3.1.1空间向量及其加减运算专项练习与答案

3.1.1空间向量及其加减运算专项练习

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，与向量A ′B ′―――→

的模相等的向量有( ) A ．7个 B ．3个 C ．5个

D ．6个

解析： |D ′C ′―――→|＝|DC ―――→|＝|C ′D ′―――→|＝|CD →|＝|BA →|＝|AB →|＝|B ′A ′―――→|＝|A ′B ′―――→

|. 答案： A

2．已知向量a ，b 是两个非零向量，a 0，b 0是与a ，b 同方向的单位向量，那么下列各式中正确的是( )

A ．a 0＝b 0

B ．a 0＝b 0或a 0＝－b 0

C ．a 0＝1

D ．|a 0|＝|b 0|

解析： 两单位向量的模都是1，但方向不一定相同或相反． 答案： D

3．下列命题是真命题的是( )

A ．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量

B ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反

C ．若向量AB →，C

D →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →

D ．若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →∥CD →

解析： A 错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任两向量均共面． B 错．因为|a |＝|b |仅表示a 与b 的模相等，与方向无关．

C 错．空间任两向量不研究大小关系，因此也就没有AB →>C

D →

这种写法． D 对．∵AB →＋CD →

＝0，

∴AB →＝－CD →，∴AB →与CD →共线，故AB →∥CD →

正确． 答案： D

4．已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →

|，则( ) A.AB →＝AC →＋BC → B.AB →＝－AC →－BC → C.AC →与BC →

同向

D.AC →与CB →

同向

解析： 由|AB →|＝|AC →|＋|BC →|＝|AC →|＋|CB →

|，知C 点在线段AB 上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC →与CB →

同向．

答案： D

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA →与C 1A 1→是________向量，CB →与B 1C 1→

是________向量．

解析： CA 綊C 1A 1，CB 綊C 1B 1，所以CA →＝C 1A 1→，CB →＝－B 1C 1→

. 答案： 相等 相反

6．下列命题中正确的是________． ①如果a ，b 是两个单位向量，则|a |＝|b |； ②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同； ③若a ，b ，c 为非零向量，且a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内．

解析： 对于①：由单位向量的定义即得|a |＝|b |＝1，故①正确；对于②：共线不一定同向，故②错；对于③：正确；对于④：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内．

答案： ①③④

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．如图，在长、宽、高分别为AB ＝4，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，

(1)单位向量共有多少个？ (2)写出模为5的所有向量； (3)试写出AA 1→

的相反向量．

解析： (1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →

，DD 1→，D 1D →，CC 1→，C 1C →

共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．

(2)由于长方体的左右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD 1→，D 1A →，C 1B →，BC 1→

，

B 1

C →，CB 1→，A 1

D →，DA 1→.

(3)向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →

.

8．如图所示，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，化简下列向量表达式：

(1)AA 1→－CB →； (2)AB 1→＋B 1C 1→＋C 1D 1→； (3)12AD →＋12AB →－12

A 1A →. 解析： (1)AA 1→－C

B →＝AA 1→＋B

C →＝AA 1→＋A 1

D 1→＝AD 1→. (2)AB 1→＋B 1C 1→＋C 1D 1→＝AD 1→.

(3)12AD →＋12AB →－12A 1A →＝12AD →＋12AB →＋12AA 1→＝12(AD →＋AB →＋AA 1→)＝12

AC 1→.

(10分)如图，已知空间四边形ABCD 中，向量AB →＝a ，AC →＝b ，AD →

＝c ，若M 为BC 中点，G 为△BCD 的重心，试用a ，b ，c 表示下列向量：

(1)DM →；(2)AG →. 解析： (1)连接AM ，

在△ADM 中，DM →＝DA →＋AM →

，