二次函数铅垂高演练(答案、解析、总结)
二次函数铅垂法
二次函数铅垂法二次函数铅垂法是解决二次函数相关问题的一种有效方法。
在数学中，二次函数是一种形式为y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数。
通过二次函数铅垂法，我们可以求解二次函数的最值、顶点坐标、判定函数的开口方向以及曲线的对称轴等问题。
首先，让我们来了解一下二次函数的基本性质。
对于一元二次函数y=ax^2+bx+c，其中a不等于零，a代表二次项系数，b代表一次项系数，c代表常数项。
根据二次函数的图像，我们可以发现以下特点：1.开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。
当a大于零时，曲线开口向上；当a小于零时，曲线开口向下。
2.对称轴：二次函数的对称轴为x=-b/2a，对称轴将曲线分为两个对称部分。
3.最值：当二次函数开口向上时，曲线在对称轴上有一个最小值；当二次函数开口向下时，曲线在对称轴上有一个最大值。
接下来，我们将详细介绍二次函数铅垂法的应用。
一、最值问题对于一元二次函数，我们可以通过二次函数铅垂法求解其最值。
首先，我们需要找到二次函数的顶点坐标。
顶点坐标即为曲线的最值点。
通过求导数或使用铅垂法，我们可以求得顶点坐标。
当二次函数开口向上时，顶点为最小值；当二次函数开口向下时，顶点为最大值。
二、顶点坐标问题通过二次函数铅垂法，我们可以快速求解二次函数的顶点坐标。
首先，我们将二次函数转化为顶点形式。
顶点形式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。
通过铅垂法，我们可以得出顶点坐标，从而可以了解二次函数的整体走势。
三、开口方向问题在解决二次函数开口方向问题时，二次函数铅垂法也能够派上用场。
通过观察二次函数的二次项系数a的正负，我们可以判断二次函数的开口方向。
如果a大于零，曲线开口向上；如果a小于零，曲线开口向下。
四、对称轴问题二次函数的对称轴是指将曲线分为两个对称部分的直线。
二次函数铅垂法可以帮助我们确定对称轴的方程。
对称轴的方程为x=-b/2a，通过这个方程，我们可以得出对称轴的位置。
二次函数铅垂法求面积中考真题(初三数学铅垂定理)
二次函数铅垂法求面积中考真题（初三数学铅垂定理）铅垂定理，是初中解决平面直角坐标系中的特殊三角形的面积和求二
次函数最值（动点）问题的法宝，已经掌握的同学可以划走。
不送，哈哈。
先看定理：
那种知道坐标的特殊三角形这种方法不适合。
千万别用，反而繁琐。
那这个定理怎么来的呢？首先我们要知道原理，也就是怎么推导出来的。
先看下面推导过程。
了解定理和掌握推导之后，接下来怎么用呢。
一般情况下，我们要求
出BC两点坐标，这样就得出水平C的距离了。
再求出BC的一次函数解析
式（待定系数法求出即可），再根据A点坐标求出D点坐标，由于AD横
坐标相同，则把A的横坐标代入BC解析式中即可求出D的纵坐标。
这样
就可以求出AD的长度。
然后利用公式就可以得出面积。
真的不要小看这个定理，很多二次函数的综合大题，特别是动点问题，用这个来解决问题，是最合适不过了。
下次你遇到这种类型的题目可以尝
试着去用一下看看哦。
当然，铅垂定理有很多种画法，只需要掌握这一种即可，其他的意思
都一样。
另外，铅垂高是竖直的哦，与Y轴平行。
好了，今天就分享到这里，下期见。
ps：满招损，谦受益，低调做人，高调做事。
我是小李飞道丶，喜欢
理科的同学，关注我，我们一起学习哦。
,。
二次函数铅垂高演练(答案、解析、总结)
二次函数铅垂高如图12-1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题：如图12-2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆； (3)是否存在一点P ，使S △PAB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.例1解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21+-=x a y ·············· 1分把A （3,0）代入解析式求得1-=a所以324)1(221++-=+--=x x x y ·············· 3分设直线AB 的解析式为：b kx y +=2由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( ··········· 4分 把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中 解得：3,1=-=b k所以32+-=x y ······················· 6分 (2)因为C 点坐标为(１,4)所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2所以CD ＝4-2＝2 ······················· 8分图12-2xC OyABD 1 132321=⨯⨯=∆CAB S (平方单位) ················· 10分 (3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-= ······· 12分 由S △PAB =89S △CAB 得：389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242=+-x x 解得，23=x 将23=x 代入3221++-=x x y 中， 解得P 点坐标为)415,23( ···················· 14分总结：求不规则三角形面积时不妨利用铅垂高。
二次函数铅垂高演练(答案、解析、总结).doc
二次函数铅垂高演练(答案、解析、总结) 【答案】解：（1）点C的坐标．设抛物线的函数关系式为，则，解得∴所求抛物线的函数关系式为…………①设直线AC的函数关系式为则，解得．∴直线AC的函数关系式为，∴点E的坐标为把x=4代入①式，得，∴此抛物线过E点．（2）（1）中抛物线与x轴的另一个交点为N（8，0），设M（x，y），过M作MG⊥x轴于G，则S△CMN=S△MNG+S梯形MGBC—S△CBN===∴当x=5时，S△CMN有最大值课下练习1．(本题满分12分)已知：如图一次函数y＝x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)求四边形BDEC的面积S；(3)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．第24题图3．（2010山东临沂）如图，二次函数的图象与轴交于,两点，且与轴交于点.（1）求该抛物线的解析式，并判断的形状；（2）在轴上方的抛物线上有一点,且以四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点,使得以四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.第26题图【答案】解：根据题意，将A（,0）,B（2,0）代入y=-x2+ax+b 中，得解这个方程，得全品中考网所以抛物线的解析式为y=-x2+x+1.当x=0时，y=1.所以点C的坐标为（0，1）。
所以在△AOC中，AC==.在△BOC中，BC==.AB=OA+OB=.因为AC2+BC2=.所以△ABC是直角三角形。
图1（2）点D的坐标是.（3）存在。
由（1）知，AC⊥BC,若以BC为底边，则BC∥AP,如图（1）所示，可求得直线BC的解析式为.直线AP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线AP的解析式为，将A（,0）代入直线AP的解析式求得b=,所以直线AP的解析式为.因为点P既在抛物线上，又在直线AP上，所以点P的纵坐标相等，即-x2+x+1=.解得（不合题意，舍去）.图2当x=时，y=.所以点P的坐标为（，）.②若以AC为底边，则BP∥AC，如图（2）所示，可求得直线AC的解析式为.直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线BP的解析式为，将B（2,0）代入直线BP的解析式求得b=-4,所以直线BP的解析式为y=2x-4.因为点P既在抛物线上，又在直线BP上，所以点P的纵坐标相等，即-x2+x+1=2x-4解得（不合题意，舍去）.当x=-时，y=-9.所以点P的坐标为（-，-9）.综上所述，满足题目的点P的坐标为（，）或（-，-9）2(本题10分)如图，已知二次函数y=的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．(1)点A的坐标为_______，点C的坐标为_______；(2)线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个?．解：（1）A（0，4），C（8，0）． (2)分（2）易得D（3，0），CD=5．设直线AC对应的函数关系式为，则解得∴．..........................................3分①当DE=DC 时，∵OA=4，OD=3．∴DA=5，∴（0，4）． (4)分②当ED=EC时，可得（，）．……………5分③当CD=CE时，如图，过点E作EG⊥CD，则△CEG∽△CAO，∴．即，，∴（，）．……………………………………6分综上，符合条件的点E有三个：（0，4），（，），（，）．（3）如图，过P作PH⊥OC，垂足为H，交直线AC于点Q．设P（m，），则Q（，）．①当时，PQ=（）()=，，…………………………7分∴；……………………………………………………………………………8分②当时，PQ=（）()=，，∴．………………………………………………………………………………9分故时，相应的点P有且只有两个．…………………………。
二次函数之面积问题(铅垂法)(三)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：具有什么样的特征图形在表达面积时可采用铅垂法？问题2：铅垂法的具体的做法？并结合第3题具体说明．问题3：结合下面图形，说明的推导过程问题4：平行四边形存在性（两定两动）问题的处理思路是什么？问题5：判断第4题属于什么问题，分析过程中哪个部分用到了铅垂的思想？二次函数之面积问题（铅垂法）（三）一、单选题(共5道，每道20分)1.如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线与直线BC交于点．在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP是平行四边形时，动点P的坐标为( )A.B.C.D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数下的面积问题2.如图，抛物线与x轴交于两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线于点C；点A关于直线的对称点为．点P 是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段于点M．（１）若四边形PACM为平行四边形，则点P的坐标为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数下的面积问题3.（上接第2题）（2）连接，则△的面积最大值为( )A.4B.16C.8D.32答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数下的面积问题4.如图，抛物线与x轴交于点，交y轴于点．直线过点A且与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．（1）设点P是抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD 于点M，作DE⊥y轴于点E．若以P，M，E，C为顶点的四边形是以EC为边的平行四边形，则点P的坐标为( )A.B.C.D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数下的面积问题5.（上接第4题）（2）连接BD.设点P是直线BD上方抛物线上一动点（不与点B，D重合），则四边形ABPD面积的最大值为( )A.4B.16C.32D.36答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数下的面积问题。
中考专项练习之铅垂法
铅垂法一、解答题(共14小题，每小题5分，共70分)1.(2017·毕节市中考真题) 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于，，三点，点是直线下方抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)是否存在点，使是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；(3)动点运动到什么位置时，面积最大，求出此时点坐标和的最大面积．(5分)2.如图，抛物线与轴交与，两点，(1)求该抛物线的解析式；(2)设中的抛物线交轴与点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在中的抛物线上的第二象限上是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标及的面积最大值．若没有，请说明理由．(5分)3.阅读材料：如图，过的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫的“水平宽”，中间的这条直线在内部线段的长度叫的“铅垂高”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解答下列问题：如图，抛物线顶点坐标为点，交轴于点，交轴于点．(1)求抛物线和直线的解析式；(2)点是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结，，当点运动到顶点时，求铅垂高及；(3)是否存在一点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．(5分)4.(2015·中山市纪中三鑫双语学校月考)如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，已知，且经过点，是第一象限内抛物线上的一个动点，为抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式； (2)求的面积；(3)求的面积的最大值，并求此时点的坐标．(5分)5.(2018·南开实验学校期中考试) 如图所示，抛物线的顶点为，直线与抛物线交于点(1)求抛物线顶点的坐标和点的坐标 (2)求的面积(3)是抛物线上位于直线上方的一点，当点的坐标为多少时，的面积最大？(5分)6.(2015·中山市古镇初级中学期中考试) 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，点在原点的左侧，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点的坐标和四边形的最大面积．(5分)7.(2018·中山市纪中三鑫双语学校中考模拟) 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．(1)求点、、的坐标；(2)在抛物线的对称轴上有一动点，求的值最小时的点的坐标；(3)若点是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积的最大值．(5分)8.(2016·中山市期中考试) 如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，已知，且经过点，是第一象限内抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)在对称轴上是否存在一点，使得最短？若点存在，求出点的坐标，若点不存在，请说明理由；(3)求面积的最大值，并求出此时点的坐标．(5分)9.抛物线顶点坐标为点，交轴于点，交轴于点．(1)抛物线和直线的解析式；(2)连结、，求的铅垂高及．(5分)10.如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为顶点．(1)求；(2)求；(3)若点是第四象限抛物线上一动点，求的最大值．(5分)11.(2016·苏州市昆山市期中考试) 已知抛物线与直线交于点，．(1)求、、的值；(2)直接写出当时，自变量的范围是；(3)已知点是抛物线的顶点，求的面积．(5分)12.(2017·纪雅单元测试) 如图，一次函数的图象与轴交于，与轴交于点，以直线为对称轴的抛物线，经过，两点，与轴正半轴交于点．(1)求一次函数及抛物线的函数表达式；(2)在直线下方的抛物线上，是否存在一点，使得的面积最大，若存在，求出点的坐标，并求出最大面积是多少．(5分)13.如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知点，点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若点是抛物线位于第一象限上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标．(5分)14.(2020·惠州市惠城区月考) 如图，已知二次函数的图象交x 轴于点，交轴于点(1)求这个二次函数的表达式(2)点是直线下方抛物线上的一动点，求面积的最大值(3)直线分别交直线和抛物线于点，当是等腰三角形时，直接写出的值(5分)二、填空题(共1小题，每小题5分，共5分)15.点是抛物线上一个动点，且在直线：上方，当点坐标为时，最大．(5分)。
最新二次函数铅垂高演练(答案、解析、总结)
二次函数铅垂高如图12-1 ,过厶ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫厶ABC 的“水平宽” (a)，中间的这条直线在△ ABC 内部线段的长度1叫厶ABC 的“铅垂高(h) ”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法： S ABC ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半 解答下列问题:如图12-2，抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交x 轴于点A(3,0)，交y 轴于点B.(1) 求抛物线和直线 AB 的解析式;⑵点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结 PA ，PB ，当P 点运动到顶点 C 时，求△ CAB 的铅垂高CD 及S CAB ；例1解：(1)设抛物线的解析式为：y !=a(x —1)2+4 .......................................................... •分把A (3,0)代入解析式求得 a = -1 所以 y^i = -(x-1)24 = -x 2 2x 3 ................................................. 3 分设直线AB 的解析式为：y 2二kx • b 由y 1二-x 2 2x 3求得B 点的坐标为(0,3) ....................................... 4分把 A(3,0), B(0,3)代入 y 2 =kx b 中 解得：k =T , b = 3所以y 2 = _x ■ 3 ............................................................................................. 6分⑵因为C 点坐标为(1 ,4) 所以当 x =1时，y 1= 4, y 2 = 2所以 CD = 4-2= 2 ................................................................................................. •分(3)是否存在一点 说明理由•P ，使 pAB =9S CAB =1 3 2=3(平方单位)...............................................................................10分⑶假设存在符合条件的点P,设P点的横坐标为'△ PAB的铅垂高为h,则h = y1 _ y2 = ( _x2 2x 3) _ (_x 3) = _x2 3x ........................................... 12分由& PAB= S A CAB81 9得：3 (-x23x) 32 8化简得：4x2_12x • 9 = 03解得，x = 323 2将x 代入％ - -x 2x 3中，3 15解得P点坐标为(3，) ................................................................. 14分总结：求不规则三角形面积时不妨利用铅垂高。
2022年中考数学二次函数压轴突破 专题06 铅垂法求三角形面积最值问题(学生版)
知识导航求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法．【问题描述】在平面直角坐标系中，已知()1,1A 、()7,3B 、()4,7C ，求△ABC 的面积．【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样：构造矩形ADEF ，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC 面积． 这是在“补”，同样可以采用“割”：()111222ABCACDBCDSSSCD AE CD BF CD AE BF =+=⋅+⋅=+ 此处AE +AF 即为A 、B 两点之间的水平距离． 由题意得：AE +BF =6． 下求CD ：根据A 、B 两点坐标求得直线AB 解析式为：1233y x =+由点C 坐标(4,7)可得D 点横坐标为4， 将4代入直线AB 解析式得D 点纵坐标为2， 故D 点坐标为(4,2)，CD =5,165152ABCS =⨯⨯=．【方法总结】 作以下定义：A 、B 两点之间的水平距离称为“水平宽”；过点C 作x 轴的垂线与AB 交点为D ，线段CD 即为AB 边的“铅垂高”．如图可得：=2ABCS⨯水平宽铅垂高【解题步骤】(1)求A 、B 两点水平距离，即水平宽；(2)过点C 作x 轴垂线与AB 交于点D ，可得点D 横坐标同点C ； (3)求直线AB 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标； (4)根据C 、D 坐标求得铅垂高； (5)利用公式求得三角形面积．【思考】如果第3个点的位置不像上图一般在两定点之间，如何求面积？铅垂法其实就是在割补，重点不在三个点位置，而是取两个点作水平宽之后，能求出其对应的铅垂高！因此，动点若不在两定点之间，方法类似： 【铅垂法大全】(1)取AB 作水平宽，过点C 作铅垂高CD ．(2)取AC 作水平宽，过点B 作BD ⊥x 轴交直线AC 于点D ，BD 即对应的铅垂高， =2ABCABDBCDSSS⨯-=水平宽铅垂高(3)取BC 作水平宽，过点A 作铅垂高AD ．甚至，还可以横竖互换，在竖直方向作水平宽，在水平方向作铅垂高．(4)取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD．(5)取AC作水平宽，过点B作铅垂高BD．(6)取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD．例一、如图，已知抛物线25=++经过(5,0)y ax bxA-，(4,3)B--两点，与x轴的另一个交点为C．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合)，设点P的横坐标为m．当点P在直线BC的下方运动时，求PBC∆的面积的最大值．【分析】(1)265=++，y x x(2)取BC两点之间的水平距离为水平宽，过点P作PQ⊥x轴交直线BC于点Q，则PQ即为铅垂高．根据B、C两点坐标得B、C水平距离为4，根据B 、C 两点坐标得直线BC 解析式：y =x +1，设P 点坐标为(m ，m ²+6m +5)，则点Q (m ，m +1)， 得PQ =-m ²-5m -4，考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积就最大．当52-时，△BCP 面积最大，最大值为278．【小结】选两个定点作水平宽，设另外一个动点坐标来表示铅垂高． 例二、在平面直角坐标系中，将二次函数2(0)y ax a =>的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，1OA =，经过点A 的一次函数(0)y kx b k =+≠的图像与y 轴正半轴交于点C ，且与抛物线的另一个交点为D ，ABD ∆的面积为5．(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点E 在一次函数的图像下方，求ACE ∆面积的最大值，并求出此时点E 的坐标．EDC BAy【分析】(1)抛物线解析式：21322y x x =--； 一次函数解析式：1122y x =+． (2)显然，当△ACE 面积最大时，点E 并不在AC 之间．已知A (-1,0)、10,2C ⎛⎫⎪⎝⎭，设点E 坐标为213,22m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，过点E 作EF ⊥x 轴交直线AD 于F 点，F 点横坐标为m ，代入一次函数解析式得11,22m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭可得213222EF m m =-++考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积最大．既然都是固定的算法，那就可以总结一点小小的结论了， 对坐标系中已知三点()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y ， 按铅垂法思路，可得：12233121321312ABCSx y x y x y x y x y x y =++--- 如果能记住也不要直接用，可以当做是检验的方法咯．【总结】铅垂法是求三角形面积的一种常用方法，尤其适用于二次函数大题中的三角形面积最值问题，弄明白方法原理，熟练方法步骤，加以练习，面积最值问题轻轻松松．1．已知二次函数2y x bx c =-++和一次函数y mx n =+的图象都经过点(3,0)A -，且二次函数2y x bx c =-++的图象经过点(0,3)B ，一次函数y mx n =+的图象经过点(0,1)C -． (1)分别求m 、n 和b 、c 的值；(2)点P 是二次函数2y x bx c =-++的图象上一动点，且点P 在x 轴上方，写出ACP ∆的面积S 关于点P 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．2．如图，抛物线经过(2,0)A -，(4,0)B ，(0,3)C -三点． (1)求抛物线的解析式；(2)在直线BC 下方的抛物线上有一动点P ，使得PBC ∆的面积最大，求点P 的坐标；(3)点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．3．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于(1,0)A -，(3,0)B ，(0,4)C -三点，点(,)P m n 是直线BC 下方抛物线上的一个动点． (1)求这个二次函数的解析式；(2)动点P 运动到什么位置时，PBC ∆的面积最大，求出此时P 点坐标及PBC ∆面积的最大值；(3)在y 轴上是否存在点Q ，使以O ，B ，Q 为顶点的三角形与AOC ∆相似？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图1，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知点B 坐标为(3,0)，点C 坐标为(0,3)．(1)求抛物线的表达式；(2)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当PBC∆的面积最大时，求点P的坐标；(3)如图2，点M为该抛物线的顶点，直线MD x⊥轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC 的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线过点(0,1)A和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为(3B，0)，平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为433，四边形BDEF为平行四边形．(1)求点F的坐标及抛物线的解析式；(2)若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当PAB∆面积最大时，求点P的坐标及PAB∆面积的最大值；(3)在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．6．在平面直角坐标系xOy中，等腰直角ABC∆的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB=，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．4(1)求抛物线所表示的二次函数表达式．(2)过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求CMN∆面积的最小值．②已知3(1,)Q-是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，2求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．。
二次函数中铅垂线段培训总结
二次函数中铅垂线段培训总结1. 引言二次函数是数学中的一种重要函数形式，广泛应用于各个领域。
在二次函数中，铅垂线段是一种特殊的线段，具有重要的几何性质和应用。
本文将总结二次函数中铅垂线段的相关知识和应用，帮助读者理解和掌握这一重要概念。
2. 二次函数的基本知识回顾在讨论铅垂线段之前，我们先回顾一下二次函数的基本知识。
二次函数的一般形式可以表示为f(x)=ax2+bx+c，其中a,b,c为常数且a≠0。
二次函数的图像是一个抛物线，可以开口向上或向下。
通过解析式中的系数a可以确定抛物线的开口方向。
3. 铅垂线段的定义在二次函数的图像中，铅垂线段是与抛物线相交且垂直于x轴的线段。
铅垂线段的特点是与抛物线的切线平行，并且其长度是抛物线到x轴的距离的两倍。
4. 铅垂线段的性质铅垂线段具有以下重要性质：4.1 对称性对于二次函数f(x)=ax2+bx+c，其图像关于铅垂线段对称。
换句话说，如果(x1,y1)是二次函数图像上的任意一点，那么(x1,−y1)也是图像上的一点。
4.2 长度铅垂线段的长度等于抛物线到x轴的距离的两倍。
长度可以通过求解二次函数关于x的方程来计算。
4.3 方程的应用铅垂线段的性质可以应用于解决各种实际问题。
例如，可以利用铅垂线段的对称性求解二次函数的零点，或者通过求解铅垂线段与抛物线的交点来确定二次函数的最值。
5. 铅垂线段的求解方法求解铅垂线段可以通过以下步骤进行：5.1 确定二次函数首先，给定一个二次函数f(x)=ax2+bx+c，其中a≠0。
5.2 求解切线方程利用导数的知识，可以求解抛物线上某一点的切线方程。
切线方程的斜率等于二次函数在该点的导数值。
5.3 求解铅垂线段方程根据切线方程的斜率，可以求解铅垂线段的斜率。
由于铅垂线段与x轴垂直，所以其斜率为0。
通过已知点和斜率0，可以得到铅垂线段的方程。
5.4 求解交点将铅垂线段的方程与二次函数的方程联立，可以求解两者的交点。
这些交点即为铅垂线段与二次函数的交点。
二次函数铅垂高演练(答案、解析、总结)教学内容
二次函数铅垂高如图12-1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题：如图12-2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆； (3)是否存在一点P ，使S △P AB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.例1解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21+-=x a y ··········································· 1分把A （3,0）代入解析式求得1-=a所以324)1(221++-=+--=x x x y ············································· 3分设直线AB 的解析式为：b kx y +=2由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( ··································· 4分 把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中 解得：3,1=-=b k所以32+-=x y ·········································································· 6分 (2)因为C 点坐标为(１,4)所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2 所以CD ＝4-2＝2 ········································································· 8分图12-2xC OyABD 1 132321=⨯⨯=∆CAB S (平方单位) ··················································· 10分 (3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△P AB 的铅垂高为h ，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-= ······················ 12分 由S △P AB =89S △CAB 得：389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242=+-x x 解得，23=x 将23=x 代入3221++-=x x y 中， 解得P 点坐标为)415,23( ······························································ 14分总结：求不规则三角形面积时不妨利用铅垂高。
“铅垂高”的最值在二次函数中的应用
“铅垂高”的最值在二次函数中的应用作者：万旭光来源：《广东教学报·教育综合》2021年第42期《中小学数学》多期刊文对“铅垂高”的定义、应用进行了探讨，本文沿用他们的定义，将夹在抛物线和直线之间与x轴垂直的线段称为“铅垂高”，并就其存在最大值或最小值的性质及其应用作一个粗浅的探究.一、“铅垂高”的最大值、最小值的探究例1：如图1，已知二次函数y=-x2+2x+3与y=-x+3直线交于B、C两点，P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，垂线PH交抛物线于点D，求PD的最大值。
解：设P（x，y），其中0∴x=时，PD的最大值为例2：如图2，已知二次函数y=-x2+2x+3图象与直线y=x+4无交点，P为抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，垂线PH交直线y=x+4于点D，求PD的最小值。
解：设P（x，y）∴x=时，PD的最小值为小结：从以上两个例子可以发现，线段PD夹在抛物线与直线之间，当P点在抛物线上运动时，PD的长度是以P点横坐标x为自变量的二次函数，这样PD长度的最值问题就转化成了二次函数的最值问题，进一步研究发现无论抛物线开口方向如何，当直线与抛物线无交点时，夹在直线与抛物线之间的“铅垂高”，存在最小值;当直线与抛物线有交点时，夹在直线与抛物线之间的“铅垂高”，在两交点横坐标之间的区间上存在最大值.二、“铅垂高”最值的应用1.利用“铅垂高”最大值，求三角形面积的最大值例3：（2008·深圳）如图3，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a>0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB=OC ，tan∠ACO=.（1）求二次函数的表达式;（2）若点D（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AD下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APD的面积最大？求出此时P点的坐标和△APD的最大面积.分析：（1）先求A、B、C三点坐标，代入即可求得二次函数表达式;（2）如图4，作PH⊥轴，垂足为H，交AD于点E，作DG⊥PE，垂足为G，因为S△APD=S△APE+S△DPE=PE×（AH+GD）=PE×=PE×3=PE，而“鉛垂高”PE有最大值，所以S△APD有最大值。
铅锤高和水平宽之二次函数面积问题综合练习题图文稿
铅锤高和水平宽之二次函数面积问题综合练习题集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）铅锤高与水平宽之二次函数与面积问题综合练习题例1：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC =21ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解答下列问题：如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；（3）是否存在一点P，使S△PAB =89S△CAB若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．练习1：已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．例2.抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且S△AOP =4SBOC，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．:练习2：在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 :A（-4,0），B（0,-4），C （2,0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．练习3：抛物线y=mx2-11mx+24m?（m＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且∠BAC=90°．（2）连接OA，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；（3）如图2，设垂直于x轴的直线l：x=n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD 交于点N，若直线l沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．。
铅垂高水平宽二次函数应用
铅垂高水平宽二次函数应用△ABC的三个顶点，B、C为定点，A为动点，作AD⊥x轴交BC于点D，AD是垂直距离--铅垂高，B、C两点水平距离--水平宽。
S△ABC=水平宽×铅垂高=|x C-x B|•|y A-y D|例1.已知二次函数y=−x2−2x+3的图象和x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是直线AC上方的抛物线上的动点。
在P点运动过程中，求△APC面积的最大值和此时P点坐标。
（略）解：点A(-3,0)、 B(1,0）、C(0,3)方法一：铅垂高。
作PD⊥x轴交AC于点D，l AC：y=x+3.设P（m,−m2−2m+3）,则D（m,m+3）∴PD=−m2−2m+3-m-3=−m2−3m，S△PAC=(−m2−3m)•3=-m2-m，当m=-=-=-，S△PAC最大=，将m=-代入y p=−m2−2m+3=，∴P(-,)方法二：分割。
连结PO，设P（m,−m2−2m+3），S△PAC+S△AOC=S△PAO+S△POC，S△PAC=S△PAO+S△POC-S△AOC=×3×（−m2−2m+3）+×3×（-m）-×3×3=-m2-m,下面同上.方法三：平行线。
（平行线PE离AC最远，与抛物线“相切”）作PE‖AC交y轴于点E，由l AC：y=x+3可设l PE：y=x+bx1=x2=-=-代入y p=−x2−2x+3=，∴P(-,) （如果只要求出点P则到此结束）例3x2+3x+b-3=0中△=b2-4ac=9-4(b-3)=0∴b=由平行线等积得S△PAC=S△ACE= CE×OA=(-3）×3=为所求最大.例2.二次函数的图象与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．A(-2，0),B(4，0),C(0，-4),l AC：y=-2x-4.设P（m,m2−m-4）,则D（m,-2m-4）∴S△PAC=(m2+m)•2=m2+m.例3.二次函数y=x2-2x-6过点D(4,−6).动点P在直线OD下方时求△POD面积的最大值。
二次函数动点三角形面积最值问题
当点CC在何处时SS△AAAAAA有最大值?1.铅垂高法做CCCC⊥ xx轴且交直线AABB于点D,设点CC坐标为(mm, aamm2+ bbmm+ cc),直线AB的解析式为gg(xx) = kkxx + qq,∴点D坐标为(mm, kkmm + qq),∴CC CC的长度为f(m) − g(m) = aamm2 + bbmm + cc−kkmm−qq, ∴SS△AA AAAA= SS△AAAAAA+ SS△AA AAAA= AAAA×(xx BB−xx AA),将CC CC为aamm2 + bbmm + cc−kkmm−qq代入，令(xx−xx) = ss,可2 AA AA得SS= (aamm2+bbmm+cc−kk mm−qq)×ss= aa ss mm2+(bb−kk)ss mm+ss(cc−qq),当aassmm2+ (bb−△AAAAAA 2 2kk)ssmm + ss(cc−qq)有最大值时，SS△AA AAAA有最大值.当m = −bb= −(bb−kk)ss= −bb−kk时, aassmm2 + (bb−kk)ssmm + ss(cc−qq)有最2aa2aass2aa大值, SS△AAAAAA有最大值.A A � A A A � A作直线l l 平行于直线AABB 且与f(x)只有一个交点C （即直线l 与ff (xx ) = aaxx 2 + bbxx + cc 相切）,此时SS △AAAAAA 为最大值.∴ ff ′(xx ) =ff (xx AA ) − ff (xx A A ) = 2aaxx + bb xx AA − xx AA (aaxx 2 + bbxx AA + cc ) − (aaxx 2 + bbxx A A + cc ) ⇒= 2aaxx + bb xx AA − xx AA aa (xx 2 − xx 2) + bb (xx AA − xx A A ) ⇒= 2aaxx + bb xx AA − xx AA aa (xx AA + xx A A )(xx AA − xx A A ) + bb (xx AA − xx A A )⇒ xx AA − xx AA= 2aaxx + bb ⇒ aa (xx AA + x x AA ) + bb = 2aaxx + bb ⇒ xx = xx AA + xx AA 2 ∴当xx = xx BB +xx AA时, SS 有最大值. 2 △AAAAAA。
二次函数中的面积计算问题-之铅垂高
本节将介绍二次函数中的一个重要应用问题——铅垂高。通过本节的学习， 您将了解到铅垂高的定义、计算公式以及它与二次函数图像的关系。
什么是铅垂高?
铅垂高指的是从一个点到与其所在直线垂直相交的点的距离。在二次函数中， 我们可以通过铅垂高来计算图像所包围的面积。
如何计算铅垂高?
交点坐标为 (4, 0)。
步骤四: 计算铅垂高
铅垂高为 4。
铅垂高的应用领域
建筑设计
铅垂高可以帮助建筑师确定建筑物的高度 和结构。
数学建模
铅垂高可以用作数学模型中的重要参数。
地理测量
地理学家利用铅垂高测量地形和海拔高度。
物理实验
物理学家可以通过铅垂高来研究物体的运 动和力学性质。
铅垂高与二次函数图像的关系
1
开口方向
铅垂高的长度取决于二次函数的开口方向。2拐点位置源自铅垂高的顶点与二次函数的拐点位置相同。
3
面积计算
铅垂高可以用于计算二次函数图像所包围的面积。
提高计算铅垂高的技巧
1 利用对称性
2 化简计算公式
利用二次函数图像的对称性可以简化铅 垂高的计算。
将二次函数化为标准或一般形式可以简 化计算铅垂高的公式。
3 练习与实践
4 使用数学工具
通过大量的练习和实践，可以提高计算 铅垂高的准确性和速度。
利用数学工具和计算器可以辅助计算复 杂的铅垂高问题。
结论和要点
铅垂高是二次函数中的一个重要概念，可以用于计算图像所包围的面积。了 解铅垂高的定义、计算方法和应用领域对深入理解二次函数具有重要意义。
1 步骤一
找到二次函数的顶点坐标。
2 步骤二
确定直线方程，该直线过顶点并且垂直 于横轴或纵轴。
2022年中考数学二次函数压轴突破 专题06 铅垂法求三角形面积最值问题(教师版含解析)
知识导航求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法．【问题描述】在平面直角坐标系中，已知()1,1A 、()7,3B 、()4,7C ，求△ABC 的面积．【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样：构造矩形ADEF ，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC 面积． 这是在“补”，同样可以采用“割”：()111222ABCACDBCDSSSCD AE CD BF CD AE BF =+=⋅+⋅=+ 此处AE +AF 即为A 、B 两点之间的水平距离． 由题意得：AE +BF =6． 下求CD ：根据A 、B 两点坐标求得直线AB 解析式为：1233y x =+由点C 坐标(4,7)可得D 点横坐标为4， 将4代入直线AB 解析式得D 点纵坐标为2， 故D 点坐标为(4,2)，CD =5,165152ABCS =⨯⨯=．【方法总结】 作以下定义：A 、B 两点之间的水平距离称为“水平宽”；过点C 作x 轴的垂线与AB 交点为D ，线段CD 即为AB 边的“铅垂高”．如图可得：=2ABCS⨯水平宽铅垂高【解题步骤】(1)求A 、B 两点水平距离，即水平宽；(2)过点C 作x 轴垂线与AB 交于点D ，可得点D 横坐标同点C ； (3)求直线AB 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标； (4)根据C 、D 坐标求得铅垂高； (5)利用公式求得三角形面积．【思考】如果第3个点的位置不像上图一般在两定点之间，如何求面积？铅垂法其实就是在割补，重点不在三个点位置，而是取两个点作水平宽之后，能求出其对应的铅垂高！因此，动点若不在两定点之间，方法类似： 【铅垂法大全】(1)取AB 作水平宽，过点C 作铅垂高CD ．(2)取AC 作水平宽，过点B 作BD ⊥x 轴交直线AC 于点D ，BD 即对应的铅垂高， =2ABCABDBCDSSS⨯-=水平宽铅垂高(3)取BC 作水平宽，过点A 作铅垂高AD ．甚至，还可以横竖互换，在竖直方向作水平宽，在水平方向作铅垂高．(4)取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD．(5)取AC作水平宽，过点B作铅垂高BD．(6)取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD．例一、如图，已知抛物线25=++经过(5,0)y ax bxA-，(4,3)B--两点，与x轴的另一个交点为C．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合)，设点P的横坐标为m．当点P在直线BC的下方运动时，求PBC∆的面积的最大值．【分析】(1)265=++，y x x(2)取BC两点之间的水平距离为水平宽，过点P作PQ⊥x轴交直线BC于点Q，则PQ即为铅垂高．根据B、C两点坐标得B、C水平距离为4，根据B、C两点坐标得直线BC解析式：y=x+1，设P 点坐标为(m ，m ²+6m +5)，则点Q (m ，m +1)， 得PQ =-m ²-5m -4，考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积就最大．当52-时，△BCP 面积最大，最大值为278．【小结】选两个定点作水平宽，设另外一个动点坐标来表示铅垂高． 例二、在平面直角坐标系中，将二次函数2(0)y ax a =>的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，1OA =，经过点A 的一次函数(0)y kx b k =+≠的图像与y 轴正半轴交于点C ，且与抛物线的另一个交点为D ，ABD ∆的面积为5．(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点E 在一次函数的图像下方，求ACE ∆面积的最大值，并求出此时点E 的坐标．【分析】(1)抛物线解析式：21322y x x =--； 一次函数解析式：1122y x =+． (2)显然，当△ACE 面积最大时，点E 并不在AC 之间．已知A (-1,0)、10,2C ⎛⎫⎪⎝⎭，设点E 坐标为213,22m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，过点E 作EF ⊥x 轴交直线AD 于F 点，F 点横坐标为m ，代入一次函数解析式得11,22m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭可得213222EF m m =-++考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积最大．既然都是固定的算法，那就可以总结一点小小的结论了， 对坐标系中已知三点()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y ， 按铅垂法思路，可得：12233121321312ABCSx y x y x y x y x y x y =++--- 如果能记住也不要直接用，可以当做是检验的方法咯．【总结】铅垂法是求三角形面积的一种常用方法，尤其适用于二次函数大题中的三角形面积最值问题，弄明白方法原理，熟练方法步骤，加以练习，面积最值问题轻轻松松．1．已知二次函数2y x bx c =-++和一次函数y mx n =+的图象都经过点(3,0)A -，且二次函数2y x bx c =-++的图象经过点(0,3)B ，一次函数y mx n =+的图象经过点(0,1)C -． (1)分别求m 、n 和b 、c 的值；(2)点P 是二次函数2y x bx c =-++的图象上一动点，且点P 在x 轴上方，写出ACP ∆的面积S 关于点P 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．【分析】(1)把直线和曲线经过的点代入得到方程组，求解即可得到答案；(2)分两种情况：①当点P 在y 轴左侧时，过点P 作//PD y 轴交AC 于点D ，②当点P 在y 轴右侧时，过点P 作//PD y 轴交AC 的延长线于点D ，分别根据三角形面积公式得到关系式，利用函数式表示三角形PAC 的面积，配方可得答案． 【解答】解：(1)二次函数2y x bx c =-++和一次函数y mx n =+的图象都经过点(3,0)A -，一次函数y mx n =+的图象经过点(0,1)C -， ∴301m n n -+=⎧⎨=-⎩，∴131m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， 二次函数2y x bx c =-++和一次函数y mx n =+的图象都经过点(3,0)A -，二次函数2y x bx c =-++的图象经过点(0,3)B ， ∴9303b c c --+=⎧⎨=⎩，∴23b c =-⎧⎨=⎩．(2)由(1)知一次函数与二次函数的解析式分别为：113y x =--或223y x x =--+，①当点P 在y 轴左侧时，过点P 作//PD y 轴交AC 于点D ，则13|3|22PAC S PD PD ∆=⨯⨯-=，②当点P 在y 轴右侧时，过点P 作//PD y 轴交AC 的延长线于点D ，则13|3|22PAC S PD x x PD ∆=⨯⨯+-=，点P 在抛物线上，设2(,23)P x x x --+，则1(,1)3D x x --，2215231433PD x x x x x ∴=--+++=--+，233535169(4)()22232624PAC S PD x x x ∆∴==-++=-++， 即当56x =-时，PAC S ∆最大16924=．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及一次函数、图形面积的计算等，掌握其性质及运算是解决此题关键，2．如图，抛物线经过(2,0)A -，(4,0)B ，(0,3)C -三点． (1)求抛物线的解析式；(2)在直线BC 下方的抛物线上有一动点P ，使得PBC ∆的面积最大，求点P 的坐标；(3)点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)将点A 、B 、C 的坐标代入抛物线表达式，即可求解； (2)由PBC ∆的面积PHB PHC S S ∆∆=+，即可求解；(3)分AC 是边、AC 是对角线两种情况，利用平移的性质和中点公式即可求解．【解答】解：(1)将点A 、B 、C 的坐标代入抛物线表达式得42016403a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得38343a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，故抛物线的表达式为233384y x x =--；(2)设直线BC 的表达式为y mx n =+，则043m n n =+⎧⎨=-⎩，解得343m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故直线BC 的表达式为334y x =-， 过点P 作y 轴的平行线交BC 于点H ，设点P 的坐标为233(,3)84x x x --，则点3(,3)4H x x -，则PBC ∆的面积221133334(33)3224844PHB PHC S S PH OB x x x x x ∆∆=+=⋅=⨯⨯--++=-+，304-<，故该抛物线开口向下，PBC ∆的面积存在最大值，此时2x =， 则点P 的坐标为(2,3)-；(3)存在，理由：设点N 的坐标为(,)m n ，则233384n m m =--①，①当AC 是边时，点A 向下平移3个单位得到点C ，则点()M N 向下平移3个单位得到点()N M ， 则03n -=或03n +=②，联立①②并解得23m n =⎧⎨=-⎩或1173m n ⎧=-±⎪⎨=⎪⎩(不合题意的值已舍去)；②当AC 是对角线时，则由中点公式得：11(03)(0)22n -=+③，联立①③并解得23m n =⎧⎨=-⎩(不合题意的值已舍去)；综上，点N 的坐标为(2,3)-或(117-3)或(117-3)．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、面积的计算等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏． 3．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于(1,0)A -，(3,0)B ，(0,4)C -三点，点(,)P m n 是直线BC 下方抛物线上的一个动点． (1)求这个二次函数的解析式；(2)动点P 运动到什么位置时，PBC ∆的面积最大，求出此时P 点坐标及PBC ∆面积的最大值；(3)在y 轴上是否存在点Q ，使以O ，B ，Q 为顶点的三角形与AOC ∆相似？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)将A 、B 、C 坐标代入即可求解析式；(2)设P 坐标，表示出PBC ∆的面积，再求出最大面积和面积最大时P 的坐标； (3)两个直角顶点是对应点，而AOC ∆两直角边的比为14，只需BOQ ∆两直角边比也为14，两个三角形就相似，分两种情况列出比例式即可．【解答】解：(1)设二次函数的解析式为12()()y a x x x x =--， 二次函数的图象交坐标轴于(1,0)A -，(3,0)B ，(0,4)C -， 11x ∴=-，23x =，124()()a x x x x -=--，解得11x =-，23x =，43a =， ∴二次函数的解析式为2448(1)(3)4333y x x x x =+-=--， 故答案为：2448(1)(3)4333y x x x x =+-=--；(2)设直线BC 解析式为y kx b =+，将(3,0)B ，(0,4)C -代入得034k bb =+⎧⎨-=⎩，解得43b =，4c =-， BC ∴解析式是443y x =-， 如答图1，过P 作//PD y 轴，交BC 于D ，点(,)P m n 是直线BC 下方抛物线上的一个动点， 03m ∴<<，248433n m m =--，4(,4)3D m m -，224484(4)(4)43333PD m m m m m ∴=----=-+，22211439()(4)(30)262()22322PBC B C S PD x x m m m m m ∆∴=⋅-=-+⋅-=-+=--+， 3032<<， 32m ∴=时，PBC S ∆最大为92，此时224843834()45333232n m m =--=⨯-⨯-=-， 3(2P ∴，5)-，故答案为：3(2P ，5)-，PBC S ∆最大为92；(3(1,0)A -，(0,4)C -，(3,0)B ， ∴14OA OC =，3OB =， 点Q 在y 轴上， 90BOQ AOC ∴∠=∠=︒，若以O ，B ，Q 为顶点的三角形与AOC ∆相似，则BOQ ∠与AOC ∠对应， 分两种情况：①如答图2，AOC QOB ∆∆∽， 则14OQ OA OB OC ==即134OQ =，解得34OQ =， 13(0,)4Q ∴或23(0,)4Q -；②AOC BOQ ∆∆∽， 则14OB OA OQ OC ==即314OQ =，解得12OQ =， 3(0,12)Q ∴或4(0,12)Q -，综上所述，存在y 轴上的点Q ，使以O ，B ，Q 为顶点的三角形与AOC ∆相似，这样的点一共4个：13(0,)4Q 或23(0,)4Q -，3(0,12)Q 或4(0,12)Q -，故答案为：存在这样的点Q ，坐标分别是：13(0,)4Q 或23(0,)4Q -，3(0,12)Q 或4(0,12)Q -，【点评】本题是二次函数、相似三角形、面积等问题的综合题，主要考查坐标、线段的转化，面积的表示，涉及方程思想，分类思想等，难度适中．4．如图1，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知点B 坐标为(3,0)，点C 坐标为(0,3)．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 为直线BC 上方抛物线上的一个动点，当PBC ∆的面积最大时，求点P 的坐标；(3)如图2，点M 为该抛物线的顶点，直线MD x ⊥轴于点D ，在直线MD 上是否存在点N ，使点N 到直线MC 的距离等于点N 到点A 的距离？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】(1)利用待定系数法可求解析式；(2)过点P 作PH x ⊥轴于H ，交BC 于点G ，先求出BC 的解析式，设点2(,23)P m m m -++，则点(,3)G m m -+，由三角形面积公式可得221133273(3)()22228PBC S PG OB m m m ∆=⨯⨯=⨯⨯-+=--+，由二次函数的性质可求解；(3)设直线MC 与x 轴交于点E ，过点N 作NQ MC ⊥于Q ，先求出点A ，点M 坐标，可求MC 解析式，可得4DE MD ==，由等腰直角三角形的性质可得2MQ NQ ==，由两点距离公式可列222(4|)4n n -=+，即可求解． 【解答】解：(1)点(3,0)B ，点(0,3)C 在抛物线2y x bx c =-++图象上， ∴9303b c c -++=⎧⎨=⎩， 解得：23b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为：223y x x =-++；(2)点(3,0)B ，点(0,3)C ，∴直线BC 解析式为：3y x =-+，如图，过点P 作PH x ⊥轴于H ，交BC 于点G ，设点2(,23)P m m m -++，则点(,3)G m m -+，22(23)(3)3PG m m m m m ∴=-++--+=-+，221133273(3)()22228PBC S PG OB m m m ∆=⨯⨯=⨯⨯-+=--+， ∴当32m =时，PBC S ∆有最大值， ∴点3(2P ，15)4； (3)存在N 满足条件，理由如下：抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，∴点(1,0)A -，2223(1)4y x x x =-++=--+，∴顶点M 为(1,4)，点M 为(1,4)，点(0,3)C ，∴直线MC 的解析式为：3y x =+，如图，设直线MC 与x 轴交于点E ，过点N 作NQ MC ⊥于Q ，∴点(3,0)E -，4DE MD ∴==，45NMQ ∴∠=︒， NQ MC ⊥，45NMQ MNQ ∴∠=∠=︒， MQ NQ ∴=， 2MQ NQ ∴=， 设点(1,)N n ，点N 到直线MC 的距离等于点N 到点A 的距离， NQ AN ∴=，22NQ AN ∴=， 222()2MN AN ∴=， 222(4|)4n n ∴-=+， 2880n n ∴+-=， 426n ∴=-±∴存在点N 满足要求，点N 坐标为(1,46)-+或(1,46)--．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，两点距离公式，等腰直角三角形的性质等知识，利用参数列方程是本题的关键．5．如图，抛物线过点(0,1)A 和C ，顶点为D ，直线AC 与抛物线的对称轴BD 的交点为(3B ，0)，平行于y 轴的直线EF 与抛物线交于点E ，与直线AC 交于点F ，点F 的横坐标为433，四边形BDEF 为平行四边形．(1)求点F 的坐标及抛物线的解析式；(2)若点P 为抛物线上的动点，且在直线AC 上方，当PAB ∆面积最大时，求点P 的坐标及PAB ∆面积的最大值；(3)在抛物线的对称轴上取一点Q ，同时在抛物线上取一点R ，使以AC 为一边且以A ，C ，Q ，R 为顶点的四边形为平行四边形，求点Q 和点R 的坐标．【分析】(1)由待定系数法求出直线AB 的解析式为31y x =+，求出F 点的坐标，由平行四边形的性质得出1613181()33a a a -+=-+--，求出a 的值，则可得出答案； (2)设2(,31)P n n n -++，作PP x '⊥轴交AC 于点P '，则3(,1)P n '+，得出2733PP n n '=-，由二次函数的性质可得出答案；(3)联立直线AC 和抛物线解析式求出7(33C 4)3-，设(3Q )m ，分两种情况：①当AQ 为对角线时，②当AR 为对角线时，分别求出点Q 和R 的坐标即可． 【解答】解：(1)设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠， (0,1)A ，(3B 0)，设直线AB 的解析式为y kx m =+，∴01m m +==⎪⎩，解得1k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB的解析式为1y =+， 点FF ∴点纵坐标为113+=-， F ∴点的坐标为1)3-，又点A 在抛物线上， 1c ∴=，对称轴为：2bx a=-=，b ∴=-，∴解析式化为：21y ax =-+，四边形DBFE 为平行四边形．BD EF ∴=，1613181()33a a a ∴-+=-+--， 解得1a =-，∴抛物线的解析式为21y x =-++；(2)设2(,1)P n n -++，作PP x '⊥轴交AC 于点P '，则3(,1)P n '+， 2733PP n n '∴=-，2213737493)3222624ABP S OB PP n n ∆'==-+=+∴当736n =ABP ∆49324，此时7(36P 47)12．(3)231231y y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩， 0x ∴=或733x = 7(33C ∴4)3-，设(3Q )m ， ①当AQ 为对角线时， 47(3,)33R m ∴+， R 在抛物线2(3)4y x =--+上，274(33)433m ∴+=-+， 解得443m =-， 44(3,)3Q ∴-，437(3,)33R -； ②当AR 为对角线时， 107(3,)33R m ∴-，R 在抛物线2(3)4y x =--+上，2710(33)433m ∴-=--+， 解得10m =-，(3Q ∴，10)-，1037(3,)33R -．综上所述，44(3,)3Q -，437(3,)33R --；或(3Q ，10)-，1037(3,)33R -． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论思想是解题的关键．6．在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角ABC ∆的直角顶点C 在y 轴上，另两个顶点A ，B 在x 轴上，且4AB =，抛物线经过A ，B ，C 三点，如图1所示．(1)求抛物线所表示的二次函数表达式．(2)过原点任作直线l 交抛物线于M ，N 两点，如图2所示． ①求CMN ∆面积的最小值．②已知3(1,)2Q -是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P ，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，若存在，求出点P 的坐标及直线l 的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．【分析】(1)先根据等腰直角三角形的性质求得OA 、OB 、OC ，进而得A 、B 、C 三点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；(2)①设直线l 的解析式为y kx =，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立方程组求得12||x x -，再由三角形的面积公式求得结果；②假设抛物线上存在点21(,2)2P m m -，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，由OP OQ =列出方程求得m 的值，再根据题意舍去不合题意的m 值，再求得PQ 的中点坐标，便可求得直线l 的解析式．【解答】解：(1)设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，在等腰Rt ABC ∆中，OC 垂直平分AB ，且4AB =，2OA OB OC ∴===，(2,0)A ∴-，(2,0)B ，(0,2)C -，∴4204202a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=-⎩， 解得，1202a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线的解析式为2122y x =-； (2)①设直线l 的解析式为y kx =，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 由2122y x y kx⎧=-⎪⎨⎪=⎩，可得21202x kx --=， 122x x k ∴+=，124x x =-，∴222121212()()4416x x x x x x k -=+-=+，∴12||x x -=∴121||2CMN S OC x x ∆=-=， ∴当0k =时取最小值为4．CMN ∴∆面积的最小值为4． ②假设抛物线上存在点21(,2)2P m m -，使得点P 与点Q 关于直线l 对称， OP OQ ∴==解得，1m =2m =31m =，41m =-，31m =，41m =-不合题意，舍去，当1m =1)2P -，线段PQ 的中点为1)-，∴1=-，∴1k =，∴直线l 的表达式为：(1y x =，当2m =(P ，1)2-，线段PQ 的中点为，1)-，∴1=-，∴1k =，∴直线l 的解析式为(1y x =．综上，点P ，1)2-，直线l 的解析式为(1y x =或点(P ，1)2-，直线l 的解析式为(1y x =+． 【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，轴对称的性质，第(2)①题关键是求得M 、N 两点的横坐标之差，第(2)②小题关键是根据轴对称性质列出m 的方程，以及求得PQ 的中点坐标．。
二次函数中铅垂线段培训总结
二次函数中铅垂线段培训总结在二次函数中，铅垂线段是一条垂直于横轴的直线段，它与二次函数曲线相交于一个点。
铅垂线段在二次函数中具有重要的几何和代数意义，对于理解二次函数的性质和解题技巧非常有帮助。
首先，铅垂线段可以帮助我们确定二次函数的顶点。
顶点是二次函数曲线的最高点（对于开口向下的二次函数）或最低点（对于开口向上的二次函数）。
通过绘制一条垂直于横轴的铅垂线段并与曲线相交，我们可以很容易地找到顶点坐标。
其次，铅垂线段还可以帮助我们求解二次函数的零点。
零点是二次函数曲线与横轴相交的点，也就是函数取值为零的点。
通过绘制一条垂直于横轴的铅垂线段并与曲线相交，我们可以找到二次函数的零点坐标。
此外，铅垂线段还可以帮助我们分析二次函数的对称性。
对称轴是二次函数曲线的一条直线，对称轴将曲线分为两个对称的部分。
铅垂线段与曲线相交的点在对称轴上，从而揭示了对称轴的位置和特点。
为了更好地理解和应用铅垂线段的概念，我们可以进行以下培训活动：1. 绘制二次函数图像：在纸上绘制一些不同形态的二次函数曲线，并使用直尺和铅垂线段工具，找出曲线的顶点、零点和对称轴。
2. 解决实际问题：设计一些与实际情境相关的问题，要求学员通过绘制铅垂线段来解答。
例如，汽车行驶的距离与时间的关系可以用二次函数来描述，学员可以通过绘制铅垂线段来确定汽车行驶的最高速度和行驶的时间。
3. 探索二次函数性质：让学员自己发现并验证二次函数的性质。
例如，让学员通过绘制铅垂线段来观察二次函数曲线的开口方向与二次函数的系数之间的关系。
通过这些培训活动，学员可以更加深入地理解二次函数中铅垂线段的概念和应用，提高解题的能力和思维的灵活性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次函数铅垂高如图12-1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题：如图12-2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆； (3)是否存在一点P ，使S △P AB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.例1解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21+-=x a y ··········································· 1分把A （3,0）代入解析式求得1-=a所以324)1(221++-=+--=x x x y ············································· 3分设直线AB 的解析式为：b kx y +=2由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( ··································· 4分 把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中 解得：3,1=-=b k所以32+-=x y ·········································································· 6分 (2)因为C 点坐标为(１,4)所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2 所以CD ＝4-2＝2 ········································································· 8分图12-2xC OyABD 1 132321=⨯⨯=∆CAB S (平方单位) ··················································· 10分 (3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△P AB 的铅垂高为h ，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-= ······················ 12分 由S △P AB =89S △CAB 得：389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242=+-x x 解得，23=x 将23=x 代入3221++-=x x y 中， 解得P 点坐标为)415,23( ······························································ 14分总结：求不规则三角形面积时不妨利用铅垂高。
铅垂高的表示方法是解决问题的关键，要学会用坐标表示线段。
例2（2010广东省中考拟）如图10，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，tan∠ACO＝31． （1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度．（4）如图11，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最1）方法一：由已知得：C （0，－3），A （－1，0）将A 、B 、C 三点的坐标代入得⎪⎩⎪⎨⎧-==++=+-30390c c b a c b a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a所以这个二次函数的表达式为：322--=x x y 方法二：由已知得：C （0，－3），A （－1，0） 设该表达式为：)3)(1(-+=x x a y 将C 点的坐标代入得：1=a所以这个二次函数的表达式为：322--=x x y （注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分） （2）方法一：存在，F 点的坐标为（2，－3） 理由：易得D （1，－4），所以直线CD 的解析式为：3--=x y ∴E 点的坐标为（－3，0） 由A 、C 、E 、F 四点的坐标得：AE ＝CF ＝2，AE ∥CF ∴以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形∴存在点F ，坐标为（2，－3） 方法二：易得D （1，－4），所以直线CD 的解析式为：3--=x y ∴E 点的坐标为（－3，0） ∵以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形∴F 点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合∴存在点F ，坐标为（2，－3）（3）如图，①当直线MN 在x代入抛物线的表达式，解得2171+=R②当直线MN 在x 轴下方时，设圆的半径为r （r>0），则N （r+1，－r ），代入抛物线的表达式，解得2171+-=r∴圆的半径为2171+或2171+-．（4）过点P 作y 轴的平行线与AG 交于点Q ， 易得G （2，－3），直线AG 为1--=x y ．设P （x ，322--x x ），则Q （x ，－x －1），PQ 22++-=x x ．3)2(212⨯++-=+=∆∆∆x x S S S GPQ APQ APG当21=x 时，△APG 的面积最大此时P 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-415,21，827的最大值为APG S ∆．随堂练习1．（2010江苏无锡）如图，矩形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=AC 与直线x=4交于点E ．（1）求以直线x=4为对称轴，且过C 与原点O 的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E ；（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为N ，M 是该抛物线上位于C 、N 之间的一动点，求△CMN 面积的最大值．【答案】解：（1）点C的坐标．设抛物线的函数关系式为2 (4)y a x m=-+，则1604a ma m+=+=⎧⎨⎩63a m==∴所求抛物线的函数关系式为24)63y x=-+…………①设直线AC的函数关系式为,y kx b=+则402kbk b-+=+=⎧⎨⎩,33k b==．∴直线AC的函数关系式为33y x=+，∴点E的坐标为(4,3把x=4代入①式，得2(44)633y=--+=，∴此抛物线过E点．（2）（1）中抛物线与x轴的另一个交点为N（8，0），设M（x，y），过M作MG⊥x轴于G，则S△CMN=S△MNG+S梯形MGBC—S△CBN=111(8)(2)(82)222x y yx-++--⨯-⨯g=2233()632y x x x+-=-++-=-+-=2(5)22x--+∴当x=5时，S△CMN有最大值2课下练习1．(本题满分12分)已知：如图一次函数y＝12x＋1的图象与x轴交于点A，与y 轴交于点B；二次函数y＝12x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝12x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)求四边形BDEC的面积S；(3)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．3．（2010山东临沂）如图，二次函数2y x ax b=++的图象与x轴交于1(,0)2A-,(2,0)B两点，且与y轴交于点C.（1）求该抛物线的解析式，并判断ABC∆的形状；（2）在x轴上方的抛物线上有一点D,且以A C D B、、、四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P,使得以A C B P、、、四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由.第26题图第24题图【答案】解：根据题意，将A （12-,0）,B （2,0）代入y=-x2+ax+b 中，得110,42420.a b a b ⎧--+=⎪⎨⎪-++=⎩解这个方程，得3,21.a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 全品中考网所以抛物线的解析式为y=-x2+32x+1.当x=0时，y=1.所以点C 的坐标为（0，1）。