正弦定理和余弦定理教案设计

正弦定理和余弦定理

基础梳理

1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c

sin C

＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以

变形为：

(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；

(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；

(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c

2R

等形式，以解决不同的三角形问题．

3．(4) △ABC 的面积公式

① S ＝1

2a ·h(h 表示a 边上的高)；

② S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc 4R ；

③ S ＝1

2

r(a ＋b ＋c)(r 为切圆半径)；

④ S ＝P （P －a ）（P －b ）（P －c ），其中P ＝1

2

(a ＋b ＋c)．

角

一条规律

在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B . 两类问题

在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角． 两种途径

根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：

(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换

题型1 正弦定理解三角形

例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c.

解：由正弦定理，得a sinA ＝b sinB ，即3sinA ＝2

sin45°

，

∴ sinA ＝

3

2

.∵ a>b ，∴ A ＝60°或A ＝120°.

当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝bsinC sinB ＝6＋2

2

；

当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°， c ＝bsinC sinB ＝6－22.

变式训练 在△ABC 中，

(1) 若a ＝4，B ＝30°，C ＝105°，则b ＝________． (2) 若b ＝3，c ＝2，C ＝45°，则a ＝________．

(3) 若AB ＝3，BC ＝6，C ＝30°，则∠A ＝________． 答案：(1) 2 2 (2) 无解 (3) 45°或135°

解析：(1) 已知两角和一边只有一解，由∠B ＝30°，∠C ＝105°，得∠A ＝45°.由正

弦定理，得b ＝asinB sinA ＝4sin30°

sin45°

＝2 2.

(2) 由正弦定理得sinB ＝bsinC C ＝3

2>1，∴ 无解．

(3) 由正弦定理BC sinA ＝AB sinC ，得6sinA ＝312

，∴ sinA ＝2

2

.

∵ BC>AB ，∴ A>C ，∴ ∠A ＝45°或135°.

【训练1】 (2011·)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π

4

，tan A ＝2，则sin A ＝________；a

＝________.

解析 因为△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角， 且sin A cos A ＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解得sin A ＝255

， 再由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，代入数据解得a ＝210.答案 255

210

双基自测

1．(人教A 版教材习题改编)在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( )．

A ．5 2

B ．10 2 C.106

3

D ．5 6

解析 由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°，

由正弦定理得：a sin A ＝c sin C ，即1032

＝c 2

2

.∴c ＝106

3.答案 C

2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B

b

，则B 的值为( )．

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

解析 由正弦定理知：sin A sin A ＝cos B

sin B

，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.答案 B

余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2

－2ab cos_C ．余弦

定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab .

1．(2011·联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( )．

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．75°

解析 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝1

2

，

∵0＜A ＜π，∴A ＝60°.答案 C

2．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝1

3，则△ABC 的面积为( )．

A ．3 3

B ．2 3

C ．4 3 D. 3

解析 ∵cos C ＝13，0＜C ＜π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝1

2ab sin C

＝12×32×23×22

3

＝4 3.答案 C 3．已知△ABC 三边满足a 2

＋b 2

＝c 2

－3ab ，则此三角形的最大角为________．

解析 ∵a 2＋b 2－c 2

＝－3ab ，

∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－3

2

，

故C ＝150°为三角形的最大角．答案 150° 题型2 余弦定理解三角形

4 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cosB cosC ＝－b

2a ＋c

.

(1) 求角B 的大小；

(2) 若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．

解：(1) 由余弦定理知：cosB ＝a 2＋c 2－b

22ac

，

cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cosB cosC ＝－b 2a ＋c

，得

a 2＋c 2－

b 22a

c ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b

2a ＋c

， 整理得a 2＋c 2－b 2

＝－ac.∴ cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12

.

∵ B 为三角形的角，∴ B ＝2

3π.

(2) 将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23

π代入b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，得b 2＝(a ＋c)2

－2ac －

2accosB ，

∴ 13＝16－2ac ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－12，∴ ac ＝3. ∴ S △ABC ＝12acsinB ＝33

4

.

备选变式（教师专享）

5，(2014·期末)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知c ＝2，C ＝π

3

.

(1) 若△ABC 的面积等于3，求a 、b ；

(2) 若sinC ＋sin(B －A)＝2sin2A ，求△ABC 的面积．

解：(1) 由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2

－ab ＝4.

因为△ABC 的面积等于3，所以1

2

absinC ＝3，得ab ＝4.

联立方程组⎩

⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，

ab ＝4， 解得a ＝2，b ＝2.

(2) 由题意得sin(B ＋A)＋sin(B －A)＝4sinAcosA ，所以sinBcosA ＝2sinAcosA.