数学分析III复习题

数学分析III 复习题

一、填空题

1.设函数⎪⎩

⎪⎨⎧=+≠++=,0,,0,0,),(22222

2y x y x y x xy

y x f 则当00→→y x 及时),(y x f 的重

极限为 ，两个累次极限分别为 和 ．

2．

()()

=

-+++→11lim

2

2

2

20,0,y x y x y x ．

3．

()()

()=

++→220,0,1

sin

lim

y x y x y x ．

4. 设()y x e z x

+=sin 则=dz ．

5．设

()⎪⎩⎪⎨⎧

=+≠++=0,00,1sin ,22222

2y x y x y

x xy y x f 则()=0,0df 6. 设3

2),,(yz xy z y x f +=，)1,1,2(0-P 则=)(0P gradf ． 7．设2

),,(y xz z y x f +=，则 f 在点)1,1,1(0p 沿方向)1,2,2(:-l 的方向导数

为 ．

8．曲面

x y

z arctan

=在点⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1,1π处的切平面方程 法线方程 9．方程02=+--z

xy e z e 确定的隐函数的偏导数x z ∂∂= ，=∂∂y z

10. 函数()y

x y x f =,在点()4,1处3阶泰勒公式中()2

1-x 项的系数为 ．

11．设,tan ,sin 3,2

3x v x u v u z ==+=则=dz

12．设()0,=--bz y az x ϕ，则=

∂∂+∂∂y z

b x

z a

13．()x F =

⎰

+2

)()3(x dy

y f y x 则()='x F

14．()

⎰+→3

020lim dx

e x x ααα= 15．()

⎰+→1

20cos lim xdx

x ααα= .

16．

()⎰

⎰

2

ln 0

,e x

dy

y x f dx 交换积分次序得

17．π=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ21，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ27 =

⎪⎭⎫

⎝⎛+Γn 2

3

18.若()y x u ,是()()dy y x Q dx y x p ,,+的原函数，则应有 . 19. 若曲线积分⎰+L

Qdy

pdx 与路线无关，则必有 .

20． ()dy y y y x ydx y cos sin sin ++的原函数是 .

=

⎰⎰

--1

11

2

),(,.21x x dy y x f dx 交换积分次序.

)sin ,cos (:

.2220

cos 0

=⎰

⎰

π

θθθθrdr r r f d 的累次积分分转换成直角坐标系中将极坐标系中的累次积

⎰=

=+L

ds x y x L ||,1.2322则表示圆周设

⎰=

++L

ds z y x O A L 2)(,)0,0,0()2,1,2(.24则的直线段到原点为点设

⎰

=

+++++=-+-L

dy y x x y x dx y x y x L )]ln(5[,,1)1()1(.252

22222则

取逆时针方向表示圆周设

.______,)0(,0.262

222

22=++=+>==∑⎰⎰∑z

y x dS

R y x H H z z 则上的那一部分之间圆柱面是介于两平面已知

二、选择填空

(

)可微但不可求偏导

可微

连续且偏导数存在但不偏导数存在但不连续连续但偏导数不存在在原点函数....)0,0(0,00,),(.1222

22

2D C B A y x y x y x xy y x f ⎪⎩

⎪⎨⎧=+≠++= (

)

的极值点

可能不是的极大值点

必是的极小值点

必是的极值点必不是是则且满足

阶偏导数的某个邻域内有连续二在若函数),(.),(.),(.),(.),(,0),(),()],([,)(),(.200000020000y x f D y x f C y x f B y x f A y x 、

y x f y x f y x f y x y x f yy xx xy <-

()只有四条

只有三条

只有二条

只有一条

的切线平行

与平面的所有切线中在曲线....42,,,.332D C B A z y x t z t y t x =++===

(

)

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-=+≤+≤=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

1

022022

1

1

0202

1

2

2222)()(2.)(2.)()(2.)(2.)(,},21|),{(.4dr r rf dr r rf D dr

r rf C dr r rf dr r rf B dr

r rf A dxdy y x f D f y x y x D D

ππππ则

上的连续函数是区域设区域

()

⎰⎰⎰

⎰⎰⎰

⎰⎰⎰⎰⎰⎰

-++=

--+=20

40

cos 2220

40

cos 20

20

1

2

20

1

112222sin 4.4.4.4.11.52π

π

θπ

π

θπ

π

ϕϕθϕθθθr

r

r r dr

r d d D rdr

d d C dz

rdr d B dz

rdr d A y x z y x z 所围成的立体体积为

与锥面由球面

(

)

.

,0

.)sin cos (4.2.sin cos 2.)sin cos (,,)1,1(),1,1(),1,1(.61

1

1

1被积函数的奇偶性注意积分区域的对称性则积分的部分在第一象限是为顶点的三角形区域是平面上以点设D dxdy

y x xy C xydxdy

B ydxdy

x A dxdy y x xy I D D D D D D D

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+=

---

()

1

.8

1

.2..),(,1,0,),(),(,),(.72++

====+=⎰⎰xy D xy C xy

B xy

A y x f x x y y D dxdy y x f xy y x f y x f D

则所围成的区域和是由其中且连续设

()

3

3

3

3

222

3

1.5

1.6

1.4

1.)()()(,),0,()0,0,()0,0(2sin cos .8h D h C h B h A dz xy z dy xz y dx yz x

h R B R A h R t h z t R y t R x L L

=-+-+->>⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧

===⎰曲线积分

则

的一段弧到上从是螺线设π