2020-2021高三数学上期中试卷带答案(18)
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2020-2021 高三数学上期中试卷带答案(18)
一、选择题
1.已知关于 x
的不等式 x2
4ax 3a2
0a
0 的解集为 x1, x2 ,则 x1
x2
a x1x2
的
最大值是( )
A. 6 3
B. 2 3 3
C. 4 3 3
D. 4 3 3
2.已知数列{an} 满足 a1 1, an1 an 2n ,则 a10 ( )
∵an>0,∴an-an-1-1=0 即 an-an-1=1∴数列{an}为等差数列,a1=1,d=1;∴an=1+(n-1)×1=n 即 an=n 所以 故选 C
6.B
解析:B 【解析】
来自百度文库
试题分析:由题可知,将 an
1 3
an1
(1)n (n 3
2 ,两边同时除以
,得出
,运用累加法,解得
,整理得 an
t
2
考点:1、平面向量数量积;2、基本不等式.
10.A
解析:A 【解析】
【分析】
先根据二倍角公式化简,再根据正弦定理化角,最后根据角的关系判断选择. 【详解】
因为 cos2 A b c ,所以 2 2c
1 cosA b c , ccosA b,sinCcosA sinB sin A C,sinAcosC 0 ,因此
=( )
A.1
B.3
C.6
D.9
x y 2 0
8.若
x
,
y
满足
x
y
4
0 ,则
z
y
2
x
的最大值为(
).
y 0
A. 8
B. 4
C.1
D. 2
9.已知
AB
AC
,
AB
1, t
AC
t ,若 P 点是
ABC 所在平面内一点,且
AP
AB AB
4 AC AC
,则 PB·PC
的最大值等于(
).
A.13
18 项
()
,其中 是数列 的前 项和,则数列 中第
A.
B.9
C.18
D.36
6.已知数列{an}
满足
a1=1,且 an
1 3
an1
(1)n (n 3
2 ,且
n∈N*),则数列{an}的通项公
式为( )
A. an
3n n 2
B. an
n2 3n
C.an=n+2
D.an=( n+2)·3n
7.已知等比数列 an 的各项均为正数,若 log3 a1 log3 a2 log3 a12 12 ,则 a6a7
y 0
当 x 0 时,可行域为四边形 OBCD 内部,目标函数可化为 z y 2x ,即 y 2x z ,
平移直线 y 2x 可知当直线经过点 D(0,2) 时,直线的截距最大,从而 z 最大,此时,
zmax 2 , 当 x 0 时,可行域为三角形 AOD ,目标函数可化为 z y 2x ,即 y 2x z ,平移
正:关系式中,各项均为正数;②二定:关系式中,含变量的各项的和或积必须有一个为
定值;③三相等:含变量的各项均相等,取得最值.
2.C
解析:C 【解析】
【分析】
根据叠加法求结果.
【详解】
因为 an1 an 2n ,所以 an1 an 2n ,
因此 a10 a10 a9 a9 a8
【点睛】
利用数列的知识求解.
5.C
解析:C 【解析】
∵f(Sn)=f(an)+f(an+1)-1=f[ an(an+1)]∵函数 f(x)是定义域在(0,+∞)上的单
调函数,数列{an}各项为正数∴Sn= an(an+1)①当 n=1 时,可得 a1=1;当 n≥2 时,Sn-
1= an-1(an-1+1)②,①-②可得 an= an(an+1)- an-1(an-1+1)∴(an+an-1)(an-an-1-1)=0
2
2
a b 5, c 7 ,则 ab 为 .
14.已知数列
an
、
bn
均为等差数列,且前
n
项和分别为
Sn
和
Tn
,若
Sn Tn
3n 2
,
n 1
则 a4 b4
_____.
15.已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 S13 6 ,则 3a9 2a10 __________.
a2 a1 a1 29 28
2 1 1 210 1023,选 C. 1 2
本题考查叠加法求通项以及等比数列求和,考查基本分析求解能力,属基础题.
3.B
解析:B 【解析】
由 {an } 为等差数列,所以
S9 9
S5 5
a5
a3
2d
4 ,即 d
2 ,
由 a1 9 ,所以 an 2n 11,
∴-(4a+ 1 )≥2 4a 1 = 4 3 ,即 4a+ 1 ≤- 4 3
3a
3a 3
3a 3
故
x1
x2
a x1x2
的最大值为
43 3
.
故选 D.
点睛:本题主要考查基本不等式,其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示
内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时,应具备三个条件:一正二定三相等.①一
n2 3n
;
考点:累加法求数列通项公式
7.D
解析:D 【解析】 【分析】
首先根据对数运算法则,可知 log3 a1a2...a12 12,再根据等比数列的性质可知 a1a2.....a12 a6a7 6 ,最后计算 a6a7 的值.
【详解】
由 log3 a1 log3 a2 log3 a12 12 ,
层的数量是下层的 2 倍,总共有 1016 个“浮雕像”,这些“浮雕像”构成一幅优美的图案,若
从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列an,则 log2 a3 a5 的值为( )
A.8
B.10
C.12
D.16
5.设函数 是定义在
上的单调函数,且对于任意正数 有
,已知
,若一个各项均为正数的数列 满足
令 an
2n
11
0
,即 n
11 2
,
所以 Sn 取最大值时的 n 为 5 ,
故选 B.
4.C
解析:C 【解析】
【分析】
数列 an ,是等比数列,公比为 2,前 7 项和为 1016,由此可求得首项 a1 ,得通项公式,
从而得结论.
【详解】
最下层的“浮雕像”的数量为
a1 ,依题有:公比 q
2, n
AP (1,0) 4(0,1) (1, 4) ,即 P(1,4) ,所以 PB (1 1, 4) , PC (1,t 4) ,因 t
此 PB PC
1 1 4t 16 17 (1 4t) ,因为 1 4t 2
t
t
t
1 4t 4 ,所以 PB PC 的最大值等于 t
13 ,当 1 4t ,即 t 1 时取等号.
16.如图所示,在平面四边形 ABCD 中, AB 2 , BC 3 , AB AD ,
AC CD , AD 3AC ,则 AC __________.
17.已知对满足 4x 4y 5 4xy 的任意正实数 x,y,都有 x2 2xy y2 ax ay 1 0 ,则实数 a 的取值范围为______.
直线 y 2x 可知当直线经过点 D(0,2) 时,直线的截距最大,从而 z 最大, zmax 2 ,
综上, z y 2 x 的最大值为 2 .
故选 D .
点睛:利用线性规划求最值的步骤: (1)在平面直角坐标系内作出可行域. (2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形.常见的类型有截距型( ax by 型)、
A.95
B.100
C.135
D.80
4
2
1
12.已知 a 23 , b 33 , c 253 ,则
A. b a c C. b c a 二、填空题
B. a b c D. c a b
13.在 ABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,已知 4sin2 A B cos 2C 7 ,且
7, S7
a1
1 27 1 2
1016 ,解
得 a1 8 ,则 an 8 2n1 2n2 1 n 7, n N* , a3 25 , a5 27 ,从而
a3 a5 25 27 212,log2 a3 a5 log2 212 12 ,故选 C.
【点睛】
本题考查等比数列的应用.数列应用题求解时,关键是根据题设抽象出数列的条件,然后
Sn 2n
1
,求数列
bn
的前
n
项和
Tn
.
【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除
一、选择题
1.D
解析:D
【解析】
:不等式 x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),
根据韦达定理,可得: x1x2 3a2 ,x1+x2=4a,
那么: x1
x2
a x1x2
=4a+
1 3a
.
∵a<0,
(1)求函数 y f x 的单调递增区间;
(2)在 ABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c, f A 2, a 7 ,且 b 2c ,求
ABC 的面积.
26.数列an中, a1 1
,当 n
2
时,其前
n
项和
Sn
满足
Sn2
an
(Sn
1) 2
.
(1)求 Sn 的表达式;
(2)设 bn =
2
2c
cosC 0,C ,选 A. 2
y
x
,若 z 2x y 的最小值为 3,则实数
y x b
b ____ 三、解答题
21.为了美化环境,某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪,休闲草坪的形状为如图所示
的四边形 ABCD.其中 AB=3 百米,AD= 5 百米,且△BCD 是以 D 为直角顶点的等腰直角
三角形.拟修建两条小路
AC,BD(路的宽度忽略不计),设∠BAD=
(2) 若 cos B 1 ,b 2 ,求 ABC 的面积. 4
23.如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5 3 3 海里的两个观测点,现位于 A 点北
偏东 45°,B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60°且与 B 点
相距 20 3 海里的 C 点的救援船立即即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救援船
A.1024
B.2048
C.1023
D.2047
3.已知等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn , a1
9,
S9 9
S5 5
4 ,则 Sn 取最大值时的 n 为
A.4
B.5
C.6
D.4 或 5
4.河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一,现为世界文化遗产,龙门石窟与莫高
窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共 7 层,每上
到达 D 点需要多长时间?
24.已知等比数列 an 的各项均为正数, a2 8,a3 a4 48. ( Ⅰ ) 求数列an的通项公式; ( Ⅱ ) 设 bn log4an. 证明:bn为等差数列,并求bn的前 n 项和 Sn .
25.已知函数 f x a b ,其中 a 2cos x, 3sin2x ,b cos x,1, x R .
B.15
C.19
D. 21
10.在 ABC 中,角 A, B,C 的对边分别是 a,b, c , cos2 A b c ,则 ABC 的形状为 2 2c
A.直角三角形
B.等腰三角形或直角三角形
C.等腰直角三角形
D.正三角形
11.在等差数列 an 中,如果 a1 a2 40, a3 a4 60 ,那么 a7 a8 ( )
可得 log3 a1a2 a12 12 ,进而可得 a1a2 a12 a6a7 6 312 ,
a6a7 9 .
【点睛】 本题考查了对数运算法则和等比数列性质,属于中档题型,意在考查转化与化归和计算能 力.
8.D
解析:D 【解析】
x y 2 0
作出不等式组
x
y
4
0
,所表示的平面区域,如图所示,
18.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ,若 S3 9 , S6 36 ,则 a7 a8 a9 等于______.
19.在△ABC 中,已知 sinA:sinB:sinC=3:5:7,则此三角形最大内角的大.小.为 ________.
2x y 0
20.已知实数
x
,
y
满足约束条件
斜率型( y b 型)和距离型( x a2 y b2 型).
xa
(3)确定最优解:根据目标函数的类型,并结合可行域确定最优解. (4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.
9.A
解析:A 【解析】
以 A 为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示,则 B(1 , 0) , C(0,t) , t
,
(
,
).
2
(1)当 cos = 5 时,求小路 AC 的长度;
5
(2)当草坪 ABCD 的面积最大时,求此时小路 BD 的长度.
22.在 ABC 中,内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c .已知 cos A 2 cos C 2c a
cos B
b
(1) 求 sin C 的值 sin A
一、选择题
1.已知关于 x
的不等式 x2
4ax 3a2
0a
0 的解集为 x1, x2 ,则 x1
x2
a x1x2
的
最大值是( )
A. 6 3
B. 2 3 3
C. 4 3 3
D. 4 3 3
2.已知数列{an} 满足 a1 1, an1 an 2n ,则 a10 ( )
∵an>0,∴an-an-1-1=0 即 an-an-1=1∴数列{an}为等差数列,a1=1,d=1;∴an=1+(n-1)×1=n 即 an=n 所以 故选 C
6.B
解析:B 【解析】
来自百度文库
试题分析:由题可知,将 an
1 3
an1
(1)n (n 3
2 ,两边同时除以
,得出
,运用累加法,解得
,整理得 an
t
2
考点:1、平面向量数量积;2、基本不等式.
10.A
解析:A 【解析】
【分析】
先根据二倍角公式化简,再根据正弦定理化角,最后根据角的关系判断选择. 【详解】
因为 cos2 A b c ,所以 2 2c
1 cosA b c , ccosA b,sinCcosA sinB sin A C,sinAcosC 0 ,因此
=( )
A.1
B.3
C.6
D.9
x y 2 0
8.若
x
,
y
满足
x
y
4
0 ,则
z
y
2
x
的最大值为(
).
y 0
A. 8
B. 4
C.1
D. 2
9.已知
AB
AC
,
AB
1, t
AC
t ,若 P 点是
ABC 所在平面内一点,且
AP
AB AB
4 AC AC
,则 PB·PC
的最大值等于(
).
A.13
18 项
()
,其中 是数列 的前 项和,则数列 中第
A.
B.9
C.18
D.36
6.已知数列{an}
满足
a1=1,且 an
1 3
an1
(1)n (n 3
2 ,且
n∈N*),则数列{an}的通项公
式为( )
A. an
3n n 2
B. an
n2 3n
C.an=n+2
D.an=( n+2)·3n
7.已知等比数列 an 的各项均为正数,若 log3 a1 log3 a2 log3 a12 12 ,则 a6a7
y 0
当 x 0 时,可行域为四边形 OBCD 内部,目标函数可化为 z y 2x ,即 y 2x z ,
平移直线 y 2x 可知当直线经过点 D(0,2) 时,直线的截距最大,从而 z 最大,此时,
zmax 2 , 当 x 0 时,可行域为三角形 AOD ,目标函数可化为 z y 2x ,即 y 2x z ,平移
正:关系式中,各项均为正数;②二定:关系式中,含变量的各项的和或积必须有一个为
定值;③三相等:含变量的各项均相等,取得最值.
2.C
解析:C 【解析】
【分析】
根据叠加法求结果.
【详解】
因为 an1 an 2n ,所以 an1 an 2n ,
因此 a10 a10 a9 a9 a8
【点睛】
利用数列的知识求解.
5.C
解析:C 【解析】
∵f(Sn)=f(an)+f(an+1)-1=f[ an(an+1)]∵函数 f(x)是定义域在(0,+∞)上的单
调函数,数列{an}各项为正数∴Sn= an(an+1)①当 n=1 时,可得 a1=1;当 n≥2 时,Sn-
1= an-1(an-1+1)②,①-②可得 an= an(an+1)- an-1(an-1+1)∴(an+an-1)(an-an-1-1)=0
2
2
a b 5, c 7 ,则 ab 为 .
14.已知数列
an
、
bn
均为等差数列,且前
n
项和分别为
Sn
和
Tn
,若
Sn Tn
3n 2
,
n 1
则 a4 b4
_____.
15.已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 S13 6 ,则 3a9 2a10 __________.
a2 a1 a1 29 28
2 1 1 210 1023,选 C. 1 2
本题考查叠加法求通项以及等比数列求和,考查基本分析求解能力,属基础题.
3.B
解析:B 【解析】
由 {an } 为等差数列,所以
S9 9
S5 5
a5
a3
2d
4 ,即 d
2 ,
由 a1 9 ,所以 an 2n 11,
∴-(4a+ 1 )≥2 4a 1 = 4 3 ,即 4a+ 1 ≤- 4 3
3a
3a 3
3a 3
故
x1
x2
a x1x2
的最大值为
43 3
.
故选 D.
点睛:本题主要考查基本不等式,其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示
内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时,应具备三个条件:一正二定三相等.①一
n2 3n
;
考点:累加法求数列通项公式
7.D
解析:D 【解析】 【分析】
首先根据对数运算法则,可知 log3 a1a2...a12 12,再根据等比数列的性质可知 a1a2.....a12 a6a7 6 ,最后计算 a6a7 的值.
【详解】
由 log3 a1 log3 a2 log3 a12 12 ,
层的数量是下层的 2 倍,总共有 1016 个“浮雕像”,这些“浮雕像”构成一幅优美的图案,若
从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列an,则 log2 a3 a5 的值为( )
A.8
B.10
C.12
D.16
5.设函数 是定义在
上的单调函数,且对于任意正数 有
,已知
,若一个各项均为正数的数列 满足
令 an
2n
11
0
,即 n
11 2
,
所以 Sn 取最大值时的 n 为 5 ,
故选 B.
4.C
解析:C 【解析】
【分析】
数列 an ,是等比数列,公比为 2,前 7 项和为 1016,由此可求得首项 a1 ,得通项公式,
从而得结论.
【详解】
最下层的“浮雕像”的数量为
a1 ,依题有:公比 q
2, n
AP (1,0) 4(0,1) (1, 4) ,即 P(1,4) ,所以 PB (1 1, 4) , PC (1,t 4) ,因 t
此 PB PC
1 1 4t 16 17 (1 4t) ,因为 1 4t 2
t
t
t
1 4t 4 ,所以 PB PC 的最大值等于 t
13 ,当 1 4t ,即 t 1 时取等号.
16.如图所示,在平面四边形 ABCD 中, AB 2 , BC 3 , AB AD ,
AC CD , AD 3AC ,则 AC __________.
17.已知对满足 4x 4y 5 4xy 的任意正实数 x,y,都有 x2 2xy y2 ax ay 1 0 ,则实数 a 的取值范围为______.
直线 y 2x 可知当直线经过点 D(0,2) 时,直线的截距最大,从而 z 最大, zmax 2 ,
综上, z y 2 x 的最大值为 2 .
故选 D .
点睛:利用线性规划求最值的步骤: (1)在平面直角坐标系内作出可行域. (2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形.常见的类型有截距型( ax by 型)、
A.95
B.100
C.135
D.80
4
2
1
12.已知 a 23 , b 33 , c 253 ,则
A. b a c C. b c a 二、填空题
B. a b c D. c a b
13.在 ABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,已知 4sin2 A B cos 2C 7 ,且
7, S7
a1
1 27 1 2
1016 ,解
得 a1 8 ,则 an 8 2n1 2n2 1 n 7, n N* , a3 25 , a5 27 ,从而
a3 a5 25 27 212,log2 a3 a5 log2 212 12 ,故选 C.
【点睛】
本题考查等比数列的应用.数列应用题求解时,关键是根据题设抽象出数列的条件,然后
Sn 2n
1
,求数列
bn
的前
n
项和
Tn
.
【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除
一、选择题
1.D
解析:D
【解析】
:不等式 x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),
根据韦达定理,可得: x1x2 3a2 ,x1+x2=4a,
那么: x1
x2
a x1x2
=4a+
1 3a
.
∵a<0,
(1)求函数 y f x 的单调递增区间;
(2)在 ABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c, f A 2, a 7 ,且 b 2c ,求
ABC 的面积.
26.数列an中, a1 1
,当 n
2
时,其前
n
项和
Sn
满足
Sn2
an
(Sn
1) 2
.
(1)求 Sn 的表达式;
(2)设 bn =
2
2c
cosC 0,C ,选 A. 2
y
x
,若 z 2x y 的最小值为 3,则实数
y x b
b ____ 三、解答题
21.为了美化环境,某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪,休闲草坪的形状为如图所示
的四边形 ABCD.其中 AB=3 百米,AD= 5 百米,且△BCD 是以 D 为直角顶点的等腰直角
三角形.拟修建两条小路
AC,BD(路的宽度忽略不计),设∠BAD=
(2) 若 cos B 1 ,b 2 ,求 ABC 的面积. 4
23.如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5 3 3 海里的两个观测点,现位于 A 点北
偏东 45°,B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60°且与 B 点
相距 20 3 海里的 C 点的救援船立即即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救援船
A.1024
B.2048
C.1023
D.2047
3.已知等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn , a1
9,
S9 9
S5 5
4 ,则 Sn 取最大值时的 n 为
A.4
B.5
C.6
D.4 或 5
4.河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一,现为世界文化遗产,龙门石窟与莫高
窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共 7 层,每上
到达 D 点需要多长时间?
24.已知等比数列 an 的各项均为正数, a2 8,a3 a4 48. ( Ⅰ ) 求数列an的通项公式; ( Ⅱ ) 设 bn log4an. 证明:bn为等差数列,并求bn的前 n 项和 Sn .
25.已知函数 f x a b ,其中 a 2cos x, 3sin2x ,b cos x,1, x R .
B.15
C.19
D. 21
10.在 ABC 中,角 A, B,C 的对边分别是 a,b, c , cos2 A b c ,则 ABC 的形状为 2 2c
A.直角三角形
B.等腰三角形或直角三角形
C.等腰直角三角形
D.正三角形
11.在等差数列 an 中,如果 a1 a2 40, a3 a4 60 ,那么 a7 a8 ( )
可得 log3 a1a2 a12 12 ,进而可得 a1a2 a12 a6a7 6 312 ,
a6a7 9 .
【点睛】 本题考查了对数运算法则和等比数列性质,属于中档题型,意在考查转化与化归和计算能 力.
8.D
解析:D 【解析】
x y 2 0
作出不等式组
x
y
4
0
,所表示的平面区域,如图所示,
18.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ,若 S3 9 , S6 36 ,则 a7 a8 a9 等于______.
19.在△ABC 中,已知 sinA:sinB:sinC=3:5:7,则此三角形最大内角的大.小.为 ________.
2x y 0
20.已知实数
x
,
y
满足约束条件
斜率型( y b 型)和距离型( x a2 y b2 型).
xa
(3)确定最优解:根据目标函数的类型,并结合可行域确定最优解. (4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.
9.A
解析:A 【解析】
以 A 为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示,则 B(1 , 0) , C(0,t) , t
,
(
,
).
2
(1)当 cos = 5 时,求小路 AC 的长度;
5
(2)当草坪 ABCD 的面积最大时,求此时小路 BD 的长度.
22.在 ABC 中,内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c .已知 cos A 2 cos C 2c a
cos B
b
(1) 求 sin C 的值 sin A