轴向运动梁横向受迫振动多尺度分析及DQM验证
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第 22 卷第 3 期 2009 年 6 月
振 动 工 程 学 报
Jou rna l of V ib ra t ion Eng ineering
Vol . 22 N o. 3 J un. 2009
轴向运动梁横向受迫振动多尺度分析及D QM 验证
丁 虎1 , 陈立群1, 2
( 1. 上海市应用数学和力学研究所, 上海 200072; 2. 上海大学力学系, 上海 200444)
5( A Ρv , x ) + 5x ( 1) M , x x - P 0 v , x x = bco s ( Ξt) 式中 Ρ= Ρ ( x , t) 和M = M ( x , t ) 分别为梁在坐标 x 和时间 t 的因变形产生的附加应力和弯矩。 设梁材 料 为黏弹性固体, 满足 Kelvin 本构关系, 则该轴向 运动黏弹性梁的应力和应变关系为[ 5, 12 ] ( 2) Ρ = E 0Ε Ε L + Γ( Ε L, t + Χ L , x)
扰动频率 Ξ 离开 Ξn 的程度, 则 Ξ 可以表示为 Ξ = Ξn + Ε Ρ
( 19)
其中 实数函数 a n ( T 1 ) 及 Υ n ( T 1 ) 分别表示第 n 阶谐 波共振响应的幅值和相角。 令 Η n = ΡT 1 - 2 Υ n , 将式 ( 28) 代 入 式 ( 24 ) , 分 离 实 部 和 虚 部, 并 注 意 到 式 ( 27) , 得到 a n =
( 13)
v 1 , T 0T 0 + 2 Χ v 1 , x T 0 + ( Χ - 1) v 1 , x x + k f v 1 , x x x x =
2 2
( 5)
这里仅考虑运动梁在两端穿过简支光滑套筒的情 形。 边界条件为 v ( 0, t ) = 0, v , x x ( 0, t) = 0, v ( l , t) = 0, v , x x ( l , t) = 0 ( 6)
第 3 期
丁 虎, 等: 轴向运动梁横向受迫振动多尺度分析及 DQM 验证
299
Ε L =
1 2 v, x 2
( 3)
的形式, 其中 T 0 = t 表示接近某一阶未扰动线性系 统固有频率 Ξk 运动的快尺度, T 1 = Εt 表示因非线 性、 黏弹性及可能的共振而导致的振幅及相位慢变 的小时间尺度。 将式 ( 11) 及其导数 5 5 5 2 ) = + Ε + O (Ε 5t 5T 0 5T 1 52 52 52 2 ) + O (Ε 2 = 2 + 2Ε 5T 0 5T 1 5t 5T 0
而固有频率 Ξm (m = 1, 2, …) 满足频率方程
) ) 2 2 2 2 i( Β m 1+ Β m2 (Β + e i( Βm 3+ Βm 4 ]+ m 1- Β m 2) (Β m 4- Β m 3) [ e ) ) 2 2 2 2 i( Β m 2+ Β m3 (Β + e i( Βm 4+ Βm 1 ]+ m 2- Β m 3) (Β m 4- Β m 1) [ e ) ) 2 2 2 2 i( Β m 1+ Β m3 (Β + e i( Βm 2+ Βm 4 ]= 0 m 1- Β m 3) (Β m 2- Β m 4) [ e
2 多尺度分析
为将式 ( 5) 无量纲化, 引入空间和时间的坐标变 换及新的参数
v∴ v
性梁横向振动的控制方程。 其解可写为[ 15 ] v 0 (x , T 0 , T 1 ) =
∞
∑[ <
m= 1
m
( x ) A m ( T 1 ) e iΞm T 0 + < m (x ) A m (T 1 ) e
2 Θ A ( v , tt + 2Χ v , x t + Χv , xx ) -
式中 E 0 和 Γ 分别为梁弹性常数和黏性系数, Ε L 为 描述有限小变形的L ag range 应变
收稿日期: 2008208209; 修订日期: 2008210220 基金项目: 国家自然科学基金 ( 10672092) ; 国家杰出青年科学基金 ( 10725209) ; 上海市教委科研项目 ( 07ZZ07 ) ; 上海市 重点学科建设项目 ( S30106) 和上海大学创新基金资助
2
( 18)
因此, Ξm 和 Βm j 可由式 ( 17) 和 ( 18) 联立解出。当轴向 速度扰动的频率 Ξ 接近相应以平均速度运动线弹性 梁某阶未扰系统固有频率时, 研究可能发生的谐波 共振。分析第 n 阶的谐波共振, 引入调谐参数 Ρ 表示
( 11)
300
振 动 工 程 学 报
第 22 卷
2 2 iΒ m3 (Β Β - e iΒm 1 ) m4 m 1 ) (e 2 2 iΒ m3 (Β Β e iΒm 2 ) m4 m 2 ) (e
2 2 (Β Β m4 m 1) 2 2 (Β Β m4 m 3)
( e iΒm 2 - e iΒm 1 ) iΒm 4x e ( e iΒm 2 - e iΒm 3 )
2 Θ A ( v , tt + 2Χ v , x t + Χv , xx ) -
3 2 E 0A v , x v , x x 2
( 12)
P 0v , x x 2 2
2A Γv , x v , x x v , x t 2 2A ΓΧ v, xv, x -
A Γv , x v , x x t -
A ΓΧ v , x v , x x x + E 0 I v , x x x x + ΓI v , x x x x t + ΓI Χ v , xxxxx = bco s ( Ξt)
( 20) 1 b[ I m ( ς n ) sin Η R e ( ς n ) co sΗ n n] 2 Α R e ( Λn ) a n ,
( 16)
式中 Β m j ( j = 1, 2, 3, 4; m = 1, 2, …) 为下列关于 Β m 的 4 次代数方程的 4 个根
kf Β m 2 4 2 2 (Χ - 1) Β 2Χ Ξm Β Ξm 2 = 0 m m -
( 17)
3 2 2 Ε v , x x + k 2 1 v , x v , x x + bco s ( Ξt) + O ( Ε ) 2 ( 9)
Ξ
摘要: 用近似解析方法分析轴向运动黏弹性梁横向非线性受迫振动并通过微分求积方法 (DQM ) 进行数值验证。 基 于外部存在简谐激励的有限小变形细长梁的非线性模型, 用多尺度法建立谐波共振时的可解性条件, 进而导出稳 态周期响应的幅值及其稳定性。 稳定稳态周期解的幅值随外激励幅值的增大而增大, 随黏弹性系数或非线性系数 的增大而减小。采用微分求积法数值求解描述梁横向运动的非线性偏微分方程。计算结果定性验证了近似解析方 法预测的相关参数对稳定稳态周期响应幅值的影响, 定量比较表明解析结果有较高精度。 关键词: 黏弹性; 轴向运动梁; 受迫振动; 多尺度方法; 微分求积法 中图分类号: O 32 文献标识码: A 文章编号: 100424523 ( 2009) 0320298207
Χ ∴Χ
Θ A
P0
, kf =
E 0I 2 , Α= P 0l
Εl
3
Θ A P0
b Εl
k1 =
E 0A , k2 = P0
Γ
lΕ
A
Θ P0
, b∴
2 2 iΒ m2 (Β Β - e iΒm 1 ) iΒm 3x m4 m 1 ) (e e 2 2 iΒ m 2 (Β Β - e iΒm 3 ) m4 m 3 ) (e
iΞ mT0
]
( 15)
x , t∴ t l P0 2 Θ A l IΓ
Εl
, x∴
( 7) , 1
P0
式中 Ξm 为固有频率, <m (x ) 为模态函数, A m ( T 1 ) 为 待定函数, 符号上方短横表示该量的共轭复数。 在边 [ 13 ] 界条件 ( 10) 下, 模态函数为 <m ( x ) = e iΒm 1x 2 2 iΒ m3 m1) (Β Βm - e iΒ m4 1 ) (e e iΒm 2x 2 2 iΒ iΒ m3 m 2) (Β ) ( Β e e m4 m2
- 2v 0 , T 1T 0 - 2Χ v 0, x T 0- Α v 0, x x x x T 0- Α Χ v 0, x x x x x +
3 ( 14) k 1 2 v 0 , x x ( v 0 , x ) 2 + bcBaidu Nhomakorabea sΞT 0 2 式 ( 13) 是忽略外激励、 黏弹性以及非线性后的线弹
接多尺度法被应用于确定线性参数振动的稳定性区
引 言
动力传送带、 带锯、 空中缆车索道、 高楼升降机 缆绳等多种工程系统元件, 计及抗弯刚度时均可模 型化为轴向运动梁。 因此, 轴向运动梁的研究有广泛 应用前景。 同时, 轴向运动梁的控制方程中含有时间 和空间混合偏导数项, 是典型的陀螺连续系统, 相关 研究也有重要理论意义。 随着轴向运动弹性梁非线性振动研究的深 入[ 1～ 4 ] , 轴向运动黏弹性梁的非线性振动也开始研 究。 黏弹性的引入提供了工程系统中阻尼因素建模 的一种可能途径。M a rynow sk i 和 Kap itan iak 基于 Ga lerk in 截断用数值方法研究了不同黏弹性模型对 动态响应的影响, 发现当阻尼很小时不同的黏弹性 模型给出很接近的数值结果[ 5 ]。 Chen 和 Yang 用多 尺度法研究了轴向运动黏弹性梁非线性参数振动和 受迫振动的稳态响应及其稳定性[ 6, 7 ]。Yang 和Chen 基于 4 项 Ga lerk in 截断用数值方法研究轴向运动黏 弹性梁轴向力变化导致非线性参数振动的分岔和混 沌[ 8 ]。 在研究轴向运动黏弹性体时, 对黏弹性微分型 本构关系中的时间导数是偏导数还是物质导数有不 同的看法[ 5～ 12 ]。本文用多尺度法研究本构关系取物 质导数的轴向运动黏弹性梁存在外激励时横向稳态 响应。 在轴向运动连续体研究中, 近似解析方法如直
Ξ
域[ 13 ]、 非线性自由振动的响应[ 14 ] , 非线性受迫振动 幅频特性[ 7 ] 和非线性参数振动的稳态响应[ 1, 6, 12 ]。但 在以往所有轴向运动连续体工作中, 对于近似解析 方法的结果都没有数值验证。 本文用微分求积法数 值计算轴向运动黏弹性梁横向受迫振动稳定稳态响 应, 并与近似解析结果比较。
相应的, 边界条件为 v ( 0, t ) = 0, v , x x ( 0, t) = 0, v ( 1, t) = 0, v , x x ( 1, t) = 0 ( 10) 多尺度法可应用于近似求解非线性偏微分方程 ( 9) 。 设方程 ( 9) 的解具有
v ( x , t) = v 0 ( x , T 0 , T 1 ) + Ε v 1 (x , T 0 , T 1 ) + O ( Ε )
1 轴向运动黏弹性梁横向受迫振动模
型
考虑外部存在幅值为 b 的简谐激励, 密度为 Θ , 截面积为A , 初始张力为P 0 的梁以一致的恒定速度Χ 沿轴向移动。 只考虑梁的横向变形, 在轴向坐标 x 处, t 时刻横向位移为 v ( x , t ) , 则横向动力学方程
M o te 形式为
[6 ]
0 代入式 ( 9) , 并令相应 Ε 及 Ε项系数相等, 导出 2 2 ( v 0 , T 0T 0 + 2 Χ v 0 , x T 0 + Χ - 1) v 0 , x x + k f v 0 , x x x x = 0
对于用 Eu ler 2 B ernou lli 模型描述细长梁, 可以导出 M , x x = E 0 I v , x x x x + ΓI ( v , x x x x t + Χ v , x x x x x ) ( 4) 式中 I 为截面惯性矩。将式 ( 2) , ( 3) 和 ( 4) 代入式 ( 1) , 得
( 8)
1-
其中无量纲的小量 Ε为记账符号, 表示横向位移v 和 黏性系数 Γ 及外激励幅值 b 均为小量。对式 ( 5) 作变 换 ( 7) , 并将所得结果用式 ( 8) 定义的参数表示, 分别 导出
2 2 v , tt + 2Χ v , x t+ Χ v , x x + k f v , x x x x = - Ε Α[ v , x x x x t + Χ v , x x x x x ]+
振 动 工 程 学 报
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Vol . 22 N o. 3 J un. 2009
轴向运动梁横向受迫振动多尺度分析及D QM 验证
丁 虎1 , 陈立群1, 2
( 1. 上海市应用数学和力学研究所, 上海 200072; 2. 上海大学力学系, 上海 200444)
5( A Ρv , x ) + 5x ( 1) M , x x - P 0 v , x x = bco s ( Ξt) 式中 Ρ= Ρ ( x , t) 和M = M ( x , t ) 分别为梁在坐标 x 和时间 t 的因变形产生的附加应力和弯矩。 设梁材 料 为黏弹性固体, 满足 Kelvin 本构关系, 则该轴向 运动黏弹性梁的应力和应变关系为[ 5, 12 ] ( 2) Ρ = E 0Ε Ε L + Γ( Ε L, t + Χ L , x)
扰动频率 Ξ 离开 Ξn 的程度, 则 Ξ 可以表示为 Ξ = Ξn + Ε Ρ
( 19)
其中 实数函数 a n ( T 1 ) 及 Υ n ( T 1 ) 分别表示第 n 阶谐 波共振响应的幅值和相角。 令 Η n = ΡT 1 - 2 Υ n , 将式 ( 28) 代 入 式 ( 24 ) , 分 离 实 部 和 虚 部, 并 注 意 到 式 ( 27) , 得到 a n =
( 13)
v 1 , T 0T 0 + 2 Χ v 1 , x T 0 + ( Χ - 1) v 1 , x x + k f v 1 , x x x x =
2 2
( 5)
这里仅考虑运动梁在两端穿过简支光滑套筒的情 形。 边界条件为 v ( 0, t ) = 0, v , x x ( 0, t) = 0, v ( l , t) = 0, v , x x ( l , t) = 0 ( 6)
第 3 期
丁 虎, 等: 轴向运动梁横向受迫振动多尺度分析及 DQM 验证
299
Ε L =
1 2 v, x 2
( 3)
的形式, 其中 T 0 = t 表示接近某一阶未扰动线性系 统固有频率 Ξk 运动的快尺度, T 1 = Εt 表示因非线 性、 黏弹性及可能的共振而导致的振幅及相位慢变 的小时间尺度。 将式 ( 11) 及其导数 5 5 5 2 ) = + Ε + O (Ε 5t 5T 0 5T 1 52 52 52 2 ) + O (Ε 2 = 2 + 2Ε 5T 0 5T 1 5t 5T 0
而固有频率 Ξm (m = 1, 2, …) 满足频率方程
) ) 2 2 2 2 i( Β m 1+ Β m2 (Β + e i( Βm 3+ Βm 4 ]+ m 1- Β m 2) (Β m 4- Β m 3) [ e ) ) 2 2 2 2 i( Β m 2+ Β m3 (Β + e i( Βm 4+ Βm 1 ]+ m 2- Β m 3) (Β m 4- Β m 1) [ e ) ) 2 2 2 2 i( Β m 1+ Β m3 (Β + e i( Βm 2+ Βm 4 ]= 0 m 1- Β m 3) (Β m 2- Β m 4) [ e
2 多尺度分析
为将式 ( 5) 无量纲化, 引入空间和时间的坐标变 换及新的参数
v∴ v
性梁横向振动的控制方程。 其解可写为[ 15 ] v 0 (x , T 0 , T 1 ) =
∞
∑[ <
m= 1
m
( x ) A m ( T 1 ) e iΞm T 0 + < m (x ) A m (T 1 ) e
2 Θ A ( v , tt + 2Χ v , x t + Χv , xx ) -
式中 E 0 和 Γ 分别为梁弹性常数和黏性系数, Ε L 为 描述有限小变形的L ag range 应变
收稿日期: 2008208209; 修订日期: 2008210220 基金项目: 国家自然科学基金 ( 10672092) ; 国家杰出青年科学基金 ( 10725209) ; 上海市教委科研项目 ( 07ZZ07 ) ; 上海市 重点学科建设项目 ( S30106) 和上海大学创新基金资助
2
( 18)
因此, Ξm 和 Βm j 可由式 ( 17) 和 ( 18) 联立解出。当轴向 速度扰动的频率 Ξ 接近相应以平均速度运动线弹性 梁某阶未扰系统固有频率时, 研究可能发生的谐波 共振。分析第 n 阶的谐波共振, 引入调谐参数 Ρ 表示
( 11)
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第 22 卷
2 2 iΒ m3 (Β Β - e iΒm 1 ) m4 m 1 ) (e 2 2 iΒ m3 (Β Β e iΒm 2 ) m4 m 2 ) (e
2 2 (Β Β m4 m 1) 2 2 (Β Β m4 m 3)
( e iΒm 2 - e iΒm 1 ) iΒm 4x e ( e iΒm 2 - e iΒm 3 )
2 Θ A ( v , tt + 2Χ v , x t + Χv , xx ) -
3 2 E 0A v , x v , x x 2
( 12)
P 0v , x x 2 2
2A Γv , x v , x x v , x t 2 2A ΓΧ v, xv, x -
A Γv , x v , x x t -
A ΓΧ v , x v , x x x + E 0 I v , x x x x + ΓI v , x x x x t + ΓI Χ v , xxxxx = bco s ( Ξt)
( 20) 1 b[ I m ( ς n ) sin Η R e ( ς n ) co sΗ n n] 2 Α R e ( Λn ) a n ,
( 16)
式中 Β m j ( j = 1, 2, 3, 4; m = 1, 2, …) 为下列关于 Β m 的 4 次代数方程的 4 个根
kf Β m 2 4 2 2 (Χ - 1) Β 2Χ Ξm Β Ξm 2 = 0 m m -
( 17)
3 2 2 Ε v , x x + k 2 1 v , x v , x x + bco s ( Ξt) + O ( Ε ) 2 ( 9)
Ξ
摘要: 用近似解析方法分析轴向运动黏弹性梁横向非线性受迫振动并通过微分求积方法 (DQM ) 进行数值验证。 基 于外部存在简谐激励的有限小变形细长梁的非线性模型, 用多尺度法建立谐波共振时的可解性条件, 进而导出稳 态周期响应的幅值及其稳定性。 稳定稳态周期解的幅值随外激励幅值的增大而增大, 随黏弹性系数或非线性系数 的增大而减小。采用微分求积法数值求解描述梁横向运动的非线性偏微分方程。计算结果定性验证了近似解析方 法预测的相关参数对稳定稳态周期响应幅值的影响, 定量比较表明解析结果有较高精度。 关键词: 黏弹性; 轴向运动梁; 受迫振动; 多尺度方法; 微分求积法 中图分类号: O 32 文献标识码: A 文章编号: 100424523 ( 2009) 0320298207
Χ ∴Χ
Θ A
P0
, kf =
E 0I 2 , Α= P 0l
Εl
3
Θ A P0
b Εl
k1 =
E 0A , k2 = P0
Γ
lΕ
A
Θ P0
, b∴
2 2 iΒ m2 (Β Β - e iΒm 1 ) iΒm 3x m4 m 1 ) (e e 2 2 iΒ m 2 (Β Β - e iΒm 3 ) m4 m 3 ) (e
iΞ mT0
]
( 15)
x , t∴ t l P0 2 Θ A l IΓ
Εl
, x∴
( 7) , 1
P0
式中 Ξm 为固有频率, <m (x ) 为模态函数, A m ( T 1 ) 为 待定函数, 符号上方短横表示该量的共轭复数。 在边 [ 13 ] 界条件 ( 10) 下, 模态函数为 <m ( x ) = e iΒm 1x 2 2 iΒ m3 m1) (Β Βm - e iΒ m4 1 ) (e e iΒm 2x 2 2 iΒ iΒ m3 m 2) (Β ) ( Β e e m4 m2
- 2v 0 , T 1T 0 - 2Χ v 0, x T 0- Α v 0, x x x x T 0- Α Χ v 0, x x x x x +
3 ( 14) k 1 2 v 0 , x x ( v 0 , x ) 2 + bcBaidu Nhomakorabea sΞT 0 2 式 ( 13) 是忽略外激励、 黏弹性以及非线性后的线弹
接多尺度法被应用于确定线性参数振动的稳定性区
引 言
动力传送带、 带锯、 空中缆车索道、 高楼升降机 缆绳等多种工程系统元件, 计及抗弯刚度时均可模 型化为轴向运动梁。 因此, 轴向运动梁的研究有广泛 应用前景。 同时, 轴向运动梁的控制方程中含有时间 和空间混合偏导数项, 是典型的陀螺连续系统, 相关 研究也有重要理论意义。 随着轴向运动弹性梁非线性振动研究的深 入[ 1～ 4 ] , 轴向运动黏弹性梁的非线性振动也开始研 究。 黏弹性的引入提供了工程系统中阻尼因素建模 的一种可能途径。M a rynow sk i 和 Kap itan iak 基于 Ga lerk in 截断用数值方法研究了不同黏弹性模型对 动态响应的影响, 发现当阻尼很小时不同的黏弹性 模型给出很接近的数值结果[ 5 ]。 Chen 和 Yang 用多 尺度法研究了轴向运动黏弹性梁非线性参数振动和 受迫振动的稳态响应及其稳定性[ 6, 7 ]。Yang 和Chen 基于 4 项 Ga lerk in 截断用数值方法研究轴向运动黏 弹性梁轴向力变化导致非线性参数振动的分岔和混 沌[ 8 ]。 在研究轴向运动黏弹性体时, 对黏弹性微分型 本构关系中的时间导数是偏导数还是物质导数有不 同的看法[ 5～ 12 ]。本文用多尺度法研究本构关系取物 质导数的轴向运动黏弹性梁存在外激励时横向稳态 响应。 在轴向运动连续体研究中, 近似解析方法如直
Ξ
域[ 13 ]、 非线性自由振动的响应[ 14 ] , 非线性受迫振动 幅频特性[ 7 ] 和非线性参数振动的稳态响应[ 1, 6, 12 ]。但 在以往所有轴向运动连续体工作中, 对于近似解析 方法的结果都没有数值验证。 本文用微分求积法数 值计算轴向运动黏弹性梁横向受迫振动稳定稳态响 应, 并与近似解析结果比较。
相应的, 边界条件为 v ( 0, t ) = 0, v , x x ( 0, t) = 0, v ( 1, t) = 0, v , x x ( 1, t) = 0 ( 10) 多尺度法可应用于近似求解非线性偏微分方程 ( 9) 。 设方程 ( 9) 的解具有
v ( x , t) = v 0 ( x , T 0 , T 1 ) + Ε v 1 (x , T 0 , T 1 ) + O ( Ε )
1 轴向运动黏弹性梁横向受迫振动模
型
考虑外部存在幅值为 b 的简谐激励, 密度为 Θ , 截面积为A , 初始张力为P 0 的梁以一致的恒定速度Χ 沿轴向移动。 只考虑梁的横向变形, 在轴向坐标 x 处, t 时刻横向位移为 v ( x , t ) , 则横向动力学方程
M o te 形式为
[6 ]
0 代入式 ( 9) , 并令相应 Ε 及 Ε项系数相等, 导出 2 2 ( v 0 , T 0T 0 + 2 Χ v 0 , x T 0 + Χ - 1) v 0 , x x + k f v 0 , x x x x = 0
对于用 Eu ler 2 B ernou lli 模型描述细长梁, 可以导出 M , x x = E 0 I v , x x x x + ΓI ( v , x x x x t + Χ v , x x x x x ) ( 4) 式中 I 为截面惯性矩。将式 ( 2) , ( 3) 和 ( 4) 代入式 ( 1) , 得
( 8)
1-
其中无量纲的小量 Ε为记账符号, 表示横向位移v 和 黏性系数 Γ 及外激励幅值 b 均为小量。对式 ( 5) 作变 换 ( 7) , 并将所得结果用式 ( 8) 定义的参数表示, 分别 导出
2 2 v , tt + 2Χ v , x t+ Χ v , x x + k f v , x x x x = - Ε Α[ v , x x x x t + Χ v , x x x x x ]+