信息论与编码-第4章
信息论与编码理论习题答案
信息论与编码理论习题答案LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】第二章 信息量和熵八元编码系统，码长为3，第一个符号用于同步，每秒1000个码字，求它的信息速率。
解：同步信息均相同，不含信息，因此 每个码字的信息量为 2⨯8log =2⨯3=6 bit因此，信息速率为 6⨯1000=6000 bit/s掷一对无偏骰子，告诉你得到的总的点数为：(a) 7; (b) 12。
问各得到多少信息量。
解：(1) 可能的组合为 {1，6},{2，5},{3，4},{4，3},{5，2},{6，1})(a p =366=61得到的信息量 =)(1loga p =6log = bit (2) 可能的唯一，为 {6，6})(b p =361得到的信息量=)(1logb p =36log = bit 经过充分洗牌后的一副扑克（52张），问：(a) 任何一种特定的排列所给出的信息量是多少？(b) 若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同时得到多少信息量？解：(a) )(a p =!521信息量=)(1loga p =!52log = bit (b) ⎩⎨⎧⋯⋯⋯⋯花色任选种点数任意排列13413!13)(b p =1352134!13A ⨯=1352134C 信息量=1313524log log -C = bit 随机掷3颗骰子，X 表示第一颗骰子的结果，Y 表示第一和第二颗骰子的点数之和，Z 表示3颗骰子的点数之和，试求)|(Y Z H 、)|(Y X H 、),|(Y X Z H 、)|,(Y Z X H 、)|(X Z H 。
解：令第一第二第三颗骰子的结果分别为321,,x x x ，1x ，2x ，3x 相互独立，则1x X =，21x x Y +=，321x x x Z ++=)|(Y Z H =)(3x H =log 6= bit )|(X Z H =)(32x x H +=)(Y H=2⨯(361log 36+362log 18+363log 12+364log 9+365log 536)+366log 6= bit )|(Y X H =)(X H -);(Y X I =)(X H -[)(Y H -)|(X Y H ]而)|(X Y H =)(X H ，所以)|(Y X H = 2)(X H -)(Y H = bit或)|(Y X H =)(XY H -)(Y H =)(X H +)|(X Y H -)(Y H 而)|(X Y H =)(X H ，所以)|(Y X H =2)(X H -)(Y H = bit),|(Y X Z H =)|(Y Z H =)(X H = bit )|,(Y Z X H =)|(Y X H +)|(XY Z H =+= bit设一个系统传送10个数字，0，1，…，9。
信息论与编码2016(第4章)
§4.2 离散无记忆信道 对称DMC容量的计算
P的所有列都是第一列的一种置换，信 道是关于输出对称的
0 .8 0 .2 P 0 .5 0 .5 0 .2 0 .8
§4.2 离散无记忆信道
命题2 若DMC关于输出为对称的，则当输入分布等概时，输 出分布等概。 证明 此时{p(y|x)，x=0~ K-1}与{p(0|x)，x=0~ K-1}互为置换。 设q(x)=1/K，x∈{0, 1, …, K-1}。则
q( z ) p( y | z )
都取一个相同的值；对任何满足q(k)=0的k，I(X=k; Y)都 不大于此相同的值。 （2）此时此相同的值恰好就是信道容量C。
§4.2 离散无记忆信道
注解
如果对DMC信道没有任何简化，要计算最佳输 入分布并不容易。但是，通常使用的DMC是很简单 的（比如，以下的准对称信道和对称信道），最佳 输入分布很容易求出。
§4.2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ散无记忆信道
定理4.2.2(p91) （1）输入概率分布{x, q(x), x∈{0, 1, …, K-1}}是最佳输入分 布的充分必要条件为：对任何满足q(k)>0的k，
I ( X k ; Y ) p( y | k ) log K 1
y 0 z 0 J 1
p( y | k )
第四章：信道及其容量
§4.1 §4.2 §4.5 §4.6 §4.7 信道分类 离散无记忆信道 信道的组合 时间离散的无记忆连续信道 波形信道
5
§4.1 信道分类
所有信道都有一个输入集A，一个输出集B以及 两者之间的联系，如条件概率P(y│x)，x∈A， y∈B。这些参量可用来规定一条信道。
信息论与编码第四章课后习题答案
p( x2 | x1 ) = p ( x 2 ) p( x3 | x1 x 2 ) = p ( x3 ) …… p( x N | x1 x2 L x N −1 ) = p( x N ) 即 p( x1 x 2 ) = p ( x1 ) p( x 2 ) p( x1 x 2 x3 ) = p ( x1 ) p( x 2 ) p ( x3 ) …… p( x1 x 2 L x N ) = p ( x1 ) p( x2 )L p( x N ) 【4.8】设连续随机变量 X ，已知 X ≥ 0 ，其平均值受限，即数学期望为 A ，试求 在此条件下获得的最大熵的最佳分布，并求出最大熵。 解： 给定条件如下：
2 2 x1 + x2 2
− ∞ < x1 , x2 < ∞
求随机变量 Y1 = X 1 + X 2 的概率密度函数，并计算变量 Y 的熵 h(Y ) 。 解： 1 − p( x1 x 2 ) = e 2π
2 2 x1 + x2 2
1 − 21 = e 2π
x2
1 − 22 e = p( x1 ) p ( x 2 ) 2π
0 = − log λ + log et ln t 1 − log e ∫ dt
= − log λ + log e = log （2） e λ
h( X ) = − ∫ p ( x ) log p ( x)dx ∞ 1 1 −λ x −λ x = −∫ λe log λe dx −∞ 2 2 ∞ 1 = − ∫ λe −λx log λe −λx dx 0 2 ∞ ∞ 1 = − ∫ λe −λx log dx − ∫ λe −λx log λe −λx dx 0 0 2 e = log 2 + log λ 2e = log λ 注： （2）题直接借用了（1）的结论。
信息论与编码第三版 第4章
p( x)
信息论与编码
3. 根据平均互信息量I（X; Y）达到信道容量的充要条件式对C进行验证：
p ( y j ) p ( xi ) p ( y j / xi )
i 1 3
1 P 0 0
0 1/ 2 0
0 1/ 2 0
0 0 1/6
x1 x2 x3 x4 x5
1 1 1 1 1
y1 y2 y3 y4 y5
1 0 P 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
【解】 该信道的信道容量为：
C max I ( X ; Y ) max H ( X ) log 5
C max I ( X ; Y ) max H (Y )
p( x) p( x)
由于
p( y ) p( x) p( y / x)，由于信道转移概率是确定的，求使H (
X
Y)
达到最大值的p ( x )的最佳分布就转化为求p ( y )的最佳分布。由极大离 散熵定理知，在p ( y )等概率分布时，H ( Y ) 达到最大，则
I ( x2 ; Y ) p ( y j / x2 ) log
j 1 2
p ( y j / x2 ) p( y j ) p ( y j / x3 ) p( y j ) p ( y j / x4 ) p( y j ) p ( y j / x5 ) p( y j )
1 log
1 1/ 2
log 2
I ( x3 ; Y ) p ( y j / x3 ) log
j 1 2
1 log
差错控制编码第4章 离散信道
【在接收到Y=bj后，关于X的不确定性 的度量】
二、熵及平均互信息的物理 意义
3. 信道疑义度(损失熵)：
H ( X | Y ) p(ai b j ) log p (ai | b j )
i 1 j 1 r s
【输出端收到全部符号Y后，对输入X 尚存在的平均不确定性的度量】
三种特殊的离散信道
• 无噪无损信道
•有损无噪信道
•无损有噪信道
1. 无损无噪信道
① 信道中没有随机性的干扰或者干 扰很小，输出信号Y与输入信号 X之间有确定的、一一对应的关 系，即： yn=f(xn)
1. 无损无噪信道
② 传递概率矩阵是单位矩阵，为：
1 y n f ( x n ) p( y n | xn ) ij 0 y n f ( x n )
当X=Y时，有I(X;X)=H(X)
【例4.1】
1 信源X的概率测度为 PX 4
过下图所示的二元信道，计算H(X) 、H(Y) 和H(X|Y)。
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
H(X |Y) p (ai b j ) log p (ai | b j )
j 1 i 1 s r
3 ，通 4
1/2 1/2 1/3
1. 传递概率p(y|x) 描述了输入信号和 输出信号之间统计依赖关系，集中 体现了信道对输入符号X的传递作 用，反映了信道的统计特性。 2. 信道不同，传递概率不同。
补充内容：
1. 有损有噪信道
若信源发出ai有可能收到任意一 个bj；收到bj也有可能来自任意一个 ai，即yn与xn多多对应，传输矩阵中 所有的矩阵元素都有可能不为零。
2. 有噪无损信道
③ 【有噪无损信道的特点】传递概率矩 阵中每列有且仅有一个非零元素，即 具有一行多列的分块对角化形式。
信息论与编码习题答案-曹雪虹
3-14
信源 符号 xi x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
符号概 率 pi 1/3 1/3 1/9 1/9 1/27 1/27 1/27 1/3 1/3 1/9 1/9 2/27 1/27 1/3 1/3 1/9 1/9 1/9
编码过程
编码 1/3 1/3 1/3 2/3 1/3 00 01 100 101 111 1100 1101
得p0p1p223当p0或p1时信源熵为0第三章无失真信源编码31321因为abcd四个字母每个字母用两个码每个码为05ms所以每个字母用10ms当信源等概率分布时信源熵为hxlog42平均信息传递速率为2信源熵为hx0198bitms198bitsbitms200bits33与上题相同351hu12log2?14log4?18log8?116log16?132log32?164log64?1128log128?1128log128?1984111111112481632641281282每个信源使用3个二进制符号出现0的次数为出现1的次数为p0p134相应的香农编码信源符号xix1x2x3x4x5x6x7x8符号概率pi12141811613216411281128累加概率pi00507508750938096909840992logpxi12345677码长ki12345677码字010110111011110111110111111011111110相应的费诺码信源符号概符号xi率pix1x2x3x4x5x6x7x812141811613216411281128111第一次分组0第二次分组0第三次分组0第四次分组0第五次分组011第六次分组01第七次分组01二元码0101101110111101111101111110111111105香农码和费诺码相同平均码长为编码效率为
信息论与编码第4章无失真信源编码
0
2
1
w1 0 1 2 0 1 2
01
2w2
w3 w4
0
1
2
w5
w6 w7 w8
w9 w10 w11
0级节点 1级节点 2级节点
3级节点
25
4.3 变长编码
码树编码方法
（1）树根编码的起点； （2）每一个中间节点树枝的个数编码的进制数； （3）树的节点编码或编码的一部分； （4）树的终止节点（端点、树叶）码； （5）树的节数码长； （6）码位于多级节点变长码； （7）码位于同一级节点码等长码；
设离散无记忆信源X的熵为H(X), 若对长为N的信源符号序 列进行等长编码,码长为L , 码元符号个数为m. 则对任意的
>0, >0, 只要
L log m H ( 率小于。
反之，当
L log m H ( X ) 2
N
时, 则译码差错概率一定是有限值(不可能实现无失真编 码), 而当N足够大时, 译码错误概率近似等于1。
概率分布 0.5 0.25 0.125 0.125
码1:C1 码2:C2 码3:C3
00
0
0
码4:C4 1
码5:C5 1
01
11
10
10
01
10
00
00
100
001
11
11
01
1000
0001
等长码 非唯一 非 唯 唯一可译 及时码 可译 一可译
11
4.1 无失真信源编码的概念
关系 即时码一定是唯一可译码 唯一可译码一定是非奇异码 定长的非奇异码一定是唯一可译码 非定长的非奇异码不一定是唯一可译码
一般地，平均码长: L 3.322 (N ) N
信息论与编码第四章课后习题答案
∫ =
− log λe−λx
∞ 0
+ log e
ln e−λx de−λx
∫ =
− log
λ
+
log
et
ln
t
0 1
−
log
e
dt
= −log λ + log e
= log e λ
（2）
h( X )
= −∫ p(x)log p(x)dx
∫ = − ∞ 1 λe−λ x log 1 λe−λ x dx
−∞ 2
2
∫ = − ∞ λe−λx log 1 λe−λxdx
0
2
∫ ∫ = − ∞ λe−λx log 1 dx − ∞ λe−λx log λe−λxdx
0
2
0
= log 2 + log e λ
= log 2e λ
注：（2）题直接借用了（1）的结论。
【4.3】设有一连续随机变量，其概率密度函数为：
sin
x
=
1 2
log
e∫
ln(1
+
sin
x)d
sin
x
+
1 2
log
e∫
ln(1
−
sin
x)d
sin
x
∫ ∫ ln(1+ sin x)d sin x
π
= (1 + sin
x) ln(1+ sin
x)
2 −π
−
2
1 + sin x d sin x 1 + sin x
= 2ln 2 − 2
∫ ln(1− sin x)d sin x
(信息论、编码及应用)第4章连续信源与连续信道
连续信源的编码定理是信息论中最重 要的定理之一，它为信源编码提供了 理论依据和指导，广泛应用于数据压 缩、图像处理等领域。
02
连续信道
定义与特性
定义
连续信道是一种能够传输连续信号的通信通道，例如音频、 视频信号等。
特性
连续信道具有带宽限制、噪声干扰、信号衰减等特性，这些 特性会影响信号传输的质量和可靠性。
利用统计学习方法，如自适应滤 波、神经网络等，对信源和信道 进行学习和优化，实现动态匹配。
编码技术
采用适当的编码技术，如差分编 码、增量编码等，对信源进行编 码，使其更适应信道的传输特性。
匹配的优化策略
01
02
03
能效优先
在保证信息传输质量的前 提下，优先考虑能效，通 过优化信源和信道的参数， 降低能耗。
例如，在移动通信网络中，语音信号通常采用码分多址（CDMA）或长期演进（LTE） 等技术进行传输。这些技术能够提供较高的数据传输速率和较低的误码率，从而保 证语音信号的清晰度和可懂度。
图像信号传
图像信号传输是连续信源与连续信道的另一个重要应用领域。在电视广播、视频会议和在线教育等应用中，图像信号需要通 过连续信道进行传输。由于图像信号的数据量较大，因此需要采用高效的压缩编码技术来减小传输数据量，同时还需要保证 图像质量。
输速率，同时保证信息的可靠传输。
03
匹配理论的发展历程
随着信息论的不断发展，匹配理论也在不断完善，从早期的经典匹配理
论到现代的统计匹配理论，为连续信源与连续信道的匹配提供了更精确
的指导。
匹配的实现方法
参数调整
根据信源和信道的特性，调整相 关参数，如信源的压缩比、信道 的调制方式等，以实现匹配。
信息论 第4章(哈夫曼编码和游程编码)
游程编码的基本原理
很多信源产生的消息有一定相关性,往往 连续多次输出同样的消息,同一个消息连续输 出的个数称为游程(Run-Length).我们只需要 输出一个消息的样本和对应重复次数,就完全 可以恢复原来的消息系列.原始消息系列经过 这种方式编码后,就成为一个个编码单元(如下 图),其中标识码是一个能够和消息码区分的特 殊符号.
文件传真压缩方法具体流程
主要利用终止码和形成码(见书本P43-44), 一般A4的纸每行的像素为1728,具体编码规则 如下: （1）当游程长度小于64时，直接用一个对应 的终止码表示。 （2）当游程长度在64到1728之间时，用一个 形成码加一个终止码表示。 例如:白游程为662时用640形成码(白)加22终 止码(白)表示,即:01100111 0000011. 黑游程为256时用256形成码(黑)加0终止码(黑) 表示,即:000001011011 0000110111.
哈夫曼（Huffman） （3）哈夫曼（Huffman）编码
哈夫曼编码：将信源中的各个消息按概率排序， 不断将概率最小的两个消息进行合并，直到合 并为一个整体，然后根据合并的过程分配码字， 得到各个消息的编码。 该方法简单明了，并且可以保证最终的编 码方案一定是最优编码方案。
哈夫曼（Huffman） 哈夫曼（Huffman）编码的例子
香农编码的例子
信息论与编码第4章习题解答
《信息论与编码》第四章习题解答4.1 计算如下所示离散无记忆信道的容量： 习题4.1图［解］ （a ）信道概率转移矩阵为−−−−=δεδεεδδε11P ， 信道是准对称信道，因此在输入为等概分布时达到信道容量，即5.0)1()0(====X P X P 时达到信道容量。
这时δ5.05.0)0(−==Y P δ==)1(Y Pδ5.05.0)2(−==Y P相应的信道容量为);1();0(Y X I Y X I C ====∑==2)()0|(log)0|(j j p j p j p 0111-ε1-δε δ 00 121-ε-δ εδδ 1-ε-δ1ε0 221 0.5 δ 110.250.25 0.50.50 2 21-ε ε ε 1-ε1ε 11-ε 0 0 223/41/4 111/3 1/31/3 1/43/40 2 311/3 211/31/3 1/31/31/3 1/3 1/31/3 (c)(a)(b) (e)(f)(d)δεεδδδδδεδε5.05.0log log 5.05.01log)1(−++−−−−−=)5.05.0log()1(log )1log()1(δδεεδεδε−−−+−−−−= （b ）信道概率转移矩阵为=5.05.0025.025.05.0001P当5.0)2()0(====X P X P ，0)(=X P 时，5.0)0(==Y P ，25.0)1(==Y P ，25.0)2(==Y P1)()0|(log )0|();0(2===∑=j j p j p j p Y X I bit∑===2)()2|(log)2|();2(j j p j p j p Y X I 125.05.0log 5.025.05.0log 5.0=+= bit10);1(≤==Y X I ； 所以满足定理4.2.2条件，由达到信道容量充要条件可知，信道容量C =1 bit/次（c ）信道转移概率矩阵为−−−=εεεεεε101001P ，信道是对称信道，当输入为均匀分布时，即31)2()1()0(======X P X P X P 时，达到信道容量。
信息论与编码(第三版) 第4章 离散信源编码理论-0525
1
1
N log p(x1x2...xN ) N i log p(xi )
-E log p(x) 以概率
H(X)
定义4.1 关于p(x)的典型集合 A( N ) 是序列 (x1x2...xN ) X 的集合，具有下列性质 2N (H ( X ) ) p(x1x2...xN ) 2N (H ( X ) )
)
H(X
)
|
}
1
得到性质2
性质(3) 2 | A | 1 p(X)
p(X)
2N (H ( X ) )
XxN
XA ( N )
XA( N )
N (H ( X ) ) (N )
渐近等同 分割含义
典型序列 定义
相同数据 相加
性质(4) 对于充分大的N p{A (N)} 1
2 | A | 1 p{A(N)}
前
缀
典型序列数量不大于2N(H(X)+ε)
编码：0+序列编号
码
码长 N(H ) 2
非典型序列
编码：1+序列编号
码长： N log | X | 1
这是一种无失 真编码方法
❖ 上述的编码方案具有下列性质：
码与序列之间是一一对应的，第一位是前缀码，表示码的长 度或者类型。
非典型序列采用的是枚举法，尽管没有考虑非典型序列的长
X p(x)
0 p(0)
p
1 p(1) q
主要关心典型序 列，典型序列的 任何特性都是以 大概率成立的， 而且决定了样点
值的主要特性
如果随机变量 X1, X2,..., X N 都服从独立同一分布
那么序列 (x1x2...xN ) 的概率为
信息论与编码第四章
r li ⒄1
i 1
码长 li ，码符号集中符号个数r，信源符号个数q，称作kraft
不等式。
说明：唯一可译码一定满足不等式，反之，满足不等 式的码不一定是唯一可译码。
• 充分性证明：假定满足不等式的码长为 l1,l2 , ，,lq 在q个码字
中可能有长度相同的码字。设码长为1的有n1个，长度为2
111111
同价码：每个码符号（元）所占的传输时间都相
同
§4.2 等长码和等长信源编码定理
实现无失真编码的条件：
1、信源符号与码字一一对应 2、任意一串有限长的码符号序列与信源s的符号序列也 是一一对应，即N次扩展后仍满足一一对应关系。 同时满足上述条件称为唯一可译码
s : s1 s2 s3 s4 w j c : 0 10 00 01
N
N
I (ai ) log p(ai ) log pik I (sik )
k 1
k 1
E[I (ai )] H (S N ) NH (S )
E(x) xP （x） m H(s)
x
D[I (ai )] ND[I (si )] N{E[I 2 (si )] [H (s)2 ]
q
n
r li
nl m ax
Ajr j
i 1
jn
q
n
r
li
nl max
r j •rj
上界 ⑻
1 (N, ) p(G) MG • max p(ai ) ⑼
max p(ai ) 2 N[H (s) ]
下界 M G [1 (N , )]2 N[H (⑽ s) ]
我们可以只对集G中MG个信源序列进行一一对应的等长编码，
这就要求码字总数不小于MG就行，即
《信息论、编码与密码学》课后习题答案
（3）两个码字之间的最小距离等于任何非零码字的最小重量，即
设 ，即 ， ， ， ，
首先证明条件（1）：
， ， ， ， ， ，
很明显，条件（1）是满足的。条件（2）也是显然成立的。
最后证明条件（3）：
不难看出最小距离 ，并且最小重量 ，即
综上，三个条件都满足，那么 就是一个线性码，它的最小距离是2。
0.01
1111
该信源的熵为：
每个组的平均比特数为:
故该码的效率为：
(3)依题意，把符合每三个分成一组，再重新应用霍夫曼编码算法，得:
编码表格如下：
符号对
概率
自信息
码字
0.1250
2.7090
100
0.1000
3.3223
0000
0.1000
3.3223
0001
0.1000
3.3223
110
0.0800
12）这是一个线性码？
解：（1） =
=
=
=
=
=
=
=
此矩阵生成的码为：{00000，01010，10011，11001，10100，11110，00111，01101}
（2）
又在二元情况下，
奇偶校验矩阵可写为：
(4该码的标准阵列
（5）奇偶校验矩阵H的第1、3列的和为零向量，
因此，这个码的最小距离为：d*=2。
3.6443
011
0.0800
3.6443
0100
0.0800
3.6443
0101
0.0640
3.9662
0011
0.0250
5.3223
信息论与编码第4章习题解答
P[ Z N
= 1|
X
= 0] =
P
Z
'
N
>
1 2
|
X
= 0
=
PZ 'N
−p
>
1 2
−
p|
X
=
0
≤
P|
Z
' N
−
p
|>
1 2
−
p|
X
=
0
≤
σ2 Z 'N |X =0
1 2
−
p 2
= p(1 − p) N (1 − p)2 2
当 p < 1 ，以及 N 充分大时 2
求该级联信道的容量 C N
，并证明
lim
N →∞
C
N
=0
X0
BSC X1
BSC X2 ……
BSC XN
习题 4.4（1）图 级联信道
（2）并联输入信道，把输入 X 并联接到各信道，输出是矢量，当 N → ∞ 时并联输
入信道容量趋于 1。
X
BSC Y1
BSC Y2
BSC YN
习题 4.4（2）图 并联输入信道
所以
C = 6 ⋅ 1 log 1/ 3 + 3 ⋅ 1 log 1/ 3 9 2/9 9 1/3
= 2 log 3 bit/次 32
（f）信道转移概率矩阵
P
=
1
− δ
ε
1
ε −
δ
利用方程求逆方法计算信道容量。设
p( X = 0) = q ， p( X = 1) = 1 − q ， 0 < q < 1
王育民信息论与编码理论第四章答案2
4.5若将N 个相同的BSC 级联如题图4.5所示，各信道的转移概率矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--p p p p 11。
令Q t =P{X t =0}，t=0,1,…,N,且Q 0为已知。
题图 4.5(a)求Q t 的表达式。
(b)证明N →∞时有Q N →1/2，且与Q 0取值无关，从而证明N →∞级联信道的信道容量C N →0，P>0。
解：(a)对于满足X N 为马氏链的串联信道，他们总的信道转移概率矩阵为各个串联信道矩阵的乘积，即P(X N |X 0)= P(X 1|X 0) P(X 2|X 1)……P(X N |X N-1)由已知得，但各信道的转移概率矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--p p p p 11 则两个信道级联的转移概率矩阵为： P 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--p p p p 11⎥⎦⎤⎢⎣⎡--p p p p 11=()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+---+2222112p 12p 1p p p p p p 三个信道级联的转移概率矩阵为： P 3=()()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+----+33331221211221211221211-2p 2121p p p 四个信道级联的转移概率矩阵为： P 4=()()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+----+44441221211221211221211-2p 2121p p p 以此类推：可得N 个信道级联的转移概率矩阵为：P N =()()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+----+N N N N p p p 1221211221211221211-2p 2121 则Q t =P{X t =0}=()()()()()000121221211122121122121Q p p Q p Q p t t t t -+--=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+即Q t 的表达式为：Q t =()()012122121Q p p t t -+-- t=0,1,……,N (b) 由(a)可得到：Q N =()()012122121Q p p t t -+-- 由0<p<1，则0<2p<2，-1<2p-1<1，即|2p-1|<1 则21lim =∞→N N Q ，与Q 0取值无关。
信息论编码第四章答案
解：
唯一可译码是Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｅ 唯 可译码是Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｅ,非延长码为A，C，E Ａ的平均码长：n = p( si )ni
i =1 6
= 3(1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 16 + 1 / 16 + 1 / 16 + 1 / 16)
= 3码符号 / 信源符号
编码效率：
η=
H (s) 2 = * 100% = 66.67% n log r 3
2. 有一个信源X如下：
x2 x3 x4 x5 x6 X x1 p ( x) = 0.32 0.22 0.18 0.16 0.08 0.04
(1)、求信源熵; (2)、用Shannon编码法编成二进制变长码，并计算其编码效 率； (3)、用 用Fano编码法编成二进制变长码，并计算其编码效率； 编码法编成二进制变长码 并计算其编码效率 (4)、用Huffman码编码成二进制变长码，并计算其编码效率； (5)、用Huffman码编码成三进制变长码，并计算其编码效率； (6)、比较三种编码方法的优缺点。
H ( X ) 2.3522 = × 100% = 98% n log l r 2.4 log l 2
三进制Huffman编码 ? 首先, 判断q − (r − 1)α = r 6 − (3 − 1) × 2 = 2 < 3
选择m = r − [q − (r − 1)α ] = 3 − 2 = 1个虚假符号
0.40 0.60 0 0.37 0 0.40 1 0 0.23 1 1
L = P( si )li = 2.63
i =1
二元符号／灰度级
通过哈夫曼最佳二元编码后，每个像素平均需要用 2.63个二元符号，则此图象平均共需要用263个二元符 号来表示。因此，需2.63秒才能传送完这幅图象。 (3)在(2)题中计算时没有考虑图象的像素之间的依赖 关系，但实际此图象的像素之间是有依赖的。例如，若 考虑像素前后之间灰度的依赖关系，就有灰度“1”后 面只可能出现灰度“1”或 “2”；灰度“2”后只可能 出现“2” 或“3” ，等等。这时，此图象灰度值信源 Ｓ可以看成一阶马尔可夫信源。还可以进一步看成为m 阶马尔可夫信源。因此，在考虑了这些依赖关系后，像 素的灰度值信源Ｓ的实际信息熵 H ∞ < H ( S ) 。根据香农第 一理，总可以找到一种编码，使每个灰度级的平均码 长L → H ∞ (极限熵)。所以，这幅图象还可以进一步压缩， 平均每个像素(灰度)所需要的二元码符号数 L < H ( S ) 。
信息论与编码理论-第4章无失真信源编码-习题解答-20071202
第4章无失真信源编码习题及其参考答案4-1 有一信源，它有六个可能的输出，其概率分布如下表所示，表中给出了对应的码A、B、C、D、E和F（1）求这些码中哪些是唯一可译码；（2）求哪些码是及时码；（3）对所有唯一可译码求出其平均码长l。
4-2 设信源61261126()1()()()()iis s sXp sp s p s p sP X=⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑。
对此次能源进行m元唯一可译编码，其对应的码长为（l1,l2,…,l6）=(1,1,2,3,2,3)，求m值的最好下限。
（提示：用kraft不等式）4-3设信源为1234567811111111()248163264128128s s s s s s s sXp X⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，编成这样的码：（000，001，010，011，100，101，110，111）。
求（1）信源的符号熵；（2）这种码的编码效率；（3）相应的仙农码和费诺码。
4-4求概率分布为11122(,,,,)3551515信源的二元霍夫曼编码。
讨论此码对于概率分布为11111(,,,,)55555的信源也是最佳二元码。
4-5有两个信源X和Y如下：121234567()0.200.190.180.170.150.100.01X s s s s s s s p X ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦123456789()0.490.140.140.070.070.040.020.020.01Y s s s s s s s s s p Y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（1）用二元霍夫曼编码、仙农编码以及费诺编码对信源X 和Y 进行编码，并计算其平均码长和编码效率；（2）从X ，Y 两种不同信源来比较三种编码方法的优缺点。
4-6设二元霍夫曼码为（00，01，10，11）和（0，10，110，111），求出可以编得这样 霍夫曼码的信源的所有概率分布。
4-7设信源为12345678()0.40.20.10.10.050.050.050.05X s s s s s s s s p X ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求其三元霍夫曼编码。
信息论与编码第4章无失真信源编码
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编码性能的评价指标
压缩比
压缩比是指编码后数据量与原始数据量之比，是衡量 编码效率的重要指标。
编码复杂度
编码复杂度是指实现编码算法所需的计算量和存储量 ，是衡量编码性能的重要指标。
重建精度
重建精度是指解码后数据的准确度，是衡量编码性能 的重要指标。
编码效率与性能的关系
01
编码效率与压缩比成正比，压缩比越高，编码效率越高。
游程编码
对连续出现的相同符号进 行编码，如哈夫曼编码等 。
算术编码
将输入信号映射到一个实 数轴上的区间，通过该区 间的起始和长度表示码字 ，如格雷码等。
编码的数学模型
信源
产生随机变量的集合 ，表示各种可能的信 息符号。
编码器
将输入信号映射到码 字的转换设备，其输 出为码字序列。
解码器
将接收到的码字还原 成原始信号的设备。
拓展应用领域
无失真信源编码技术的应用领域正在不断拓 展，未来研究将致力于将其应用于更多领域 ，如多媒体处理、物联网、云计算等。
融合其他技术
将无失真信源编码技术与其他相关技术进行 融合，以实现更高效、更实用的信息处理系 统。例如，将无失真信源编码与图像处理、 语音处理等技术相结合，提高信息传输和处
理的效率和质量。
03
行程编码的缺点包 括
压缩比有限、对于离散无记忆信 源效果不佳。
03
CATALOGUE
无失真信源编码的效率与性能
编码效率的定义与计算
定义
编码效率是指编码后信息量与原始信 息量之比，通常用比特率（bit per symbol）或比特率（bit per source symbol）来表示。
计算
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Dmax
j 1,2,, m
min
p d
i 1
n
i ij
因此可以得到R(D)的定义域为
D 0, Dmax
4.1.4 信息率失真函数的性质
Dmax是怎样来计算
R(D)＝0就是I(X;Y)＝0，
这时试验信道输入与输出是互相独立的，
所以条件概率 p(yj/xi) 与xi 无关。即
pij p( y j / xi ) p( y j ) p j
4.1.4 信息率失真函数的性质
此时平均失真为 D 求出满足条件
p
i 1 j 1
m n
n
m
i
p j d ij
p
j 1
m
j
1 的D中的最小值，即
j 1 i 1
Dmax min p j pi d ij
若 D D 则 R D R D
物理意义：容许的失真度越大，所要求的信息率越小。 反之亦然。
4.1.4 信息率失真函数的性质
综上所述，可以得出如下结论：
R(D)是非负的实数，即 R(D)0。其定义域为0～Dmax，
其值为0～H(X)。当 D>Dmax 时， R(D) 0。
第4章 信息率失真函数
本章主要讨论在信源允许一定失真情况下所需 的最少信息率； 从分析失真函数、平均失真出发，求出信息率 失真函数 R(D) 4.1 平均失真和信息率失真函数 4.2 离散信源和连续信源的 R(D) 计算
4.1 平均失真和信息率失真函数
在实际问题中，信号有一定的失真是可以容忍的; 但是当失真大于某一限度后，信息质量将被严重损伤， 甚至丧失其实用价值; 要规定失真限度，必须先有一个定量的失真测度; 为此可引入失真函数
R 尽量小；
D，在满足平均失真 D D（保真度准则）
的条件下，选择一种编码方法使信息率 R 尽可能小；
信息率
R 就是所需输出的有关信源 X 的信息量； Y 需要获得的有关 X 的信息量，
对应到假想信道，即为接收端
也就是互信息 I(X;Y)；
这样，选择信源编码方法的问题就变成了选择假想信道的问题，
符号转移概率 p(yj/xi) 就对应信道转移概率
4.1.3 信息率失真函数R(D)
D允许试验信道 平均失真由信源分布 p(xi)、假想信道的转移概率 p(yj/xi) 和失真函数 d(xi,yj) 决定，若 p(xi) 和 d(xi,yj) 已定，则可给 出满足 D D 条件的所有转移概率分布 pij，它们构成了 一个信道集合PD
0 1 P 0 1
4.1.4 信息率失真函数的性质
2、R(D)函数的下凸性和连续性 R D R D 1 R D 其中 0 1; D D 1 D 下凸性： 连续性： lim R D R D 其中 D D 0 3、R(D)函数的单调递减性
2 1 2 1 min 0 1, 1 0 j 1,2 3 3 3 3 2 1 1 min , j 1,2 3 3 3
此时输出符号概率 p(b1)＝0，p(b2)＝1，
a1 b2 , a2 b2
所以这时的编码器的转移概率为
4.1.1 失真函数
假如某一信源 X，输出样值为 xi，xi{a1,…an}，经过有 失真的信源编码器，输出 Y，样值为 yj，yj {b1,…bm} 如果xi＝yj，则认为没有失真；如果 xiyj，那么就产生了 失真 失真的大小，用一个非负量来表示，即失真函数 d(xi,yj)， 以衡量用 yj 代替 xi 所引起的失真程度 一般失真函数定义式为
这时信源编码器无失真，所以该编码器的转移概率为 1 0 P 0 1
4.1.4 信息率失真函数的性质
当R(Dmax)＝0时 Dmax min pi dij
j 1,2 2 i 1
min p1d11 p2 d 21 , p1d12 p2 d22
j 1,2
Pij PD i 1 j 1
n
m
p(b j / ai ) p(b j )
p(ai)，i＝1，2，…，n 是信源符号概率分布； p(bj/ai)，i＝1，2，…，n，j＝1，2，…，m 是转移概率分布； p(bj)，j＝1，2，…，m 是接收端收到符号概率分布。
4.1.3 信息率失真函数R(D)
xi y j 0 d(xi ,y j ) α α 0 x y i j
4.1.1 失真函数
失真矩阵
单个符号的失真函数的全体排列起来构成的矩阵，称为 失真矩阵
d (a1 , b1 ) d (a1 , b2 ) d (a , b ) d (a , b ) 2 2 d 2 1 d (an , b1 ) d (an , b2 )
d (a1 , b1 ) d (a1 , b2 ) 0 1 d d ( a , b ) d ( a , b ) 1 0 2 1 2 2
分析R(D)定义域两端的状态
4.1.4 信息率失真函数的性质
解：
当Dmin＝0时，R(Dmin)＝H(X)＝H(1/3，2/3)＝0.91比特/符号，
D
pX ,Y ( x, y)d ( x, y)dxdy
其中pX,Y(x,y)是连续随机变量的联合概率密度
对于L长序列编码情况，平均失真为 1 L D L E[d ( xil , y jl )] L l 1
1 L Dl L l 1
其中 Dl 是第l个符号的平均失真
例4.1 (p.74) 设信源的符号表为A＝{a1，a2，…，a2n}， 概率分布为p(ai)＝1/2n，i＝1，2，…，2n，失真函数规 定为
1 i j d ( ai , a j ) 0 i j
即符号不发生差错时失真为0，一旦出错，失真为1，试
研究在一定编码条件下信息压缩的程度
从上式观察可得：在 j=1,2,…,m 中，可找到 pi d ij 值最
小的 j，当该 j 对应的 pj＝1，而其余 pj 为零时，上式 右边达到最小，这时上式可简化成
Dmax
j 1,2,, m
i 1
n
min
p d
i 1
n
i ij
4.1.4 信息率失真函数的性质
例4.2 (p.76) 设输入输出符号表为 X＝Y{0，1}，输入 概率分布p(x)={1/3，2/3}，失真矩阵为
4.1.3 信息率失真函数R(D)
信源X经过有失真的信源编码器将信源编码器输出 Y，将 这样的编码器看作存在干扰的假想信道 X
X a1, a2 ,
信源编码器
an
Y
Y b1, b2 , bn
假想信道
4.1.3 信息率失真函数R(D)
信源编码器的目的：使编码后所需的信息传输率 然而R越小，引起的平均失真就越大； 给出一个失真的限制值
如果假定离散信源输出符号序列X=(X1X2…Xl…XL)，其中L
长符号序列样值 xi ＝(xi1xi2…xil…xiL) ，经信源编码后，输 出符号序列Y=(Y 1Y 2…Y l…Y L)，其中L长符号序列样值yj
＝(yj1yj2…yjl…yjL)，则序列失真函数定义为：
1 L d L ( xi , y j ) d ( xil , y jl ) L l 1
4.1.4 信息率失真函数的性质
1. R(D)函数的定义域 ⑴ Dmin和 R(Dmin) Dmin＝0 对于离散信源 R( Dmin ) R(0) H ( X )
对于连续信源
R( Dmin ) R(0) H c ( x)
4.1.4 信息率失真函数的性质
(2) Dmax和 R(Dmax) 选择所有满足R(D)＝0中D的最小值，定义为R(D)定义 域的上限Dmax，即 Dmax min D
4.1.5 信息率失真函数与信道容量的比较
表4-1 R(D)与C的比较 信道容量C 研究对象 给定条件 选择参数 结论
I ( X ;Y ) H ( X ) H ( X / Y )
率失真函数R(D) 信源 信源概率分布p(xi) 信源编码器映射关系p(y/x)
R( D) min I ( X ; Y )
p1 p2 pn 1 1 1 n , pn 2n 2n
信道输出概率分布为 则输出熵为
1 1 1 n 1 n H Y H , , , log 2 n log n 1 2 n 2 n 2 n 2 n n 1个
R( D ) min I ( X ; Y )
PD
信息率失真函数 R(D)的物理意义：对于给定信源，在平均失真不超 过失真限度D的条件下，信息率容许减小到（压缩）的最小值 R(D)
4.1.3 信息率失真函数R(D)
对于离散无记忆信源，R(D)函数可写成
R( D) min p(ai ) p(b j / ai ) log
R(D) 是关于D的下凸函数，因而也是关 NhomakorabeaD的连续函
数。
R(D)是关于D的严格单调递减函数。
4.1.4 信息率失真函数的性质
由以上三点结论，对一般R(D)曲线的形态可以画出来：
R(D)
H(X) R(D)
R(D) 0 D Dmax D
0
Dmax D
(b) 连续系统
(a) 离散系统
信息率失真曲线
PD p(b j / ai ) : D D
i 1,2,, n; j 1,2,, m
此信道集合称为D允许试验信道