2020-2021学年高三数学第一次模拟考试试题及答案解析

最新高三第一次模拟考试

数学试题

(考试时间：120分钟 总分：160分)

注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）

1．已知集合{}

21A x x =≤，集合{}2,1,0,1,2B =--，则A B = ▲ ．

2．如图，在复平面内，点A 对应的复数为1z ，若2

1

i z z =（i 为虚数单位）， 则2z = ▲ ．

3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2

212

x y -=的实轴长为 ▲ ．

4．某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方

法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从男学生中抽取的人数为100 人，那么n = ▲ ．

5．执行如图所示的伪代码，当输入,a b 的值分别为1,3时，最后输出的a

的值为 ▲ ．

6．甲乙两人下棋，若甲获胜的的概率为15，甲乙下成和棋的概率为25

，则乙不输棋的概率为

▲ ．

7．已知直线(0)y kx k =>与圆2

2

:(2)1C x y -+=相交于,A B 两点，若2

55

AB =

， 则k = ▲ ．

8．若命题“存在2

0,4R x ax x a ∈++≤”为假命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 9．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，O 为1BD 的中点，三棱锥

O ABD -的体积为1V ，四棱锥11O ADD A -的体积为2V ，则12

V

V

的值为 ▲ ．

10．已知公差为2的等差数列{}n a 及公比为2的等比数列{}n b 满足11220,0a b a b +>+<，

Read ,1

While 2

1

End While

Print a b i i a a b b a b

i i a ←≤←+←-←+（第5题） （第9题）

O

C

D

B

C 1

A B 1

A 1

D 1

（第2题）

则33a b +的取值范围是 ▲ ．

11．设()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()2ln

4

x x

f x =+，记(5)n a f n =-，则数列 {}n a 的前8项和为 ▲ ．

12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点,A B 分别为x 轴，y 轴上一点，且2AB =，若点

P ，则AP BP OP ++的取值范围是 ▲ ．

13．若正实数,x y 满足2

(21)(52)(2)xy y y -=+-，则12x y

+的最大值为 ▲ ．

14．已知函数π()sin()cos cos()262

x x f x A x θ=+--（其中A 为常数，(π,0)θ∈-），若实数

123,,x x x 满足：①123x x x <<，②31x x -<2π，③123()()()f x f x f x ==，则θ的值为 ▲ ．

二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）

在ABC ∆中，角,A B 的对边分别为,a b ，向量(cos ,sin ),(cos ,sin )A B B A ==m n ． （1）若cos cos a A b B =，求证：//m n ； （2）若⊥m n ,a b >，求tan

2

A B

-的值．

如图，在三棱锥P ABC -中，90PAC BAC ∠=∠=︒，PA PB =，点D ，F 分别为BC ，AB 的中点．

（1）求证：直线//DF 平面PAC ；

（2）求证：PF ⊥AD ．

17．（本题满分14分）

一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以v 5的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，经弹射器以6v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．设AOE θ∠=弧度，小球从A 到F 所需时间为T ． （1）试将T 表示为θ的函数()T θ，并写出定义域；

（2）求时间T 最短时cos θ的值．

18．（本题满分16分）

已知数列{},{}n n a b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和．

（1）若数列{}n a 是首项为23，公比为1

3

-的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n =，23a =，求数列{}n a 的通项公式；

（3）在（2）的条件下，设n n n

a

c b =，求证：数列{}n c 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之

积．

如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆:O 2

2

4x y +=，椭圆:C 2

214

x y +=， A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于,B C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，

直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中6

(,0)5

D -．设直线,AB AC 的斜率分别为12,k k ．

（1）求12k k 的值； （2）记直线,PQ BC 的斜率分别为,PQ BC k k ，是否存在常数λ，使得PQ BC k k λ=？若存在，求λ值；

若不存在，说明理由；

（3）求证：直线AC 必过点Q ．

20．（本题满分16分） 已知函数()42

12

f x ax x =-，(0,)x ∈+∞，()()()

g x f x f x '=-． （1） 若0a >，求证：

（ⅰ）()f x 在()f x '的单调减区间上也单调递减； （ⅱ）()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点；

（2） 若1a >，记()g x 的两个零点为12,x x ，求证：1244x x a <+<+．