剪力图和弯矩图教程

MA = 0, MC =15kN×2m=30 kN.m MD = 15kN×4m－ 10kN×2m=40kN.m
MD右= 15kN×4m－ 5kN×4m×2m=20 kN.m
MB=0
ME
1
5 k N3m5k
N/m3m3m 2
2 2 .5k N · m
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例题6 一外伸梁如图示。试用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关 系作此梁的FQ、M图。
例题５ 简支梁如图所示，试用荷载集度、剪力和弯矩间的微分 关系作此梁的剪力图和弯矩图。
解： 1. 求约束反力
FAy1k5N ,FBy1k5N
2. 画FQ图
各控制点处的FQ值如下：
FQA右=FQC左=15kN
FQC右=FQD=15 kN －10kN=5kN
FQD=5kN
F QB左=－15kN
3. 画M图
剪力图和弯矩图
以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直于梁轴线方 向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘制表示FQ (x)和M(x)的图线。 这种图线分别称为剪力图和弯矩图，简称FQ图和M图。
绘图时一般规定正号的剪力 画在x轴的上侧，负号的剪力画 在x轴的下侧；
正弯矩画在x轴下侧，负弯矩 画在x轴上侧，即把弯矩画在梁受 拉的一侧。
2.作剪力图和弯矩图
由剪力图和弯矩图可知：
F Q max F M Fl
max
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例题2 简支梁受均布荷载作用，如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力
由对称关系，可得：
FAy
FBy
1ql 2
2.列剪力方程和弯矩方程
FQ(x)FAyqx 1 2q lqx
M (x)F Ax y1 29x21 2q l1 2 xq2x
（0<x<a）
M(x)FAyxFl b (0≤x≤a)
CB段：
F Q(x)F Ay FF l bFF l a (a<x<l) M (x)F Ax yF (xa )F l (la x) (0≤x≤l)
3.作剪力图和弯矩图
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例题4 简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图和弯矩图。
剪力图为水平直线；
DB段:q<0, 剪力图为斜直线； 弯矩图为抛物线。
弯矩图为斜值线。
QR5kN
B
B
Q C Q A P3kN
Q xRBqx
0x2a
MC 0 M APa1.8kN令： Qx0
AD段:q=0,剪力图为水平直线；
xRB q
0.5m
弯矩图为斜值线。
MPa1.8kN A
MD P2aRAam 1.2kN m
d2M(x)
当q(x)朝上时， dx2 q(x)0 M图为上凸下凹。
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(3) 在集中力作用处，M图发生转折。如果集中力向下，则M 图向下转折；反之，则向上转折。
(4) 在集中力偶作用处，M图产生突变，顺时针方向的集中力偶 使突变方向由上而下；反之，由下向上。突变的数值等于该集 中力偶矩的大小。 3. 弯矩图与剪力图的关系
（１）在均布荷载作用段， FQ图是斜直线，倾斜方向与荷载指向相同 (2)无荷载作用区段，即q(x)=0，FQ图为平行x轴的直线。 (3)在集中力作用处，FQ图有突变，突变方向与外力一致，且突变的数值等 于该集中力的大小。 (4)在集中力偶作用处，其左右截面的剪力FQ图是连续无变化。
2.弯矩图与荷载的关系 (1)在均布荷载作用的区段，M图为抛物线。 (2)当q(x)朝下时，d2dMx2(x) q(x)0 M图为上凹下凸。
Q QPR7kN M ERB0.5q0.52/2
AD
A
1.2k5N m
M D P 2 a R A a 2 .4 km N MB 0
3.作剪应力图和弯矩图
最大剪力发生在梁端，其值为
F 1ql
2 Qmax
最大弯矩发生在跨中，它的剪数力图值和弯为矩图M教程max
1 8
ql
2
例题3 简支梁受集中作用如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力
FAyFl b,FByFl a 2.列剪力方程和弯矩方程 ACБайду номын сангаас：
FQ(x)
FA
y
Fb l
CB段：FQ<0,故M图为一右上斜直线，
在C处弯矩有突变。
BD段： 段内有向下均布荷载，M图为下凸
抛物线， MMCB=右－=－4k5Nk/Nm××22mm+×121kmN.=m－8kN剪力.m图和弯矩图教程 MB=－8KN.m，MD=0
例7 外伸梁如图所示，试画出该梁的内力图。
m=3.6kNm
P＝3kN
解：1.求约束反力
FAyM le ,FByM le
2.列剪应力方程和弯矩方程
AB段：
FQ
(x)
Me l
（0<x<l）
AC段：
M(x)FAyxM l xe (0≤x≤a)
CB段： M (x)FAx YMeM lexM e (a<x≤l)
3.绘出剪力图和弯矩图
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二、根据内力图规律做图
１.剪力图与荷载的关系
x
AD
C
RA
a=0.6m a=0.6m
q=10kN/m
B E
2a=1。2m
RB
解： （1）求梁的支座反力
由 mA0
P 5aR3am 1q2a20
B
2
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解得
RP2q a R5kN
B
A
由 Y 0
P R AR B 2 q a 0
解得
RA1 34Pm a2qa1k 0N
（2）画内力图：
CA段: q=0，
(1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面上的剪力。 (2) 当FQ图为斜直线时，对应梁段的M图为二次抛物线。当FQ 图为平行于x轴的直线时，M图为斜直线。
(3) 剪力等于零的截面上弯矩具有极值；反之，弯矩具有 极值的截面上，剪力不，一定等于零。左右剪力有不同正、 负号的截面，弯矩也具有极值。
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一、根据内力方程作内力图
剪力方程——表示横截面上剪力FQ随横截面位置x而变化的函数关系； 弯矩方程——表示横截面上弯矩M随横截面位置x而变化的函数关系。
例题1 图所示，悬臂梁受集中力F作用，试作此 梁的剪力图和弯矩图
解： 1.列剪力方程和弯矩方程
FQ(x)F (0＜x＜l ) M(x)Fx (0≤x＜l)
解：1.求约束力
FAy5kN ,FBy1k3N
2.画内力图 (1)剪力图。
ACB段： FQ图为一水平直线
FQA右=FQC=FQB左=－5kN BD段：FQ图为右下斜直线。
FQB右＝ FQB左+13=8kN FQD=0
(2) 弯矩图
AC段：FQ<0，故M图为一右上斜直线
MA=0，MC左=－5kN×2m=－10kN.m