第一章 1.1集合的概念与运算

§1.1集合的概念与运算

1．集合与元素

(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系有属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．

(4)常见数集的记法

A B(或

B A)

3.

(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n－1个，真子集有2n－1个．

(2)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)

(2)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×)

(3)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．(√)

(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(×)

(5)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{2,3}，则M∩N＝N.(√)

(6)若全集U＝{－1,0,1,2}，P＝{x∈Z|x2<4}，则∁U P＝{2}．(√)

1．(2014·课标全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B等于() A．[－2，－1]B．[－1,2)

C．[－1,1]D．[1,2)

答案 A

解析∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x<2}，

∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1]，故选A.

2．(2014·四川)已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B等于() A．{－1,0,1,2} B．{－2，－1,0,1}

C．{0,1} D．{－1,0}

答案 A

解析因为A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又因为集合B为整数集，所以集合A∩B ＝{－1,0,1,2}，故选A.

3．(2013·山东)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是() A．1 B．3 C．5 D．9

答案 C

解析 x －y ∈{}－2，－1，0，1，2.

4．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫

34，43

解析 A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，

因为函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a >0，f (0)＝－1<0， 根据对称性可知要使A ∩B 中恰含有一个整数， 则这个整数为2， 所以有f (2)≤0且f (3)>0，

即⎩

⎪⎨⎪⎧

4－4a －1≤0，9－6a －1>0，所以⎩⎨⎧

a ≥34

，a <43.

即34≤a <43

.

题型一 集合的基本概念

例1 (1)(2013·江西)若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a 等于( ) A ．4 B ．2 C ．0

D ．0或4

(2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩

⎨⎧

⎭

⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________. 思维点拨 不要忽视集合中元素的互异性． 答案 (1)A (2)2

解析 (1)当a ＝0时，方程化为1＝0，无解，集合A 为空集，不符合题意；当a ≠0时，由Δ

＝a 2－4a ＝0，解得a ＝4.

(2)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩

⎨⎧

⎭

⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，

所以a ＋b ＝0，得b

a ＝－1，

所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.

思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．

(1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x

＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5

D ．6

(2)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 答案 (1)B (2)－3

2

解析 (1)因为集合M 中的元素x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，所以当b ＝4时，a ＝1,2,3，此时x ＝5,6,7.

当b ＝5时，a ＝1,2,3，此时x ＝6,7,8. 所以根据集合元素的互异性可知，x ＝5,6,7,8. 即M ＝{5,6,7,8}，共有4个元素． (2)因为3∈A ，

所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.

当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3，

所以m ＝1不符合题意，舍去； 当2m 2＋m ＝3时，

解得m ＝－3

2

或m ＝1(舍去)，

此时当m ＝－32时，m ＋2＝1

2≠3符合题意，

所以m ＝－3

2

.

题型二 集合间的基本关系

例2 (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0

(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1

答案 (1)D (2)(－∞，4]

解析 (1)由x 2－3x ＋2＝0得A ＝{1,2}． 又B ＝{1,2,3,4}．

∴满足A ⊆C ⊆B 的集合C 可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个． (2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．

则⎩⎪⎨⎪

⎧

m ＋1≥－22m －1≤7m ＋1<2m －1，解得2