椭圆离心率的范围问题

椭圆离心率的范围问题

作者：嘉平

来源：《读写算》2012年第10期

圆锥曲线的离心率的范围问题是解析几何中的常见问题。近几年高考中又出现了与存在性有关的离心率范围问题。下面就椭圆结合实例谈谈这类问题的处理方法。

一、由存在点的坐标范围，结合与存在点有关的等量关系，转化成方程有解问题，进而求离心率的范围。

例1．已知椭圆（a>b>0）的两个焦点为F1（-c，0），F2（c,0）,若直线x= 上总存在一点p，使线段F1P的垂直平分线恰好过F2点，求椭圆的离心率的范围。

解：设点P的坐标为（，y），y∈R.由线段F1P的垂直平分线过点F2知，|F1F2|=|PF2|，则关于y的方程2C= ,y∈R有解，整理，得 ,则，即，开方，得，即，故。

二、由与存在点有关的焦半径范围，求离心率的范围。

例2．（2010四川）椭圆（a>b>0）的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是。

解：由线段AP的垂直平分线过点F知 |PF| = |AF|，而P在椭圆上，由题意知a－c

三、由焦点三角形F1PF2中∠F1PF2的变化规律求离心率的范围。

椭圆（a>b>0）的左、右两个焦点分别为F1（－c，0），F2（c,0），P是椭圆上任一点。如图设P（x,y）在第一象限，由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，又由焦半径公式知|PF1|=a+ex,

|PF2|=a－ex

Cos∠F1PF2=

=

=

=

=

当点P在第一象限从短轴端点向长轴端点运动时，cos∠F1PF2逐渐增大，而0

例3．椭圆（a>b>0）的两个焦点为F1（－c，0），F2（c,0），若在椭圆上存在一点P，使PF1⊥PF2，则椭圆离心率的范围是。

方法一：如图一，∠F1BF2∠F1PF2 = ，则∠OBF2，而e= = =sin∠OBF2,故≤e

方法二：设P（x,y）,由P在椭圆上，使PF1⊥PF2知，-

例4．点A是椭圆（a>b>0）长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在点P，使∠OPA= ，则椭圆离心率的范围是。

解：A（ ,0）,设P（x,y），02 b2,即 2>2（ 2 -c2）,也即e2> ，故

与存在性有关的椭圆离心率的范围问题，基本方法是转化为方程有解问题，目的是寻找不等关系，列不等式（组）求离心率的取值范围。