7.1-线性变换的定义与性质
线性变换初步线性变换的定义表示与性质
线性变换初步线性变换的定义表示与性质线性变换初步线性变换是线性代数中的一个重要概念，它在数学、物理学、计算机科学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍线性变换的定义、表示以及一些性质。
1. 定义线性变换是指保持向量加法和数乘运算的变换。
具体来说，对于两个向量u和v以及一个数k，如果对于线性变换T有以下两个性质成立：a) T(u + v) = T(u) + T(v)b) T(ku) = kT(u)则称T为一个线性变换。
线性变换可以将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量。
2. 表示线性变换可以用矩阵表示。
设V和W分别是两个向量空间，假设它们的维度分别为n和m。
如果存在一个n×m的矩阵A，使得对于任意的向量u∈V，都有T(u) = Av，则称矩阵A表示线性变换T。
例如，对于一个二维平面上的旋转变换，可以通过一个2×2的矩阵来表示。
对于一个三维向量的缩放变换，可以通过一个3×3的矩阵来表示。
3. 性质线性变换具有一些重要的性质：a) 线性变换保持向量加法。
即，对于线性变换T和任意的向量u、v，有T(u + v) = T(u) + T(v)。
b) 线性变换保持数乘运算。
即，对于线性变换T和任意的向量u以及数k，有T(ku) = kT(u)。
c) 线性变换保持零向量。
即，对于线性变换T，有T(0) = 0。
d) 线性变换保持线性组合。
即，对于线性变换T和任意的向量组u₁, u₂, ..., uₙ以及对应的系数k₁, k₂, ..., kₙ，有T(k₁u₁ + k₂u₂ + ... + kₙuₙ) = k₁T(u₁) + k₂T(u₂) + ... + kₙT(uₙ)。
e) 线性变换的复合仍然是线性变换。
即，如果T₁表示线性变换S₁，T₂表示线性变换S₂，则T₁∘T₂表示线性变换S₁∘S₂。
这些性质使得线性变换在代数运算和几何变换中具有重要的应用。
总结线性变换是保持向量加法和数乘运算的变换。
高等代数章节件
(1, 2, …, n)B=(1, 2, …, n)T1AT. 所以 B=T1AT. 即:
同一线性变换关于两个基的矩阵是相似的. 反之, 两相似矩阵可以看作是同一线性变换关于两个基的矩阵.
7.4 不变子空间
设V是数域F上的一个向量空间, 是V的一个线性变换. 定义 设W是V的一个子空间, 如果(W)W, 则称W在线性变换 之下不变, 或说W是的一个不变子空间. 例 1 V本身和零子空间{V}是任何变换的不变子空间. 例 2 的象Im()和核Ker()都是的不变子空间. 例 3 任何一个子空间都是位似变换的不变子空间. 例 4 设L是V3中一条过程原点的直线, 是V3的一个以为轴的旋 转变换. 那么L是的一个一维不变子空间, 过程原点与L垂直的平面 H是的一个二维不变子空间. 例 5 设F[x]是F上的一元多项式所成的向量空间, Fn[x]是次数 不超过n的多项式及零多项式所成的子空间. 则Fn[x]是求导变换的不 变子空间.
一个 (nr)r 阶零矩阵
如果V是它的两个子空间W1与W2的直和, 即V=W1W2. 可用W1 的基1, 2, …, r 与W2的基r+1, …, n组成V的一个基. 如果W1与W2 是的不变子空间, 则关于这个基的矩阵是
A1 O O A2
|W1关于W1的基1, 2, …, r 的矩阵 |W2关于W2的基r+1, 2, …, n 的矩阵
n阶矩阵A叫线性变换关于基{1, 2, …, n}的矩阵. 对于给定的线 性变换和取定的基, 它是唯一确定的.
将等式(1)写为矩阵的形式就是
((1), (2), …, (n))=(1, 2, …, n)A. 设= x11+x22+…+xnn是V的任一向量. 所以
空间几何的线性变换
空间几何的线性变换在空间几何学中，线性变换是一项重要的概念。
它被广泛应用于各个领域，如计算机图像处理、物理学、统计学等。
本文将从空间几何的角度出发，详细讨论线性变换的概念、性质、以及在实际应用中的一些例子。
1. 线性变换的概念线性变换是指一个向量空间中的一个函数，将空间中的任意一个向量映射到另外一个向量。
对于一个线性变换T，它的定义可以表示为：T(x + y) = T(x) + T(y)T(kx) = kT(x)其中，x和y是空间中的向量，k是一个标量。
在空间几何学中，线性变换可以改变向量的大小、旋转角度和位置。
这类变换通常用一个矩阵来表示，矩阵的每一行代表一个向量在变换后的位置。
2. 线性变换的性质线性变换有许多重要的性质，其中最重要的是保持向量的线性组合。
具体来说，如果T是一个线性变换，x和y是向量，k和l 是标量，则有：T(kx + ly) = kT(x) + lT(y)这个性质可以被证明是线性变换的基本性质，因为它说明了线性变换是一个在向量空间中保持线性性质的函数。
此外，线性变换还有一些其他的性质。
比如说，如果T是一个线性变换，那么它就是一个双射（又称为一一映射），这意味着每一个向量都有唯一的映射结果。
同时，线性变换还满足复合性质，也就是说，如果T1和T2都是线性变换，那么它们的复合T1T2也是一个线性变换。
3. 线性变换的应用线性变换在实际应用中有着广泛的用途。
其中一个重要的应用领域是计算机图像处理。
在数字图像处理中，线性变换可以用来对图像进行旋转、缩放等处理，从而提高图像的质量和效果。
另一个应用领域是物理学。
在物理学中，线性变换可以用来描述一些粒子的运动和旋转。
此外，它还可以用来解决一些比较复杂的问题，如电场和磁场之间的相互作用等。
在统计学中，线性变换也有重要的应用。
例如，在多元正态分布中，当协方差矩阵不满足对称和正定性的条件时，线性变换可以直接对协方差矩阵进行修正，从而得到更加准确和可靠的结果。
第七章线性变换总结篇
第 7章 线性变换7、1知识点归纳与要点解析一.线性变换的概念与判别 1、线性变换的定义数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换,如果对V 中任意的元素,αβ与数域P 中的任意数k ,都有:()()()σαβσασβ+=+,()()k k σασα=。
注:V 的线性变换就就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。
2、线性变换的判别设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换,那么:σ为V 的线性变换⇔()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+∀∈∀∈ 3、线性变换的性质设V 就是数域P 上的线性空间,σ为V 的线性变换,12s ,,,,V αααα∀∈L 。
性质1、 ()()00,σσαα==-;性质2、 若12s ,,,αααL 线性相关,那么()()()12s ,,,σασασαL 也线性相关。
性质3、 设线性变换σ为单射,如果12s ,,,αααL 线性无关,那么()()()12s ,,,σασασαL也线性无关。
注:设V 就是数域P 上的线性空间,12,,,m βββL ,12,,,s γγγL 就是V 中的两个向量组, 如果:11111221221122221122s s s sm m m ms sc c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=+++L L LL LL记:()()1121112222121212,,,,,,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭L LL L M M M L于就是,若()dim V n =,12,,,n αααL 就是V 的一组基,σ就是V 的线性变换,12,,,m βββL 就是V 中任意一组向量,如果:()()()11111221221122221122n n n n m m m mn nb b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=+++L L LLLL记:()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ=L L那么:()()1121112222121212,,,,,,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭L L L L M M M L设112111222212m m n n mn b b c b b c B b b c ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭L LM M M L,12,,,m ηηηL 就是矩阵B 的列向量组,如果12,,,r i i i ηηηL 就是12,,,m ηηηL 的一个极大线性无关组,那么()()()12,r i i i σβσβσβL 就就是()()()12,m σβσβσβL 的一个极大线性无关组,因此向量组()()()12,m σβσβσβL 的秩等于秩()B 。
线性变换
第七章线性变换计划课时：24学时.( P 307—334)§7.1 线性变换的定义及性质（2学时）教学目的及要求：理解线性变换的定义，掌握线性变换的性质教学重点、难点：线性变换的定义及线性变换的性质本节内容可分为下面的两个问题讲授.一. 线性变换的定义（P307）注意：向量空间V到自身的同构映射一定是V上的线性变换，反之不然。
二. 线性变换的性质定理7.1.1（P309）定理7.1.2 （P309）推论7.1.3 （P310）注意：1.定理7.1.2给出了在有限维向量空间构造线性变换的方法，且说明了一个线性变换完全被它对基向量的作用所决定。
2.两个线性变换相等当且仅当它们对任意一个向量的作用结果相等，推论7.1.3 （P310）告诉我们，只要这两个线性变换对某个基中的每个基向量的作用结果相等即可。
作业：习题七P330 1，2，3.§7.2 线性变换的运算（4学时）教学目的及要求：掌握线性变换的运算及线性变换可逆的条件教学重点、难点：线性变换的运算及线性变换可逆的条件本节内容分为下面四个问题讲授：一. 加法运算定义1 （P310）注意：＋是V的线性变换.二. 数乘运算定义2（P311）显然k也是V的一个线性变换.定理7.2.1 L(V)对于线性变换的加法与数乘运算构成数域F上的一个向量空间.三. 乘法运算(1). 乘法运算定义3 （P311-312）注意：线性变换的乘法适合结合律，但不适合交换律及消去律. 两个非零线性变换的乘积可能是零变换.(2). 线性变换的方幂四. 可逆线性变换定义4 （P 313）线性变换可逆的充要条件例2 （P 314）线性变换的多项式的概念 (阅读内容).作业：P 330 习题七 4，5.§7.3 线性变换的矩阵（6学时）教学目的及要求：理解线性变换关于一个基的矩阵的定义，掌握 与 ()关于同一个基的坐标之间的关系、线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系、同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的理论，掌握L (V )与M n (F )的同构理论。
线性代数与解析几何 第7章 线性空间与线性变换
§ 7.1 线性空间的定义与性质
7.1.1 线性空间的定义
7.1.2 线性空间的性质
7.1.3 子空间
§ 7.1 线性空间的定义与性质
7.1.1 线性空间的定义
定义7.1
设是一个非空集合，为实数域. 若在中定义
了两种运算，一种运算称为加法：即对于中任意两个元素
, ，在中都有唯一的元素与它们相对应，称为与的
证明
因为 a, b R , R
有 a b ab R , a a R
即R+对上述定义的加法与数乘运算封闭.
a
,
b
,
c
R
, , R 时，有
又因
(1) a b ab=ba b a ;
(2) (a b) c (ab) c (ab)c a(bc) a(b c) a (b c) ;
A R mn
又对矩阵加法和数与矩阵的乘法两种运算满足线性运算规律，
所以R mn对矩阵加法和数与矩阵的乘法，构成实数域R
上的线性空间，称此线性空间为mn矩阵空间.
§ 7.1 线性空间的定义与性质
注7.1
检验一个集合是否构成线性空间，当然不能只象例
7.1、例7.2、例7.3那样检验对运算的封闭性.若所定义的加法
(7) ( + ) a a a a a a a a ;
(8) (a b) (ab) (ab) a b
a b a b ;
所以R+对上述定义的加法与数乘运算构成线性空间.
*第7章
线性空间与线性变换
线性空间又称向量空间，是线性代数的中心内容和
线性变换的相关知识点总结
线性变换的相关知识点总结一、线性变换的定义线性变换是指一个向量空间V到另一个向量空间W的一个函数T，满足以下两条性质：1.加法性质：对于向量空间V中的任意两个向量x和y，有T(x+y)=T(x)+T(y)。
2.数乘性质：对于向量空间V中的任意向量x和标量a，有T(ax)=aT(x)。
根据以上的定义，我们可以得出线性变换的几个重要性质：1. 线性变换保持向量空间中的原点不变；2. 线性变换保持向量空间中的直线和平面不变；3. 线性变换将线性相关的向量映射为线性相关的向量；4. 线性变换将线性无关的向量映射为线性无关的向量。
二、线性变换的矩阵表示在研究线性变换时，我们通常会使用矩阵来表示线性变换。
设V和W分别是n维和m维向量空间，选择它们的一组基{v1, v2, ..., vn}和{w1, w2, ..., wm}。
线性变换T可以用一个m×n的矩阵A来表示，假设向量x在基{v1, v2, ..., vn}下的坐标为[x]，向量T(x)在基{w1, w2, ..., wm}下的坐标为[T(x)]，则有[T(x)]=[A][x]。
由此可见，矩阵A中的每一列都是T(vi)在基{w1, w2, ..., wm}下的坐标，而T(vi)可以写成基{w1, w2, ..., wm}的线性组合，所以矩阵A的列向量就是线性变换T对基{v1, v2, ..., vn}下的坐标系的映射。
另外，矩阵A的行空间也是线性变换T的像空间，而零空间是T的核空间。
线性变换的基本性质在矩阵表示下也可以得到进一步的解释，例如线性变换的复合、逆变换等都可以在矩阵表示下进行研究。
因此，矩阵表示是研究线性变换的重要工具。
三、特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中的一个非常重要的概念，它们在研究线性变换的性质时有非常重要的应用。
设T是一个n维向量空间V上的线性变换，那么存在一个标量λ和一个非零向量v，使得Tv=λv。
这里的λ就是T的特征值，v就是T的特征向量。
线性变换的定义和性质
汇报人：XX
• 线性变换的基本概念 • 线性变换的基本性质 • 线性变换的矩阵表示 • 线性变换的应用举例 • 线性变换与空间结构的关系
01
线性变换的基本概念
定义与性质
线性变换定义
保持原点不动
保持向量共线性
保持向量比例不变
线性变换是一种特殊的映射， 它保持向量空间中的加法和数 乘运算的封闭性。即对于向量 空间V中的任意两个向量u和v 以及任意标量k，都有 T(u+v)=T(u)+T(v)和 T(kv)=kT(v)。
矩阵性质
线性变换的矩阵表示具有一些特殊的性质。例如，两个线性变换的复合对应于它们矩阵的乘积；线性变换的可逆 性对应于矩阵的可逆性；线性变换的特征值和特征向量对应于矩阵的特征值和特征向量等。
02
线性变换的基本性质
线性变换的保线性组合性
线性组合保持性
对于任意标量$a$和$b$，以及向量 $mathbf{u}$和$mathbf{v}$，线性 变换$T$满足$T(amathbf{u} + bmathbf{v}) = aT(mathbf{u}) + bT(mathbf{v})$。
通过引入复数和极坐标等 概念，可以将某些函数图 像进行旋转。
微分方程中的线性变换
变量代换
通过适当的变量代换，可以将某些非线性微分方 程转化为线性微分方程，从而简化求解过程。
拉普拉斯变换
将时间域内的微分方程通过拉普拉斯变换转换到 频域内，从而方便求解和分析。
傅里叶变换
将时间域内的函数通过傅里叶变换转换到频域内 ，可以分析函数的频率特性和进行滤波等操作。
数乘保持性
对于任意标量$k$和向量$mathbf{v}$，线性变换$T$满足$T(kmathbf{v}) = kT(mathbf{v})$。
§7.1线性变换的定义和性质
§7.1 线性变换的定义和性质教学目的本节要求掌握线性变换的定义及线性变换的性质教学难点线性变换的性质教学重点线性变换的定义及线性变换的性质教学过程备注教学引入例1在向量空间F[x]中，D (f (x))＝f'(x)表示求多项式f (x)的导数. 显然D是F [x]的一个变换，并且对任意f (x), g(x) ∈F [x], k∈F. 我们还有D [f (x)＋g (x)]＝(f (x)＋g (x))'＝f'(x)＋g'(x)＝D (f (x))＋D (g (x));D(k f (x))＝k(D(f(x))).例2在向量空间V2中，对任意α∈V2，令σ(α)表示将α按逆时针方向旋转θ角度后所得的向量. 那么σ是V2到V2的一个映射. 并且，对任意α, β∈V2，k∈R将α与β的和α＋β按逆时针方向旋转θ角度所得的向量就是将α, β分别按逆时针方向旋转θ角度所得的向量的和，将α的k倍kα按逆时针方向旋转θ角度所得的向量就是将α按逆时针方向旋转θ角度所得向量的k倍，亦即σ(α＋β)＝σ(α)＋σ(β);σ(kα)＝kσ(α).例1、例2虽然是不同的向量空间中的两个变换，但它们有共同的性质，那就是它们都满足：空间中任意两个向量的和的象等于这两个向量在变换下的象的和；一个向量的数量倍的象等于这个向量的象的数量倍. 具有这种性质的变换就是线性变换.教学内容一、线性变换的概念1．线性变换的定义定义1设σ是F上向量空间V的一个变换. 若对于V中任意向量α, β及F中任意数k，都有σ(α＋β)＝σ (α) ＋σ (β);σ (kα)＝kσ (α).则称σ是V的一个线性变换.2．线性变换定义的理解例3设V是数域F上的一个向量空间，k是F中的一个数，定义V的变换σ为σ：α kα (∀α∈V).用定义可以验证，σ是V的一个线性变换，σ叫做数量变换(或位似). 当k＝1时，称σ为恒等变换；当k＝0时，称σ为零变换，向量空间V的恒等变换、零变换分别记作ιV，θV. 如果不产生混淆的话，那么二者分别简记作ι，θ.例4 设{ε1,ε2,ε3}是V3的标准基，对V3的任一向量α＝a1ε1＋a2ε2＋a3ε3，规定σ (α)＝a 1ε1＋a 2ε2＋0ε2. 那么,容易验证映射σ是V 3的线性变换，σ的几何意义是把V 3的向量α投影到由ε1, ε2所决定的OXY 平面上去.例5 在向量空间C [a , b ]中. 定义σ (f (x ))＝⎰xa dt t f )(，∀f (x ) ∈C [a ,b ].可以验证，σ是C [a,b ]的线性变换.例6 在M n (F )中. 取定一个矩阵A . 定义M n (F )的变换σ为σ (X )＝AX , ∀X ∈ M n (F ). 易证σ是M n (F )的一个线性变换. 若定义τ为τ (X )＝X ＋A ，∀X ∈ M n (F ).τ是M n (F )的变换，但是对任意的X , Y ∈ M n (F ),τ (X ＋Y )＝(X ＋Y )＋A . 而τ (X ) ＋τ (Y )＝(X ＋A )＋(Y ＋A )＝X ＋Y ＋2A .当A ≠0时，τ (X ＋Y ) ≠τ (X )＋τ (Y ). 因而τ不是线性变换. 当A ＝0时，τ是线性变换.二、 线性变换的性质定理7.1.1 设V 是F 上的一个向量空间，σ是V 的一个线性变换. (i) σ (0)＝0. 其中0是V 的零向量. (ii) 设α , α1，… ，αs 是V 的向量，则σ (α1＋α2＋…＋αs )＝σ (α1) ＋σ (α2) ＋… ＋σ (αs )； (iii) α , α1，… ，αs 是V 的向量. 若α＝k 1α1＋k 2α2＋…＋k s αs ，则σ (α)＝k 1σ (α1) ＋k 2σ (α2) ＋… ＋k s σ (αs ).(iv) 若{α1,α2,…, αs }是V 的线性相关的向量组，则{σ(α1), σ (α2), …, σ (αs ) }也是V 的线性相关的向量组.证 (i) 因为σ (0)＝σ (0⋅α)＝0σ (α)＝0. (ii) 用数学归纳法易证. (iii) 由定义σ (α)＝σ (k 1α1＋k 2α2＋…＋k s αs )＝σ (k 1α1)＋σ (k 2α2)＋…＋σ (k s αs )ZXOα σ(α)＝k 1σ (α1)＋k 2 σ (α2)＋…＋k s σ (αs ).(iv) 由假设，存在不全为零的数k 1, k 2, …, k s 使k 1α1＋k 2α2＋…＋k s αs ＝0.于是，由(iii)得k 1 σ (α1)＋k 2 σ (α2)＋…＋k s σ (αs )＝σ (0)＝0.因此，σ (α1), σ (α2), …, σ (αs )线性相关.定理7.1.2 设{α1, α2, …, αn }是F 上的向量空间V 的一个基，β1, β2, …,βn 是V 的任意n 个向量，则存在V 的唯一的一个线性变换σ，使σ (αi )＝βi ，i ＝1, 2, …, n .证 先证存在性. 定义V 的变换σ 如下σ (γ)＝l 1β1＋l 2β2+…＋l n βn ，其中γ＝l 1α1＋l 2α2+…＋l n αn 是V 中任一向量.现证σ是一个线性变换.∀ ξ , η ∈ V , k ∈ F . 设ξ＝a 1α1＋a 2 α2＋…＋a n αn ， η＝b 1α1＋b 2α2＋…＋b n αn .则ξ＋η＝(a 1＋b 1) α1＋(a 2＋b 2) α2＋…＋(a n ＋b n ) αn k ξ＝k a 1α1＋k a 2α2＋…＋k a n αn .于是σ (ξ＋η)＝(a 1＋b 1) β1 ＋(a 2＋b 2) β2＋…＋(a n ＋b n ) βn＝(a 1β1＋a 2β2＋…＋a n βn )＋(b 1β1＋b 2β2＋…＋b n βn ) ＝σ (ξ)＋σ (η).σ (k ξ)＝ka 1 β1＋ka 2 β2＋…＋ka n βn＝k (a 1β1＋a 2β2＋…＋a n βn )＝k σ (ξ).所以σ是一个线性变换，且σ (αi )＝σ (0α1＋…＋0αi -1＋1αi ＋0α i ＋1＋…＋0αn ) ＝0β1＋…＋0βi -1＋1βi ＋0 βi ＋1＋…＋0βn ＝βi , i ＝1, 2, …, n .再证唯一性. 设还存在V 的一个线性变换τ，使得τ(αi)＝βi, i＝1, 2,…, n.那么对于V的任一个向量ξ，ξ＝k1α1＋k2α2＋…＋k nαn .有τ (ξ)＝τ (k1α1＋k2α2＋…＋k nαn)＝k1τ (α1)＋k2τ (α2)＋…＋k nτ (αn) ,＝k1β1＋k2β2＋…＋k nβn＝σ (ξ) .由ξ的任意性，必有σ＝τ.推论7.1.3 设{α1,α2,…，αn}是向量空间V的一个基，若V的线性变换σ, τ满足σ(αi)＝τ(αi), i＝1, 2,…, n,则必有σ＝τ.教学小结本节内容可分为下面的两个问题讲.1. 线性变换的定义（P307）2. 线性变换的性质作业本课教育评注。
线性变换知识点总结
线性变换知识点总结一、引言线性变换是线性代数中的重要概念，它是在向量空间中的一种特殊映射。
线性变换具有许多重要的性质和应用，因此研究线性变换对于理解线性代数和应用数学有着重要的意义。
本文将从线性变换的基本概念、性质和应用进行总结，希望能够帮助读者对线性变换有更深入的理解。
二、线性变换的定义线性变换是向量空间之间的一种映射，具体来说，设V和W是两个向量空间，f:V→W是从V到W的映射。
如果对于V中的任意向量u、v和任意标量a，b,都有f(au+bv)=af(u)+bf(v)那么f称为一个线性变换。
三、线性变换的矩阵表示线性变换可以用矩阵来表示，假设V和W是n维向量空间，我们选择V和W的基，那么可以得到V和W中的向量可以用n维列向量表示。
设f:V→W是一个线性变换，选择V和W的基分别为{v1,v2,...,vn}和{w1,w2,...,wn}，那么f的矩阵表示为[f]=(f(v1) f(v2) ... f(vn))其中f(vi)表示w中的基向量wi在f映射下的像，也就是f(vi)对应的列向量。
根据线性变换的定义，我们可以得到映射f的矩阵表示满足下列关系f(av1+bv2)=af(v1)+bf(v2)等价于[f](av1+bv2)=a[f]v1+b[f]v2其中[f]v1和[f]v2为f(v1)和f(v2)的列向量表示。
四、线性变换的性质1. 线性变换的保直性线性变换f:V→W将V中的任意向量线性映射到W中，这种映射保持向量之间的直线性质，即通过f映射后的图像仍然是一条直线。
这是线性变换的一个重要性质，它保证了线性变换后的图像具有一些有用的性质，比如直线上的点在f映射后仍然在同一条直线上。
2. 线性变换的局部性线性变换f:V→W保持向量之间的“相对位置”不变，即如果向量v1和v2之间的相对位置关系在V中是一定的，那么在映射f下，向量f(v1)和f(v2)之间的相对位置关系也是一定的。
这一性质对于理解线性变换的几何意义有着重要的作用，它意味着线性变换可以保持向量之间的某些几何性质。
7.1 线性变换的定义
2. A (0) = A (0α) = 0 A (α) = 0. A (－α) = A ((－1)α) = (－1) A (α) =－A (α). ((－ (－ =－ 3. 4. 据1，易证该等式成立. ，易证该等式成立. 据题设，存在不全为0的数k 据题设，存在不全为0的数k1, ···, kr∈P, 使得 k1α1 + ··· + krαr= 0 → 据3. , 2.可知 2.可知 A ( k1α1 + ··· + krαr ) = k1 A (α1) + ··· + kr A (αr) = A (0) = 0，即A α1, ···, A αr线性相关. 线性相关. 性质3说明：设β 性质3说明：设β= k1α1 + ··· + krαr → A (β) = A ( k1α1 + ··· + krαr ) = k1 A (α1) + ··· + kr A (αr) , 即β与 A (β) 具有相同的线性关系. 具有相同的线性关系.
例5 C(a, b) = { f ( x ) | f ( x)为闭区间 [a , b] 上的连续函数 } 组成实数域 R
上的线性空间. 积分
z ( f ( x)) = ∫
x
x
a
f (t )dt 是 C(a, b)上的线性变换.
证明： ∀f ( x), g ( x ) ∈ C(a, b), ∀k ∈ R ， 证明
/
可以证明， S θ 是二维平面V2 上的一个线性变换。 是二维平面V
证明： 对任意的α,β∈ 证明： 对任意的α,β∈V2 , 设α+β=γ（如图） α+β=γ（如图）
S θ (α+β) = S θ (γ) =γ/=α/ +β/= S θ (α) + S θ (β) ， α+β) S θ (kβ) = kβ/= k S θ (β) . 故S θ 是V2 上的线性变换. (kβ kβ 上的线性变换.
1 线性变换的定义和性质(沐风教学)
b0
P[
x]3
,
Dq 3b3 x2 2b2 x b1 ,
从而 D( p q)
D[(a3 b3) x3 (a2 b2) x2 (a1 b1)x (a0 b0)]
3(a3 b3) x2 2(a2 b2)x (a1 b1)
(3a3 x2 2a2 x a1) (3b3 x2 2b2 x b1)
自身的线性变换, 称为线性空间V n中的线性变换.
下面主要讨论线性空间V n中的线性变换．
Байду номын сангаас
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5
例1 在线性空间P[x]3中,
(1) 微分运算D是一个线性变换.
p a3 x3 a2 x2 a1 x a0 P[ x]3 ,
Dp q
3a3 b3 x
x2 3
b22xa22xb1
a1 , x
量空间
T(Rn) { y x1 1 x2 2 xn n
x1, x2 ,, xn R} T的核 ST 就是齐次线性方程组 Ax 0 的解空 间.
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三、小结
要证一个变换 T 是线性变换，必须证 T 保持 加法和数量乘法，即
T T T , T k kT .
若证一个变换T不是线性变换，只须证T 不保 持加法或数量乘法，并且只须举出一个反例即可．
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上式表明: 变换T把任一向量按逆时针方向旋
转角.
y
p1
o
p x
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例３ 定义在闭区间上的全体连续函数组成实数
域上的一个线性空间 V，在这个空间中变换
T
f
x
x
a
f
t
dt
是一个线性变换.
高等代数§7.1线性变换的定义
，
当 k 1 时，称它为单位变换或恒 等变换，记为 E ，即 E( ) 。
例4 在线性空间 P [ x ] 或 P [ x ] n 中，求 微商是一个线性变换，记成 D ，即
D ( f ( x )) f ( x )
例5 定义在闭区间[ a , b ] 上的全体连续函 数组成一线性空间，以 C ( a , b ) 代表，变 换 b
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定义1 数域 P 上的线性空间 V 到其自身 的映射称为 V 的一个变换；V 的一个变 换 A 称为线性变换，如果对于 V 中任意 向量 ， 和数域 P 中任意数 k ，都有 （i） A(
) A( ) A( )
k A( )
（ii）A( k )
以后，我们一般用黑体大写拉丁字母代 表线性变换 , 用 A( ) 或 A 代表元素 在 变换 A 下的象 .
x cos y s in s in x cos y
例2 设 是几何空间中一个固定的非 零向量，把每个向量 变成它到 上 的内射影的变换是一个线性变换，记 成 。即
( ) ( , ) ( , )
其中( , ) ,
( , )
表示内积。
例3 设 V 是数域 P 上的线性空间， k 是 P 中某个数，则把 V 中每个向量 变为 k 的变换是线性变换，称为由数 k 决 定的数乘变换，记作 k ，即 k( ) k 。 特别地，当k 称它为零变换；
0 时，即 0( ) 0
上述定义中的 （i）（ii）两条有时也 说成线性变换保持向量的加法与数量 乘法 , 它可以用下面的一条来代替
A( （iii） a b ) a A( ) b A( )
高等代数.第七章.线性变换.课堂笔记
第七章 线性变换§7.1 线性变换的定义与判别一、线性变换的定义：定义1 设V 为数域P 上线性空间，A 为V 的一个变换(即V ⟶V 的映射)，若A 保持加法和数乘运算，即A (α+β)=A (α)+ A (β),∀α,β∈V ，A (kα)=k A (α),∀k ∈P ，则称A 为V 的一个线性变换.注记： 以后我们用花体拉丁字母A,B,C,...表示V 的线性变换，除了特别说明外，本章节中V 均指数域P 上有限维线性空间.例1.说明下列变换均为线性变换： (1)把V 中任一向量都映射为0（称为零变换，记作0）； (2)把V 中任一向量α映射为本身（恒等变换，记作E ）； (3)取定k ∈P ，把V 中的每一个向量α映射为kα（数乘变换，记作k ）.例2.判定下列规则σ是否为指定线性空间的线性变换： (1)ℝ,x -:σ(f (x ))=f′(x );(2)C ,a,b -: σ(f (x ))=∫f (t )dt x0;(3)P n×n : σ(A )=A +A ′,σ2(A )=SAT ，S,T 为固定二个n ×n 矩阵. (4)ℝ,x -n : σ1(f (x ))=xf (x ),σ2(f (x ))=f (x )+1. 解：可验证(1)-(3)均为线性变换，下面证明(1)： ∀ f (x )∈ℝ,x -，其导函数唯一确定，且f (x )∈ℝ,x -，因而σ为V ⟶V 的变换，即V 的一个变换，σ(f (x )+g (x ))=(f (x )+g (x ))′=f ′(x )+g ′(x )= σ(f (x ))+ σ(g (x )), ∀k ∈ℝ,σ(kf (x ))=(kf (x ))′=kf ′(x )=kσ(f (x )).(4): σ1与σ2均不是线性变换，取f (x )=x n−1+1=ℝ,x -n ，但σ1(f (x ))=xf (x )=x n +x ∉ℝ,x -n ， 因而σ1不是ℝ,x -n 的一个变换， σ2是ℝ,x -n 的一个变换，但运算不保持，因而不是线性变换.习题：P320、1例3.设α为通常几何空间ℝ3中固定的向量，把空间中每个向量η映射为η在α上的内映射（正投影），即Πα: η⟶(α∙η)(α∙α)α是ℝ3的线性变换，这里(α∙η),(α∙α)表示通常向量的内积.证：如图，Πα(η)=OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =ηcos (η∙α)α|α|=(α∙η)(α∙α)α，唯一确定， 从而Πα为ℝ3的一个变换，如图，AC ⊥W(垂足为C)，OCD LA Wα1α2η因此L 与W 为ℝ3的子空间且ℝ3=W ⊕L ，令 η=α1+α2,α1=OD⃗⃗⃗⃗⃗ =Πα(η),α2∈W , δ=β1+β2,β1=Πα(δ)∈L,β2∈W ，则η+δ=(α1+β1)+(α2+β2),α1+β1∈L,α2+β2∈W ， 从而Πα(η+δ)=α1+β1=Πα(η)+Πα(δ)， 同理，Πα(kη)=kΠα(η).二、线性变换的性质： 设A 为V 的线性变换，则： (1) A (0)=0, A (−α)=−A (α),∀α∈V ; (2) A (k 1α1+k 2α2+⋯+k t αt )=k 1A (α1)+k 2A (α2)+⋯+k t A (αt ); (3) A 把线性相关的向量组映射为线性相关的向量组（反之不真）.2011-04-02A : V ⟶V 线性变换性质： (3) A 为V 中线性相关的向量组，映为V 中线性相关的向量组，即α1,α2,…,αs 相关⟹A (α1), A (α2),…, A (αs )相关;但A (α1), A (α2),…, A (αs )线性相关⇒α1,α2,…,αs 相关. 如A =0,∀ α∈V,α≠0, A (α)=0.(4)设α1,α2,…,αn 为V 的一个基，∀ α∈V,α=x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ⟹A (α)=A (x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ) 线性变换A 由V 中一个基中的像唯一确定;(5)设α1,α2,…,αn 为V 的一个基，则对V 中任一向量组β1,β2,…,βn 必存在一个线性变换 A : V ⟶V ，使得：A (αi )=βi ,1≤i ≤n ;证：作V ⟶V 映射：A (α)= x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn ，其中：α=x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn ,则A (αi )=βi ,1≤i ≤n ; 下证：A 为V 的线性变换：∀ α=x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ∈V,β=y 1α1+y 2α2+⋯+y n αn ∈V,A (α+β)= A .(x 1+y 1)α1+(x 2+y 2)α2+⋯+(x n +y n )αn /=(x 1+y 1)β1+(x 2+y 2)β2+⋯+(x n +y n )βn=(x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn )+(y 1β1+y 2β2+⋯+y n βn ) = A (x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn )+ A (y 1α1+y 2α2+⋯+y n αn )= A (α)+A (β)同理，∀k ∈P ，A (kα)=k A (α).§7.2 线性变换的运算为方便，引入记号：Hom (V,V )，它表示数域P 上线性空间V 的所有线性变换的集合。
7.1 线性变换的定义
第七章 线性变换学习单元1： 线性变换的定义_________________________________________________________● 导学学习目标：理解线性空间的线性变换的概念；会判断线性空间的一个变换是否为线性变换；掌握线性变换的基本性质。
学习建议：本学习单元主要是线性变换的概念，大家可以多看书、多看例题，掌握判断一个变换是否是线性变换的技巧。
重点难点：重点：深刻理解线性变换的概念。
难点：理解线性变换的基本性质。
_________________________________________________________● 学习内容一、线性变换的概念及例定义 设V 为P 上线性空间，A 为V 的变换，满足（1）对任何,V αβ∈，有A ()αβ+= A (α) +A (β)；（2）对任何,k P V α∈∈，有A ()k α= kA (α)。
则称A 为V 的线性变换。
例1 θℜ为把2V 中向量绕坐标原点反时针旋转θ角的变换。
θℜ为2V 的线性变换。
例2 α为2V 中一个固定向量，α∏表示把2V 中的向量ξ投影到α上，即()αξ∏为ξ在α上的内射影，也即(,)()(,)a ααξξαα∏=， α∏为2V 的线性变换，这里(,)αξ表示内积。
例3 V 的恒等变换E 和零变换O 均为V 的线性变换。
例4 V 的数乘变换ℜ：,,k k P V ααα→∈∈是V 的线性变换。
例5、例6见书，自学。
二、线性变换的基本性质设A 为V 的线性变换。
性质1 (0)0,()()A A A αα=-=-。
性质2 若11r r k k βαα=++L ，则11()()()r r A k A k A βαα=++L 。
性质3 若1,,r ααL 线性相关，则1(),,()r A A ααL 线性相关。
注：性质3的逆不成立，如V 的零变换，把线性无关向量组变成线性相关向量组。
当A 为双射时，A 为V 到V 的同构映射，称A 为V 的自同构。
高等代数(第7章)
例如，零变换将线性无关的向量组变成线性相关 的向量组.
§7.2 线性变换的运算
设V是数域P上的线性空间， 、是V的两个线 性变换. 1.线性运算 (1)加法： 与的和定义为 ( +)()=()+() ( V) (2)数量乘法：数域P中的数k与的数量乘法定义为 (k)( ) =k(()) ( V) (3) 负变换：的负变换 -定义为 (-)()= - () ( V) 结论：线性空间V上的线性变换的全体，对于如上定 义的加法与数乘运算构成数域P上的线性空间.即
例2 设是几何空间中一个固定的非零向量, 将每个 向量变到它在上的内射影的变换
( , ) ( ) ( , ) .
( )
是一个线性变换.
2.线性变换的简单性质 设 是数域P上线性空间V的一个变换. (i)(0)=0, (-)= - (), V. (ii)(k11+…+ kmm)= k1(1) +…+ km(m) i V, ki P (i=1,2,…,m) (iii) 设i V, (i=1,2,…,m) .若 1,2,…,m线性相关,则 (1),(2),…,(m)线性相关；反之不然.
线性变换被基向量的像唯一确定！
定理1: 设1, 2,…,n是数域P上n维线性空间V 的一组 基, 1,2,…,n是V中任意n个向量,则存在唯一的线性 变换使 (j)= j , j=1,2,…,n.
证明：(i)存在性
x i i V , 定义V的变换： x i i .
仍是线性变换
()()=(()) ( V)
运算律： (i)()= () (ii) (+) = + , (+)+= +(+) (iii)k()=(k)= (k) 注意：线性变换的乘积一般是不可交换的,即 . 例1 在P22中，定义线性变换、 、为
线性变换总结篇(高等代数)
第 7章 线性变换7.1知识点归纳与要点解析一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换，如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ，都有：()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=。
注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。
2.线性变换的判别设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换，那么：σ为V 的线性变换⇔()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+∀∈∀∈ 3.线性变换的性质设V 是数域P 上的线性空间，σ为V 的线性变换，12s ,,,,V αααα∀∈。
性质1. ()()00,σσαα==-; 性质2. 若12s ,,,ααα线性相关，那么()()()12s ,,,σασασα也线性相关。
性质3. 设线性变换σ为单射，如果12s ,,,ααα线性无关，那么()()()12s ,,,σασασα也线性无关。
注：设V 是数域P 上的线性空间，12,,,m βββ，12,,,s γγγ是V 中的两个向量组，如果： 记：于是，若()dim V n =，12,,,n ααα是V 的一组基，σ是V 的线性变换， 12,,,m βββ是V 中任意一组向量，如果：记： 那么：设112111222212m m n n mn b b c b b c B b b c ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，12,,,m ηηη是矩阵B 的列向量组，如果12,,,r i i i ηηη是12,,,m ηηη的一个极大线性无关组，那么()()()12,ri i iσβσβσβ就是()()()12,m σβσβσβ的一个极大线性无关组，因此向量组()()()12,m σβσβσβ的秩等于秩()B 。
4. 线性变换举例（1）设V 是数域P 上的任一线性空间。
零变换： ()00,V αα=∀∈； 恒等变换：(),V εααα=∀∈。
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nn
√
√
10/10
5．复数域C看成是自身上的线性空间， ( x ) x .×
6．C看成是实数域R上的线性空间， ( x ) x .
k k
则称 为线性空间V上的线性变换.
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注：几个特殊线性变换
单位变换(恒等变换)：E : V V , , V 零变换： 0 : V V , 0, V
K 由数k决定的数乘变换： : V V , k , V
2．线性变换保持线性组合及关系式不变，即 若 k11 k2 2 kr r , 则 ( ) k1 (1 ) k2 ( 2 ) kr ( r ). 3．线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关 的向量组. 即
8/10
若 1 , 2 , , r 线性相关，则 1 , 2 , , r 也线性相关. 事实上，若有不全为零的数 k1 , k2 , , kr 使
, R 3 , k R 易验证：
k k
( )
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二、 线性变换的简单性质
1． 为V的线性变换，则
(0) 0, ( ) ( ).
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例2．V P[ x ]或P[ x ]n上的求微商是一个 线性变换， 用D表示，即
D : V V , D( f ( x )) f ( x ), f ( x ) V
例3. 闭区间 [a , b]上的全体连续函数构成的线性空间
C[a , b] 上的变换
J : C [a , b] C [a , b], J f x f t dt
用 T 表示，即
2
x cos sin x 这里， y sin cos y
T : R R ,
2
x x y y
, R 2 , k R 易验证：
T T T T k kT
事实上， , V ,
m P ,
K k ( ) k k K K , K m km mk mK .
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例1. V R 2(实数域上二维向量空间)，把V中每 一向量绕坐标原点旋转 角，就是一个线性变换，
k11 k2 2 kr r 0
则由2即有，k1 1 k2 2 kr r 0.
注意：3的逆不成立， 即 1 , ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2 , , r
线性相关， 1 , 2 , , r 未必线性相关. 事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成
线性相关的向量组. 如零变换.
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练习：下列变换中，哪些是线性变换？
R 3中， x1 , x2 , x3 (2 x1 , x2 , x2 x3 ). 1．在
√
f ( x ) f 2 ( x ). 2．在 P[ x ]n中，
×
3．在线性空间V中， , V 非零固定.×
§7.1 线性变换的定义
一、线性变换的定义
二、线性变换的简单性质
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引入
在讨论线性空间的同构时，我们考虑的是一种 保持向量的加法和数量乘法的一一对应. 我们常称
两线性空间之间保持加法和数量乘法的映射为线性 映射. 本节要讨论的是在线性空间V上的线性映射
线性变换.
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一、 线性变换的定义
设V为数域P上的线性空间，若变换 :V V 满足： , V , k P
x a
是一个线性变换.
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例4． V R 3 , V 为一固定非零向量， 把V中每 一个向量 变成它在 上的内射影是V上的一个线
性变换. 用 表示，即
( , ) : R R , , R 3 ( , )
3 3
这里 ( , ),( , ) 表示内积.