《自动控制原理》线性系统的状态空间分析与综合

系统不具有因果性。不具有因果性的系统能够预测t时刻之后的输
入并施加于系统而影响其输出。
线性 一个松弛系统当且仅当对于任何输入 u1 和u2 。以及任何
实数 均有
H (u1 + u2 ) = Hu1 + Hu2
(9-2)
H (u1 ) = H (u1 )
(9-3)
则该系统称为线性的，否则称为非线性的。式(9-2)称为） 若在系统的状态空间表达式中，函
数f和g均不显含时间t或tk 则称该系统为自治系统，其状态空间表
达式的一般形式为
.
x(t) = f [x(t),u(t)]
y(t) = g[x(t),u(t)]
(9-13)
或
x(tk+1 ) = f [x(tk ), u(tk )]
状态变量常用符号 x1(t), x2 (t),..., xn (t) 表示。 状态向量 把描述系统状态的n个状态变量x1(t), x2 (t),..., xn (t) 看 作向量x(t)的分量，即
T
x(t) = [x1(t), x2 (t),..., xn (t)] 则向量x(t)称为n维状态向量。给定t＝ t0 时的初始状态向量X(to)
在50年代蓬勃兴起的航天技术的推动下，在1960年前后开 始了从经典控制理论到现代控制理论的过渡，其中一个重要 标志就是卡尔曼系统地将状态空间概念引入到控制理论中来。 现代控制理论正是在引入状态和状态空间概念的基础上发展起 来的。
在现代控制理论的发展中，线性系统理论首先得到研究 和发展，已形成较为完整成熟的理论。现代控制理论中的许多 分支，如最优控制、最优估计与滤波、系统辨识、随机控制、 自适应控制等，均以线性系统理论为基础；非线性系统理论、 大系统理论等，也都不同程度地受到了线性系统理论的概念、 方法和结果的影响和推动。
y(tk ) = g[x(tk ), u(tk )]
(9-14)
线性系统 若在系统的状态空间表达式中，f和g均是线性函数，
则称系统为线性系统，否则为非线性系统。
线性系统的状态空间表达式 线性系统的状态方程是一阶向量
线性微分方程或一阶向量线性差分方程，输出方程是向量代数方程。
线性连续时间系统状态空间表达式的一般形式为
对于一个松弛系统，其输入—输出描述为
y = Hu
(9-1)
式中H为某一算子，例如传递函数就是一种算子。
因果性 若系统在t时他刻的输出仅取决于在t时刻和t之前的
输入，而与t时刻之后的输入无关，则称系统具有因果性或因果关
系(Causal)。本书中所研究的实际物理系统均具有因果性，并称为
因果系统。若系统在t时刻的输出尚与t时刻之后的输入有关，则称
状态方程（Ver6书没有） 描述系统状态变量与输入变量之间 关系的一阶微分方程组(连续时间系统)或一阶差分方程组(离散时 间系统)称
为系统的状态方程。状态方程表征了系统由输入所引起的内部状态
变化，其一般形式为 或
.
x(t) = f [x(t),u(t),t]
（9-7）
x(tk+1) = f [x(tk ),u(tk ),tk ]
(9—5)
式(9—4)又可写为
HQ u = Q y
(9—6)
线性时不变(定常)系统数学方程中各项的系数必为常数，只要有一 项的系数是时间的函数，则系统是时变的。
二.系统状态空间描述常用的基本概念
下面所介绍的是在系统状态空间描述中常用的一些基本概念。 状态和状态变量 系统在时间域中的行为或运动信息的集合称 为状态。确定系统状态的一组独立(数目最小)的变量称为状态变量。
.
一个用n阶微分方程描述的系统，当n个初始条件 x(t0 )，x (t0 )，…，
x(n−1) (t0 ) 及t≥ t0 的输入u(t) 给定时，可惟一确定方程的解，即系统将
.
来的状态。故 x(t) ，x (t) ，… ，x(n−1) (t) 这n个独立变量可选作状态变量。
状态变量对于确定系统的行为既是必要的，也是充分的。n阶系统 状态变量所含独立变量的个数为n。显然，当变量个数小于n时，便 不能完全确
式(9-3)称为齐次性。若松弛糸统具有这陶柙特性，则称该系统满
足叠加原理。
时不变性（定常性） 一个松弛系统当且仅当对于任何输入u和
任何实数 ，均有
HQ u = Q Hu
(9—4)
则该系统称为时不变的或定常的，否则称为时变的。式中 Q 为位移
算子，Q u 表示对于所有t 均有
Q u(t) = u(t − )
（9-2）
通常，若状态 x 、输入u 、输出 y 的维数分别为n, p, q,则称
n n矩阵A(c)及G(k)为系统矩阵或状态矩阵或系数矩阵，称 n p矩 阵B(t)及H(k)为控制矩阵或输入矩阵，称 q n 矩阵 C(t) 及 C(k)为观
测矩阵或输出矩阵，称q p 矩阵D(t)及 D(k)为前馈矩阵或输入输出 矩阵。
（9-3）
或
x(k + 1) = Gx(k) + Hu(k) y(k) = Cx(k) + Du(k)
x = [x1, x2 ,..., xn ] T ，及输入变量 u = [u1,u2 ,...,u p ] T u = [u1,u2 ,...,u p ] 和T 输出变量 y = [y1, y2 ,..., yq ] T和输出变量间转换关系的数学表达式，具有代数方程 的形式，称为输出方程。在以后的研究中可以看到，外部描述仅描 述系统的外部特性，不能反映系统的内部结构特性，而具有完全不 同内部结构的两个系统也可能具有相同的外部特性，因而外部描述 通常只是对系统的一种不完全的描述。内部描述则是对系统的一种 完全的描述，它能完全表征系统的所有动力学特征。仅当在系统具 有一定属性的条件下，两种描述才具 有等价关系。
线性定常系统 在线性系统的状态空间表达式中，若系数矩阵 A(t), B(t),C(t), D(t)或 G(k), H (k),C(k), D(k) 的各元素都是常数，则称该系 统为线性定常系统，否则为线性时变系统。线性定常系统状态空间 表达式的一般形式为
.
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
定n阶系统的状态，而当变量个数大于n时，对于确定系统的状态有 的变量则是多余的。
状态变量的选取不具有惟一性，同一个系统可能有多种不同的 状态变量选取方法。状态变量也不一定在物理上可量测，有时只具 有数学意义，而无任何物理意义。但在具体工程问题中，应尽可能 选取容易量测的量作为状态变量，以便实现状态的前馈和反馈等设 计要求。例如，机械系统中常选取线(角)位移和线(角)速度作为变 量，RLC网络中则常选取流经电感的电流和电容的端电压作为状态 变量。
T
入，系统对环境的作用为系统输出；二者分别用向量u = [u1,u2 ,...,u p ] 和y = [ y1, y2 ,..., yq ] T表示 ，它们均为系统的外部变量。描述系统内部 每个时刻所处状况的变量为系统的内部变量，以向量 x = [x1, x2 ,..., xn ] T 表示。系统的数学描述是反映系统变量间因果关系和变换关系的一 种数学模型。
第九章 线性系统的状态空间分析与综合
引言：
在第一章至第七章中，我们曾详细讲解了经典线性系统 理论以及用其设计控制系统的方法。可以看到，经典线性理 论的数学基础是拉普拉斯变换和z变换，系统的基本数学模型 是线性定常高阶微分方程、线性常系数差分方程、传递函数 和脉冲传递函数，主要的分析和综合方法是时域法、根轨迹 法和频域法，分析的主要内容是系统运动的稳定性。经 典线性系统理论对于单输入-单输出线性定常系统的分析和综 合是比较有效的，但其显著的缺点是只能揭示输入—输出间 的外部特性，难以揭示系统内部的结构特性，也难以有效处 理多输入—多输出系统。
现代控制理论中的线性系统理论运用状态空间法描述输 入-状态-输出诸变量间的因果关系，不但反映了系统的输入— 输出外部特性，而且揭示了系统内部的结构特性，是一种既
适用于单输入--单输出系统又适用于多输入—多输出系统， 既可用于线性定常系统又可用于线性时变系统的有效分析和 综合方法。
在线性系统理论中，根据所采用的数学工具及系统描述 方法的不同，又出现了一些平行的分支，目前主要有线性系 统的状态空间法、线性系统的几何理论、线性系统的代数理 论、线性系统的多变量频域方法等。由于状态空间法是线性 系统理论中最重要和影响最广的分支，加之受篇幅限制，所 以本章只介绍线性系统的状态空间法。
（9-8）
输出方程（Ver6书没有） 描述系统输出变量与系统状态变量
和输入变量之间函数关系的代数方程称为输出方程，其一般形式为
y(t) = g[x(t),u(t),t]
（9-9）
或
y(tk ) = g[x(tk ),u(tk ),tk ]
（9-10）
输出方程表征了系统内部状态变化和输入所引起的系统输出变化，
问题： 经典控制理论的内容、缺点 第八章非线性属于经典控制理论还是现代控制理论 现代控制理论的内容 现代控制理论-线性系统理论-状态空间法的关系 状态空间法的优点
9-1 线性系统的状态空间描述
一.系统数学描述的两种基本类型
这里所谓的系统是指由一些相互制约的部分构成的整体，它可 能是一个由反馈闭合的整体，也可能是某一控制装置或受控对象。 本章中所研究的系统均假定具有若干输入端和输出端，如图9-1所 示。图中方块以外的部分为系统环境，环境对系统的作用为系统输
松弛性 若系统的输出y[t0 ,]由输入u[t0, ]唯一确定，则称系 统在 时刻是松弛的。从能量的观点看，系统在t0时刻是松弛的意味 着系统在时刻不存贮能量。例如RLC网络，若所有电容两端的电压 和流过电感的电流在 t0 时刻均为零(即初始条件为零)，则称网络在 t0 时刻是松弛的。若网络不是松弛的，则其输出不仅由输入决定， 而且与初始条件有关。