高考数学答题模板：第8讲统计和古典概型的综合问题(含解析)

第8讲统计和古典概型的综合问题

例10某校高三(1)班共有40名学生，他们每天自主学习的时间全部在180分钟到330分钟之间，按他们学习时间的长短分5个组统计，得到如下频率分布表：

(1)求分布表中s，t的值；

(2)王老师为完成一项研究，按学习时间用分层抽样的方法从这40名学生中抽取20名进行研究，问应抽取多少名第一组的学生？

(3)已知第一组学生中男、女生人数相同，在(2)的条件下抽取的第一组学生中，既有男生又有女生的概率是多少？

审题破题根据频率、频数关系求s，t→

根据分层抽样特征求第一组抽取的学生数→

列举第一组中所有抽样的方法→利用古典概型求解

解(1)s＝8

40

＝0.2，t＝1－0.1－s－0.3－0.25＝0.15.

(2)设应抽取x名第一组的学生，则x

4＝20

40

，得x＝2.故应抽取2名第一组的学生．

(3)在(2)的条件下应抽取2名第一组的学生，记第一组中2名男生为a1，a2,2名女生为b1，b2.按学习时间用分层抽样的方法抽取2名第一组的学生共有6种结果，列举如下：a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2.其中既有男生又有女生被抽中的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2这4种结果，所以既

有男生又有女生被抽中的概率为P＝4

6＝2 3.

构建答题模板

第一步：定模型：根据统计知识确定元素(总体、个体)以及要解决的概率模型. 第二步：列事件：将所有基本事件列举出来(可用树状图).

第三步：算概率：计算基本事件总数n ，事件A 包含的基本事件数m ，代入公式P (A )＝m

n .

第四步：规范答：要回到所求问题，规范作答.

对点训练10 某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S ＝x ＋y ＋z 评价该产品的等级．若S ≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：

(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； (2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品． ①用产品编号列出所有可能的结果；

②设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B 发生的概率．

解 (1)计算10件产品的综合指标S ，如下表：

其中S ≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为6

10＝0.6，从而可估

计该批产品的一等品率为0.6.

(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种．

②在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，则事件B 发生的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}，共6种． 所以P (B )＝615＝25.