2第二章 计量经济学的统计学基础知识

第二章 统计学基础知识
第一节 常用的统计量——平均数、方差 第二节 常用的概率分布
复习：
什么是计量经济学？ 计量经济学与其他学科有什么关系？ 计量经济学研究现实问题的程序是什么？
第一节 常用的统计量——平均数、方差
一、算术平均
算术平均（arithmetic mean）就是我们日 常生活中使用的普通的平均数，其定义如 下式：
X X1 X 2 X n X
n
n
二、加权算术平均
加权平均（weighted arithmetic mean）是将 各数据先乘以反映其重要性的权数（w），再 求平均的方法。其定义如下式：
X w
w1X1 w2 X2 wn Xn w1 w2 wn
wi Xi w
三、变化率
变化率的定义如下式：
（3）R=0 不相关（no correlation）
（4）R<0 负相关（negative correlation）
（5）R=-1完全负相关 （perfect correlation）
negative
为什么会有上述结果？请结合公式思考。
第二节 常用的概率分布
经济计量模型研究具有随机性特征的经济变 量关系。本节将对数理统计中常用的随机变 量分布及一些概念作一简单回顾。
n
P( X xi ) 1
i 1
一、概率分布
连续性的随机变量概率函数
P（a X b）
b
f (x)dx
a
x
其中f (x)为概率密度函数。密度函数满足条件
f (x) 0；
b
f (x)dx 1
a
概率分布还可用分布函数表示。分布函数是概率的累积，即
随机变量X取小于某个x值的累积概率是x的函数，记为F（x）.
所谓相关系数（correlation coefficient）是 用来测量诸如收入与消费、气温和啤酒的消 费量、汇率与牛肉的进口价格等两个变量X、 Y之间的相互关系的大小和方向（正或负） 的系数。通过计算相关系数，可以知道X与 Y之间具有多大程度的线性（linear）关系。 相关系数R的定义如下式：
方差的计算方法是，先将每个数据与算术 平均数之差（即离差）的平方相加求和，再 除于样本数减一。而标准差是方差的正的平 方根。由于方差是通过平方计算的，它与原 数据的次数有所不同，而标准差由于是方差 的平方根，因而又与原数据的次数相同。因 此，标准差与原数据的单位相同，而方差则 不附加单位。
方差S2的定义分别如下式（样本）：
R ( X X )(Y Y ) ( X X ) 2 (Y Y ) 2
n XY X Y
n X 2 ( X )2nY 2 (Y)2
相关系数的R的取值范围为，R的取值具有以下 的不同含义：
（1）R=1完全正相关 correlation）
（perfect positive
（2）R>0 正相关（positive correlation）
X t X t1 (t 2 ,3,n) X t1
四、几何平均 几何平均（geometric mean）是n个数
据连乘积的n次方根，其定义如下式：
G n X1 X 2 X n
五、移动平均
所谓移动平均（moving average）， 就是对时间序列数据的前后数据求平均， 将不必要的变动（ 循环变动、季节变动 和不规则变动）平滑（smoothing），也 即剔除这些变动，从而发现长期变化方向 的一种方法。
-4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
四、抽样分布
1、 2 分布 2、 t 分布 3、 F 分布 注：正态母体子样分布性质：
X
是来自正态母体的随机
CV
标准差 算术平均数
S X
八、标准化变量
标准差变量（standardized variable）,又称基准 化变量，它是用来测量某个数据的数值与算术平 均数的偏离程度，是标准差s的多少倍。借此可以 看出该数据在全体数据所处的位置。标准化变量z 的定义如下式：
z
X
算术平均数 标准差
X
X s
九、相关系数
一、概率分布 二、总体与样本 三、正态分布 四、抽样分布
一、概率分布
随机变量在各个可能值上出现的概率的大小的情况， 叫概率分布。概率分布可用概率函数描述。
离散性随机变量X的可能取值为xi，P为概率，则概 率函数为
P（X= xi ） i=1,2,3, …n
概f (x)
1
(x)2
e 2 2
2
时，称X的分布为正态分布,记为X～
，
N（， 2）
密度函数中 和 是X的数学期望和方差。
2
三、正态分布（总体分布）
当 0 和 2 1 时，称X服从标准正态分
布，记为X～ N（0，1） 。
对于非标准正态分布的X，总可以作如下变 换，Z X ，使Z服从标准正态分布。
通常，移动平均大多用简单的奇数项来计算，下面 是3项移动平均和5项移动平均的定义。
3项移动平均：
Xt
X t 1
Xt 3
X t 1
5项移动平均：
Xt
X t2
X t1
Xt 5
X t1
X t2
EXCEL演示
三项移动平均 五项移动平均
六、方差与标准差
为了了解数据的结构，有必要考察数据的集 中趋势和分散的程度。对于集中的趋势，我们 从前面学习过的算术平均中已经大体有所了解， 而对于分散的程度，通过对方差（variance） 与标准差（standard deviation），以及下一 节将要介绍的变动系数的计算，能够得到很多 信息。
离散性随机变量，F (x) P( X xi ) xi x
连续性随机变量，F(x) P(X
xi )
x
f (x)dx
二、总体与样本
数理统计中把所研究对象的全部单位所组成的 集合，叫做总体。从总体中抽出的部分单位所 组成的集合，叫做样本。
三、正态分布
当连续的随机变量的概率密度函数形式为
s2 (X1 X)2 (X2 X)2 (Xn X)2 n 1
1 n 1
(Xi X)2
标准差S的的定义分别如下式：
S 方差 S 2
七、变动系数
变动系数（coefficient of variation）又称变异 系数，它用标准差S除于算术平均数的商来表 示。变动系数CV的定义如下式：