2020届高三数学小题狂练十二含答案

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2020高考高三数学小题专项训练

2020年高考虽然延期一个月，但是练习一定要跟上，加油！班级学号姓名得分 1．sin600︒ = ( ) (A) –23 (B)–21. (C)23. (D) 21.2．设A = { x| x ≥ 2}, B = { x | |x – 1|< 3}, 则A ∩B= ( )(A)[2，4] (B)（–∞，–2] (C)[–2，4] (D)[–2，+∞）3．若|a |=2sin150，|b |=4cos150，a 与b 的夹角为300，则a ·b 的值为 ( )(A)23. (B)3. (C)32. (D)21. 4．△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则a cos C+c cos A 的值为 ( )(A)b. (B)2cb +. (C)2cosB. (D)2sinB. 5．当x ∈ R 时，令f (x )为sinx 与cosx 中的较大或相等者，设a ≤ f ( x ) ≤ b, 则a + b 等于 ( )(A)0 (B) 1 +22. (C)1–22. (D)22–1.6、函数1232)(3+-=x x x f 在区间[0,1]上是（）（A ）单调递增的函数. （B ）单调递减的函数. （C ）先减后增的函数 . （D ）先增后减的函数. 7．对于x ∈[0，1]的一切值，a +2b > 0是使ax + b > 0恒成立的（）(A)充要条件 (B)充分不必要条件(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件8．设{a n }是等差数列，从{a 1，a 2，a 3，··· ，a 20}中任取3个不同的数，使这三个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列最多有（）(A)90个 . (B)120个. (C)180个. (D)200个.9．已知函数y = f ( x )（x ∈R ）满足f (x +1) = f ( x – 1)，且x ∈[–1，1]时，f (x) = x 2，则y = f ( x ) 与y = log 5x 的图象的交点个数为 ( )(A)1. (B)2 . (C)3 . (D)4.10．给出下列命题：(1) 若0< x <2π, 则sinx < x < tanx . (2) 若–2π < x< 0,则sin x < x < tanx.(3) 设A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，若A > B > C, 则sinA > sinB > sinC.(4) 设A ，B 是钝角△ABC 的两个锐角，若sinA > sinB > sinC 则A > B > C..其中，正确命题的个数是（）(A) 4. （B ）3. （C ）2. （D ）1.11. 某客运公司定客票的方法是：如果行程不超过100km ，票价是0.5元/km ，如果超过100km ，超过100km 部分按0.4元/km 定价，则客运票价y 元与行程公里数x km 之间的函数关系式是 .12. 设P 是曲线y = x 2 – 1上的动点，O 为坐标原点，当|→--OP |2取得最小值时，点P 的坐标为 .11、 . 12.高三数学小题专项训练（1）11.⎩⎨⎧>+≤≤100104.010005.0x x x x. 12. (–22, –21）或 (22，–21）1.如果向量 =(k ，1)，与 = (4，k )共线且方向相反，则k =A ．±2B ．-2C ．2D ．0 2．函数f (x)=( )x (1<x≤2)的反函数f -1(x )等于21A.log x (1<x ≤2)B. log x (2<x ≤4)C.-log2x (≤x ＜ ﹞ D. -log2x ( ≤x ＜1〕3.已知P=｛x ︱x ≤0｝,Q=｛x ︱x ＜｝,则Q ∩C R P 等于A.｛x ︱x ≤0｝B.｛x ︱0≤x ＜ }C. {x |0<x < }D. {x |x >0}4．已知α、β都是第二象限角，且cos >cosβ，则A ． <β B．sin >sinβ C．tan >tanβ D．cot <cotβ5．已知奇函数f (x )的定义域为：{x ｜x +2-a ｜＜a ，a >0}，则a 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4 6．方程Ax +By +C =0表示倾斜角为锐角的直线，则必有：A. A ﹒B>0 B ．A ﹒B<0 C ．A>0且B<0 D ．A>0或B<07．已知f (x )=a x (a >0且a ≠1),f -1(2)<0，则f -1(x +1)的图象是2121214121414141ααααα8．如果方程表示双曲线，则下列椭圆中，与该双曲线共焦点的是A. B.C. D.9．把正整数按下图所示的规律排序，则从2003到2005的箭头方向依次为10.已知函数f(x )=2sin(ωx + )图象与直线y =1的交点中，距离最近两点间的距离为，么此函数的周期是 A . B ． C ．2πD ．4π11．点p 到点A ( ，0)，B(a ，2)及到直线x =- 的距离都相等，122=+-qy P x 1222=++qy p q x 1222-=++py p q x 1222=++qy q p x 1222-=++py q p x ϕ3π3ππ2121如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是 A. B. C. 或 D.- 或12.设 P (x ,y )是曲线上的点，F 1(-4,0),F 2(4,0),则A.｜F 1P ︳+ ︱F 2P ︳<10 B ．｜F 1P ｜+｜F 2P ｜>10C.｜F 1P ︳+｜F 2P ︳≤10 D．｜F 1P ｜+｜F 2P ｜≥1013．若函数 y =2x 2+4x +3的图象按向量平移后，得到函数y=2x 2的图象，则： =.14．已知(x ，y )在映射f 下的象是(x +Y ，-x )，则(1，2)在f 下原象是 .15．圆x 2+y 2+x -6y +3=0上两点P 、Q 关于直线kx -y +4=0对称，则k = .16.在△ABC 中，B （-2，0），C （2，0），A （x,y ）,给出△ABC 满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程，下面给出了一些条件及方程，请你用线把左边满足的条件及相应的右边A 点的轨迹方程连起来：212321232121192522=+y x（错一条连线得0分）高三数学小题专项训练（4）一、1．B 2．C 3．C 4．B 5．B 6．B 7．A 8．D 9．B 10．B 11．D 12．C二、13．(1，-1) 14．(-2，3) 15．2 16. (①→○c②→○a③→○b)。

2020届高三数学小题狂练二十含答案

2020届高三数学小题狂练二十姓名得分1．已知集合2{|log 1}M x x =<，{|1}N x x =<，则M N I = .2．双曲线2213x y -=的两条渐近线的夹角大小为 .3．设a 为常数，若函数1()2ax f x x +=+在(2,2)-上为增函数，则a 的取值范围是 . 4．函数)2(log log 2x x y x +=的值域是 .5．若函数()23f x ax a =++在区间)1,1(-上有零点，则a 的取值范围是 .6．若1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 .7．已知函数12||4)(-+=x x f 的定义域是[,]a b （a ，b 为整数），值域是[0,1]，则满足条件的整数数对),(b a 共有个.8．设P ，Q 为ABC ∆内的两点，且2155AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，AQ uuu r 23AB =u u u r 14+AC u u ur ，则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积之比为 . 9．在等差数列{}n a 中，59750a a +=，且95a a >，则使数列前n 项和n S 取得最小值的n 等于 . 10．设x ，y ∈R +，312121=+++y x ，则xy 11．在正三棱锥A BCD -中，E ，F 分别是AB ，BC EF DE ⊥，1BC =，则正三棱锥A BCD -的体积是 .12．设()f x 是定义在R 上的偶函数，满足(1)()1f x f x ++=，且当[1,2]x ∈时，()2f x x =-，则(2016.5)f -=_________.DCQ BAP答案1．(0,1) 2．60︒ 3．),21(+∞4．),3[]1,(+∞--∞Y 5．(3,1)-- 6．)23,2[- 7．5（||[0,2]x ∈） 8．459．610．16（8xy x y =++，8xy ≥+16xy ≥）11．242（EF DE ⊥，EF ∥AC ，∴AC DE ⊥．又AC BD ⊥，∴AC ⊥平面ABD ．∵1BC =，∴2AB AC AD ===，3162V =24=）12．0.5（2T =，(0.5)(0.5)(1.5)0.5f f f =-==）。

2020届高三数学小题狂练二十二含答案

2020届高三数学小题狂练二十二姓名得分1．函数20.5log (2)y x x =-的单调减区间是 .2．已知函数()sin cos f x a x x =+，且()4f x π-()4f x π=+，则a 的值为 . 3．设O 为坐标原点，F 为抛物线x y 42=的焦点，A 为抛物线上的一点，若4-=⋅，则点A 的坐标为 .4．从原点向圆0271222=+-+y y x 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 .5．若函数32()26f x x x m =-+（m 为常数）在[2,2]-上有最大值3，则()f x 在[2,2]-上的最小值为 .6．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的和为n S ，若1n S +，n S ，2n S +成等差数列，则公比q 等于 .7．规定一种运算：,,,,a a b a b b a b ≤⎧⊗=⎨>⎩则函数x x x f cos sin )(⊗=的值域为 . 8．已知当x ∈R 时，函数)(x f y =满足1(2.1)(1.1)3f x f x +=++，且1)1(=f ，则)100(f 的值为 .9．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，1(1)2f =，)2()()2(f x f x f +=+，则=)5(f .10．双曲线222015x y -=的左、右顶点分别为1A ，2A ，P 为其右支上一点，且12124A PA PA A ∠=∠，则12PA A ∠的大小为 .11．已知3450a b c ++=r r r r ，且||||||1a b c ===r r r ，则()a b c ⋅+=r r r .12．已知α，β均为锐角，且sin cos()sin ααββ+=，则tan α的最大值是 .答案1．(2,)+∞2．1（取4x π=）3．(1,2)±4．2π5．37-6．2-7．]22,1[- 8．349．2.5（(12)(1)(2)f f f -+=-+，故(2)1f =，(3) 1.5f =，(5)(3)1f f =+）10．12π（tan y x a α=+，tan 5y x aα=-，由222015x y -=得tan tan51αα=，于是得cos60α=） 11．35-（534c a b -=+r r r ，435b a c -=+r r r ，两式分别平方得0a b =r r g ，35a c =-r r g ）12αβ+也为锐角，tan()αβ+存在．由cos()sin sin[()]αββαββ+=+-展开得tan()2tan αββ+=．从而有tan tan[()]ααββ=+-2tan 41tan ββ=≤+）。

2020版考前小题练高考数学理科(全国通用)总复习文档：12+4满分练84页(含答案解析)

h＋k A.
2
nh＋mk B.
m＋n
mh＋nk C.
m＋n
h＋k D.
m＋n
9.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为 a，再由乙猜甲刚才想的数字，把
乙猜的数字记为 b，且 a，b∈{0，1，2，…，9}.若|a- b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”.
现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为( )
2020 版考前小题练高考数学理科（全国通用）总复习文档： 12＋4 满分练目录
2020 版考前小题练高考数学理科（全国通用）总复习文档：12＋4 满分练一 2020 版考前小题练高考数学理科（全国通用）总复习文档：12＋4 满分练二 2020 版考前小题练高考数学理科（全国通用）总复习文档：12＋4 满分练三 2020 版考前小题练高考数学理科（全国通用）总复习文档：12＋4 满分练四 2020 版考前小题练高考数学理科（全国通用）总复习文档：12＋4 满分练五 2020 版考前小题练高考数学理科（全国通用）总复习文档：12＋4 满分练六 2020 版考前小题练高考数学理科（全国通用）总复习文档：12＋4 满分练七 2020 版考前小题练高考数学理科（全国通用）总复习文档：12＋4 满分练八 2020 版考前小题练高考数学理科（全国通用）总复习文档：12＋4 满分练九 2020 版考前小题练高考数学理科（全国通用）总复习文档：12＋4 满分练十 2020 版考前小题练高考数学理科（全国通用）总复习文档：12＋4 满分练十一 2020 版考前小题练高考数学理科（全国通用）总复习文档：12＋4 满分练十二
D. 2e
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二、填空题
ππ
π
13

2020年数学(理科数学)精编训练(12)答案

所以△AOF2 为正三角形，故|AF2|＝c. 在等腰△AOF1 中，得|AF1|＝ 3c. 根据椭圆的定义，可得 2a＝|AF1|＋|AF2| ＝( 3＋1)c，
故椭圆的离心率 e＝ca＝22ca＝ 32＋1＝ 3 －1.
方法二：如图，设椭圆的方程为xa22＋by22＝ 1(a＞b＞0)，|F1F2|＝2c.
最大直径 2R＝3，即 R＝32，此时球的体积 V
＝43πR3＝9π2 .故填9π 2 . 16. 解：在 Rt△ABD 中，AB＝2 2，
AD＝1，所以 BD＝3，所以 cos∠ADB＝13，
cos∠ABD＝23 2.又∠ACB＝∠ADB，在△ABC 中，由余弦定理可知，AB2＝
AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，
复数的虚部为－32.故选 A. 3. 解：已知原命题为真命题，逆命题为假命题．根据互为逆否命题是等价的，所以否命题，逆否命题分别为假命题，真命题．故选 C. 4. 解：由题图可得 0＜a＜1，0＜b＜1，结合选项可知仅 D 符合．故选 D. 5. 解：f(3)＝f(3－1)＝f(2)＝3－2＋a＝－ 89，解得 a＝－1.故选 B. 6. 解：因为 0<ln2<1，所以 1<2ln2<2，2 ＋2ln2>2，0<(ln2)2<1，所以 c<a<b.故选 A. 7. 解：依题意，椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞
环； i＝5，n＝15，S＝35，不满足 i≥7，循
环； i＝6，n＝21，S＝56，不满足 i≥7，循
环； i＝7，n＝28，S＝84，满足 i≥7，退出
循环，故输出 S＝84.故选 B. 10. 解：设美国学者认为的一代为 x 年，
可得出寿命在(0，x]，(x，2x]，(2x，3x]，(3x， 4x]的家族企业的频率分别为 1－(0.3＋0.13 ＋0.05)＝0.52，0.3，0.13，0.05，

2020届高三数学小题狂练二十一含答案

2020届高三数学小题狂练二十一姓名得分1．已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a = . 2．抛物线24y x =上一点M 到其焦点的距离为3，则点M 的横坐标x = . 3．已知函数)(x f y =（x ∈R ）满足)()2(x f x f =+，且]1,1[-∈x 时，2)(x x f =，则5()()log F x f x x =-的零点的个数为 .4．若(2,1)a =-v与(,2)b t =-v 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为 .5．函数2()lg(21)f x x ax a =-++在区间(1)-∞，上单调递减，则实数a 的取值范围是 . 6．设α为锐角，54)6sin(=+πα，则)32sin(πα+的值等于 . 7．已知0a >，且1a ≠，函数,0,()(14)2,0x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有1212()[()()]0x x f x f x --<成立，则a 的取值范围是 .8．已知a b >，1a b ⋅=，则22a b a b+-的最小值是 .9．已知数列{}n a ，{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a ，1b ，且115a b +=，1a ，1b ∈N *，则数列{}nb a （n ∈N *）前10项的和等于 .10．设椭圆1C 和双曲线2C 具有公共焦点1F ，2F ，其离心率分别为1e ，2e ，P 为1C 和2C 的一个公共点，且满足021=⋅PF PF ，则2212221)(e e e e +的值为 . 11．设22log 1()log 1x f x x -=+，12()(2)1f x f x +=（12x >），则12()f x x 的最小值为_______.12．对于一切实数x ，令[]x 为不大于x 的最大整数，则函数()[]f x x =称为高斯函数或取整函数．若()3n na f =（n ∈N *），n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3n S =________.答案 1．134()2n -⋅2．2 3．44．(1,4)(4,)-+∞U 5．[1,2]6．2524（若3cos()65πα+=-，cos [cos()]066ππαα=+-<；或45<3πα<）7．11(,]428．222()2a b a b +=-+）9．85（11n a a n =+-，11n b b n =+-，113n b n a a b n =+-=+）10．2（2224m n c +=，12m n a +=，2||2m n a -=，后二式平方相加得22122e e --+=）11．23（21222122log 1log (2)11log 1log (2)1x x x x --+=++，化简得22214log log 1x x =-．于是212212221214log ()log log log 5log 1x x x x x x =+=+≥-，所以21212212212log ()122()1log ()1log ()13x x f x x x x x x -==-≥++（12x >））12．232n n -（33(1)(1)(1)n n S S n n n --=-+-+，311S ⨯=，3n S =232n n-）。

2020-2021学年高三数学12月检测试题及答案解析

最新高三检测试题数学试题一、单选题1．设集合U={1,2,3,4,5,6},U={1,2,3},U={2,5},则U∩(U U U)=A.{1,3}B.{2}C.{2,3}D.{3}【答案】A【解析】本题考查集合的运算,意在考查考生的运算求解能力.U U U={1,3,4,6},则U∩(U U U)={1,3}.故本题正确答案为A.2．函数U(U)=U3+4U+5的图象在U＝1处的切线在U轴上的截距为A.10B.5C.−1D.−37【答案】D【解析】本题考查导数的几何意义、直线方程的求法、直线在x轴的截距的定义,意在考查考生的运算求解能力.由U(U)=U3+4U+5得U′(U)=3U2+4,U′(1)=7,U(1)=10,则直线的切线方程为U−10=7(U−1),令U=0得U=−37.则切线在U轴上的截距为−37.故本题正确答案为D.3．在正项等比数列{U U}中,存在两项U U,U U,使得√U U U U=4U1,且U7=U6+2U5,则1U +5U的最小值是A.74B.1+√53C.256D.2√53【答案】B【解析】本题考查等比数列的通项公式,等比数列性质、基本不等式的应用,意在考查考生的运算求解能力.设数列公比为U,由U7=U6+2U5,则U7U5=U6U5+2U5U5,即U2−U−2=0,解得U=2或U=−1(舍),则U U=U12U−1,U U=U12U−1,由√U U U U=4U1,则U U U U=U122U+U−2=16U12,得U+U−2=4,则U+U=6,由1U +5U=16(U+U)(1U +5U)=16+5U6U+U6U+56=1+16(5UU+UU)≥1+16×2√5=1+√53.故本题正确答案为B.4．已知U>1，U(U)=U U2+2U，则使U(U)<1成立的一个充分不必要条件是A.−1<U<0B.−2<U<1C.−2<U<0D.0<U<1【答案】A【解析】本题考查不等式的解法，充分条件与必要条件，意在考查考生的分析理解能力.依题意，使U(U)<1成立，则U2+2U<0，得−2<U<0，故使U(U)<1成立的一个充分不必要条件是−1<U<0.故本题正确答案为A.5．若定义在实数集U上的偶函数U(U)满足U(U)>0,U(U+2)=1U(U),对任意U∈U恒成立,则U(2015)=A.4B.3C.2D.1【答案】D【解析】本题考查函数的周期性、函数的奇偶性、函数值的计算,由U(U+2)=1U(U),得函数U(U)为周期为4的周期函数，则U(2015)=U(504×4−1)=U(−1)=U(1)，又由U(U+2)=1U U，令U=−1得U2(1)=1，由U(U)>0，得U(1)=1,故U(2015)=1.故本题正确答案为D.6．已知向量U,U满足|U|=1，U⊥U，则U−2U在U方向上的投影为A.1B.√77C.－1 D.2√77【答案】A【解析】本题考查平面向量数量积、向量的投影，意在考查考生的运算求解能力.由|U|=1，U⊥U，则U−2U在U方向上的投影为(U−2U)⋅U|U|=U2−2U⋅U|U|=1.故本题正确答案为A.7．已知函数U(U)=√2sin(UU+π4)(U>0)的最小正周期为π,下列四个判断:(1)当U∈[0,π2]时,U(U)的最小值为−1;(2)函数U(U)的图象关于直线U=π8对称;(3)函数U(U)的图象可由U=√2cos2U的图象向右平移π4个单位长度得到;(4)函数U(U)在区间[π8,3π8]上是减函数.以上正确判断的个数是A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】本题考查三角函数性质，意在考查考生的分析理解能力.函数的最小正周期为π,则U=2πU=2，则U(U)=√2sin(2U+π4)，当U∈[0,π2]，得2U+π4∈[π4,5π4]，则U(U)∈[−1,√2]，得U(U)最小值为−1，故(1)正确；由2U+π4=π2+Uπ,U∈U得函数的对称轴为U=π8+Uπ2,U∈U，令U=0得U=π8，故(2)正确；由U=√2cos2U的图象向右平移π4个单位长度得到U=√2cos2(U−π4)=√2cos(2U−π2)=√2sin2U，故(3)错误；当U∈[π8,3π8]时，2U+π4∈[π2,π]，则U(U)=√2sin(2U+π4)为减函数，故(4)正确；故正确的有3个.故本题正确答案为C.8．设U(U)与U(U)是定义在同一区间[U,U]上的两个函数,若对任意的U∈[U,U],都有|U(U)−U(U)|≤1,则称U(U)和U(U)在[U,U]上是“密切函数”,[U,U]称为“密切区间”,设U(U)=U2−3U+4与U(U)=2U−3在[U,U]上是“密切函数”,则它的“密切区间”可以是A. [1,4]B.[2,4]C.[2,3]D.[3,4]【答案】C【解析】本题主要考查新定义的概念、一元二次不等式的解法、绝对值不等式.因为U (U )和U (U )在[U ,U ]上是“密切函数”,所以|U (U )−U (U )|≤1,即|U 2−3U +4−(2U −3)|≤1,即|U 2−5U +7|≤1,化简得−1≤U 2−5U +7≤1,不等式U 2−5U +7≥−1恒成立；不等式U 2−5U +7≤1的解集为2≤U ≤3,所以它的“密切区间”是[2,3],故选C. 9．函数U (U )=U sin (UU +U )(其中U >0,|U |<π2)的图象如图所示,为了得到U (U )=sin 2U 的图像,则只要将U (U )的图像A.向右平移π6个单位长度B.向右平移π12个单位长度C.向左平移π6个单位长度D.向左平移π12个单位长度【答案】A【解析】本题主要考查正弦型函数解析式的求法、正弦型函数图像的平移.根据函数图像可得U =1,U =4(7π12−π3)=U ,∴U =2 ,当U =π3时,U (π3)=0,∵ |U |<π2,∴U =π3,U (U )=sin (2U +π3),所以要得到U (U )=sin 2U 的图像,则只需将U (U )的图像向右平移π6个长度单位.故选A.10．已知曲线U =2sin (U +π4)cos (π4−U )与直线U =12相交,若在U 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1, P 2, P 3,…,则|U 1U 5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |等于 A.π B.2π C.3π D.4π【答案】B【解析】本题主要考查三角函数的恒等变换,直线与曲线的相交的性质,此题的关键是求交点坐标.曲线U =2sin (U +π4)cos (π4−U )=cos 2U +sin 2U +2sin U cos U =1+sin 2U ；由1+sin 2U =12,解得2U =2U π−π6或2U =2U π−5π6,U ∈U ,U =U π−π12或U =U π−5π,U ∈U ,故U 1,U 2,...,U 5的横坐标分别为7π,11π,19π,23π,31π,故|U 1U 5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=31π−7π=2π, 故选B.11．已知函数U (U )={2, U ≥0−U +2, U <0,则满足不等式U (3−U 2)U 2−3+2U ,此时不等式无解；当{2U<03−U2≥0时,应该满足2<−2U+2,得−√3≤U<0；当{2U<03−U2<0时,应该满足3−U2>2U,得−3<U<−√3. 综上可得,U的取值范围为(-3,0),故选D.12．已知函数U(U)=1+U−U22+U33−U44+⋯+U20112011，则下列结论正确的是A.f(x)在(-1,0)上恰有一个零点B.f(x)在(0,1)上恰有一个零点C.(x)在(-1,0)上恰有两个零点D.f(x)在(0,1)上恰有两个零点【答案】A【解析】本题考查函数与方程.U(−1)=1−1−12−13−14+⋯−12011<0，U(0)=1>0，即U(−1) U(0)<0，所以f(x)在(-1,0)上存在零点；而U′(U)=1−U+U2−U3+⋯+ U2010=U2011+1U+1>0,即函数U(U)单增；所以f(x)在(-1,0)上恰有一个零点.选A.二、填空题13．如图,已知UU是圆U的切线,U是切点,直线UU交圆U于U,U两点,U是UU的中点,连接UU并延长交圆U于点U,若UU=2√3,∠UUU=30°,则UU=．【答案】10√77【解析】本题主要考查圆中的相关定理.由UU=2√3,∠UUU=300得半径为2,作OF⊥UU于U,则F为AE的中点,在∆UUU中,OA=2,OD=1,∠UUU=120°,由余弦定理得AD=√7,U∆UUU =12×1×2sin120°=12UU×UU,则OF=√217,所以12UU=√UU2−UU2=5√77,UU=10√77.【备注】熟练掌握圆的相关定理和性质.14．已知函数U(U)=UU+1,U(U)={2U−1,0≤U≤2,−U2,−2≤U<0,对∀U1∈[−2,2], ∃U2∈[−2,2],使U(U1)=U(U2)成立,则实数U的取值范围是______________．【答案】[−1,1]【解析】本题主要考查函数与方程.当x∈[−2,2]时,U(U) ∈[−4,3],当a=0时,U(U)=1满足已知；当a>0时若满足题意则有{−2U+1≥−4,2U+1≤3,解得0<a≤1;当a<0时,若满足题意则有{2U+1≥−4,−2U+1≤3,解得-1≤a<1.综上,a∈[−1,1].【备注】分情况讨论要做到不重不漏.15．设U =cos 420∘,函数U (U )={U U ,U <0,log U U ,U ≥0,,则U (14)+U (log 216)的值等于．【答案】8【解析】本题考查诱导公式求三角函数值、分段函数求值，意在考查考生的运算求解能力.U =cos 420∘=cos 60∘=12，得U (14)+U (log 216)=log 1214+(12)log 216=2+6=8.故填8.16．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的取值范围是________. 【答案】(0,3]【解析】本题考查利用导数求函数的单调性，意在考查考生的分析理解能力.依题意，U ′(U )=3U 2−U ≥0对[1，＋∞)恒成立，即U ≤3U 2对U ∈[1，＋∞)，故U ≤3，又U >0，故0<U ≤3.故本题正确答案为(0,3].三、解答题17．已知函数f (x )＝2sin x co s (U +π3)＋√3cos 2x ＋12sin 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调递增区间.【答案】∵f(x )＝2sin x co s (U +π3)＋√3cos 2x ＋12sin 2x＝2sin U (cos U cos π3−sin U sin π3)＋√3cos 2x ＋12sin 2x＝sin x cos x －√3sin 2x ＋√3cos 2x ＋12sin 2x ＝sin 2x ＋√3cos 2x ＝2si n (2U +π3)，(1)f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，(2)令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，∴x ∈[U π−5π12,U π+π12](k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为[U π−5π12,U π+π12](k ∈Z )．【解析】本题考查两角和与差的三角公式、二倍角公式、三角函数的单调性，意在考查考生的运算求解能力. (1)先利用公式化简f (x )，从而求得函数的周期. (2)利用整体思想求得函数的单调增区间.18．在数列{a n }中，已知a 1=-20，a U +1 =a U ＋4(n ∈N ∗)． (1)求数列{a n }的通项公式和前n 项和A n ； (2)若U U =2UU+24U(n ∈U ∗)，求数列{b n }的前n 项S n ．【答案】(1)∵数列{a n }满足a U +1 =a U ＋4(n ∈U ∗)，∴数列{a n}是以公差为4，以a U=-20为首项的等差数列．故数列{a n}的通项公式为a U=−20+4(U−1)=4U−24 (n∈N∗)，数列{a n}的前n项和A U=2U2−22U (n∈U∗)；(2)∵U U=2U U+24U =1U(U+1)=1U−1U+1(n∈U∗)，∴U U=U1+U2+⋯+U U=(1−12)+(12−13)+⋯+(1U−1U+1)=1−1U+1=UU+1．【解析】本题考查数列的通项与求和. (1)由等差数列的定义可得数列{a n}是等差数列，a U=4U−24，A U=2U2−22U (n∈U∗)；(2)裂项相消可得U U=UU+1．【备注】等差数列中U U=U1+(U−1)U，U U=U(U U+U1)2；掌握裂项相消法.19．如图,在四棱锥U−UUUU中,UU⊥底面UUUU,UU∥UU,∠UUU=900, UU=UU=UU=3,UU=1．(Ⅰ)求证：UU⊥平面UUU；(Ⅱ)求UU与平面UUU所成角的正切值；(Ⅲ)设点U在线段UU上,若UUUU =12,求证：UU∥平面UUU．【答案】(Ⅰ)∵UU∥UU,∠UUU=900,∴UU⊥UU．又UU⊥底面UUUU,UU⊂平面UUUU,∴UU⊥UU．又UU∩UU=U,∴UU⊥平面UUU．(Ⅱ)由(Ⅰ)知UU⊥平面UUU,∴∠UUU是UU与平面UUU所成的角．∵UU=UU=3,UU⊥UU,∴UU=3√2,又∵UU=3,∴tan∠UUU=UUUU =√22．∴UU与平面UUU所成角的正切值为√22．(Ⅲ)在UU上取一点U,使得UUUU =12,连接UU,∵UUUU =UUUU=12,∴UU∥UU且UU=13UU.又由已知得UU∥UU且UU=13UU,∴UU=UU；又UU∥UU,∴四边形UUUU是平行四边形,∴UU∥UU．又UU⊂平面UUU,UU⊄平面UUU,∴UU∥平面UUU．【解析】本题主要考查线面垂直的判定,求线面所成的角及线面平行的判定.(Ⅰ)欲证线面垂直需证线线垂直；(Ⅱ)根据线面所成角的定义作出角,利用三角函数的定义找到正切值；(Ⅲ)欲证线面平行需证线线平行,利用等比例线段证得平行四边形,得到所需平行线.【备注】读懂几何体的直观图是关键.20．现有4个学生去参加某高校的面试,面试要求用汉语或英语中的一种回答问题,每个学生被要求用英语回答问题的概率均为13．(Ⅰ)求这4个学生中恰有2人用英语回答问题的概率；(Ⅱ)若U,U分别表示用汉语,英语回答问题的人数,记U=|U−U|,求随机变量U的概率分布和数学期望U(U)．【答案】(Ⅰ)设“4个学生中恰有2人用英语回答问题”为事件U,则U(U)=U42(13)2(1−13)2=827．(Ⅱ)随机变量X的所有取值为0,2,4．U(U=0)=U42(13)2(1−13)2=827,U(U=2)=U41(13)1(1−13)3+U43(13)3(1−13)1=4081,U(U=4)=U40(13)0(1−13)4+U44(13)4(1−13)0=1781,∴随机变量X的分布列为：∴U(U)=0×27+2×81+4×81=14881．【解析】本题主要考查互斥事件的概率及随机变量的分布列和期望. (Ⅰ)根据已知可直接求出概率；(Ⅱ)根据已知分析随机变量的取值,再求出取每一个值时的概率,进而列出分布列求出期望.【备注】随机变量的取值不能有遗漏.21．设U1,U2分别为椭圆U:U2U2+U2U2=1(U>U>0)的左、右焦点,点U(1,32)在椭圆U上,且点U和U1关于点U(0,34)对称.(Ⅰ)求椭圆U的方程；(Ⅱ)过右焦点U2的直线U与椭圆相交于U,U两点,过点U且平行于UU的直线与椭圆交于另一点U,问是否存在直线U,使得四边形UUUU的对角线互相平分？若存在,求出U的方程；若不存在,说明理由.【答案】(Ⅰ)解：由点U(1,32)和U1(-c,0)关于点U(0,34)对称,得1−U2=0,则U=1.所以椭圆E的焦点为U1(−1,0),U2(1,0),由椭圆定义,得2U =|UU 1|+|UU 2|=4.所以U =2,U =√U 2−U 2=√3. 故椭圆E 的方程为U 24+U 24=1.(II)解：假设存在直线U ,使得四边形UUUU 的对角线互相平分. 由题可知直线U ,直线PQ 的斜率存在,设直线U 的方程为U =U (U −1),直线PQ 的方程为U −32=U (U −1).由{U 24+U 23=1,U =U (U −1),得(3+4U 2)U 2−8U 2U +4U 2−12=0,由题意可知U >0,设U (U 1,U 1),U (U 2,U 2),则U 1+U 2=8U 23+4U 2,U 1U 2=4U 2−123+4U 2, 由{U 24+U 23=1,U −32=U (U −1),得(3+4U 2)U 2+4(3U −2U 2)U +4U 2−12U −3=0,由U >0,可知U ≠−12,设U (U 3,U 3),又U (1,32),则U 3+1=8U2−12U3+4U 2,U 3⋅1=4U 2−12U −33+4U 2,所以U 3=4U 2−12U −33+4U 2.四边形UUUU 的对角线互相平分即UU 与UU 的中点重合, 所以U 1+U 32=U 2+12,即U 1−U 2=1−U 3,两边平方得(U 1+U 2)2−4U 1U 2=(1−U 3)2.所以(8U 23+4U 2)2−4⋅4U 2−123+4U 2=(1−4U 2−12U −33+4U 2)2.解得U =34. 所以直线U 为3U −4U −3=0时,四边形UUUU 的对角线互相平分.【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质及直线与椭圆的位置关系. (Ⅰ)利用中点坐标公式求出c 的值,利用椭圆的定义求出a 的值,利用U 2=U 2+U 2求出U 的值; (II )设出直线l 和直线PQ 的方程分别于椭圆方程联立消元得到韦达定理,然后利用中点坐标公式求出k 的值. 【备注】利用四边形UUUU 为平行四边形,则有|UU |=|UU |,也可解决问题22．已知函数U (U )=(U −2U )2ln U(其中U 为常数)．(1)当U =0时,求函数U (U )的单调区间；(2)当0√e．【答案】(1)当m =0时U (U )=U 2ln U, U ′(U )=2U ln U −U ln 2U=U (2ln U −1)ln 2U,U >0且U ≠1,令U ′(U )>0即2ln U −1>0,解得U >√e ;令U ′(U )<0即2ln U −1<0,解得00且U ≠1,令ℎ(U )=2ln U +2U U−1,则ℎ′(U )=2(U −U )U 2,∴函数ℎ(U )在(0,U )上单调递减,在(U ,+∞)上单调递增∵U (U )有3个极值点U <U <U ,∴ℎ(U )有两个极值点.即ℎ(U )=0有两个不相等的根. 从而ℎmin(U )=ℎ(U )=2ln U +1<0,所以U <√e,当0<U <12时,ℎ(2U )=2ln2U <0,ℎ(1)=U −1<0,∴函数U (U )的递增区间有(U ,2U )和(U ,+∞),递减区间有(0,U ),(2U ,1),(1,U ), 此时,函数U (U )的3个极值点中U =2U ； ∴当0<U <12时,U ,U 是函数ℎ(U )=2ln U +2UU−1的两个零点, 即有{2ln U +2UU−1=0,2ln U +2UU −1=0,,消去U 有2U ln U −U =2U ln U −U ,令U (U )=2U ln U −U ,U′(U )=2ln U +1有零点U =√e,且U <√e√e⇔U >√e−U ⇔U (U )>U (√e−U ),∵U (U )=U (U )∴即证U (U )>U (eU )⇔U (U )−U (e−U )>0,构造函数U (U )=U (U )−U (eU ),∵U (e )=0, 只需要证明U ∈(0√e)单调递减即可．而U ′(U )=2ln U +2ln (√e−U )+2,U ′′(U )=2(√e −2U )U (2√e −U )>0∴U ′(U )在(0√e ]上单调递增,∴U ′(U )0与U ′(U )<0,得到单调区间；(2)构造函数h (x ),确定h (x )的极点,再构造函数g (x )与F (x ),对其进行求导证明不等式.【备注】合理构造新函数是解决导数问题常用的方法.。

2020届高考冲刺数学(文)“小题精练”含详细解答(共30份)

2020届高三数学（文）“小题速练”113. 14. 15. 16.1. 已知集合(){},|24A x y x y =+=，(){},|10B x y x y =-+=，则A B =IA ．∅B ．{}2,1C ．(){}2,1D ．(){}1,22. 已知复数z 满足6,25z z z z +=⋅=，则z =A ．34i ±B ．34i ±+C ．43i ±D ．43i ±+3. 已知12,e e 均为单位向量，若12-=e e ，则1e 与2e 的夹角为A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒4. 函数()335x f x x =+-的零点所在的区间为A ．()0,1B ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭5. 班主任要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中随机抽取3个人参加活动，则甲、乙同时被抽到的概率为 A ．110 B ．15C ．310D ．256. 若()tan 2sin αα=-π，则cos2α=A ．14-B ．1C ．12-或0D ．12-或1 7. 已知平面α⊥平面β，直线,l m ααβ⊂=I ，则“m l ⊥”是“m β⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. 已知过点()0,1的直线与抛物线24x y =交于()()1122,,,A x y B x y 两点，若1294y y +=，则AB =A ．254B ．174C ．134D ．949. 某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课程．已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同课程．则以下说法错误．．的是 A ．丙有可能没有选素描 B ．丁有可能没有选素描C ．乙丁可能两门课都相同D ．这四个人里恰有2个人选素描10. 定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，且当10x -≤＜时，()21x f x =-，则()2log 20f =A ．14 B ．15C ．15-D ．14-11. 已知函数()sin cos f x x x =+，将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数()y g x =的图象．若()()122g x g x =-，则12||x x -的最小值为 A ．π2B ．πC ．2πD ．4π12. 已知双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b ＞＞）的一条渐近线方程为20x y -=，,A B 分别是C 的左、右顶点，M 是C 上异于,A B 的动点，直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，若112k ≤≤，则2k 的取值范围为 A ．11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13. 若实数x ，y 满足约束条件2,220,10,y x y x y -⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≥≤则2z x y =+的最大值为．14. ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos 2a B b A ac +=，则a = ． 15. 勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为______．16. 在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =．三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，则所得截面圆的面积的最小值为．2020届高三数学（文）“小题速练”1（答案解析）1.已知集合(){},|24A x y x y =+=，(){},|10B x y x y =-+=，则A B =I A ．∅ B ．{}2,1 C ．(){}2,1 D ．(){}1,2【答案】D ．【解析】由24,10x y x y +=⎧⎨-+=⎩得1,2,x y =⎧⎨=⎩所以A B =I (){}1,2．2.已知复数z 满足6,25z z z z +=⋅=，则z = A ．34i ± B ．34i ±+ C ．43i ± D ．43i ±+【答案】A ．【解析】设i z a b =+（,a b ∈R ），依题意得，2226,25a a b =+=，解得3,4a b ==±，所以z =34i ±．3.已知12,e e均为单位向量，若12-=e e 1e 与2e 的夹角为 A ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒【答案】C ．【解析】依题意，121==e e ，2123-=e e ，所以12223-⋅=e e ，即1212⋅=-e e ，所以1212121cos ,2⋅==-e e e e e e ，所以12,120=︒e e ． 4.函数()335x f x x =+-的零点所在的区间为 A ．()0,1 B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B ．【解析】依题意，()f x 为增函数，()13150,f =+-＜()2323250,f =+-＞32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭2758-=1308-＞，所以()f x 的零点所在的区间为31,2⎛⎫⎪⎝⎭．5.班主任要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中随机抽取3个人参加活动，则甲、乙同时被抽到的概率为 A ．110 B ．15C ．310D ．25【答案】C ．【解析】从5个人中随机抽取3人，所有的情况为{甲,乙,丙}，{甲,乙,丁}，{甲,乙,戊}，{甲,丙,丁}，{甲,丙,戊}，{甲,丁,戊}，{乙,丙,丁}，{乙,丙,戊}，{乙,丁,戊}，{丙,丁,戊}，共10种结果．记“甲、乙同时被抽到”为事件A ，则A 包含基本事件{甲,乙,丙}，{甲,乙,丁}，{甲,乙,戊}，共3个，故()310P A =． 6.若()tan 2sin αα=-π，则cos2α=A ．14-B ．1C ．12-或0D ．12-或1 【答案】D ．【解析】由题设得，sin 2sin cos ααα=-，所以sin 0α=，或1cos 2α=-．所以cos2α=1-22sin 1α=，或21cos22cos 12αα=-=-．7.已知平面α⊥平面β，直线,l m ααβ⊂=I ，则“m l ⊥”是“m β⊥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C ．【解析】若m l ⊥，则根据面面垂直的性质定理可得m β⊥；若m β⊥，则由l β⊂，可得m l ⊥．故选C ．8.已知过点()0,1的直线与抛物线24x y =交于()()1122,,,A x y B x y 两点，若1294y y +=，则AB =A ．254B ．174C ．134D ．94【答案】B ．【解析】依题意，点()0,1为抛物线的焦点，则由抛物线的定义可得 AB =122y y ++=917244+=．9.某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课程．已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同课程．则以下说法错误．．的是 A ．丙有可能没有选素描 B ．丁有可能没有选素描 C ．乙丁可能两门课都相同 D ．这四个人里恰有2个人选素描【答案】C ．【解析】因为甲选择了素描，所以乙必定没选素描．那么假设丙选择了素描，则丁一定没选素描；若丙没选素描，则丁必定选择了素描．综上，必定有且只有2人选择素描，选项A ，B ，D 判断正确．不妨设甲另一门选修为摄影，则乙素描与摄影均不选修，则对于素描与摄影可能出现如下两种情况：由上表可知，乙与丁必有一门课程不相同，因此C 不正确．10.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，且当10x -≤＜时，()21x f x =-，则()2log 20f =A ．14 B ．15C ．15-D ．14-【答案】B ．【解析】依题意，()()()2f x f x f x +=-=-，所以()()4f x f x +=，所以()f x 为周期函数，周期为4．又22log 53＜＜，所以212log 50--＜＜，所以()2log 20f =()22log 5f +=()()22log 522log 5f f -=--=()22log 521---=415⎛⎫--= ⎪⎝⎭15．11.已知函数()sin cos f x x x =+，将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数()y g x =的图象．若()()122g x g x =-，则12||x x -的最小值为 A ．π2B ．πC ．2πD ．4π【答案】A ．【解析】()π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故()g x 的周期为π，且()max g x ()min g x =．因为()()122g x g x ⋅=-，所以()()12g x g x =-=，或()()12g x g x =-=12ππ,2x x k k -=+∈N ，所以12min π||2x x -=． 12.已知双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b ＞＞）的一条渐近线方程为20x y -=，,A B 分别是C的左、右顶点，M 是C 上异于,A B 的动点，直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，若112k ≤≤，则2k 的取值范围为 A ．11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】A ．【解析】依题意，12b a =，则双曲线的方程为：222214x y b b -=，则()()2,0,2,0A b B b -，设()00,M x y ，则22002214x y b b-=，所以22022********2000014122444x b b y y y k k x b x b x b x b ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅===+---，因为1[1,2]k ∈，所以1211,8414k k ⎡=⎤∈⎢⎥⎣⎦．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13.若实数x ，y 满足约束条件2,220,10,y x y x y -⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≥≤则2z x y =+的最大值为．【答案】4．【解析】作出可行域如图所示，则当直线2z x y =+过点(3,2)A -时z 取最大值4． 14.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos 2a B b A ac +=，则a = ．【答案】12．【解析】由题设及正弦定理得sin cos sin cos 2sin A B B A a C +=，所以()sin A B +=2sin a C ．又πA B C ++=，所以sin 2sin C a C =，所以12a =． 15.勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为______．【答案】19．【解析】设图中的小的勒洛三角形所对应的等边三角形的边长为a ，则小勒洛三角形的面积1S =()222343262a a a π-3π⨯-⨯=，因为大小两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，所以大勒洛三角形的面积2S =()()232a π-3=()292a π-3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率12S P S ==19．16.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =．三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，则所得截面圆的面积的最小值为．【答案】12π．【解析】将三棱锥P ABC -补成直三棱柱，则三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球O ，记三角形ABC 的外心为1O ，设球的半径为R ，2PA x =，则球心O 到平面ABC 的距离为x ，即1OO x =，连接1O A ，则1152O A BC ==，所以2225R x =+．在ABC △中，取AC 的中点为E ，连接11,O D O E ，则1132O E AB ==，124DE AC ==，所以1O D =在1Rt OO D △中，OD =，由题意得到当截面与直线OD 垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为r ，则()22222251312r R OD x x =-=+-+=，所以最小截面圆的面积为12π．ABC1OO EDP2020届高三数学（文）“小题速练”2题号123456789101112答案13. 14. 15. 16.一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={x|x2=-x}，N={x|lg x=0}，则M∪N=（）A. {−1,0}B. {−1,0，1}C. {0,1}D. {−1,1}2.已知i为虚数单位，若复数z=(1+i)21−i，则|z|=（）A. 2B. 1C. √2D. √33.已知曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为3x+y=0，则曲线的离心率为（）A. 2B. 2√3C. 3D. √104.下列函数中是偶函数，且在区间（0，+∞）上为单调增函数的是（）A. y=lnx2B. y=e x−e−xC. y=cosxD. y=x3+x5.已知在一次射击预选赛中，甲、乙两人各射击10次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下列四个选项中判断不正确的是（）A. 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B. 甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数C. 甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差D. 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差6.已知向量a⃗=(1，2)，b⃗ =(1，x)，若|a⃗−b⃗ |=a⃗⋅b⃗ ，则x=（）A. −3B. 13C. 3 D. 13或−37.从0，1，4，7这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，这个两位数是奇数的概率为（）A. 49B. 12C. 59D. 138.如图，小正方形方格边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 2π3B. 3π2C. π2D. 2π9.执行如图所示的程序框图，则输出的S为（）A. 36B. −36C. 45D. −4510.已知函数f（x）=A cos（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，ω＞0，A＜0）的部分图象如图所示，则A=（）A. −2B. −3C. −2√2D. −√6)，11.定义域为R的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（-x），且在区间[0，1]上单调递减．设a=f(152 b=f（2+√2），c=f（8），则a，b，c的大小关系是（）A. a>b>cB. c>b>aC. b>c>aD. c>a>b12.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形ABC是边长为2的等边三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1=3，M，N分别是BC，AB的中点，点P在棱CC1上，且CP=2PC1．设平面AMP与平面BNC1的交线为l，则直线C1N与l的位置关系是（）A. 相交B. 平行C. 异面D. 垂直二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f（x）=x2+ln x在点（1，f（1））处的切线方程为______．14.已知实数x，y满足{x+y≤3x−y≤0x−1≥0，则z=yx−1的最小值是______．15.已知抛物线y2=2px（p＞0），直线y=x-2与抛物线交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过点P（2，-2），则p=______．16.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2+b2=√3ab+c2，AB=1，则AC+√3BC的最大值是______．2020届高三数学（文）“小题速练”2（答案解析）1.【答案】B【解析】∵集合M={x|x2=-x}={0，-1}，N={x|lgx=0}={1}，∴M∪N={-1，0，1}．2.【答案】C【解析】解：复数z====i-1，则|z|==．3.【答案】D【解析】∵曲线的一条渐近线方程为3x+y=0，∴b=3a，∴c==a，∴e==．故选：D．4.【答案】A【解析】A．函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），f（-x）=ln（-x）2=lnx2=f（x），则f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=2lnx为增函数，满足条件．B．f（-x）=e-x-e x=-（e x-e-x）=-f（x），则函数为奇函数，不满足条件．C．y=cosx在（0，+∞）上不是单调函数，不满足条件．D．f（-x）=-x3-x=-（x3+x）=-f（x），函数为奇函数，不满足条件．5.【答案】D【解析】在一次射击预选赛中，甲、乙两人各射击10次，两人成绩的条形统计图如图所示，在A中，甲的成绩的平均数为：=（5+6×2+7×2+8×2+9×2+10）=7.5，乙的成绩的平均数为：=（6+7×3+8×2+9×3+10×1）=8，∴甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数，故A正确；在B中，甲的成绩的中位数为：，乙的成绩的中位数为：=8.5，∴甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数，故B正确；在C中，由条形统计图得甲的成绩相对分散，乙的成绩相对分散，∴甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差，故B正确．在D中，甲的成绩的极差为：10-5=5，乙的成绩的极差为：10-6=4，∴甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差，故D不正确．6.【答案】B【解析】向量，若，可得：，（x）．，解得x=-3（舍去）或x=．故选：B．7.【答案】A【解析】从0，1，4，7这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，基本事件总数n=3×3=9，这个两位数是奇数包含的基本事件个数m=2×2=4，∴这个两位数是奇数的概率为p=．8.【答案】D【解析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱截去圆柱的一半，如图：V=π•12×4=2π，故选：D．由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱截去圆柱的一半，即可求出几何体的体积．9.【答案】A【解析】模拟程序的运行，可得S=0，n=1执行循环体，S=-1，n=2满足条件4n2≥2n，执行循环体，S=3，n=3满足条件4n2≥2n，执行循环体，S=-6，n=4满足条件4n2≥2n，执行循环体，S=10，n=5满足条件4n2≥2n，执行循环体，S=-15，n=6满足条件4n2≥2n，执行循环体，S=21，n=7满足条件4n2≥2n，执行循环体，S=-28，n=8满足条件4n2≥2n，执行循环体，S=36，n=9此时，不满足条件4n2≥2n，退出循环，输出S的值为36．10.【答案】C【解析】由图象可得T=-==•，解得ω=3．可得：f（x）=Acos（3x+φ），由于点（，0）在函数图象上，可得Acos（3×+φ）=0，解得：3×+φ=kπ+，即：φ=kπ-，k∈Z，又由于点（，-2）在函数图象上，可得Acos（3×+kπ-）=-2，k∈Z，可得：Acos（+kπ）=-2，k∈Z，解得：A=-2，或2（舍去）．11.【答案】D【解析】∵偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（-x），∴f（x+1）=-f（-x）=-f（x），即f（x+2）=-f（x+1）=f（x），则f（x）为周期为2的周期函数，则c=f（8）=f（0），b=f（2+）=f（）=f（-）=f（2-），=f（8-）=f（-）=f（），∵0＜＜2-，且f（x）在区间[0，1]上单调递减．∴f（0）＞f（）＞f（2-），即c＞a＞b12.【答案】B【解析】∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形ABC是边长为2的等边三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1=3，M，N分别是BC，AB的中点，点P在棱CC1上，且CP=2PC1．设平面AMP与平面BNC1的交线为l，设AM∩CN=O，连结OP，∴C1N∥OP，∵OP⊂平面AMP，C1N⊄平面AMP，∴C1N∥平面APM，∵平面AMP与平面BNC1的交线为l，∴直线C1N与l的位置是平行．故选：B．13.【答案】3x-y-2=0【解析】f′（x）=2x+；故f′（1）=2+1=3；故函数f（x）=x2+lnx的图象在点A （1，1）处的切线方程为：y-1=3（x-1）；即3x-y-2=0；14.【答案】3【解析】作出实数x，y满足对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到定点D（1，0）的斜率，由图象知AD的斜率最小，由得（，），则AD的斜率k==3，即的最小值为：3，故答案为：3．15.【答案】1【解析】y2=2px（p＞0）和直线y=x-2联立，可得x2-（4+2p）x+4=0，△=（4+2p）2-16＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有x1+x2=4+2p，x1x2=4，线段AB为直径的圆过点P（2，-2），可得AP⊥BP，即有•=-1，即为=-1，可得x1x2=-[x1x2+4-2（x1+x2）]，化为-4=8-2（4+2p），解得p=1．检验判别式大于0成立．16.【答案】2√7【解析】由a2+b2=ab+c2可得=，得cosC=，又0＜C＜π，∴C=，根据正弦定理可得==，∴AC=2sinB，BC=2sinA，∴AC+BC=2sinB+2sinA=2sin（-A）+2sinA=cosA+3sinA=2sin （A+φ）≤=2．2020届高三数学（文）“小题速练”313. 14. 15. 16. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

2020届高三数学小题狂练二含答案

2020届高三数学小题狂练二姓名得分1．已知复数z 满足(2－i)z =5，则z = .2．已知向量24()，a =，11()，b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是 .3．若连续投掷两枚骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标(,)m n ，则点P 落在圆1622=+y x 内的概率为_________.4．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()log f x x =，则方程()1f x =的解集是 .5．已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M m -= .6．若三条直线320x y -+=，230x y ++=，0mx y +=不能构成三角形，则m 的值构成的集合是 .7．由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 .8．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则||x y -的值为 .9．已知(1)(1)()sin33x x f x ππ++=，则(1)(2)(2015)f f f +++=L .10．数列{}n a 中，11a =，1411++=+n n n a a a = . 11．已知点G 是ABC ∆的重心，若120A ∠=︒，2AB AC =-u u u r u u u r g ，则||AG u u u r 的最小值是 .12．双曲线221x y n-=（1n >）的两焦点为1F ，2F ，点P 在双曲线上，且满足12PF PF +=，则12PF F ∆的面积为 .答案1．2＋i2．3-3．294．{2,－12} 5．326．{3-，1-，2} 7．78．49．010．12764 11．23：1()3AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r12．1：12PF PF +=1212S PF PF =g ，平方减。

2020届高三数学上学期12月阶段性考试试题理(含解析)

2020届高三数学上学期12月阶段性考试试题理（含解析）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则（）A. B. C. 1 D. 2【答案】C【解析】【分析】根据复数模长的性质直接求解即可.【详解】因为,故.故选：C【点睛】本题主要考查了复数模长的性质,属于基础题型.2.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】用列举法写出B集合，再求交集．【详解】，故选D【点睛】集合的运算--交集：取两个集合共同的元素．3.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出基本事件总数，再求《红楼梦》被选中包括的基本事件个数，由此可计算出任取2种进行阅读，取到《红楼梦》的概率．【详解】4本名著选两本共有种，选取的两本中含有《红楼梦》的共有种，所以任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为．故选B.【点睛】本题考查古典概型，属于基础题．4.若α是第二象限角，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据角的范围可确定，利用同角三角函数的平方关系和商数关系可求得结果.【详解】是第二象限角本题正确选项：【点睛】本题考查同角三角函数值的求解问题，属于基础题.5.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据对数函数和指数函数单调性，利用临界值和可得到所处的大致范围，从而得到结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查根据指数函数和对数函数单调性比较大小的问题，关键是能够确定临界值，利用临界值确定所求式子所处的大致区间.6.已知满足不等式组，则的最大值为（）A. 2B. -2C. 1D. -1【答案】D【解析】【分析】画出可行域,再分析的截距的最大值即可.【详解】画出可行域为阴影部分,易得在即处取最大值,代入有故选：D【点睛】本题主要考查了线性规划的一般问题,属于基础题型.7.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况．【详解】，故奇函数，四个图像均符合．当时，，，排除C、D当时，，，排除A．故选B．【点睛】图像分析采用排除法，一般可供判断的主要有：奇偶性、周期性、单调性、及特殊值．8.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. 32B. 33C. 31D. 34【答案】B【解析】【分析】将利用累加改写赋值表达式,再分析当的情况即可.【详解】由图即.故当有.当时, ,下一步得.此时满足下一步,下一步得.不满足退出.此时.故选：B【点睛】本题主要考查了框图与对数运算的综合问题,可将类的累加求和改写成和的结果的形式分析即可.属于中等题型.9.若曲线在点处的切线过点，则函数的单调递增区间为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用导数的几何意义求解，取切线斜率列方程，求解参数，再求解单调区间．【详解】，求导解得，则当时，．则的单调递增区间是．故选A【点睛】导数几何意义：函数在某点处的导数等于切线的斜率．已知两点坐标也可求斜率．本题还考察了导数在研究函数性质中的应用．10.等比数列的前项和为，若，，则（）A. 5B. 10C. 15D. -20【答案】C【解析】【分析】根据等比数列分段求和的性质求解即可.【详解】由题有等比数列的前项和满足成等比数列.设的公比为则,故.故,即.因为故.又故,故.故选：C【点睛】本题主要考查了等比数列前项和的分段求和成等比数列的性质,属于中等题型.11.向量，且，则与所成角的余弦值是（）A. B. C. D. 0【答案】B【解析】分析】将两边平方,再利用得出即可得模长与夹角的关系,再求与所成角的余弦值即可.【详解】两边平方有.又有设夹角为则,故.因为,故且夹角.不妨设.故设与所成角为则故选：B【点睛】本题主要考查了向量的基本运算,若已知模长关系与角度关系,可以直接利用向量的坐标表示进行计算从而简化运算量.属于中等题型.12.设函数的定义域为，若满足：①在内是单调增函数；②存在，使得在上的值域为，那么就称是定义域为的“成功函数”.若函数（且）是定义域为的“成功函数”，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用成功函数的定义以及对数函数的单调性可构造,再换元利用方程有两个正根进行列式求解即可.【详解】因为（且）是定义域为的“成功函数”,所以为增函数,且在上的值域为,故.即有两个不相同的实数根.又,即.令,即有两个不同的正数根,由零点存在性定理列式得.解得故选：A【点睛】不同在于考查了新定义的函数问题以及零点的分布问题,同时也考查了与二次函数相关的复合函数问题,属于中等题型.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若，则______.【答案】1【解析】分析】根据定积分的运算，得到，代入即可求解．【详解】由，解得．故答案为．【点睛】本题主要考查了定积分的计算，其中解答中求得被积函数的原函数，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14.某校高三年级有400名学生，在一次数学测试中，成绩都在（单位：分）内，其频率分布直方图如图，则这次测试数学成绩不低于100分的人数为_____.【答案】220【解析】【分析】根据先由总频率为1计算出a的值，再频率分布直方图计算出数学成绩不低于100分的频率，再乘总人数即可．【详解】根据频率分布直方图知：；计算出数学成绩不低于100分的频率为：；所以这次测试数学成绩不低于100分的人数为人【点睛】本题考查频率分布直方图，需要注意的是频率分布直方图的纵坐标为频率组距．属于基础题15.在中，内角所对的边分别为，若，，，则__________．【答案】【解析】【分析】由题已知角度的关系可求得,再根据正弦定理求即可.【详解】由且可求得,.故.又由正弦定理 .故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理运用以及和差角公式等.需要根据题中所给的信息决定所用的定理并计算,属于中等题型.16.两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，…，第个五角形数记作，已知，则前个五角形数中，实心点的总数为__________.[参考公式：]【答案】【解析】【分析】由题意得再累加求得即可得出第个五角形数.再进行求和即可.【详解】由题得.故前个五角形数中,实心点的总数故答案为：【点睛】本题主要考查了累加法求数列的通项公式方法以及数列求和的内容,属于中等题型.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.已知：函数在上是增函数，：，，若是真命题，求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】本题是组合命题真值判断，先分别求解P真和q真时的参数取值范围，再由简单的逻辑联结词判断p，q的真假．进而求参数取值范围【详解】解：真时，，，真时，，，为真时，或，∵为真，∴与都为真，∴，即【点睛】且命题：全真为真，一假即假．非命题：与原命题真值相反．18.已知，.（1）若，求的值；（2）若，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，求及的最小正周期.【答案】（1）1；（2），周期．【解析】【分析】(1)利用计算可得,再根据同角三角函数的关系的齐次式方法求解即可.(2)计算,利用辅助角公式求得再根据平移求得即可.【详解】（1）由得,则.（2）周期：【点睛】本题主要考查了平面向量平行的用法以及三角函数中的同角关系与辅助角公式和图像平移的方法等.属于基础题型.19.在平面直角坐标系中，设的内角所对的边分别为，且，.（1）求；（2）设，，且，与的夹角为，求的值.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】(1)利用正弦定理得.再由平方与余弦定理求得进而求得即可.(2)将(1)所得的代入条件即可求得,.再利用平面向量的公式求解即可.【详解】（1）∵∴∴由正弦定理得∵∴根据余弦定理得：∴（2）由（1）知,代入已知,并结合正弦定理得,解得或（舍去）所以,∴而∴．【点睛】本题主要考查了正弦定理角化边的用法以及余弦定理的用法等.同时也结合了向量的运用,属于中等题型.20.已知数列为等差数列.（1）求证：；（2）设，且其前项和，的前项和为，求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】(1)利用等差数列的性质,再根据基本不等式即可证明.(2)由等差数列的求和公式求解,再由裂项相消的缩放法求证即可.【详解】证明：（1）因为数列为等差数列,所以∴即,故结论成立.或：设数列的公差为,则即,故结论成立.（2）∵∴时：时：时：∴.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质运用,同时也考查了等差数列求和以及缩放证明数列不等式的问题,属于中等题型. 21.已知函数.（1）若，试判断函数是否存在零点，并说明理由；（2）若，，对，恒成立，求的最大值.【答案】（1）当时，只有一个零点. 时函数存在零点.（2）.【解析】【分析】(1)分与两种情况,结合函数图像与零点存在定理进行分析即可.(2) 化简得,构造函数求导求解函数的单调性,再构造函数求的最值即可.【详解】（1）由得令,①当时,结合函数图象知,显然只有一个零点.②当时,由于时,,,∴而时,,,∴所以时,函数存在零点.（2）时,∴,即令∴∴当时,由由∴在上单调递减,在上单调递增.∴时,∴则令则设由由∴在上单调递增,在上单调递减.∴当时,综上得当,时取最大值为.【点睛】本题主要考查了零点的存在定理以及利用导函数分析函数单调性,从而解决恒成立问题等.构造函数分析单调性是重点,属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）若、是直线上的动点，且，，求的面积.【答案】（1）的普通方程为，的直角坐标方程为.（2）.【解析】【分析】(1)根据参数方程与极坐标的运算化简即可.(2)求出到的距离再利用三角形面积公式求解即可.【详解】（1）,两式平方相加后可得曲线的方程为,直线的方程可化为,即,故,即直线的直角坐标方程为.（2）直线方程：到的距离.【点睛】本题主要考查了坐标系与参数方程的互化,同时也考查了点到直线的距离公式,属于基础题型.23.选修4-5：不等式选讲已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）证明：当，时，恒成立.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】(1)分,,三种情况进行分情况分段讨论即可.(2)根据,即可对去绝对值.再分与两种情况讨论即可.【详解】（1）时,或或或所以,原不等式的解集为.（2）由题意得：在是减函数,在是增函数.,成立.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解,以及参数讨论的方法等.属于中等题型.2020届高三数学上学期12月阶段性考试试题理（含解析）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则（）A. B. C. 1 D. 2【答案】C【解析】【分析】根据复数模长的性质直接求解即可.【详解】因为,故.故选：C【点睛】本题主要考查了复数模长的性质,属于基础题型.2.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】用列举法写出B集合，再求交集．【详解】，故选D【点睛】集合的运算--交集：取两个集合共同的元素．3.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出基本事件总数，再求《红楼梦》被选中包括的基本事件个数，由此可计算出任取2种进行阅读，取到《红楼梦》的概率．【详解】4本名著选两本共有种，选取的两本中含有《红楼梦》的共有种，所以任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为．故选B.【点睛】本题考查古典概型，属于基础题．4.若α是第二象限角，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据角的范围可确定，利用同角三角函数的平方关系和商数关系可求得结果.【详解】是第二象限角本题正确选项：【点睛】本题考查同角三角函数值的求解问题，属于基础题.5.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据对数函数和指数函数单调性，利用临界值和可得到所处的大致范围，从而得到结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查根据指数函数和对数函数单调性比较大小的问题，关键是能够确定临界值，利用临界值确定所求式子所处的大致区间.6.已知满足不等式组，则的最大值为（）A. 2B. -2C. 1D. -1【答案】D【解析】【分析】画出可行域,再分析的截距的最大值即可.【详解】画出可行域为阴影部分,易得在即处取最大值,代入有故选：D【点睛】本题主要考查了线性规划的一般问题,属于基础题型.7.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况．【详解】，故奇函数，四个图像均符合．当时，，，排除C、D当时，，，排除A．故选B．【点睛】图像分析采用排除法，一般可供判断的主要有：奇偶性、周期性、单调性、及特殊值．8.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. 32B. 33C. 31D. 34【答案】B【解析】【分析】将利用累加改写赋值表达式,再分析当的情况即可.【详解】由图即.故当有.当时, ,下一步得.此时满足下一步,下一步得.不满足退出.此时.故选：B【点睛】本题主要考查了框图与对数运算的综合问题,可将类的累加求和改写成和的结果的形式分析即可.属于中等题型.9.若曲线在点处的切线过点，则函数的单调递增区间为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用导数的几何意义求解，取切线斜率列方程，求解参数，再求解单调区间．【详解】，求导解得，则当时，．则的单调递增区间是．故选A【点睛】导数几何意义：函数在某点处的导数等于切线的斜率．已知两点坐标也可求斜率．本题还考察了导数在研究函数性质中的应用．10.等比数列的前项和为，若，，则（）A. 5B. 10C. 15D. -20【答案】C【解析】【分析】根据等比数列分段求和的性质求解即可.【详解】由题有等比数列的前项和满足成等比数列.设的公比为则,故.故,即.因为故.又故,故.故选：C【点睛】本题主要考查了等比数列前项和的分段求和成等比数列的性质,属于中等题型.11.向量，且，则与所成角的余弦值是（）A. B. C. D. 0【答案】B【解析】分析】将两边平方,再利用得出即可得模长与夹角的关系,再求与所成角的余弦值即可.【详解】两边平方有.又有设夹角为则,故.因为,故且夹角.不妨设.故设与所成角为则故选：B【点睛】本题主要考查了向量的基本运算,若已知模长关系与角度关系,可以直接利用向量的坐标表示进行计算从而简化运算量.属于中等题型.12.设函数的定义域为，若满足：①在内是单调增函数；②存在，使得在上的值域为，那么就称是定义域为的“成功函数”.若函数（且）是定义域为的“成功函数”，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用成功函数的定义以及对数函数的单调性可构造,再换元利用方程有两个正根进行列式求解即可.【详解】因为（且）是定义域为的“成功函数”,所以为增函数,且在上的值域为,故.即有两个不相同的实数根.又,即.令,即有两个不同的正数根,由零点存在性定理列式得 .解得故选：A【点睛】不同在于考查了新定义的函数问题以及零点的分布问题,同时也考查了与二次函数相关的复合函数问题,属于中等题型.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若，则______.【答案】1【解析】根据定积分的运算，得到，代入即可求解．【详解】由，解得．故答案为．【点睛】本题主要考查了定积分的计算，其中解答中求得被积函数的原函数，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14.某校高三年级有400名学生，在一次数学测试中，成绩都在（单位：分）内，其频率分布直方图如图，则这次测试数学成绩不低于100分的人数为_____.【答案】220【解析】【分析】根据先由总频率为1计算出a的值，再频率分布直方图计算出数学成绩不低于100分的频率，再乘总人数即可．【详解】根据频率分布直方图知：；计算出数学成绩不低于100分的频率为：；所以这次测试数学成绩不低于100分的人数为人【点睛】本题考查频率分布直方图，需要注意的是频率分布直方图的纵坐标为频率组距．属于基础题15.在中，内角所对的边分别为，若，，，则__________．【答案】【分析】由题已知角度的关系可求得,再根据正弦定理求即可.【详解】由且可求得,.故.又由正弦定理 .故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理运用以及和差角公式等.需要根据题中所给的信息决定所用的定理并计算,属于中等题型.16.两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，…，第个五角形数记作，已知，则前个五角形数中，实心点的总数为__________.[参考公式：]【答案】【解析】【分析】由题意得再累加求得即可得出第个五角形数.再进行求和即可.【详解】由题得.故前个五角形数中,实心点的总数故答案为：【点睛】本题主要考查了累加法求数列的通项公式方法以及数列求和的内容,属于中等题型.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.已知：函数在上是增函数，：，，若是真命题，求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】本题是组合命题真值判断，先分别求解P真和q真时的参数取值范围，再由简单的逻辑联结词判断p，q的真假．进而求参数取值范围【详解】解：真时，，，真时，，，为真时，或，∵为真，∴与都为真，∴，即【点睛】且命题：全真为真，一假即假．非命题：与原命题真值相反．18.已知，.（1）若，求的值；（2）若，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，求及的最小正周期.【答案】（1）1；（2），周期．【解析】【分析】(1)利用计算可得,再根据同角三角函数的关系的齐次式方法求解即可.(2)计算,利用辅助角公式求得再根据平移求得即可.【详解】（1）由得,则.（2）周期：【点睛】本题主要考查了平面向量平行的用法以及三角函数中的同角关系与辅助角公式和图像平移的方法等.属于基础题型.19.在平面直角坐标系中，设的内角所对的边分别为，且，.（1）求；（2）设，，且，与的夹角为，求的值.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】(1)利用正弦定理得.再由平方与余弦定理求得进而求得即可.(2)将(1)所得的代入条件即可求得,.再利用平面向量的公式求解即可.【详解】（1）∵∴∴由正弦定理得∵∴根据余弦定理得：∴（2）由（1）知,代入已知,并结合正弦定理得,解得或（舍去）所以,∴而∴．【点睛】本题主要考查了正弦定理角化边的用法以及余弦定理的用法等.同时也结合了向量的运用,属于中等题型.20.已知数列为等差数列.（1）求证：；（2）设，且其前项和，的前项和为，求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】(1)利用等差数列的性质,再根据基本不等式即可证明.(2)由等差数列的求和公式求解,再由裂项相消的缩放法求证即可.【详解】证明：（1）因为数列为等差数列,所以∴即,故结论成立.或：设数列的公差为,则即,故结论成立.（2）∵∴时：时：时：∴.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质运用,同时也考查了等差数列求和以及缩放证明数列不等式的问题,属于中等题型.21.已知函数.（1）若，试判断函数是否存在零点，并说明理由；（2）若，，对，恒成立，求的最大值.【答案】（1）当时，只有一个零点. 时函数存在零点.（2）.【解析】【分析】(1)分与两种情况,结合函数图像与零点存在定理进行分析即可.(2) 化简得,构造函数求导求解函数的单调性,再构造函数求的最值即可.【详解】（1）由得令,①当时,结合函数图象知,显然只有一个零点.②当时,由于时,,,∴而时,,,∴所以时,函数存在零点.（2）时,∴,即令∴∴当时,由由∴在上单调递减,在上单调递增.∴时,∴则令则设由由∴在上单调递增,在上单调递减.∴当时,综上得当,时取最大值为.【点睛】本题主要考查了零点的存在定理以及利用导函数分析函数单调性,从而解决恒成立问题等.构造函数分析单调性是重点,属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）若、是直线上的动点，且，，求的面积.【答案】（1）的普通方程为，的直角坐标方程为.（2）.【解析】【分析】(1)根据参数方程与极坐标的运算化简即可.(2)求出到的距离再利用三角形面积公式求解即可.【详解】（1）,两式平方相加后可得曲线的方程为,直线的方程可化为,即,故,即直线的直角坐标方程为.（2）直线方程：到的距离.【点睛】本题主要考查了坐标系与参数方程的互化,同时也考查了点到直线的距离公式,属于基础题型.23.选修4-5：不等式选讲已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）证明：当，时，恒成立.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】(1)分,,三种情况进行分情况分段讨论即可.(2)根据,即可对去绝对值.再分与两种情况讨论即可.【详解】（1）时,或或或所以,原不等式的解集为.（2）由题意得：在是减函数,在是增函数.,成立.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解,以及参数讨论的方法等.属于中等题型.。

2020届高三数学小题狂练试题含答案(共40份)

2020届高三数学小题狂练一姓名得分1．已知2{230}A x x x =--≤，{}B x x a =<，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 .2．已知2()|log |f x x =，则=+)23()43(f f .3．若平面向量b 与向量a =(1,2)-的夹角是180o，且|b |=b = .4．已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个命题： ①若αβ⊥，l β⊥，则l ∥α； ②若l α⊥，l ∥β，则βα⊥； ③若l 上有两个点到α的距离相等，则α//l ； ④若αβ⊥，α∥γ，则βγ⊥. 其中正确命题的序号是 .5．设函数()24xf x x =--，0x 是()f x 的一个正数零点，且0(,1)x a a ∈+，其中a ∈N ，则a = .6．已知α为第二象限的角，且53sin =α，则=+)4cos(πα . 7．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3A π=，3=a ，1=b ，则=c .8．已知函数()cos f x x x =，则'()3f π=_________.9．已知等差数列{n a }中，0n a ≠，若m ∈N ，1m >，2110m m m a a a -+-+=，2138m S -=，则m = .10．若关于x 的方程10kx +=有两个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是 .11．设周期函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若)(x f 的最小正周期为3，且2)1(->f ，mm f 3)2(-=，则m 的取值范围是 . 12．分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数，依次记为m 和n ，则m n >的概率为 .答案 1．(3,)+∞ 2．1 3．(3,6)- 4．②④ 5．26． 7．28．12 9．10 10．1[,0)2-11．)3,0()1,(⋃--∞ 12．352020届高三数学小题狂练二姓名得分1．已知复数z 满足(2－i)z =5，则z = .2．已知向量24()，a =，11()，b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是 . 3．若连续投掷两枚骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标(,)m n ，则点P 落在圆1622=+y x 内的概率为_________.4．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()log f x x =，则方程()1f x =的解集是 .5．已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M m -= .6．若三条直线320x y -+=，230x y ++=，0mx y +=不能构成三角形，则m 的值构成的集合是 .7．由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 . 8．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则||x y -的值为 .9．已知(1)(1)()sin 33x x f x ππ++=，则(1)(2)(2015)f f f +++=L .10．数列{}n a 中，11a =，1411++=+n n n a a a = .11．已知点G 是ABC ∆的重心，若120A ∠=︒，2AB AC =-u u u r u u u rg ，则||AG u u u r 的最小值是 .12．双曲线221x y n-=（1n >）的两焦点为1F ，2F ，点P 在双曲线上，且满足12PF PF +=，则12PF F ∆的面积为 .答案1．2＋i 2．3- 3．294．{2,－12}5．326．{3-，1-，2} 7．7 8．4 9．010．1276411．23：1()3AG AB AC =+u u ur u u u r u u u r12．1：12PF PF +=1212S PF PF =g ，平方减2020届高三数学小题狂练三姓名得分1．若12z a i =+，234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值是 . 2．抛物线2y ax =（a 为非零常数）的准线方程为 .3．设函数()log a f x x =（0a >，1a ≠）满足(9)2f =，则(9)af 的值是 . 4．曲线C ：()sin xf x x e =+在0x =处的切线方程为 .5．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若3S ，9S ，6S 成等差数列，则数列{}n a 的公比q 为 .6．若a ，b≤m 的最小值是 .7．椭圆22143x y +=的右焦点为F ，点(1,1)A ，点M 是椭圆上的任意一点，则2MA MF +的最小值为 . 8．设x ，y 均为正实数，且312121=+++y x ，则xy 的最小值为 . 9．若直线l 与圆224x y +=相交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，且12122x x y y +=，则AB = .10．小张、小李、小王三位同学在足球场上做传球训练，规定：持球的任何一人必须将球传给另两位同学中的一人．开始时球在小王脚下，传球4次后，则球仍然回到小王脚下的概率为 .11．已知()f x =||2x x a x -+，若()f x 在R 上恒为增函数，则a 的取值范围是 .12．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在准线上，且12PF PF ⊥，124PF PF ab =g ，则该双曲线的离心率等于 .答案 1．38 2．14y a=- 3．64．210x y -+=5．2-67．38． 16（去分母）9．2（2OA OB ⋅=u u u r u u u r ，3AOB π∠=）10．38（树状图，616）11．[2,2]-（x a ≥：0x a ≤；x a <：0x a ≥）12（由射影公式得222()a m c c c =+2222c a =+，222()a n c c c=-22b =，代入222216m n a b =）或（2ab h c=，中线PO c =，2222()a h c c =-）2020届高三数学小题狂练四姓名得分1．若集合2{5,log (3)}A a =+，集合{,}B a b =，{2}A B =I ，则A B U = . 2．若复数2(56)(3)i z m m m =-++-是纯虚数，则实数m = . 3．若10≤≤x ，且21y x -≥，则2z x y =+的最小值为 .4．若函数32()f x ax x x =-+在R 上单调递增，则a 的取值范围是 . 5．在等差数列{}n a 中，638a a a =+，则前9项之和9S = . 6．已知ABC ∆中，2a =，b =45A =︒，则B 等于 .7．曲线sin cos y t x x =+在0=x 处的切线方程为1+=x y ，则=t . 8．曲线C1+=上的点到原点的距离的最小值为_________.9．已知直线l 的倾斜角为︒120，与圆M ：0222=-+y y x 交于P ，Q 两点，若0OP OQ ⋅=u u u r u u u r（O 为原点），则l 在x 轴上的截距为 .10．如图，在ABC ∆中，1tan 22C =，0AH BC ⋅=u u u r u u ur ，0)(=+⋅CB CA AB ，则过点C 以A ，H 为两焦点的双曲线的离心率为 .11．在由正整数构成的无穷数列{}n a 中，对任意的正整数n ，都有1n n a a +≤，且对任意的正整数k ，该数列中恰有21k -个k ，则2015a 的值等于 .12．已知函数()f x 满足(2016)1f =，)1(-x f 为奇函数，)1(+x f 为偶函数，则(4)f 的值等于 .BACH答案1．{1，2，5} 2．2 3．1 4．1[,)3+∞ 5．0 6．60°或120° 7．1 8．429y b =+ 10．2 11．4512．1-：(1)(1)f x f x -=---，(1)(1)f x f x -=+，于是()(2)f x f x =---，(2)()f x f x -=，所以(2)(2)f x f x -=---，进而得周期为82020届高三数学小题狂练五姓名得分1．已知向量(1,3)m →=，(2,1)n a a →=-，若→→⊥n m ，则a = .2．已知7-，1a ，2a ，1-四个实数成等差数列，4-，1b ，2b ，3b ，1-五个实数成等比数列，则212b a a -= . 3．正方体的内切球与其外接球的体积之比为 .4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线5x y +=下方的概率是 .5．若直线10x my ++=与线段AB 有公共点，其中(2,3)A -，(3,2)B ，则实数m 的取值范围是 .6．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，则双曲线22221y x a b-=的离心率为 .7．设x ，y 为实数，且511213x y i i i+=---，则x y += .8．已知向量a r 与b r 的夹角为120o，||3a =r ，||a b +=r r ||b r = .9．在ABC ∆中，3sin 4cos 6A B +=，3cos 4sin 1A B +=，则C ∠等于 . 10．与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是 .11．函数()f x 对于任意x 满足()(2)1f x f x +=，且(1)5f =-，则((5))f f = . 12．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，定义在R 上的奇函数()g x 的图象过点(1,1)-且()(1)g x f x =-，则(2015)(2016)f f +=__________.答案 1．3 2．1-3．1∶ 4．165．1[2,]3-6 7．4 8．4 9．6π（若6A B π+=，1sin 2A <，4cos 4B ≤）10．22(2)(2)2x y -+-= 11．15-：1(1)5f -=-12．1-（由()(1)g x f x -=--得()(1)g x f x -=+，故(1)(1)f x f x --=+，于是(4)()f x f x +=，所以(1)(0)(0)(1)f f g g -+=+）2020届高三数学小题狂练六姓名得分1．设集合{0,1,2}M =，{2,}N x x a a M ==∈，则集合=N M I . 2．已知∈x R ，[]x 表示不大于x 的最大整数，如[]π=3，[]-=-121，[]120=，则使[]x -=13成立的x 的取值范围是 .3．定义在R 上的奇函数)(x f 满足1)2(=f ，且)2()()2(f x f x f +=+，则(1)f = .4．已知ααcos sin 2=，则ααα2cos 12sin 2cos ++的值等于 . 5．若关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集为(1,)m ，则实数m = .6．若向量a v ，b v满足||a =v ||1b =v ，()1a a b +=v v vg ，则向量a v ，b v 夹角大小为 .7．若cos 2sin()4απα=-，则cos sin αα+的值为 . 8．化简tan 70cos10tan 702cos 40-oo o o o= . 9．已知0a >且1a ≠，2()xf x x a =-，若当x ∈[1,1]-时均有1()2f x <，则实数a 的范围是 .10．已知正项数列{}n a 的首项11a =，前n 和为n S ，若以(,)n n a S 为坐标的点在曲线1(1)2y x x =+上，则数列{}n a 的通项公式为 . 11．已知02x π<<，且t 是大于0的常数，1()sin 1sin tf x x x=+-的最小值为9，则t = . 12．设()f x 是定义在R 上的函数，且满足(2)(1)()f x f x f x +=+-，如果3(1)lg2f =，(2)lg15f =，则(15)f = .答案 1．}2,0{ 2．[4,5) 3．21 4．3 5．2 6．135︒ 7．128．29．1(,1)(1,2)2U 讨论最大值 10．n a n = 11．412．1（(3)()f x f x +=-）2020届高三数学小题狂练七姓名得分1．若集合{1,1}M =-，11{|242x N x x +=<<∈Z}，，则M N =I . 2．已知cos ,0,()(1)1,0,x x f x f x x π≤⎧=⎨-+>⎩则41()()33f f +-的值为 .3．已知()(1)(21)(31)(1)f x x x x x nx =+++⋅⋅⋅+，求=')0(f .4．设O 是ABC ∆内部一点，且2OA OC OB +=-u u u r u u u r u u u r，则AOB ∆与AOC ∆的面积之比为 .5．已知函数2()log 3f x x x =⋅+，直线l 与函数()f x 图象相切于点(1,)A m ，则直线l 的方程的一般式为 .6．扇形OAB 半径为2，圆心角60AOB ∠=︒，点D 是弧AB 的中点，点C 在线段OA 上，且3=OC ．则OB CD ⋅的值为 .7．已知0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是 .8．已知ABC ∆的面积等于3，1BC =，3π=∠B ，则tan C 的值为 .9．如果圆2244100x y x y +---=上至少有三个点到直线l ：0ax by +=的距离为l 的倾斜角的取值范围是 .10．若函数)(x f 是定义在（0,+∞）上的增函数，且对一切0x >，0y >满足)()()(y f x f xy f +=，则不等式)4(2)()6(f x f x f <++的解集为 .11．若直线6x π=是函数sin cos y a x b x =+图像的一条对称轴，则直线0ax by c ++=的倾斜角为 . 12．已知正实数x ，y 满足111x y +=，则9411y xx y +--的最小值为 .答案 1．{1}- 2．2 3．1 4．1∶25．(ln 2)3ln 210x y -+-=6．3（CD CO OD =+u u u r u u u r u u u r）7．(4,2)-8．- 9．5[,]1212ππ10．(0,2)11．150°（(0)()3f f π=）12．25：令10m x=>，10n y =>，则1m n +=，于是9411y x x y +--49449911m n m nm n n m++=+=+--25≥2020届高三数学小题狂练八姓名得分1．复数z 满足方程(2)z z i =+，则z = .2．设集合{|}M x x m =≤，{|2}xN y y -==，若M N ⋂≠∅，则实数m 的取值范围是 .3．若函数2()2x x af x a+=-是奇函数，则a = .4．抛物线24x y =上一点A 的横坐标为2，则点A 与抛物线焦点的距离为 . 5．掷一个骰子的试验，事件A 表示“大于2的点数出现”，事件B 表示“大于2的奇数点出现”，则一次试验中，事件A B +发生概率为 .6．过点(1,4)A -作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ，则l 的方程为 . 7．若ABC ∆的三条边长2a =，3b =，4c =，则C ab B ca A bc cos 2cos 2cos 2++的值为 .8．已知函数)(x f 的导数()(1)()f x a x x a '=+-，若()f x 在x a =处取到极大值，则常数a 的取值范围是 .9．已知二次函数2()f x ax bx c =++，且不等式()0f x <的解集为(,1)(3,)-∞+∞U ，若)(x f 的最大值小于2，则a 的取值范围是 .10．在OAB ∆中，M 为OB 的中点，N 为AB 的中点，ON ，AM 交于点P ，若AP mOA nOB =+u u u v u u u v u u u v（m ，n ∈R ），则n m -= .11．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项的和，n T 为等差数列{}n b 的前n 项的和，若n m S T =2(1)n m m +，则510a b =_________.12．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，它的图象关于直线2x =对称，当[02]x ∈,时，tan [01),()(1)[12],x x f x f x x ∈⎧=⎨-∈⎩,,,,则(5)6f π--=__________.答案 1．1i -+ 2．(0,)+∞ 3．1± 4．2 5．326．4y =或34130x y +-= 7．29 8．(1,0)- 9．(2,0)-10．1：连MN ，相似 11．920（59101921929a Sb T =） 12．3（()()f x f x -=，(2)(2)f x f x +=-+，∴()(4)f x f x =-+((4))f x =--+，周期为4，(5)(1)(1)()tan 66666f f f f πππππ--=--=+===）2020届高三数学小题狂练九姓名得分1．函数()sin(2)f x x π=+的最小正周期是 .2．若直线210x ay +-=与01)1(=+--ay x a 平行，则a 的值为 . 3．抛物线22y x =-的焦点坐标是 .4．函数20.5()log (65)f x x x =-+的单调减区间是 .5．已知3sin 5α=，(,)2παπ∈，则tan()4πα+值为 . 6．某人有甲、乙两只电子密码箱，欲存放三份不同的重要文件，则此人使用同一密码箱存放这三份重要文件的概率是 . 7．函数sin()cos()66y x x ππ=++的图象离原点最近的对称轴方程为 .8．在等比数列{}n a 中，0n a >，且211a a =-，439a a =-，则45a a += .9．若3213()32f x x x ax =-+在[1,4]-上是减函数，则实数a 的取值范围是 .10．已知向量a r ，b r 满足||1a =r ，||b =r a b +=r r，则||a b -=r r .11．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为 .12．对于任意两个实数a ，b ，定义运算“⊗”如下：,,,.a a b a b b a b ≤⎧⊗=⎨>⎩则函数2()[(6)(215)]f x x x x =⊗-⊗+的最大值为_________.答案 1．22．123．1(0,)8-4．),5(+∞5．17 6．147．12x π=8．27 9．(,4]-∞- 10．2 11．36π 12．92020届高三数学小题狂练十姓名得分1．方程2lg(1)1lg(1)x x ++=-的解是 . 2．已知复数i z24-=（i 为虚数单位），且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，则实数a 的取值范围为 .3．曲线x x f ln )(=在e x =处的切线方程为 .4．随机向一个正三角形内丢一粒豆子，则豆子落在此三角形内切圆内的概率为 . 5．若双曲线122=-y x 右支上一点(,)A m n 到直线x y =的距离为2，则m n += .6．函数5x y x a+=-在(1,)-+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是 . 7．ABC ∆中，AP 为BC 边上的中线，||3AB =u u u r ，2-=⋅，则||AC =u u u r.8．直线AB 过抛物线2y x =的焦点F ，与抛物线相交于A ，B 两点，且|AB |=3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 .9．设数列{}n a 的通项为210n a n =-（n ∈N *），则=+++||...||||1521a a a . 10．已知函数()cos f x x =（(,3)2x ππ∈），若方程a x f =)(有三个不同的实根，且三根从小到大依次构成等比数列，则a 的值为 .11．若函数()f x 满足(2)()1f x f x +=-+，且(1)2007f =-，则(2015)f = . 12．对于任意实数x ，符号[]x 表示x 的整数部分，即[]x 是不超过x 的最大整数．那么]1024[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 22222+++++Λ= .答案1．11x = 2．(2,6) 3．0x ey -=4 5．126．(5,1]--7 8．549．130 10．21-（三根：α，2πα-，2πα+） 11．2008：(2)()1f x f x +=-+，(4)(2)1f x f x +=-++，4T =，(3)(1)1f f =-+ 12．8204：1+1+2(23-22)+3(24-23)+…+9(210-29)+10=1*21+2*22+3*23+…+9*29+102020届高三数学小题狂练十一姓名得分1．设集合1{|0}2M x x =-<，{}210N x x =+>，则M N =I . 2．幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8--，则满足()27f x =的x 的值是 .3．过点(1,0)且倾斜角是直线210x y --=的倾斜角的两倍的直线方程是 . 4．若椭圆221x my +=（01m <<，则它的长轴长为 . 5．从分别写有1，2，3，4，5的五张卡片中任取两张，则这两张卡片上的数字和为偶数的概率为 .6．已知复数11z i =-，2||3z =，那么||21z z -的最大值是 . 7．若函数213ln1xy x x+=+-的最大值与最小值分别为M ，m ，则M m += . 8．设1232,2,()log (1),3,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩则不等式()2f x >的解集为 . 9．若()sin()1f x A x ωϕ=++（0ω>，||<πϕ）对任意实数t ，都有ππ()()33f t f t +=-+．记()cos()1g x A x ωϕ=+-，则π()3g = .10．已知在同一平面上的三个单位向量a r ，b r ，c r，它们两两之间的夹角均为120o ，且 |1ka b c ++>r r r｜，则实数k 的取值范围是 .11．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，交准线于点C ．若2CB BF =uu r uu u r，则直线AB 的斜率为 .12．已知ABC ∆三边a ，b ，c 的长都是整数，且a b c ≤≤，如果b m =（m ∈N *），则这样的三角形共有个（用m 表示）．答案1．11{|}22x x -<<2．133．4340x y --= 4．4 5．526．3+ 7．68．),10()2,1(+∞Y 9．1-10．{|0k k <或2}k >11．BH l ⊥，抛物线定义得sin 0.5BCH =，故倾斜角为60︒或120︒） 12．(1)2m m +（a m c ≤≤，则m c a m ≤<+，1a =时1个，…，a m =时m 个）2020届高三数学小题狂练十二姓名得分1．若复数z 满足方程1-=⋅i i z ，则z = .2．A ，B ，C 三种不同型号的产品的数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样的方法抽出样本容量为n 的样本，样本中A 型产品有16件，那么样本容量n 为 .3．底面边长为2的正四棱锥的体积为 .4．若点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点，则点P 到直线2-=x y 的最小距离为 .5．袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是 .6．数列{}n a 中，12a =，21a =，11112-++=n n n a a a （2n ≥，n ∈N ），则其通项公式为n a = .7．已知双曲线C 与椭圆221925y x +=有相同的焦点，它们离心率之和为145，则C 的标准方程是 .8．已知二次函数f x ()满足f x f x ()()11+=-，且f f ()()0011==，，若f x ()在区间[,]m n 上的值域是[,]m n ，则m n +的值等于 .9．已知函数()cos f x x ω=（0ω>）在区间π[0]4, 上是单调函数，且3π()08f =，则ω= . 10．已知PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且△PAB ，△PAC ，△PBC 的面积分别为1.5cm 2，2cm 2，6cm 2，则过P ，A ，B ，C 四点的外接球的表面积为 cm2.11．设椭圆22221y x a b+=（0a b >>）的两个焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，且120PF PF ⋅=u u u r u u u u r，12tan 2PF F ∠=，则该椭圆的离心率等于 .12．在ABC ∆中，已知4AB =，3AC =，P 是边BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP ⋅u u u r u u u r= .答案1．1i-2．803．4 345．1 96．2 n7．221 412y x-=8．1（1n≤）9．43或410．26π（补形）1112．7 2 -2020届高三数学小题狂练十三姓名得分1．函数2()12sin f x x =-的最小正周期为 .2．若函数()log (01)a f x x a =<<在闭区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3倍，则a = .3．函数x y sin =的定义域为],[b a ，值域为21,1[-]，则a b -的最大值和最小值之和为 .4．函数32()267f x x x =-+的单调减区间是 . 5．若2(3),6,()log ,6,f x x f x x x +<⎧=⎨≥⎩则(1)f -的值为 .6．设等差数列{}n a 的公差0d ≠，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = .7．在直角坐标系xOy 中，i r ，j r分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角ABC ∆中，AB i j =+u u u r r r ，2AC i m j =+u u u r r r，则实数m = .8．若函数2()x f x x a=+（0a >）在[1,)+∞上的最大值为3，则a 的值为 . 9．若不等式1,0ax x a >-⎧⎨+>⎩的解集是空集，则实数a 的取值范围是 .10．已知两圆1C ：22210240x y x y +-+-=，2C ：222280x y x y +++-=，则以两圆公共弦为直径的圆的方程是 .11．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交其准线于点C ，且2BC FB =u u u r u u u r，12AF =，则p 的值为 .12．从椭圆上一点A 看椭圆的两焦点1F ，2F 的视角为直角，1AF 的延长线交椭圆于B ，且2AF AB =，则椭圆的离心率为__________.答案 1．π2．43．2π 4．[0,2]5．3 6．4 7．0或2-81-讨论a 9．(,1]-∞-10．5)1()2(22=-++y x （圆心在公共弦上，3λ=-）11．6：作AH Ox ⊥，30AFH ∠=︒，12sin 30622A p px =+︒=+，12cos 30A y =︒=12269-不扣分）：2AF m =，2BF =，24m a +=，故(4m a =-，12AF a m =-，22212(2)AF AF c +=2020届高三数学小题狂练十四姓名得分1．设集合{0,}P m =，2{|250,}Q x x x x Z =-<∈，若P Q ≠∅I ，则m 的值等于 .2．若函数sin3xy π=（0x t ≤≤）的值域为[1,1]-，则正整数t 的最小值是 .3．若函数23xy t =⨯+的图象不经过第二象限，则t 的取值范围是 .4．已知()y f x =是奇函数，当0x <时，2()f x x ax =+，且(2)6f =，则a = . 5．A 是圆O 上一定点，在圆O 上其它位置任取一点B ，连接AB ，则AB 的长度不小于圆O 半径长度的概率为 .6．若数列}{n a 满足12,01,1,1,n n n n n a a a a a +≤≤⎧=⎨->⎩且167a =，则2015a = .7．已知两点(2,0)A -，(0,2)B ，点C 是圆0222=-+x y x 上任意一点，则ABC ∆面积的最小值是 .8．已知1F ，2F 分别是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若︒=∠9021PF F ，且21PF F ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是 .9．已知函数()f x ，()g x 满足(5)5f =，3)5('=f ，(5)4g =，1)5('=g ，则函数()2()f x yg x +=的图象在5x =处的切线方程为 .10．若存在[1,3]a ∈，使得不等式2(2)20ax a x +-->成立，则实数x 的取值范围是 .11．若实数a ，b 满足410ab a b --+=（1a >），则(1)(2)a b ++的最小值为 . 12．已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且1⋅=c a ，1⋅=c b，||=c 正实数t ，1||t t++c a b 的最小值为 .答案1．1或2 2．53．(,2]-∞- 4．55．23 6．377．3-8．59．51630x y -+= 10．{|x 1x <-或23x >}补 11．27（消a ）12．2020届高三数学小题狂练十五姓名得分1．复数13i z =+，21i z =+，则复数12z z 在复平面内对应的点位于第___ ___象限. 2．函数224x x y -=的值域是 .3．等差数列{}n a 中，若18153120a a a ++=，则9102a a -= . 4．若不等式1420xx a +-->在[2,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为 .5．函数3sin(2)([0,])6y x x ππ=+∈的单调减区间是 .6．若经过点(1,0)P -的直线与圆224230x y x y ++-+=相切，则这条直线在y 轴上的截距是 .7．若3()2f x x ax =--在区间(1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 . 8．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且sin cos cos A B Ca b c==，则A ∠= .9．实数x ，y 满足350x y --=，[1,3]x ∈，则2yx -的取值范围是 . 10．若33,0,()0,xx a x f x x a -+-<⎧=⎨≥⎩（0a >且1a ≠）是),(+∞-∞上的减函数，则a 的取值范围是 . 11．已知函数||sin 1()||1x x f x x -+=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m += .12．已知点O 在ABC ∆内部，且有24OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r，则OAB ∆与OBC ∆的面积之比为 .答案1．四 2．(0,4] 3．24 4．(,8)-∞ 5．2[,]63ππ6．1 7．(,3]-∞ 8．90o9．(,2][4,)-∞+∞U 10．2(0,]311．212．4∶1（OA OB BA =+u u u r u u u r u u u r ，1477OC OB BC BO BA BC =+⇒=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，平行四边形，相似三角形）2020届高三数学小题狂练十六姓名得分1．设复数112z i =-，2x x i =+（x ∈R ），若12z z 为实数，则x = . 2．双曲线过点P，且渐近线方程为y x =，则此双曲线的方程为 . 3．已知212cos2sin=+θθ，则cos 2θ= . 4．若关于x 的方程3sin 4cos 21x x m +=-有解，则实数m 的取值范围是 . 5．与圆22(3)(1)2x y -++=相切，且在两坐标轴上有相等截距的切线共有________条.6．已知向量a r ，b r ，c r 满足0a b c ++=r r r r，||1a =r ，||2b =r ，且a r ⊥c r ，则a r 与b r 的夹角大小是 .7．在数列}{n a 中，21=a ，其前n 项和为n S ，若数列{}nS n是公差为2的等差数列，则}{n a 的通项公式为 .8．若函数2()lg 22f x x a x =⋅-+在区间(1,2)内有且只有一个零点，那么实数a 的取值范围是 .9．已知()f x 是以2为周期的偶函数，且当[0,1]x ∈时，()f x x =．若在区间[1,3]-内，方程()1f x kx k =++有4个实数解，则实数k 的取值范围是 .10．已知(,)P x y 满足约束条件30,10,10,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩O 为坐标原点，(3,4)A ，则||cos OP AOP ⋅∠u u u r的最大值是 .11．抛物线C ：2y x =上两点M ，N 满足12MN MP =u u u u r u u u r，若(0,2)OP =-u u u r ，则||MN u u u u r = . 12．若0x y >>323xy y +-的最小值为 .答案 1．12-2．2212x y -=3．81-4．[2,3]- 5．3 6．120o7．42n a n =-8． 9．1(,0)3- 10．115：1(34)5x y +11(,)N m n ，(2,22)M m n +）12．10（4)(22x y x y y xy ≤-=-，3212()f x x≥+，再求导）2020届高三数学小题狂练十七姓名得分1．集合{3,2}aA =，{,}B a b =，若{2}A B =I ，则A B =U .2．已知函数)1(log )(+=x x f a 的定义域和值域都是[0,1]，则实数a 的值是 . 3．若(1,1)a ∈-，则方程20x x a -+=有实根的概率等于 . 4．若函数m y x +=-|1|)21(的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是 .5．若方程02)1(22=-+++a x a x 有一根比1大，另一根比1-小，则a 的取值范围是 .6．若函数()sin()f x x ωφ=+对任意的实数x 都有)3()3(x f x f -=+ππ，则)3(πf 的值等于 .7．若锐角α，β满足4)tan 31)(tan 31(=++βα，则βα+= . 8．设曲线3233+-=x x y 上任一点处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是 .9．已知1F ，2F 为椭圆2212x y +=的两个焦点，过1F 作倾斜角为4π的弦AB ，则2F AB ∆的面积为 .10．已知()f x 为奇函数，且(31)f x +是周期为3的周期函数，(3)2f =，则(60)f 的值等于 .11．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，若此双曲线的离心率为e ，且12||||PF e PF =，则e 的最大值为 . 12．已知数列{}n a 满足1111n n n n a a n a a +++-=-+（n 为正整数），且26a =，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________.答案1．{1，2，3} 2．2 3．584．)0,1[- 5．)0,1(- 6．1±7．3π 8．),32[)2,0[πππY9．4310．()f x 周期为9，(60)(3)f f =- 11．21+（2em m a -=，2em m c +≥，相除得11e e e +≥-） 12．22n n -（由1111n n n n a a n a a +++-=-+得)2(11111≥---=++n n n a n a n n ，令na b n n =，则)2(1111≥---=+n n b n n b n n ，故)1(111---=+n n n b n b n n ，…，1211223⨯-=b b ，累加得)1)(12(1++=+n n a n ，)3(22≥-=n n n a n ．又11a =，26a =也满足n n a n -=22，故对n ∈N *都有n n a n -=22）2020届高三数学小题狂练十八姓名得分1．已知全集2{2,4,1}U a a =-+，集合{1,2}A a =+，若}7{=A C U ，则实数a 的值等于 .2．已知双曲线2221x y a-=（0a >）的一条渐近线与直线032=+-y x 垂直，则该双曲线的准线方程是 .3．在数列{}n a 中，已知17a =-，25a =，且满足22n n a a +=+（n ∈N *），则12318a a a a ++++L = .4．已知θ是第三象限角，且95cos sin 44=+θθ，那么θ2sin = . 5．将3OM OA OB OC =--u u u u r u u u r u u u r u u u r写成AM xAB y AC =+u u u u r u u u r u u u r 时，x y += .6．当228x x -<时，函数252x x y x --=+的最小值是 .7．若直角三角形的三边成等比数列，则较小内角的正弦值是 .8．已知函数()y f x =满足(3)(3)f x f x -=+，且有n 个零点1x ，2x ，…，n x （n ∈N *），则12n x x x +++L = .9．过抛物线24y x =的焦点F 作斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），若AF FB λ=u u u r u u u r (1)λ>，则λ= .10．若{|2}xx kx >=R ，则实数k 的取值范围是 .11．已知函数2()1f x x =-，()g x x =-，令{}()max (),()F x f x g x =（max 表示最大值），则()F x 的最小值是 .12．已知00(,)x y 是直线2x y a +=-与圆2222x y a a +=++的公共点，则00x y 的取值范围是 .答案 1．32．x = 3．1264 5．2- 6．3-7．12- 8．3n9．3+21y y -） 10．[0,ln 2)e （21log ln 2e =）1112．(,1][16,)-∞+∞U （自编：由d r ≤得a 的取值范围是6a ≤-或0a ≥，再用222000000()2x y x y x y +=++得00252ax y -=）2020届高三数学小题狂练十九姓名得分1．设a 是实数，且211ii a +++是纯虚数，则=a . 2．已知0a >，0b <，),(a b m ∈且0≠m ，则m1的取值范围是 .3．直线2(1)(3)750m x m y m ++-+-=与直线(3)250m x y -+-=垂直的充要条件是 .4．有一棱长为a 的正方体框架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地膨胀（气球保持为球的形状），则气球表面积的最大值为 . 5．若函数1)(2++=mx mx x f 的定义域是R ，则m 的取值范围是 .6．已知α，β均为锐角，且cos()sin()αβαβ+=-，则tan α的值等于 . 7．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，13n n a S +=（n =1，2，3，…），则410log S = .8．已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+，则)6(f 的值为 .9．设双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右顶点为E ，左准线与两渐近线的交点分别为A ，B 两点，若60AEB ∠=︒，则双曲线C 的离心率e 等于 . 10．函数)sin()(θ+=x x f （||2πθ<）满足对任意x ∈R 都有)6()6(x f x f --=+ππ，则θ= .11．在△ABC 中，AB =2BC =，CA =BC a =u u u r r ，CA b =u u u r r ，AB c =u u u r r，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=r r r r r r .12．过抛物线214y x =准线上任一点作该抛物线的两条切线，切点分别为M ，N ，则直线MN 过定点__________.答案 1．1-2．),1()1,(+∞⋃-∞ab 3．3m =或2m =-4．22a π 5．[0,4] 6．1 7．9 8．0 9．210．6π-11．6-12．(0,1)（解法1：(,1)a -，2240i i x ax --=，122x x a +=，2222121212()248x x x x x x a +=+-=+，于是MN中点为22(,)2a a +，21122122MN y y x x a k x x -+===-，直线MN ：12ay x =+，过定点(0,1)．解法2：(,1)a -，1111()2y y x x x -=-，1111122y x a y --=-，11220ax y -+=．同理可得22220ax y -+=．故直线MN 方程为220ax y -+=，过(0,1)）2020届高三数学小题狂练二十姓名得分1．已知集合2{|log 1}M x x =<，{|1}N x x =<，则M N I = .2．双曲线2213x y -=的两条渐近线的夹角大小为 .3．设a 为常数，若函数1()2ax f x x +=+在(2,2)-上为增函数，则a 的取值范围是 . 4．函数)2(log log 2x x y x +=的值域是 .5．若函数()23f x ax a =++在区间)1,1(-上有零点，则a 的取值范围是 .6．若1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 .7．已知函数12||4)(-+=x x f 的定义域是[,]a b （a ，b 为整数），值域是[0,1]，则满足条件的整数数对),(b a 共有个.8．设P ，Q 为ABC ∆内的两点，且2155AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，AQ uuu r 23AB =u u u r 14+AC u u ur ，则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积之比为 . 9．在等差数列{}n a 中，59750a a +=，且95a a >，则使数列前n 项和n S 取得最小值的n 等于 . 10．设x ，y ∈R +，312121=+++y x ，则xy 11．在正三棱锥A BCD -中，E ，F 分别是AB ，BC EF DE ⊥，1BC =，则正三棱锥A BCD -的体积是 .12．设()f x 是定义在R 上的偶函数，满足(1)()1f x f x ++=，且当[1,2]x ∈时，()2f x x =-，则(2016.5)f -=_________.DCQ BAP答案1．(0,1) 2．60︒ 3．),21(+∞4．),3[]1,(+∞--∞Y 5．(3,1)-- 6．)23,2[- 7．5（||[0,2]x ∈） 8．459．610．16（8xy x y =++，8xy ≥+16xy ≥）11．242（EF DE ⊥，EF ∥AC ，∴AC DE ⊥．又AC BD ⊥，∴AC ⊥平面ABD ．∵1BC =，∴2AB AC AD ===，3162V =24=）12．0.5（2T =，(0.5)(0.5)(1.5)0.5f f f =-==）2020届高三数学小题狂练二十一姓名得分1．已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a = . 2．抛物线24y x =上一点M 到其焦点的距离为3，则点M 的横坐标x = . 3．已知函数)(x f y =（x ∈R ）满足)()2(x f x f =+，且]1,1[-∈x 时，2)(x x f =，则5()()log F x f x x =-的零点的个数为 .4．若(2,1)a =-v与(,2)b t =-v 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为 .5．函数2()lg(21)f x x ax a =-++在区间(1)-∞，上单调递减，则实数a 的取值范围是 . 6．设α为锐角，54)6sin(=+πα，则)32sin(πα+的值等于 . 7．已知0a >，且1a ≠，函数,0,()(14)2,0x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有1212()[()()]0x x f x f x --<成立，则a 的取值范围是 .8．已知a b >，1a b ⋅=，则22a b a b+-的最小值是 .9．已知数列{}n a ，{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a ，1b ，且115a b +=，1a ，1b ∈N *，则数列{}nb a （n ∈N *）前10项的和等于 .10．设椭圆1C 和双曲线2C 具有公共焦点1F ，2F ，其离心率分别为1e ，2e ，P 为1C 和2C 的一个公共点，且满足021=⋅PF PF ，则2212221)(e e e e +的值为 . 11．设22log 1()log 1x f x x -=+，12()(2)1f x f x +=（12x >），则12()f x x 的最小值为_______.12．对于一切实数x ，令[]x 为不大于x 的最大整数，则函数()[]f x x =称为高斯函数或取整函数．若()3n na f =（n ∈N *），n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3n S =________.答案 1．134()2n -⋅2．2 3．44．(1,4)(4,)-+∞U 5．[1,2]6．2524（若3cos()65πα+=-，cos [cos()]066ππαα=+-<；或45<3πα<）7．11(,]428．222()2a b a b +=-+）9．85（11n a a n =+-，11n b b n =+-，113n b n a a b n =+-=+）10．2（2224m n c +=，12m n a +=，2||2m n a -=，后二式平方相加得22122e e --+=）11．23（21222122log 1log (2)11log 1log (2)1x x x x --+=++，化简得22214log log 1x x =-．于是212212221214log ()log log log 5log 1x x x x x x =+=+≥-，所以21212212212log ()122()1log ()1log ()13x x f x x x x x x -==-≥++（12x >））12．232n n -（33(1)(1)(1)n n S S n n n --=-+-+，311S ⨯=，3n S =232n n-）2020届高三数学小题狂练二十二姓名得分1．函数20.5log (2)y x x =-的单调减区间是 .2．已知函数()sin cos f x a x x =+，且()4f x π-()4f x π=+，则a 的值为 .3．设O 为坐标原点，F 为抛物线x y 42=的焦点，A 为抛物线上的一点，若4-=⋅，则点A 的坐标为 .4．从原点向圆0271222=+-+y y x 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 .5．若函数32()26f x x x m =-+（m 为常数）在[2,2]-上有最大值3，则()f x 在[2,2]-上的最小值为 .6．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的和为n S ，若1n S +，n S ，2n S +成等差数列，则公比q 等于 . 7．规定一种运算：,,,,a a b a b b a b ≤⎧⊗=⎨>⎩则函数x x x f cos sin )(⊗=的值域为 .8．已知当x ∈R 时，函数)(x f y =满足1(2.1)(1.1)3f x f x +=++，且1)1(=f ，则)100(f 的值为 .9．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，1(1)2f =，)2()()2(f x f x f +=+，则=)5(f .10．双曲线222015x y -=的左、右顶点分别为1A ，2A ，P 为其右支上一点，且12124A PA PA A ∠=∠，则12PA A ∠的大小为 .11．已知3450a b c ++=r r r r ，且||||||1a b c ===r r r，则()a b c ⋅+=r r r .12．已知α，β均为锐角，且sin cos()sin ααββ+=，则tan α的最大值是 .答案1．(2,)+∞ 2．1（取4x π=）3．(1,2)± 4．2π 5．37- 6．2- 7．]22,1[- 8．349．2.5（(12)(1)(2)f f f -+=-+，故(2)1f =，(3) 1.5f =，(5)(3)1f f =+）10．12π（tan y x a α=+，tan 5y x a α=-，由222015x y -=得tan tan51αα=，于是得cos60α=）11．35-（534c a b -=+r r r ，435b a c -=+r r r ，两式分别平方得0a b =r r g，35a c =-r r g ）12αβ+也为锐角，tan()αβ+存在．由cos()sin sin[()]αββαββ+=+-展开得tan()2tan αββ+=．从而有tan tan[()]ααββ=+-2tan 41tan ββ=≤+）2020届高三数学小题狂练二十三姓名得分1．若直线30x ay ++=的倾斜角为120︒，则a 的值是 .2．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3(,0)4-对称，且(1)1f -=，则1()2f -的值等于 .3．不等式02||2<--x x 的解集是 .4．在一个水平放置的底面半径为3的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为R 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升R ，则R = . 5．函数xx y tan 31tan 3+-=的单调减区间是 .6．在坐标平面内，已知由不等式组|2|,||y x y x a≥-⎧⎨≤-+⎩所确定的区域的面积为52，则a 的值等于 .7．若函数3()log ()(0a f x x ax a =->且1)a ≠在区间1(,0)3-内单调递增，则实数a 的取值范围是 .8．已知数列{}n a 中，12a =，前n 项和n S ，若n n a n S 2=，则n a = .9．已知函数1,1,|1|()11,x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有3个不同的实数解1x ，2x ，3x ，则222123x x x ++的值等于 .10．已知函数()f x 在[2,)+∞单调递增，且对任意实数x 恒有(2)(2)f x f x +=-，若22(12)(12)f x f x x -<+-，则x 的取值范围是 .11．设非零向量a r ，b r 满足||1b =r ，a r 与b a -r r 的夹角为120︒，则||a r的最大值为 .12．已知)(x f y =是定义在R 上的函数，且对任意x ∈R ，都有1()(2)1()f x f x f x -+=+，又1(1)2f =，1(2)4f =，则(2015)(2016)f f += .答案1．32．1-3．(2,2)- 4．325．5(,)66k k ππππ-+（k ∈R ） 6．37．1[,1)38．)1(4+n n9．510．(2,0)-（12|2||2|X X -<-）11ABC ∆中，CA b =u u u r r ，CB a =u u u r r ，BA b a =-u u u r r r ，60ABC ∠=︒，||sin 601a ︒≤r ，||a ≤r ）12．1415（令1=x ，则1(1)1(3)1(1)3f f f -==+，令2=x ，则1(2)3(4)1(2)5f f f -==+，)(n f 以4为周期，所以1314(3)(4)3515f f +=+=）2020届高三数学小题狂练二十四姓名得分1．设230.0310x y -==，则11xy ---的值为 .2．已知函数()f x 对任意的x ∈R 都有11()()222f x f x ++-=成立，则127()()()888f f f +++L 的值为 . 3．设直线0=++C By Ax 与圆422=+y x 相交于M ，N 两点，若222A B C +=，0C ≠，则OM ·ON （O 为坐标原点）的值等于 . 4．若222xy ax y ≤+对任意[1,2]x ∈及[2,3]y ∈恒成立，则实数a 的范围是 .5．设数列{}n a 的通项公式为3n a n n λ=+（n ∈N *），若123n a a a a <<<<<L L ，则实数λ的取值范围是 . 6．若()2sin()f x ax =在区间[,]34ππ-上的最小值为2-，则实数a 的范围是 .7．若等比数列{}n a 满足354321=++++a a a a a ，且122524232221=++++a a a a a ，则54321a a a a a +-+-的值等于 .8．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，若a ，b ，c 成等差数列，4sin 5B =，且ABC ∆的面积为32，则b = . 9．已知函数21,0,()(1),0,x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 .10．已知1F ，2F 分别为双曲线C ：12222=-by a x 的左、右焦点，P 是C 左支上的一点，若2218||PF a PF =，则C 的离心率的取值范围是 .11．已知1()41()xf x f x +=-，正实数1x ，2x 满足12()()1f x f x +=，则12()f x x +的最小值为 .12．已知实数x ，y 满足x y ，则x y +的最大值为 .。

2020版高考数学(理)刷题小卷练： 11-20

刷题增分练 11 定积分与微积分基本定理刷题增分练⑪ 小题基础练提分快一、选择题1．已知条件p ：t ＝π2，q ：⎠⎜⎛tsin x d x ＝1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：由⎠⎜⎛0t sin x d x ＝(－cos x)⎪⎪⎪⎪t0＝－cos t ＋1＝1得cos t ＝0，∴t ＝π2＋k π(k ∈N )，于是p 是q 的充分不必要条件．故选A. 2．[2019·广东七校联考]由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积为( )A.329B ．2－ln3C ．4＋ln3D ．4－ln3 答案：D解析：＝4－ln 3，故选D .3．[2019·福建连城二中模拟]若a ＝⎠⎜⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎜⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎜⎛02sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a<c<bB ．a<b<cC ．c<b<aD ．c<a1)，则a 的值是________．答案：2解析：由⎠⎜⎛1a⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x) a1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝3，ln a ＝ln 2，所以a ＝2.12．[2019·湖南宁乡月考]如图，若直线y ＝kx 将抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形分成面积相等的两部分，则k ＝________.答案：1－342解析：因为⎠⎜⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3⎪⎪⎪⎪10＝16，所以∫1－k[(x －x 2)－kx]d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 3⎪⎪⎪⎪1－k＝1－k 36＝112，所以(1－k)3＝12，解得k ＝1－312＝1－342.刷题课时增分练⑪ 综合提能力课时练赢高⎪⎪⎪⎪112＝14.故选D . 3．[2019·河北唐山联考]曲线y ＝x －1x ＋1与其在点(0，－1)处的切线及直线x ＝1所围成的封闭图形的面积为( )A ．1－ln 2B ．2－2ln 2C ．2ln 2－1D ．ln 2 答案：C解析：因为y ＝x －1x ＋1，所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝2x ＋12，则曲线y＝x －1x ＋1在(0，－1)处的切线的斜率k ＝2，切线方程为y ＝2x －1，则曲线y ＝x －1x ＋1与其在点(0，－1)处的切线及直线x ＝1所围成的封闭图形的面积S ＝⎠⎜⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1－x －1x ＋1d x ＝∫10⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1－1＋2x ＋1d x ＝[x 2－2x ＋2ln (x ＋1)]⎪⎪⎪⎪1＝2ln 2－1.故选C .4．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ∈[－1，1，x 2－1，x ∈[1，2]，，则⎠⎜⎛－12f(x)d x的值为( )A .π2＋43B .π2＋3C .π4＋43D .π4＋3 答案：A解析：根据定积分的性质可得⎠⎜⎛－12f(x)d x ＝⎠⎜⎛－111－x 2d x ＋⎠⎜⎛12(x 2－1)d x ，根据定积分的几何意义可知，⎠⎜⎛－111－x 2d x 表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的12，即⎠⎜⎛－111－x 2d x ＝π2，∴⎠⎜⎛－12f(x)d x⎪⎪⎪⎪10＝13＋2t ＝t ，∴t ＝－13，即⎠⎜⎛01f(x)d x ＝－13.故选B . 二、非选择题9．已知物体以速度v(t)＝2t 2(单位：m /s )做直线运动，则它在t ＝0 s 到t ＝3 s 内所走过的路程为________．答案：18解析：∵v(t)＝2t 2，∴物体在t ＝0 s 到t ＝3 s 内所走过的路程S ＝⎠⎜⎛032t 2d t ＝23t 3⎪⎪⎪⎪30＝18.10．[2019·吉林省实验中学模拟]若f(x)＝则f(2 018)＝________.答案：712解析：当x ≤0时，f(x)＝2x＋60π⎰cos 3x d x ＝2x＋sin 3x 3⎪⎪⎪⎪π6＝2x＋13，所以f(2 018)＝f(2)＝f(－2)＝14＋13＝712.11．求曲线f(x)＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，54π与x 轴围成的图形的面积．解析：对于f(x)＝sin x ，当x ∈[0，π]时，f(x)≥0，当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤π，54π时，f(x)＜0，则所求面积为S ＝∫π0sin x d x ＋54ππ⎰ (－sin x )d x ＝－cos x π0＋cos x54ππ＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22＋1＝3－22.刷题增分练 12 三角函数概念、同角三角函数基本关系式、诱导公式[2019·北京第三十五中学模拟]如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆的交点A 在第二象限．若cos α＝－35，则点A 的坐标为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45解析：∵cos α＝－35，∴sin α＝1－cos 2α＝45，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45. 10．[2019·天津质检]化简：sin π－α＋sin αcos α⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan α＝________.答案：cos α解析：sin π－α＋sin αcos α⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan α＝sin α＋sin αcos α1＋cos αtan α＝cosα.11．[2019·山西孝义模拟]已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值．(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin2α.＝π6，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6，f (0)＝3sin π6＝32.故选B.二、非选择题9．已知函数y ＝5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋13πx －π6(其中k ∈N )，对任意实数a ，在区间[a ，a ＋3]上要使函数值54出现不少于4次且不多于8次，则k的值为________．答案：2或3解析：令y ＝5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋13πx －π6＝54，得cos 2k ＋13πx －π6＝14.因为函数y ＝cos x 在每个周期内出现函数值14的有2次，而区间[a ，a＋3]的长度为3，所以为了使长度为3的区间内出现函数值14不少于4次且不多于8次，必须使长度3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度，即2×2π2k ＋13π≤3且4×2π2k ＋13π≥3，解得32≤k ≤72，又k∈N ，故k 的值为2或3.10．[2019·河北邯郸教学质量检测]已知函数f (x )＝－4cos ωx ＋φe |x |(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则ωφ＝________.答案：2－x 2|min ＝12，得T 4＝12⇒T ＝2，即ω＝2π2＝π.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12π＋φ＝12，即cos φ＝12，又0<φ<π2，所以φ＝π3，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3.由－π2＋2k π≤πx ＋π3≤π2＋2k π，得－56＋2k ≤x ≤16＋2k ，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k ，16＋2k ，k ∈Z .故选B.7．[2019·河南漯河高级中学模拟]已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6在[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案：B解析：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6的周期T ＝6，当x ＝0时，y ＝12，当x ＝1时，y ＝1，所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6在[0，t ]上至少取得2次最大值，有t －1≥T ，即t ≥7，所以正整数t 的最小值为7.故选B.8．[2019·四川绵阳高中诊断]已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)图象上最高点与相邻最低点的距离是 17.若将y ＝f (x )的图象向右平移16个单位长度得到y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝56B ．x ＝13C ．x ＝12 D ．x ＝0答案：B解析：由题意得f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3.故函数f (x )的最大值为2，由172－42＝1可得函数f (x )的周期为T ＝2×1＝2，所以ω＝π，因此f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π3.将y ＝f (x )的图象向右平移16个单位长度得到的图象对应的函数的解析式为g (x )两边平方可得1＋sin2α＝118，解得sin2α＝－1718.故选B.二、非选择题 9．[2019·荆州模拟]计算：sin46°·cos16°－cos314°·sin16°＝________.答案：12解析：sin46°·cos16°－cos314°·sin16°＝sin46°·cos16°－cos46°·sin16°＝sin(46°－16°)＝sin30°＝12.10．[2018·全国卷Ⅱ]已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝________.答案：32解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32.11．[2019·山西康杰月考]若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.答案：43解析：∵sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，∴tan α＝2.∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝－tan[(α－β)＋α]＝－tan α－β＋tan α1－tan α－β·tan α＝43.12．已知f (x )＝sin x －23sin 2x 2，则当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3时，函数f (x )的最大值减去最小值等于________．答案：2解析：f (x )＝sin x －23sin2x2＝sin x －3(1－cos x )＝。

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2020届高三数学小题狂练十二
姓名得分
1．若复数z 满足方程1-=⋅i i z ，则z = .
2．A ，B ，C 三种不同型号的产品的数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样的方法抽出样本容量为n 的样本，样本中A 型产品有16件，那么样本容量n 为 .
3．底面边长为2的正四棱锥的体积为 .
4．若点P 是曲线x x y ln 2
-=上任意一点，则点P 到直线2-=x y 的最小距离为 .
5．袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是 .
6．数列{}n a 中，12a =，21a =，11112-++=n n n a a a （2n ≥，n ∈N ），则其通项公式为n a = .
7．已知双曲线C 与椭圆221925y x +=有相同的焦点，它们离心率之和为145
，则C 的标准方程是 .
8．已知二次函数f x ()满足f x f x ()()11+=-，且f f ()()0011==，，若f x ()在区间[,]m n 上的值域是[,]m n ，则m n +的值等于 .
9．已知函数()cos f x x ω=（0ω>）在区间π[0]4, 上是单调函数，且3π()08
f =，则ω= .
10．已知PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且△PAB ，△PAC ，△PBC 的面积分别为
1.5cm 2，2cm 2，6cm 2，则过P ，A ，B ，C 四点的外接球的表面积为 cm
2.
11．设椭圆2
2221y x a b
+=（0a b >>）的两个焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，且120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，12tan 2PF F ∠=，则该椭圆的离心率等于 .
12．在ABC ∆中，已知4AB =，3AC =，P 是边BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP ⋅u u u r u u u r = .
答案1．1i-2．80
3．4 3
4
5．1 9
6．2 n
7．
22
1 412
y x
-=
8．1（1
n≤）
9．4
3
或4
10．26π（补形）
11
12．
7 2 -。