浙江省杭州十四中康桥校区2015-2016学年高一(上)11月段考数学试卷(解析版)

2015-2016学年浙江省杭州十四中康桥校区高一（上）11月段考
数学试卷
一、选择题：共8小题，每小题5分，计40分．
1．设全集U={x|x＜4，x∈N}，A={0，1，2}，B={2，3}，则B∪∁U A等于（）A．{3}B．{2，3}C．∅D．{0，1，2，3}
2．与y=|x|为同一函数的是（）
A．B．
C．D．
3．若102x=25，则10﹣x等于（）
A．B．C．D．
4．计算：log29•log38=（）
A．6 B．8 C．10 D．1
5．设a=20.3，b=0.32，c=log20.3，则a，b，c的大小关系是（）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a
6．设f（x）=，则f（5）的值为（）
A．10 B．11 C．12 D．13
7．函数y=a x与y=﹣log a x（a＞0，且a≠1）在同一坐标系中的图象只可能是（）A．B．C．
D．
8．设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（）A．[，1]B．[0，1]C．[，+∞）D．[1，+∞）
二、填空题：本大题共6小题，前两题每题6分，其他每题4分，共28分，答案写在答题卡上．
9．计算：=，=．
10．若函数，则函数f（x）的定义域是，单调递减区间是．
11．已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）=．
12．函数f（x）=log2（3x+1）的值域为．
13．函数y=log a（2x﹣3）+1的图象恒过定点P，则点P的坐标是．
14．下列说法中：
①若f（x）=ax2+（2a+b）x+2（其中x∈[2a﹣1，a+4]）是偶函数，则实数b=2；
②f（x）表示﹣2x+2与﹣2x2+4x+2中的较小者，则函数f（x）的最大值为1；
③若函数f（x）=|2x+a|的单调递增区间是[3，+∞），则a=﹣6；
④已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x，y∈R都满足f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），则f（x）是奇函数．
其中正确说法的序号是（注：把你认为是正确的序号都填上）．
三、解答题：本大题共3小题，共32分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．设U=R，A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x＜4}，C={x|a≤x≤a+1}，a为实数，（1）分别求A∩B，A∪（∁U B）；
（2）若B∩C=C，求a的取值范围．
16．已知奇函数y=f（x）定义域是R，当x≥0时，f（x）=x（1﹣x）．
（1）求出函数y=f（x）的解析式；
（2）写出函数y=f（x）的单调递增区间．（不用证明，只需直接写出递增区间即
可）
17．设函数f（x）=x2+2ax﹣a﹣1，x∈[0，2]，a为常数．
（1）求f（x）的最小值g（a）的解析式；
（2）在（1）中，是否存在最小的整数m，使得g（a）﹣m≤0对于任意a∈R 均成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
四．附加题：本大题共3小题，其中第（1）、（2）题每小题5分，第（3）小题10分，共20分．
18．已知是R上的减函数，那么a的取值范围是．
19．若函数y=log2（ax2+2ax+1）的定义域为R，则a的范围为．
20．已知a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|．
（Ⅰ）当a=2时，求使f（x）≥x成立的x的集合；
（Ⅱ）求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．
2015-2016学年浙江省杭州十四中康桥校区高一（上）11
月段考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：共8小题，每小题5分，计40分．
1．设全集U={x|x＜4，x∈N}，A={0，1，2}，B={2，3}，则B∪∁U A等于（）A．{3}B．{2，3}C．∅D．{0，1，2，3}
【考点】全集及其运算；交、并、补集的混合运算．
【分析】先求出全集U={3，2，1，0}，然后进行补集、并集的运算即可．
【解答】解：U={3，2，1，0}；
∴∁U A={3}；
∴B∪∁U A={2，3}．
故选：B．
2．与y=|x|为同一函数的是（）
A．B．
C．D．
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【分析】先判断两个函数的定义域是否是同一个集合，再判断两个函数的解析式是否可以化为一致．
【解答】解：A、∵y=|x|的定义域为（﹣∞，+∞）．的定义域是[0，+∞），∴不是同一个函数
B、∵两个函数的解析式一致，定义域是同一个集合，∴是同一个函数
C、∵y=|x|的定义域为（﹣∞，+∞）．的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），∴不是同一个函数
D、∵y=|x|的定义域为（﹣∞，+∞）．的定义域是[0，+∞），∴不是同一个函数
故选B．
3．若102x=25，则10﹣x等于（）
A．B．C．D．
【考点】有理数指数幂的运算性质．
【分析】通过有理指数幂的运算，102x=25求出10x=5，然后再求10﹣x的值．【解答】解：102x=25可得10x=5，
所以10﹣x=
故选A．
4．计算：log29•log38=（）
A．6 B．8 C．10 D．1
【考点】对数的运算性质．
【分析】根据换底公式和对数的运算性质计算即可．
【解答】解：log29•log38=•=6，
故选：A．
5．设a=20.3，b=0.32，c=log20.3，则a，b，c的大小关系是（）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a
【考点】对数值大小的比较．
【分析】要比较三个数字的大小，可将a，b，c与中间值0，1进行比较，从而确定大小关系．
【解答】解：∵0＜0.32＜1
log20.3＜0
20.3＞1
∴log20.3＜0.32＜20.3，即c＜b＜a
6．设f（x）=，则f（5）的值为（）
A．10 B．11 C．12 D．13
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．
【分析】欲求f（5）的值，根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x≥10内的函数值即可求出其值．
【解答】解析：∵f（x）=，
∴f（5）=f[f（11）]
=f（9）=f[f（15）]
=f（13）=11．
故选B．
7．函数y=a x与y=﹣log a x（a＞0，且a≠1）在同一坐标系中的图象只可能是（）A．B．C．
D．
【考点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质．
【分析】本题是选择题，采用逐一排除法进行判定，再根据指对数函数图象的特征进行判定．
【解答】解：根据y=﹣log a x的定义域为（0，+∞）可排除选项B，
选项C，根据y=a x的图象可知0＜a＜1，y=﹣log a x的图象应该为单调增函数，故
选项D，根据y=a x的图象可知a＞1，y=﹣log a x的图象应该为单调减函数，故不正确
故选A
8．设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（）A．[，1]B．[0，1]C．[，+∞）D．[1，+∞）
【考点】分段函数的应用．
【分析】令f（a）=t，则f（t）=2t，讨论t＜1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论t≥1时，以及a＜1，a≥1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：令f（a）=t，
则f（t）=2t，
当t＜1时，3t﹣1=2t，
由g（t）=3t﹣1﹣2t的导数为g′（t）=3﹣2t ln2，
在t＜1时，g′（t）＞0，g（t）在（﹣∞，1）递增，
即有g（t）＜g（1）=0，
则方程3t﹣1=2t无解；
当t≥1时，2t=2t成立，
由f（a）≥1，即3a﹣1≥1，解得a≥，且a＜1；
或a≥1，2a≥1解得a≥0，即为a≥1．
综上可得a的范围是a≥．
故选C．
二、填空题：本大题共6小题，前两题每题6分，其他每题4分，共28分，答案写在答题卡上．
9．计算：=2，=2．
【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．
【分析】利用有理数指数幂、对数的性质、运算法则求解．
【解答】解：==2，
=lg25+lg4=lg100=2．
故答案为：2，2．
10．若函数，则函数f（x）的定义域是（﹣∞，1）∪（3，+∞），单调递减区间是（3，+∞）．
【考点】复合函数的单调性；对数函数的图象与性质．
【分析】根据真数大于0，可得函数的定义域；结合复合函数“同增异减”的原则，可确定函数的单调递减区间．
【解答】解：由x2﹣4x+3＞0得：x∈（﹣∞，1）∪（3，+∞），
故函数f（x）的定义域是（﹣∞，1）∪（3，+∞）；
令t=x2﹣4x+3，则y=，
∵y=为减函数，
t=x2﹣4x+3在（﹣∞，1）上为减函数，在（3，+∞）上为增函数；
故函数在（﹣∞，1）上为增函数，在（3，+∞）上为减函数；
即函数的单调递减区间是（3，+∞）．
故答案为：（﹣∞，1）∪（3，+∞）；（3，+∞）
11．已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）=3．
【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．
【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f（16）的值
【解答】解：由题意令y=f（x）=x a，由于图象过点（2，），
得=2a，a=
∴y=f（x）=
∴f（9）=3．
故答案为：3．
12．函数f（x）=log2（3x+1）的值域为（0，+∞）．
【考点】对数函数的值域与最值．
【分析】先根据指数函数的性质求出真数3x+1的范围，然后根据对数函数的单调性求出函数的值域即可．
【解答】解：∵3x+1＞1
∴log2（3x+1）＞0
∴f（x）=log2（3x+1）的值域为（0，+∞）
故答案为：（0，+∞）
13．函数y=log a（2x﹣3）+1的图象恒过定点P，则点P的坐标是（2，1）．【考点】对数函数的单调性与特殊点．
【分析】由log a1=0，知2x﹣3=1，即x=2时，y=1，由此能求出点P的坐标．【解答】解：∵log a1=0，
∴2x﹣3=1，即x=2时，y=1，
∴点P的坐标是P（2，1）．
故答案为：（2，1）．
14．下列说法中：
①若f（x）=ax2+（2a+b）x+2（其中x∈[2a﹣1，a+4]）是偶函数，则实数b=2；
②f（x）表示﹣2x+2与﹣2x2+4x+2中的较小者，则函数f（x）的最大值为1；
③若函数f（x）=|2x+a|的单调递增区间是[3，+∞），则a=﹣6；
④已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x，y∈R都满足f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），则f（x）是奇函数．
其中正确说法的序号是①③④（注：把你认为是正确的序号都填上）．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①f（x）是偶函数，应满足定义域关于原点对称，且一次项系数为0；
②f（x）表示﹣2x+2与﹣2x2+4x+2中的较小者，可用分段函数表示f（x），再求f（x）的最大值；
③f（x）的单调递增区间是[3，+∞），即x≥3时，2x+a≥0，得出a的取值；
④由题意，可求出f（1）=f（﹣1）=0，f（﹣x）与f（x）的关系，从而判定f（x）的奇偶性．
【解答】解：①∵f（x）=ax2+（2a+b）x+2（其中x∈[2a﹣1，a+4]）是偶函数，∴有，∴a=﹣1，b=2，命题正确；
②∵f（x）表示﹣2x+2与﹣2x2+4x+2中的较小者，∴f（x）=，∴f（x）的最大值为2，原命题错误；
③∵f（x）=|2x+a|的单调递增区间是[3，+∞），∴当x≥3时，2x+a≥0，∴a≥﹣6，故取a=﹣6，命题正确；
④∵f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x，y∈R都满足f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），
∴当x=y=1时，f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0；
当x=y=﹣1时，f（1）=﹣f（﹣1）﹣f（﹣1），∴f（﹣1）=0；
当y=﹣1时，f（﹣x）=x•f（﹣1）+[﹣f（x）]，即f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数，命题正确．
所以，命题正确的序号是①③④
三、解答题：本大题共3小题，共32分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．设U=R，A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x＜4}，C={x|a≤x≤a+1}，a为实数，（1）分别求A∩B，A∪（∁U B）；
（2）若B∩C=C，求a的取值范围．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】本题（1）先求出集合B的补集，再求出A∪（∁U B），得到本题结论；（2）由B∩C=C得到C⊆B，再比较区间的端点，求出a的取值范围，得到本题结论．【解答】解：（1）∵A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x＜4}，
∴∁u B={x|x≤2或x≥4}，
∴A∩B={x|2＜x≤3}，A∪（∁U B）={x|x≤3或x≥4}．
（2）∵B∩C=C，
∴C⊆B．
∵B={x|2＜x＜4}，C={x|a≤x≤a+1}，
∴2＜a，a+1＜4，
∴2＜a＜3．
16．已知奇函数y=f（x）定义域是R，当x≥0时，f（x）=x（1﹣x）．
（1）求出函数y=f（x）的解析式；
（2）写出函数y=f（x）的单调递增区间．（不用证明，只需直接写出递增区间即可）
【考点】函数奇偶性的性质；函数的单调性及单调区间．
【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，根据已知可求得f（﹣x），根据奇函数的性质f（x）=﹣f（﹣x）即可求得f（x）的表达式．
（2）结合二次函数的图象和性质，可得分段函数的单调递增区间．
【解答】解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，
∴f（﹣x）=﹣x（1+x）．…
又因为y=f（x）是奇函数
所以f（x）=﹣f（﹣x）x（1+x）．…
综上f（x）=…
（2）函数y=f（x）的单调递增区间是[，]…
17．设函数f（x）=x2+2ax﹣a﹣1，x∈[0，2]，a为常数．
（1）求f（x）的最小值g（a）的解析式；
（2）在（1）中，是否存在最小的整数m，使得g（a）﹣m≤0对于任意a∈R 均成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【考点】函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法．
【分析】（1）由函数的解析式可得函数开口方向及对称轴，分类讨论给定区间与对称轴的关系，分析函数的单调性后，可得最值；
（2）若g（a）﹣m≤0恒成立，则m不小于g（a）的最大值，分析函数g（a）的单调性求阳其最值可得答案．
【解答】解：（1）对称轴x=﹣a
①当﹣a≤0⇒a≥0时，
f（x）在[0，2]上是增函数，x=0时有最小值f（0）=﹣a﹣1…
②当﹣a≥2⇒a≤﹣2时，
f（x）在[0，2]上是减函数，x=2时有最小值f（2）=3a+3…
③当0＜﹣a＜2⇒﹣2＜a＜0时，
f（x）在[0，2]上是不单调，x=﹣a时有最小值f（﹣a）=﹣a2﹣a﹣1…
∴…
（2）存在，
由题知g（a）在是增函数，在是减函数
∴时，，…
g（a）﹣m≤0恒成立
⇒g（a）max≤m，
∴…，
∵m为整数，
∴m的最小值为0…
四．附加题：本大题共3小题，其中第（1）、（2）题每小题5分，第（3）小题10分，共20分．
18．已知是R上的减函数，那么a的取值范围是[，1）．
【考点】函数单调性的性质．
【分析】由题意可得，由此求得a的范围．
【解答】解：已知是R上的减函数，
∴，求得≤a＜1，
故答案为：[，1）．
19．若函数y=log2（ax2+2ax+1）的定义域为R，则a的范围为[0，1）．【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】由函数y=log2（ax2+2ax+1）的定义域为R，得ax2+2ax+1＞0对任意实数恒成立，然后分a=0和a≠0讨论，当a≠0时，得，求解不等式组得答案．
【解答】解：∵函数y=log2（ax2+2ax+1）的定义域为R，
∴ax2+2ax+1＞0对任意实数恒成立，
当a=0时，符合题意；当a≠0时，则，解得0＜a＜1．
综上，使函数y=log2（ax2+2ax+1）的定义域为R的a的范围为[0，1）．
故答案为：[0，1）．
20．已知a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|．
（Ⅰ）当a=2时，求使f（x）≥x成立的x的集合；
（Ⅱ）求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．
【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．
【分析】（Ⅰ）把a=2代入函数解析式，根据绝对值的符号分为两种情况，即x ＜2和x≥2分别求解对应不等式的解集，再把所有的解集取并集表示出来．（Ⅱ）根据区间[1，2]和绝对值内的式子进行分类讨论，即a≤1、1＜a＜2和a ≥2三种情况，分别求出解析式，利用二次函数的性质判断在区间上的单调性，再求最小值；最后用分段函数表示函数的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，f（x）=x|x﹣a|．…
当x＜2时，f（x）=x（2﹣x）≥x，解得x∈[0，1]；…
当x≥2时，f（x）=x（x﹣2）≥x，解得x∈[3，+∞）；…
综上，所求解集为x∈[0，1]∪[3，+∞）；…
（Ⅱ）①当a≤1时，在区间[1，2]上，f（x）=x2﹣ax=（x﹣）2﹣，其图象是开口向上的抛物线，对称轴是x=，
∵a≤1，∴，
∴f（x）min=f（1）=1﹣a…
②当1＜a＜2时，在区间[1，2]上，f（x）=x|x﹣a|≥0，
f（x）min=0…
③当a≥2时，在区间[1，2]上，f（x）=﹣x2+ax=﹣（x﹣）2+，
其图象是开口向下的抛物线，对称轴是x=，
1°当1≤＜即2≤a＜3时，f（x）min=f（2）=2a﹣4…
2°当即a≥3时，f（x）min=f（1）=1﹣a
∴综上，f（x）min=…
2017年2月11日。