椭圆离心率的范围问题

合集下载

求离心率的取值范围方法总结

求离心率的取值范围求离心率的取值范围椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率。

求椭圆与双曲线离心率的范围是圆锥曲线这一章的重点题型。

求离心率的取值范围涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强方法灵活，解题关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式。

下面从几个方面浅谈如何确定椭圆、双曲线离心率e的范围。

一、利用曲线的范围，建立不等关系例1．设椭圆的左右焦点分别为、，如果椭圆上存在点P，使，求离心率e的取值范围。

例2．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围。

二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系例1．已知12、F F是椭圆的两个焦点，满足的点P总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．(0,1)Ｂ．1(0,]2Ｃ．2(0,)2Ｄ．2[,1)2例2．直线L过双曲线的右焦点，斜率k=2。

若L与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，求双曲线离心率的取值范围。

例3. 已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点。

若△ABF2是锐角三角形，求双曲线的离心率的取值范围。

例4.设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )．A．2323⎛⎤⎥⎝⎦ B．323⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ C．33⎛⎫+∞⎪⎪⎝⎭ D．233⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭例5.过双曲线的左焦点1F且与双曲线的实轴垂直的直线交双曲线于A、B两点，若在双曲线的虚轴所在直线上存在一点C，使得090ACB∠=，双曲线的离心率e的取值范围为_______________.三、利用曲线的定义和焦半径范围，建立不等关系例1．已知双曲线的左右焦点分别为、，点P 在双曲线的右支上，且，求此双曲线的离心率e 的取值范围。

椭圆离心率取值范围解题策略

椭圆离心率取值范围解题策略离心率是高中“圆锥曲线”的一个重要几何性质，是三种圆锥曲线统一定义的桥梁和纽带，是研究圆锥曲线其他性质的基础，它是一个比值椭圆的离心率是刻画椭圆“扁圆”程度的基本量之一.在我们的教材中直接给出了离心率的定义，并没有明确解释为什么把这个比值作为椭圆的离心率.如果教师在教学中只是告诉学生这是“人为规定”，学生没有经历概念的产生和发展过程，就很难理解概念的本质，因此在运用概念解题时无从下手.本节课就是希望通过数学文化背景深入认识椭圆的离心率，从而更好地解决和椭圆离心率有关的问题.一、离心率定义的内涵在教材中焦距与长轴长的比值定义为椭圆的离心率.在教学中，许多学生会有这样的疑问：也可以刻画椭圆的扁圆程度，为什么不用它们定义椭圆的离心率？”其实作为椭圆的离心率更有优势，我们知道椭圆是平面上到两个定点F1，F2距离的和为常数2a的动点的轨迹(其中|F1F2|=2c，且2a>2c)，此定义中涉及的参数是a和c，为了和椭圆的定义保持一致，所以用表示椭圆的离心率；另外，椭圆的第二定义是“到定点的距离与到定直线的距离的比值为常数的动点的轨迹”，而这个常数恰好是即椭圆的离心率.其实说椭圆的离心率是“人为规定”也未尝不可，因为在天文学中把天体运行轨道的离心率也叫作偏心率，描述的是某一天体椭圆轨道与理想圆形的偏离程度.天文学家发现太阳系中，行星是围绕着以太阳为焦点的椭圆形轨道运行的，所以行星和太阳之间的距离不是恒定的，其中离太阳最近的距离为a-c，离太阳最远的距离为a+c，也就是说偏心率就是衡量行星偏离太阳的程度，所以用表示椭圆的偏心率更符合客观实际.二、椭圆离心率取值范围的几种求法求椭圆离心率的取值范围是高考经常考查的热点问题之一，这类题涉及解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强、方法灵活，解题关键是构造关于a，c或e的不等式，下面用几个实例通过构造不等式求椭圆离心率的取值范围.1.利用椭圆的范围构造不等式例1 设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P，使得∠F1PF2=90°，求椭圆离心率e的取值范围.解：设点P的坐标为(x，y)，点F1的坐标为(-c，0)，点F2的坐标为(c，0)，则有因为∠F1PF2=90°，得则即(x+c)(x-c)+y2=0，整理得x2+y2=c2，将其与椭圆方程联立，消去y，可得由椭圆上点的坐标的范围可知，0≤x2<a2，解得c2≥b2，即所以2.利用二次方程判别式构造不等式以上题为例.解：由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a，所以有+2|PF1|·|PF2|=4a2，又因为∠F1PF2=90°，所以=4c2，由此可得|PF1|·|PF2|=2(a2-c2)，所以|PF1|，|PF2|可以看作二次方程x2-2ax+2(a2-c2)=0的两实根.所以Δ=4a2-8(a2-c2)≥0，整理得所以3.利用焦半径的取值范围构造不等式例2 已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上存在一点P，使得线段PF1的中垂线经过焦点F2，则椭圆离心率e的取值范围是______.图1解：如图1，因为线段PF1的中垂线经过焦点F2，所以|PF2|=|F1F2|=2c，即椭圆上存在一点P，使得|PF2|=2c.所以|PF2|=2c≥a-c，所以a≤3c，所以即4.利用均值不等式构造不等式例3 设F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上任意一点M都满足∠F1MF2为锐角，则椭圆离心率的取值范围是( ).解：因为又因为∠F1MF2为锐角，所以又因为-4c2=(|MF1|+|MF2|)2-2|MF1||MF2|-4c2>0，所以|MF1||MF2|<2a2-2c2，由均值不等式得所以a2<2a2-2c2，解得所以图25.利用椭圆中重要结论构造不等式以上题为例.解：如图2，当M移动到椭圆的短轴的端点B时，∠F1MF2最大.由已知可知，∠F1BF2为锐角，即∠F1BO<45°，在Rt△F1BO中，所以6.利用题设中的已知条件构造不等式例4 已知椭圆的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：5x-12y=0交椭圆于A，B两点，若|AF|+|BF|=6，点M到直线l的距离不小于则该椭圆E的离心率的取值范围是( ).图3解：如图3所示，设F1为椭圆的左焦点，连接AF1，BF1，则四边形AFBF1为平行四边形，所以6=|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a，所以a=3.取M(0，b)，因为点M到直线l的距离不小于所以解得b≥1，所以又因为0<e<1，所以椭圆E的离心率的取值范围是故选A.在新一轮课改的实施过程中，作为数学教师，需要在平时的教学中，适时地引导学生探究出问题的本源，只有这样深入才能使学生更容易掌握解决问题的方法.而椭圆离心率取值范围的解法灵活多样，综合性强，需要我们认真分析题意，探究问题本源，才能找到最佳突破口，从而准确、快速地解决问题.参考文献：[1]王侠.椭圆离心率的深入认知及基本求法[J].中小学数学，2013(4).[2]黄贻淦.如何建立不等式求离心率的范围[J].数理化解题研究，2012(2).[3]林风，林善柱.数学概念教学要重视其生成过程——“椭圆离心率及其应用”的教学思考[J].中学数学教学参考(上)，2017(12).*基金项目：本文系2018年度甘肃省教育科学“十三五”规划重点课题“基于核心素养下的数学史融入高中数学教学的实践”(课题编号：GS[2018]GHB3863)的阶段性成果之一.。

椭圆的扁平程度与离心率的关系

椭圆的扁平程度与离心率的关系
椭圆是一种常见的几何形状，具有各种有趣的性质。

其扁平程度与离心率之间存在着紧密的关系。

离心率是椭圆形状的一个重要参数，它可以描述椭圆的扁平程度。

离心率是一个无量纲的数字，它的取值范围在0到1之间。

当离心率为0时，椭圆退化成一个圆形，而当离心率接近1时，椭圆的扁平程度就越高。

换句话说，离心率越大，椭圆就越扁平。

为了更好地理解椭圆的扁平程度与离心率的关系，我们可以比较一下不同离心率的椭圆形状。

当离心率较小的时候，椭圆的形状接近于一个圆形，长轴和短轴的差异不大，椭圆的扁平程度较低。

而当离心率较大时，椭圆的形状则更加扁平，长轴和短轴的差异更加明显。

离心率还可以用数学的方法来定义。

它等于椭圆焦点之间的距离与长轴长度的比值。

换句话说，离心率越大，椭圆焦点之间的距离就越大。

椭圆的扁平程度对于很多领域都有着重要的应用，如天文学、航天工程等。

在天文学中，行星的轨道往往是椭圆形状，而行星的离心率可以决定行星运动的稳定性和周期性。

在航天工程中，椭圆的扁平程度可以影响卫星的轨道设计和飞行路径。

总的来说，椭圆的扁平程度与离心率之间存在着紧密的关系。

离心率越大，椭圆就越扁平。

这个关系不仅在几何学中有着重要的应用，还在天文学和航天工程等领域发挥着重要作用。

我们可以通过研究离心率来更好地理解和应用椭圆形状。

椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题

椭圆和双曲线的离心率的求值及范围求解问题【重点知识温馨提示】1.e＝ca＝1－b2a2(0<e<1)，e＝ca＝1＋b2a2(e>1)2.确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，c的方程或不等式，进而得到关于e的方程或不等式，3.【典例解析】例1.(2015·新课标全国Ⅱ，11)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )A. 5 B．2 C. 3 D. 2例2.【2016高考新课标3文数】已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34例3 (2015·福建)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，32 B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭⎫32，1 D.⎣⎡⎭⎫34，1例4.(2014·江西)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．【跟踪练习】1. (2015·浙江)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝b c x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．2. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是( ) A.33 B.22 C.14 D.123.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则椭圆的离心率的取值范围为______．4.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2F A →，则此双曲线的离心率为( ) A. 2B. 3 C ．2D. 55.(2015·山东)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．6.(2015·湖北)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1<e 2B ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2C ．对任意的a ，b ，e 1>e 2D ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 27、（2016年山东高考）已知双曲线E ：22x a–22y b =1（a >0，b >0）．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______．8（2015年高考）过双曲线C ：22221x y a a-=0,0a b >>（）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ,则C 的离心率为 .9、（齐鲁名校协作体2016届高三上学期第二次调研联考）设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是（）(A)(B)(C) (D) 10、（东营市、潍坊市2016届高三高三三模）已知1F 、2F 为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，以原点O 为圆心，半焦距长为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y 轴右侧的两个交点为A 、B ，若1ABF ∆为等边三角形，则椭圆的离心率为（）A 1B 1-C D11、（济宁市2016届高三上学期期末）已知抛物线2y =-的焦点到双曲线()222210,0x y a b a b -=>>A.3B.3C.D.3912、（莱芜市2016届高三上学期期末）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点是(),0F c -，离心率为e ，过点F 且与双曲线的一条渐近线平行的直线与圆222x y c y +=在轴右侧交于点P ，若P 在抛物线22y cx =上，则2e =A.5B.51+ C.51-D.213，（烟台市2016届高三上学期期末）设点F 是抛物线()2:20x py p τ=>的焦点，1F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，若线段1FF 的中点P 恰为抛物线τ与双曲线C 的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线C 的离心率e 的值为 A.322B.334C.98D.3241,4、（青岛市2016高三3月模拟）已知点12,F F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足21212,120PF F F F F P =∠=，则双曲线的离心率为_________.15、（日照市2016高三3月模拟）已知抛物线28y x =的准线与双曲线222116x y a -=相交于A,B 两点，点F 为抛物线的焦点，ABF ∆为直角三角形，则双曲线的离心率为 A.3B.2C.6D.316. (2015·重庆)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ＜43，试确定椭圆离心率e 的取值范围．答案部分：例1【解析】如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则|AB |＝2a ，由双曲线的对称性，可设点M (x 1，y 1)在第一象限内，过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1，0)，∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°，∴|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBN ＝60°，∴y 1＝|MN |＝|BM |sin ∠MBN ＝2a sin 60°＝3a ，x 1＝|OB |＋|BN |＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (x 1，y 1)的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝2，选D.例2【答案】A例3如图，设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4， ∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2.离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎤0，32，故选A.例4.直线AB ：x ＝c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a .∴A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a )．∴kBF 1＝－b 2a －0c －(－c )＝－b 2a 2c ＝－b 22ac .∴直线BF 1：y －0＝－b 22ac (x ＋c )．令x ＝0，则y ＝－b 22a，∴D (0，－b 22a )，∴k AD ＝b 2a ＋b 22ac ＝3b 22ac .由于AD ⊥BF 1，∴－b 22ac ·3b 22ac ＝－1，∴3b 4＝4a 2c 2，∴3b 2＝2ac ，即3(a 2－c 2)＝2ac ， ∴3e 2＋2e －3＝0，∴e ＝－2±4－4×3×(－3)23＝－2±423.∵e >0，∴e ＝－2＋423＝223＝33.【跟踪练习】1，答案方法一设椭圆的另一个焦点为F 1(－c,0)，如图，连接QF 1，QF ，设QF 与直线y ＝bcx 交于点M .由题意知M 为线段QF 的中点，且OM ⊥FQ .又O 为线段F 1F 的中点， ∴F 1Q ∥OM ，∴F 1Q ⊥QF ，|F 1Q |＝2|OM |.在Rt △MOF 中，tan ∠MOF ＝|MF ||OM |＝bc ，|OF |＝c ，可解得|OM |＝c 2a ，|MF |＝bca，故|QF |＝2|MF |＝2bc a ，|QF 1|＝2|OM |＝2c 2a .由椭圆的定义得|QF |＋|QF 1|＝2bc a ＋2c 2a ＝2a ，整理得b ＝c ，∴a ＝b 2＋c 2＝2c ，故e ＝c a ＝22.方法二设Q (x 0，y 0)，则FQ 的中点坐标⎝⎛⎭⎫x 0＋c 2，y 02，k FQ＝y0x 0－c ，依题意⎩⎨⎧y 02＝b c ·x 0＋c 2，y 0x 0－c ·bc ＝－1，解得⎩⎨⎧x 0＝c (2c 2－a 2)a 2，y 0＝2bc2a 2，又因为(x 0，y 0)在椭圆上，所以c 2(2c 2－a 2)2a 6＋4c 4a 4＝1，令e ＝c a ，则4e 6＋e 2＝1，∴离心率e ＝22. 2解析在双曲线中m 2＋n 2＝c 2，又2n 2＝2m 2＋c 2，解得m ＝c2，又c 2＝am ，故椭圆的离心率e ＝c a ＝12.3依题意及正弦定理，得|PF 2||PF 1|＝a c (注意到P 不与F 1，F 2共线)，即|PF 2|2a －|PF 2|＝a c ， ∴2a |PF 2|－1＝c a ，∴2a |PF 2|＝c a ＋1>2a a ＋c，即e ＋1>21＋e ，∴(e ＋1)2>2.又0<e <1，因此2－1<e <1.4解析 (1) 如图，∵FB →＝2F A →，∴A 为线段BF 的中点， ∴∠2＝∠3.又∠1＝∠2，∴∠2＝60°， ∴ba＝tan 60°＝3， ∴e 2＝1＋(ba )2＝4，∴e ＝2. 答案 C5.把x ＝2a 代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y ＝±3b .不妨取P (2a ，－3b )．又∵双曲线右焦点F 2的坐标为(c,0)， ∴kF 2P ＝3b c －2a .由题意，得3b c －2a ＝ba.∴(2＋3)a ＝c .∴双曲线C 的离心率为e ＝ca ＝2＋ 3.6. e 1＝1＋b 2a2，e 2＝1＋(b ＋m )2(a ＋m )2.不妨令e 1<e 2，化简得b a <b ＋m a ＋m (m >0)，得bm <am ，得b <a .所以当b >a 时，有b a >b ＋m a ＋m ，即e 1>e 2；当b <a 时，有b a <b ＋ma ＋m ，即e 1<e 2.故选B.7、【答案】2 【解析】试题分析：依题意，不妨设6,4AB AD ==作出图像如下图所示则2124,2;2532,1,c c a DF DF a ===-=-==故离心率221c a == 8、【答案】23+考点：1.双曲线的几何性质；2.直线方程. 9、【答案】B【解析】双曲线的渐近线为y ＝±bax ，易求得渐近线与直线x －3y ＋m ＝0的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－am a ＋3b ，bm a ＋3b ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－am a －3b ，－bm a －3b .设AB 的中点为D .由|P A |＝|PB |知AB 与DP 垂直，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2m （a ＋3b ）（a －3b ），－3b 2m （a ＋3b ）（a －3b ），k DP＝－3，解得a 2＝4b 2，故该双曲线的离心率是52.10B,11.B 12.D 13 D 14. 15.A16.解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)如图，连接F 1Q ，由PF 1⊥PQ ，|PQ |＝λ|PF 1|，得 |QF 1|＝|PF 1|2＋|PQ |2 ＝1＋λ2|PF 1|.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，进而|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝4a ，高中数学于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF 1|＝4a ，解得|PF 1|＝4a 1＋λ＋1＋λ2，故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a (λ＋1＋λ2－1)1＋λ＋1＋λ2. 由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋λ＋1＋λ22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a (λ＋1＋λ2－1)1＋λ＋1＋λ22＝4c 2. 两边除以4a 2，得4(1＋λ＋1＋λ2)2＋(λ＋1＋λ2－1)2(1＋λ＋1＋λ2)2＝e 2. 若记t ＝1＋λ＋1＋λ2，则上式变成e 2＝4＋(t －2)2t 2＝8⎝⎛⎭⎫1t －142＋12. 由34≤λ＜43，并注意到t ＝1＋λ＋1＋λ2关于λ的单调性，得3≤t ＜4，即14＜1t ≤13. 进而12＜e 2≤59，即22＜e ≤53.。

求离心率的范围问题整理分类

求离心率的范围问题求离心率范围的方法一、建立不等式法：1.利用曲线的范围建立不等关系。

2.利用线段长度的大小建立不等关系。

F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]；F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，|PF 1|≥c －a .3.利用角度长度的大小建立不等关系。

4.利用题目不等关系建立不等关系。

5. 利用判别式建立不等关系。

6.利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系。

7.利用基本不等式，建立不等关系。

二、函数法：1. 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；2.通过确定函数的定义域；3.利用函数求值域的方法求解离心率的范围.练习利用曲线的范围建立不等关系1.F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，求椭圆的离心率的取值范围.2.A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OPA = , 则椭圆离心率的范围是_________.3.设12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,且12||2F F c =,若椭圆上存在点P 使得212||||2PF PF c ⋅=,则椭圆的离心率的最小值为（）A ．12B ．13 C．2 D．32π4.5.设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 6．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎭B ．()0,1C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭利用线段长度的大小建立不等关系7. 设点P 在双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的右支上，双曲线两焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求双曲线离心率的取值范围。

求椭圆离心率范围的常见题型及解析

求椭圆离心率范围的常见题型及解析解析解题关键：挖掘题中的隐含条件，构造关于离心率e的不等式。

一、利用曲线的范围，建立不等关系已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$右顶点为A，点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围。

小改写：已知椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，右顶点为A，点P在椭圆上，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围。

二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足所有点P总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）。

小改写：已知F1、F2是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的两个焦点，满足所有点P总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）。

三、利用点与椭圆的位置关系，建立不等关系已知$\triangle ABC$的顶点B为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$短轴的一个端点，另两个顶点也在椭圆上，若$\triangle ABC$的重心恰好为椭圆的一个焦点F(c,0)，求椭圆离心率的范围。

小改写：已知椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，短轴的一个端点为B，另两个顶点也在椭圆上，$\triangle ABC$的重心恰好为椭圆的一个焦点F(c,0)，求椭圆离心率的范围。

四、利用函数的值域，建立不等关系椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$与直线$x+y-1=0$相交于A、B两点，且OA·OB=（O为原点），若椭圆长轴长的取值范围为$[5,6]$，求椭圆离心率的范围。

离心率e的取值范围 -回复

离心率e的取值范围-回复离心率e是描述椭圆轨道的一个重要参数，用来度量椭圆形状的“挤扁”程度。

在天文学中，离心率的取值范围非常广泛，从0到1都有可能出现，甚至可以超过1。

首先，让我们从基本概念开始，解释离心率e的意义和如何计算。

离心率e是一个无单位的数值，在0到1之间，它用来衡量椭圆轨道的形状。

当e=0时，轨道是一个圆形，表示所有点距离中心点的距离都相等。

当e=1时，是一个特殊的椭圆，被称为抛物线轨道，表示一个非常狭长的椭圆，其中一半径无限大，轨道上的物体会趋近于无穷远。

当e大于1时，轨道变成一条叫做双曲线的曲线，其中一部分也趋近于无穷远。

离心率的计算方法是根据轨道上两个焦点之间的距离与纵轴长度的比值。

我们可以用以下公式来表示：e = √(1 - b²/a²)其中，a和b分别是椭圆轨道的长半轴和短半轴的长度。

根据这个公式，我们可以计算出任意椭圆轨道的离心率。

接下来，让我们来讨论一下离心率e的取值范围及其在不同天体运动中的应用。

1. 离心率e=0：当离心率为0时，轨道是一个完美的圆形。

这种情况在人造卫星的轨道或者地球绕太阳公转的轨道中是比较常见的。

例如，国际空间站绕地球的轨道就非常接近圆形，其离心率接近于0。

2. 离心率0<e<1：当离心率介于0和1之间时，轨道是一个椭圆形。

这种情况在太阳系中的行星和一些天体之间的相互作用中出现。

例如，地球绕太阳公转的轨道就是一个接近于椭圆的形状，其离心率大约为0.0167。

3. 离心率e=1：当离心率等于1时，轨道是一个特殊的椭圆，称为抛物线轨道。

这种轨道形状非常狭长，其中一半径趋近于无穷大。

抛物线轨道在一些宇宙探测器的飞行中被广泛应用，例如，旅行到近地行星或彗星的探测器会利用抛物线轨道来调整速度和方向。

4. 离心率e>1：当离心率大于1时，轨道变成一条双曲线。

这种轨道在一些天文现象中会出现，例如，彗星绕太阳的轨道就是一条双曲线。

椭圆双曲线离心率范围问题专题讲义--高三数学一轮复习备考

椭圆双曲线离心率范围问题离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。

如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口如：椭圆（以()222210x y a b a b+=>>为例），则[],x a a ∈-，[],y b b ∈-双曲线：（以()22221,0x y a b a b-=>为例），则(],x a ∈-∞-（左支）[),a +∞（右支）（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞典例讲解例1：已知12,F F 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆离心率的取值范围是（）A. 55⎫⎪⎪⎣⎭B. 22⎫⎪⎪⎣⎭C. 50,5⎛ ⎝⎦D. 22⎛ ⎝⎦解：在椭圆上的点P 与焦点连线所成的角中，当P 位于椭圆短轴顶点位置时，12F PF ∠达到最大值。

所以若椭圆上存在12PF PF ⊥的点P ，则短轴顶点与焦点连线所成的角90θ≥，考虑该角与,,a b c 的关系，由椭圆对称性可知，2452OPF θ∠=≥，所以22tan 1OF c OPF OP b∠==≥，即22222c b c b c a c ≥⇒≥⇒≥-，进而2212c a ≥即212e ≥，解得22e ≥，再由()0,1e ∈可得22e ⎫∈⎪⎪⎣⎭例2：已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为双曲线的右焦点，且满足BF AF ⊥，设α=∠ABF ，且]6,12[ππα∈，则该双曲线离心率e 的取值范围为（）A ．]32,3[+B ．]13,2[+C ．]32,2[+D ．]13,3[+解：BF AF ⊥可得ABF 为直角三角形，且22AB OF c ==，结合α=∠ABF 可得2sin ,2cos AF c BF c αα==，因为,A B 关于原点对称，所以AF 即为B 的左焦半径。

求离心率的范围问题

求离心率的范围问题求离心率范围的方法一、建立不等式法：1.利用曲线的范围建立不等关系。

2.利用线段长度的大小建立不等关系。

4.利用题目不等关系建立不等关系。

5. 利用判别式建立不等关系。

6.利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系。

7.利用基本不等式，建立不等关系。

离心率确定多思维破解——以２０２１年高考数学乙卷理科第１１题为例

㊀㊀㊀离心率确定㊀多思维破解以２０２１年高考数学乙卷理科第１１题为例◉广东省信宜市信宜中学㊀梁北永㊀㊀圆锥曲线(椭圆或双曲线)离心率取值范围的问题一直是高考的一个热点问题．此类问题创新新颖,形式各样,变化多端,难度较大．下面结合２０２１年高考数学乙卷理科试卷中的一道椭圆的离心率取值范围的确定加以剖析与总结．１真题呈现高考真题㊀(２０２１年高考数学乙卷理科第１１题)设B 是椭圆C :x ２a ２＋y ２b２＝１(a ＞b ＞０)的上顶点,若C 上的任意一点P 都满足|P B |ɤ２b ,则C 的离心率的取值范围是(㊀㊀)．A．㊀２２,１éëêê)㊀B ．１２,１éëêêöø÷㊀C ．０,㊀２２æèçùûúú㊀D．０,１２æèçùûúú２真题剖析该题以椭圆为问题背景,借助椭圆上的动点所对应的线段长度的不等式恒成立来设置问题,简单易懂．其实,类似的问题最早出现在２０２１年５月份东北三省三校(哈师大附中㊁东北师大附中㊁辽宁省实验中学)高考数学三模数学试卷(理科)中:问题㊀已知P 是椭圆C :x ２a ２＋y ２b２＝１(a ＞b ＞０)上任意一点,B 是椭圆C 的上顶点,|P B |ɤ２b 总成立,则椭圆离心率的取值范围是(㊀㊀)．A．０,㊀２２æèçùûúú㊀B ．㊀２２,１éëêêöø÷㊀C ．０,㊀３２æèçùûúú㊀D．㊀３２,１éëêêöø÷该问题与以上高考真题几乎一致,都以选择题的形式出现,题干基本一样,选项有些许不同,所选结果也是一样的．３真题破解方法１:二次函数的图象与性质法．解析:由题意可得B (０,b )．设P (x ０,y ０),则y ０ɪ[－b ,b ]．由x ２０a ２＋y ２０b ２＝１,可得x ２０＝a ２１－y ２０b ２æèçöø÷．那么|P B |２＝x ２０＋(y ０－b )２＝a ２１－y ２０b ２æèçöø÷＋y ２０－２b y ０＋b ２＝－c ２b ２y ２０－２b y ０＋a ２＋b ２＝－c ２b２y ２０＋２b ３c２y ０æèçöø÷＋a ２＋b ２．根据题目条件|P B |ɤ２b 恒成立,则知当y ０＝－b 时,|P B |２取得最大值(２b )２＝４b ２．结合二次函数的图象与性质,可知对称轴y ＝－b３c２ɤ－b ．整理得b ２ȡc ２,即a ２－c ２ȡc ２,解得a ȡ㊀２c ,故椭圆的离心率e ＝c a ɤ㊀２２．结合椭圆的离心率满足０＜e ＜１,则有０＜e ɤ㊀２２．故选择答案:C ．点评:设出动点P 的坐标,根据其满足椭圆方程进行合理变换,利用两点间的距离公式,合理消参,转化为含有参数y ０的二次函数问题．根据题目条件中|P B |ɤ２b 恒成立,转化为二次函数的图象与性质问题,建立对应的关系式．再利用椭圆离心率的公式以及取值范围来分析与处理．合理转化,把问题转化为二次函数问题来处理,是破解此类问题最常用的基本方法之一．方法２:椭圆与圆的位置关系法．解析:由C 上的任意一点P 都满足|P B |ɤ２b ,则知以B (０,b )为圆心,２b 为半径的圆与椭圆至多有一个交点．联立x ２a ２＋y ２b２＝１,x ２＋(y －b )２＝４b ２,{消去参数x 并整理,得(a ２－b ２)y ２＋２b ３y ＋３b ４－a ２b ２＝０．所以判别式Δ＝４b ６－４b ２(a ２－b ２)(３b ２－a ２)＝０,化简整理可得(a ２－２b ２)２＝０,解得a ＝㊀２b ．则椭圆的离心率e ＝c a ＝㊀１－b ２a２＝㊀２２．３４２０２２年１２月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀新颖试题命题考试Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀结合椭圆离心率e的几何意义可知,当eң０时,此时椭圆越圆,满足条件．所以０＜eɤ㊀２２．故选择答案:C．点评:根据题目条件中|P B|ɤ２b恒成立,转化为对应的圆与椭圆的位置关系问题．通过联立圆与椭圆的方程,消参转化为含y的二次方程,利用判别式为０确定对应参数的关系,进而求解此时所对应的椭圆离心率．再利用椭圆离心率e的几何意义确定离心率的取值范围．等价转化,结合圆与椭圆的位置关系,借助方程的判别式法来处理,思维巧妙．方法３:三角参数法．解析:由题意可得B(０,b)．根据点P是椭圆C:x２a２＋y２b２＝１(a＞b＞０)上的任意一点,可设P(a c o sα,b s i nα)(０ɤα＜２π)．由于|P B|ɤ２b恒成立,则有a２c o s２α＋(b s i nα－b)２ɤ４b２．整理可得(a２－b２)s i n２α＋２b２s i nα＋３b２－a２ȡ０．即[(a２－b２)s i nα＋３b２－a２](s i nα＋１)ȡ０．又s i nα＋１ȡ０恒成立,则(a２－b２)s i nα＋３b２－a２ȡ０,整理得s i nαȡa２－３b２a２－b２．由于|s i nα|ɤ１,则有a２－３b２a２－b２ɤ－１恒成立．整理得２b２ȡa２,即２a２－２c２ȡa２,解得aȡ㊀２c．故椭圆的离心率e＝caɤ㊀２２．结合椭圆的离心率满足０＜e＜１,则有０＜eɤ㊀２２．故选择答案:C．点评:根据点P是椭圆C上任意一点进行三角参数换元处理,结合题目条件中|P B|ɤ２b恒成立建立对应的不等式．通过十字相乘法加以因式分解,利用三角函数的图象与性质,结合不等式恒成立加以转化,建立含参的不等式问题．再利用椭圆离心率的公式以及取值范围来分析与处理．通过三角参数进行换元处理,引入三角函数,借助三角函数的相关知识来分析与处理,也是一种非常不错的破解方法．图１方法４:数形结合法．解析:由题意可得B(０,b),作出以点B为圆心,以２b为半径的圆,如图１所示．设A为圆上任意一点,设øA B O＝θ(０ɤθ＜π),则知A(２b s i nθ,－２b c o sθ＋b)．由C上的任意一点P都满足|P B|ɤ２b,则知点A必在椭圆C外(包括椭圆上),即(２b s i nθ)２a２＋(－２b c o sθ＋b)２b２ȡ１．㊀㊀㊀①当s i nθ＝０时,①式显然成立．当s i nθʂ０时,由①式可得b２a２ȡc o sθ－c o s２θs i n２θ＝c o sθ－c o s２θ１－c o s２θ＝c o sθ１＋c o sθ＝１－１１＋c o sθ恒成立．而c o sθ＜１,则有１－１１＋c o sθ＜１２,从而b２a２ȡ１２,即b２a２ȡ１２．整理得２b２ȡa２,即２a２－２c２ȡa２,解得aȡ㊀２c．故椭圆的离心率e＝caɤ㊀２２．结合椭圆的离心率满足０＜e＜１,则有０＜eɤ㊀２２．故选择答案:C．点评:根据题目条件作出以点B为圆心,以２b为半径的圆,通过题目条件中|P B|ɤ２b恒成立,数形结合转化为圆上任意一点A必在椭圆C外(包括椭圆上)．结合点A坐标的确定并代入椭圆方程,分离系数转化为三角函数关系式,结合不等式恒成立以及三角函数的取值范围建立不等式,再利用椭圆离心率的限制条件来分析与处理．数形结合处理,直观形象,合理转化,巧思妙想,也是一种不错的精彩解法．４教学启示破解圆锥曲线中离心率取值范围问题的常见策略技巧:(１)借助题目条件合理切入,直接利用题目条件中的不等信息建立对应的不等式(组),并利用圆锥曲线中离心率的取值限制条件加以综合与应用．(２)抓住平面几何数形直观,结合平面几何图形的基本性质,如三角形㊁圆等的基本性质,综合圆锥曲线的几何性质,数形结合,直观想象．(３)利用三角参数巧妙转化,合理利用题目条件引入三角函数,将目标问题转化为对应的三角函数问题,结合三角恒等变换以及三角函数的图象与性质等来确定对应的取值范围．(４)结合端点效应进行特殊处理,根据圆锥曲线中在极端位置时所对应的离心率,通过动与静的结合来确定离心率的取值范围．对于具体的圆锥曲线离心率的取值范围问题,灵活应用,或一种策略独领风骚,或多种策略齐心协力,或另辟蹊径,合理转化,巧妙破解．Z４４命题考试新颖试题㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年１２月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。

求解离心率的范围问题

求解离心率的范围问题离心率的范围问题是高考的热点问题，各种题型均有涉及，因联系的知识点较多，且处理的思路和方法比较灵活，关键在于如何找到不等关系式，从而得到关于离心率的不等式，进而求其范围.很多同学掌握起来比较困难，本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳.一、【知识储备】求离心率的方法离心率是刻画圆锥曲线几何特点的一个重要尺度.常用的方法：（1）直接求出a 、c ，求解e ：已知标准方程或a 、c 易求时，可利用离心率公式ace =来求解；（2）变用公式，整体求出e ：以椭圆为例，如利用e ===e == （3）构造a 、c 的齐次式，解出e ：根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造出a 、c 的齐次式，进而得到关于e 的方程，通过解方程得出离心率e 的值. 二、求解离心率的范围的方法1 借助平面几何图形中的不等关系根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，然后将这些量结合曲线的几何性质用,,a b c 进行表示，进而得到不等式，从而确定离心率的范围.【例1】已知椭圆的中心在O ,右焦点为F ，右准线为l ，若在l 上存在点M ，使线段OM 的垂直平分线经过点F ，则椭圆的离心率的取值范围是_____________.【答案】：⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 x【点评】离心率的范围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系可以利用方程和垂直平分线性质构建.利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化.【牛刀小试】已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是______________.【答案】2[,1)2【解析】椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA,PB ，则两切线形成的角APB ∠最小，若椭圆1C 上存在点P 令切线互相垂直，则只需090APB ∠≤，即045APO α=∠≤， ∴02sin sin 452b a α=≤=，解得222a c ≤，∴212e ≥，即22e ≥，而01e <<， ∴212e ≤<，即2[2e ∈. 2借助题目中给出的不等信息根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，∆的范围等，进一步得到离心率的不等关系式，从而求解.Bo F 1FAxy【例2】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点O 的对称点为,B F 为其右焦点，若,AF BF ⊥设,ABF α∠=且,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则椭圆离心率的取值范围是 . 【答案】26[,]23【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式2sin 2cos 2c c a αα+=，然后借助已知条件,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦利用三角函数的图象求解离心率的范围. 【牛刀小试】过椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若31＜k ＜21, 则椭圆的离心率的取值范围是.【答案】(32,21)【解析】如图所示：2AF a c =+|，222a c BF a-=，()2222222tan a c BF a c a k BAF AF a c a a c --=∠===++，又∵31＜k ＜21，∴()221132a c a a c -<<+，∴2111312e e -<<+，解得1223e <<．3 借助函数的值域求解范围根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式，通过确定函数的定义域后，利用函数求值域的方法求解离心率的范围.【例3】已知椭圆221:12x y C m n -=+与双曲线222:1x y C m n+=有相同的焦点，则椭圆1C 的离心率e 的取值范围为_________________. 【答案】2(,1)2【点评】本题根据题设“相同的焦点”建立等量关系，得到函数关系式21112e m =-+，进而根据m 的范围，借助反比例函数求解离心率的范围.【牛刀小试】已知两定点(2,0)A -和(2,0)B ，动点(,)P x y 在直线:3l y x =+上移动，椭圆C 以,A B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为______________.【答案】26【解析】由题意可知，2c =，由2c e a a==可知e 最大时需a 最小，由椭圆的定义||||2PA PB a +=，即使得||||PA PB +最小，如图，设(2,0)A -关于直线3y x =+的对称点(,)D x y ，由11202322y x y x -⎧⋅=-⎪⎪+⎨+-+⎪=+⎪⎩，可知(3,1)D -. 所以22||||||||||1526PA PB PD PB DB +=+≥=+=，即226a ≥，所以262a ≥，则2626c e a=≤=. 4 根据椭圆或双曲线自身的性质求范围在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质，如椭圆()2222100x y a b a b+=>>，中，a x a -≤≤，P 是椭圆上任意一点，则1a c PF a c -≤≤+等。

椭圆离心率值和范围类型

圆锥曲线 5 椭圆离心率值和范围类型一．选择题〔共40 小题〕1．假设一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，那么该椭圆的离心率是〔〕A ．B．C．D．1、F2 是椭圆的两个焦点，满足?=0 的点 M 总在椭圆内部，那么椭圆离心2． F率的取值范围是〔〕A ．〔 0， 1〕B ．〔0， ]C．〔 0，〕D． [， 1〕3．椭圆 C：+ =1〔 a＞ b＞ 0〕的左右焦点为F1， F2，假设椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点，使得△ F1F2P 为等腰三角形，那么椭圆 C 的离心率的取值范围是〔〕A ．B．C． D ．4．设椭圆 C：=1〔 a＞ b＞ 0〕的左、右焦点分别为F1、 F2， P 是 C 上的点， PF2⊥F1F2，∠ PF1F2=30°，那么 C 的离心率为〔〕A ．B．C．D．5．椭圆C：=1〔 a＞b＞ 0〕的左焦点为F， C 与过原点的直线相交于 A ， B 两点，连接 AF ， BF，假设 | AB | =10 ，| BF| =8， cos∠ ABF=，那么C的离心率为〔〕A ．B．C．D．6．设椭圆 C：=1〔 a＞ b＞ 0〕的左、右焦点分别为F1、F2，P 是 C 上的点 PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，那么 C 的离心率为〔〕A ．B．C．D．〔﹣ c，0〕，F〔 c，0〕为椭圆的两个焦点， P 为椭圆上一点且，7． F12那么此椭圆离心率的取值范围是〔〕A ．B．C． D ．第 1 页〔共 36 页〕8． O 为坐标原点，F 是椭圆 C：+=1 〔 a＞ b＞ 0〕的左焦点， A ， B 分别为 C 的左，右顶点． P 为 C 上一点，且PF⊥ x 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点 E．假设直线 BM 经过 OE 的中点，那么 C 的离心率为〔〕A ．B．C．D．9．斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，那么该椭圆的离心率为〔〕A ．B．C．D．10．椭圆 C1：2C2：2+y =1〔 m＞ 1〕与双曲线﹣ y =1〔 n＞ 0〕的焦点重合， e1，e2分别为 C1， C2的离心率，那么〔〕1 2＞1 B ． m＞n 且 e1 2＜ 1C． m＜ n 且 e1 2＞ 1 D ．m＜n 且 e1 2＜ 1A ． m＞ n 且 e e e e e 11．椭圆+=1 〔a＞ b＞ 0〕的左、右焦点分别为F1， F2，过 F2的直线与椭圆交于A 、B 两点，假设△ F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，那么离心率为〔〕A ．B． 2﹣C．﹣ 2 D．﹣12． F1， F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点．且∠F1PF2= ，那么椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为〔〕A ．B ．C． 3D． 213．椭圆的两顶点为 A 〔 a， 0〕， B〔 0， b〕，且左焦点为F，△ FAB 是以角 B 为直角的直角三角形，那么椭圆的离心率 e 为〔〕A ．B ．C． D ．14．椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P 为椭圆 C 上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为 G，内心 I，且有〔其中λ为实数〕，椭圆C 的离心率 e=〔〕A ．B．C．D．第 2 页〔共 36 页〕15．椭圆〔 a ＞ b ＞ 0〕的半焦距为c 〔c ＞ 0〕，左焦点为 F ，右顶点为A ，抛物线与椭圆交于 B 、 C 两点，假设四边形ABFC 是菱形，那么椭圆的离心率是〔〕A ．B ．C ．D ．16．实数 4， m ， 9 构成一个等比数列，那么圆锥曲线2的离心率为〔〕+y =1 A ．B ．C ．或D ．或 717．椭圆〔 a ＞ b ＞ 0〕与双曲线〔m ＞0， n ＞ 0〕有相同的焦点〔﹣ c ， 0〕和〔 c ， 0〕，假设 c 是 a 、 m 的等比中项， n 2 是 2m 2 与 c 2的等差中项，那么椭圆的离心率是〔〕A ．B ．C ．D ．18．设 F 1、F 2 是椭圆 E ： + =1〔 a ＞b ＞ 0〕的左、右焦点， P 为直线 x=上一点，△F 2PF 1 是底角为 30°的等腰三角形，那么 E 的离心率为〔〕A ．B ．C ．D ．19．点 F 1、F 2 分别是椭圆的左、右焦点，过 F 1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A 、 B 两点，假设△ ABF 2 是锐角三角形，那么该椭圆的离心率 e 的取值范围是〔〕A ．〔 0，﹣ 1〕 B ．〔﹣ 1， 1〕 C ．〔 0， ﹣ 1〕 D ．〔 ﹣ l ， 1〕20．椭圆 C ：的左焦点 F ，C 与过原点的直线相交于 A ，B 两点，连结 AF ， BF ，假设 | AB | =10 ， | AF | =6 ，，那么 C 的离心率为〔〕A ．B ．C ．D ．21．椭圆 + =1 〔 a ＞ b ＞ 0〕的左、右焦点分别为 F 1， F 2，过 F 1 且与 x 轴垂直的直线交椭圆于 A 、B 两点，直线 AF 2 与椭圆的另一个交点为 C ，假设△ ABF 2 的面积是△ BCF 2的面积的 2 倍，那么椭圆的离心率为〔〕第 3 页〔共 36 页〕A ．B ．C ．D ．222．抛物线 y =4x 的准线过椭圆=1〔 a ＞ b ＞0〕的左焦点，且准线与椭圆交于A 、B 两点， O 为坐标原点，△ AOB 的面积为，那么椭圆的离心率为〔〕A ．B ．C ．D ．23．在区间 [ 1， 5] 和[ 2， 4] 分别取一个数，记为 a ， b ，那么方程表示焦点在 x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为〔〕A ．B ．C ．D ．24．从椭圆上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1， A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点， B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 AB ∥ OP 〔 O 是坐标原点〕，那么该椭圆的离心率是〔〕A ．B ．C ．D ．25．椭圆 C 的两个焦点分别是 F 1，F 2，假设 C 上的点 P 满足，那么椭圆C的离心率 e 的取值范围是〔〕A ．B ．C ．D ．或26．在 Rt △ ABC 中， AB=AC=1 ，假设一个椭圆通过 A 、 B 两点，它的一个焦点为 C ，另一个焦点 F 在 AB 上，那么这个椭圆的离心率为〔〕 A ．B ．C ．D ．27．直线 l ：y=kx +2〔 k 为常数〕过椭圆 =1〔 a ＞ b ＞ 0〕的上顶点 B 和左焦点 F ，且被圆 x 2+y 2=4 截得的弦长为 L ，假设 L ≥，那么椭圆离心率 e 的取值范围是〔〕A ．B ．C ．D ．2222 2〔 0＜ r ＜ 2〕，动圆 M 与圆 O 1、圆 28．圆 O 1：〔x ﹣ 2〕 +y =16和圆 O 2：x +y =r 相切，动圆圆心 M 的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为 e 、e 〔 e ＞ e 〕，那么1 21 2的最小值是〔〕O 2 都e 1+2e 2第 4 页〔共 36 页〕A ．B ．C． D ．29．椭圆+=1〔a＞ b＞ 0〕上一点 A 关于原点的对称点为 B ，F 为其右焦点，假设AF ⊥BF ，设∠ ABF=a ，且 a∈ [，] ，那么该椭圆离心率的取值范围为〔〕A ． [，1] B．[，] C． [，1〕D．[，]30． F1， F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，那么椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为〔〕A ． 3B．C． 2 D ．31．椭圆〔a＞b＞0〕上一点 A 关于原点的对称点为点B，F 为其右焦点，假设 AF ⊥ BF ，设∠ ABF= α，且，那么该椭圆离心率e 的取值范围为〔〕A ．B ．C． D ．32．中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1、 F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△ PF1F2是以 PF1为底边的等腰三角形．假设| PF1| =10 ，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，那么 e1?e2+1 的取值范围为〔〕A ．〔 1， +∞〕B．〔， +∞〕C．〔， +∞〕D．〔，+∞〕33．椭圆+ =1〔 a＞ b＞ 0〕的左、右焦点分别是F1， F2，过 F2作倾斜角为 120°的直线与椭圆的一个交点为M ，假设 MF1垂直于 x 轴，那么椭圆的离心率为〔〕A ．B． 2﹣C． 2〔 2﹣〕 D．34．在平面直角坐标系 xOy 中，△ ABC 的顶点 A 〔 0， 3〕和 C〔 0，﹣ 3〕，顶点 B 在椭圆=1 上，那么=〔〕A ．B．C．D．35．椭圆的右焦点为 F，其右准线与 x 轴的交点为 A ．在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点F，那么椭圆离心率的取值范围是〔〕A ．〔 0，] B．〔0， ] C． [，1〕 D． [， 1〕第 5 页〔共 36 页〕36．椭圆的左焦点 F 1， O 为坐标原点，点 P 在椭圆上，点 Q 在椭圆的右准线上，假设那么椭圆的离心率为〔〕 A ．B ．C ．D ．1、 F 2 是椭圆 C 1：+y 2 2 的公共焦点， A 、 B 分别是 C 1、 C 2 在第37．如图 F=1 与双曲线 C二、四象限的公共点，假设四边形AF 1BF 2 为矩形，那么 C 2 的离心率是〔〕A ．B ．C ．D ．38．设 A 1，A 2 分别为椭圆=1〔 a ＞ b ＞ 0〕的左、右顶点，假设在椭圆上存在点 P ，使得＞﹣ ，那么该椭圆的离心率的取值范围是〔〕A ．〔 0，〕B ．〔0，〕C ．D ．39． A 、B 是椭圆长轴的两个端点， M ，N 是椭圆上关于 x 轴对称的两点，直线 AM ，BN 的斜率分别为 k 1， k 2，且 k 1k 2≠ 0．假设 | k 1|+| k 2| 的最小值为 1，那么椭圆的离心率〔〕 A ．B ．C ．D ．40．设 F 1， F 2 分别为椭圆 C 1： + =1〔 a ＞ b ＞ 0〕与双曲线 C 2： ﹣ =1〔 a 1＞b 1＞0〕的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，∠ F 1MF 2 =90°，假设椭圆的离心率 e ∈[ ，] ，那么双曲线 C 2 的离心率 e 1 的取值范围为〔〕A ． [ ，] B ． [，〕C ． [，] D ． [，+∞〕第 6 页〔共 36 页〕第 7 页〔共 36 页〕圆锥曲线 5 椭圆离心率值和范围类型参考答案与试题解析一．选择题〔共40 小题〕1．〔 2021?广东〕假设一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，那么该椭圆的离心率是〔〕A ．B．C．D．【分析】先设长轴为2a，短轴为2b，焦距为 2c，由题意可知： a+c=2b，由此可以导出该椭圆的离心率．【解答】解：设长轴为 2a，短轴为2b，焦距为2c，那么 2a+2c=2 ×2b，2222222即 a+c=2b? 〔a+c〕=4b =4〔 a﹣ c 〕，所以 3a ﹣ 5c=2ac，同除 a ，整理得5e 2+2e﹣ 3=0 ，∴或 e=﹣ 1〔舍去〕，应选 B ．2．〔 2021?江西〕 F1、F2是椭圆的两个焦点，满足?=0 的点 M 总在椭圆内部，那么椭圆离心率的取值范围是〔〕A ．〔 0， 1〕B ．〔0， ]C．〔 0，〕D． [， 1〕【分析】由?=0 知 M 点的轨迹是以原点O 为圆心，半焦距 c 为半径的圆．又 M 点2222．由此能够推导出椭圆离心率的取值范围．总在椭圆内部，∴ c＜b， c＜ b =a﹣c【解答】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a， b， c，∵?=0，∴M 点的轨迹是以原点又M 点总在椭圆内部，∴该圆内含于椭圆，即O 为圆心，半焦距 c 为半径的圆．2 2 22c＜ b，c ＜ b =a ﹣ c ．2，∴ 0＜ e＜．∴e =＜应选： C．3．〔 2021?潍坊模拟〕椭圆C：+ =1〔 a＞ b＞ 0〕的左右焦点为F1， F2，假设椭圆C上恰好有 6 个不同的点，使得△ F1F2P 为等腰三角形，那么椭圆 C 的离心率的取值范围是〔〕A ．B．C． D ．第 8 页〔共 36 页〕【分析】分等腰三角形△F1F2P 以 F1 F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c 的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、 c 的不等式，解之即可得到椭圆 C 的离心率的取值范围．【解答】解：①当点 P 与短轴的顶点重合时，△F1F2P 构成以 F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有 2 个满足条件的等腰△ F1F2P；②当△ F1F2P 构成以 F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P 作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点 P 在以 F1为圆心，半径为焦距 2c 的圆上因此，当以 F1为圆心，半径为2c 的圆与椭圆 C 有 2 交点时，存在 2 个满足条件的等腰△ F1F2P，在△ F1 2 1中， F1 2+PF1＞PF2，即 2c+2c＞ 2a﹣ 2c，F P F由此得知 3c＞ a．所以离心率 e＞．当 e= 时，△ F1F2P 是等边三角形，与①中的三角形重复，故 e≠同理，当 F1P 为等腰三角形的底边时，在 e且 e≠时也存在 2 个满足条件的等腰△ F1F2P 这样，总共有 6 个不同的点 P 使得△ F1F2P 为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈〔，〕∪〔， 1〕4．〔 2021?淮南一模〕设椭圆C：=1〔 a＞ b＞0〕的左、右焦点分别为F1、 F2， P 是C 上的点， PF2⊥F1F2，∠ PF1F2=30 °，那么 C 的离心率为〔〕A ．B．C．D．【分析】设| PF2| =x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得 | PF1 | 与 | F1F2| ，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．【解答】解：设 | PF2| =x ，∵P F2⊥ F1F2，∠ PF1F2=30°，∴| PF1| =2x， | F1 F2| =x，又| PF1|+| PF2| =2a，| F1F2| =2c∴2a=3x ， 2c=x，∴C 的离心率为： e==．应选 A ．5．〔 2021?南阳校级三模〕椭圆C：=1〔 a＞ b＞ 0〕的左焦点为F， C 与过原点的直线相交于A ， B 两点，连接 AF ，BF ，假设 | AB | =10 ，| BF| =8，cos∠ABF=，那么 C 的离心率为〔〕A ．B．C．D．【分析】由条件，利用余弦定理求出| AF| ，设 F′为椭圆的右焦点，连接BF′， AF ′．根据对称性可得四边形AFBF ′是矩形，由此能求出离心率e．【解答】解：如下图，在△ AFB 中， | AB | =10 ，| BF| =8， cos∠ABF= ，由余弦定理得222﹣ 2| AB || BF| cos∠ ABF| AF| =| AB |+| BF|=100+64﹣ 2× 10× 8×=36，∴| AF| =6，∠ BFA=90 °，设 F′为椭圆的右焦点，连接BF ′，AF ′．根据对称性可得四边形AFBF ′是矩形．∴| BF′|=6， | FF′|=10 ．∴2a=8+6， 2c=10，解得 a=7， c=5．∴e= = ．应选 B ．6．〔 2021?新课标Ⅱ〕设椭圆 C：=1〔 a＞ b＞0〕的左、右焦点分别为F1、 F2， P 是C 上的点 PF2⊥ F1F2，∠ PF1F2=30 °，那么 C 的离心率为〔〕A ．B．C．D．【分析】设| PF2| =x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得 | PF1 | 与 | F1F2| ，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．【解答】解： | PF2 | =x ，∵ PF2⊥ F1 F2，∠ PF1 F2=30°，∴| PF1| =2x， | F1 F2| =x，又| PF1|+| PF2| =2a，| F1F2| =2c∴2a=3x ， 2c= x，∴C 的离心率为： e==．应选 D ．7．〔 2021?长沙模拟〕F1〔﹣ c， 0〕， F2〔c， 0〕为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，那么此椭圆离心率的取值范围是〔〕A ．B．C． D ．【分析】设 P〔 m，n 〕，由得到 n 2=2c2﹣m2① ．把 P〔 m，n 〕代入椭圆得到2222222222b m +a n =a b②，把①代入②得到 m的解析式，由 m ≥0及 m≤ a 求得的范围．【解答】解：设 P〔 m，n 〕，=〔﹣ c﹣ m，﹣n〕?〔c﹣ m，﹣ n〕=m 2﹣ c2+n2，222222① ．∴m +n=2c， n=2c﹣ m把 P〔 m， n 〕代入椭圆222222得 b m +a n =a b② ，22222把① 代入②得 m =≥ 0，∴ a b ≤ 2a c ，2≤ 2c 2222b， a﹣c ≤ 2c，∴ ≥．2222﹣ 2c 2又 m ≤ a ，∴≤ a ，∴≤ 0，故 a≥ 0，∴≤．综上，≤≤，应选： C．8．〔 2021 春 ?德宏州校级期末〕O 为坐标原点， F 是椭圆 C：+=1〔 a＞ b＞ 0〕的左焦点， A ，B 分别为 C 的左，右顶点． P 为 C 上一点，且PF⊥ x 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点E．假设直线BM 经过 OE 的中点，那么C的离心率为〔〕A ．B．C．D．【分析】由题意可得F， A ， B 的坐标，设出直线AE 的方程为y=k 〔 x+a〕，分别令x= ﹣ c，x=0，可得 M ，E 的坐标，再由中点坐标公式可得H 的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F〔﹣ c， 0〕，A 〔﹣ a， 0〕，B 〔 a，0〕，令 x= ﹣ c，代入椭圆方程可得y=± b=±，可得 P〔﹣ c，±〕，设直线 AE 的方程为y=k〔 x+a〕，令 x= ﹣ c，可得 M 〔﹣ c， k〔 a﹣ c〕〕，令 x=0，可得 E〔 0， ka〕，设 OE 的中点为 H ，可得 H〔 0，〕，由 B ，H， M 三点共线，可得k BH=k BM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得 e= =．应选： A ．9．〔 2021?江西模拟〕斜率为的直线 l 与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，那么该椭圆的离心率为〔〕A ．B．C．D．【分析】先根据题意表示出两个焦点的交点坐标，代入椭圆方程，两边乘222a b ，求得关于的方程求得e．【解答】解：两个交点横坐标是﹣c， c所以两个交点分别为〔﹣c，﹣c〕〔 c，c〕代入椭圆=1两边乘 2 22a b2 222 2那么 c 〔 2b +a 〕=2a b2 2 2∵b =a ﹣ c 22 2 2 2c 〔3a ﹣ 2c 〕 =2a^4﹣ 2a c2 22a^4﹣ 5a c +2c^4=0（ 2a 2﹣ c 2〕〔 a 2﹣2c 2〕=0 =2，或∵ 0＜ e ＜ 1所以 e= =应选 A10．〔 2021?浙江〕椭圆 C 1： 2〔 m ＞ 1〕与双曲线 C 2： 2〔 n ＞0〕的焦+y =1 ﹣ y =1点重合， e 1， e 2 分别为 C 1， C 2 的离心率，那么〔〕 A ． m ＞ n 且 e 1e 2＞ 1 B ． m ＞n 且 e 1e 2＜ 1C ． m ＜ n 且 e 1e 2＞ 1 【分析】根据椭圆和双曲线有相同的焦点，2 2 2+1，即得到 c =m ﹣ 1=n 能得 m ＞ n ，求出两个离心率，先平方进行化简进行判断即可．D ．m ＜n 且 e 1e 2＜ 1m 2﹣ n 2=2，进行判断，【解答】解：∵椭圆 C 1 ：2 2+y=1〔 m ＞ 1〕与双曲线 C 2：﹣ y =1〔 n ＞ 0〕的焦点重合，2 22∴满足 c =m ﹣ 1=n +1，22﹣n22即 m =2＞ 0，∴ m ＞ n ，那么 m ＞ n ，排除 C ， D2 222 22那么 c =m ﹣ 1＜ m ， c =n +1＞ n ，那么 c ＜ m ． c ＞ n ， e =， e = ，12那么 e 1?e 2=?= ，22 2= = =1 +那么〔 e 1?e 2〕=〔〕 ?〔〕 = =1+=1 +＞ 1，第 13 页〔共 36 页〕11．〔2021?郑州一模〕椭圆+=1 〔 a＞b＞ 0〕的左、右焦点分别为F1， F2，过 F2的直线与椭圆交于 A 、B 两点，假设△ F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，那么离心率为〔〕A ．B． 2﹣C．﹣2D．﹣【分析】设| F1F2| =2c， | AF 1| =m ，假设△ ABF 1构成以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，那么| AB | =| AF 1| =m， | BF1| =m，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m，再由勾股定理，可得 a， c 的方程，求得，开方得答案．【解答】解：如图，设 | F1F2| =2c， | AF 1| =m ，假设△ ABF 1构成以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，那么| AB | =| AF 1| =m， | BF 1| =m，由椭圆的定义可得△ABF 1的周长为 4a，即有 4a=2m+m，即 m=2〔 2﹣〕a，那么| AF 2| =2a﹣ m= 〔 2﹣2〕a，在直角三角形AF 1F2中，2| F1F2| =| AF 1|2即 4c =4〔 2﹣2∴c =〔 9﹣ 62+| AF 2|2，2 2+4〔22，〕 a﹣ 1〕 a2〕 a ，那么 e 2==9﹣ 6=，∴e=．应选： D．12．〔 2021?湖北〕 F1， F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，那么椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为〔〕A ．B ．C． 3D． 2【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．【解答】解：设椭圆的长半轴为 a，双曲线的实半轴为 a1，〔 a＞ a1〕，半焦距为 c，由椭圆和双曲线的定义可知，设| PF1| =r1， | PF2| =r2， | F1F2| =2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1， e2∵∠ F1PF2=，∴由余弦定理可得222﹣ 2r1r2cos，①4c =〔 r1〕 +〔 r2〕在椭圆中，①化简为即 4c 22=4a﹣ 3r1r2，即，②在双曲线中，① 化简为即4c 22=4a1 +r1r2，即，③联立②③ 得，=4 ，由柯西不等式得〔1+〕〔〕≥〔1×+〕2，即〔〕=即， d 当且仅当时取等号，法2：设椭圆的长半轴为 a1，双曲线的实半轴为 a2，〔 a1＞ a2〕，半焦距为 c，由椭圆和双曲线的定义可知，设| PF1| =r1， | PF2| =r2， | F1F2| =2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1， e2∵∠ F1PF2=，∴由余弦定理可得222﹣ 2r1r2cos22﹣ r1r2，4c =〔 r1〕 +〔 r2〕=〔 r1〕 +〔 r2〕由，得，∴=，令 m===，当时， m，∴，即的最大值为，法 3：设 PF1| =m ， | PF2| =n，那么，则a1+a2=m ，那么=，由正弦定理得=，即=sin〔 120°﹣θ〕≤=应选： A13．〔 2021?江西二模〕椭圆的两顶点为A 〔 a，0〕， B〔 0，b〕，且左焦点为 F，△ FAB 是以角B 为直角的直角三角形，那么椭圆的离心率 e 为〔〕A ．B ．C． D ．【分析】先求出 F 的坐标求出直线AB 和 BF 的斜率，两直线垂直可知两斜率相乘得﹣1，进而求得 a 和 c 的关系式，进而求得e．【解答】解：依题意可知点F〔﹣ c， 0〕直线 AB 斜率为=，直线 BF 的斜率为=∵∠ FBA=90 °，∴〔〕 ?=﹣=﹣ 1整理得 c 2+ac﹣a2=0，即〔〕2+﹣ 1=0，即 e2+e﹣ 1=0解得 e=或﹣∵0＜ e＜ 1∴e=，应选 C．14．〔 2021?绥化一模〕椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P 为椭圆 C 上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心 I，且有〔其中λ为实数〕，椭圆 C 的离心率e=〔〕A ．B．C．D．【分析】在焦点△ F1PF2中，设 P〔 x0，y0〕，由三角形重心坐标公式，可得重心 G 的纵坐标，因为，故内心 I 的纵坐标与 G 相同，最后利用三角形F1PF2的面积等于被内心分割的三个小三角形的面积之和建立a、 b、 c 的等式，即可解得离心率【解答】解：设 P〔x0， y0〕，∵ G 为△ F1PF2的重心，∴G 点坐标为G〔，〕，∵，∴ IG ∥x 轴，∴I 的纵坐标为，在焦点△ F1PF2中， | PF1|+| PF2| =2a，| F1F2| =2c∴=?| F1F2| ?| y0 |又∵ I 为△ F1PF2的内心，∴ I 的纵坐标即为内切圆半径，内心 I 把△ F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形∴=〔| PF1|+| F1F2|+| PF2|〕||∴?| F1 F2| ?| y0 | =〔| PF1|+| F1F2|+| PF2|〕||即× 2c?| y0| =〔2a+2c〕|| ，∴2c=a，∴椭圆 C 的离心率e= =应选 A15．〔 2021?洛阳四模〕椭圆〔a＞b＞0〕的半焦距为c〔c＞ 0〕，左焦点为F，右顶点为 A ，抛物线与椭圆交于 B 、C 两点，假设四边形ABFC 是菱形，那么椭圆的离心率是〔〕A ．B．C．D．【分析】由椭圆方程求出 F 和 A 的坐标，由对称性设出 B 、C 的坐标，根据菱形的性质求出横坐标，代入抛物线方程求出 B 的纵坐标，将点 B 的坐标代入椭圆方程，化简整理得到关于椭圆离心率 e 的方程，即可得到该椭圆的离心率．【解答】解：由题意得，椭圆〔a＞b＞0，c为半焦距〕的左焦点为F，右顶点为 A ，那么 A 〔 a， 0〕， F〔﹣ c， 0〕，2∵抛物线 y =〔a+c〕x于椭圆交于B，C两点，∴B 、 C 两点关于 x 轴对称，可设 B 〔 m， n〕， C〔 m，﹣ n〕∵四边形 ABFC 是菱形，∴ BC ⊥ AF ， 2m=a﹣ c，那么m=〔 a﹣c〕，将 B 〔 m， n〕代入抛物线方程得，2〔 a+c〕〔a﹣ c〕 =22n =〔a+c〕m=〔 a ﹣ c 〕，22〔 a﹣c〕，b〕，再代入椭圆方程得，+∴n = b ，那么不妨设 B〔=1，化简得=，由e=，即有4e 2﹣8e+3=0，解得e=或〔舍去〕．应选 D ．16．〔 2021?郑州三模〕实数4， m， 9 构成一个等比数列，那么圆锥曲线2的离心+y =1率为〔〕A ．B．C．或D．或 7【分析】由实数 4， m， 9 构成一个等比数列，得 m= ±=± 6，由此能求出圆锥曲线的离心率．【解答】解：∵实数4， m， 9 构成一个等比数列，∴m= ±=± 6，当 m=6 时，圆锥曲线为，a=， c=，其离心率e=；当 m=﹣ 6 时，圆锥曲线为﹣，a=1， c=，其离心率e==．应选 C．17．〔 2021?焦作一模〕椭圆〔 a＞ b＞ 0〕与双曲线〔 m＞0， n＞0〕有相同的焦点〔﹣c， 0〕和〔 c，0〕，假设 c 是 a、m 的等比中项， n2是 2m2与 c2的等差中项，那么椭圆的离心率是〔〕A ．B．C．D．【分析】根据是 a、 m 的等比中项可得2=am，根据椭圆与双曲线有相同的焦点可得2 c a ﹣22222是2m 22222a 和 cb =m+n=c ，根据 n与 c的等差中项可得 2n =2m+c ，联立方程即可求得的关系，进而求得离心率e．【解答】解：由题意：∴，∴22，∴ a =4c，∴．应选 D ．18．〔 2021?新课标〕设 F1、 F2是椭圆 E：+=1 〔 a＞ b＞0〕的左、右焦点，P 为直线x=上一点，△ F2PF1是底角为30°的等腰三角形，那么 E 的离心率为〔〕A ．B．C．D．【分析】利用△ F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得 | PF2| =| F2F1| ，根据 P 为直线 x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△ F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴| PF2| =| F2F1|∵P 为直线 x=上一点∴∴应选 C．19．〔 2021 春?绵阳校级月考〕点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过 F1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于 A 、B 两点，假设△ ABF 2是锐角三角形，那么该椭圆的离心率 e 的取值范围是〔〕A ．〔 0，﹣1〕B．〔﹣1，1〕C．〔0，﹣1〕D．〔﹣l，1〕【分析】由题设知F1〔﹣ c， 0〕，F2〔c， 0〕， A 〔﹣ c，〕，B〔﹣c，﹣〕，由△ ABF2是锐角三角形，知 tan∠AF 2F1＜ 1，所以，由此能求出椭圆的离心率 e 的取值范围．【解答】解：∵点 F 1、 F 2 分别是椭圆的左、右焦点，过 F 1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，∴F 1〔﹣ c ，0〕， F 2 〔c ， 0〕，A 〔﹣ c ，〕， B 〔﹣ c ，﹣ 〕，∵△ ABF 2 是锐角三角形，∴∠ AF 2F 1＜ 45°，∴ tan ∠AF 2F 1＜ 1，∴，整理，得 b 2＜2ac ，∴ a 2﹣ c 2＜ 2ac ，两边同时除以 a 2，并整理，得 e 2 +2e ﹣ 1＞ 0，解得 e ＞，或 e ＜﹣，〔舍〕，∴0＜ e ＜ 1，∴椭圆的离心率 e 的取值范围是〔〕．应选 B ．20．〔 2021?辽宁〕椭圆 C ：的左焦点 F ，C 与过原点的直线相交于 A ，B 两点，连结 AF ，BF ，假设 | AB | =10 ，| AF | =6 ，，那么 C 的离心率为〔〕A ．B ．C ．D ．【分析】在△ AFB 中，由余弦定理可得 22+| BF| 2| AF | =| AB | ﹣ 2| AB || BF | cos ∠ABF ，即可得到 | BF| ，设 F ′为椭圆的右焦点，连接 BF ′，AF ′．根据对称性可得四边形 AFBF ′是矩形．即可得到 a ，c ，进而取得离心率．【解答】解：如下图，在△ AFB 中，由余弦定理可得 | AF |2=| AB |2+| BF| 2﹣ 2| AB || BF| cos ∠ABF ，∴，化为〔 | BF| ﹣ 8〕2=0，解得 | BF| =8．设 F ′为椭圆的右焦点，连接 BF ′，AF ′．根据对称性可得四边形 AFBF ′是矩形．∴ | BF ′|=6， | FF ′|=10 ．∴ 2a=8+6， 2c=10，解得 a=7， c=5．∴．应选 B ．21．〔 2021?浦城县模拟〕椭圆+=1〔 a＞ b＞0〕的左、右焦点分别为F1， F2，过F1且与 x 轴垂直的直线交椭圆于 A 、B 两点，直线 AF 2与椭圆的另一个交点为C，假设△ ABF 2的面积是△ BCF 2的面积的 2 倍，那么椭圆的离心率为〔〕A ．B．C．D．【分析】设椭圆的左、右焦点分别为F1〔﹣ c， 0〕， F2〔 c， 0〕，设 x= ﹣ c，代入椭圆方程，求得 A 的坐标，设出 C〔 x，y〕，由△ ABF 2的面积是△ BCF2的面积的 2 倍，可得=2，运用向量的坐标运算可得x，y，代入椭圆方程，运用离心率公式，解方程即可得到所求值．【解答】解：设椭圆的左、右焦点分别为F1〔﹣ c，0〕， F2〔 c， 0〕，由 x= ﹣ c，代入椭圆方程可得y=±，可设 A 〔﹣ c，〕， C〔x， y〕，由△ ABF 2的面积是△ BCF2的面积的 2 倍，可得=2，即有〔 2c，﹣〕 =2〔x﹣ c， y〕，即 2c=2x ﹣ 2c，﹣=2y，可得 x=2c ， y= ﹣，代入椭圆方程可得，+=1 ，由 e=222，， b =a﹣ c22即有 4e + ﹣ e =1，解得 e=．应选： A ．22．〔 2021?南充一模〕抛物线2=1〔 a＞ b＞ 0〕的左焦点，y =4x 的准线过椭圆且准线与椭圆交于 A 、B 两点，O 为坐标原点，△ AOB 的面积为，那么椭圆的离心率为〔〕A ．B．C．D．【分析】由题设条件，利用椭圆和抛物线的性质推导出c=1，，由此能求出椭圆的离心率．2【解答】解：∵抛物线y =4x 的准线方程为 x= ﹣ 1，抛物线 y 2=4x 的准线过椭圆的左焦点且与椭圆交于 A 、B 两点，∴椭圆的左焦点 F〔﹣ 1， 0〕，∴ c=1，∵O 为坐标原点，△ AOB 的面积为，∴，∴，整理，得2a 2﹣ 3a﹣ 2=0 ，解得 a=2，或〔舍〕，∴．应选： B．23．〔 2021?河南模拟〕在区间 [ 1，5] 和 [ 2，4] 分别取一个数，记为a，b，那么方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为〔〕A ．B．C．D．【分析】表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆时，〔a，b〕点对应的平面图形的面积大小和区间 [ 1，5] 和 [ 2，4] 分别各取一个数〔 a，b〕点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解．【解答】解：∵表示焦点在x 轴上且离心率小于，∴a＞ b＞ 0， a＜ 2b它对应的平面区域如图中阴影局部所示：那么方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==1﹣=，应选 B ．24．〔 2021?四川〕从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点， B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 AB ∥ OP〔O 是坐标原点〕，那么该椭圆的离心率是〔〕A ．B．C．D．【分析】依题意，可求得点P 的坐标 P〔﹣ c，〕，由 AB ∥OP? k AB =k OP? b=c，从而可得答案．【解答】解：依题意，设P〔﹣ c， y0〕〔 y0＞ 0〕，那么+=1，∴y0=，∴P〔﹣ c，〕，又A 〔 a， 0〕， B〔 0， b〕， AB ∥ OP，∴k AB =k OP，即==，∴b=c．设该椭圆的离心率为2== ，e，那么 e = =∴椭圆的离心率e=．应选 C．25．〔 2021?新余二模〕椭圆 C 的两个焦点分别是F1， F2，假设 C 上的点 P 满足，那么椭圆 C 的离心率 e 的取值范围是〔〕A ．B ．C．D．或【分析】利用椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆 C 的离心率 e 的计算公式即可得出【解答】解：∵椭圆 C 上的点 P 满足，∴ | PF1 | ==3c，由椭圆的定义可得 | PF1|+|PF2| =2a，∴ | PF2| =2a﹣ 3c．利用三角形的三边的关系可得：2c+〔 2a﹣3c〕≥ 3c，3c+2c≥ 2a﹣ 3c，化为．∴椭圆 C 的离心率 e 的取值范围是．应选： C．26．〔2021?宁夏校级二模〕在Rt△ ABC 中， AB=AC=1 ，假设一个椭圆通过 A 、B 两点，它的一个焦点为 C，另一个焦点 F 在 AB 上，那么这个椭圆的离心率为〔〕A ．B ．C．D．【分析】设椭圆的另一焦点为C′，依题意可求得 a，进一步可求得 AC ′，在直角三角形 ACC ′中，可求得 CC′，即 2c，从而可求得这个椭圆的离心率．【解答】解：∵在 Rt△ ABC 中， AB=AC=1 ，∴ABC 是个等腰直角三角形，∴BC=；设另一焦点为C′由椭圆定义， BC ′+BC=2a ， AC ′+AC=2a ，设BC ′=m ，那么 AC ′=1﹣ m，则+m=2a， 1+〔 1﹣ m〕 =2a两式相加得： a=；∴AC ′=2a﹣AC=1 +﹣1=2直角三角形ACC ′中，由勾股定理：〔 2c〕 =1 + =∴c=．∴e= == = ﹣ ．应选 A ．27．〔 2021?商丘三模〕直线 l ： y=kx +2〔k 为常数〕过椭圆 =1〔 a ＞ b ＞ 0〕的上顶点 B 和左焦点 F ，且被圆 x 2+y 2=4 截得的弦长为 L ，假设 L ≥，那么椭圆离心率 e 的取值范围是〔〕A ．B ．C ．D ．【分析】由垂径定理，结合算出直线222，l 到圆 x +y =4 的圆心的距离 d 满足 d ≤结合点到直线的距离公式建立关于k 的不等式，算出 k2．由直线 l 经过椭圆的上顶点 B2，利用离心率的公式建立e 关于 k 的关系式，和左焦点 F ，可得 c=﹣ ，从而得到 a =4 +即可求出椭圆离心率e 的取值范围．22l ： y=kx +2 的距离为 d=【解答】解：圆 x +y =4 的圆心到直线2 2L ，∵直线 l ： y=kx +2 被圆 x +y =4 截得的弦长为∴由垂径定理，得2，即，解之得 d 2≤∴≤，解之得 k2∵直线 l 经过椭圆的上顶点 B 和左焦点 F ，∴b=2 且 c==﹣，即 a 2 =4+因此，椭圆的离心率2=e 满足 e ==∵k2，∴ 0＜ ≤ ，可得 e ∈〔 0， ]应选： B28．〔 2021?江西校二模〕O1：〔 x 2〕22222+y =16 和 O2： x +y=r 〔0＜ r＜ 2〕，M 与 O1、 O2都相切，心M 的迹两个，两个的离心率分e1、 e2〔 e1＞ e2〕， e1+2e2的最小是〔〕A ．B ．C． D ．【分析】分求出 e1、e2〔 e1＞ e2〕，利用根本不等式求出e1+2e2的最小．【解答】解：① 当 M 与 O1、O2都相内切， | MO 2|+| MO 1 | =4 r=2a，∴e1 =．②当 M 与 O1相内切而与 O2相外切， | MO 1|+| MO 2| =4+r=2a′，∴ e2=∴e1+2e2=+=，令 12 r=t〔 10＜ t＜ 12〕， e1+2e2=2×≥ 2×==故： A ．29．〔 2021?南充三模〕+=1〔 a＞b＞ 0〕上一点 A 关于原点的称点B， F其右焦点，假设 AF ⊥ BF ，∠ ABF=a ，且 a∈ [，] ，离心率的取范〔〕A ． [，1] B．[，] C． [，1〕D．[，]【分析】左焦点F′，根据定：| AF|+| AF ′|=2a，根据 B 和 A 关于原点称可知| BF| =| AF ′|，推知 | AF |+| BF| =2a，又根据O 是 Rt△ABF 的斜中点可知| AB | =2c，在 Rt △ABF 中用α和 c 分表示出 | AF| 和 | BF| 代入 | AF |+| BF | =2a 中即可表示出即离心率e，而根据α的范确定 e 的范．【解答】解：∵ B 和 A 关于原点称∴B 也在上左焦点F′根据定：| AF|+| AF ′|=2a又∵ | BF| =| AF ′|∴ | AF |+| BF| =2a⋯①O 是 Rt△ABF 的斜中点，∴| AB | =2c又| AF| =2csinα⋯②| BF| =2ccosα⋯③②③代入① 2csinα+2ccosα=2a∴=即 e==∵a∈ [，] ，∴≤ α+π/4≤∴≤ sin〔α+〕≤ 1∴≤ e≤应选 B30．〔 2021?济南模拟〕F1， F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠ F1 2，那么椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为〔〕PF =A ． 3B．C． 2 D ．【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理和柯西不等式即可得到结论．【解答】解：设椭圆的长半轴为 a，双曲线的实半轴为 a1，〔 a＞ a1〕，半焦距为 c，由椭圆和双曲线的定义可知，设| PF1| =r1， | PF2| =r2， | F1F2| =2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1， e2∵∠ F1PF2=，222﹣ 2r1r2cos，①∴由余弦定理可得 4c =〔 r1〕 +〔 r2〕在椭圆中，①化简为即 4c 22=4a﹣ 3r1r2，即=﹣ 1，②在双曲线中，① 化简为即4c 22=4a1 +r1r2，即=1﹣，③联立②③ 得，+=4 ，由柯西不等式得〔1+〕〔+〕≥〔1×+×〕2，即〔+〕2≤× 4=，即+≤，当且仅当e1=，e2=时取等号．即取得最大值且为．应选 B ．31．〔2021?湖北校级模拟〕椭圆〔a＞b＞0〕上一点A关于原点的对称点为点 B ， F 为其右焦点，假设AF ⊥ BF ，设∠ ABF= α，且，那么该椭圆离心率e的取值范围为〔〕A ．B ．C． D ．【分析】首先利用条件设出椭圆的左焦点，进一步根据垂直的条件得到长方形，所以：AB=NF ，再根据椭圆的定义：| AF |+| AN | =2a，由离心率公式e==由的范围，进一步求出结论．【解答】解：椭圆〔a＞b＞0〕上一点 A 关于原点的对称点为点B， F 为其右焦点，设左焦点为：N那么：连接 AF ， AN ， AF ， BF所以：四边形AFNB 为长方形．根据椭圆的定义：| AF|+| AN | =2a∠A BF= α，那么：∠ ANF=α．所以： 2a=2ccosα+2csinα利用 e==所以：那么：即：椭圆离心率 e 的取值范围为 []应选： A32．〔 2021?张掖校级模拟〕中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为设| PF1| =10 ，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、 e2，那么 e1?e2+1 的取值范围为〔〕第 29 页〔共 36 页〕A ．〔 1， +∞〕B．〔，+∞〕C．〔，+∞〕D．〔，+∞〕【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c， | PF1| =m ， | PF2| =n，〔m＞n〕，由条件可得m=10 ，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a1=5+c， a2=5 ﹣ c，〔c＜ 5〕，运用三角形的三边关系求得 c 的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c， | PF1| =m， | PF2| =n ，〔 m＞ n〕，由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．假设| PF1| =10，即有 m=10 ， n=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定义可得m﹣ n=2a2，即有 a1=5+c，a2=5﹣ c，〔 c＜ 5〕，再由三角形的两边之和大于第三边，可得 2c+2c=4c＞ 10，那么c＞，即有＜ c＜ 5．由离心率公式可得e1?e2===，由于 1＜＜4，那么有＞．那么 e1?e2+1．∴e1?e2+1 的取值范围为〔， +∞〕．应选： B．33．〔 2021?朝阳二模〕椭圆+ =1〔 a＞ b＞0〕的左、右焦点分别是F1， F2，过 F2作倾斜角为 120°的直线与椭圆的一个交点为M ，假设 MF 1垂直于 x 轴，那么椭圆的离心率为〔〕A ．B． 2﹣C． 2〔 2﹣〕 D．【分析】如图， Rt△ MF2 F1中， tan60°== ，建立关于 a、 c 的方程，解方程求出的值．【解答】解：如图，在Rt△ MF 1F2中，∠ MF2 F1=60 °， F1F2=2c∴MF 2=4c， MF1=2cMF 1+MF 2=4c+2c=2a? e= =2﹣，应选 B ．34．〔 2021 春 ?吉安校级月考〕在平面直角坐标系xOy 中，△ ABC 的顶点 A 〔 0，3〕和C〔 0，﹣ 3〕，顶点 B 在椭圆=1 上，那么=〔〕A ．B．C．D．【分析】由椭圆性质得BC +AB=2a=10 ，由此利用正弦定理及三角函数知识能求出的值．【解答】解：椭圆=1 中， a=5， b=4 ，c=3，∵△ ABC 的顶点 A 〔 0，3〕和 C〔 0，﹣ 3〕，顶点 B 在椭圆=1 上，∴BC +AB=2a=10 ，由正弦定理得==== =．应选： A ．35．〔2021?四川〕椭圆的右焦点为 F，其右准线与 x 轴的交点为 A ．在椭圆上存在点P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F，那么椭圆离心率的取值范围是〔〕A ．〔 0，] B．〔0， ] C． [，1〕 D． [ ， 1〕【分析】由题意，椭圆上存在点P，使得线段 AP 的垂直平分线过点 F，即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等，根据 | PF| 的范围求得 | FA| 的范围，进而求得的范围即离心率 e 的范围．【解答】解：由题意，椭圆上存在点P，使得线段 AP 的垂直平分线过点 F，即 F 点到 P 点与A 点的距离相等而| FA| =| PF| ∈[ a﹣ c， a+c]第 31 页〔共 36 页〕于是∈ [ a﹣c， a+c]即ac﹣ c 2≤ b2≤ ac+c2∴又 e∈〔 0，1〕故 e∈．36．〔 2021?安徽模拟〕椭圆的左焦点F1， O 为坐标原点，点P 在椭圆上，点 Q 在椭圆的右准线上，假设那么椭圆的离心率为〔〕A ．B．C． D ．【分析】由题设条件及，可知PQ平行于x轴，且P点的横坐标为，又知 Q 点在∠ PF1O 角平分线上由此，推出三角形是等腰三角形，通过椭圆的第二定义求e【解答】解：∵椭圆的左焦点F1，O 为坐标原点，点P 在椭圆上，点 Q 在椭圆的右准线上，，∴PQ 平行于 x 轴，且 P 点的横坐标为，Q点的横坐标为，又知 Q 点在∠ PF1O 角平分线上，如图△PF1Q 是等腰三角形，所以由椭圆的第二定义可知，解得 e=．应选 C．。

离心率及范围总结

. 离心率求解总结一．椭圆的离心率1.离心率e=a c=21）（a b -、e 2=1-2）（ab 2.焦半径︱P F 1︱=a+ex 0 ︱P F 2︱= a-ex 0 2,1cos ep b MF p e aθ==-3.∠F 1BF 2 ， ∠A 1BA 2为最大张角4.P 是椭圆上一点，∠PF 1F 2=α ∠PF 2F 1=β，则e=βαβαsin sin sin ++）（=cos2cos2e αβαβ+=- 5.AF FB λ=u u u r u u u r 2221cos 1e λθλ-⎛⎫= ⎪+⎝⎭6.e = 其中P 为椭圆上任意一点，A,B 为顶点12,k kx二．双曲线的离心率①e == ② e = 其中P 为双曲线上任意一点，A,B 为顶点12,k k 为斜率 ③sin2sin2e αβαβ+=- ∠PF 1F 2=α ∠PF 2F 1=β 一．含直角三角形及夹角的离心率例1在椭圆中有一点P 12PF PF ⊥求椭圆的离心率0,0a b a c >>>>OM b≥分析: b<OP<c例2．过椭圆右焦点1F 的直线交椭圆与P,Q 两点且满足1PF PQ ⊥ 若15sin 13FQP ∠=，求椭圆的离心率分析：1PF =5x, 1F Q =13x PQ =12x, 11PQ PF FQ ++=4a 例3椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，P是以｜F 1F 2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF 1F 2 =5∠PF 2F 1 ,求e?变形1：椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2 =60°，求e 的取值范围？分析：上题公式直接应用。

离心率范围问题的求解策略

离心率范围问题的求解策略1. 引言1.1 背景介绍离心率范围问题是指在某个特定的环境下，离心率的取值范围受到一定限制和影响，这可能会对系统的稳定性、性能和效率产生影响。

离心率本身是描述一个系统中某个物体或粒子远离轴线运动的程度的参数，通常用来描述液体或气体在旋转设备中的运动特性。

离心率的大小和范围直接关系着系统的工作状态和性能表现，因此对离心率范围问题进行深入研究和分析具有重要意义和实际价值。

在工程学、生物医学、地球科学等领域，离心技术被广泛应用于分离、浓缩、纯化等方面，而离心率范围问题则成为了工程师、科研人员以及相关领域专家关注的焦点。

了解和掌握离心率的定义、取值范围以及受到影响的因素，对于设计优化离心机、改进离心分离过程、提高实验效率等方面具有重要意义。

通过深入研究离心率范围问题的求解策略，可以为相关领域的科研工作和工程实践提供更加科学、有效的指导和支持。

1.2 问题提出离心率是描述轨道椭圆程度的一个重要参数，对于天体运动、环境工程等领域具有重要意义。

在实际应用中，我们常常面临离心率范围问题，即确定一个合适的离心率范围以满足特定的需求。

离心率范围问题在航天器设计、卫星轨道、地球环境保护等领域都具有重要意义。

在航天领域，离心率范围问题的解决直接影响着航天器的轨道设计和控制，对轨道稳定性、燃料消耗等方面都有着重要影响。

在卫星轨道设计中，确定合适的离心率范围可以提高卫星的使用寿命和性能，保证卫星能够稳定地运行和提供服务。

在地球环境保护中，离心率范围问题也是关键，例如在地球观测卫星设计中，需要合理选择离心率范围以确保卫星能够准确地观测地球的变化，为环境保护和资源管理提供支持。

研究离心率范围问题具有重要的理论意义和应用价值。

解决离心率范围问题，不仅可以提升航天器、卫星和环境保护设备的性能和稳定性，还能推动相关领域的发展和进步。

在本文中，我们将探讨离心率范围问题的定义、影响因素和求解策略，为解决实际问题提供参考和指导。

椭圆的离心

椭圆的离心
椭圆的离心率（eccentricity）是一个描述椭圆形状的参数。

在椭圆的几何学中，离心率是指椭圆的离心程度，用数字来表示椭圆的扁平程度。

离心率的取值范围是0到1。

1. 离心率为0：表示椭圆是一个完美的圆形，所有点到椭圆的中心的距离相等。

2. 离心率为1：表示椭圆是一个扁平的椭圆，其中心到焦点的距离等于椭圆的短轴的长度。

在数学上，椭圆的离心率（e）与椭圆的长轴（2a）、短轴（2b）之间的关系可以通过以下公式表示：
[ e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} ]
其中，a是椭圆的长轴的一半，b是椭圆的短轴的一半。

椭圆的离心率对于描述轨道、天体运动等领域都有重要的应用。

在天文学中，行星轨道的椭圆离心率影响着行星绕太阳的轨道形状，而在工程和建筑中，对椭圆形状的控制也可能涉及到离心率的概念。

2025高考数学总复习离心率的范围问题

由题意知 a＝1，b＝ 1－m2，c＝m，
椭圆E上存在点P满足|OP|＝m，等价于以O为原点，以c为半径的圆与
椭圆有交点，得c≥b，
所以
c2≥b2＝a2－c2，解得ac22≥12，所以
e＝ac≥
2 2.
又
0<e<1，所以椭圆
E
的离心率的取值范围为
22，1.
(2)已知 P 为椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)上一点，F1，F2 为椭圆焦点，且|PF1|
题型二利用圆锥曲线的性质求离心率的范围
例 2 (1)(2023·张掖模拟)若椭圆 E：x2＋1－y2m2＝1(0<m<1)上存在点 P，
满足|OP|＝m(O 为坐标原点)，则椭圆 E 的离心率的取值范围为
A.0，12
C.0，
2
2
B.12，1
√
D.
22，1
设椭圆E的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a，b，c，
该双曲线的右顶点，过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，
若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是
A.(1，＋∞) C.(2,1＋ 2)
√B.(1,2)
D.(1,1＋ 2)
由题意可知|AE|＝|BE|，即△ABE为等腰三角形， ∵△ABE是锐角三角形， ∴∠AEB<90°，∴∠AEF<45°，将 x＝－c 代入ax22－by22＝1，可得 y＝±ba2，故在 Rt△AFE 中，|AF|＝ba2，|FE|＝a＋c， ∵∠AEF<45°，
第八章
§8.7 离心率的范围问题
重点解读
圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

椭圆离心率的范围问题
作者：嘉平
来源：《读写算》2012年第10期
圆锥曲线的离心率的范围问题是解析几何中的常见问题。

近几年高考中又出现了与存在性有关的离心率范围问题。

下面就椭圆结合实例谈谈这类问题的处理方法。

一、由存在点的坐标范围，结合与存在点有关的等量关系，转化成方程有解问题，进而求离心率的范围。

例1．已知椭圆（a>b>0）的两个焦点为F1（-c，0），F2（c,0）,若直线x= 上总存在一点p，使线段F1P的垂直平分线恰好过F2点，求椭圆的离心率的范围。

解：设点P的坐标为（，y），y∈R.由线段F1P的垂直平分线过点F2知，|F1F2|=|PF2|，则关于y的方程2C= ,y∈R有解，整理，得 ,则，即，开方，得，即，故。

二、由与存在点有关的焦半径范围，求离心率的范围。

例2．（2010四川）椭圆（a>b>0）的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是。

解：由线段AP的垂直平分线过点F知 |PF| = |AF|，而P在椭圆上，由题意知a－c
三、由焦点三角形F1PF2中∠F1PF2的变化规律求离心率的范围。

椭圆（a>b>0）的左、右两个焦点分别为F1（－c，0），F2（c,0），P是椭圆上任一点。

如图设P（x,y）在第一象限，由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，又由焦半径公式知|PF1|=a+ex,
|PF2|=a－ex
Cos∠F1PF2=
=
=
=
=
当点P在第一象限从短轴端点向长轴端点运动时，cos∠F1PF2逐渐增大，而0
例3．椭圆（a>b>0）的两个焦点为F1（－c，0），F2（c,0），若在椭圆上存在一点P，使PF1⊥PF2，则椭圆离心率的范围是。

方法一：如图一，∠F1BF2∠F1PF2 = ，则∠OBF2，而e= = =sin∠OBF2,故≤e
方法二：设P（x,y）,由P在椭圆上，使PF1⊥PF2知，-
例4．点A是椭圆（a>b>0）长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在点P，使∠OPA= ，则椭圆离心率的范围是。

解：A（ ,0）,设P（x,y），02 b2,即 2>2（ 2 -c2）,也即e2> ，故
与存在性有关的椭圆离心率的范围问题，基本方法是转化为方程有解问题，目的是寻找不等关系，列不等式（组）求离心率的取值范围。