a a +++≥+++ΛΛ2121. 五、分式不等式: (1)0))((0>++⇔>++d cx b ax d cx b ax ; (2)0))((0<++⇔<++d cx b ax dcx bax . 六、含绝对值的不等式:a x < a x > a x ≤ a x ≥ 0>a 0≤a 0≥a 0<a 0>a 0=a 0<a 0>a 0=a 0<a a x a <<- Φ a x a x -<>或 R a x a ≤≤- 0=x Φ a x a x -≤≥或 R 七、指数不等式:(1))()()1()()(x x f a a a x x f ϕϕ>⇔>>; (2))()()10()()(x x f a a a x x f ϕϕ<⇔<<>. 八、对数不等式:(1)⎩⎨⎧>>⇔>>)()(0)()1)((log )(log x x f x a x x f a a ϕϕϕ;(2)⎩⎨⎧<>⇔<<>)()(0)()10)((log )(log x x f x f a x x f a a ϕϕ.九、不等式的证明: (1)常用的基本不等式:①R b a ab b a ∈≥+、(222,当且仅当b a =时取“=”号); ②+∈≥+R b a ab ba 、(2,当且仅当b a =时取“=”号);211a b+. ③+∈≥++R c b a abc c b a 、、(3333,当且仅当c b a ==时取“=”号);④+∈≥++R c b a abc c b a 、、(33,当且仅当c b a ==时取“=”号); ⑤n a a a n a a a nn n (2121ΛΛ≥+++为大于1的自然数,+∈R a a a n ,,,21Λ,当且仅当n a a a ===Λ21时取“=”号); (2)证明不等式的常用方法:①比较法; ②分析法; ③综合法.三、函数的基本性质一、函数的概念:(1)若自变量−−−→−fx 对应法则因变量y ,则y 就是x 的函数,记作D x x f y ∈=),(; x 的取值范围D ↔函数的定义域;y 的取值范围↔函数的值域. 求定义域一般需要注意: ①1()y f x =,()0f x ≠;②y =,()0f x ≥; ③0(())y f x =,()0f x ≠; ④log ()a y f x =,()0f x >; ⑤()log f x y N =,()0f x >且()1f x ≠.(2)判断是否函数图像的方法:任取平行于y 轴的直线,与图像最多只有一个公共点; (3)判断两个函数是否同一个函数的方法:①定义域是否相同;②对应法则是否相同. 二、函数的基本性质: (1)奇偶性:注意:定义域包括0的奇函数必过原点(0,0)O . (2)单调性和最值:注意:①复合函数的单调性:②如果函数)(x f y =在某个区间I 上是增(减)函数,那么函数)(x f y =在区间I 上是单调函数,区间I 叫做函数)(x f y =的单调区间.(3)零点:若D x x f y ∈=),(,D c ∈且0)(=c f ,则c x =叫做函数)(x f y =的零点.零点定理:⎩⎨⎧<⋅∈=0)()(],[),(b f a f b a x x f y ⇒00(,)()0x a b f x ∈⎧⎨=⎩存在;特别地,当(),[,]y f x x a b =∈是单调函数, 且()()0f a f b ⋅<,则该函数在区间[,]a b 上有且仅有一个零点,即存在唯一0(,)x a b ∈,使得0()0f x =.(4)平移的规律:“左加右减,下加上减”.(5)对称性:①轴对称的两个函数:②中心对称的两个函数:③轴对称的函数:注意:()()f a x f b x +=-⇒()f x 关于2x =对称;()()f a x f a x +=-⇒()f x 关于x a =对称;()()f x f x =-⇒()f x 关于0x =对称,即()f x 是偶函数. ④中心对称的函数:注意:()()f a x f b x c ++-=⇒()f x 关于点(,)22c对称;()()0f a x f b x ++-=⇒()f x 关于点(,0)2a b+对称; ()()2f a x f a x b ++-=⇒()f x 关于点(,)a b 对称;()()0f x f x +-=⇒()f x 关于点(0,0)对称,即()f x 是奇函数. (6)凹凸性:设函数(),y f x x D =∈,如果对任意12,x x D ∈,且12x x ≠,都有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭,则称函数()y f x =在D 上是凹函数;例如:2y x =.进一步,如果对任意12,,n x x x D ∈L ,都有1212()()()n n x x x f x f x f x f n n +++++⎛⎫<⎪⎝⎭L L ,则称函数()y f x =在D 上是凹函数;该不等式也称琴生不等式或詹森不等式;设函数(),y f x x D =∈,如果对任意12,x x D ∈,且12x x ≠,都有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭,则称函数()y f x =在D 上是凸函数.例如:lg y x =.进一步,如果对任意12,,n x x x D ∈L ,都有1212()()()n n x x x f x f x f x f n n +++++⎛⎫>⎪⎝⎭L L ,则称函数()y f x =在D 上是凸函数;该不等式也称琴生不等式或詹森不等式.(7)翻折:(8)周期性:若R x x f y ∈=),(,0≠∃T ,x R ∈任取,恒有)()(x f T x f =+,则称T 为这个函数的周期. 注意:若T 是)(x f y =的周期,那么)0,(≠∈k Z k kT 也是这个函数的周期; 周期函数的周期有无穷多个,但不一定有最小正周期.①()()f x a f x b +=+,a b ≠⇒()f x 是周期函数,且其中一个周期T a b =-; (阴影部分下略)②()()f x f x p =-+,0p ≠⇒2T p =; ③()()f x a f x b +=-+,a b ≠⇒2T a b =-; ④1()()f x f x p =+或1()()f x f x p =-+,0p ≠⇒2T p =;⑤1()()1()f x p f x f x p -+=++或()1()()1f x p f x f x p ++=+-,0p ≠⇒2T p =;⑥1()()1()f x p f x f x p ++=-+或()1()()1f x p f x f x p +-=++,0p ≠⇒4T p =;⑦()f x 关于直线x a =,x b =,a b ≠都对称⇒2T a b =-; ⑧()f x 关于两点(,)a c ,(,)b c ,a b ≠都成中心对称⇒2T a b =-;⑨()f x 关于点(,)a c ,0a ≠成中心对称,且关于直线x b =,a b ≠对称⇒4T a b =-; ⑩若()()(2)()f x f x a f x a f x na m +++++++=L (m 为常数,*n N ∈),则()f x 是以(1)n a +为周期的周期函数;若()()(2)()f x f x a f x a f x na m -+++-++=L (m 为常数,n 为正偶数),则()f x 是以2(1)n a +为周期的周期函数.三、V 函数:图像定义域 R值域 [,)h +∞(,]h -∞对称轴 x m =-开口 向上向下顶点 (,)m h -单调性 在(,]m -∞-上单调递减; 在[,)m -+∞上单调递增. 在(,]m -∞-上单调递增; 在[,)m -+∞上单调递减.注意 当0m =时,该函数为偶函数四、分式函数: 定义 形如(0)ay x a x=+≠的函数,称作分式函数.分类,0a y x a x =+>(耐克函数) ,0a y x a x=+<图像定义域 (,0)(0,)-∞+∞U值域 (,2][2,)a a -∞-+∞UR渐近线 0x =,y x =单调性在(,]a -∞-,[,)a +∞上单调递增; 在[,0)a -,(0,]a 上单调递减.在(,0)-∞,(0,)+∞上单调递增;五、曼哈顿距离:在平面上,11(,)M x y ,22(,)N x y ,则称1212d x x y y =-+-为MN 的曼哈顿距离. 六、某类带有绝对值的函数:1、对于函数y x m =-,在x m =时取最小值;2、对于函数y x m x n =-+-,m n <,在[,]x m n ∈时取最小值;3、对于函数y x m x n x p =-+-+-,m n p <<,在x n =时取最小值;4、对于函数y x m x n x p x q =-+-+-+-,m n p q <<<,在[,]x n p ∈时取最小值;5、推广到122n y x x x x x x =-+-++-L ,122n x x x <<<L ,在1[,]n n x x x +∈时取最小值; 1221n y x x x x x x +=-+-++-L ,1221n x x x +<<<L ,在n x x ∈时取最小值. 思考:对于函数1232y x x x =-+++,在x _________时取最小值.四、幂函数、指数函数和对数函数(一)幂函数(1)幂函数的定义:形如)(R a x y a ∈=的函数称作幂函数,定义域因a 而异.(2)当1,0≠a 时,幂函数)(R a x y a ∈=在区间),0[+∞上的图像分三类,如图所示.(3)作幂函数)1,0(≠=a x y a 的草图,可分两步: ①根据a 的大小,作出该函数在区间),0[+∞上的图像;②根据该函数的定义域及其奇偶性,补全该函数在]0,(-∞上的图像. (4)判断幂函数)(R a x y a ∈=的a 的大小比较:方法一:)(R a x y a ∈=与直线(1)x m m =>的交点越靠上,a 越大; 方法二:)(R a x y a ∈=与直线(01)x m m =<<的交点越靠下,a 越大(5)关于形如()ax by c cx d+=≠+0的变形幂函数的作图: ①作渐近线(用虚线):d x c=-、ay c =;②选取特殊点:任取该函数图像上一点,建议取(0,)bd;③画出大致图像:结合渐近线和特殊点,判断图像的方位(右上左下、左上右下).(二)指数&指数函数1、指数运算法则: ①yx yxaa a +=⋅;②xyyxa a =)(;③xxxb a b a ⋅=⋅)(;④()xx x a a b b=,其中),0,(R y x b a ∈>、.2、指数函数图像及其性质:/)1(>=a a y x)10(<<=a a y x图像定义域 R值域 ),0(+∞奇偶性 非奇非偶函数渐近线 x 轴单调性在(,)-∞+∞上单调递增;在(,)-∞+∞上单调递减;性质①指数函数x a y =的函数值恒大于零;②指数函数x a y =的图像经过点)1,0(;③当0>x 时,1>y ; 当0<x 时,10<<y .③当0>x 时,10<<y ; 当0<x 时,1>y .3、判断指数函数x y a =中参数a 的大小:方法一:x y a =与直线(0)x m m =>的交点越靠上,a 越大; 方法二:x y a =与直线(0)x m m =<的交点越靠下,a 越大.(三)反函数的概念及其性质1、反函数的概念:对于函数()y f x =,设它的定义域为D ,值域为A ,如果对于A 中任意一个值y ,在D 中总有唯一确定的x 值与它对应,且满足()y f x =,这样得到的x 关于y 的函数叫做()y f x =的反函数,记作1()x f y -=.在习惯上,自变量常用x 表示,而函数用y 表示,所以把它改写为1()()y f x x A -=∈.2、求反函数的步骤:(“解”→“换”→“求”) ①将()y f x =看作方程,解出()x f y =; ②将x 、y 互换,得到1()y f x -=; ③标出反函数的定义域(原函数的值域).3、反函数的条件:定义域与值域中的元素一一对应. 4、反函数的性质:①原函数)(x f y =过点),(n m ,则反函数)(1x f y -=过点),(m n ;②原函数)(x f y =与反函数)(1x f y -=关于x y =对称,且单调性相同;③奇函数的反函数必为奇函数. 5、原函数与反函数的关系:(四)对数&对数函数1、指数与对数的关系:ab N N a b = 底数指数 幂 b N a =log对数真数2、对数的运算法则:①01log =a ,1log =a a ,N a N a =log ;②常用对数N N 10log lg =,自然对数N N e log ln =; ③N M MN a a a log log )(log +=,N M NMa a a log log log -=,M n M a n a log log =; ④bN N a a b log log log =,a b b a log 1log =,b n mb a m a n log log =,b b ac a c log log =,log log N N b a a b =.3、对数函数图像及其性质:/)1(log >=a x y a)10(log <<=a x y a图像定义域 ),0(+∞值域 R奇偶性 非奇非偶函数渐近线 y 轴单调性在),0(+∞上单调递增;在),0(+∞上单调递减;4、判断对数函数log ,0a y x x =>中参数a 的大小:方法一:log ,0a y x x =>与直线(0)y m m =>的交点越靠右,a 越大; 方法二:log ,0a y x x =>与直线(0)y m m =<的交点越靠左,a 越大.五、三角比1、角的定义: (1)终边相同的角:①α与2,k k Z πα+∈表示终边相同的角度;②终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同; ③α与,k k Z πα+∈表示终边共线的角(同向或反向). (2)特殊位置的角的集合的表示:(3)弧度制与角度制互化:①180rad π=︒; ②1801rad π=︒; ③1180rad π︒=.(4)扇形有关公式:①rl =α; ②弧长公式:r l α=;③扇形面积公式:21122S lr r α==(想象三角形面积公式).(5)集合中常见角的合并:22222222,244542424324424x k x k x k k x x k x k x k k x k Z x k x k x k k x x k x k x k ππππππππππππππππππππππππππ⎫⎫=⎫⎫=⎪⎪⎬⎪=+⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫=⎬⎬⎪=+⎪⎪⎪⎪⎪=+⎬⎪⎪⎪⎪=-⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎭⎪⎪⎫⎫⎫=∈⎬=+⎪⎪⎪⎪⎪⎪=+⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪=+⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪=+⎬⎬⎪⎫⎪⎪⎪=+⎪⎪⎪⎪⎪=-⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪=-⎪⎪⎪⎭⎪⎭⎭⎭(6)三角比公式及其在各象限的正负情况:以角α的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴建立直角坐标系,在α的终边上任取一个异 于原点的点(,)P x y ,点P 到原点的距离记为r ,则(7)特殊角的三角比:(8)一些重要的结论:(注意,如果没有特别指明,k 的取值范围是k Z ∈) ①角α和角β的终边:②α的终边与2的终边的关系.α的终边在第一象限⇔(2,2)2k k παππ∈+⇔(,)24k k απππ∈+;α的终边在第二象限⇔(2,2)2k k παπππ∈++⇔(,)242k k αππππ∈++;α的终边在第三象限⇔3(2,2)2k k παπππ∈++⇔3(,)224k k αππππ∈++;α的终边在第四象限⇔3(2,22)2k k παπππ∈++⇔3(,)24k k αππππ∈++. ③sin θ与cos θ的大小关系:sin cos θθ<⇔3(2,2)44k k ππθππ∈-+⇔θ的终边在直线y x =右边(0x y ->); sin cos θθ>⇔5(2,2)44k k ππθππ∈++⇔θ的终边在直线y x =左边(0x y -<);sin cos θθ=⇔5{22}44k k ππθππ∈++,⇔θ的终边在直线y x =上(0x y -=).④sin θ与cos θ的大小关系: sin cos θθ<⇔(,)44k k ππθππ∈-+⇔θ的终边在00x y x y +>⎧⎨->⎩或00x y x y +<⎧⎨-<⎩; sin cos θθ>⇔3(,)44k k ππθππ∈++⇔θ的终边在00x y x y +>⎧⎨-<⎩或00x y x y +>⎧⎨-<⎩;sin cos θθ=⇔3{}44k k ππθππ∈++,,k Z ∈⇔θ的终边在y x =±.2、三角比公式:(1)诱导公式:(诱导公式口诀:奇变偶不变,符号看象限) 第一组诱导公式: 第二组诱导公式: 第三组诱导公式: (周期性) (奇偶性) (中心对称性)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+ααπααπααπααπcot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(k k k k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-=--=-ααααααααcot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin( ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-=+-=+ααπααπααπααπcot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(第四组诱导公式: 第五组诱导公式: 第六组诱导公式: (轴对称) (互余性)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=--=-=-ααπααπααπααπcot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin( ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-ααπααπααπααπtan )2cot(cot )2tan(sin )2cos(cos )2sin( ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+-=+=+ααπααπααπααπtan )2cot(cot )2tan(sin )2cos(cos )2sin((2)同角三角比的关系:倒数关系: 商数关系: 平方关系:⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅1cot tan 1sec cos 1csc sin αααααα ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠=≠=)0(sin sin cos cot )0(cos cos sin tan αααααααα ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+αααααα222222csc cot 1sec tan 11cos sin(3)两角和差的正弦公式:βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±; 两角和差的余弦公式:βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=±; 两角和差的正切公式:βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(μ±=±.(4)二倍角的正弦公式:αααcos sin 22sin =;二倍角的余弦公式:1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=ααααα; 二倍角的正切公式:ααα2tan 1tan 22tan -=; 降次公式: 万能置换公式:22222221cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2cos 21cos 2cos 21sin sin cos 221cos 2tan 1cos 21sin sin cos22ααααααααααααααααα⎧-=⎪-⎧⎪=⎪⎪+=⎪⎪+⎪⎪=⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪-=- ⎪-⎪⎪⎝⎭=⎪⎪+⎩⎛⎫⎪+=+ ⎪⎪⎝⎭⎩; ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+=ααααααααα2222tan 1tan 22tan tan 1tan 12cos tan 1tan 22sin 半角公式:αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+=; (5)辅助角公式: ①版本一:)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a ,其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=<≤2222cos sin ,20b a a b a b ϕϕπϕ.②版本二:sin cos )a b θθθϕ±=±,其中,0,0,tan 2ba b aπϕϕ><<=. 3、正余弦函数的五点法作图:以sin()y x ωϕ=+为例,令x ωϕ+依次为30,,,,222ππππ,求出对应的x 与y 值,描点(,)x y 作图.4、正弦定理和余弦定理: (1)正弦定理:R R CcB b A a (2sin sin sin ===为外接圆半径); 其中常见的结论有:①A R a sin 2=,B R b sin 2=,C R c sin 2=; ②R a A 2sin =,R b B 2sin =,Rc C 2sin =; ③c b a C B A ::sin :sin :sin =;④22sin sin sin ABC S R A B C =△;sin sin sin sin sin sin ABCaR B CS bR A C cR A B⎧⎪=⎨⎪⎩△;4ABC abc S R =△.(2)余弦定理:版本一:⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222;版本二:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=ab c a b C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 222222222;(3)任意三角形射影定理(第一余弦定理):cos cos cos cos cos cos a b C c Bb c A a C c a B b A =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩.5、与三角形有关的三角比: (1)三角形的面积:①12ABC S dh =△;②111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ===△;③ABC S =△l 为ABC △的周长. (2)在ABC △中,①sin sin cos cos cot cot a b A B A B A B A B >⇔>⇔>⇔<⇔<; ②若ABC △是锐角三角形,则sin cos A B >;③sin()sin sin()sin sin()sin A B C B C A A C B +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩;cos()cos cos()cos cos()cos A B C B C A A C B +=-⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩;tan()tan tan()tan tan()tan A B C B C A A C B +=-⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩;④sin cos 22sin cos 22sin cos 22A B C BA C CA B +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩;tan cot 22tan cot 22tan cot 22A B C B A C C A B +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩;⑤sin cos 22sin cos 22A B A C ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩;sin cos 22sin cos 22B A B C ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩;sin cos22sin cos 22C AC B ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩; ⇒sin sin cos cos 2222sin sin cos cos 2222sin sin cos cos 2222A B A B AC A C BC B C ⎧<⎪⎪⎪<⎨⎪⎪<⎪⎩⇒sin sin sin cos cos cos 222222A B C A B C <;⑥sin sin sin 4cos cos cos 222cos cos cos 14sin sin sin 222sin sin sin 4sin sin cos 222A B C A B C A B C A B C A B C A B C ⎧++=⎪⎪⎪++=+⎨⎪⎪+-=⎪⎩;sin 2sin 2sin 24sin sin sin cos 2cos 2cos 24cos cos cos 1A B C A B CA B C A B C ++=⎧⎨++=--⎩;⑦sin sin sin (0,23cos cos cos (1,]2A B C A B C ⎧++∈⎪⎪⎨⎪++∈⎪⎩;sin sin sin (0,8sin sin sin cos cos cos 1cos cos cos (1,]8A B C A B C A B C A B C ⎧∈⎪⎪⎪>⎨⎪⎪∈-⎪⎩. 其中,第一组可以利用琴生不等式来证明;第二组可以结合第一组及基本不等式证明. (3)在ABC △中,角A 、B 、C 成等差数列⇔3B π=.(4)ABC △的内切圆半径为2Sr a b c=++.6、仰角、俯角、方位角:略7、和差化积与积化和差公式(理科):(1)积化和差公式:1sin cos[sin()sin()]21cos sin[sin()sin()]21cos cos[cos()cos()]21sin sin[cos()cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ⎧=++-⎪⎪⎪=+--⎪⎨⎪=-++⎪⎪⎪=--+⎩;(2)和差化积公式:sin sin2sin cos22sin sin2cos sin22cos cos2cos cos22cos cos2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-⎧+=⎪⎪+-⎪-=⎪⎨-+⎪+=⎪⎪-+⎪-=-⎩.六、三角函数1、正弦函数、余弦函数和正切函数的性质、图像:3[2,2]22k k ππππ++].(Z k ∈) (Z k ∈)最值当22ππ-=k x 时,1min -=y ; 当22ππ+=k x 时,1max =y ;当ππ+=k x 2时,1min -=y ; 当πk x 2=时,1max =y ;无图像例1:求函数5sin(2)3y x π=+的周期、单调区间和最值.(当x 的系数为负数时,单调性相反)解析:周期22T ππ==,由函数x y sin =的递增区间[2,2]22k k ππππ-+,可得 222232k x k πππππ-≤+≤+,即51212k x k ππππ-≤≤+, 于是,函数5sin(2)73y x π=++的递增区间为5[,]1212k k ππππ-+.同理可得函数5sin(2)73y x π=++递减区间为7[,]1212k k ππππ++.当2232x k πππ+=+,即12x k ππ=+时,函数5sin(2)3y x π=+取最大值5;当2232x k πππ+=-,即512x k ππ=-时,函数5sin(2)3y x π=+取最大值5-.例2:求函数5sin(2)7,[0,]32y x x ππ=++∈的单调区间和最值.解析:由[0,]2x π∈,可得42[,]333x πππ+∈.然后画出23x π+的终边图,然后就可以得出当2[,]332x πππ+∈,即[0,]12x π∈时,函数5sin(2)73y x π=++单调递增; 当42[,]323x πππ+∈,即[,]122x ππ∈时,函数5sin(2)73y x π=++单调递减.同时,当232x ππ+=,即12x π=时,函数5sin(2)73y x π=++取最大值12;当4233x ππ+=,即2x π=时,函数5sin(2)73y x π=++取最小值537;注意:当x 的系数为负数时,单调性的分析正好相反.2、函数sin()y A x h ωϕ=++&cos()y A x h ωϕ=++&tan()y A x h ωϕ=++,其中0,0A ϕ>≠: (1)复合三角函数的基本性质:(2)函数sin()y A x h ωϕ=++与函数sin y x =的图像的关系如下: ①相位变换:当0ϕ>时,sin sin()y x y x ϕϕ=−−−−−−→=+向左平移个单位; 当0ϕ<时,sin sin()y x y x ϕϕ=−−−−−−→=+向右平移个单位; ②周期变换:当1ω>时,1sin()sin()y x y x ωϕωϕ=+−−−−−−−−−−−−−−→=+所有各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变); 当01ω<<时,1sin()sin()y x y x ωϕωϕ=+−−−−−−−−−−−−−−→=+所有各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变); ③振幅变换:当1A >时,sin()sin()A y x y A x ωϕωϕ=+−−−−−−−−−−−−−−→=+所有各点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变); 当01A <<时,sin()sin()A y x y A x ωϕωϕ=+−−−−−−−−−−−−−−→=+所有各点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变); ④最值变换:当0h >时,sin()sin()h y A x y A x h ωϕωϕ=+−−−−−−−−−→=++所有各点向上平行移动个单位;当0h <时,sin()sin()h y A x y A x h ωϕωϕ=+−−−−−−−−−→=++所有各点向下平行移动个单位; 注意:函数cos()y A x h ωϕ=++和函数tan()y A x h ωϕ=++的变换情况同上.3、三角函数的值域: (1)sin y a x b =+型:设sin t x =,化为一次函数y at b =+在闭区间[1,1]-上求最值. (2)sin cos y a x b x c =±+,,0a b >型:引入辅助角,tan baϕϕ=,化为)y x c ϕ±+. (3)2sin sin y a x b x c =++型:设sin [1,1]t x =∈-,化为二次函数2y at bt c =++求解. (4)sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+型:设sin cos [t x x =±∈,则212sin cos t x x =±,化为二次函数2(1)2a t y bt c -=±++在闭区间[t ∈上求最值.(5)tan cot y a x b x =+型:设tan t x =,化为by at t=+,用“Nike 函数”或“差函数”求解.(6)sin sin a x by c x d+=+型:方法一:常数分离、分层求解;方法二:利用有界性,化为1sin 1x -≤≤求解. (7)sin cos a x by c x d+=+型:化为sin cos a x yc x b dy -=-)x b dy ϕ+=-,利用有界性,sin()[1,1]x ϕ+=-求解.(8)22sin cos sin cos a x x b x c x ++,(0,,a b c ≠不全为0)型:利用降次公式,可得22sin cos sin cos sin 2cos 2222a cb b ca x xb xc x x x -+++=++,然后利用辅助角公式即可. 4、三角函数的对称性:备注:①x y sin =和x y cos =的对称中心在其函数图像上;②x y tan =和x y cot =的对称中心不一定在其函数图像上.(有可能在渐近线上) 例3:求函数5sin(2)73y x π=++的对称轴方程和对称中心.解析:由函数sin y x =的对称轴方程2ππ+=k x ,Z k ∈,可得232x k πππ+=+,Z k ∈解得122k x ππ=+,Z k ∈. 所以,函数5sin(2)73y x π=++的对称轴方程为122k x ππ=+,Z k ∈.由函数sin y x =的中心对称点)0,(πk ,Z k ∈,可得23x k ππ+=,Z k ∈解得62k x ππ=-+,Z k ∈. 所以,函数5sin(2)73y x π=++的对称中心为(,7)62k ππ-+,Z k ∈.5、反正弦、反余弦、反正切函数的性质和图像:图像重要结论:(1)先反三角函数后三角函数:①[1,1]sin(arcsin )cos(arccos )a a a a ∈-⇒==; ②tan(arctan )a R a a ∈⇒=.(2)先三角函数后反三角函数:①[,]22ππθ∈-⇒arcsin(sin )θθ=; ②[0,]θπ∈⇒arccos(cos )θθ=;③(,)22ππθ∈-⇒arctan(tan )θθ=. (3)反三角函数对称中心特征方程式:①[1,1]a ∈-⇒arcsin()arcsin a a -=-;②[1,1]a ∈-⇒arccos()arccos a a π-=-; ③(,)a ∈-∞+∞⇒arctan()arctan a a -=-.6、解三角方程公式:sin ,1(1)arcsin ,cos ,12arccos ,tan ,arctan ,k x a a x k a k Z x a a x k a k Z x a a R x k a k Z πππ⎧=≤=+-∈⎪=≤=±∈⎨⎪=∈=+∈⎩.。