统计学 参数统计估计(点估计)

则有:
E θ =θ
()
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2,一致性 若估计量随样本容量n的增大而越来越接近总体参数值时,则 称该估计量为被估计参数的一致性估计量.估计量的一致性是从极 限意义上讲的,它适用于大样本的情况.如果一个估计量是一致性 估计量,那么采用大样本就更加可靠.当然,样本容量n增大时, 估计量的一致性会增强,但调查所需的人,财,物力也相应增加. 例如,以样本平均数估计总体平均数,符合一致性的要求,即存在 如下关系:
i=1,2,…,k
μ i = gi (θ1 ,∧ ,θ k )
从这k个方程中解出
那么用 μ i 的估计量 Ai分别代替上式中的 的矩估计量 :
θ j = hj ( μ1 ,∧ , μ k )
j=1,2,…,k
μi
, 即可得 θ j
θ j = hj ( A1 ,∧ , Ak )
j=1,2,…,k
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二,寻求点估计量的方法
1, 矩估计法
它是基于一种简单的"替换"思想建立起来的 一种估计方法. 由英国统计学家K.皮尔逊最早提出的 . 基本思想:用样本矩估计总体矩 . 理论依据: 大数定律 格列汶科定理
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总体k阶原点矩为 样本k阶原点矩为 记总体k阶中心矩为 样本k阶中心矩为
μk = E( X )
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总体
样本
参数 μ σ ∏
统计量 x s p
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第八章 参数统计估计
估计值: 就是样本估计量的具体观察值 例如开始的案例中,人事主管抽100名中层管理人员调查他 们的年薪.若计算这100人的平均年薪是251600,我们大致 可以认为所有中层管理人员的平均年薪就是251600.这个 51600就是所有中管的平均年薪的估计值.
D( x ) =
σ2
n
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~End~
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�
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Lim P(| θn θ |≥ ε ) = 0 n→∞
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1,无偏性 无偏估计量是指没有系统偏差(非随机偏差)的平均意义上的 量,即如果说一个估计量是无偏性的,并不是保证用于单独一 次估计中没有随机性误差,只是没有系统性偏差而已.这是一 个优良估计量的重要条件.
若以
θ
代表被估计的总体参数, 代表 θ 的无偏估计量 θ
2009-2010(二)
(教 学 课 件)
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2010.2 – 2010.6 第八章(点估计)
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某公司的人事主管正在制定公司2500名中层管理人员的简 报,有一项数据是他们的平均年薪. 方案: 对每一位中管进行调查,获取数据后计算总体均值和标准差:
μ = 251800, σ = 4000
方法是没错啦,可是 工作量也太大啦—那 可是2500人哦! 能不能不用调查所有人, 而是通过调查一部分人 来判断所有人的情况呢?
优点:
简单易行,意义明确,不需要事先知道总体是什么分布
缺点:
当总体类型已知时,没有充分利用分布提供的信息 .一 般场合下,矩估计量不具有唯一性.
主要原因:
建立矩法方程时,选取那些总体矩用相应样本矩代替带有 一定的随意性 .
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2, 极大似然估计法
是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法 . 首先由德国数学家高斯在1821年提出的. 然而,这个方法常归功于英国统计学家费歇 . 费歇在1922年重新发现了 这一方法,并首先研究了这 种方法的一些性质.
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三,点估计量的优良性 点估计评价准则
无偏性 估计量 θ 的数学期望 等于总体参 数,即 Eθ =θ 该估计量称 为无偏估计.
有效性
一致性
当 θ 为 θ 的无 对于无限总 偏估计时, 方 体,ε> θ 0 差 E(θ θ)2 越小 如果对任意 ε ,无偏估计越 有效. 则称θ 是 θ 的一致估计.
点估计
中位数,众数也代表集中趋势,为什么 是算术平均数呢?
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第一节 点估计
一,点估计
点估计就是根据样本数据计算的一个估计值 θ θ
特点:能够明确地估计总体参数,但一般该值不会等于 总体参数的真值. 一般的,在点估计中,我们用某个统计量作为总体参数 的估计值. 对于点估计量来说,其优良与否的判别标准: 无偏性,一致性,有效性
k
1 n k Ak = ∑ X i n i =1
ν k = E [ X E ( X )]k
1 n Bk = ∑ ( X i X ) k n i =1
用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法就称 为矩估计法
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设总体的分布函数中含有k个未知参数 那么它的前k阶矩 记为:
θ1 ,∧ ,θ k
μ1 ,∧ , μ k 一般都是这k个参数的函数
L(θ ) 看作参数 θ
极大似然估计法就是用使 L(θ ) 达到最大值的 θ 去估
计
θ . L(θ ) = max L(θ ) θ
称 θ 为 θ 的极大似然估计.
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求极大似然估计的一般步骤
(1) 由总体分布导出样本的联合概率函数 (或联合密度); (2) 把样本联合概率函数(或联合密度)中自变量看成已知常数, 而把参数θ 看作自变量,得到似然函数L(θ ); (3) 求似然函数L(θ ) 的最大值点(常常转化为求ln L(θ )的最 大值点) ,即 θ 的MLE; (4) 在最大值点的表达式中, 用样本值代入就得参数的极大 似然估计值 .
lim P ( x μ < ε
n→ ∞
)=
1
式中
ε
为任意正数.
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3.有效性 有效性是指无偏估计量中方差最小的估计量.无偏估 计量只考虑估计值的平均结果是否等于待估计参数的真 值,而不考虑估计的每个可能值及其次数分布与待估计参 数真值之间离差大小的离散程度.我们在解决实际问题 时,不仅希望估计值是无偏的,更希望这些估计值的离差 尽可能地小,即要求比较各无偏估计量中与被估计参数的 离差较小的为有效估计量.如样本平均数与中位数都是总 体均值的无偏估计量,但在同样的样本容量下,样本平均 数是有效的估计量. 例
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极大似然估计原理
设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本,样本的联合密度 (连续型)或联合概率函数(离散型)为 f (X1,X2,…Xn; ).
θ
当给定样本X1,X2,…Xn时,定义似然函数为:
L (θ ) = f
(X1,X2,…Xn; θ )
的函数,它可作为 θ 将以多大可能产生 样本值X1,X2,…Xn的一种度量 .