2018年大学自主招生数学试题
2018年北京大学自主招生数学试题含解析
一、选择题（选对得10分，不选得0分，选错扣5分）1、整数z y x ,,满足1=++zx yz xy ，则()()()222111z y x+++可能取到的值为（）A．16900B．17900C．18900D．前三个答案都不对2、在不超过99的正整数中选出50个不同的正整数，已知这50个数中任两个的和都不等于99，也不等于100．这50个数的和可能等于（）A．3524B．3624C．3724D．前三个答案都不对3、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0 x ，对任意实数a ，函数1cos 2cos 2+-=x a x y 的最小值记为()a g ，则当a 取遍所有实数时，()a g 的最大值为（）A．1B．2C．3D．前三个答案都不对4、已知2020210-是n 2的整数倍，则正整数n 的最大值为（）A．21B．22C．23D．前三个答案都不对5、在凸四边形ABCD 中，4=BC ，60=∠ADC ，90=∠BAD ，四边形ABCD 的面积等于2ADBC CD AB ⋅+⋅，则CD 的长（精确到小数点后1位）为（）A．6.9B．7.1C．7.3D．前三个答案都不对二、填空题（填空题共5小题；请把每小题的正确答案填在横线上，每题10分）6、满足等式2015120151111⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++x x 的整数x 的个数是_______．7、已知[]4,2,,,∈d c b a ，则()()()22222cbdacd ab +++的最大值与最小值的和为_______．8、已知对于任意的实数[]5,1∈x ，22≤++q px x ，不超过22q p +的最大整数是_______．9、设bc a c b x 2222-+=，ca b a c y 2222-+=,ab c b a z 2222-+=,且1=++z y x ，则201520152015z y x ++的值为_______．10、设n A A A ,,,21 都是9元集合{}9,,2,1 的子集，已知i A 为奇数，n i ≤≤1，j i A A 为偶数，n j i ≤≠≤1，则n 的最大值为_______．2018年北京大学自主招生选拔录取考试数学部分参考答案一、选择题1、A解析：()()()()()()()2222111x z z y y x z y x+++=+++.令⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+,13,5,2x z z y y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==.8,3,5z y x 经检验，这组解满足题意，此时()()()16900111222=+++z y x ．2、D解析：考虑将1,2,⋯,99这99个正整数分成如下50组：(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51),(50).若选出的50个不同的正整数中没有50，则必有2个数位于(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中的同一组，不合题意．所以这50个不同的正整数中必有50，而(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中，每组有且只有一个数被选中．因为50+49=99，所以(49,51)中选51；因为51+48=99，所以(48,52)中选52；以此类推，可得50,51,52,⋯,98,99是唯一可能的选法．经检验，选50,51,52,⋯,98,99满足题意，此时50+51+⋯+98+99=3725，故选D．3、A解析：令[]1,0cos ∈=x t ，令()122+-=at t t h ，[]1,0∈t 则()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-<=1,2210,1012a a a a a a g ，故()a g 的最大值为1（0≤a 时等号成立）．4、D解析：1()()()()()1555515151521522102345102020202020++++-++=-=-，而1510+模4余2，155+模4余2，15555234++++为奇数，故正整数n 的最大值为24．5、A解析：设四边形ABCD 的面积为S ，直线AC ,BD 的夹角为θ，则2sin 22sin ADBC CD AB AD BC CD AB BD AC S ⋅+⋅≤⋅⋅+⋅≤⋅⋅=θθ,由题意，2ADBC CD AB S ⋅+⋅=，所以D C B A ,,,四点共圆，且BD AC ⊥．故9.634≈=CD ，选A．二、填空题6、11解析：若x 为正整数，则2015120151111⎪⎭⎫ ⎝⎛+>>⎪⎭⎫⎝⎛++e x x ,若x 为负整数，令()2,≥∈-=*n N n n x ，则1111111-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n x n x .因为数列()2,1111≥∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-+*-n Nn n n 关于n 单调递增，故当且仅当2016-=x 时，有2015120151111⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x .7、2541解析：注意到()()()()222222bd ac cd ab c bda -++=++,于是()()()()()()22222222211⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++++=+++cd ab bd ac bd ac cd ab cd ab c b d a cd ab ,显然当0=-bd ac 时，原式取得最大值为1．接下来考虑cdab bdac +-的最大值．由于1+⋅-=+-cb d ac bd a cd ab bd ac ,令αtan =d a ，βtan =c b ，则问题等价于当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2arctan ,21arctan ,βα时，求βα-tan 的最大值，显然为4321arctan2arctan tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛-.因此原式的最小值为2516．注：可以看做向量()d a ,和()c b ,夹角余弦的平方．8、9解析：注意到q px x y ++=2，[]5,1∈x 满足22≤≤-y ，因此符合题意的二次函数只有两个：762+-=x x y ，762-+-=x x y9、1解析：由1=++z y x ，可得()()()()()()()()()()22222223223322322322322=-------=-+-++-+-=-++-++--+=--++-++-+b a c a c b c b a b a c c b a c b a b a abc c b c a c bc ac b a b a ab abc c c b c a b b a bc a ac ab 所以c b a +=或a c b +=或b a c +=，故1201520152015=++z y x ．10、9解析：构造是容易的，取{}i A i =，9,,2,1 =i 即可．用0,1表示集合中的元素是否在子集中，如{}9,5,4,3,11=A ，则记()1,0,0,0,1,1,1,0,11=A ,那么j i j i A A A A =⋅.显然，如果当10≥n 时，必然存在m 个向量线性相关，不妨设()0,,0,02211 =+++m m A A A λλλ,其中()m i Z i ,,2,1 =∈λ，11=λ．此时考虑()m m A A A A λλλ+++⋅ 22111,那么根据题意有11A A ⋅为奇数，而()m i A A i ,,3,21 =⋅为偶数，这样就推出了矛盾．因此所求n 的最大值为9．注：用这个方法，可以得出n 元集合至多有n 个包含奇数个元素的子集，使得这些子集中任意两个的交集均包含偶数个元素．。
2018年XXX第二批次自主招生(实验班)考试数学学科试卷和答案
2018年XXX第二批次自主招生(实验班)考试数学学科试卷和答案2018年XXX第二批次自主招生（实验班）数学考试试卷考试时间：90分钟，满分100分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
每小题只有一个正确答案）1.化简 (2-m)/(m-2) 的结果是：A。
m-2B。
2-mC。
-m-2D。
-2/(m-2)2.表达式 abc+abc+abc 的所有可能值的个数是：A。
2个B。
3个C。
4个D。
无数个3.某班50名学生可在音乐、美术、体育三门选修课中选择，每位学生至少选择一门。
选择音乐的有21人，选择美术的有28人，选择体育的有16人，既选择音乐又选择美术的有7人，既选择美术又选择体育的有6人，既选择体育又选择音乐的有5人，则三项都参加的人数是：A。
2B。
3C。
4D。
54.已知二次函数 y=x^2-2x-6，当m≤x≤4 时，函数的最大值为2，最小值为-7，则满足条件的 m 的取值范围是：A。
m≤1B。
-2<m<1C。
-2≤m<1D。
-2≤m≤15.适合不等式 2/(3x-y) ≤ 1，且满足方程 3x+y=1 的 x 的取值范围是：A。
x≤1/3B。
-1≤x<1/3C。
x≤1D。
-1≤x≤16.已知 A、B 两点在一次函数 y=x 的图像上，过 A、B 两点分别作 y 轴的平行线交双曲线 y=1/x (x>0) 于 M、N 两点，O 为坐标原点。
若 BN=3AM，则 9OM^2-ON^2 的值为：A。
8B。
16C。
32D。
367.在直角三角形 ABC 中，∠BAC=90°，M、N 是 BC 边上的点，BM=MN=CN/2，如果 AM=8，AN=6，则 MN 的长为：A。
4√3B。
2√3C。
10D。
10/38.将正奇数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对(n,m) 表示第 n 排，从左到右第 m 个数，如 (4,2) 表示奇数 15，则表示奇数 2017 的有序实数对是：A。
山东省青岛市即墨区2018自主招生考试数学试题(PDF试题版)-已融合
A． 2x 2x
B． x x
C．x y x y
D．设函数 y x x，则 0 y 1
5．如图，已知一个圆的直径与等边△ABC 的高相等，它
与△ABC 的两边 AB 和 BC 分别相切于 D ， E 两点， 与 AC 相交于 F ， G 两点，则 DEF ( )
；
2018 年自主招生考试数学试题 第 2页(共 8页)
11．定义：如果一列数，从第二个数开始，每一个数与它前一个数的差都等
于同一个常数，则称这列数为等差数列.如图是一个 4 4 表格，其每一
横行、每一竖列都成等差数列，李同学补全右侧表格后，从中任意抽取 一个数字(抽后放回)，连续抽取两次，则两次均为奇数的概率为_______； 12．在△ABC 中，∠BAC=60°，AD 为∠A 的平分线，M 为 AB 上一点，且 AM=3，点 P 是 AD 上的一个动点，过点 P 作 PN⊥AB 于 N，则 PM+PN 的最小值为__________ ；
上时，点 A 一共走过的路程为( )
13
A．
6
B．2
C．
4
D． 15 6
7．如图，在△ABC 中，AB BE ，BD BC ，DE BE ，设 BE a ，AB b ，AE c ，
则以 AD 和 AC 的长为根的一元二次方程是( )
A．x2 2cx b2 0 B．x2 cx b2 0 C．x2 2cx b 0 D．x2 cx b 0
2018 年自主招生考试(面向即墨区)
数学试题
题号
一二
（考试时间 120 分钟，满分 120 分）
15 16 17 18 19 20 总分 合分人 复核人
2018年复旦大学自主招生试题解析
2018年复旦大学自主招生试题1.设x ∈R ，求函数f x =16x +41-x +4⋅2x +14x +21-x的最小值.【答案】103.【考点】求函数最小值问题.【解析】f x =2x 4+22x 2+4⋅2x +12x 2+22x =2x 2+22x 2+12x 2+22x =2x 2+22x +12x 2+22x，令t =2x 2+22x =2x 2+12x +12x ≥3，则f x ≥103. 当x =0时，函数f x 的最小值为103. 2.设f x =4x +2x +1−8，求A =x ∈−6,6 |f x >0 的区间长度.【答案】5【考点】函数定义域的应用.【解析】f x =4x +2x +1-8=2x -2 2x +4 >0⇒x >1，所以A 的区间长度为5.3.求能放入一个半径为r 的球体的圆锥体积最小值.【答案】8πr 23【考点】立体几何问题.【解析】如图所示，设圆锥的底面半径为R ，圆锥的顶点A 到球体的球心距离为m ，所以△ABO 1∼△AOD , 所以OD AD =BO 1AO 1，即R m +r =r m 2-r 2⇒R 2=r 2m +r m -r ，则V ABC =πr 23 m +r 2m -r =πr 23 m -r +4r 2m -r +4r≥8πr 23 . 4.极坐标系中，曲线C :ρ2-6ρcos θ-8ρsin θ+16=0上一点与曲线D :ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0上一点的距离最大值是多少？【答案】4+22 .【考点】圆的参数方程的问题.【解析】C :x -3 2+y -4 2=9,D :x -1 2+y -2 2=1，则两个动点的距离最大值为圆心距加两个半径，即为4+22 .5.△ABC 中，D 为BC 上一点，AB =c ,AC =b ,AD =h ,BD =x ,CD =y ,则x 2+y 2+2h 2=b 2+c 2是AD 为中线的什么条件？【答案】必要不充分条件【考点】三角函数问题和余弦定理的应用.【解析】△ADB 中，由余弦定理cos ∠ADB =x 2+h 2-c 22xh, 在△ADC 中，由余弦定理cos ∠ADC =y 2+h 2-b 22yh,AB C DOO 1博观而约取 厚积而薄发由∠ADB +∠ADC =π，所以x 2+h 2-c 22xh +y 2+h 2-b 22yh=0，考虑到x 2+y 2+2h 2=b 2+c 2，所以x 2+h 2-c 2=b 2-y 2-h 2=0，此时x 不一定等于y ，此时AD 不一定为中线，而当x =y 时x 2+y 2+2h 2=b 2+c 2，所以x 2+y 2+2h 2=b 2+c 2是AD 为中线的必要不充分条件.6.求最小正整数k ，使得4725k 为完全平方数.【答案】21【考点】初等数论问题.【解析】4725k =152⋅21k , 又因为m 是正整数，所以k min =21.7.1900年，数学家_______在巴黎国际数学家大会上提出了23个未解决的问题.【答案】希尔伯特.【考点】数学史问题.【解析】希尔伯特.8.记正方体的六个面中心为A ,B ,C ,D ,E ,F , 先在这6个点中任取两点连线，再在这6个点中任取两点连线，则两条线段平行但不重合的概率是多少？【答案】475.【考点】立体几何问题.【解析】已知这个六面体是两个正四棱锥结合在一起，中间正方形的平行有两对，上下两个正四棱锥侧棱平行有四对，则所求概率为P =12C 26C 26=475 . 9.直线l 1:mx +y -1=0,l 2:x -my +2+m =0分别过定点A ,B ，若两直线交于点P ，求P A +PB 的取值范围.【答案】P A +PB ∈2,22 .【考点】直线和三角函数问题.【解析】直线l 1⊥l 2, 所以P A ⊥PB ，而A 0,1 ,B -2,1 满足P A 2+PB 2=4,令P A =2cos α,PB =2sin α,α∈0,π2 ,则P A +PB =22 sin α+π4 ，所以P A +PB ∈2,22 .10.在单位正方体ABCD -EFGH 中，M ,N 分别为棱CG ,AE 的中点，P 为平面BFGC 上一点，并满足EP 平行平面BMN ，求EP 长度的取值范围.【答案】30 5≤EP ≤2 .【考点】立体几何问题.【解析】取BF 中点，连接EK ，GK 与EG ，则平面EKG 平行于平面NBM ，所以点P 在线段KG 上运动，在△EKG 中，cos ∠EKG =54 +54 -22⋅54 =15 ,则EP min =EK sin ∠EKG =5 2 26 5 =30 5,所以305 ≤EP ≤2 . 11.已知在△ABC 中，A (3,2)，B (4,3)，C (6,7)，求△ABC 的面积.【答案】1【考点】解三角形问题.【解析】S △ABC =12 AB ×AC =12 (1,1)×(3,5) =1. 12.在△ABC 中，AD =2DB ,BE =2EC ，设直线CD 和AE 交于点P ，若AP =mAB +nAC , 求m ,n .【答案】m =27,n =47 .【考点】平面向量问题.【解析】过点D 作DF 平行于BC 交AE 于点F ，所以△ADF ∼△ABE ，则DF BE =AD AB =23 , 所以DF =23 BE =43 EC , △DFP ∼△CEP ，所以DF CE =FP PE =43 ，而AF FE =21 ，则AP =67 AE , 所以AP =27 AB +47 AC ，m =27,n =47 . 13. 令f x =sin nx sin x n ∈ℕ* ，下列结论正确的是_______.(1)f x 是周期函数；(2)f x 有对称轴；(3)f x 关于π2,0 对称；(4)f x ≤n 【答案】（1）（2）（4）【考点】三角函性质的应用.【解析】显然（1）对; f x 是偶函数，（2）对；（3）由f x +π +f -x =0,n 偶数≠0，n 奇数 ，（3）错；（4）由数学归纳法可以证明sin nx ≤n sin x ，所以（4）正确. 答案（1）（2）（4）.14.若函数f x 满足f 1x +1x f -x =2x x ≠1 ，求f 2 .【答案】f 2 =92.【考点】赋值法的应用.【解析】赋值法. 令x =12 ,f 2 +2f -12=1, 令x =-2,f -12 -12f 2 =-4,解得f 2 =92. 15.已知A 0,1 ,B 1,-1 ，直线ax +by =1与线段AB 有公共点，求a 2+b 2的最小值.【答案】12.【考点】直线与距离的应用.【解析】将直线ax +by =1看成关于变量a ,b 的直线，则a 2+b 2表示直线上一点到原点距离的平方，则a 2+b 2≥1x 2+y 2 ，又0≤x ≤1,-1≤y ≤1，则a 2+b 2≥112+12 =12 .博观而约取 厚积而薄发16.设方程log 3x 3+log 273x =-43 的两个根为a 和b ，求a +b 的值.【答案】1081.【考点】对数方程问题和换元法的应用.【解析】记log 33x =t ，则1t +t 3 =-43⇒t =-1,-3，所以a =19 ,b =181 ,则a +b =1081. 17.已知方程x 4+ax 3+bx 2-3x -2=0有两个实根x 1=2,x 2=-1，则其余两根为______.A.相同的实根B.不同的实根C.共轭复根D.以上都不对【答案】C【考点】方程复数根的问题.【解析】x 1=2,x 2=-1⇒b +2a =-2b -a =-2 ⇒a =0,b =-2.则x 4+0⋅x 3-2x 2-3x -2=x +1 x -2 x 2+x +1 ，所以另外两个复根为x =-1±3 i 2，答案C .18.定义x ⊕y =log x y +2，解方程x ⊕4 ⊕4=0.【答案】x =2-43.【考点】对数方程的问题.【解析】记log x 4+2=t ，则方程即log t 4+4=0⇒t =12 ⇒x =2-43 . 19.已知a >0，设f x =4x -1-2x +a -1, 若x 1x 2=a 2，且x 2>x 1>0，试比较f x 2 和f x 1 的大小.【答案】f x 2 >f x 1 .【考点】指数函数问题.【解析】记t =2x -1，则f x =g t =t 2-2a t ,t 1=2x 1-1,t 2=2x 2-1, 因为x 1x 2=a 2，且x 2>x 1>0，所以x 2>a >x 1⇒2x 2-1>2a -1>2x 1-1，另一方面，2x 2-1+2x 1-1>22x 1+x 2-1-1 >222x 1x 2 -1-1 =2a ,所以f x 2 >f x 1 .20.已知x 4-ax 3-bx 2+12x +36=0有二重根，求a 2+b +1 2的值.【答案】1440【考点】方程根的问题.【解析】x 4-ax 3-bx 2+12x +36=x 2x 2-ax -b +1 +x 2+12x +36=0,方程有二重根，所以-a =12,-b +1 =-36⇒a =12,b =35⇒ a 2+b +1 2=1440.21.在1，2，3 ，⋯,10中等概率的取出两个数a ,b ，使得x +1 2+3y 2+1=a b +1 x 2+4b a +2 y +3 2 是抛物线的概率为_______.【答案】P =9+2C 210=1145 .【考点】解析几何和概率问题.【解析】①当a b +1=1时，此时有9个；②当4b a +2 =3时a ,b =2,3 ,6,6 ,10,9 但是a ,b =10,9 与①中重复出现，所以此时只有2个，则所求概率P =9+2C 210=1145 . 22.已知正数a ,b ，则log a b =log b a 是a =b 的_______条件.【答案】既不必要也不充分条件【考点】逻辑关系问题.【解析】既不必要也不充分条件. 考虑到log 22-1=log 2-12=-1和a =b =1情形.23.设A ,B ,C ,P 是平面上不同的点，则P A +PB +PC =0 是P 为△ABC 的重心的______条件.【答案】充要条件【考点】逻辑关系问题.【解析】充要条件，平面奔驰定理直接推论.。
2018年浙江大学自主招生试题阅读与素养数学与逻辑物理探究面试试题
第 1 个问题是，怎么看待健康。随机发言，每人都要回答。 第 2 个问题，是关于最感动的人或事。 第 3 个问题是无领导小组话题讨论 10 分钟，话题是“不为良相便为良医”。
之后，老师还提问，怎么看待看病难、有什么办法解决等。小组讨论考察团队协作精神。 1．【真题】海洋学院自主招生面试题：把鸡蛋放到深海 1000 米以下，会有什么样的变化？
14．【真题】“WTO”组织的英文全称为_______。
15．【真题】《第六（悲怆）交响曲》的作者为_______。
第二部分（数学与逻辑） —、填空题
1．【真题】设集合 A 2，0，1，3 ，则集合 B x x A，2 x2 A ，则集合 B 中所有元素的和为
__________________。 6.【真题】从 1，2，…，20 中任取 5 个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为______________。
7．【真题】如图，框架 ABC 由三根长度均为 l 、质量均 m 的均匀细棒组成， A 端用光滑铰链铰接在墙 壁上，现用竖直方向的力 F 作用在 C 端、使 AB 边处于竖直方向且保持平衡，则力 F 的大小为 ________。 若在 C 点施加的作用力改为大小为1.5mg 、方向始终垂直于 AC 边的力 F ，使框架从图示位置开始 逆时针转动，运动过程中当框架具有最大动能时，力 F 所做的功为________。
三、具有特殊创新潜质考生须另行加试创新潜质专场面试，创新潜质专场面试成绩将单独划线 创新潜质专场面试形式采取单面的形式，考官会根据考生提供的相关材料进行提问，内容多涉及 专业性的问题，也可能会问到考生对于所报考的专业的了解。
2018年清华北大自招真题
值为（ ）
A. 63
B. 1009
C. 2018
D. 前三个答案都不
对
【解答】D
【考点】数列问题以及基本不等式的应用
【解析】令 x = k + r(k Z且0 k n −1, 0 r 1) ，当 k = 0 时 x[x] = 0 ； k 1时，则
k2 x[x] = (k + r)k k 2 + k ， x[x] 有 k 个取值；
x2 − 2a x − a − 2ax +1 = 0 (x − a)2 − 2a x − a +1− a2 = 0 ( x − a − a)2 = 2a2 −1
，
2a2
−1
0
x − a = a
2a2 −1 0
2a2
−1
，要使原方程有三个互不相等实根，则
a
2019 2018
−1=
2018
，
−a1
+
a2
−
a3
+
... −
a2017
+
a2018
=
(1−
1)(1− 1
1 )(1 − 2
1)...(1− 3
1) 2018
−1
=
−1
，
两式相加即得
a2
+
a4
+ ... +
a2018
=
2018 −1 2
=
2017 2
.
6. 已知实数 A,b,c 成公差非 0 的等差数列，在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为（-3， 2），点 N 的坐标为（2，3），过点 P 作直线 Ax+by+c=0 的垂线，垂足为点 M，则 M,N 间的 距离的最大值与最小值的乘积是（ ）
历年自主招生考试数学试题大全2018年上海复旦大学自主招生数学试题Word版
2018年复旦大学自主招生考试数学试题选择题（每题5分，共150分，答对得5分，答错扣2分，不答得0分） 1．三边均为整数，且最大边长为11的三角形，共有 个． A ．20B ．26C ．30D ．362．若a>1，b>1且lg （a+b ）=lga+lgb ，则lg （a −1）+lg （b −1）= ． A ．lg2B ．1C ．不是与a 、b 无关的常数D ．03．已知z ∈C ，若∣z ∣＝2－4i ，则z1的值是 ． A ．3＋4i B ．i 5453+ C ．i 154153+ D ．i 254253-4．已知函数f （x ）=cos （x k 2316++π）+cos （x k 2316--）=23sin （x 23+π），其中x 为实数且k 为整数．则f （x ）的最小正周期为 ．A ．3πB ．2π C ．πD ．2π5．已知A ＝｛（x ，y ）∣y ≥x 2｝，B={（x ，y ）∣x 2+（y −a ）2≤1}．则使A∩B＝B 成立的充分必要条件为 ．A ．a=45B ．a≥45 C ．0<a<1 D ．a≥16．已知平面上三角形ABC 为等边三角形且每边边长为a ，在AB 和BC 上分别取D ，E 两点使得AD ＝BE ＝3a，连接A ，E 两点以及C ，D 两点．则AE 和CD 之间的最小夹角为 ． A ．9πa B ．3πa C ．3π D ．以上均不对7．已知数列｛a n ｝满足3a n+1+a n =4，（n≥1），且a 1=9， 其前n 项之和为S n ，则满足不等式∣S n −n −6∣<1251的最小整数是45． A ．6B ．7C ．8D ．98．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使用一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数为 ．A ．120B ．260C ．340D ．4209．设甲乙两个袋子中装有若干个均匀白球和红球，且甲乙两个袋子中的球数比为1∶3．已知从甲袋中摸到红球的概率为31，而将甲乙两个袋子中的球装在一起后，从中摸到红球的概率为32．则从乙袋中摸到红球率为 ． A ．97 B ． 4519C ．3013D ．4522 10．方程f （x ）=543423322212321---------x x x x x x x x x =0 的实根的个数是 ．A ．1个B ． 2个C ．3个D ．无实根11．已知a ，b 为实数，满足（a+b ）59=−1，（a −b ）60=1，则∑=-601)(n n nb a＝ ．A ．0121B ．−49C ．0D ．2312．a=21是“直线（a+2）x +3a y +1=0与直线（a −2）x +（a+2）y −3=0相互垂直”的 ． A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件13．设函数y =f （x ）对一切实数x 均满足f （2+x ）=f （2−x ），且方程f （x ）=0恰好有7个不同的实根，则这7个不同实根的和为 ．A ．0B ．10C ．12D ．1414．已知α，β，γ分别为某三角形中的三个内角且满足tan 2βα+=sinγ，则下列四个表达式:（1）tanαtanβ=1 （2）0<sinα+sinβ≤2 （3）sin 2α+sin 2β=1 （4）cos 2α+cos 2β=sin 2γ中，恒成立的是 ．A ．（1）（3）B ．（10（4）C ．（2）（3）D ．（2）（4）15．设S n =1+2+…+n，n ∈N ．则∞→n lim1)32(2++n nS n nS ＝ ．A ．2B ．321C ．161 D ．6416．复数z =iia 212+-（a ∈R ，i=1-）在复平面上对应的点不可能位于 ． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限17．已知f （x ）=asin x +b 3x ＋4（a ，b 为实数）且f [lg （lg 310）]=5，则f [lg （lg3）]= ．A ．−5B ．−3C ．3D ．随a ，b 取不同值而取不同值18．已知四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝3π，PD ⊥平面ABCD ，线段PD ＝AD ，点E 是AB 的中点，点F 是PD 的中点，则二面角P －AB －F 的平面角的余弦值＝ ．A ．21 B ．552 C ．1475D ．1473 19．在（32-）50的展开式中有 项为有理数．A ．10B ．11C ．12D ．1320．棱长为a 的正方体内有两球互相外切，且两球各与正方体的三个面相切．则两球半径之和为为 ．A ．无法确定B ．aC ．a 233-D ．a 255- 21．在集合{1，2，…11}中任选两个作为椭圆方程12222=+by a x 中的a 和b ，则能组成落在矩形区域{（x ，y ）||x |<11，|y |<9}内的椭圆个数是 ．A ．70B ．72C ．80D ．8822．设a ，b ，c 为非负实数，且满足方程02562684495495=+⨯-++++cb a cb a ，则a+b+c的最大值和最小值 ．A ．互为倒数B ．其和为13C ．其乘积为4D ．均不存在23．给定正整数n 和正常数a ，对于满足不等式a 12+a n+12≤a 的所有等差数列a 1，a 2，a 3，…，和式∑++=1211n n i a的最大值＝ ．A ．)1(210+n aB ．n a210 C ．)1(25+n aD ．n a 2524．设z 0（z 0≠0）为复平面上一定点，z 1为复平面上的动点，其轨迹方程为|z 1−z 0|=|z 1|，z 为复平面上另一个动点满足z 1z =−1．则z 在复平面上的轨迹形状是 ．A ．一条直线B ．以01z -为圆心，01z 为半径的圆 C ．焦距为012z 的双曲线 D ．以上均不对25．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积为 ．A ．3123a π B ．343a π C ．3242a π D ．3243a π 26．已知函数f （x ）的定义域为（0，2），则函数g （x ）=f （x +c ）+f （x −c ） 在 0＜21时的定义域为 ．A ．（1−c ，2+c ）B ．（c ，2−c ）C ．（1−c ，2−c ）D ．（c ，2+c ） 27．设函数f （x ）=sin （2x +ϕ），（−π<ϕ<0），y =f （x ）图象的一条直线x =8π．则ϕ的值为 ．A ．4πB ．43πC ．－43πD ．2π28．设f （x ）是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数．已知当x ∈[2，3]时，f （x ）=−x ，则当x ∈[－2，0］时，f （x ）的表达式为 ．A ．−3+|x +1|B ．2−|x +1|C ．3−|x +1|D ．2+|x +1|29．当a 和b 取遍所有实数时，则函数f （a ，b ）=（a+5−3|cosb|）2+（a −2）|sinb|）2所能达到的最小值为 ．A ．1B ．2C ．3D ．430．对任意实数x ，y ，定义运算x ºy 为x ºy ＝a x +b y +c xy ，其中a ，b ，c 为常数，且等式右端中的运算为通常的实数加法、乘法运算．已知1º2＝3，2º3＝4且有一个非零实数d ，使得对于任意实数x 均有x ºd=x ，则d= ．A ．－4B ．－2C ．1D ．4历年自主招生考试数学试题大全专题下载链接：/a760682.html链接打开方法：1、按住ctrl键单击链接即可打开专题链接2、复制链接到网页。
2018名校北京大学自主招生考试真题(博雅计划、筑梦计划)
语文、数学、英语，三科一套卷子，各100分，共300分。共120题，全部是选择题。其中，语文50题、数学20题、英语50题。
与2017年相比较，语文题量增加，数学、英语题量减少。
三、笔试难度：
据考生反应，相对往年，今年数学题偏简单，类似于高考的难题比较多；英语30%是词汇选择题，30%是完形填题空，40%是阅读理解题；语文题有辨析错别字题和病句题。
四、笔试真题：
（一）数学：
“绕行”，以后再说。
（二）语文：
10个字音字形题，比较基础；14个病句题、词语题和连接句子等；10个文学常识题，涉及与诗歌作品有关的地点、诗歌风格；经史子集的作品；成语出处等；有两篇现代文阅读，考查了“填写适当的词语”，理解文意“选出不正确的一项”等。
北京大学博雅计划
“北大博雅”试题，总体上反映，物理有些难，其他科目难度略高于高考难度。
“博雅”：数学有20个选择题，高于高考难度；英语和前面的自招差不多；语文没有简答题，是填空题、选择题和大小作文题的“拼盘”，难度还可以。
北京学筑梦计划
6月11日下午，“北大筑梦计划”面试开始测试。
面试内容涉及“社会现象、人文社科类”等问题的评析。重点考查考生的思辨能力，考查考生“社会常识”等知识的储备，有关专门性和专业性的问题，很少或者说几乎没有。
“筑梦计划”面试题目很多，一个桌子就有10个题目，每个人有两次换题的机会。
注意：有自我介绍环节。老套而不俗套！
面试真题：
1.就清明上河图、洛神赋，谈谈你的看法； 2.谈谈你对芯片植入大脑的看法； 3.请阐述科技和文化直接的关系； 4.未来机器人会创造诗和画，对此，你怎么看？ 5.人和其他灵长类动物有没有道德上的区别？
2018名校自主招生考试真题（1）：北京大学
2018年清华大学自主招生试题数学Word版含解析
一、选择题1.设复数z=cos 23π+isin 23π，则2111-1z z +-=（ ） (A)0 (B)1 (C)12 (D)322.设数列{}n a 为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的( )条件(A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要 3.设A 、B 是抛物线y=2x 上两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB,则( )(A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥22(C)直线AB 过抛物线y=2x 的焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于14.设函数()f x 的定义域为(-1,1)，且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②()f x +()f y =()1x yf xy++，x 、y ∈(-1,1)，则()f x 为 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数5.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点，则F(x)=f (x)−kx 有（ ）(A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点 6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2，∠C=3π，且sinC+sin(B −A)−2sin2A=0,则有（ ） (A)b=2a (B)△ABC 的周长为3 (C)△ABC 的面积为33(D)△ABC 的外接圆半径为337.设函数2()(3)xf x x e =-，则（ ）(A)()f x 有极小值，但无最小值 (B) ()f x 有极大值，但无最大值 (C)若方程()f x =b 恰有一个实根，则b>36e(D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根，则0<b<36e 8.已知A={(x,y)∣222x y r +=}，B={(x,y)∣222()()x a y b r -+-=，已知A∩B={(11,x y ),(22,x y )}，则（ ）(A)0<22a b +<22r (B)1212()(y )0a x x b y -+-= (C)12x x +=a ，12y y +=b (D)22a b +=1122ax by +9.已知非负实数x,y,z 满足22244x y z +++2z=3，则5x+4y+3z 的最小值为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)410.设数列{n a }的前n 项和为n S ，若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n S =m a ，则（ ）（A ）{n a }可能为等差数列 （B ）{n a }可能为等比数列（C ）{n a }的任意一项均可写成{n a }的两项之差(D)对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n a =m S11.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（ ） (A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁12.长方体ABCD −1111A B C D 中，AB=2，AD=A 1A =1，则A 到平面1A BD 的距离为（ ）(A)13 (B)23(C)2 (D)313.设不等式组||||22(1)x y y k x +≤⎧⎨+≤+⎩所表示的区域为D ，其面积为S ，则（ ）(A)若S=4，则k 的值唯一 (B)若S=12，则k 的值有2个(C)若D 为三角形，则0<k ≤23(D)若D 为五边形，则k>4 14.△ABC 的三边长是2,3,4，其外心为O ，则OA AB OB BC OC CA ⋅+⋅+⋅=（ ） (A)0 (B)−15 (C)−212(D)−29215.设随机事件A 与B 互相独立，且P(B)=0.5，P(A −B)=0.2，则（ ）(A)P(A)=0.4 (B)P(B −A)=0.3 (C)P(AB)=0.2 (D)P(A+B)=0.916.过△ABC 的重心作直线将△ABC 分成两部分，则这两部分的面积之比的（ ） (A)最小值为34 (B)最小值为45 (C)最大值为43 (D 最大值为5417.从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（ ）(A)105种 (B)225种 (C)315种 (D)420种18.已知存在实数r ，使得圆周222x y r +=上恰好有n 个整点，则n 可以等于（ ） (A)4 (B)6 (C)8 (D)12 19.设复数z 满足2|z|≤|z −1|，则（ ） (A)|z|的最大值为1 (B)|z|的最小值为13 (C)z 的虚部的最大值为23(D)z 的实部的最大值为1320.设m,n 是大于零的实数，a =(mcosα,msinα)，b =(ncosβ,nsinβ)，其中α,β∈[0,2π)α,β∈[0,2π)．定义向量12a =(2α2α),12b =(2β2β)，记θ=α−β，则（ ）(A)12a ·12a =a (B)1122a b ⋅=2θ(C)112222||44a b mn θ-≥(D)112222||44a b mn θ+≥21.设数列{n a }满足：1a =6，13n n n a a n++=，则（ ） (A)∀n ∈N ∗,n a <3(1)n + (B)∀n ∈N ∗,n a ≠2015 (C)∃n ∈N ∗,n a 为完全平方数 (D)∃n ∈N ∗, n a 为完全立方数 22.在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有（ ） （A ）ρ=1cos sin θθ+ （B ）ρ=12sin θ+ （C ）ρ=12cos θ- （D ）ρ=112sin θ+23.设函数2sin ()1xf x x x π=-+，则（ ）（A ）()f x ≤43(B)|()f x |≤5|x| (C)曲线y=()f x 存在对称轴 (D)曲线y=()f x 存在对称中心24.△ABC 的三边分别为a ,b,c ，若△ABC 为锐角三角形，则（ ） (A)sinA>cosB (B)tanA>cotB (C)222a b c +> (D)333a b c +>25.设函数()f x 的定义域是(−1,1)，若(0)f =(0)f '=1，则存在实数δ∈(0,1)，使得（ ） (A)()f x >0，x ∈(−δ,δ) (B)()f x 在(−δ,δ)上单调递增 (C)()f x >1，x ∈(0,δ) (D)()f x >1，x ∈(−δ,0)26.在直角坐标系中，已知A(−1,0)，B(1,0)．若对于y 轴上的任意n 个不同的点k P (k=1,2,…,n)，总存在两个不同的点i P ,j P ，使得|sin ∠A i P B −sin ∠A j P B|≤13，则n 的最小值为（ ）(A)3 (B)4 (C)5 (D)627.设非负实数x,y 满足2x+y=1，则）(A)最小值为45 (B)最小值为25(C)最大值为1 (D)最大值为1328.对于50个黑球和49个白球的任意排列（从左到右排成一行），则（ ）(A)存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多 (B)存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多(C)存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个 (D)存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个29.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数，其中有两个数字各用两次，例如12231，则能得到的不同的五位数有（ ） (A)300个 (B)450个 (C)900个 (D)1800个30.设曲线L 的方程为42242(22)(2)y x y x x +++-=0，则（ ） (A)L 是轴对称图形 (B)L 是中心对称图形 (C)L ⊂{(x,y)∣22x y +≤1} (D)L ⊂{(x,y)∣−12≤y ≤12} ##Answer## 1.【解析】2111-1z z +-=211-zz z zz z +-=11-z z z z +-=22cos sin 1332221-cos sin 2sin 333i i i πππππ-+--=212sin 2sincos333i πππ-⋅-22cos()sin()33sin )22i i ππππ-+-+ =cos 0sin 02sin [cos()sin()]366i i πππ+-+-77)sin()]66i ππ-+-1sin )662i i ππ+=1，选B2.【简解】 ()p q k l a a a a +-+=[(p+q)-(k+l)]d ，与公差d 的符号有关，选D3.【解析】设A(211,x x ),B(222,x x ),OA OB ⋅=1212(1)x x x x +=0⇒211x x =-答案(A),||||OA OB ⋅=2，正确；答案(B),|OA|+|OB|≥22,正确；答案(C),直线AB 的斜率为222121x x x x --=21x x +=111x x - 方程为y-21x =(111x x -)(x-1x ),焦点(0,14)不满足方程，错误；答案(D)，原点到直线AB ：(111x x -)x-y+1=0的距离1，正确。
2018年___自主招生数学试卷(含答案解析)
2018年___自主招生数学试卷(含答案解析)2018年___自主招生数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.√16的平方根是()A.4B.±4C.22.若√(1−x)2=x−1成立，则x满足()A.x≥1B.x≥C.x≤1D.±23.已知x=√5−1，则x2+2x的值是()A.2B.3C.4D.54.如图所示的四条直线a、b、c、d，直线a、b与水平线平行，以其中一条为x轴，d与水平线垂直，取向右为正方向；直线c、以其中一条为y轴，取向上为正方向．某同学在此坐标平面上画了二次函数x=xx2+2xx+2(x≠0)的图象如图，则下面结论正确的是()A.a为x轴，c为y轴B.a为x轴，d为y轴C.b为x轴，c 为y轴D.b为x轴，d为y轴5.如图，已知AB为圆的直径，C为半圆上一点，D为半圆的中点，xx⊥xx，垂足为H，HM平分∠xxx，HM交AB于x.若xx=3，xx=1，则MH长为()A.1B.1.5C.0.5D.0.76.如图，△xxx中，∠x=90°，D是BC边上一点，∠xxx=3∠xxx，xx=8，xx=7.则AB的值为()A.15B.20C.2√2+7D.2√2+√7二、填空题（本大题共10小题，共40.0分）7.已知实数x、y满足x+2x=5，则x−x=3.8.分解因式：x2+4xx+4x2+x+2x−2=(x+2x+1)2−3.9.在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(x,3)，(3x−1,3)，若线段AB与直线x=2x+1相交，则m的取值范围为(0,1)。
10.若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是9cm。
11.如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D、N处，B在同一直线上，分别落在M、F与BE交于点G.设AB=√3，那么△xxx的周长为4+4√3.12.如图，已知点x1，x2，…，xx均在直线x=x−1上，点x1，x2，…，xx均在双曲线x=−x上，x1x1⊥x并且满足：x1x2⊥x轴，x2x2⊥x轴，…，xx−1xx⊥x轴，xxxx⊥x轴，且x1x2=x2x3=…=xx−1xx，则n的最小值为2.1.由题意可知，点B在x轴负半轴，点A在x轴正半轴，且AB垂直于x轴，因此AB的斜率为0，即AB为x轴，所以B的纵坐标为0.又因为B在x轴负半轴，所以其横坐标为负数，设为-a。
2018年武汉大学自主招生数学试题
2018年武汉大学自主招生数学试题1.对于数列{u n }，若存在常数M >0，对任意的n ∈N +，恒有|u n +1−u n |+|u n −u n −1|+···+|u 2−u 1|≤M,则称数列{u n }为B 数列.（I ）首项为1，公比为q (|q |<1)的等比数列是否为B 数列？请说明理由；（II ）设S n 为数列{x n }的前n 项和，给出下列两组论断：A 组：1⃝数列{x n }是B 数列，2⃝数列{x n }不是B 数列B 组：1⃝数列{S n }是B 数列，2⃝数列{S n }不是B 数列请以其中一组的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论，组成一个命题，并判断所给命题的真假，并证明你的结论；（III ）若数列{a n },{b n }都是B 数列，证明：{a n b n }也是B 数列.2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1,F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左，右焦点，A,B 是椭圆E 的左，右顶点，D (1,0)为线段OF 2的中点，且−−→AF 2+5−−→BF 2=−→0.（I ）求椭圆E 的方程；（II ）若M 为椭圆E 上的动点（异与点A,B ），连接MF 1并延长交椭圆E 于点N ，连接MD.ND 并分别延长交椭圆E 于点P,Q ，连接P Q .设直线MN 、P Q 的斜率存在且分别为k 1,k 2,试问是否存在常数λ，使得k 1+λk 2=0恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由.3.已知函数f (x )=ln x −ax +a x,其中a 为常数.（I ）若f (x )的图像在x =1处的切线经过点(3,4)，求a 的值；（II ）若0<a <1,求证：f Äa 22ä>0；（III ）当函数f (x )存在三个不同的零点时，求a 的取值范围.4.设x,y,z 为非负实数，满足xy +yz +zx =1,证明：1x +y +1y +z +1z +x ≥52.5.设f (x )是定义在区间(1,+∞)上的函数，其导函数为f ′(x ),如果存在实数a 和函数h (x ),其中h (x )对任意的x ∈(1,+∞)都有h (x )>0,使得f ′(x )=h (x )(x 2−ax +1),则称函数f (x )具有性质P (a ).（I ）设函数f (x )=ln x +b +2x +1(x >1),其中b 为常数，1⃝求证：函数f (x )具有性质P (a )；2⃝求函数f(x)的单调区间；（II）已知函数g(x)具有性质P(2)，给定x1,x2∈(1,+∞),x1<x2,设m为实数，α=mx1+ (1−m)x2,β=(1−m)x1+mx2,且α>1,β>1,若|g(α)−g(β)|≤|g(x1)−g(x2)|,求m的取值范围.。
XXX2018-2019年自招真题数学试卷(含答案)
XXX2018-2019年自招真题数学试卷(含答案)1.已知$a$、$b$、$c$是一个三角形的三边，则$a+b+c-2ab-2bc-2ca$的值是（）。
A。
恒正 B。
恒负 C。
可正可负 D。
非负答案：选B根据三角形两边之和大于第三边的性质，可得$a+b-c>0$，$a-b+c>0$，$a+b+c>0$，$-a+b+c>0$。
将其代入原式，得$(a-b+c)(a+b-c)(-a+b+c)(a+b+c-2ab-2bc-2ca)<0$，因此原式恒为负数，选B。
2.设$m$，$n$是正整数，满足$m+n>mn$，给出以下四个结论：①$m$，$n$都不等于1；②$m$，$n$都不等于2；③$m$，$n$都大于1；④$m$，$n$至少有一个等于1，其中正确的结论是（）。
A。
① B。
② C。
③ D。
④答案：选D将$m+n-mn>0$移项得$(m-1)(n-1)<1$。
因为$m$，$n$是正整数，所以只有$m=1$，$n=1$或$m=1$，$n=2$或$m=2$，$n=1$不满足条件，而$m=1$，$n$任意或$m$任意，$n=1$都满足条件，因此选D。
3.已知关于$x$的方程$2x+a=x+a$有一个根为1，则实数$a$的值为（）。
A。
$\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$ B。
$0$ C。
$1$ D。
以上答案都不正确答案：选A将$x=1$代入方程，得$2+a=1+a$，解得$a= \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$。
当$a=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$时，方程化简后为$2x^2+2x+(1+\sqrt{5})=0$，无实根，舍去；当$a=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$时，方程化简后为$x^2-x-(1+\sqrt{5})=0$，有一个根为1，因此选A。
4.已知$a$，$b$，$c$是不完全相等的任意实数，若$x=a-2b+c$，$y=a+b-2c$，$z=-2a+b+c$，则关于$x$，$y$，$z$的值，下列说法正确的是（）。
XXX2018自主招生数学试卷(PDF版)
XXX2018自主招生数学试卷(PDF版) XXX自主招生试卷1.已知 $x+x=-3$，求 $x^3+x^3+1000$。
2.已知 $x+1/x=x/(x+t)$，求所有可能的 $t$ 之和。
3.平行四边形 $ABCD$ 中，$AB=15$，$CD=10$，$AD=3$，$CB=4$，求其面积。
4.已知 $y=x^3-4x+6$，其中 $a\leq x\leq b$，且 $x$ 的最小值为 $a$，最大值为 $b$，求 $a+b$。
5.已知 $y=2(x-2)^2+m$，若抛物线与 $x$ 轴交点与顶点组成正三角形，求 $m$ 的值。
6.正方形 $ABCD$ 边长为 $200$，$BC$ 以 $BC$ 为直径的半圆，$DE$ 为 $BC$ 的切线，求 $DE$ 的长。
7.在直角坐标系中，已知 $\triangle ABC$，$B(2,0)$，$C(9/2,0)$，过点 $O$ 作直线 $DMN$，$OM=MN$，求$M$ 的横坐标。
8.四圆相切，$\odot B$ 与 $\odot C$ 半径相同，$\odotA$ 过 $\odot D$ 圆心，$\odot A$ 的半径为 $9$，求 $\odotB$ 的半径。
9.横纵坐标均为整数的点为整点，$1/2<m<a$，$y=mx+a(1\leq x\leq 100)$，不经过整点，求 $a$ 可取到的最大值。
10.已知 $G$ 为 $\triangle ABC$ 的重心，$DE$ 过重心，$S_{\triangle ABC}=1$，求 $S_{\triangle ADE}$ 的最大值，并证明结论。
科学素养1.已知直角三角形三边长为整数，有一条边长为 $85$，求另两边长（写出 $10$ 组）。
2.阅读材料，根据凸函数的定义和性质解三道小题，其中第（3）小题为不等式证明 $f[bx_1+(1-b)x_2]<bf(x_1)+(1-b)f(x_2)$，分别取 $b=11/4$ 和 $b=3$。
2018年XXX自招题-含答案解析
2018年XXX自招题-含答案解析1.已知三角形的三边为a、b、c，求a+b+c-2ab-2bc-2ca的值。
解：使用三角形的面积公式，我们可以得到a²+b²+c²=2ab+2bc+2ca。
将其代入原式可得a+b+c-2ab-2bc-2ca=(a²+b²+c²)-(a+b+c)=-2(a+b+c)+2(ab+bc+ca)=-2(a+b+c-2(ab+bc+ca)/2)=-2(a-b+c)×(a+b-c)/2=-2(a-b+c)(c-a+b)/2.因为a、b、c是一个三角形的三边，所以a-b+c>0，c-a+b>0，a+b-c>0，a-b+c-c+a+b>0，所以(a-b+c)(c-a+b)>0，即a-b+c和c-a+b同号，a+b-c<0，所以(a-b+c)(a+b-c)<0，即a-b+c和a+b-c异号，所以(a-b+c)(c-a+b)(a+b-c)<0，即a+b+c-2ab-2bc-2ca<0，即恒负。
因此选B。
2.已知m、n是正整数，满足m+n>mn，判断以下四个结论的正确性。
解：将m+n-mn>0移项得(m-1)(n-1)<1，因为m、n是正整数，所以m-1≥1，n-1≥1，所以(m-1)(n-1)≥1，与(m-1)(n-1)<1矛盾。
因此(m-1)(n-1)≥1，即m、n至少有一个等于1，故选D。
3.已知方程2x+a=x+a的一个根为1，求实数a的值。
解：将x=1代入方程可得2+a=1+a，整理得a=0.因此选A。
4.已知a、b、c是不完全相等的任意实数，令x=a-2b+c，y=a+b-2c，z=-2a+b+c，判断关于x、y、z的值的说法正确性。
解：将x、y、z相加可得x+y+z=-2a-2b-2c=-2(a+b+c)，因此x+y+z的XXX为负数，故说法B正确，至少有一个大于。
2018年北京清华大学自主招生暨领军计划数学试题Word版含解析
2018年清华大学自主招生暨领军计划试题1．已知函数x e a x x f )()(2+=有最小值，则函数a x x x g ++=2)(2的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．取决于a 的值 【答案】C【解析】注意)()(/x g e x f x=，答案C ．2． 已知ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边为c b a ,,．下列条件中，能使得ABC ∆的形状唯一确定的有（ ）A ．Z c b a ∈==,2,1B ．B bC a C c A a A sin sin 2sin sin ,1500=+=C ．060,0sin cos )cos(cos sin cos ==++C C B C B C B A D ．060,1,3===A b a【答案】AD ．3．已知函数x x g x x f ln )(,1)(2=-=，下列说法中正确的有（ ） A ．)(),(x g x f 在点)0,1(处有公切线B ．存在)(x f 的某条切线与)(x g 的某条切线平行C ．)(),(x g x f 有且只有一个交点D ．)(),(x g x f 有且只有两个交点【答案】BD【解析】注意到1-=x y 为函数)(x g 在)0,1(处的切线，如图，因此答案BD ．4．过抛物线x y 42=的焦点F 作直线交抛物线于B A ,两点，M 为线段AB 的中点．下列说法中正确的有（ ）A ．以线段AB 为直径的圆与直线23-=x 一定相离 B ．||AB 的最小值为4 C ．||AB 的最小值为2D ．以线段BM 为直径的圆与y 轴一定相切 【答案】AB【解析】对于选项A ，点M 到准线1-=x 的距离为||21|)||(|21AB BF AF =+，于是以线段AB 为直径的圆与直线1-=x 一定相切，进而与直线23-=x 一定相离；对于选项B ，C ，设)4,4(2a a A ，则)1,41(2a a B -，于是2414||22++=a a AB ，最小值为4．也可将||AB 转化为AB 中点到准线的距离的2倍去得到最小值；对于选项D ，显然BD 中点的横坐标与||21BM 不一定相等，因此命题错误． 5．已知21,F F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点．下列说法中正确的有（ ） A ．b a 2=时，满足02190=∠PF F 的点P 有两个 B ．b a 2>时，满足02190=∠PF F 的点P 有四个C ．21F PF ∆的周长小于a 4D ．21F PF ∆的面积小于等于22a【答案】ABCD ．【解析】对于选项A ，B ，椭圆中使得21PF F ∠最大的点P 位于短轴的两个端点；对于选项C ，21PF F ∆的周长为a c a 422<+；选项D ，21PF F ∆的面积为22212121212||||21sin ||||21a PF PF PF F PF PF =⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤∠⋅． 6．甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖．比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测： 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中； 乙：我没有获奖，丙获奖了； 丙：甲、丁中有且只有一个获奖； 丁：乙说得对．已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】BD【解析】乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD ．7．已知AB 为圆O 的一条弦（非直径），AB OC ⊥于C ，P 为圆O 上任意一点，直线PA 与直线OC 相交于点M ，直线PB 与直线OC 相交于点N ．以下说法正确的有（ ） A ．P B M O ,,,四点共圆 B ．N B M A ,,,四点共圆 C ．N P O A ,,,四点共圆D ．以上三个说法均不对【答案】AC【解析】对于选项A ，OPM OAM OBM ∠=∠=∠即得；对于选项B ，若命题成立，则MN 为直径，必然有MAN ∠为直角，不符合题意；对于选项C ，MAN MOP MBN ∠=∠=∠即得．答案：AC ．8．C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++是ABC ∆为锐角三角形的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】必要性：由于1cos sin )2sin(sin sin sin >+=-+>+B B B B C B π，类似地，有1sin sin ,1sin sin >+>+A B A C ，于是C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++．不充分性：当4,2ππ===C B A 时，不等式成立，但ABC ∆不是锐角三角形．9．已知z y x ,,为正整数，且z y x ≤≤，那么方程21111=++z y x 的解的组数为（ ） A ．8B ．10C ．11D ．12【答案】B 【解析】由于xz y x 311121≤++=，故63≤≤x ． 若3=x ，则36)6)(6(=--z y ，可得)12,12(),15,10(),18,9(),24,8(),42,7(),(=z y ； 若4=x ，则16)4)(4(=--z y ，可得)8,8(),12,6(),20,5(),(=z y ； 若5=x ，则6,5,320,211103=≤≤+=y y y z y ，进而解得)10,5,5(),,(=z y x ； 若6=x ，则9)3)(3(=--z y ，可得))6,6(),(=z y ． 答案：B ．10．集合},,,{21n a a a A Λ=，任取A a a A a a A a a n k j i i k k j j i ∈+∈+∈+≤<<≤,,,1这三个式子中至少有一个成立，则n 的最大值为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B11．已知000121,61,1===γβα，则下列各式中成立的有（ ） A ．3tan tan tan tan tan tan =++αγγββα B ．3tan tan tan tan tan tan -=++αγγββαC ．3tan tan tan tan tan tan =++γβαγβαD ．3tan tan tan tan tan tan -=++γβαγβα【答案】BD【解析】令γβαtan ,tan ,tan ===z y x ，则3111=+-=+-=+-zxzx yz y z xy x y ，所以)1(3),1(3),1(3zx z x yz y z xy z y +=-+=-+=-，以上三式相加，即有3-=++zx yz xy ．类似地，有)11(311),11(311),11(311+=-+=-+=-zxx z yz z y xy y x ，以上三式相加，即有3111-=++=++xyzz y x zx yz xy ．答案BD ． 12．已知实数c b a ,,满足1=++c b a ，则141414+++++c b a 的最大值也最小值乘积属于区间（ ）A ．)12,11(B ．)13,12(C ．)14,13(D ．)15,14(【答案】B【解析】设函数14)(+=x x f ，则其导函数142)(/+=x x f ，作出)(x f 的图象，函数)(x f 的图象在31=x 处的切线321)31(7212+-=x y ，以及函数)(x f 的图象过点)0,41(-和)7,23(的割线7174+=x y ，如图，于是可得321)31(7212147174+-≤+≤+x x x ，左侧等号当41-=x 或23=x 时取得； 右侧等号当31=x 时取得．因此原式的最大值为21，当31===c b a 时取得；最小值为7，当23,41=-==c b a 时取得，从而原式的最大值与最小值的乘积为)169,144(37∈．答案B ．13．已知1,1,,,222=++=++∈z y x z y x R z y x ，则下列结论正确的有（ ） A ．xyz 的最大值为0 B ．xyz 的最大值为274- C ．z 的最大值为32D ．z 的最小值为31-【答案】ABD14．数列}{n a 满足)(6,2,1*1221N n a a a a a n n n ∈-===++，对任意正整数n ，以下说法中正确的有（ ）A ．n n n a a a 221++-为定值 B ．)9(mod 1≡n a 或)9(mod 2≡n aC ．741-+n n a a 为完全平方数D ．781-+n n a a 为完全平方数 【答案】ACD 【解析】因为2112221122213226)6(++++++++++++-=--=-n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a n n n n n n n a a a a a a a 22121122)6(++++++-=+-=，选项A 正确；由于113=a ，故76)6(2121121221-=+-=--=-++++++n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ，又对任意正整数恒成立，所以211211)(78,)(74n n n n n n n n a a a a a a a a +=--=-++++，故选项C 、D 正确．计算前几个数可判断选项B 错误．说明：若数列}{n a 满足n n n a pa a -=++12，则n n n a a a 221++-为定值．15．若复数z 满足11=+zz ，则z 可以取到的值有（ ） A ．21B ．21-C ．215- D ．215+ 【答案】CD 【解析】因为11||1||=+≤-zz z z ，故215||215+≤≤-z ，等号分别当i z 215+=和i z 215-=时取得．答案CD ． 16． 从正2016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若正多边形的个数为（ ） A ．6552 B ．4536 C ．3528 D ．2016 【答案】C【解析】从2016的约数中去掉1，2，其余的约数均可作为正多边形的边数．设从2016个顶点中选出k 个构成正多边形，这样的正多边形有k2016个，因此所求的正多边形的个数就是2016的所有约数之和减去2016和1008．考虑到732201625⨯⨯=，因此所求正多边形的个数为352810082016)71)(931)(32168421(=--++++++++．答案C ．17．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与直线x y l x y l 21:,21:21-==，过椭圆上一点P 作21,l l 的平行线，分别交21,l l 于N M ,两点．若||MN 为定值，则=ba（ ） A ．2B ．3C ．2D ．5【答案】C【解析】设点),(00y x P ，可得)2141,21(),2141,21(00000000y x y x N y x y x M +--++，故意2020441||y x MN +=为定值，所以2,1641422===b a b a ，答案：C ．说明：（1）若将两条直线的方程改为kx y ±=，则kb a 1=；（2）两条相交直线上各取一点N M ,，使得||MN 为定值，则线段MN 中点Q 的轨迹为圆或椭圆．18． 关于y x ,的不定方程y x 21652=+的正整数解的组数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B19．因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序．例如，三个实数c b a ,,相乘的时候，可以有Λ),(),(,)(,)(ca b ab c c ba c ab 等等不同的次序．记n 个实数相乘时不同的次序有n I 种，则（ ）A ．22=IB ．123=IC ．964=ID ．1205=I 【答案】B【解析】根据卡特兰数的定义，可得1121221)!1(!1------=⋅==n n n n nn n n C n n C nA C I ．答案：AB ． 关于卡特兰数的相关知识见《卡特兰数——计数映射方法的伟大胜利》．20．甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军．4个人相互比赛的胜率如表所示：表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是0.3，乙击败丁的概率是0.4．那么甲刻冠军的概率是 ． 【答案】0.165【解析】根据概率的乘法公式 ，所示概率为165.0)8.05.03.05.0(3.0=⨯+⨯．21．在正三棱锥ABC P -中，ABC ∆的边长为1．设点P 到平面ABC 的距离为x ，异面直线CP AB ,的距离为y ．则=∞→y x lim ．【答案】23【解析】当∞→x 时，CP 趋于与平面ABC 垂直，所求极限为ABC ∆中AB 边上的高，为23． 22．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，中心为A A E A BC BF O 1141,21,==，则四面体OEBF 的体积为 ．【答案】196【解析】如图，EBF G EBF O OEBF V V V --==21961161212111=⋅==--B BCC E GBF E V V ．23．=+-⎰-dx x x n n )sin 1()(22012ππ ．【答案】0【解析】根据题意，有0)sin 1()sin 1()(21222012=+=+-⎰⎰---dx x x dx x x n n n n ππππ．24．实数y x ,满足223224)(y x y x =+，则22y x +的最大值为 ． 【答案】1【解析】根据题意，有22222322)(4)(y x y x y x +≤=+，于是122≤+y x ，等号当2122==y x 时取得，因此所求最大值为1．25．z y x ,,均为非负实数，满足427)23()1()21(222=+++++z t x ，则z y x ++的最大值与最小值分别为 ． 【答案】2322- 【解析】由柯西不等式可知，当且仅当)0,21,1(),,(=z y x 时，z y x ++取到最大值23．根据题意，有41332222=+++++z y x z y x ，于是,)(3)(4132y z y x z y x +++++≤解得2322-≥++z y x ．于是z y x ++的最小值当)2322,0,0(),(-=yz x 时取得，为2322-． 26．若O 为ABC ∆内一点，满足2:3:4::=∆∆∆COA BOC AOB S S S ，设AC AB AO μλ+=，则=+μλ ．【答案】23【解析】根据奔驰定理，有329492=+=+μλ．27．已知复数32sin32cosππiz+=，则=+++2223zzzz．【答案】132i-【解析】根据题意，有iizzzzzz232135sin35cos122223-=+=-=+=+++ππ．28．已知z为非零复数，zz40,10的实部与虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，z所对应的向量OP的端点P运动所形成的图形的面积为.【答案】20010033003π+-【解析】设),(Ryxyixz∈+=，由于2||4040zzz=，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≥+≥≥,140,140,110,1102222yxyyxxyx如图，弓形面积为1003100)6sin6(20212-=-⋅⋅πππ，四边形ABCD的面积为100310010)10310(212-=⋅-⋅.于是所示求面积为30031003200)1003100()1003100(2-+=-+-ππ.29．若334tan=x，则=+++xxxxxxxxxxxcossincos2cossin2cos4cos2sin4cos8cos4sin．3【解析】根据题意，有xxxxxxxxxxxcossincos2cossin2cos4cos2sin4cos8cos4sin+++38tantan)tan2(tan)2tan4(tan)4tan8(tan==+-+-+-=xxxxxxxx．30．将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个44⨯的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有种填法．【答案】44100031．设A 是集合}14,,3,2,1{Λ的子集，从A 中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则A 中元素个数的最大值为 ．【答案】8【解析】一方面，设},,,{21k a a a A Λ=，其中141,*≤≤∈k N k ．不妨假设k a a a <<<Λ21． 若9≥k ，由题意，7,33513≥-≥-a a a a ，且1335a a a a -≠-，故715≥-a a ．同理759≥-a a ．又因为1559a a a a -≠-，所以1519≥-a a ，矛盾！故8≤k ．另一方面，取}14,13,11,10,5,4,2,1{=A ，满足题意．综上所述，A 中元素个数的最大值为8．。
2018自主招生考试数学
数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）．1．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）D．B C第3题第4题4．如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O，∠OCD的5．（3分）已知y=+（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（）226．如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为4的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“能接触到的部分”的面积是（）A.π-4 B. π C. π+12 D.415π+7．（3分）已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）排多一人的规律排列，则当n取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是（）A、296B、221C、225D、641第9题 第10题10．（3分）如图，正△ABC 中，P 为正三角形内任意一点，过P 作PD ⊥BC ，PE ⊥AB ，PF ⊥AC 连结AP 、BP 、CP ，如果，那么△ABC 的内切圆半径为（ ）二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（3分）与是相反数，计算= _________ ．12. 已知b a ,为有理数，且满足b a +=+33421，则b a -=______ 13．（3分）如图，M 、N 分别为△ABC 两边AC 、BC 的中点，AN 与BM 交于点O ，则= _________ ．第13题 第14题14．（3分）如图，已知圆O 的面积为3π，AB 为直径，弧AC 的度数为80°，弧BD 的度数为20°，点P 为直径AB 上任一点，则PC+PD 的最小值为 _________ ．15．（3分）从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，在不同的和数中，是2的倍数的个数为a ，是3的倍数的个数为b ，则样本6、a 、b 、9的中位数是 _________ ．三、解答题（72）16、某公交公司停车场内有15辆车，从上午6时开始发车（6时整第一辆车开出），以后每隔6分钟再开出一辆．第一辆车开出3分钟后有一辆车进场，以后每隔8分钟有一辆车进场，进场的车在原有的15辆车后依次再出车．问到几点时，停车场内第一次出现无车辆？17.如图，ABCD是矩形纸片，E是AB上一点，且BE：EA＝5：3，EC=155，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点为F，求AB、BC的长．第17题图18．（14分）如图，过正方形ABCD的顶点C在形外引一条直线分别交AB、AD延长线于点M、N，DM与BN交于点H，DM与BC交于点E，BN△AEF与DC交于点F．（1）猜想：CE与DF的大小关系？并证明你的猜想．（2）猜想：H是△AEF的什么心？并证明你的猜想．19．（15分）如图，已知菱形ABCD 边长为，∠ABC=120°，点P在线段BC延长线上，半径为r1的圆O1与DC、CP、DP分别相切于点H、F、N，半径为r2的圆O2与PD延长线、CB延长线和BD分别相切于点M、E、G．（1）求菱形的面积；（2）求证：EF=MN；（3）求r1+r2的值．20、已知A 1、A 2、A 3是抛物线221x y =上的三点，A 1B 1、A 2B 2、A 3B 3分别垂直于x 轴，垂足为B 1、B 2、B 3，直线A 2B 2交线段A 1A 3于点C.（1）如图18-1，若A 1、A 2、A 3三点的横坐标依次为1、2、3，求线段CA 2的长；（2）如图18-2，若将抛物线221x y =改为抛物线1212+-=x x y ，A 1、A 2、A 3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA 2的长；（3）若将抛物线221x y =改为抛物线c x b x a y ++=2，A 1、A 2、A 3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请猜想线段CA 2的长（用a 、b 、c 表示，并直接写出答案）.图18-2参考答案与试题解析2．（3分）如图，在△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（）．B CAD（（，（23．（3分）（2011•南漳县模拟）如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上，下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（）4．（3分）已知y=+（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（）22y=两边平方，求出定义域，然后利用函数的单调性求出函数的最大值和最小值，最y=，×，当5．（3分）（2010•泸州）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）．B C D6．（3分）已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）l=（7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，则以下结论正确的有：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1，m为实数）（）﹣，代入得（﹣）8．（3分）如图，正△ABC中，P为正三角形内任意一点，过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC连结AP、BP、CP，如果，那么△ABC的内切圆半径为（）C=3AB，三角形r=h=1二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）与是相反数，计算=．a+的值，再配方开平方即可得解．|﹣=3=3+2+=．故答案为：=310．（3分）若[x]表示不超过x的最大整数，，则[A]=﹣2．，≈A=++1+111．（3分）如图，M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，AN与BM交于点O，则=．MN=ABMN=AB故答案是12．（3分）如图，已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80°，弧BD的度数为20°，点P为直径AB 上任一点，则PC+PD的最小值为3．==80由=120．的度数为==80=100=20=+=100×13．（3分）从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，在不同的和数中，是2的倍数的个数为a，是3的倍数的个数为b，则样本6、a、b、9的中位数是 5.5．=5.514．（3分）由直线y=kx+2k﹣1和直线y=（k+1）x+2k+1（k是正整数）与x轴及y轴所围成的图形面积为S，则S的最小值是．（，（[﹣（）﹣=．15．（3分）（2010•随州）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一点E，ED=2cm，AD上有一点P，PD=3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是cm．x=PQ=．三、解答题（72）16、解：设从6时起x 分钟时停车场内第一次出现无车辆，此时总共出车S 辆，进场车y 辆，则⎪⎩⎪⎨⎧->+=-=3815)1(6x y y S S x ---------------------------------------------（6分）∴ 3)1(6)15(8-->-S S ， 解得 5.55>S ． -------------------（8分）∵ S 为正整数，∴ S ＝56，即到第56辆车开出后，停车场内第一次出现无车辆．此时330)156(6=-=x ，6+60330=11.5（时） 答：到11时30分时，停车场内第一次出现无车辆．--------------------------（12分）17.设k BE 5=，则k EA 3=，则在k AF AEF Rt 4=中有△，k BE AE AB CD 8=+==，由AEF ∆∽DFC ∆可得，k CF 10=，∴k CF BC 10==，（3分），在中有△BECRt k k k BC BE CE 55)10()5(2222=+=+=，∴51555=k ，3=k ，∴248==k AB ，3010==k BC （3分）18．（14分）如图，过正方形ABCD 的顶点C 在形外引一条直线分别交AB 、AD 延长线于点M 、N ，DM 与BN 交于点H ，DM 与BC 交于点E ，BN △AEF 与DC 交于点F ．（1）猜想：CE 与DF 的大小关系？并证明你的猜想．（2）猜想：H 是△AEF 的什么心？并证明你的猜想．第19题图利用平行线分线段成比例定理得到，从而得到，19．（15分）如图，已知菱形ABCD边长为，∠ABC=120°，点P在线段BC延长线上，半径为r1的圆O1与DC、CP、DP分别相切于点H、F、N，半径为r2的圆O2与PD延长线、CB延长线和BD分别相切于点M、E、G．（1）求菱形的面积；（2）求证：EF=MN；（3）求r1+r2的值．边长为，∠利用等边三角形的面积等于边长平方的×BE=O E=BG=DM=DG=6rDN=DH=6r MN=DM+DN=12（EF=EB+BC+CF=++边长为××）；BE=rr﹣DN=DH=6﹣﹣r+++=12（这个点与圆心的连线平分两切线的夹角；掌握菱形的性质，记住等边三角形的面积等于边长平方的20、解：（1）方法一：∵A 1、A 2、A 3三点的横坐标依次为1、2、3， ∴A 1B 1=211212=⨯，A 2B 2=22212=⨯，A 3B 3=293212=⨯. 设直线A 1A 3的解析式为y=kx+b. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=b k b k 32921 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==232b k ∴直线A 1A 3的解析式为 232-=x y . ∴CB 2=2×25232=- . ∴CA 2=CB 2-A 2B 2=21225=-. 方法二：∵A 1、A 2、A 3三点的横坐标依次为1、2、3， ∴A 1B 1=211212=⨯，A 2B 2=22212=⨯，A 3B 3=293212=⨯ . 由已知可得A 1B 1∥A 3B 3，∴CB 2=21(A 1B 1+A 3B 3)= 25)2921(21=+ . ∴CA 2=CB 2-A 2B 2=21225=- . ---------------------------------------------（4分） （2）方法一：设A 1、A 2、A 3三点的横坐标依次为 n-1、n 、n+1 . 则A 1B 1=1)1()1(212+---n n ，A 2B 2=1212+-n n ，A 3B 3=1)1()1(212++-+n n . 设直线A 1A 3的解析式为y=kx+b. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+=+++---=+-1)1()1(21)1(1)1()1(21)1(22n n b k n n n b k n 解得⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=232112n b n k ∴直线A 1A 3的解析式为 2321)1(2+--=n x n y . --------------------------------(8分) ∴CB 2=23212321)1(22+-=+--n n n n n . ∴CA 2=CB 2-A 2B 2=21121232122=-+-+-n n n n . -----------------------------------（10分） 方法二：设A 1、A 2、A 3三点的横坐标依次为n-1、n 、n+1 . 则A 1B 1=1)1()1(212+---n n ，A 2B 2=1212+-n n ，A 3B 3=1)1()1(212++-+n n 由已知可得A 1B 1∥A 3B 3，∴CB 2=21(A 1B 1+A 3B 3) = ]1)1()1(211)1()1(21[2122++-+++---n n n n =23212+-n n ∴CA 2=CB 2-A 2B 2=21)121(232122=-+-+-n n n n . （3）当a ＞0时，CA 2=a ；当a ＜0时，CA 2=-a. ---------------------------------（14分）。
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F
2018年大学自主招生数学模拟试题
答题时注意:
1、试卷满分150分;考试时间：120分钟.
2、试卷共三大题，计1６道题。
考试结束后，将本卷及演算的草稿纸一并上交。
一、选择题（共5小题，每题6分，共30分.以下每小题均给出了代号为A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号.不填、多填或错填均不得分）
1、如果关于x 的方程2
2
30x ax a -+-=至少有一个正根，则实数a 的取值围是（ ） A 、22<<-a B 、23≤<a C 、23≤<-a D 、23≤≤-a 2、如图，已知：点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC AB 、的中点，DF BD 、分别交CE 于点H G 、，若正方形ABCD 的面积是240，则四边形BFHG 的面积等于……………………（ ）
A 、26
B 、28
C 、24
D 、30
3 、设z y x 、、是两两不等的实数，且满足下列等式：
6
66
3
3
6
3
3
)()(z x x y x z x x y x ---=-+
-，则代数式
xyz z y x 33
33-++的值是………………… （ ）
A 、0
B 、1
C 、3
D 、条件不足，无法计算 4、如图，四边形BDC
E 接于以BC 为直径的⊙A ，已知：
︒=∠=∠=30,5
3
cos ,10BCE BCD BC ，则线段DE 的长
是………………… （ ）
A 、89
B 、73
C 、4+33
D 、3+43
5、某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成一个n 排的等腰梯形阵，且这n 排学生数按每排都比前一排
多一人的规律排列，则当n 取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是………………… （ ）
A 、296
B 、221
C 、225
D 、641
二、填空题：（共5小题，每题6分，共30分）
6、已知：实常数d c b a 、、、同时满足下列两个等式：⑴0cos sin =-+c b a θθ； ⑵0sin cos =+-d b a θθ（其中θ为任意锐角），则d c b a 、、、之间的关系式是：。
7、函数4433221-+-+-+-=x x x x y 的最小值是 。
8、已知一个三角形的周长和面积分别是84、210，一个单位圆在它的部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是 。
9、已知：2
53+=
x ，则2可用含x 的
有理系数三次多项式来表示为：2= 。
10、设p 、q 、r 为素数，则方程 2
2
2
3
r q p p ++= 的所有可能的解p 、q 、r 组成的三元数组( p , q , r )是 。
三、解答题（共6题，共90分）
11、（本题满分12分）
岩，徐婷婷，磊不但是同班同学，而且是非常要好的朋友，三个人的学习成绩不相伯仲，且在整个年级中都遥遥领先，高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学．后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告.报告后三个人还出了一道数学题：有一种密码把英文按字母分解，英文中的26a b c z ，，，，个字母（不论大小写）依次用12326，，，，这26个自然数表示，并给出如下一个变换公式：
⎪⎩⎪⎨⎧+++=的正偶数）是不超过其中的正奇数）是不超过其中26(13]2
1[26(1]2[x x x x
y ；已知对于任意的实数x ，记号[x ]表
示不超过x 的最大整数；将英文字母转化成密码，如1713]2
1
8[8=++→，即q h 变成 ，
再如61]2
11
[11=+→，即f k 变成。
他们给出下列一组密码：etwcvcjw ej ncjw
wcabqcv ，把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。
现在就请你把它翻译出来，并简单地
写出翻译过程。
12、（本题满分15分）
如果有理数m 可以表示成2
2
562y xy x +-（其中y x 、是任意有理数）的形式，我们就称m 为“世博数”。
⑴ 个“世博数”b a 、之积也是“世博数”吗？为什么？
⑵ 证明：两个“世博数”b a 、（0≠b ）之商也是“世博数”。
D
13、（本题满分15分）
如图，在四边形ABCD 中，已知△ABC 、△BCD 、△ACD 的面积之比是3∶1∶4，点
E 在边AD 上，CE 交BD 于G ，设
k EA
DE
GD BG ==。
⑴求32207+k 的值； ⑵若点H 分线段BE 成
2=HE
BH
的两段，且2222p DH BH AH =++，试用含p 的代数式表示△ABD 三边长的平方和。
14、（本题满分16分）
观察下列各个等式： ,304321,14321,521,112
222222222=+++=++=+=。
⑴你能从中推导出计算2
22224321n +++++ 的公式吗？请写出你的推导过程； ⑵请你用⑴中推导出的公式来解决下列问题：
已知：如图，抛物线322
++-=x x y 与x 、y 轴的正半轴分别交于点B A 、，将线段OA
n 等分，分点从左到右依次为1654321-n A A A A A A A 、、、、、、、 ，分别过这1-n 个点
作x 轴的垂线依次交抛物线于点1654321-n B B B B B B B 、、
、、、、、 ，设△1OBA 、 △211A B A 、△322A B A 、△433A B A 、…、△A B A n n 11--的面积依次为
n S S S S S 、、、、、 4321 。
①当2010n =时，求123452010S S S S S S +++++
+的值；
②试探究：当n 取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么？
A
K
L
O
P
S W
Y
15、（本题满分16分）
有如图所示的五种塑料薄板（厚度不计）：①两直角边分别为3、4的直角三角形ABC ； ②腰长为4、顶角为︒36的等腰三角形JKL ； ③腰长为5、顶角为︒120的等腰三角形OMN ；
④两对角线和一边长都是4且另三边长相等的凸四边形PQRS ；
⑤长为4且宽（小于长）与长的比是黄金分割比的黄金矩形WXYZ 。
它们都不能折叠，现在将它们一一穿过一个、外径分别为2.4、2.7的铁圆环。
我们规定：如果塑料板能穿过铁环圈，则称为此板“可操作”；否则，便称为“不可操作”。
⑴证明：第④种塑料板“可操作”；
⑵求：从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率。
16、（本题满分16分）
定义：和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆。
如图所示，已知：⊙I 是△ABC 的BC 边上的旁切圆，F E 、分别是切点，IC AD ⊥于点D 。
⑴试探究：F E D 、、三点是否同在一条直线上？证明你的结论。
⑵设,6,5===BC AC AB 如果△DIE 和△AEF 的面积之比等于m ，n EF
DE
=，试作出分别以m
n
n m 、为两根且二次项系数为6的一个一元二次方程。