2020-2021高三数学上期中试卷带答案(18)
数学丨山东省菏泽市2021届高三上学期期中考试数学试卷及答案
保密★启用前2020－2021学年度第一学期期中考试高三数学试题(B)本试卷共4页，共150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.全集U ＝{x|－1≤x<3}，集合A ＝{x|－1≤x ≤2}，则U A ＝A.{x|－1≤x<2}B.{x|2<x<3}C.{x|2≤x<3}D.{x|x<－1或x>2}2.己知复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则1z z + A.32i + B.12i + C.132i - D.132i + 3.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是 A.y ＝x －2B.y ＝2－x C.y ＝|lnx| D.y ＝xsinx4.已知tan α＝2，则sin(α－4π)sin(α＋4π)＝ A.－310 B.－35 C.310 D.35 5.《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。
其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢×矢)。
弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差，现有一弧田，其弧田弦AB 等于6米，其弧田弧所在圆为圆O ，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为72平方米，则sin ∠AOB ＝A.34B.725C.1225D.24256.在△ABC 中，AB AC 2AD +=，AE 2DE 0+=，若EB xAB yAC =+，则A.x ＋2y ＝0B.2x ＋y ＝0C.x －2y ＝0D.2x －y ＝07.函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<2π)的图象如图所示，为了得到f(x)的图象，只需将g(x)＝Asin ωx 图象A.向左平移4π个单位长度 B.向右平移4π个单位长度 C.向左平移12π个单位长度 D.向右平移12π个单位长度 8.定义域为(－2π，2π)的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，其导函数为f'(x)，当0<x<2π时，有f'(x)cosx ＋f(x)sinx<0成立，则关于x 的不等式2f(4π)·cosx 的解集为 A.(－2π，－4π)∪(4π，2π)B.(4π，2π) C.(－4π，0)∪(0，4π) D.(－4π，0)∪(4π，2π) 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市第十四中学2021届高三上学期期中考试数学试题 Word版含解析
北京十四中2020-2021学年度第一学期期中检测高三数学测试卷注意事项：1.本试卷共4页，共21道小题，满分150分.考试时间120分钟.2.在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5.答题不得使用任何涂改工具.一、选择题（本题共40分，每小题4分，每个题目只有一个选项正确）1. 已知全集U 是实数集R ，右边的韦恩图表示集合{}2M x x =与{}|13N x x =<<的关系，那么阴影部分所表示的集合可能为（ ）A. {}|2x x <B. {}|12x x <<C. {}|3x x >D. {}|1x x ≤【答案】D 【解析】阴影部分表示的集合为()UMN ，由题{}|1M N x x ⋃=>，所以(){}|1UM N x x ⋃=≤，故选择D.2. 已知向量()()()12,02,1,a b c λ==-=-,,，若()2//a b c -，则实数λ=（ ） A. -3 B.13C. 1D. 3【答案】A 【解析】【详解】向量()()12,02a b ==-,,，则()22,6a b -=，若()2//a b c -，则有26λ=-，所以3λ=-.故选：A.3. 函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的一段图象如图所示，则ω=（ ）A14B.2π C.4π D.12【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的图象，求得函数的最小正周期，结合三角函数周期的公式，即可求解. 【详解】由题意，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的一段图象，可得2114T=-=，所以4T =， 又由24w π=，解得2w π=. 故选：B.4. 已知函数()log a f x x =，()x g x b =，的图像都经过点1(,2)4，则ab 的值为 A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】D 【解析】 【分析】函数f （x ）=log a x ，g （x ）=b x ，的图象都经过点124⎛⎫ ⎪⎝⎭，，可得14a log =2，14b =2，解得a ，b即可得出．【详解】函数f （x ）=log a x ，g （x ）=b x，的图象都经过点124⎛⎫⎪⎝⎭，，∴14alog =2，14b =2，解得a=12，b=16．则ab=8． 故选D ．【点睛】本题考查了函数的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5. 下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. 3y x =-B. 12y x =C. ||2x y =D.3log ()y x =-【答案】C 【解析】 【分析】对每一个选项中的函数，先求定义域，若定义域关于原点对称，再观察是否满足()()f x f x =-，再根据初等函数的单调性判断在(0,)+∞上是否单调递增，可得出选项.【详解】A 项，对于函数3y x =-，定义域为R ，关于原点对称，()33()()f x x x f x -=--==-，所以函数3y x =-是奇函数，故A 项错误；B 项，对于函数12y x =，定义域为(0,)+∞，定义域不关于原点对称，所以函数12y x =为非奇非偶函数，故B 项错误；C 项，对于函数||2x y =，定义域为R ，关于原点对称，2()()2x x g x g x --===，所以函数2x y =为偶函数，当0x >时，22x x y ==，利用指数函数知，函数2xy =在区间(0,)+∞上为增函数，故C 正确；D 项，对于函数3log ()y x =-，定义域为(,0)-∞，定义域不关于原点对称，所以函数3log ()y x =-是非奇非偶函数，故D 项错误；故选：C .6. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =-，13(*)n n a a n +=+∈N ，则n S 取最小值时，n 的值是（ ）．A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】分析：求出等差数列{}n a 的通项公式，()()111031313n a a n d n n =+-=-+-=-，利用3130n -≥，从而可得当4n =时，n S 取最小值.详解：在数列{}n a 中，由13n n a a +=+，得()13*n n a a n N +-=∈， ∴数列{}n a 是公差为3的等差数列．又110a =-，∴数列{}n a 是公差为3的递增等差数列． 由()()1110313130n a a n d n n =+-=-+-=-≥，解得133n ≥． ∵*n N ∈，∴数列{}n a 中从第五项开始为正值． ∴当4n =时，n S 取最小值． 故选B ．点睛：求等差数列前n 项和的最大值的方法通常有两种：①将前n 项和表示成关于n 的二次函数，n S 2An Bn =+，当2B n A =-时有最大值（若2B n A=-不是整数，n 等于离它较近的一个或两个整数时n S 最大）；②可根据0n a ≥且10n a +≤确定n S 最大时的n 值. 7. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）A. 2 5 C. 3D. 22【答案】C 【解析】【分析】由三视图知该几何体是一条侧棱与底面垂直的四棱锥,由三视图求出几何元素的长度､判断出位置关系,由直观图求出该四棱锥最长棱【详解】根据三视图可知几何体是一个四棱锥,底面是一个直角梯形,AD ⊥AB ､AD //BC ,AD =AB =2､BC =1, P A ⊥底面ABCD ,且P A =2, ∴该四棱锥最长的棱长为222222213PA AC PC +=++=,故答案为:3.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力,属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型,也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键,不但要注意三视图的三要素“高平齐,长对正,宽相等”,还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.8. 已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范围是（ ） A. ()2,6- B. (6,2)- C. (2,4)- D. (4,6)-【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-， 故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目. 9. 已知数列{}n a 的通项公式为n aa n n=+，则“1a ≤”是“数列{}n a 单调递增”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由数列{}n a 单调递增，化简得到2a n n <+，再由2t n n =+的单调性求得a 的范围，然后再由充分条件，必要条件的定义判断. 【详解】若数列{}n a 单调递增 则11a a n n n n++>++， 化简得2a n n <+，令221124t n n n ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭在[1,)+∞上递增， 所以2a <，所以“1a ≤”是“数列{}n a 单调递增”的充分不必要条件， 故选：A10. 《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多⋅达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗浮宫博物馆.该油画规格为：纵77cm ，横53cm .油画挂在墙壁上的最低点处B 离地面237cm (如图所示).有一身高为175cm 的游客从正面观赏它(该游客头顶T 到眼睛C 的距离为15cm )，设该游客离墙距离为xcm ，视角为θ.为使观赏视角θ最大，x 应为（ ）A 77 B. 80 C. 100D. 772【答案】D 【解析】 【分析】 设ACD α，BCD β，则θαβ=-，利用两角差的正切公式用x 表示出θ，再根据对勾函数的单调性求解．【详解】解：过C 作CD AB ⊥于D ，设ACD α，BCD β，则θαβ=-，则2371751577BD（cm ），7777154AD （cm ），∴154tan AD CD xα，77tan BD CDxβ， ∴tan θ=tan αβtan tan 1tan tan αβαβ15477154771x xx x7711858xx， ∴当且仅当11858x x即772x 时，tan θ有最大值，此时θ也最大，故选：D ．【点睛】本题主要考查两角差的正切公式的应用，考查对勾函数的单调性与最值，属于中档题．二、填空题（本题共25分，每小题5分）11. 角θ的终边经过点(1,P ，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________.【答案】12- 【解析】 【分析】利用正弦函数定义求得sin θ，再由正弦函数两角和的公式计算 【详解】由题意sin θ=1cos 2θ=，所以，1sin cos 622πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭311442=-+=-， 故答案为：12-12. 已知AB ，AC 是不共线的两个向量，BE =12AC AB -，则AE AC=______． 【答案】12【解析】 【分析】由已知可知，AE =AB BE +=12AC ，代入即可求解AE AC． 【详解】AB ，AC 是不共线的两个向量，BE =12AC AB -，∴AE =AB BE +=12AC ， 则AEAC =12AC AC=12， 故答案为12． 【点睛】本题主要考查了向量的基本运算，属于基础试题． 13. 函数22,0()3,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩，满足()01f x >的0x 的取值范围是____________. 【答案】()()102-+∞，，． 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式得出不等式组00+210x x >⎧⎨<⎩或20031>0x x ⎧->⎨⎩，解之可得答案．【详解】因为22,0()3,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩，()01f x >，所以00+210x x >⎧⎨<⎩或20031>0x x ⎧->⎨⎩，解得10x 或0>2x ，所以0x 的取值范围是()()102-+∞，，． 故答案为：()()102-+∞，，． 14. 在ABC ∆中，3,4,AB AC ==若ABC∆的面积为则BC 边的长度为______.【解析】 【分析】利用三角形的面积公式，求得角A ，再利用余弦定理，即可求解BC 边的长度，得到答案. 【详解】由题意，在ABC ∆中，3AB =，4AC=，且面积为所以11sin 34sin 22AB AC A A ⋅=⨯⨯=sin A =，又因为(0,)A π∈，所以3A π=或23A π=， 当3A π=时，1cos 2A =， 由余弦定理，可得222212cos 34234132BC AB AC AB AC A =+-⋅=+-⨯⨯⨯=； 当23A π=时，1cos 2A =-，由余弦定理，可得222212cos 34234()372BC AB AC AB AC A =+-⋅=+-⨯⨯⨯-=，综上，BC 边的长度为13或37.【点睛】本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.15. 给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____． 【答案】①③ 【解析】 【分析】A 即为函数的定义域，B即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．【详解】对①，A ＝ (﹣∞，0)∪ (0，+∞)，B ＝ (﹣∞，0)∪ (0，+∞)，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；对②，A ＝R ，B ＝ (0，+∞)，当x ＞0时，不存在y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即不具有性质P ； 对③，A ＝ (0，+∞)，B ＝R ，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ； 故答案为：①③．【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．三、解答题（本题共85分）16. 已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，2410a a +=，245b b a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若12381n a a a a +++⋅⋅⋅+=，求n ； （3）求和：13521n b b b b -+++⋅⋅⋅+.【答案】（1）21n a n =-；（2）9n =；（3）312n -【解析】 【分析】（1）利用11a =，2410a a +=，求得数列{}n a 的公差，从而求得{}n a 的通项公式； （2）利用等差数列求和公式即可求得.（3）利用245b b a =，59a =，求得239b =，由等比数列性质知33b =，即23q =，知数列{}21n b -是首项为1，公比为3的等比数列，利用等比数列求和公式即可求得. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题可得：24332105a a a a +==⇒=，又11a =，解得112a d =⎧⎨=⎩ ，()1–121n a a n d n ∴=+=-（2）利用等差数列求和可知2123(121)2n n n a a a a n +-+++⋅⋅⋅+==，即281n =，解得：9n =或9n =-（舍去）9n ∴=（3）设等比数列{}n b 的公比为q ，又2243b b b =，59a =，即239b =，又22310b b q q ==>，解得：33b =或33b =-（舍去）即23q =，所以数列{}21n b -是首项为1，公比为3的等比数列135211(13)31132n n n b b b b -⨯--∴+++⋅⋅⋅+==- 17. 已知函数()21()2cos 1sin 2cos 42=-+f x x x x . （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的最大和最小值以及相应的x 的取值；（3）若,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且()f α=，求α的值.【答案】（1）2π；（2）函数()f x ，此时+,162k x k Z ππ=∈；函数()f x 的最小值为2-，此时3+,162k x k Z ππ=-∈；（3）3148πα=或4748π． 【解析】 【分析】（1）化简函数解析式为最简形式，利用公式求出周期 （2）根据正弦的性质可求得函数最值和相应的x 的取值； （3）根据限定范围和正弦函数的取值可求得答案． 【详解】（1），因为()()212cos 1sin 2cos 42f x x x x =-+1cos 2sin 2cos 42x x x =+()sin 124cos4x x +=)24x π=+，所以()f x )24x π=+， 所以()f x 的最小正周期为242ππ=，（2）由（1）得()f x sin(4)24x π=+，所以当sin(4)14x π+=时，函数()f x 的最大值为2，此时4+2,42x k k Z πππ+=∈，即+,162k x k Z ππ=∈；当sin(4)14x π+=-时，函数()f x 的最小值为，此时4+2,42x k k Z πππ+=-∈，即3+,162k x k Z ππ=-∈；所以函数()f x，此时+,162k x k Z ππ=∈；函数()f x的最小值为，此时3+,162k x k Z ππ=-∈； （3）因为(,)2παπ∈，所以9174(,)444πππα+∈.因为()f α=，所以()sin(4)244f παα=+=，即1sin(4)42πα+=. 所以17446ππα+=或256π，故3148πα=或4748π. 18. 已知函数()2()(2,)xf x x ax a e a x R =++≤∈. （1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）是否存在实数a ，使()f x 的极大值为3；若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）()f x 在()2-∞-，和()1，-+∞上单调递增，在()21--，上单调递减；（2）存在，243a e =-． 【解析】 【分析】（1）当1a =时，()2()1xf x x x e =++，求导，分析导函数取得正负的区间，从而得出函数()f x 的单调区间；（2）求导，分2a =和2a <两种情况得出导函数的正负，得出函数()f x 的单调性，从而得函数的极大值，建立方程，解之可得答案．【详解】（1）当1a =时，()2()1xf x x x e =++，所以()()()'2()3212x x f x e x x e x x =++=++，令'()0f x =，得1x =-或2-，所以当2x <-或>1x -时，'()>0f x ；当21x -<<-时，'()0f x <，所以()f x 在()2-∞-，和()1，-+∞上单调递增，在()21--，上单调递减；（2）存在，243a e =-，理由如下：()()()'2()2+22x xf x e x a x a e x a x ⎡⎤=++=++⎣⎦，令'()0f x =，得x a =-或2-， 因为2,a ≤所以2,a -≥-所以当2a =时，'()>0f x 恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，此时函数()f x 不存在极值，所以2a ≠；当2a <时，>2a --，所以当2x <-或>x a -时，'()>0f x ；当2x a -<<-时，'()0f x <，所以()f x 在()2-∞-，和()a -+∞，上单调递增，在()2a --，上单调递减， 所以函数()f x 在2x =-时，取得极大值，所以()23f -=，即()2(2)243f a a e --=+=-，解得2432a e =-<，所以存在，243a e =-，使()f x 的极大值为3．【点睛】利用导函数研究函数的单调性，极值，最值等问题时，关键在于分析出导函数取得正负的区间，如果有参数，需讨论参数的范围，使之能确定导函数取得正负的区间． 19. 在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD △为等边三角形，AB AD12CD ，AB AD ⊥，//AB CD ，点M 是PC 的中点.（1）求证：//MB 平面P AD ； （2）求二面角P BC D --的余弦值；（3）在线段PB 上是否存在点N ，使得DN ⊥平面PBC ？若存在，请求出PNPB的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（215（3）在线段PB 上不存在点N ，使得DN ⊥平面PBC ． 【解析】【分析】（1）取PD 中点H ，连结MH ，AH ，推导出四边形ABMH 为平行四边形，由此能证明BM ∥平面P AD ．（2）取AD 中点O ，连结PO ，以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P ﹣BC ﹣D 的余弦值． （3）设点N （x ，y ，z ），且 [],0,1PNPBλλ=∈，利用向量法求出在线段PB 上不存在点N ，使得DN ⊥平面PBC ．【详解】（1）取PD 中点H ，连结MH ，AH ．因为 M 为PC 中点，所以 1//,2HM CD HM CD =． 因为1//,2AB CD AB CD =，所以AB ∥HM 且AB =HM ．所以四边形ABMH 为平行四边形， 所以BM ∥AH ．因为 BM ⊄平面P AD ，AH ⊂平面P AD ，所以BM ∥平面P AD ． （2）取AD 中点O ，连结PO ．因为P A =PD ，所以PO ⊥AD ．因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD =AD ，PO ⊂平面P AD ，所以PO ⊥平面ABCD ． 取BC 中点K ，连结OK ，则OK ∥AB ．以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，设AB =2，则()()()()(1,0,0,1,2,0,1,4,0,1,0,0,A B C D P --，(2,2,0),(1,2,BC PB =-=，则平面BCD的法向量(0,0OP =，设平面PBC 的法向量(,,)n x y z =，由00BC n PB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22020.x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1x =，则(1,1,3)n =．cos ,||||3OP n OP n OP n ⋅<>===⨯由图可知，二面角P ﹣BC ﹣D 是锐二面角， 所以二面角P ﹣BC ﹣D （3）在线段PB 上是不存在点N ，使得DN ⊥平面PBC ．设点(,,)N x y z ，且[],0,1PNPBλλ=∈，则PN PB λ=，所以()(,,3)1,2,3x y z λ-=-．则233.x y z λλλ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩，所以(,2,33)N λλλ-，(+1,233)DN λλλ=-，． 若 DN ⊥平面PBC ，则//DN n ， 即33123λλλ-+==，此方程无解， 所以在线段PB 上不存在点N ，使得DN ⊥平面PBC ．【点睛】在解决线段上是否存在点，使得满足线面平行或线面垂直等条件的问题，常常采用向量的线性表示，运用λ法，设出点的坐标，表示已知条件，求解方程的解，得出结论． 20. 已知函数()(1)(21)x f x axe a x =-+-.（1）若1a =，求函数()f x 的图像在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）当0x >时，函数()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）32y x =-+（Ⅱ）11a e ≥-． 【解析】试题分析：（1）求出()'4xxf x xe e =+-,求出()0f 的值可得切点坐标，求出()'0f 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）首先根据首先()10f ≥，初步判断101a e ≥>-，再证明()'f x 存在唯一根0x ∈ (]0,1，且函数()f x 在()00,x 上单调递减，在()0x +∞上单调递增，函数()f x 的最小值为()()()0000121x f x ax e a x =-+-，只需()00f x ≥即可，又0x 满足()00221xa e a x +=+，代入上式即可证明.试题解析：（Ⅰ）若1a =，则()()221xf x xe x =--，当0x =时，()2f x =，()'4xxf x xe e =+-，当0x =时，()'3f x =-， 所以所求切线方程为32y x =-+ （Ⅱ）由条件可得，首先()10f ≥，得101a e ≥>-， 而()()()'121xf x a x e a =+-+，令其为()h x ，()()'2xh x a x e =+恒为正数，所以()h x 即()'f x 单调递增，而()'020f a =--<，()'12220f ea a =--≥，所以()'f x 存在唯一根0x ∈ (]0,1， 且函数()f x 在()00,x 上单调递减，在()0x +∞上单调递增，所以函数()f x 的最小值为()()()0000121xf x ax e a x =-+-，只需()00f x ≥即可，又0x 满足()00221x a e a x +=+，代入上式可得()()()200001211a x x f x x +-++=+(]00,1x ∈ 200210x x ∴-++≥,即：()00f x ≥恒成立，所以11a e ≥-． 21. 已知任意的正整数n 都可唯一表示为1100112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅，其中01a =，12,,a a ,{0,1}k a ⋅⋅⋅∈，*k N ∈.对于*n N ∈，数列{}n b 满足：当01,,,k a a a ⋅⋅⋅中有偶数个1时，0n b =；否则1n b =，如数5可以唯一表示为2105120212=⨯+⨯+⨯，则50b =. （1）写出数列{}n b 的前8项；（2）求证：数列{}n b 中连续为1的项不超过2项；（3）记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足1026n S =的所有n 的值.（结论不要求证明）【答案】（1）1,1,0,1,0,0,1,1； （2）证明见解析； （3）2051n =或2052n =.. 【解析】 【分析】（1）由题意，1100112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅，实际根是将十进制的转化为二进制的数，即可得到答案；（2）设数列{}n b 中某段连续为1的项从m b 开始，则1m b =，由1001222k k k m a a a -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，则12,,,k a a a 中有奇数个1，分01a =且12,,,k a a a 中无0和当01a =且12,,,k a a a 中有0，两种情况，即可证明； （3）由（2），即可求得n 的值.【详解】（1）由1100112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅，根据数列{}n b 满足：当01,,,ka a a ⋅⋅⋅中有偶数个1时，0nb =；否则1n b =， 所以数列{}n b 的前8项为1,1,0,1,0,0,1,1.（2）设数列{}n b 中某段连续为1的项从m b 开始，则1m b =，由题意，令1100112222k k k k m a a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅，则12,,,k a a a 中有奇数个1，当01a =且12,,,k a a a 中无0时，因为1102222k k m -=++⋅⋅⋅++，所以110112020202k k m ++=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯，110212020212k k m ++=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯，所以121,1,0m m m b b b ++===，此时连续2项为1， 当01a =且12,,,k a a a 中有0时，①若0k a =，则11001122202k k k m a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅， 则11001122212k k k m a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅，因为12,,,k a a a 中有奇数个1，所以10m b +=，此时连续I 项为1.②若1k a =，即1101122202k k sk m a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+连续s 个乘以2i ， 则1101122212k k sk m a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+连续s 个乘以2i ，11011222202k k sk m a a a --+=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+110020212(1)02s is -⨯++⨯+⨯-连续个乘以（其中i N ∈），如果s 为奇数，那么120,0m m b b ++==，此时连续2项为1， 如果s 为偶数，那么10m b +=，此时仅有1项为1m b =， 综上所述，连续为1的项不超过2项.（3）由（2）可得，满足1026n S =，可得2051n =或2052n =. 【点睛】有关数列新定义问题特点与解题思路：1、新定义数列问题的特点：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设新的问题情景，要求再阅读理解的基础上，依据他们提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、新定义问题的解题思路：遇到新定义问题时，认真分析定定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决.。
2020-2021高三数学上期中试题(含答案)
2020-2021高三数学上期中试题(含答案)一、选择题1．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212a x x x x ++的最大值是（ ） A．3B．3C．3D．3-2．已知数列{}n a 的首项11a =，数列{}n b 为等比数列，且1n n na b a +=．若10112b b =，则21a =（ ）A ．92B ．102C ．112D ．1223．已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y -的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．164．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）A ．18B ．34C ．23 D ．165．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（ ） A ．5B ．25CD．6．在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于（ ） A ．16B ．26C ．8D ．137．若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9B ．92C ．5D ．528．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1{}na 为等差数列，则9=a ( ) A ．12B ．54C ．45D ．45-9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016·(a 2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( ) A ．S 2 016＝－2 016，a 2 013>a 4 B ．S 2 016＝2 016，a 2 013>a 4C ．S 2 016＝－2 016，a 2 013<a 4D ．S 2 016＝2 016，a 2 013<a 410．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是（ ） A ．()8,10B ．()22,10C ．()22,10D ．()10,811．在等差数列{}n a 中，如果123440,60a a a a +=+=，那么78a a +=（ ） A ．95B ．100C ．135D ．8012．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1{3(3)x x y y a x ≥+≤≥-,若z=2x+y 的最小值为1，则a=A ．B ．C ．1D ．2二、填空题13．已知实数x ，y 满足不等式组203026x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最小值为__________．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且136S =，则91032a a -=__________． 15．已知数列{}n a 中，11a =，且1113()n nn N a a *+=+∈，则10a =__________.（用数字作答）16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n S n n n N *=++∈，,求n a =.__________．17．点D 在ABC V 的边AC 上，且3CD AD =，2BD =，3sin2ABC ∠=3AB BC +的最大值为______.18．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = ________．19．在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________． 20．设变量,x y 满足约束条件：21y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值为__________．三、解答题21．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 3a B b A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（1）求A ； （2）若3,,2b ac 成等差数列，ABC ∆的面积为23a ．22．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1122log ,n n n n n b a a S b b b ==+++L ，求使1·262n nS n ++>成立的正整数n 的最小值．23．已知,,a b c 分别是ABC △的角,,A B C 所对的边，且222,4c a b ab =+-=． （1）求角C ；（2）若22sin sin sin (2sin 2sin )B A C A C -=-，求ABC △的面积． 24．已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 25．设数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和.26．C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量()3m a b =r与()cos ,sin n =A B r平行．（Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若7a =2b =求C ∆AB 的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），根据韦达定理，可得：2123x x a =，x 1+x 2=4a ，那么：1212a x x x x ++=4a +13a． ∵a ＜0，∴-（4a +13a ）=3，即4a +13a ≤-3 故1212a x x x x ++的最大值为3-． 故选D ．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.2．B解析：B 【解析】 【分析】由已知条件推导出a n =b 1b 2…b n-1，由此利用b 10b 11=2，根据等比数列的性质能求出a 21． 【详解】数列{a n }的首项a 1=1，数列{b n }为等比数列，且1n n na b a +=， ∴3212212a a b a b a a =＝，＝4312341233aa b b b a b b b a ∴=∴=，，＝，， …101211011211220120219101122n n a b b b b b a b b b b b b b b b -=⋯=∴=⋯=⨯⨯⋯⨯=Q ，，（）（）（） ． 故选B ． 【点睛】本题考查数列的第21项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递公式和等比数列的性质的合理运用．3．A解析：A 【解析】 【分析】作出可行域，变形目标函数并平移直线3y x =，结合图象，可得最值． 【详解】作出x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩所对应的可行域（如图ABC V ），变形目标函数可得3y x z =-，平移直线3y x =可知， 当直线经过点(2,2)A 时，截距z -取得最大值， 此时目标函数z 取得最小值3224⨯-=. 故选：A.【点睛】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．4．A解析：A 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos bC C a=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3cos 24C =，利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=则22224cos 2cos cos 22a b c b C bC C ab ab a+-===ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222C Cb b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅即：2sin 4sin cos 3sin 222C C CC ==()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24C ∴= 291cos 2cos 1212168C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.5．A解析：A 【解析】在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得c =．由余弦定理可得：5b ===． 6．D解析：D 【解析】 【详解】试题分析：∵351024a a a ++=，∴410224a a +=，∴4102a a +=，∴1134101313()13()1322a a a a S ++===，故选D. 考点：等差数列的通项公式、前n 项和公式.7．B解析：B 【解析】 【分析】设f （x ）1221x x=+-，根据形式将其化为f （x ）()1152221x x x x-=++-．利用基本不等式求最值，可得当且仅当x 13=时()11221x x x x-+-的最小值为2，得到f （x ）的最小值为f（13）92=，再由题中不等式恒成立可知m ≤（1221x x +-）min ，由此可得实数m 的最大值． 【详解】解：设f （x ）11222211x x x x=+=+--（0＜x ＜1） 而1221x x+=-[x +（1﹣x ）]（1221x x +-）()1152221x x x x -=++- ∵x ∈（0，1），得x ＞0且1﹣x ＞0∴()11221x x x x -+≥-=2，当且仅当()112211x x x x -==-，即x 13=时()11221x x x x -+-的最小值为2 ∴f （x ）1221x x =+-的最小值为f （13）92= 而不等式m 1221x x ≤+-当x ∈（0，1）时恒成立，即m ≤（1221x x+-）min 因此，可得实数m 的最大值为92故选：B ． 【点睛】本题给出关于x 的不等式恒成立，求参数m 的取值范围．着重考查了利用基本不等式求函数的最值和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．8．C解析：C 【解析】 【分析】由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果 【详解】依题意得：732,1a a ==，因为数列1{}na 为等差数列，所以7311111273738--===--a a d ，所以()9711159784a a =+-⨯=，所以945=a ，故选C ． 【点睛】本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础9．D解析：D 【解析】∵(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝－1， ∴(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＋(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝0， 设a 4－1＝m ，a 2 013－1＝n ， 则m 3＋2 016m ＋n 3＋2 016n ＝0， 化为(m ＋n )·(m 2＋n 2－mn ＋2 016)＝0， ∵2222132?0162016024m n mn m n n ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭＋－＋，∴m ＋n ＝a 4－1＋a 2 013－1＝0， ∴a 4＋a 2 013＝2，∴()()1201642013201620162016201622a a a a S ++===.很明显a 4－1>0，a 2 013－1<0，∴a 4>1>a 2 013， 本题选择D 选项.10．B解析：B 【解析】 【分析】根据大边对大角定理知边长为1所对的角不是最大角，只需对其他两条边所对的利用余弦定理，即这两角的余弦值为正，可求出a 的取值范围． 【详解】由题意知，边长为1所对的角不是最大角，则边长为3或a 所对的角为最大角，只需这两个角为锐角即可，则这两个角的余弦值为正数，于此得到2222221313a a⎧+>⎨+>⎩，由于0a >，解得a <<C ． 【点睛】本题考查余弦定理的应用，在考查三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，一般由最大角来决定，并利用余弦定理结合余弦值的符号来进行转化，其关系如下：A 为锐角cos 0A ⇔>；A 为直角cos 0A ⇔=；A 为钝角cos 0A ⇔<. 11．B 解析：B 【解析】 【分析】根据等差数列{}n a 性质可知：1234a a a a ++，，56a a +，78a a +构成新的等差数列，然后求出结果 【详解】由等差数列的性质可知：1234a a a a ++，，56a a +，78a a +构成新的等差数列，()()()()781234124140320100a a a a a a a a ⎡⎤∴+=++-+-+=+⨯=⎣⎦故选B 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质运用，等差数列中连续的、等长的、间隔相等的几项的和依然成等差，即可计算出结果。
2020-2021学年浙江省杭州市学军中学高三(上)期中数学试卷
2020-2021学年浙江省杭州市学军中学高三（上）期中数学试卷试题数：22.满分：1501.（单选题.4分）已知集合A={x|y=lg （x+1）}.B={x||x|＜2}.则A∩B=（ ）A.（-2.0）B.（0.2）C.（-1.2）D.（-2.-1）2.（单选题.4分）已知a.b∈R .则“a ＞|b|”是“|a|＞|b|”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.（单选题.4分）已知实数x.y 满足 {y ≥0x −y ≥1x +2y ≤4.则该不等式组所表示的平面区域的面积为（ ） A. 12 B. 32C.2D.34.（单选题.4分）设函数f （x ）=xln 1+x 1−x .则函数f （x ）的图象可能为（ ） A.B.C.D.5.（单选题.4分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0.ω＞0.0＜φ＜π）的部分图象如图所示.则（）A. f(x)=√3sin(x2+π3)B. f(x)=√3sin(x2+2π3)C. f(x)=32sin(x+π3)D. f(x)=32sin(x+2π3)6.（单选题.4分）如图为一个几何体的三视图.则该几何体中任意两个顶点间的最大值为（）A. √17B. √15C. √13D.47.（单选题.4分）设函数f（x）的定义域为D.如果对任意的x∈D.存在y∈D.使得f（x）=-f（y）成立.则称函数f（x）为“H函数”.下列为“H函数”的是（）A.y=sinxcosx+cos2xB.y=lnx+e xC.y=2xD.y=x2-2x8.（单选题.4分）从.1.2.3….20中选取四元数组（a1.a2.a3.a4）.且满足a2-a1≥3.a3-a2≥4.a4-a3≥5.则这样的四元数组（a1.a2.a3.a4）的个数是（）A. C84B. C114C. C144D. C1649.（单选题.4分）已知函数f（x）=|x2+ax-2|-6.若存在a∈R.使得f（x）在[2.b]上恰有两个零点.则实数b的最小值为（）A.2 √5B. √3C.2+2 √3D.2+2 √510.（单选题.4分）在正方体ABCD-A'B'C'D'中.点E.F分别是棱CD.BC上的动点.且BF=2CE．当三棱锥C-C′EF的体积取得最大值时.记二面角C-EF-C′.C′-EF-A′.A′-EF-A的平面角分别为α.β.γ.则（）A.α＞β＞γB.α＞γ＞βC.β＞α＞γD.β＞γ＞α11.（填空题.6分）已知复数z 满足z （3-i ）=10.则复数z 的虚部等于___ .复数z 的模等于___ ．12.（填空题.6分）在二项式 (x 2−1x )5 的展开式中.二项式系数之和是___ .含x 4的项的系数是___ ．13.（填空题.6分）已知随机变量X 服从二项分布B （n.p ）.若E （X ）= 53 .D （X ）= 109 .则p=___ ；P （X=1）=___ ．14.（填空题.6分）已知数列{a n }满足n•a n -（n-1）•a n+1=2（n∈N*）.则a 1=___ ；设数列{a n }的前n 项和为S n .对任意的n∈N*.当n≠5时.都有S n ＜S 5.则S 5的取值范围为___ ．15.（填空题.4分）设b ＞0.a-b 2=1.则 4a + a 22b 的最小值为___ ．16.（填空题.4分）如图.在四边形ABCD 中.AB=CD=1.点M.N 分别是边AD.BC 的中点.延长BA和CD 交NM 的延长线于不同的两点P.Q.则 PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ •(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 的值为___ ． 17.（填空题.4分）设a.b 是正实数.函数f （x ）=xlnx.g （x ）=- b 3 +xlna.若存在x 0∈[ a 3.b].使f （x 0）≤g （x 0）成立.则 b a 的取值范围为___ ．18.（问答题.14分）在△ABC 中.内角A.B.C 所对的边分别为a.b.c.且满足acosC+ccosA-2bsinB=0．（1）求角B ；（2）若角B 为锐角.sin A 2 = √6−√24 .BC 边上中线长AD= √7 .求△ABC 的面积．19.（问答题.15分）已知四棱柱ABCD-A′B′C′D′中.底面ABCD 为菱形.AB=2.AA′=4.∠BAD=60°.E 为BC 中点.C′在平面ABCD 上的投影H 为直线AE 与DC 的交点．（1）求证：BD⊥A′H ；（2）求直线BD 与平面BCC′B′所成角的正弦值．20.（问答题.15分）已知各项均不为零的数列{a n}的前n项和为S n.且满足a1=4.a n+1=3S n+4（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；．（2）设数列{b n}满足a n b n=log2a n.数列{b n}的前n项和为T n.求证：T n＜8921.（问答题.15分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F.直线l过点F且与C相交于A、时.|AB|=8．B两点.当直线l的倾斜角为π4（1）求C的方程；（2）若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点.且A、M、B、N四点在同一圆上.求l的方程．.g（x）=ax+b．22.（问答题.15分）函数f(x)=lnx−1x（1）若函数h（x）=f（x）-g（x）在（0.+∞）上单调递增.求实数a的取值范围；图象的切线.求a+b的最小值；（2）若直线g（x）=ax+b是函数f(x)=lnx−1x（3）当b=0时.若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1.y1）.B（x2.y2）.试比较x1x2与2e2的大小．（取e为2.8.取ln2为0.7.取√2为1.4）2020-2021学年浙江省杭州市学军中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.4分）已知集合A={x|y=lg（x+1）}.B={x||x|＜2}.则A∩B=（）A.（-2.0）B.（0.2）C.（-1.2）D.（-2.-1）【正确答案】：C【解析】：求解对数型函数的定义域化简集合A.然后直接利用交集运算求解．【解答】：解：由x+1＞0.得x＞-1∴A=（-1.+∞）.B={x||x|＜2}=（-2.2）∴A∩B=（-1.2）．故选：C．【点评】：本题考查了交集及其运算.考查了对数函数的定义域.是基础题．2.（单选题.4分）已知a.b∈R.则“a＞|b|”是“|a|＞|b|”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：|a|＞|b|⇔a＞|b|或-a＞|b|.再利用充分必要条件的定义分析即可．【解答】：解：|a|＞|b|⇔a＞|b|或-a＞|b|.∴由a＞|b|可推出|a|＞|b|.由|a|＞|b|推不出a＞|b|.故“a＞|b|”是“|a|＞|b|”的充分不必要条件．故选：A ．【点评】：本题考查了充分必要条件的定义及绝对值的含义.属于基础题．3.（单选题.4分）已知实数x.y 满足 {y ≥0x −y ≥1x +2y ≤4.则该不等式组所表示的平面区域的面积为（ ） A. 12 B. 32C.2D.3【正确答案】：B【解析】：利用约束条件画出可行域.通过可行域求解顶点坐标.然后求解可行域的面积．【解答】：解：根据题中所给的约束条件.画出其对应的区域如下图所示.其为阴影部分的三角区.解方程组可以求得三角形三个顶点的坐标分别为（1.0）.（2.1）.（4.0）.根据三角形的面积公式可以求得S= 12×(4−1)×1 = 32 ．故选：B ．【点评】：本题主要考查线性规划的应用.通过数形结合是解决本题的关键.是中档题．4.（单选题.4分）设函数f （x ）=xln 1+x 1−x .则函数f （x ）的图象可能为（ ）A.B.C.D.【正确答案】：B【解析】：由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数.再求出f（12）.则答案可求．【解答】：解：函数f（x）=xln 1+x1−x的定义域为（-1.1）.由f（-x）=-xln 1−x1+x =xln 1+x1−x=f（x）.得f（x）为偶函数.排除A.C；又f（12）= 12ln1+121−12=12ln3＞0.排除D．故选：B．【点评】：本题考查函数的图象与图象变换.考查函数奇偶性的应用.是中档题．5.（单选题.4分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0.ω＞0.0＜φ＜π）的部分图象如图所示.则（）A. f (x )=√3sin (x 2+π3) B. f (x )=√3sin (x 2+2π3) C. f (x )=32sin (x +π3)D. f (x )=32sin (x +2π3) 【正确答案】：B【解析】：由函数f （x ）的部分图象求出A 、φ和ω的值.即可求出f （x ）的解析式．【解答】：解：由函数f （x ）=Asin （ωx+φ）的部分图象知.A= √3 ；又f （0）= √3 sinφ= 32 .解得sinφ= √32 ；又0＜φ＜π.所以φ= π3 .或 2π3 ；当φ= π3 时.f （ 5π3 ）= √3 sin （ 5π3 ω+ π3 ）=- √3 .即sin （ 5π3 ω+ π3 ）=-1.解得 5π3 ω+ π3 = 3π2 +2kπ.k∈Z ；即ω= 710 + 65 k.k∈Z ；k=0时.ω= 710 .没有选项满足题意；当φ= 2π3 时.f （ 5π3 ）= √3 sin （ 5π3 ω+ 2π3 ）=- √3 .即sin （ 5π3 ω+ 2π3 ）=-1.解得 5π3 ω+ 2π3 = 3π2 +2kπ.k∈Z ；即ω= 12 + 65 k.k∈Z ；k=0时.ω= 12 .f （x ）= √3 sin （ x 2 + 2π3 ）.选项B 满足题意．故选：B ．【点评】：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题.也考查了数形结合思想.是基础题．6.（单选题.4分）如图为一个几何体的三视图.则该几何体中任意两个顶点间的最大值为（）A. √17B. √15C. √13D.4【正确答案】：A【解析】：画出几何体的直观图.判断两点间的最大值的位置.求解即可．【解答】：解：由题意可知几何体是直观图如图.是长方体的一部分.该几何体中任意两个顶点间的最大值应该是EB.AF.BD中的一个.EB= √ED2+AD2+AB2 = √4+4+9 = √17．AF= √AD2+DE2+EF2 = √4+4+4 = √12 .BD= √22+32 = √13．故选：A．【点评】：本题考查三视图的直观图的应用.判断棱长以及计算求解是解题的关键．7.（单选题.4分）设函数f（x）的定义域为D.如果对任意的x∈D.存在y∈D.使得f（x）=-f（y）成立.则称函数f（x）为“H函数”.下列为“H函数”的是（）A.y=sinxcosx+cos2xB.y=lnx+e xC.y=2xD.y=x 2-2x 【正确答案】：B【解析】：运用二倍角公式和辅助角公式化简函数y.取x= π8 .可判断A ；由函数的单调性和值域.可判断B ；由指数函数的值域即可判断C ；运用配方法.可取x=3可判断D ．【解答】：解：由y=sinxcosx+cos 2x= 12 sin2x+ 1+cos2x2= 12+ √22sin （2x+ π4）.由f （x ）+f （y ）=1+ √22sin （2x+ π4）+ √22sin （2y+ π4）=0. 取x= π8 .可得sin （2y+ π4 ）=-1- √2 ＜-1.y 不存在.故A 不为“H 函数”； 由y=lnx+e x .且f （x ）+f （y ）=lnx+e x +lny+e y =0. 由于y=lnx+e x 递增.且x→0.y→-∞；x→+∞.y→+∞.即有任一个x （x ＞0）.可得唯一的y.使得f （x ）=-f （y ）.故B 为“H 函数”； 由y=2x 可得2x ＞0.2x +2y =0不成立.故C 不为“H 函数”；由y=x 2-2x.若f （x ）+f （y ）=x 2-2x+y 2-2y=（x-1）2+（y-1）2-2=0. 可取x=3.可得y 无解.故D 不为“H 函数”． 故选：B ．【点评】：本题主要考查函数与方程之间的关系.将条件转化为f （x ）+f （y ）=0是解决本题的关键．8.（单选题.4分）从.1.2.3….20中选取四元数组（a 1.a 2.a 3.a 4）.且满足a 2-a 1≥3.a 3-a 2≥4.a 4-a 3≥5.则这样的四元数组（a 1.a 2.a 3.a 4）的个数是（ ）A. C 84B. C 114C. C 144D. C 164【正确答案】：B【解析】：将a 1连同其右边的2个空位捆绑.a 2连同其右边的3个空位捆绑.a 3连同其右边的4个空位捆绑分别看作一个元素.四元数组（a 1.a 2.a 3.a 4）的个数相当于从11个元素中选取4个.【解答】：解：将a1连同其右边的2个空位捆绑.a2连同其右边的3个空位捆绑.a3连同其右边的4个空位捆绑分别看作一个元素.四元数组（a1.a2.a3.a4）的个数相当于从11个元素中选取4个.故这样的四元数组（a1.a2.a3.a4）的个数是C114．故选：B．【点评】：本题考查了计数原理.组合数的原理.考查了捆绑法的使用．属于中档题．9.（单选题.4分）已知函数f（x）=|x2+ax-2|-6.若存在a∈R.使得f（x）在[2.b]上恰有两个零点.则实数b的最小值为（）A.2 √5B. √3C.2+2 √3D.2+2 √5【正确答案】：C【解析】：由函数在[2.b]上恰好有2个零点可得.可得零点必在区间的端点.讨论零点为2和b 时.解得a的值.将a的值代入使得函数值f（b）=0求出b的值即可．【解答】：解：因为函数f（x））=|x2+ax-2|-6在[2.b]上恰有两个零点.所以必在x=2与x=b 时恰好取到零点的最小值和最大值.若x=2.f（x）的零点满足f（2）=|22+2a-2|-6=0.解得a=2.或a=-4.当a=2.f（x）=|x2+2x-2|-6.满足f（x）在[2.b]上恰好有2个零点.则f（b）=|b2+2b-2|-6=0.且b＞2.解得b=2（舍）或b=-4（舍）.当a=-4时.f（x）=|x2-4x-2|-6且b＞2.满足f（x）在[2.b]上恰好有2个零点.则f（b）=|b2-4b-2|-6=0.b＞2.所以|b2-4b-2|=6.即b2-4b-2=-6整理b2-4b+4=0.解得b=2（舍）.或b2-4b-8=0解得：b=2-2 √3（舍）或b=2+2 √3 .综上所述.当b=2+2 √3时满足f（x）在[2.b]上恰好有2个零点．故答案为：2+2 √3．故选：C．【点评】：本题考查函数的零点和方程根的关系.属于中档题．10.（单选题.4分）在正方体ABCD-A'B'C'D'中.点E.F分别是棱CD.BC上的动点.且BF=2CE．当三棱锥C-C′EF的体积取得最大值时.记二面角C-EF-C′.C′-EF-A′.A′-EF-A的平面角分别为α.β.γ.则（）A.α＞β＞γB.α＞γ＞βC.β＞α＞γD.β＞γ＞α 【正确答案】：A【解析】：以D 为原点.DA 为x 轴.DC 为y 轴.DD′为z 轴.建立空间直角坐标系.设正方体ABCD-A'B'C'D'中棱长为2.CE=a.则CF=2-2a.三棱锥C-C′EF 的体积取得最大值时.△CEF 的面积最大.由 S △CEF =12×a ×(2−2a ) =a-a 2=-（a- 12 ）2+ 14 .得a= 12 时.△CEF 的面积最大.利用向量法能求出结果．【解答】：解：以D 为原点.DA 为x 轴.DC 为y 轴.DD′为z 轴.建立空间直角坐标系. 设正方体ABCD-A'B'C'D'中棱长为2.CE=a.则CF=2-2a. 三棱锥C-C′EF 的体积取得最大值时. △CEF 的面积最大.S △CEF =12×a ×(2−2a ) =a-a 2=-（a- 12 ）2+ 14 . ∴a= 12 时.△CEF 的面积最大.此时.A （2.0.0）.C （0.2.0）.E （0.1.0）.F （1.2.0）.A′（2.0.2）.C′（0.2.2）. EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.1.0）. EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2.-1.0）. EA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2.-1.2）. EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.1.0）. EC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.1.2）. 平面EFC 的法向量和平面EFA 的法向量都是 m ⃗⃗ =（0.0.1）. 设平面EFC′的法向量 n ⃗ =（x.y.z ）.则 {n ⃗ •EF⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0n ⃗ •EC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y +2z =0 .取z=1.得 n ⃗ =（2.-2.1）.∴cosα= |n ⃗ •m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ |•|m ⃗⃗⃗ |= 13 ≈0.333. 设平面EFA′的法向量 p =（x.y.z ）.则 {p •EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0p •EA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x −y +2z =0 .取x=2.得 p =（2.-2.-3）.∴cosβ= |n ⃗ •p ||n ⃗ |•|p |= 3√17. cosγ= |m ⃗⃗⃗ •p ||m ⃗⃗⃗ |•|p | = √17. ∴α＞β＞γ． 故选：A ．【点评】：本题考查二面角的大小的判断.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基知识.考查运算求解能力.是中档题．11.（填空题.6分）已知复数z满足z（3-i）=10.则复数z的虚部等于___ .复数z的模等于___ ．【正确答案】：[1]1; [2] √10【解析】：根据复数的基本运算法则求出复数z.从而得到复数z的虚部和模长．【解答】：解：∵z（3-i）=10.∴ z=103−i=3+i.∴|z|= √32+12=√10 .∴复数z的虚部等于1.复数z的模等于√10 .故答案为：1. √10．【点评】：本题主要考查复数的概念.考查了复数模长的计算.比较基础．12.（填空题.6分）在二项式(x2−1x )5的展开式中.二项式系数之和是___ .含x4的项的系数是___ ．【正确答案】：[1]32; [2]10【解析】：在二项展开式的通项公式中.令x的幂指数等于4.求出r的值.即可求得含x4的项的系数．【解答】：解：在二项式(x2−1x )5的展开式中.二项式系数之和是 25=32.通项公式为 T r+1= C5r•（-1）r•x10-3r.令10-3r=4.求得r=2.可得含x4的项的系数是C52 =10.故答案为：32；10．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用.二项展开式的通项公式.二项式系数的性质.属于基础题．13.（填空题.6分）已知随机变量X 服从二项分布B （n.p ）.若E （X ）= 53 .D （X ）= 109.则p=___ ；P （X=1）=___ ． 【正确答案】：[1] 13 ; [2] 80243【解析】：利用二项分布的期望与方差.求出n.p.然后求解P （X=1）即可．【解答】：解：随机变量X 服从二项分布B （n.p ）. E （X ）= 53.D （X ）= 109 . 则np= 53 .np （1-p ）= 109 . 解得p= 13 .n=5.P （X=1）=C 51（ 13 ）•（ 23 ）4= 80243 ． 故答案为： 13 . 80243．【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列的期望与方差的求法.二项分布的应用.考查计算能力．14.（填空题.6分）已知数列{a n }满足n•a n -（n-1）•a n+1=2（n∈N*）.则a 1=___ ；设数列{a n }的前n 项和为S n .对任意的n∈N*.当n≠5时.都有S n ＜S 5.则S 5的取值范围为___ ． 【正确答案】：[1]2; [2]（5.6）【解析】：先由n•a n -（n-1）•a n+1=2（n∈N*）.当n=1.得a 2.再由 {na n −(n −1)a n+1=2(n +1)a n+1−na n+2=2可得：a n +a n+2=2a n+1.即可得数列{a n }为等差数列.结合当n≠5时.都有S n ＜S 5.即可求得S 5的取值范围．【解答】：解：∵n•a n -（n-1）•a n+1=2（n∈N*）. ∴当n=1时.得a 1=2.又由n•a n -（n-1）•a n+1=2（n∈N*）.可得：（n+1）a n+1-na n+2=2. 两式相减整理得：a n +a n+2=2a n+1. ∴数列{a n }为等差数列. 又∵a 1=2＞0.S 5最大. ∴公差d ＜0.a 5＞0.a 6＜0. 即 {2+4d ＞02+5d ＜0⇒- 12 ＜d ＜- 25 .又S 5=5a 3=5（2+2d ）=10（d+1）.∴S 5∈（5.6）.故答案为：2；（5.6）．【点评】：本题主要考查等差数列的定义、通项公式、前n 项和公式及数列的单调性的应用.属于基础题．15.（填空题.4分）设b ＞0.a-b 2=1.则 4a + a 22b 的最小值为___ ． 【正确答案】：[1]4【解析】：首先对关系式进行变换.进一步利用不等式的应用和均值不等式的应用求出结果．【解答】：解：设b ＞0.a-b 2=1.则a=1+b 2.所以a 2=（1+b 2）2 所以 1a = 11+b 2 .则： 4a + a 22b = 41+b 2 + (1+b 2)22b≥2 √41+b 2×(1+b 2)22b=2 √2(1+b 2)b. 由于b ＞0. 所以2(1+b 2)b=2（ 1b +b ）≥2×2 √1b×b =4.（当且仅当b=1时.等号成立）当b=1时. 41+b 2 = (1+b 2)22b =2.故 √2(1+b 2)b≥2. 所以 4a + a 22b 的最小值为2×2=4． 故答案为：4．【点评】：本题考查的知识要点：函数的关系式的变换.基本不等式的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于中档题．16.（填空题.4分）如图.在四边形ABCD 中.AB=CD=1.点M.N 分别是边AD.BC 的中点.延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同的两点P.Q.则 PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ •(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 的值为___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：建立坐标系.设∠ABC=α.BC=a.∠BCD=β.求出 MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标.即可得出结论．【解答】：解：设∠ABC=α.BC=a.∠BCD=β.则A （cosα.sinα）. B （0.0）.C （a.0）.D （a-cosβ.sinβ）. ∴M （a+cosα−cosβ2 . sinα+sinβ2 ）.N （ a2.0）. ∴ NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ cosα−cosβ2. sinα+sinβ2）. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-cosα.-sinα）. DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（cosβ.-sinβ）. ∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-cosα-cosβ.-sinα+sinβ）.∴ NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =- 12 （cos 2α-cos 2β）+ 12 （sin 2β-sin 2α）=- 12 （cos 2α+sin 2α）+ 12 （cos 2β+sin 2β）=0. 又 PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ || NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴ PQ⃗⃗⃗⃗⃗ •(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =0. 故答案为：0．【点评】：本题考查了平面向量的数量积运算.建立坐标系可使运算较简单．17.（填空题.4分）设a.b 是正实数.函数f （x ）=xlnx.g （x ）=- b3 +xlna.若存在x 0∈[ a3 .b].使f （x 0）≤g （x 0）成立.则 ba 的取值范围为___ ． 【正确答案】：[1]（ 13 . 3e ]【解析】：设h （x ）=f （x ）-g （x ）.由f （x 0）≤g （x 0）.结合函数的单调性.分类讨论.最后综合讨论结果.可得 ba 的取值范围．【解答】：解：设h （x ）=f （x ）-g （x ）=xlnx+ b3 -xlna.存在x 0∈[ a3 .b].使f （x 0）≤g （x 0）成立.∴ a3 ＜b.a ＞0.即 ba ＞13 . ∵h′（x ）=lnx+1-lna=ln xa +1. ∵x 0∈[ a3 .b]. ∴x 0≥ a 3 . x0a ≥ 13 .令ln xa +1＞0.即当x＞ae时.h（x）单调递增.当a3＜x＜ae时.h′（x）＜0.h（x）单调递减.若b≤ ae .即ba∈（13. 1e]时.h（x）在[ a3.b）上单调递减.∴h（x）min=h（b）=bln ba + b3≤0.对ba∈（13. 1e]恒成立.若当a3＜ae＜b.即ba∈（1e.+∞）时.h（x）在[ a3.b]上先减后增.∴h（x）min=h（ae ）= aeln ae- aelna+ b3≤0.∴- ae + b3≤0. ba≤ 3e.即1e ＜ba≤ 3e.综上所述. ba 的取值范围为（13. 3e].故答案为：（13 . 3e ]．【点评】：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性.函数恒成立问题.熟练掌握导数法求函数的单调性和最值的方法和步骤是解答的关键.属于难题．18.（问答题.14分）在△ABC中.内角A.B.C所对的边分别为a.b.c.且满足acosC+ccosA-2bsinB=0．（1）求角B；（2）若角B为锐角.sin A2 = √6−√24.BC边上中线长AD= √7 .求△ABC的面积．【正确答案】：【解析】：（1）由正弦定理.两角和的正弦公式化简已知等式可得sinB（1-2sinB）=0.结合sinB≠0.可求sinB= 12.结合B为三角形内角.可求B的值．（2）由已知及（1）可得B= π6 .利用二倍角公式可求cosA= √32.结合范围A ∈(0，5π6) .可求A= π6 .C= 2π3.设AC=BC=2x.在△ADC中.由余弦定理解得x的值.可得AC=BC=2.利用三角形的面积公式即可求解．【解答】：解：（1）因为acosC+ccosA-2bsinB=0.所以由正弦定理可得sinAcosC+sinCcosA-2sinBsinB=0.所以sin（A+C）-2sinBsinB=0.可得sinB（1-2sinB）=0. 又因为sinB≠0.所以sinB= 12.因为B为三角形内角.所以B= π6 .或5π6．（2）若角B为锐角.由（1）可得B= π6.因为cosA=1-2sin2A2 =1-2（√6−√24）2= √32.因为A ∈(0，5π6) .所以A= π6.所以△ABC为等腰三角形.且C= 2π3.在△ABC中.设AC=BC=2x.在△ADC中.由余弦定理可得AD2=AC2+DC2-2AC•DC•cos 2π3=7x2=7.解得x=1.所以AC=BC=2.所以S△ABC= 12AC•BC•sinC= √3 .所以三角形的面积为√3．【点评】：本题主要考查了正弦定理.两角和的正弦公式.二倍角公式.余弦定理.三角形的面积公式在解三角形中的应用.考查了计算能力和转化思想.属于中档题．19.（问答题.15分）已知四棱柱ABCD-A′B′C′D′中.底面ABCD为菱形.AB=2.AA′=4.∠BAD=60°.E为BC中点.C′在平面ABCD上的投影H为直线AE与DC的交点．（1）求证：BD⊥A′H；（2）求直线BD与平面BCC′B′所成角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（1）证明BD⊥平面A′C′H 即可得出BD⊥A′H ；（2）计算C′H .建立空间直角坐标系.求出平面BCC′B′的法向量 n ⃗ .计算 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 n ⃗ 的夹角得出线面角大小．【解答】：（1）证明：连接A′C′. ∵AA′ || CC′.AA′=CC′.∴四边形ACC′A′是平行四边形.∴AC || A′C′. ∵四边形ABCD 是菱形.∴BD⊥AC . ∴BD⊥A′C′.∵C′H⊥平面ABCD.∴C′H⊥BD . 又C′H∩A′C′=C′.∴BD⊥平面A′C′H .又A′H⊂平面A′C′H . ∴BD⊥A′H ．（2）解：∵E 是BC 的中点.∴BE=CE . ∵AB || CH .∴∠CHE=∠BAE .又∠CEB=∠BEA . ∴△ABE≌△BCE .∴BC=AB=2. 又CC′=4.C′H⊥CH .∴C′H= √CC′2−CH 2 =2 √3 .以H 为原点.以HD 为x 轴.以HC′为z 轴建立空间直角坐标系O-xyz.如图所示. 则D （4.0.0）.C （2.0.0）.B （3. √3 .0）.C′（0.0.2 √3 ）. ∴ BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.- √3 .0）. BC⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.- √3 .0）. CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2.0.2 √3 ）.设平面BCC′B′的法向量为 n ⃗ =（x.y.z ）则 {n ⃗ •BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ •CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 .即 {−x −√3y =0−2x +2√3z =0 . 令x= √3 可得 n ⃗ =（ √3 .-1.1）. ∴cos ＜ BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . n ⃗ ＞= BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ |BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗ |= 2√32×√5 = √155. ∴直线BD 与平面BCC′B′所成角的正弦值为 √155．【点评】：本题考查了线面垂直的判定.考查空间向量与线面角的计算.属于中档题． 20.（问答题.15分）已知各项均不为零的数列{a n }的前n 项和为S n .且满足a 1=4.a n+1=3S n +4（n∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{b n }满足a n b n =log 2a n .数列{b n }的前n 项和为T n .求证：T n ＜ 89 ．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用数列的通项公式.求出新数列的通项公式.进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．【解答】：解：（1）各项均不为零的数列{a n }的前n 项和为S n . 且满足a 1=4.a n+1=3S n +4（n∈N *） ① ． 则：a n =3S n-1+4 ② . ① - ② 得：a n+1=4a n .即：a n+1a n=4 .当n=1时.解得：a1=4.所以：a n=4•4n−1=4n．证明：（2）数列{b n}满足a n b n=log2a n.所以：b n=2n4n.T n=241+442+…+ 2n4n① .则：14T n=242+443+…+ 2n4n+1② .① - ② 得：34T n=2(14+142+⋯+14n)−2n4n+1.= 2(14(1−14n)1−14)−2n4n+1.解得：T n=89−6n+89•4n＜89．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用.乘公比错位相减法在数列求和中的应用．21.（问答题.15分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F.直线l过点F且与C相交于A、B两点.当直线l的倾斜角为π4时.|AB|=8．（1）求C的方程；（2）若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点.且A、M、B、N四点在同一圆上.求l的方程．【正确答案】：【解析】：（1）设直线l的方程为y=x- p2.代入抛物线的方程.运用韦达定理和弦长公式.可得p.进而得到抛物线的方程；（2）可设直线l的方程为x=my+1（m≠0）.代入抛物线的方程.运用韦达定理和中点坐标公式和弦长公式.求得|AB|.D的坐标；直线l'的方程为x=- 1my+2m2+3.代入抛物线的方程.运用韦达定理和中点坐标公式和弦长公式.可得E和|MN|.A.M.B.N四点在同一个圆上等价于|AE|=|BE|= 12|MN|.运用直角三角形的勾股定理.解方程可得所求直线方程．【解答】：解：（1）设直线l的方程为y=x- p2代入y2=2px.可得x2-3px+ p24=0.于是|AB|=x1+x2+p=4p=8.可得p=2.所以抛物线的方程为y2=4x；（2）由题意可得l与坐标轴不垂直.所以可设直线l的方程为x=my+1（m≠0）. 代入y2=4x.可得y2-4my-4=0.设A（x1.y1）.B（x2.y2）.则y1+y2=4m.y1y2=-4.所以AB的中点为D（2m2+1.2m）.|AB|=4m2+4.又直线l'的斜率为-m.所以直线l'的方程为x=- 1my+2m2+3．将上式代入y2=4x.整理可得y2+ 4my-4（2m2+3）=0.设M（x3.y3）.N（x4.y4）.则y3+y4=- 4m.y3y4=-4（2m2+3）.则MN的中点E的纵坐标为- 2m.所以MN的中点E（2m2+ 2m2 +3.- 2m）.|MN|= √1+1m2 |y3-y4|= √1+1m2• √(−4m)2+16(2m2+3) = 4(m2+1)√2m2+1m2.由于MN垂直平分AB.所以A.M.B.N四点在同一个圆上等价于|AE|=|BE|= 12|MN|.从而14 |AB|2+|DE|2= 14|MN|2.即4（m2+1）2+（2m+ 2m）2+（2m2+2）2= 4(m2+1)2(2m2+1)m4.化简可得m2-1=0.解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0．【点评】：本题考查抛物线的方程和性质.以及直线和抛物线的位置关系.注意联立直线方程和抛物线的方程.考查方程思想和运算能力.属于中档题．22.（问答题.15分）函数f(x)=lnx−1x.g（x）=ax+b．（1）若函数h（x）=f（x）-g（x）在（0.+∞）上单调递增.求实数a的取值范围；（2）若直线g（x）=ax+b是函数f(x)=lnx−1x图象的切线.求a+b的最小值；（3）当b=0时.若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1.y1）.B（x2.y2）.试比较x1x2与2e2的大小．（取e为2.8.取ln2为0.7.取√2为1.4）【正确答案】：【解析】：（1）把f（x）和g（x）代入h（x）=f（x）-g（x）.求其导函数.结合h（x）在（0.+∞）上单调递增.可得对∀x＞0.都有h′（x）≥0.得到a≤ 1x + 1x2.即可得到a的取值范围；（2）设切点（x0.lnx0- 1x0）.可得a+b=φ（t）=-lnt+t2-t-1.利用导数求其最小值；（3）先判断lnx1x2-2× x1+x2x1x2 = x1+x2x2−x1ln x2x1＞2.令令G（x）=lnx- 2x.再由导数确定G（x）在（0.+∞）上单调递增.然后结合又ln √2 e-√2e = 12ln2+1- √2e≈0.85＜1.即x1x2＞2e2．【解答】：解：（1）：h（x）=f（x）-g（x）=lnx- 1x-ax-b.则h′（x）= 1x + 1x2-a.∵h（x）=f（x）-g（x）在（0.+∞）上单调递增.∴对∀x＞0.都有h′（x）= 1x + 1x2-a≥0.即对∀x＞0.都有a≤ 1x + 1x2.∵ 1 x + 1x2＞0.∴a≤0.故实数a的取值范围是（-∞.0]；（2）：设切点（x0.lnx0- 1x0）.则切线方程为y-（lnx0- 1x0）=（1x0+ 1x02）（x-x0）.即y=（1x0+1 x02）x-（1x0+ 1x02）x0+（lnx0- 1x0）.亦即y=（1x0 + 1x02）x+（lnx0- 2x0-1）.令1x0=t.由题意得a=t+t2.b=-lnt-2t-1.令a+b=φ（t）=-lnt+t2-t-1.则φ′（x）=- 1t +2t-1= (2t+1)(t−1)t.当t∈（0.1）时.φ'（t）＜0.φ（t）在（0.1）上单调递减；当t∈（1.+∞）时.φ'（t）＞0.φ（t）在（1.+∞）上单调递增. ∴a+b=φ（t）≥φ（1）=-1.故a+b的最小值为-1；（Ⅲ）：由题意知lnx1- 1x1 =ax1.lnx2- 1x2=ax2.两式相加得lnx1x2- x1+x2x1x2=a（x1+x2）.两式相减得ln x2x1 - x1−x2x1x2=a（x2-x1）.即ln x2x1x2−x1+ 1x1x2=a.∴lnx 1x 2- x 1+x 2x 1x 2 =（ ln x2x1x 2−x 1 + 1x 1x 2）（x 1+x 2）.即lnx 1x 2-2× x 1+x 2x 1x 2= x 1+x2x 2−x 1ln x2x1. 不妨令0＜x 1＜x 2.记t= x2x 1＞1.令F （t ）=lnt- 2(t−1)t+1（t ＞1）.则F′（t ）= (t−1)2t (t+1) ＞0.∴F （t ）=lnt-2(t−1)t+1在（1.+∞）上单调递增. 则F （t ）＞F （1）=0. ∴lnt ＞2(t−1)t+1.则ln x 2x 1 ＞2(x 2−x 1)x 1+x 2. ∴lnx 1x 2-2×x 1+x 2x 1x 2 = x 1+x 2x 2−x 1 ln x2x 1 ＞2. ∴lnx 1x 2-2× x 1+x2x 1x2＜lnx 1x 2- 4√x 1x2x 1x 2=√x x =2ln √x 1x 2 - √x x . ∴2ln √x 1x 2 - √x x 2.即ln √x 1x 2 - √x x ＞1令G （x ）=lnx- 2x .则x ＞0时.G′（x ）= 1x + 2x 2 ＞0. ∴G （x ）在（0.+∞）上单调递增. 又ln √2 e-√2e= 12 ln2+1- √2e ≈0.85＜1. ∴G （ √x 1x 2 ）=ln √x 1x 2 - √x x 1＞ln √2 e- √2e . 则 √x 1x 2 ＞e. 即x 1x 2＞2e 2．【点评】：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程.考查了利用导数求函数的最值.体现了数学转化思想方法和函数构造法.本题综合考查了学生的逻辑思维能力和灵活应变能力.难度较大．。
2020-2021学年安徽省合肥六中高三上学期期中(理科)数学试卷(解析版)
2020-2021学年安徽省合肥六中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|y＝lg（3x﹣x2）}，则（）A．A∩B＝（﹣2，3）B．A∪B＝（﹣2，3）C．A∪B＝（﹣∞，1）∪（3，+∞）D．A∩B＝（﹣2，0）2．（5分）与角2021°终边相同的角是（）A．221°B．﹣2021°C．﹣221°D．139°3．（5分）已知m＝0.92020，n＝20200.9，p＝log0.92020，则m，n，p的大小关系是（）A．m＜n＜p B．m＜p＜n C．p＜m＜n D．p＜n＜m4．（5分）已知平面向量＝（﹣1，2），＝（3，5），若（+λ）⊥，则λ＝（）A．B．﹣C．D．﹣5．（5分）已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g（x）＝[x]为取整函数，x0是函数f（x）＝lnx+x﹣4的零点，则g（x0）＝（）A．4B．5C．2D．36．（5分）函数f（x）＝ln（﹣kx）的图象不可能是（）A．B．C．D．7．（5分）在公差大于0的等差数列{a n}中，2a7﹣a13＝1，且a1，a3﹣1，a6+5成等比数列，则数列{（﹣1）n﹣1a n}的前21项和为（）A．21B．﹣21C．441D．﹣4418．（5分）已知函数满足，则f（x）图象的一条对称轴是（）A．B．C．D．9．（5分）如图，已知三棱锥V﹣ABC，点P是VA的中点，且AC＝2，VB＝4，过点P作一个截面，使截面平行于VB和AC，则截面的周长为（）A．12B．10C．8D．610．（5分）已知数列{a n}满足a n+2＝a n+1+a n，n∈N*．若4a5+3a6＝16，则a1+a2+…+a9＝（）A．16B．28C．32D．4811．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、A1D1的中点．直线DB1与平面EFC的交点O，则的值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知关于x的不等式在（0，+∞）上恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．B．（e，+∞）C．D．（0，e）二、填空题（共4小题）.13．（5分）（cos x+sin x）dx的值为．14．（5分）函数的图象在点（0，f（0））处的切线方程为．15．（5分）已知锐角α、β满足，则的最小值为．16．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，BC＝1，点M在正方形CDD1C1内，C1M⊥平面A1CM，则三棱锥M﹣A1CC1的外接球表面积为．三、解答题（共6小题）.17．（10分）已知sinθ+cosθ＝，θ∈（﹣，）．（1）求θ的值：（2）设函数f（x）＝sin2x﹣sin2（x+θ）x∈R，求函数f（x）的单调增区间．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝3n2﹣n，数列{log3b n}是公差为﹣1的等差数列，b1＝1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n＝a2n+1+b2n+1，求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BC＝BB1＝4，，且∠BCC1＝60°．（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；（2）设二面角C﹣AC1﹣B的大小为θ，求sinθ的值．20．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，S为△ABC的面积，sin（B+C）＝．（Ⅰ）证明：A＝2C；（Ⅱ）若b＝2，且△ABC为锐角三角形，求S的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝cos x．（1）已知α，β为锐角，，，求cos2α及tan（β﹣α）的值；（2）函数g（x）＝3f（2x）+1，若关于x的不等式g2（x）≥（a+1）g（x）+3a+3有解，求实数a的最大值．22．（12分）已知函数f（x）＝mx﹣xlnx（x＞1）．（1）讨论f（x）的极值；（2）若m为正整数，且f（x）＜2x+m恒成立，求m的最大值．（参考数据：ln4≈1.39，ln5≈1.61）参考答案一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|y＝lg（3x﹣x2）}，则（）A．A∩B＝（﹣2，3）B．A∪B＝（﹣2，3）C．A∪B＝（﹣∞，1）∪（3，+∞）D．A∩B＝（﹣2，0）解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|y＝lg（3x﹣x2）}＝{x|0＜x＜3}，∴A∩B＝{0＜x＜1}，A∪B＝{x|﹣2＜x＜3}，故A，C，D均错误，B正确，故选：B．2．（5分）与角2021°终边相同的角是（）A．221°B．﹣2021°C．﹣221°D．139°解：与角2021°终边相同的角是：k•360°+2021°，k∈Z，当k＝﹣5时，与角2021°终边相同的角是221°．故选：A．3．（5分）已知m＝0.92020，n＝20200.9，p＝log0.92020，则m，n，p的大小关系是（）A．m＜n＜p B．m＜p＜n C．p＜m＜n D．p＜n＜m解：∵0＜0.92020＜0.90＝1，20200.9＞20200＝1，log0.92020＜log0.91＝0，∴p＜m＜n．故选：C．4．（5分）已知平面向量＝（﹣1，2），＝（3，5），若（+λ）⊥，则λ＝（）A．B．﹣C．D．﹣解：∵，，且，∴，解得．故选：B．5．（5分）已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g（x）＝[x]为取整函数，x0是函数f（x）＝lnx+x﹣4的零点，则g（x0）＝（）A．4B．5C．2D．3解：函数f（x）＝lnx+x﹣4是在x＞0时，函数是连续的增函数，∵f（e）＝1+e﹣4＜0，f（3）＝ln3﹣1＞0，∴函数的零点所在的区间为（e，3），g（x0）＝[x0]＝2．故选：C．6．（5分）函数f（x）＝ln（﹣kx）的图象不可能是（）A．B．C．D．解：∵A，B选项中，图象关于原点对称，∴f（x）为奇函数，即f（x）+f（﹣x）＝0，即，∴k＝±1，当k＝1时，f（x）的图象为选项A；当k＝﹣1时，f（x）的图象为选项B；而C，D选项中，图象关于y轴对称，所以f（x）为偶函数，即f（x）＝f（﹣x），即，∴k＝0，当k＝0时，f（x）≥0，故f（x）的图象为选项D，不可能为选项C．故选：C．7．（5分）在公差大于0的等差数列{a n}中，2a7﹣a13＝1，且a1，a3﹣1，a6+5成等比数列，则数列{（﹣1）n﹣1a n}的前21项和为（）A．21B．﹣21C．441D．﹣441解：公差d大于0的等差数列{a n}中，2a7﹣a13＝1，可得2a1+12d﹣（a1+12d）＝1，即a1＝1，a1，a3﹣1，a6+5成等比数列，可得（a3﹣1）2＝a1（a6+5），即为（1+2d﹣1）2＝1+5d+5，解得d＝2（负值舍去）则a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*，数列{（﹣1）n﹣1a n}的前21项和为a1﹣a2+a3﹣a4+...+a19﹣a20+a21＝1﹣3+5﹣7+ (37)39+41＝﹣2×10+41＝21．故选：A．8．（5分）已知函数满足，则f（x）图象的一条对称轴是（）A．B．C．D．解：函数满足，所以φ）＝0，由于，故φ＝．所以f（x）＝A sin（2x+），令（k∈Z），解得（k∈Z）．当k＝1时，解得．故选：D．9．（5分）如图，已知三棱锥V﹣ABC，点P是VA的中点，且AC＝2，VB＝4，过点P作一个截面，使截面平行于VB和AC，则截面的周长为（）A．12B．10C．8D．6解：如图所示，过点P作PF∥AC，交VC于点F，过点F作FE∥VB交BC于点E，过点E作EQ∥AC，交AB于点Q；由作图可知：EQ∥PF，所以四边形EFPQ是平行四边形；可得EF＝PQ＝VB＝2，EQ＝PF＝AC＝1；所以截面四边形EFPQ的周长为2×（2+1）＝6．故选：D．10．（5分）已知数列{a n}满足a n+2＝a n+1+a n，n∈N*．若4a5+3a6＝16，则a1+a2+…+a9＝（）A．16B．28C．32D．48解：∵a n+2＝a n+1+a n，∴a3＝a2+a1，a4＝a3+a2＝2a2+a1，a5＝a4+a3＝3a2+2a1，a6＝a5+a4＝5a2+3a1，a7＝a6+a5＝8a2+5a1，a8＝a7+a6＝13a2+8a1，a9＝a8+a7＝21a2+13a1，∴a1+a2+…+a9＝54a2+34a1＝2×（27a2+17a1），∵4a5+3a6＝16，∴4（3a2+2a1）+3（5a2+3a1）＝16，即27a2+17a1＝16，∴a1+a2+…+a9＝2×（27a2+17a1）＝2×16＝32，故选：C．11．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、A1D1的中点．直线DB1与平面EFC的交点O，则的值为（）A．B．C．D．解：交点O既在平面ECF上，又在平面D1DBB1上，∴O在面ECF与面D1DBB1的交线上，延展平面ECF，得到面ECHF，H在C1D1上，则K，M都即在面ECFH上，又在平面D1DBB1上，∴KM为面ECFH与面D1DBB1的交线，∴O在KM上，∵O在DB1上，∴DB1∩KM＝O，取出平面D1DBB1，∵△KOB1∽△MOD，∴＝．由△DMC∽△BME，得DM＝，设G为C1D1的中点，由三角形相似可得，再由题意可得A1G∥FH，则，则．∴＝＝．故选：A．12．（5分）已知关于x的不等式在（0，+∞）上恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．B．（e，+∞）C．D．（0，e）解：不等式在（0，+∞）上恒成立，即不等式＞lnx在（0，+∞）上恒成立，则（eλx+1）λx＞（x+1）lnx＝（e lnx+1）lnx恒成立，设f（x）＝（e x+1）x（x＞0），则f（λx）＞f（lnx），∵f′（x）＝e x（x+1）+1＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴λx＞lnx，∴λ＞，设g（x）＝（x＞0），∴g′（x）＝，令g′（x）＝0，解得x＝e，当0＜x＜e时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，当x＞e时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，∴g（x）max＝g（e）＝，∴λ＞．故选：A．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）（cos x+sin x）dx的值为2．解：（cos x+sin x）dx＝（sin x﹣cos x）＝（sin﹣cos）﹣（sin0﹣cos0）＝（1﹣0）﹣0+1＝2．故答案为：2．14．（5分）函数的图象在点（0，f（0））处的切线方程为2x+y ＝0．解：由，得f′（x）＝2f′（）+sin x，取x＝，得f′（）＝2f′（）+sin，解得f′（）＝﹣1，∴f′（x）＝﹣2+sin x，得f′（0）＝﹣2，又f（0）＝﹣cos0+1＝0，∴f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣2x，即2x+y＝0．故答案为：2x+y＝0．15．（5分）已知锐角α、β满足，则的最小值为18．解：∵，∴sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝sin＝，设x＝sinαcosβ，y＝cosαsinβ，则x+y＝，∵α、β均为锐角，∴x＞0，y＞0，∴＝+＝2（x+y）（+）＝2（1+4+）≥2×（5+2）＝18，当且仅当＝，即＝，即x＝，y＝时，等号成立．∴的最小值为18．故答案为：18．16．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，BC＝1，点M在正方形CDD1C1内，C1M⊥平面A1CM，则三棱锥M﹣A1CC1的外接球表面积为11π．解：如图：点M在正方形CDD1C1内，C1M⊥平面A1CM，∴点M为正方形CDD1C1对角线的交点，∴MCC1是等腰直角三角形，M是直角顶点，设E是CC1的中点，则E是△MCC1的外心，取F是BB1的中点，则EF∥BC，而BC⊥平面CDD1C1，∴EF⊥平面CDD1C1，∴三棱锥M﹣A1CC1的外接球的球心O在直线EF上，由已知可计算FC＝＝，A1F＝＝＞FC，∴点O在EF的延长线上，设OF＝x，则由OA1＝OC，可得（）2+x2＝（x+1）2+（）2，解得x＝，∴OC＝＝，∴外接球表面积是S＝4π×（）2＝11π，故答案为：11π．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知sinθ+cosθ＝，θ∈（﹣，）．（1）求θ的值：（2）设函数f（x）＝sin2x﹣sin2（x+θ）x∈R，求函数f（x）的单调增区间．解：（1）因为sinθ+cosθ＝，所以（sinθ+cosθ）2＝sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ＝1+sin2θ＝（）2＝，即sin2θ＝，又θ∈（﹣，），所以2，所以2θ＝﹣，θ＝﹣．（2）由（1）可得θ＝﹣，则f（x）＝sin2x﹣sin2（x﹣），所以f（x）＝（1﹣cos2x）﹣[1﹣cos（2x﹣）]＝cos2x﹣+cos（2x﹣）＝﹣cos2x+（cos2x+sin2x）＝sin2x﹣cos2x＝（sin2x﹣cos2x）＝sin（2x﹣），令2k≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，则k≤x≤kπ+，k∈Z，所以函数的单调增区间为[k，kπ+]，k∈Z．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝3n2﹣n，数列{log3b n}是公差为﹣1的等差数列，b1＝1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n＝a2n+1+b2n+1，求数列{c n}的前n项和T n．解：（1）数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝3n2﹣n，当n＝1时，解得a1＝1，当n≥2时，，两式相减得：a n＝3n﹣2．数列{log3b n}是公差为﹣1的等差数列，b1＝1．所以log3b n＝1﹣n，所以．（2）c n＝a2n+1+b2n+1＝，所以＝19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BC＝BB1＝4，，且∠BCC1＝60°．（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；（2）设二面角C﹣AC1﹣B的大小为θ，求sinθ的值．解：（1）证明：在△ABC中，AB2+BC2＝20＝AC2，所以∠ABC＝90°，即AB⊥BC．因为BC＝BB1，AC＝AB1，AB＝AB，所以△ABC≌△ABB1．所以∠ABB1＝∠ABC＝90°，即AB⊥BB1．又BC∩BB1＝B，所以AB⊥平面BCC1B1．又AB⊂平面ABC1，所以平面ABC1⊥平面BCC1B1．（2）解：由题意知，四边形BCC1B1为菱形，且∠BCC1＝60°，则△BCC1为正三角形，取CC1的中点D，连接BD，则BD⊥CC1．以B为原点，以的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系B﹣xyz，则B（0，0，0），B1（0，4，0），A（0，0，2），，．设平面ACC1A1的法向量为＝（x，y，z），，．由，得取x＝1，得＝（1，0，）．由四边形BCC1B1为菱形，得BC1⊥B1C；又AB⊥平面BCC1B1，所以AB⊥B1C；又AB∩BC1＝B，所以B1C⊥平面ABC1，所以平面ABC1的法向量为．所以cos＜＞＝＝＝．设二面角C﹣AC1﹣B的大小为θ，则sinθ＝＝．20．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，S为△ABC的面积，sin（B+C）＝．（Ⅰ）证明：A＝2C；（Ⅱ）若b＝2，且△ABC为锐角三角形，求S的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：由，即，∴，sin A≠0，∴a2﹣c2＝bc，∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴a2﹣c2＝b2﹣2bc cos A，∴b2﹣2bc cos A＝bc，∴b﹣2c cos A＝c，∴sin B﹣2sin C cos A＝sin C，∴sin（A+C）﹣2sin C cos A＝sin C，∴sin A cos C﹣cos A sin C＝sin C，∴sin（A﹣C）＝sin C，∵A，B，C∈（0，π），∴A＝2C．（Ⅱ）解：∵A＝2C，∴B＝π﹣3C，∴sin B＝sin3C．∵且b＝2，∴，∴＝＝，∵△ABC为锐角三角形，∴，∴，∴，∵为增函数，∴．21．（12分）已知函数f（x）＝cos x．（1）已知α，β为锐角，，，求cos2α及tan（β﹣α）的值；（2）函数g（x）＝3f（2x）+1，若关于x的不等式g2（x）≥（a+1）g（x）+3a+3有解，求实数a的最大值．解：（1）∵函数f（x）＝cos x，α，β为锐角，＝cos（α+β），∴sin（α+β）＝＝，∴tan（α+β）＝＝﹣2．∵，∴cos2α＝＝＝＝﹣．tan2α＝＝＝﹣，故2α为钝角．tan（β﹣α）＝tan[（α+β）﹣2α]＝＝＝．（2）∵函数g（x）＝3f（2x）+1＝3cos2x+1∈[﹣2，4]，若关于x的不等式g2（x）≥（a+1）g（x）+3a+3＝（a+1）[g（x）+3]有解，令t＝g（x）+3，则t∈[1，7]，且（t﹣3）2≥（a+1）t有解，即a+1≤t+﹣6能成立，即a+7≤（t+）能成立．由于函数h（t）＝t+在[1，3]上单调递减，在[3，9]上单调递增，h（1）＝10，h（9）＝10，故h（t）在[1，7]上的最大值为10，故有a+7≤10，即a≤3，故a的最大值为3．22．（12分）已知函数f（x）＝mx﹣xlnx（x＞1）．（1）讨论f（x）的极值；（2）若m为正整数，且f（x）＜2x+m恒成立，求m的最大值．（参考数据：ln4≈1.39，ln5≈1.61）解：（1）由f（x）＝mx﹣xlnx（x＞1），得f′（x）＝m﹣1﹣lnx．当m﹣1≤0，即m≤1时，f′（x）＞0对x＞1恒成立，∴f（x）在（1，+∞）上单调递减，f（x）无极值；当m﹣1＞0，即m＞1时，令f′（x）＝0，得x＝e m﹣1，由f′（x）＞0，得1＜x＜e m﹣1，由f′（x）＜0，得x＞e m﹣1，∴f（x）在x＝e m﹣1处取得极大值，且极大值为f（e m﹣1）＝me m﹣1﹣（m﹣1）e m﹣1＝e m﹣1．综上所述，当m≤1时，f（x）无极值；当m＞1时，f（x）的极大值为e m﹣1，无极小值．（2）∵当x＞1时，f（x）＜2x+m恒成立，∴当x＞1时，mx﹣xlnx＜2x+m，即m＜对x＞1恒成立，令h（x）＝，得h′（x）＝，令g（x）＝x﹣lnx﹣3，则g′（x）＝1﹣，∵x＞1，∴g′（x）＝1﹣＞0，得g（x）是增函数，由g（x1）＝x1﹣lnx1﹣3＝0，得lnx1＝x1﹣3，∵g（4）＝4﹣ln4﹣3＝1﹣ln4≈1﹣1.39＝﹣0.39＜0，g（5）＝5﹣ln5﹣3＝2﹣ln5≈2﹣1.61＝0.39＞0．∵g（x1）＝0，g（x）为增函数，∴4＜x1＜5，当x∈（1，x1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（x1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴x＝x1时，h（x）取得最小值为h（x1），∴m＜h（x1）＝，又m为正整数，∴m≤4，故m的最大值为4．。
2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高三(上)期中数学试卷
2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高三（上）期中数学试卷试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={x|0＜x ＜2}， B ={x|x−3x−1≤0} ，则集合A∪B=___ ． 2.（填空题，4分）在 (x2+1x )6的二项展开式中，x 2项的系数等于 ___ ．3.（填空题，4分）已知向量 a ⃗ =（sinθ，1）， b ⃗⃗=(1，cosθ) ，其中0＜θ＜2π，若 a ⃗ ⊥ b ⃗⃗ ，则θ=___ ．4.（填空题，4分）若z 1=1+i ，z 2=a-2i ，其中i 为虚数单位，且 z 1•z 2∈R ，则实数a=___ ．5.（填空题，4分）已知一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，任取圆锥的两条母线a ，b ，则a ，b 所成角的最大值为 ___ ．6.（填空题，4分）无穷等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=2，且S 2020+2S 2021=3S 2022，则无穷等比数列{a n }的各项和为 ___ ．7.（填空题，5分）设函数 f (x )=sin (2x +π3) ，若对于任意的 x 1∈[−π4，π4] ，在区间[α，β]上总存在唯一确定的x 2，使得f （x 1）+f （x 2）=0，则|α-β|的最小值为___ ．8.（填空题，5分）某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个．小明购买了4个盲盒，则他能集齐3个不同动漫角色的概率是___ ．9.（填空题，5分）已知F 1、F 2是椭圆x 24+y 23=1 的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，以PF 1为直径作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q （点Q 不在椭圆内部），则 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．10.（填空题，5分）已知函数f （x ）=x 2-a|x|+ 1x 2+1 +a 有且只有一个零点，若方程f （x ）=k 无解，则实数k 的取值范围为 ___ ．11.（填空题，5分）已知数列{a n }满足a 1=1，若数列{b n }满足b n =max{a k+1-a k |1≤k≤n}（n∈N*），且a n +b n =2n （n∈N*），则数列{a n }的通项公式a n =___ ．12.（填空题，5分）设函数f （x ）的定义域是（0，1），满足： （1）对任意的x∈（0，1），f （x ）＞0；（2）对任意的x 1，x 2∈（0，1），都有 f (x 1)f (x 2)+f (1−x 1)f (1−x 2)≤2 ；)=2．（3）f(12的最小值为 ___ ．则函数g(x)=xf(x)+1x13.（单选题，5分）已知等比数列{a n}的公比为q（q≠0），S n是{a n}的前n项和．则“数列{a n}单调递减”是“a1＞a3，S2＞S4”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.（单选题，5分）下列四个命题中真命题是（）A.同垂直于一直线的两条直线互相平行B.底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C.过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D.过球面上任意两点的大圆有且只有一个15.（单选题，5分）已知a⃗，b⃗⃗，c⃗和d⃗为空间中的4个单位向量，且a⃗+b⃗⃗+c⃗ = 0⃗⃗，则| a⃗−d⃗ |+| b⃗⃗−d⃗ |+| c⃗−d⃗ |不可能等于（）A.3B.2 √3C.4D.3 √216.（单选题，5分）函数f（x）的定义域为D，若f（x）存在反函数，且f（x）的反函数就是它本身，则称f（x）为自反函数．有下列四个命题：是自反函数；① 函数f(x)=−xx+1② 若f（x）为自反函数，则对任意的x∈D，成立f（f（x））=x；③ 若函数f(x)=√1−x2(a≤x≤b)为自反函数，则b-a的最大值为1；④ 若f（x）是定义在R上的自反函数，则方程f（x）=x有解．其中正确命题的序号为（）A. ① ② ③B. ① ② ④C. ② ③ ④D. ① ② ③ ④17.（问答题，14分）在四棱锥P-ABCD中，底面为梯形，AB || CD，∠BAP=∠CDP=90°，PA=PD=AB=2，PA⊥PD，四棱锥P-ABCD的体积为4．（1）求证：AB⊥平面PAD ； （2）求PC 与平面ABCD 所成角．18.（问答题，14分）已知函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2-mx+4，m∈R ． （1）当m=4时，解不等式g （x ）＞|f （x ）-2|．（2）若对任意的x 1∈[1，2]，存在x 2∈[1，2]，使得g （x 1）=f （x 2），求实数m 的取值范围．19.（问答题，14分）2021年10月13日第18号台风“圆规”在海南某地登陆，最大风力达到12级．路边一棵参天大树在树干某点B 处被台风折断且形成120°角，树尖C 着地处与树根A 相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设∠CAB=θ（A ，B ，C 三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计）．（1）若θ=45°，求折断前树的高度（结果保留一位小数）； （2）问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理由．20.（问答题，16分）已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点 A(√6，0) 在椭圆上，且 AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3 ，点P ，Q 是椭圆上关于坐标原点O 对称的两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点P在第一象限，PN⊥x轴于点N，直线QN交椭圆于点M（不同于Q点），试求∠MPQ的值；是否为定值？若（3）已知点R在椭圆上，直线PR与圆x2+y2=2相切，连接QR，问：|PR||QR|为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．(n∈N∗)．21.（问答题，18分）已知数列{a n}满足a1=0，|a n+1-a n|=n，且a n≤ n−12（1）求a4的所有可能取值；（2）若数列{a2n}单调递增，求数列{a2n}的通项公式；（3）对于给定的正整数k，求S k=a1+a2+⋯+a k的最大值．2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x−3x−1≤0}，则集合A∪B=___ ．【正确答案】：[1]{x|0＜x≤3}【解析】：先解分式不等式求出B，再利用并集运算求解．【解答】：解：∵ B={x|x−3x−1≤0} ={x|1＜x≤3}，A={x|0＜x＜2}，∴A∪B={x|0＜x≤3}，故答案为：{x|0＜x≤3}．【点评】：此题考查了并集及其运算，分式不等式的解法，属于基础题．2.（填空题，4分）在(x2+1x)6的二项展开式中，x2项的系数等于 ___ ．【正确答案】：[1] 1516【解析】：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式的x2项的系数．【解答】：解：二项式(x2+1x)6展开式的通项公式为T r+1= C6r(x2)6−r(1x)r= C6r(12)6−rx6-2r，令6-2r=2，解得r=2，故(x2+1x)6二项展开式中，含x2项的系数等于C62(12)4= 1516，故答案为：1516．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．3.（填空题，4分）已知向量a⃗ =（sinθ，1），b⃗⃗=(1，cosθ)，其中0＜θ＜2π，若a⃗⊥ b⃗⃗，则θ=___ ．【正确答案】：[1] 3π4或7π4【解析】：根据题意，由数量积的计算公式可得a⃗• b⃗⃗=sinθ+cosθ=0，变形可得tanθ=-1，结合θ的取值范围，即可确定θ的值．【解答】：解：根据题意，向量a⃗ =（sinθ，1），b⃗⃗=(1，cosθ)，若a⃗⊥ b⃗⃗，则有a⃗• b⃗⃗=sinθ+cosθ=0，变形可得tanθ=-1，又0＜θ＜2π，所以θ= 3π4或7π4；故答案为：3π4或7π4．【点评】：本题考查向量垂直的判断方法，涉及向量数量积的计算公式，属于基础题．4.（填空题，4分）若z1=1+i，z2=a-2i，其中i为虚数单位，且z1•z2∈R，则实数a=___ ．【正确答案】：[1]-2【解析】：求出z1•z2 =（1+i）（a+2i）=a+ai+2i+2i2=（a-2）+（a+2）i，由z1•z2∈R，能求出实数a．【解答】：解：z1=1+i，z2=a-2i，其中i为虚数单位，且z1•z2∈R，z1•z2 =（1+i）（a+2i）=a+ai+2i+2i2=（a-2）+（a+2）i，∴a+2=0，解得实数a=-2．故答案为：-2．【点评】：本题考查实数值的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.（填空题，4分）已知一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，任取圆锥的两条母线a，b，则a，b所成角的最大值为 ___ ．【正确答案】：[1]60°【解析】：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，求出r与l的关系，确定两条母线a，b为轴截面的两条母线时，a，b所成角的最大，即可得到答案．【解答】：解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，因为一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则2πr=πl，解得l=2r，当两条母线a，b为轴截面的两条母线时，a，b所成角的最大，最大值为60°．故答案为：60°．【点评】：本题考查了圆锥的侧面展开图的理解与应用，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，考查了逻辑推理能力，属于基础题．6.（填空题，4分）无穷等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=2，且S 2020+2S 2021=3S 2022，则无穷等比数列{a n }的各项和为 ___ ． 【正确答案】：[1] 32【解析】：先求出等比数列{a n }的公比，然后利用无穷等比数列的和可计算出结果．【解答】：解：设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 2020+2S 2021=3S 2022， 所以S 2022-S 2020=2（S 2021-S 2022）， 即a 2021+a 2022=-2a 2022， 所以3a 2022=-a 2021， 所以q=- 13 ，所以无穷等比数列{a n }的各项和为S n = a 1(1−q n )1−q = 2×[1−(−13)n]1+13 = 32[1−(−13)n] ，当n→+∞时，S n → 32 ，故无穷等比数列{a n }的各项和为 32 ， 故答案为： 32．【点评】：本题考查了等比数列求和公式，极限思想，属于中档题．7.（填空题，5分）设函数 f (x )=sin (2x +π3) ，若对于任意的 x 1∈[−π4，π4] ，在区间[α，β]上总存在唯一确定的x 2，使得f （x 1）+f （x 2）=0，则|α-β|的最小值为___ ． 【正确答案】：[1] π3【解析】：根据题意，设集合A 为所有-f （x 1）构成的集合，集合B 是所以f （x 2）构成的集合，则A⊆B ，求出，|α-β|的最小值．【解答】：解：若对于任意的 x 1∈[−π4，π4] ，在区间[α，β]上总存在唯一确定的x 2，f （x 1）+f （x 2）=0，得-f （x 1）=f （x 2），设集合A 为所有-f （x 1）构成的集合，集合B 是所有f （x 2）构成的集合，则A⊆B ，对于任意的x∈[ −π4，π4 ]，2x+ π3 ∈[−π6，5π6] ，-f （x ）∈[-1， 12]=A ， 因为-f （x ）单调递减，根据题意，要使|α-β|=β-α最小，只需A=B 即可， 所以-1 ≤sin (2x +π3)≤12 ，得2x+ π3 ∈ [−π2+kπ，π6+kπ]，(k ∈z ) ， 故，|α-β|的最小值为 12 （ [π6−(−π2)] = π3 ． 故答案为： π3．【点评】：考查三角函数图象和性质，三角函数恒成立和能成立问题，综合性高，难度较大． 8.（填空题，5分）某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个．小明购买了4个盲盒，则他能集齐3个不同动漫角色的概率是___ ． 【正确答案】：[1] 49【解析】：小明购买了4个盲盒，基本事件总数n=34=81，他能集齐3个不同动漫角色包含的基本事件个数m= C 42A 33=36，由此能求出他能集齐3个不同动漫角色的概率．【解答】：解：某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个． 小明购买了4个盲盒， 基本事件总数n=34=81，他能集齐3个不同动漫角色包含的基本事件个数m= C 42A 33=36，∴他能集齐3个不同动漫角色的概率P= m n = 3681 = 49． 故答案为： 49．【点评】：本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题． 9.（填空题，5分）已知F 1、F 2是椭圆x 24+y 23=1 的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，以PF 1为直径作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q （点Q 不在椭圆内部），则 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：根据中位线定理及椭圆的定义，表示出|OQ|，利用极化恒等式即可求得 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．【解答】：解：连接PF 2，由题意可知|PF 2|=2|ON|，|NQ|= 12 |PF 1|， 所以|OQ|=|ON|+|NQ|= 12（|PF 2|+|PF 1|）= 12×4=2，由极化恒等式可知 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|QO|²- 14|F 1F 2|²=4-1=3， 所以 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3， （极化恒等式： a ⃗ •b ⃗⃗ = (a⃗⃗+b ⃗⃗)2−(a ⃗⃗−b ⃗⃗)24）．故答案为：3．【点评】：本题考查椭圆的定义与性质，中位线定理及向量的数量积运算，考查向量的极化恒等式的应用，针对于极化恒等式，需要学生会推导及会使用，在做题中能起到事半功倍的效果，属于中档题．10.（填空题，5分）已知函数f （x ）=x 2-a|x|+ 1x 2+1 +a 有且只有一个零点，若方程f （x ）=k 无解，则实数k 的取值范围为 ___ ． 【正确答案】：[1]（-∞，0）【解析】：先判断出函数f （x ）为偶函数，结合题意得到f （0）=0，得到a 的值，从而求出f （x ），再判断函数f （x ）的单调性，确定f （x ）的取值范围，即可得到k 的范围．【解答】：解：函数f （x ）=x 2-a|x|+ 1x 2+1 +a 的定义域为R ， 又f （-x ）=x 2-a|x|+1x 2+1+a=f （x ）， 所以f （x ）为偶函数， 又函数f （x ）=x 2-a|x|+ 1x 2+1+a 有且只有一个零点，所以f （0）=0， 解得a=-1，故f （x ）=x 2+|x|+ 1x 2+1 -1， 所以f （x ）=x 2+1+ 1x 2+1 +|x|-2，因为y=x 2+1+ 1x 2+1 在[0，+∞）上为单调递增函数，且y=|x|-2在[0，+∞）上为单调递增函数，所以函数f （x ）在[0，+∞）上为单调递增函数， 又f （x ）为偶函数，所以f（x）≥f（0）=0，因为方程f（x）=k无解，所以k＜0，故实数k的取值范围为（-∞，0）．故答案为：（-∞，0）．【点评】：本题考查了函数与方程的综合应用，函数性质的综合应用，考查了函数单调性与奇偶性的判断与应用，函数零点定义的理解与应用，考查了逻辑推理能力，属于中档题．11.（填空题，5分）已知数列{a n}满足a1=1，若数列{b n}满足b n=max{a k+1-a k|1≤k≤n}（n∈N*），且a n+b n=2n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n=___ ．【正确答案】：[1]2n-1【解析】：根据已知条件分别求a1，a2，a3，…，由归纳即可得{a n}的通项公式．【解答】：解：因为a n+b n=2n（n∈N*），由a1=1，可得b1=a2-a1=21-1=1，所以a2=a1+1=1+1=2，因为a2+b2=22=4，可得b2=2=a3-a2，所以a3=4，因为b3=23-a3=8-4=4=a4-a3，可得a4=8，…，所以a n=b n=2n-1，故答案为：2n-1．【点评】：本题考查了数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.（填空题，5分）设函数f（x）的定义域是（0，1），满足：（1）对任意的x∈（0，1），f（x）＞0；（2）对任意的x1，x2∈（0，1），都有f(x1)f(x2)+f(1−x1)f(1−x2)≤2；（3）f(12)=2．则函数g(x)=xf(x)+1x的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]2 √2【解析】：由条件（1）（2）进行推导可得f（x）关于直线x= 12对称，借由对称轴推出f（x）为常数函数，代入g（x）基本不等式求最值运算．【解答】：解：由题意，令x1=1-x2，则不等式f(x1)f(x2)+f(1−x1)f(1−x2)≤2等价于f(1−x2)f(x2)+f(x2)f(1−x2)≤2，由（1）对任意x∈（0，1），f（x）＞0，则f(1−x2)f(x2)+f(x2)f(1−x2)≥2√f(1−x2)f(x2)⋅f(x2)f(1−x2)=2，所以f(1−x2)f(x2)+f(x2)f(1−x2)=2，当且仅当f(1−x2)f(x2)=f(x2)f(1−x2)，即f（x2）=f（1-x2）时等号成立，所以f（x）关于直线x= 12对称，所以f（x1）=f（1-x1），f（x2）=f（1-x2），则不等式f(x1)f(x2)+f(1−x1)f(1−x2)≤2等价于f(x1)f(x2)+f(x1)f(x2)≤2，所以f(x1)f(x2)≤1，因为对任意x∈（0，1），f（x）＞0，所以f（x1）≤f（x2），所以f（x1）=f（x2）恒成立，故f（x）为常数函数，因为f（12）=2，所以f（x）=2，所以g（x）=xf（x）+ 1x =2x+ 1x，因为x∈（0，1），所以2x+ 1x ≥2√2x•1x=2 √2（当且仅当x= √22时等号成立），所以g（x）的最小值为2 √2．故答案为：2 √2．【点评】：本题考查了抽象函数的性质，基本不等式求最值，属于难题．13.（单选题，5分）已知等比数列{a n}的公比为q（q≠0），S n是{a n}的前n项和．则“数列{a n}单调递减”是“a1＞a3，S2＞S4”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：由等比数列的通项公式和数列的单调性的定义，结合充分必要条件的定义可得结论．【解答】：解：由a1＞a3，S2＞S4，可得a1＞a1q2，a1+a1q＞a1+a1q+a1q2+a1q3，即为a1（1-q2）＞0，a1（1+q）＜0，若a1＞0，则-1＜q＜1，且q≠0，又q＜-1，可得q∈∅；若a1＜0，则q＞1或q＜-1，又q＞-1，可得q＞1，综上可得，数列{a n}单调递减；但“数列{a n}单调递减“推不到“a1＞a3，S2＞S4”，所以“数列{a n}单调递减”是“a1＞a3，S2＞S4”的必要不充分条件，故选：B．【点评】：本题考查等比数列的通项公式的运用，以及数列的单调性的判断和充分必要条件的定义，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．14.（单选题，5分）下列四个命题中真命题是（）A.同垂直于一直线的两条直线互相平行B.底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C.过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D.过球面上任意两点的大圆有且只有一个【正确答案】：C【解析】：A，同垂直于一直线的两条直线的位置关系不定；B，底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱底面不一定是正方形；C，两条异面直线的公垂线是唯一的，所以过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条；D，过球面上任意两点的大圆有无数个；【解答】：解：对于A，同垂直于一直线的两条直线不一定互相平行，故错；对于B，底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是直四棱柱，不一定是正四棱柱，故错；对于C，两条异面直线的公垂线是唯一的，所以过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条，正确；对于D ，过球面上任意两点的大圆有无数个，故错； 故选：C ．【点评】：本题考查了命题真假的判定，属于基础题．15.（单选题，5分）已知 a ⃗ ， b ⃗⃗ ， c ⃗ 和 d ⃗ 为空间中的4个单位向量，且 a ⃗ +b ⃗⃗ +c ⃗ = 0⃗⃗ ，则| a ⃗ −d ⃗ |+| b ⃗⃗ −d ⃗ |+| c ⃗ −d ⃗ |不可能等于（ ） A.3 B.2 √3 C.4 D.3 √2【正确答案】：A【解析】：首先由三个向量和为0向量得到三向量共面且两两成120度，再分情况考虑 d ⃗ ，不难得解．【解答】：解：设向量 a ⃗，b ⃗⃗，c ⃗，d ⃗ 分别对应向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由 a ⃗+b ⃗⃗+c ⃗=0⃗⃗ 可知三个向量两两夹角为120°， 如图，当D 与A 重合时，所求值为2 √3 ； 当D 与M 重合时，所求值为4； 当OD⊥平面ABC 时，所求值为3 √2 ． 故选：A ．【点评】：此题考查了向量的几何意义，分类讨论，数形结合等，难度适中．16.（单选题，5分）函数f （x ）的定义域为D ，若f （x ）存在反函数，且f （x ）的反函数就是它本身，则称f （x ）为自反函数．有下列四个命题： ① 函数 f (x )=−xx+1 是自反函数；② 若f（x）为自反函数，则对任意的x∈D，成立f（f（x））=x；③ 若函数f(x)=√1−x2(a≤x≤b)为自反函数，则b-a的最大值为1；④ 若f（x）是定义在R上的自反函数，则方程f（x）=x有解．其中正确命题的序号为（）A. ① ② ③B. ① ② ④C. ② ③ ④D. ① ② ③ ④【正确答案】：D【解析】：由反函数跟自反函数定义逐一进行判断．，【解答】：解：① ，因为f（x）=- xx+1定义域为{x|x≠-1}，，设y=- xx+1所以y（x+1）=-x，，解得x=- yy+1（x≠-1），所以f（x）的反函数为y=- xx+1即f（x）反函数为它本身，满足自反函数定义，故① 正确，排除C；对于③ ，要使f（x）= √1−x2有意义，则1-x2≥0，即-1≤x≤1，因为f（x）为[a，b]上的自反函数，所以[a，b]⊆[-1，0]或[a，b]⊆[0，1]，所以则b-a的最大值为1，③ 正确，排除B；对于④ ，因为互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称，而f（x）为定义在R上的自反函数，故f（x）图象关于y=x对称且与y=x有交点，所以方程f（x）=x有解，故④ 正确；故选：D．【点评】：本题考查了反函数的求法，属于基础题．17.（问答题，14分）在四棱锥P-ABCD中，底面为梯形，AB || CD，∠BAP=∠CDP=90°，PA=PD=AB=2，PA⊥PD，四棱锥P-ABCD的体积为4．（1）求证：AB⊥平面PAD；（2）求PC与平面ABCD所成角．【正确答案】：【解析】：（1）证明CD⊥DP．AB⊥DP，然后证明AB⊥平面PAD．（2）作AD的中点E，连结PE，CE，说明PE为四棱锥P-ABCD的高，∠PCE为PC与平面ABCD所成角．通过四棱锥P-ABCD的体积，求解得CD=4．在Rt△PEC中，求解PC与平面ABCD所成角．【解答】：（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴AB⊥AP，CD⊥DP．又AB || CD，∴AB⊥DP．∵AP∩DP=P，AP，DP⊂面PAD，∴AB⊥平面PAD．（2）解：作AD的中点E，连结PE，CE，∵PA=PD，PA⊥PD，∴PE⊥AD，AD=2√2，PE=12AD=√2．由（1）AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，又AB∩AD=A，AB，AD⊂面ABCD，所以PE⊥平面ABCD，即PE为四棱锥P-ABCD的高，∠PCE为PC与平面ABCD所成角．四棱锥P-ABCD的体积为4=13S梯形ABCD•PE=13•AB+CD2•AD•PE=13•2+CD2•2√2•√2，得CD=4．在Rt△PDC中，PC=√PD2+DC2=√22+42=2√5．在Rt△PEC中，sin∠PCE=PEPC =√22√5=√1010，∠PCE=arcsin√1010．所以PC与平面ABCD所成角为arcsin√1010．【点评】：本题考查几何体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用．考查空间想象能力以及计算能力．18.（问答题，14分）已知函数f（x）=x，g（x）=x2-mx+4，m∈R．（1）当m=4时，解不等式g（x）＞|f（x）-2|．（2）若对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得g（x1）=f（x2），求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）当m=4时，不等式g（x）＞|f（x）-2|可化为|x-2|＞1，解之即可；（2）可求得当x∈[1，2]时，f（x）∈[1，2]，依题意，1≤x2-mx+4≤2恒成立⇔ (x+2x ) max≤m≤ (x+3x )min，利用对勾函数的性质分别求得(x+2x)max与(x+3x)min，即可求得实数m的取值范围．【解答】：解：（1）当m=4时，不等式g（x）＞|f（x）-2|可化为：|x-2|2＞|x-2|，即|x-2|＞1，解得x＞3或x＜1，故不等式g（x）＞|f（x）-2|的解集为{x|x＞3或x＜1}．（2）∵f（x）=x，∴当x∈[1，2]时，f（x）∈[1，2]；又g（x）=x2-mx+4，x∈[1，2]，对于任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使得g（x1）=f（x2）成立，∴g（x）的值域是f（x）的值域的子集，即当x∈[1，2]时，1≤x2-mx+4≤2恒成立⇔ (x+2x )max≤m≤ (x+3x)min，又当x∈[1，2]时，由对勾函数的性质可得y=x+ 2x ∈[2 √2，3]，y=x+ 3x∈[2 √3，4]，∴3≤m≤2 √3，即m的取值范围为[3，2 √3 ]．【点评】：本题考查函数恒成立问题与绝对值不等式的解法，考查化归与转化、函数与方程等数学思想，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．19.（问答题，14分）2021年10月13日第18号台风“圆规”在海南某地登陆，最大风力达到12级．路边一棵参天大树在树干某点B处被台风折断且形成120°角，树尖C着地处与树根A 相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设∠CAB=θ（A，B，C三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计）．（1）若θ=45°，求折断前树的高度（结果保留一位小数）；（2）问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由题意结合正弦定理可得ABsin15°=CBsin45°=10sin120°，代入计算即可；（2）设△4BC的内接矩形DEFG的边DE在AC上且DE=2，设DG=EF=h，由∠CAB=θ，构建函数h= 8sinθsin(60°−θ)sin60°，再结合θ范围求得h范围，然后与救援车高比较即可得到答案．【解答】：解：（1）在△ABC中，∠CBA=120°，∠CAB=45°，所以∠BCA-15°，由正弦定理，得ABsin15°=CBsin45°=10sin120°，所以AB+BC= 10sin120°（sin15°+sin45°）= 15√2+5√63≈11.2，答：折断前树的高度11.2米；（2）如图，设△4BC 的内接矩形DEFG 的边DE 在AC 上且DE=2，设DG=EF=h ， 因为∠CAB=θ，∠CBA=120°，所以∠BCA=60°-θ， 所以AD+CE+DE= ℎtanθ + ℎtan (60°−θ) +2=10， 所以h[ cosθsinθ + cos (60°−θ)sin (60°−θ)]=8， h=8sinθsin (60°−θ)sin60° = √3√34 sin2θ- 1−cos2θ4 ）= 8√33sin (2θ+π6)−4√33， 因为θ∈（0， π3 ），所以 2θ+π6∈(π6，5π6) ， 所以sin （2θ+ π6 ）∈（ 12 ，1]，所以h∈（0， 4√33]， 由于4√33＜2.5， 所以高2.5米的救援车不能从此处通过．【点评】：本题考查了解三角形的应用，正弦定理，三角函数值域的求法，属于中档题． 20.（问答题，16分）已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点 A(√6，0) 在椭圆上，且 AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3 ，点P ，Q 是椭圆上关于坐标原点O 对称的两点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 在第一象限，PN⊥x 轴于点N ，直线QN 交椭圆于点M （不同于Q 点），试求∠MPQ 的值；（3）已知点R 在椭圆上，直线PR 与圆x 2+y 2=2相切，连接QR ，问： |PR||QR| 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．【正确答案】：【解析】：第一问要弄清楚A 点就是椭圆的右顶点，第二问要设而不解，计算较繁琐，通过计算找出两直线PM 和PQ 是垂直关系，第三问要分直线PR 的斜率是否存在两种情况进行讨论．【解答】：解：（1）．∵点 A(√6，0) 在椭圆上． ∴a= √6 ．又∵ AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−c −√6，0) ， AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(c −√6，0) ．∴ AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6-c 2=3．∴c 2=3，b 2=3． ∴椭圆C的标准方程：x 26+y 23=1 ．（2）．设P （x 0，y 0）（x 0＞0，y 0＞0），M （x 1，y 1）则Q （-x 0，-y 0），N （x 0，0）． 因为M 、N 、Q 三点共线，所以 y 1x1−x 0=y02x 0，所以 y 1=y 0(x 1−x 0)2x 0① ． 联立 {x 026+y 023=1x 126+y 123=1，两式相减得 y 1−y 0x 1−x 0=−x 1+x2(y 1+y 0)． ② 将 ① 代入 ② 中的右边的分母中，化简可得： y 1−y 0x 1−x 0=−x 0y 0，所以K PM = −x0y 0，又因为K PQ = y 0x 0， 所以K PM •K PQ =-1，所以PM⊥PQ ， 所以∠MPQ= π2 ．（3）． ① 当直线PR 的斜率不存在时，依题意可得直线PR 的方程为x= √2 或x=- √2 ． 若直线PR ：x= √2 ，则直线PQ ：y=x ，可得P （ √2 ， −√2 ），Q （- √2 ，- √2 ），R （ √2 ，- √2 ）．则|PR|= 2√2 ，|QR|= 2√2 ，所以 |PR||RQ|=1 ． 其他情况由对称性同理可得 |PR||RQ|=1 ．② 当直线PR 的斜率存在时，设直线PR 的方程为y=kx+m ， 因为直线与圆O 相切，所以圆心O 到直线PR √k 2+1=√2 ，即|m|= √2(1+k 2) ．设P （x 1，y 1），R （x 2，y 2），则Q （-x 1，-y 1）．联立 {y =kx +m x 26+y 23=1 ，消去y ，得（1+2k 2）x 2+4kmx+2m 2-6=0，Δ＞0．则x 1+x 2= −4km 1+2k 2 ，x 1x 2= 2m 2−61+2k 2．所以|PR|= √1+k 2•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =2√2√1+k 2•√6k 2−m 2+31+2k 2 = 2√2√1+k 2•√1+4k 21+2k 2． 因为|QR|= √(x 1+x 2)2+(y 1+y 2)2 ．又因为y 1+y 2=k （x 1+x 2）+2m= k (−4km1+2k 2)+2m =2m1+2k 2 ． 所以|QR|= √(−4km 1+2k 2)2+(2m1+2k 2)2= 2|m|√1+4k 21+2k 2 = 2√2√1+k 2•√1+4k 21+2k 2=|PR | ．即 |PR||QR|=1 ． 综上所述， |PR||QR|=1 ．【点评】：本题考查了椭圆的定义标准方程、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.（问答题，18分）已知数列{a n }满足a 1=0，|a n+1-a n |=n ，且a n ≤ n−12(n ∈N ∗) ．（1）求a 4的所有可能取值；（2）若数列{a 2n }单调递增，求数列{a 2n }的通项公式； （3）对于给定的正整数k ，求S k =a 1+a 2+⋯+a k 的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）根据数列的递推公式，即可求出a 4的所有可能取值；（2）根据数列{a 2n }单调递增，且a 2=-1，a 4=0，判断数列{a n }中相邻两项不可能同时为非负数，结合题意判断数列{a 2n }是等差数列，从而求出数列{a 2n }的通项公式；（3）根据（2）知a n ，a n+1不能都为非负数，讨论n 为奇数和n 为偶数时，a n+1+a n 的取值情况，从而求出k 为奇数时和k 为偶数时，S k 的最大值．【解答】：解：（1）数列{a n }满足a 1=0，|a n+1-a n |=n ，且a n ≤ n−12（n∈N *）， 所以|a 2-0|=1，a 2=1（不合题意，舍去），或a 2=-1； 当a 2=-1时，|a 3+1|=2，解得a 3=1，或a 3=-3；当a 3=1时，|a 4-1|=3，解得a 4=4（不合题意，舍去），或a 4=-2， 当a 3=-3时，|a 4+3|=3，解得a 4=0，或a=-6， 所以a 4的所有可能取值是-2，0，-6；（2）因为数列{a2n}单调递增，且a2=-1，a4=0，所以a2n≥0对n≥2成立；下面证明数列{a n}中相邻两项不可能同时为非负数；假设数列{a n}中存在a i，a i+1同时为非负数，因为|a i+1-a i|=i，若a i+1-a i=i，则a i+1=a i+i≥i＞(i+1)−12，与已知条件矛盾；若a i+1-a i=-i，则a i+1=a i+i≥i＞i−12，与已知条件矛盾；所以假设错误，即数列{a n}中相邻两项不可能同时为非负数，即a2n≥0对n≥2成立；所以当n≥2时，a2n-1≤0，a2n+1≤0，即a2n-1≤a2n，a2n+1≤a2n，所以a2n-a2n-1=2n-1，a2n-1-a2n-2=-（2n-2），（a2n-a2n-1）+（a2n-1-a2n-2）=（2n-1）-（2n-2）=1，即a2n-a2n-2=1，其中n≥2，即数列{a2n}是首项为-1，公差为1的等差数列，所以数列{a2n}的通项公式为a2n=-1+（n-1）×1=n-2；（3）对于给定的正整数k，S k=a1+a2+⋯+a k，由（2）的证明知，a n，a n+1不能都为非负数，当a n≥0时，a n+1＜0，根据|a n+1-a n|=n，得到a n+1=a n-n，所以a n+a n+1=2a n-n≤2× n−12-n≤-1，当a n+1≥0时，a n＜0，根据|a n+1-a n|=n，得到a n=a n+1-n，所以a n+a n+1=2a n+1-n≤2× n+1−12-n≤0，所以总有a n+a n+1≤0成立，当n为奇数时，|a n+1-a n|=n，所以a n+1，a n的奇偶性不同，则a n+a n+1≤-1，当n为偶数时，a n+1+a n≤0，所以k为奇数时，S k=a1+（a2+a3）+...+（a k-1+a k）≤0，考虑数列：0，-1，1，-2，2，...，- k−12，k−12，...，可以验证所给的数列满足条件，且S k=0，所以S k的最大值为0．得到a n+1=a n-n，所以a n+a n+1=2a n-n≤2× n−12-n≤-1，当k为偶数时，S k=（a1+a2）+...+（a k-1+a k）≤- k2，考虑数列：0，-1，1，-2，2，...，- k−12，k−12，- k2，...，可以验证所给的数列满足条件，且S k=- k2，所以S k的最大值为- k2．综上知，k为奇数时，S k的最大值为0，k为偶数时，S k的最大值为- k2．【点评】：本题考查了递推数列的应用问题，也考查了推理与运算能力，以及分类讨论思想，是难题．。
2020-2021学年北京市海淀区高三(上)期中数学试卷
2020-2021学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）已知集合A＝{x|x﹣3≤0}，B＝{0，2，4}（）A．{0，2}B．{0，2，4}C．{x|x≤3}D．{x|0≤x≤3} 2．（4分）已知向量＝（m，2），＝（2，﹣1）．若∥，则m的值为（）A．4B．1C．﹣4D．﹣13．（4分）命题“∃x＞0，使得2x≥1”的否定为（）A．∃x＞0，使得2x＜1B．∃x≤0，使得2x≥1C．∀x＞0，都有2x＜1D．∀x≤0，都有2x＜14．（4分）设a，b∈R，且a＜b＜0，则（）A．＜B．＞C．＞D．+＞2 5．（4分）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y＝2lnx B．y＝|x3|C．y＝x﹣D．y＝cos x6．（4分）已知函数f（x）＝lnx+x﹣4，在下列区间中（x）零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）7．（4分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝a n（n＝1，2，3，…），则a2020＝（）A．0B．1C．2020D．20218．（4分）已知函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移t（t ＞0），得到函数y＝f（x）的图象．若函数y＝f（x），则t的最小值是（）A．B．C．D．9．（4分）设x，y是实数，则“0＜x＜12x+log2y＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．（4分）对于函数f（x），若集合{x|x＞0，f（x）＝f（﹣x），则称函数f（x）是“k阶准偶函数”．若函数f（x）＝，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．[0，2）C．[0，4）D．[2，4）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）若复数z＝（1+i）i，则|z|＝．12．（5分）已知tan（θ﹣）＝2，则tanθ＝．13．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n.若a1＝9，公差d＝﹣2，则S n的最大值为．14．（5分）在边长为2的正三角形ABC中，M是BC的中点，D是线段AM的中点．①若＝x+y；②＝．15．（5分）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，它以1rad/s的角速度逆时针旋转．轮子外边沿有一点P，点P到船底的距离是H（单位：m）（单位：s）．当t＝0时，点P在轮子的最高点处．①当点P第一次入水时，t＝；②当t＝t0时，函数H（t）的瞬时变化率取得最大值0的最小值是．三、解答题共6小题，共85分。
2020-2021学年福建省福州市八县(市)一中高三(上)期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年福建省福州市八县（市）一中高三（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣5x﹣6≤0}，B＝{x|2＜2x＜128}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x≤6}B．{2，3，4，5，6}C．{x|1≤x≤6}D．{﹣1，0，1，2，3，4，5，6}2．已知p：“函数y＝x2+2ax+1在（1，+∞）上是增函数”，q：“a＞﹣2”，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，如果f （3）＝﹣1，则不等式f（x﹣1）+1≥0的解集为（）A．（﹣∞，2]B．[2，+∞）C．[﹣2，4]D．[1，4]4．如图是一个正方体的展开图，则在该正方体中（）A．直线AB与直线CD平行B．直线AB与直线CD相交C．直线AB与直线CD异面垂直D．直线AB与直线CD异面且所成的角为60°5．记S n为正项等比数列{a n}的前n项和，若S2＝1，S4＝5，则S7＝（）A．S7＝10B．C．D．6．已知m＞0，n＞0，m+4n＝2，则的最小值为（）A．36B．16C．8D．47．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称，那么函数y＝f（x）的图象（）A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称8．已知可导函数f（x）的定义域为（﹣∞，0），其导函数f′（x）满足xf'（x）﹣2f（x）＞0，则不等式f（2020+x）﹣（x+2020）2f（﹣1）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2021）B．（﹣2021，﹣2020）C．（﹣2021，0）D．（﹣2020，0）二、选择题（共4小题）.9．已知复数z满足z（2﹣i）＝i（i为虚数单位），复数z的共轭复数为，则（）A．B．＝﹣C．复数z的实部为﹣1D．复数z对应复平面上的点在第二象限10．已知A（2，4），B（4，1），C（9，5），D（7，8），如下四个结论正确的是（）A．B．四边形ABCD为平行四边形C．与夹角的余弦值为D．11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，a cos B+b sin A＝c，则下列结论正确的是（）A．tan C＝2B．C．D．△ABC的面积为612．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝BB1，D是AC的中点，O为A1C 的中点．点P是BC1上的动点，则下列说法正确的是（）A．当点P运动到BC1中点时，直线A1P与平面A1B1C1所成的角的正切值为B．无论点P在BC1上怎么运动，都有A1P⊥OB1C．当点P运动到BC1中点时，才有A1P与OB1相交于一点，记为Q，且D．无论点P在BC1上怎么运动，直线A1P与AB所成角都不可能是30°三、填空题（共4小题）.13．若cos（﹣θ）＝，则sin2θ＝．14．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2﹣3n﹣1，则a n＝．15．在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB垂直平面ABC，，∠BAC＝120°，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为．16．函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），当x＞1时，，若f2（x）﹣2mf（x）+4m＝0有8个不同的实数解，则实数m的取值范围是．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2021届北京市朝阳区高三上学期期中考试质量检测数学试题
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件北京市朝阳区2020〜2021学年度第一学期期中质量检测高三数学试卷2020.11（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项.1.已知集合4 =卜52-工一2<0}, B = {-1,0,123},则AA8 =【答案】B3sin( -- x)=」，贝ij sin2A-(2 5【答案】C4.如图，在aABC 中，。
是BC 的中点,若= = （【答案】c51加>11西'是“3°>3g 的（） B. {TO 』,2}C. {0,1,2}D. {0,123}12A.— 25n24 B.— 25c 24 D. 一一25【答案】B3.己知〃 =2-，b = log?!，c ~ a ，贝 Ij(J£ DA. a>b>cB. a>ohC. c>a>bD. c>b> aA- 3a-2bB. a-2bD.C.充分必要条件【答案】A6.已知函数/(x)=弓sin — (刃＞ 0)的图象与直线尸1的相邻两个交点间的距离等于冗,贝力/U) 的图象的一条对称轴是() 乃九冗A. x =---- B. x =—C. x =---12123【答案】D7.在aABC 中，AB=4, AC=3,且I 而+/1=19一正I,则CX =( A. -12B. -9C. 9【答案】B1 38.己知,ZU)是定义在R 上的偶函数，且当X £(-8, 0]时，/(工)=2'+ —，则/(1(^2二)=()3 2 1711 A. —B. 1C. -D.—27 11【答案】B9.己知函数/*•) =「+ 7'若存在实数叽使得/(〃?)= 2/一4。
2020-2021高三数学上期中试卷含答案(3)
2020-2021高三数学上期中试卷含答案(3)一、选择题1．已知首项为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1008a 和1009a 是方程2201720180x x --=的两根，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ）A ．1008B ．1009C ．2016D ．20172)63a -≤≤的最大值为（ ）A ．9B ．92C ．3 D ．23．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*11n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7SD ．n S 的最小值是7S5．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．2744n n +B ．2533n n+C ．2324n n+D ．2n n +6．等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2018B ．2019C ．4036D ．40377．20,{0,0x y z x y x y x y y k+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6，z 的最小值为（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-38．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A BC 的对边,若sin cos 0b A B -=,且2b ac =，则a cb+的值为( ) A．2BC ．2D ．49．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7B ．5C ．5-D ．7-10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016·(a 2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( ) A ．S 2 016＝－2 016，a 2 013>a 4 B ．S 2 016＝2 016，a 2 013>a 4 C ．S 2 016＝－2 016，a 2 013<a 4 D ．S 2 016＝2 016，a 2 013<a 4 11．若0,0x y >>，且211x y+=，227x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(8,1)-B ．(,8)(1,)-∞-⋃+∞C ．(,1)(8,)-∞-⋃+∞D ．(1,8)-12．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin 23sin 0b A a B +=，3b c =，则ca的值为（ ） A ．1B ．3 C ．5 D ．7 二、填空题13．等差数列{}n a 中，1351,14,a a a =+=其前n 项和100n S =，则n=＿＿14．如图,无人机在离地面高200m 的A 处,观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN 为_________m.15．已知数列{}n a 满足11a =，132n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式为________． 16．已知在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c +=，则C ∠的取值范围为________17．不等式211x x --<的解集是 ．18．设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0，则a ＝__________．19．（理）设函数2()1f x x =-，对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，2()4()(1)4()xf m f x f x f m m-≤-+恒成立，则实数m 的取值范围是______． 20．设变量,x y 满足约束条件：21y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值为__________．三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=．（1）求数列{}n a 通项公式； （2）令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 22．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且sin 1cos a CA=-.（1）求角A 的大小；（2）若10b c +=，ABC ∆的面积ABC S ∆=a 的值.23．已知数列{}n a 是公差为2-的等差数列，若1342,,a a a +成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令12n n n b a -=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ,求满足0n S ≥成立的n 的最小值.24．已知在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos 0a B b A -=． （1）求角A 的大小：（2）若a =2b =．求ABC V 的面积． 25．等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．26．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是公比大于零的等比数列，且112a b ==,338a b ==.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; （2）记n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n S .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】依题意知100810091008100920170,20180a a a a +=>=-<，Q 数列的首项为正数，()()1201610081009100810092016201620160,0,022a a a a a a S +⨯+⨯∴>∴==，()12017201710092017201702a a S a+⨯==⨯<，∴使0n S >成立的正整数n 的最大值是2016，故选C.2．B解析：B 【解析】 【分析】根据369a a -++=是常数，可利用用均值不等式来求最大值. 【详解】 因为63a -≤≤， 所以30,60a a ->+> 由均值不等式可得：36922a a -++≤= 当且仅当36a a -=+，即32a =-时，等号成立， 故选B. 【点睛】本题主要考查了均值不等式，属于中档题.3．D解析：D 【解析】 【分析】把已知2214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，【详解】因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即211111(21)(46).2a a a a -=-=-，故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．4．D解析：D 【解析】 【分析】将所给条件式变形，结合等差数列前n 项和公式即可证明数列的单调性，从而由870a a +<可得7a 和8a 的符号，即可判断n S 的最小值.【详解】由已知，得()11n n n S nS ++<， 所以11n n S S n n +<+， 所以()()()()1111221n n n a a n a a n n ++++<+， 所以1n n a a +<，所以等差数列{}n a 为递增数列. 又870a a +<，即871a a <-， 所以80a >，70a <，即数列{}n a 前7项均小于0，第8项大于零， 所以n S 的最小值为7S ， 故选D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用，等差数列单调性的证明和应用，前n 项和最值的判断，属于中档题.5．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】 设公差为d 则解得，故选A.6．C解析：C 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和公式，结合已知条件列不等式组，进而求得使前n 项和0n S >成立的最大正整数n .由于等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，所以0d <，且2018201900a a >⎧⎨<⎩，所以()1403640362018201914037201940374036201802240374037022a a S a a a a a S +⎧=⨯=+⨯>⎪⎪⎨+⎪=⨯=⨯<⎪⎩，所以使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是4036.故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.7．D解析：D 【解析】作出不等式对应的平面区域， 由z=x+y,得y=−x+z,平移直线y=−x+z ，由图象可知当直线y=−x+z 经过点A 时，直线y=−x+z 的截距最大， 此时z 最大为6.即x+y=6.经过点B 时，直线y=−x+z 的截距最小，此时z 最小． 由6{x y x y +=-=得A(3,3)，∵直线y=k 过A ， ∴k=3. 由3{20y k x y ==+=,解得B(−6,3).此时z 的最小值为z=−6+3=−3， 本题选择D 选项.点睛：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：b zy x a b =-+，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．解析：A 【解析】 【分析】由正弦定理，化简求得sin 0B B =，解得3B π=，再由余弦定理，求得()224b a c =+，即可求解，得到答案．【详解】在ABC ∆中，因为sin cos 0b A B -=,且2b ac =，由正弦定理得sin sin cos 0B A A B =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以sin 0B B =，即tan B =3B π=，由余弦定理得222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()224b a c =+，解得2a cb+=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.9．D解析：D 【解析】 【分析】由条件可得47a a ，的值，进而由27104a a a =和2417a a a =可得解.【详解】56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=Q 或474,2a a ==-.由等比数列性质可知2274101478,1a a a a a a ==-==或2274101471,8a a a a a a ====-1107a a ∴+=-故选D. 【点睛】本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.10．D【解析】∵(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝－1， ∴(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＋(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝0， 设a 4－1＝m ，a 2 013－1＝n ， 则m 3＋2 016m ＋n 3＋2 016n ＝0， 化为(m ＋n )·(m 2＋n 2－mn ＋2 016)＝0， ∵2222132?0162016024m n mn m n n ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭＋－＋，∴m ＋n ＝a 4－1＋a 2 013－1＝0， ∴a 4＋a 2 013＝2，∴()()1201642013201620162016201622a a a a S ++===.很明显a 4－1>0，a 2 013－1<0，∴a 4>1>a 2 013， 本题选择D 选项.11．A解析：A 【解析】 【分析】 将代数式21x y+与2x y +相乘，展开式利用基本不等式求出2x y +的最小值8，将问题转化为解不等式()2min 72m m x y +<+，解出即可. 【详解】由基本不等式得()21422448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当()4,0y xx y x y=>，即当2x y =时，等号成立，所以，2x y +的最小值为8. 由题意可得()2min 728m m x y +<+=，即2780m m +-<，解得81m -<<. 因此，实数m 的取值范围是(8,1)-，故选A. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法，对于不等式恒成立问题，常转化为最值来处理，考查计算能力，属于中等题．12．D解析：D 【解析】分析：由正弦定理可将sin2sin 0b A B =化简得cosA 2=-，由余弦定理可得222227a b c bccosA c =+-=，从而得解.详解：由正弦定理，sin23sin 0b A a B +=，可得sin23sin 0sinB A sinA B +=， 即2sin 3sin 0sinB AcosA sinA B += 由于：0sinBsinA ≠， 所以3cosA =-：， 因为0＜A ＜π，所以5πA 6=． 又3b c =，由余弦定理可得22222222337a b c bccosA c c c c =+-=++=. 即227a c =，所以7c a =. 故选：D ．点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．二、填空题13．10【解析】【分析】【详解】故则故n=10解析：10 【解析】 【分析】 【详解】1351,14,a a a =+=故126d 14,2a d +=∴=，则()1n 21002n n n S -=+⨯=故n=1014．300【解析】试题分析：由条件所以所以这样在中在中解得中故填：300考点：解斜三角形【思路点睛】考察了解三角形的实际问题属于基础题型首先要弄清楚两个概念仰角和俯角都指视线与水平线的夹角将问题所涉及的解析：300 【解析】试题分析：由条件，,所以,,,所以,,这样在中，,在中，，解得,中，，故填：300.考点：解斜三角形【思路点睛】考察了解三角形的实际问题，属于基础题型，首先要弄清楚两个概念，仰角和俯角，都指视线与水平线的夹角，将问题所涉及的边和角在不同的三角形内转化，最后用正弦定理解决高度.15．【解析】【分析】待定系数得到得到【详解】因为满足所以即得到所以而故是以为首项为公比的等比数列所以故故答案为：【点睛】本题考查由递推关系求数列通项待定系数法构造新数列求通项属于中档题 解析：1231n -⋅-【解析】 【分析】待定系数得到()13n n a a λλ++=+，得到λ 【详解】因为{}n a 满足132n n a a +=+， 所以()13n n a a λλ++=+， 即132n n a a λ+=+，得到1λ=， 所以()1131n n a a ++=+， 而112a +=，故{}1n a +是以2为首项，3为公比的等比数列，所以1123n n a -+=⋅，故1231n n a -=⋅-.故答案为：1231n -⋅-. 【点睛】本题考查由递推关系求数列通项，待定系数法构造新数列求通项，属于中档题.16．【解析】【分析】将已知条件平方后结合余弦定理及基本不等式求解出的范围得出角的范围【详解】解：在中即当且仅当是取等号由余弦定理知故答案为：【点睛】考查余弦定理与基本不等式三角函数范围问题切入点较难故属 解析：(0,]3π【解析】 【分析】将已知条件平方后，结合余弦定理，及基本不等式求解出cos C 的范围.得出角C 的范围. 【详解】解：在ABC V 中，2a b c +=Q ，22()4a b c ∴+=，222422a b c ab ab ∴+=-≥，即2c ab ≥，当且仅当a b =是，取等号，由余弦定理知，222223231cos 12222a b c c ab c C ab ab ab +--===-≥， 03C π∴<≤.故答案为：(0,]3π.【点睛】 考查余弦定理与基本不等式，三角函数范围问题，切入点较难，故属于中档题.17．【解析】【分析】【详解】由条件可得解析：{}|02x x <<【解析】【分析】【详解】由条件可得18．【解析】【分析】【详解】当时代入题中不等式显然不成立当时令 都过定点考查函数令则与轴的交点为时均有也过点解得或（舍去）故解析：32a =【解析】【分析】【详解】当时，代入题中不等式显然不成立 当时，令， ，都过定点 考查函数，令，则与轴的交点为 时，均有 也过点解得或（舍去）， 故19．或【解析】【分析】先化简不等式再变量分离转化为对应函数最值问题最后根据二次函数最值以及解不等式得结果【详解】即即因为当时所以或故答案为：或【点睛】本题考查不等式恒成立问题以及二次函数最值考查综合分析 解析：3m ≤或3m ≥ 【解析】【分析】先化简不等式，再变量分离转化为对应函数最值问题，最后根据二次函数最值以及解不等式得结果.【详解】 2()4()(1)4()x f m f x f x f m m-≤-+Q 22222()14(1)(1)14(1)x m x x m m∴---≤--+- 即2221(41)230m x x m +---≥ 即222123341,()2m x m x x +-≥+≥ 因为当32x ≥时22323839324x x +≤+= 所以2221834134m m m +-≥∴≥∴32m ≤-或32m ≥ 故答案为：32m ≤-或32m ≥ 【点睛】本题考查不等式恒成立问题以及二次函数最值，考查综合分析求解能力，属中档题.20．-10【解析】作出可行域如图所示：由得平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时最小由得此时故答案为解析：-10【解析】作出可行域如图所示：由3z x y =-得33x z y =-，平移直线33x z y =-，由图象可知当直线经过点A 时，直线33x z y =-的截距最大，此时z 最小 由1{2x x y =-+=得(1,3)A -，此时13310z =--⨯=- 故答案为10-三、解答题21．（1）n a n =；（2）1n n T n =+ . 【解析】【分析】（1）根据{}n a 和n S 关系得到答案.（2）首先计算数列{}n b 通项，再根据裂项求和得到答案.【详解】解：（1）当1n =时，111a S ==当2n ≥时，()11n n n n a S S n n a n -=-==∴=时符合（2）()11111n b n n n n ==-++ 11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 【点睛】本题考查了{}n a 和n S 关系，裂项求和，是数列的常考题型.22．（1）3A π=；（2） 【解析】【分析】（1）把sin 1cos a C A =-中的边化为角的正弦的形式，再经过变形可得sin()32A π+=进而可求得3A π=．（2）由ABC S ∆=16bc =，再由余弦定理可求得a =．【详解】（1）由正弦定理及sin 1cos a C A =-得sin sin 1cos A C C A =-， ∵sin 0C ≠，∴)sin 1cos A A =-，∴sin 2sin 3A A A π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭∴sin 32A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又0A π<<， ∴4333A πππ<+<， ∴233A p p +=， ∴3A π=．（2）∵1sin 2ABC S bc A ∆==， ∴16bc =． 由余弦定理得()()222222cos233a b c bc b c bc bc b c bc π=+-=+--=+-， 又10b c +=，∴221031652a =-⨯=，a ∴=【点睛】解三角形经常与三角变换结合在一起考查，解题时注意三角形三个内角的关系．另外，使用余弦定理解三角形时，注意公式的变形及整体思想的运用，如()2222b c b c bc +=+-等，可简化运算提高解题的速度．23．（1）92n a n =-；（2）5.【解析】【分析】（1）根据等差数列{}n a 的公差为-2，且1342,,a a a +成等比数列列出关于公差d 的方程，解方程可求得d 的值，从而可得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可知1292n n b n -=-+，根据分组求和法，利用等差数列与等比数列的求和公式可得结果.【详解】（1）1342,,a a a +Q 成等比数列，()()()2111426a a a ∴-=+-，解得：17a =，92n a n ∴=-.（2）由题可知()()0121222275392n n S n -=++++-++++-L L ，()212812nn n -=--- 2281n n n =+--， 显然当4n ≤时，0n S <，580S =>,又因为5n ≥时，n S 单调递增，故满足0n S ≥成立的n 的最小值为5.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式以及等比数列的求和公式，利用“分组求和法”求数列前n 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.24．（1）4A π=（2）4 【解析】分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，整理后根据sin 0B ≠求出sin cos 0A A -=，即可确定出A 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，把a ，b ，cosA 的值代入求出c 的值，再由b ，sinA 的值，利用三角形面积公式求出即可．详解：在ABC V 中，由正弦定理得sin sin sin cos 0A B B A -=．即()sin sin cos 0B A A -=，又角B 为三角形内角，sin 0B ≠，所以sin cos 0A A -=04A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又因为()0,A π∈，所以4A π=．（2）在ABC V 中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-⋅，则222044c c ⎛⎫=+-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭． 即222160c --=． 解得22c =-（舍）或42c =．所以1224242S =⨯⨯⨯=．· 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.25．（1）3(1)12n a n n =+-⨯=+；（2）2101【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．由已知得()()1114{3615a d a d a d +=+++=， 解得13{1a d ==．所以()112n a a n d n =+-=+．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2n n b n =+．所以()()()()231012310212223210b b b b +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++ ()()2310222212310=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+ ()()1021211010122-+⨯=+- ()112255=-+112532101=+=．考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法．26．（1）31,2n n n a n b =-=；（2）1326n n +⨯--. 【解析】试题分析：（1）设出等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，且q>0．由已知列式求得等差数列的公差和等比数列的公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（2）由c n =a bn 结合数列{a n }和{b n }的通项公式得到数列{c n }的通项公式，结合等比数列的前n 项和求得数列{c n }的前n 项和S n ．试题解析：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且．由，得，解得．所以．由，得，又，解得．所以．（2）因为，所以．。
2021届福建省福州市八县(市)一中高三上学期期中联考数学试题(教师版含解析)
2020-2021学年度第一学期八县(市)一中期中试卷高中三年数学科试卷一､选择题(每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合{}{}2|560|22128xA x Z x xB x =∈--≤=<<，，则A B =( )A. {}|16x x <≤B. {}23456，，，， C. {}|16x x ≤≤ D. {}10123456-，，，，，，， 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A ，B ，再求两集合的交集即可【详解】解：由2560x x --≤得16x -≤≤，由于x ∈Z ， 所以{}{}2|5601,0,1,2,3,4,5,6A x Z x x =∈--≤-=，由22128x <<，得17x <<，所以{}{}|2212817xB x x x =<<=<< 所以A B ={}23456，，，，， 故选：B2. 已知p ：“函数221y x ax =++在(1,)+∞上是增函数”，q ：“2a >-”，则p 是q 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先求出命题p 对应的a 的取值范围，利用集合的包含关系即可判断. 【详解】由函数221y x ax =++在(1,)+∞上是增函数，因为221y x ax =++的对称轴为x a =-，开口向上，所有1a -≤，即1a ≥-，{}1a a ≥- {}2x a >-，∴p 是q 的充分不必要条件.故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： (1)若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； (2)若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； (3)若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；(4)若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应的集合与p 对应集合互不包含．3. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0,)+∞上是减函数，如果()31f =-，则不等式()110f x -+≥的解集为( )A. ](2-∞，B. [)2，+∞C. []24-，D. []14， 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得()f x 在[0，)+∞上为减函数，结合奇偶性以及()31f =-可得(|1|)f x f ⇒-|1|3x -，解出x 的取值范围，即可得答案．【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0，)+∞上是减函数， 所以()f x 在(,0)-∞上是增函数，由f (3)1=-，则不等式(1)10(1)1(1)f x f x f x f -+⇒--⇒-(3)(|1|)f x f ⇒-(3)|1|3x ⇒-， 解之可得24x -，故不等式的解集为[2-，4]． 故选：C ．【点睛】将奇偶性与单调性综合考查一直是命题热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.4. 下图是一个正方体的展开图，则在该正方体中( )A. 直线AB 与直线CD 平行B. 直线AB 与直线CD 相交C. 直线AB 与直线CD 异面垂直D. 直线AB 与直线CD 异面且所成的角为60°【答案】D 【解析】 【分析】首先画出正方体的展开图的立体图，从而得到直线AB 与直线CD 为异面直线，再求异面直线所成角即可得到答案.【详解】正方体的展开图的立体图形如图所示：由图知：直线AB 与直线CD 为异面直线，故A ，B 错误；连接CE ，DE ，因为//AB CE ，所以DCE ∠或其补角为异面直线AB 与CD 所成角. 又因为DCE 为等边三角形，所以60DCE ∠=.所以直线AB 与直线CD 异面且所成的角为60°，故C 错误，D 正确. 故选：D【点睛】本题主要考查异面直线成角问题，属于简单题.5. 记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若2415S S ==，，则7S =( ). A. 710S = B. 723S =C. 7623S =D. 71273S =【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列前n 项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出这个数列的前7项和． 【详解】n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，21S =，45S =，∴21410(1)11(1)51q a q qa q q ⎧⎪>⎪⎪-⎪=⎨-⎪⎪-⎪=-⎪⎩，解得113a =，2q ，771(12)1273123S -∴==-．故选：D ．6. 已知0042m n m n >>+=，，，则41m n+的最小值为( ) A. 36 B. 16C. 8D. 4【答案】C 【解析】 【分析】 巧用“1”拼凑()41141=42m n m n m n ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，应用基本不等式即得结果. 【详解】0042m n m n >>+=，，，()411411=4=82126m n m n m n m m n n ⎛⎫⎛⎫∴+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18=82⎛≥+ ⎝，当且仅当16=n m m n 时即11,4m n ==时等号成立，故41m n+的最小值为8. 故选：C.7. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0>ω，||2ϕπ<)，其图像相邻两条对称轴之间的距离为4π，将函数()y f x =的图像向左平移316π个单位后，得到的图像关于原点对称，那么函数()y f x =的图像( ) A. 关于点,016π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B. 关于点,016π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 关于直线4x π=对称D. 关于直线4πx =-对称 【答案】A 【解析】根据函数()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为4π，可求得()f x 的周期T ，进而可求得ω的值，根据平移后图像关于原点对称，利用正弦函数图像与性质，即可求得ϕ的值，分别求得()f x 的对称中心、对称轴的表达式，逐一分析选项，即可得答案.【详解】因为函数()f x 图像相邻两条对称轴之间的距离为4π， 所以24T π=，即2T π=，所以24Tπω==，即()sin(4)f x x ϕ=+， 将函数()y f x =的图像向左平移316π个单位后，得到函数3sin[4()]16y x πϕ=++的图像，且其关于原点对称， 所以3416k πϕπ⨯+=()k ∈Z ，又||2ϕπ<，令k =1， 解得4πϕ=，即()sin(4)4f x x π=+，令4,()4x k k Z ππ+=∈，解得,()416k x k Z ππ=-∈，即对称中心为(,0)416k ππ- 令k =0，则一个对称中心为,016π⎛⎫- ⎪⎝⎭，故A 正确，B 错误； 令4,()42x k k Z πππ+=+∈，解得,()416k x k Z ππ=+∈，即对称轴为,()416k x k Z ππ=+∈，故C 、D 错误， 故选：A【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，解题的关键在于，根据两对称轴间距离，分析图像，可求得ω的值，再根据平移后图像，求得ϕ的值，再求解即可；易错点为平移后解析式为3sin[4()]16y x πϕ=++，注意平移要对x 进行加减，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.8. 已知可导函数()f x 的定义域为(,0)-∞，其导函数()'f x 满足()2()0xf x f x '->，则不等式2(2020)(2020)(1)0f x x f +-+-<的解集为( )A. (,2021)-∞-B. (2021,2020)--C. (2021,0)-D. (2020,0)-【答案】B【分析】由题可得当(,0)x ∈-∞时，()2()0xf x f x '->，进而构造函数2()()f x g x x=，可判断()g x 在(,0)-∞上的单调性，进而可将不等式转化为(2020)(1)g x g +<-，利用()g x 的单调性，可求出不等式的解集．【详解】解：构造2()()(0)f x g x x x =<，则243()2()()2()()x f x x f x xf x f x g x x x ''⋅-⋅-'==，因为()2()0xf x f x '->，则()0g x '<∴函数()g x 在(,0)-∞上是减函数，∵不等式2(2020)(2020)(1)0f x x f +-+-<，且()2(1)(1)(1)1f g f --==--，等价于()()()()()2220201120201f x f g x +-<=-+-，即为(2020)(1)g x g +<-，所以2020120200x x +>-⎧⎨+<⎩，解得20212020x -<<-．故选：B【点睛】本题考查函数单调性的应用，构造函数2()()f x g x x=是解决本题的关键，属于中档题． 二､多选题(每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的5分，有选错的得0分，部分选对得3分)9. 已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则( ) A. 3||5z =B. 12i5z +=-C. 复数z 的实部为1-D. 复数z 对应复平面上的点在第二象限【答案】BD 【解析】 【分析】因为复数z 满足(2i)i z -=，利用复数的除法运算化简为1255z i =-+，再逐项验证判断. 【详解】因为复数z 满足(2i)i z -=，所以()(2)1222(2)55i i i z i i i i +===-+--+所以5z ==，故A 错误；1255z i =--，故B 正确； 复数z 的实部为15- ，故C 错误； 复数z 对应复平面上的点12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故D 正确. 故选：BD【点睛】本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题. 10. 已知(2,4),(4,1),(9,5),(7,8)A B C D ，如下四个结论正确的是( ) A. AB AC ⊥；B. 四边形ABCD 为平行四边形；C. AC 与BD 夹角的余弦值为145； D. 85AB AC +=【答案】BD 【解析】 【分析】求出向量,,,AB AC DC BD 坐标，再利用向量的数量积、向量共线以及向量模的坐标表示即可一一判断. 【详解】由(2,4),(4,1),(9,5),(7,8)A B C D ，所以()2,3AB =-，()7,1AC =，()2,3DC =-， ()3,7BD =, 对于A ，143110AB AC ⋅=-=≠，故A 错误；对于B ，由()2,3AB =-，()2,3DC =-，则AB DC =， 即AB 与DC 平行且相等，故B 正确；对于C ，cos ,14550AC BD AC BD AC BD⋅===，故C 错误；对于D ，()||9,2AB AC +=-=D 正确； 故选：BD【点睛】本题考查了向量的坐标运算、向量的数量积、向量模的坐标表示，属于基础题. 11. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c，若222sin a a b c ab C =+-=，cos sin a B b A c +=，则下列结论正确的是( )A. tan 2C =B. 4A π=C. b =D.ABC 的面积为6【答案】ABD 【解析】 【分析】利用余弦定理，结合题意，可求得tan C的值，根据cos sin a B b A c +=，利用正弦定理边化角，可求得A∠的值，利用正弦定理及面积公式，可求得b 的值及ABC 的面积，即可得答案. 【详解】因为222sin a b c ab C +-=，所以222sin sin cos 222a b c ab C C C ab ab +-===， 所以sin tan 2cos CC C==，故A 正确； 因为cos sin a B b A c +=，利用正弦定理可得sin cos sin sin sin A B B A C +=， 因为()C A B π=-+，所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+，所以sin cos sin si sin()sin cos cos sin n A A B B A B A B A B ++==+， 即sin sin cos sin B A A B = 因为(0,)B π∈，所以sin 0B ≠， 所以tan 1A =，又(0,)A π∈， 所以4A π=，故B 正确；因为tan 2C =，(0,)C π∈所以sin 55C C ==所以sin sin()sin cos cos sin 252510B AC A C A C =+=+=+=， 因为sin sin a b A B=，所以31010sin1032 sin2a BbA⨯===，故C错误；1125sin10326225△==⨯⨯⨯=ABCS ab C，故D正确；故选：ABD【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积的求法，解题的关键在于灵活应用正余弦定理及面积公式，考查计算化简的能力，属中档题.12. 已知直三棱柱111ABC A B C-中，AB BC⊥，1AB BC BB==，D是AC的中点，O为1A C的中点.点P是1BC上的动点，则下列说法正确的是()A. 当点P运动到1BC中点时，直线1A P与平面111A B C5B. 无论点P在1BC上怎么运动，都有11A P OB⊥C. 当点P运动到1BC中点时，才有1A P与1OB相交于一点，记为Q，且113PQQA=D. 无论点P在1BC上怎么运动，直线1A P与AB所成角都不可能是30°【答案】ABD【解析】【分析】构造线面角1PA E∠，由已知线段的等量关系求1tanEPPA EAE∠=的值即可判断A的正误；利用线面垂直的性质，可证明11A P OB⊥即可知B的正误；由中位线的性质有112PQQA=可知C的正误；由直线的平行关系构造线线角为11B A P ∠，结合动点P 分析角度范围即可知D 的正误 【详解】直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==选项A 中，当点P 运动到1BC 中点时，有E 为11B C 的中点，连接1A E 、EP ，如下图示即有EP ⊥面111A B C∴直线1A P 与平面111A B C 所成的角的正切值：1tan EPPA E AE∠= ∵112EP BB =，22111152AE A B B E BB =+= ∴15tan 5PA E ∠=，故A 正确选项B 中，连接1B C ，与1BC 交于E ，并连接1A B ，如下图示由题意知，11B BCC 为正方形，即有11B C BC ⊥而AB BC ⊥且111ABC A B C -为直三棱柱，有11A B ⊥面11B BCC ，1BC ⊂面11B BCC ∴111A B BC ⊥，又1111A B B C B =∴1BC ⊥面11A B C ，1OB ⊂面11A B C ，故11BC OB ⊥同理可证：11A B OB ⊥，又11A B BC B ⋂=∴1OB ⊥面11A BC ，又1A P ⊂面11A BC ，即有11A P OB ⊥，故B 正确选项C 中，点P 运动到1BC 中点时，即在△11A B C 中1A P 、1OB 均为中位线∴Q 为中位线的交点 ∴根据中位线的性质有：112PQ QA =，故C 错误选项D 中，由于11//A B AB ，直线1A P 与AB 所成角即为11A B 与1A P 所成角：11B A P ∠结合下图分析知：点P 在1BC 上运动时当P 在B 或1C 上时，11B A P ∠最大为45°当P 在1BC 中点上时，11B A P ∠最小为23arctan302>=︒ ∴11B A P ∠不可能是30°，故D 正确 故选：ABD【点睛】本题考查了利用射影定理构造线面角，并计算其正弦值；利用线面垂直证明线线垂直；中位线的性质：中位线交点分中位线为1：2的数量关系；由动点分析线线角的大小三､填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.若cos 410πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2θ=________． 【答案】45-【解析】【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得结果．【详解】解：若cos()4πθ-= 则214sin 2cos(2)2cos ()12124105ππθθθ=-=--=⨯-=-， 故答案为：45-． 【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．14. 已知数列{}n a 的前n 项和231n S n n =--，则n a =__________.【答案】31242n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩，， 【解析】【分析】由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解即可 【详解】解：当1n =时，111313a S ==--=-，当2n ≥时，22131[(1)3(1)1]24n n n S n n n n a n S --=-------==-，当 1n =时，1242a -=-≠，所以31242n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩，，， 故答案为：31242n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩，， 15. 在三棱锥P ABC -中，平面PAB 垂直平面ABC，PA PB AB AC ====120BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_________.【答案】52π【解析】【分析】如图，过点A 在面PAB 内作AQ AB ⊥交PAB △的外接圆于点Q ，平面PAB 垂直平面ABC ，两平面的交线为AB ，利用正弦定理和勾股定理，构造出Rt QHA ，然后，利用勾股定理得出2222(2)(2)448524R h r R =+=+==，进而求解可得 【详解】如图，过点A 在面PAB 内作AQ AB ⊥交PAB △的外接圆于点Q ，平面PAB 垂直平面ABC ，两平面的交线为AB ，AQ AB ⊥，AQ ⊂面PAB ，AQ ∴⊥面ABC ，PAB △的外接圆直径为234QB ==，222QA QB AB ∴=-=，而2h QA ==， ABC 中，23AB AC ==120BAC ∠=︒，30ACB ∴∠=︒，设底面ABC 的外接圆半径为r ，则243sin AB r BCA==∠R ，则有2222(2)(2)448524R h r R =+=+==，球的表面积为2452S R ππ==故答案为：52π【点睛】关键点睛：解题关键在于，构造直角三角形Rt QHA ，利用勾股定理得出2222(2)(2)448524R h r R =+=+==，进而求解16. 函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当1x >时，()ln x f x x=，若()()2240f x mf x m -+=有8个不同的实数解，则实数m 的取值范围是______. 【答案】()24,22e e ⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭【解析】【分析】利用导数分析函数()y f x =在区间()1,+∞上的单调性与极值，由题意可知，函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，数形结合可知关于t 的二次方程2240t mt m -+=有两个大于e 的实根，利用二次方程根的分布可得出关于m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】当1x >时，()ln x f x x=，()2ln 1ln x f x x -'=. 当1x e <<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减；当x e >时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.所以，函数()y f x =在x e =处取得极小值()f e e =，又()()11f x f x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，令()t f x =，作出函数()t f x =的图象如下图所示：由于关于x 的方程()()2240f x mf x m -+=有8个不同的实数解，则关于t 的二次方程2240t mt m -+=有两个大于e 的实数根，由二次方程根的分布可得224160240m m m e e me m ⎧∆=->⎪>⎨⎪-+>⎩，解得()2422e m e <<-. 综上所述，实数m 的取值范围是()24,22e e ⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭.故答案为：()24,22e e ⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭.【点睛】本题考查利用方程根的个数求参数，考查了导数的应用以及一元二次方程根的分布，考查数形结合思想的应用，属于较难题.四､解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.)17. 已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且233n n S a +=(1)求{}n a 的通项公式；(2)设3311log log n n n b a a ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)3n n a =；(2)1n n T n =+. 【解析】【分析】(1)利用1n n n a S S -=-可得{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，即可求出通项公式；(2)利用裂项相消法可求.【详解】解：(1)1n =时，11233S a +=，11a S =，13a ∴=，2n ≥时，因为()312n n S a =-，所以()11312n n S a --=-. 相减得()132n n n a a a -=-，所以13n n a a -=. 所以{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，所以1133n n n a a -=⋅=，即{}n a 通项公式为3n n a =.(2)由(1)可得()33111log log 1n n n b a a n n +==+111n n =-+. 所以12111111......12231n n T b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111n n n =-=++. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：(1)对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；(2)对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；(3)对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；(4)对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.18. 在①()3cos cos cos sin C a B b A c C +=，②sin sin 2A B a c A +=，③()()2sin 2sin 2sin a b A b a B c C -+-=这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答. 已知ABC 的角A ，B ，C 对边分别为,,a b c ，3c =，而且___________.(1)求C ∠；(2)求ABC 周长的范围.【答案】条件选择见解析；(1)3π；(2)(2333⎤⎦，. 【解析】【分析】 (1)选①：由条件结合正弦定理可得()3cosCsin A B sinCsinC +=，即3tanC =，得出答案.选②：由条件结合诱导公式、正弦定理和二倍角公式可得122C sin =，从而得出答案. 选③：由条件结合正弦定理可得222a b c ab +-=，再根据余弦定理可得答案.(2)由(1)结合余弦定理可得223a b ab +-=,利用均值不等式可得周长的最大值，再利用三角形中两边之和大于第三边可得出答案.【详解】解：(1)选①：由正弦定理得()3cosC sinAcosB sinBcosA sinCsinC +=()3cosCsin A B sinCsinC +=因为0sinC tanC ≠∴=， 因为()03C C ππ∈∴=，，选②： 由正弦定理得2CsinAsin sinCsinA π-=， 因为02222c C C sinA cos sinC sin cos ≠∴==，因为02C cos ≠，所以122C sin =， 因为()03C C ππ∈∴=，，选③：因为()()2sin 2sin 2sin a b A b a B c C -+-=，所以()()2222a b a b a b c -+-=，即222a b c ab +-=， 所以2221cos 22a b c C ab +-==， 因为0C π<<，所以3C π=； (2)由(1)可知：3C π=，在ABC 中，由余弦定理得222cos 3a b ab C +-=，即223a b ab +-=，所以()()223334a b a b ab ++-=≤，所以a b +≤a b =时等号成立，所以a b c ++≤ABC 周长的最大值为又因为a b c +>=ABC 周长的取值范围为(【点睛】关键点睛：本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，解题的关键是利用正弦定理进行边化角，第(2)问中结合(1)的结果，利用余弦定理得到223a b ab +-=，先配方再利用均值不等式()()223334a b a b ab ++-=≤求出+a b 的范围，最后三角形中两边之和大于第三边得到三角形周长的范围，属于中档题.19. 已知如图①，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒且2AB =，E 为AD 的中点，将ABE △沿BE 折起使2AD =，得到如图②所示的四棱锥A BCDE -.(1)求证：平面ABE ⊥平面ABC ；(2)若P 为AC 的中点，求二面角P BD A --的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)17. 【解析】【分析】(1)利用题中所给的条件证明AE ED ⊥，BE DE ⊥，因为//BC DE ，所以BC BE ⊥，BC AE ⊥，即可证明BC ⊥平面ABE ，进一步可得面面垂直；(2)先证明AE ⊥平面BCDE ，以E 为坐标原点，EB ，ED ，EA 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PBD 的一个法向量m ，平面BDA 的一个法向量n ，利用向量的夹角公式即可求解【详解】解：(1)在图①中，连接BD ，如图所示：因为四边形ABCD 为菱形，60A ∠=︒，所以ABD △是等边三角形.因为E 为AD 的中点，所以BE AE ⊥，BE DE ⊥.又2AD AB ==，所以1AE DE ==.在图②中，2AD =222AE ED AD +=，即AE ED ⊥.因为//BC DE ，所以BC BE ⊥，BC AE ⊥.又BE AE E =，AE ，BE ⊂平面ABE .所以BC ⊥平面ABE .又BC ⊂平面ABC ，所以平面ABE ⊥平面ABC .(2)由(1)知，AE DE ⊥，AE BE ⊥.因为BE DE E ⋂=，BE ，DE ⊂平面BCDE .所以AE ⊥平面BCDE .以E 为坐标原点，EB ，ED ，EA 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系：则()0,0,0E ，()0,0,1A ，)3,0,0B ，()3,2,0C ，()0,1,0D . 因为P 为AC 的中点，所以3122P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以31,1,22PB ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，31,0,22PD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面PBD 的一个法向量为(),,m x y z =，由00PB m PD m ⎧⋅=⎨⋅=⎩得31023102x y z x z ⎧--=⎪⎨⎪-=⎪⎩. 令3z =，得1x =-，3y =-(133m =-，. 设平面BDA 的一个法向量为()111n x y z =，，.因为()31BA =-，，，()011AD =-，， 由00BA n AD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩得1111300x z y z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 令11x =，3z =3y =(133n =，，则1cos ,777m nm n m n ⋅===-⨯⨯， 所以二面角P BD A --的余弦值为17. 【点睛】思路点睛：证明面面垂直的思路(1)利用面面垂直的定义，(不常用)(2)利用面面垂直的判定定理；(3)利用性质：//αβ，βγαγ⊥⇒⊥.20. 如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中直径长为2km ，C ､D 两点在半圆弧上满足AD BC =，设COB θ∠=，现要在此农庄铺设一条观光通道，观光通道由,,AB BC CD 和DA 组成.(1)若6πθ=，求观光通道l 的长度；(2)用θ表示观光通道的长l ，并求观光通道l 的最大值； 【答案】(1)观光通道长(2362km +；(2)当3πθ=时，观光通道长l 的最大值为5km . 【解析】【分析】(1)由6πθ=，得6OCD ODC π∠=∠=，然后在OCD ，OCB ，OAD △利用余弦定理求出,,CD BC AD的长，从而可得结果；(2)作OE BC ⊥，垂足为E ，在直角三角形OBE 中，sin sin 22BE OB θθ==，则有2sin 2BC AD θ==，同理作OF CD ⊥，垂足为F ，cos cos CF OC θθ==，即：2cos CD θ=，从而24sin 2cos 2l θθ=++，然后利用三角函数的性质可得结果【详解】(1)因为6πθ=，所以6OCD ODC π∠=∠=在OCD 中，利用余弦定理可得，2211211cos 33CD π=+-⨯⨯⨯=，所以3CD =同理62232BC AD -==-= 所以观光通道长2362l km =++-(2)作OE BC ⊥，垂足为E ，在直角三角形OBE 中，sinsin 22BE OB θθ==， 则有2sin 2BC AD θ==，同理作OF CD ⊥，垂足为F ，cos cos CF OC θθ==，即：2cos CD θ=，从而有：22124sin 2cos 4sin 4sin 44sin 522222l θθθθθ⎛⎫=++=-++=--+ ⎪⎝⎭ 因为02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以当3πθ=时，l 取最大值5， 即观光通道长l 的最大值为5km .【点睛】关键点点睛：此题考查余弦定理的应用，解题的关键是把,,CD BC AD 用含θ的式子表示，然后利用三角恒等变换公式转化为同角的三角函数求解，解题时要注意θ的取值范围21. 已知函数()ax f x xe =的极值为1e-. (1)求a 的值并求函数()f x 在1x =处的切线方程；(2)已知函数()()0mx lnx g x e m m=->，存在()0x ∈+∞，，使得()0g x ≤成立，求m 得最大值. 【答案】(1)1a =，切线方程为：2y ex e =-；(2)最大值为1e . 【解析】【分析】(1)利用切线方程的公式求解即可(2)将问题转化为mx me lnx ≤，经过放缩得mx lnx mxe xlnx lnxe ≤=，转化成()()f mx f lnx ≤，再利用导数判断()f x 的最值情况，进而可求得最终答案【详解】解：(1)()f x 定义域为R因为()()1ax f x e ax ='+若0a =则()f x 在R 上单调递增，无极值，不合题意，舍去若0a ≠则令()0f x '=得1x a =-所以11f a e ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭解得1a = 经检验，1a =符合题意.因为切线斜率()()11112f e e =+='又因为()1f e =所以切点为()1e ， 所以切线方程为：()21y e x e =-+即切线方程：2y ex e =-(2)因为存在()0x ∈+∞，，使得()0g x ≤成立 则mx lnx e m≤ 即mx me lnx ≤即mx lnx mxe xlnx lnxe ≤=即mx lnx mxe lnxe ≤即()()f mx f lnx ≤(*)由(1)得()()1x f x e x '=+所以()f x 在区间()1-∞-，上单调递减，在区间()1，-+∞上单调递增 因为00mx m x me lnx >>≤，，所以0lnx >，所以1x >即0mx >且0lnx >所以存在()1x ∈+∞，使得()()f mx f lnx ≤ 所以存在()1x ∈+∞，使得mx lnx ≤即()1lnx m x x≤∈+∞， 令()lnx s x x=所以()max m s x ⎡⎤≤⎣⎦ 因为()210lnx s x x '-==得x e = 所以()s x 在区间()1e ，上单调递增，在区间()e +∞，单调递减 所以()s x 的最大值为()1s e e =所以1m e≤又因为0m >，所以10m e <≤ 所以m 的最大值为1e 【点睛】关键点睛：解题的关键在于放缩得mx lnx mxe xlnx lnxe ≤=，把问题转化为()()f mx f lnx ≤，考查学生的转化化归和放缩的运用，属于难题22. 已知函数()()()2ln 1002x f x ax a x x -=+->≥+，. (1)当12a =时，讨论函数()y f x =的单调性； (2)若不等式()1f x ≥在[0,)x ∈+∞时恒成立，求实数a 的取值范围；(3)证明：()()*11111ln 1357212n n N n ++++<+∈+. 【答案】(1)在区间()02，上单调递减；在区间()2+∞，上单调递增；(2)[1，)+∞；(3)证明见解析. 【解析】【分析】(1)求出()f x 的导数，根据导数的正负即可判断单调性；(2)求出()f x 的导数，根据a 的范围讨论单调性，求出()f x 的最小值，满足()min 1f x ≥即可求出a 的取值范围；(3)由(2)可知当1a =时，不等式()1f x >在(0,)x ∈+∞时恒成立，可得11[ln(1)ln ]122k k k <+-+，即可得证. 【详解】解：(1)当12a =时，()()()221142122212x f x x x x -'=⋅-=+++， 当()0,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；所以()y f x =在区间()0,2上单调递减；在区间()2,+∞上单调递增；(2)()2224441(2)(1)(2)a ax a f x ax x ax x +-'=-=++++， 当1a ≥时，()0f x '≥，∴函数()y f x =在[)0+∞，上单调递增；当01a <<时，由()0f x '>可得x >∴函数在⎡⎫∞⎪⎢⎪⎣⎭上单调递增，在⎡⎢⎣上单调递减； ①当1a ≥时，函数()y f x =在[)0+∞，上单调递增， ()()01f x f ∴≥=，即不等式()1f x ≥，在[)0x ∈+∞，时恒成立，②当01a <<时，函数在0⎡⎢⎣上单调递减，存在00x ⎡∈⎢⎣使得()()001f x f <=，所以不合题意，舍去. 综上可知实数a 的取值范围为[)1,+∞；(3)由(2)得当1a =时，不等式()1f x >在(0,)x ∈+∞时恒成立， 即2ln(1)2x x x +>+，12ln(1)12k k ∴+>+，*()k N ∈. 即11[ln(1)ln ]122k k k <+-+， ∴11(ln 2ln1)32<-，11(ln3ln 2)52<-，11(ln 4ln3)72<-，11[ln(1)ln ]212n n n ⋯<+-+， 将上述式子相加可得()()()111111ln 1ln1ln 13572122n n n ++++<+-=++ 原不等式得证. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，一般按如下规则转化，(1)对于[],x a b ∀∈，都有()f x m ≥恒成立，则()min f x m ≥；(2)对于[],x a b ∀∈，都有()f x m ≤恒成立，则()max f x m ≤.。
2020-2021深圳横岗中学高三数学上期中一模试题含答案
2020-2021深圳横岗中学高三数学上期中一模试题含答案一、选择题1．设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ） A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形2．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸3．已知0,0x y >>，且91x y +=，则11x y+的最小值是 A ．10 B ．12?C ．14D ．16 4．设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知，若一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，则数列中第18项（ ）A ．B ．9C ．18D ．365．20,{0,0x y z x y x y x y y k+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6，z 的最小值为（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-36．当()1,2x ∈时，不等式220x mx ++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．()3,-+∞B ．()22,-+∞C ．[)3,-+∞D ．)22,⎡-+∞⎣7．已知：0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,2- B ．(][),42,-∞-+∞U C ．()2,4-D ．(][),24,-∞-⋃+∞8．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( )A ．25 6B．25C．253D．59．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为56米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌长度约为秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为()（米 /秒）A．110B．310C．12D．71010．在ABC∆中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，60A=︒，3a= 4b=，则B=（）A．30B=︒或150B=︒B．150B=︒C．30B=︒D．60B=︒11．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a，则此数列的项数为（）A．134B．135C．136D．13712．两个等差数列{}n a和{}n b，其前n项和分别为n S，n T，且723nnS nT n+=+，则220715a ab b+=+（）A．49B．378C．7914D．14924二、填空题13．若数列{}n a满足11a=，()()11132n nn na a-+-+=⋅()*n N∈，数列{}n b的通项公式()()112121nn n nab++=--，则数列{}nb的前10项和10S=___________14．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的取值范围为_______．15．如图,无人机在离地面高200m 的A 处,观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN 为_________m.16．已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是__________． 17．若原点和点(1,2019)-在直线0x y a -+=的同侧，则a 的取值范围是________（用集合表示）.18．在△ABC 中，2BC =，7AC=，3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．19．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠∠==︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点的距离为________．20．设变量,x y 满足约束条件：21y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值为__________．三、解答题21．若数列{}n a 的前n 项和n S 满足*231?(N )n n S a n =-∈,等差数列{}n b 满足113233b a b S ==+，.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; (2)设3nn nb c a =,求数列{}n c 的前n 项和为n T . 22．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =.（Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求πsin(2)4A +的值. 23．在ABC ∆ 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=（1） 求sin sin CA的值 （2） 若1cos ,24B b == ，求ABC ∆的面积. 24．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知24sin 4sin sin 222A BA B -+=+ （1）求角C 的大小；（2）已知4b =，ABC ∆的面积为6，求边长c 的值.25．已知{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，且b 1＝a 1＝1，b 3＝a 4，b 1＋b 2＋b 3＝a 3＋a 4.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n . 26．已知数列为等差数列，且12a =，12312a a a ++=． (1) 求数列的通项公式； (2) 令，求证：数列是等比数列．（3）令11n n n c a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n S .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，得出2,33B AC ππ=+=,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以23sin sin sin 4B AC =⋅=，整理计算即可得出答案.【详解】因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列， 所以2,33B AC ππ=+=, 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， 所以23sin sin sin 4B AC =⋅= 所以222sin sin sin sin cos sin cos 333A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111132sin 2cos 2sin 2424442344A A A A A π⎛⎫=+=-+=-+= ⎪⎝⎭ 即sin 213A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又因为203A π<< 所以3A π=故选B 【点睛】本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得2,33B AC ππ=+=，再利用三角公式转化，属于中档题.2．B解析：B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。
2020-2021学年浙江省杭州高级中学高三上学期期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年浙江省杭州高级中学高三（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（4分）已知集合M＝{x|y＝ln（3+2x﹣x2）}，N＝{x|x＞a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1）2．（4分）复数（a2﹣2a﹣3）+（a2﹣a﹣6）i为纯虚数的一个必要不充分条件是（）A．a＝﹣1B．a＝3C．a＝﹣2或a＝3D．a＝﹣1或a＝﹣2 3．（4分）已知等差数列{a n}的公差d为正数，a1＝1，2（a n a n+1+1）＝tn（1+a n），t为常数，则a n＝（）A．2n﹣1B．4n﹣3C．5n﹣4D．n4．（4分）下列不可能是函数f（x）＝x a（e x﹣e﹣x）（a∈Z）的图象的是（）A．B．C．D．5．（4分）已知x，y，z∈R+，且，则（x+y）（y+z）的最小值为（）A．4B．3C．2D．16．（4分）已知x，y满足不等式，且目标函数z＝9x+6y最大值的变化范围[20，22]，则t的取值范围（）A．[2，4]B．[4，6]C．[5，8]D．[6，7]7．（4分）已知函数f（x）＝sin x+a cos x，x∈[0，]的最小值为a，则实数a的取值范围是（）A．[0，2]B．[﹣2，2]C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，3] 8．（4分）将3个球（形状相同，编号不同）随机地投入编号为1，2，3，4的4个盒子，以ξ表示其中至少有一个球的盒子的最小号码（ξ＝3表示第1号，第2号盒子是空的，第3个盒子至少1个球），则E（ξ），E（2ξ+1）分别等于（）A．B．C．，3D．，49．（4分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面是边长为2的正方形，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD，点E是线段PD上的动点（不含端点），若线段AB上存在点F（不含端点），使得异面直线PA与EF成30°的角，则线段PE长的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，）D．（，）10．（4分）记集合T＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，M＝{，a i∈T，i＝1，2，3，4}，将M中的元素按从大到小排列，则第2021个数是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．（6分）在（2x﹣y）5的展开式中，所有项系数的绝对值的和为，x2y3的系数是．12．（6分）已知函数f（x）＝2|sin x|﹣|cos x|，则f（x）的最小正周期，f（x）的值域．13．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为．14．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（﹣1，2），且＝，动点P 与M，N连线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为，△PMN面积的取值范围是．15．（4分）如图，给三棱柱ABC﹣DEF的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方法有．16．（4分）已知△ABC的外心为O，＝3+4，则cos B的取值范围是．17．（4分）定义a⊗b＝，若x，y＞0，则⊗的最小值．三、解答题：本大题共5小题，共74分。
甘肃省兰州市第一中学2021届高三上学期期中考试 数学(理)
兰州一中2020-2021-1学期期中考试试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，在试卷上答案无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是( ) A.0B.1C.2D.32.已知z ＝11＋i ＋i (i 为虚数单位)，则|z |＝( )A.12B.22C.32D.2 3.某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n 的样本，其中高中生有24人，那么n 等于( ) A.12B.18C.24D.364.等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A.6B.5C.4D.35.已知向量a ,b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)，则|2a －b |等于( ) A.2 2B.17C.15D.2 56. ( )A.a b c <<B.b c a <<C.c a b <<D.c b a <<7.已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且q ⌝的充分不必要条件是p ⌝，则a 的取值范围是( ) A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]8.函数y ＝2|x |·sin 2x 的图象可能是( )212(),52xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩9.函数若互不相等的实数a ，b ，c 满足f (a )＝f (b )＝f (c ),则2a ＋2b ＋2c 的取值范围是( ) A.(16，32)B.(18，34)C.(17，35)D.(6，7)10.函数f (x )的定义域为D ，若满足：①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在 [a ，b ]上的值域为⎣⎡⎦⎤a 2，b 2，那么就称y ＝f (x )为“半保值函数”，若函数f (x )＝log a (a x ＋t 2)(a >0，且a ≠1)是“半保值函数”，则t 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，14 B.⎝⎛⎭⎫－12，0∪⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫－12，12 11.已知函数f (x )＝kx ＋1，g (x )＝e x ＋1(－1≤x ≤1)，若f (x )与g (x )的图象上分别存在点M ，N ，使得点M ，N 关于直线y ＝1对称，则实数k 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－e ，1e C.[－e ，＋∞) D.(]－∞，－e ∪⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞ 12.已知f (x )在R 上是奇函数，且f ′(x )为f (x )的导函数，对任意x ∈R ，均有()'()ln 2f x f x >成立，若f (－2)＝2，则不等式f (x )>－2x－1的解集为( )A.(－2，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－∞，2)D.(－∞，－2)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：本卷共10小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上.答在试卷上的答案无效.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. ()2log 013.30x x x f x x >⎧=⎨≤⎩已知函数，则18f f ⎡⎤⎛⎫=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ________．()22214.4=x x dx --+⎰定积分________.15.若,,a b c 均为正数, 且346a b c ==, 则2c ca b+的值是_______________． ()()1123116.21x a x a x f x R a x -⎧-+<=⎨≥⎩已知函数的值域为，则实数的取值范围是______. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本题满分12分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足 (a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C . (1)求角A 的大小；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值.18.(本题满分12分)如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是菱形， AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点. (1)证明：MN ∥平面C 1DE ； (2)求二面角A －MA 1－N 的正弦值.序号 分组（分数段） 频数（人数） 频率 1 [0, 60) a 0.1 2[60, 75)15b19.(本题满分12分)为迎接我校建校120周年，某班开展了一次“校史知识”竞赛活动，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩（满分为100分，成绩均为整数）进行统计，制成如右图的频率分布表： （1）求,,,a b c d 的值；（2）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备四道题目，选手对其依次作答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对一道，则获得二等奖.某同学进入决赛，每道题答对的概率P 的值恰好与频率分布表中不少于90分的频率的值相同.设该同学决赛中答题个数为X ，求X 的分布列以及X 的数学期望.20.(本题满分12分)已知P 点坐标为(0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ →＝32QB →.(1)求椭圆E 的方程；(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围.21.(本题满分12分)已知函数f (x )＝－a ln x ＋x ＋1－ax .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)设g (x )＝e x ＋mx 2－2e 2－3，当a ＝e 2＋1时，对任意x 1∈[1，＋∞)，存在x 2∈[1，＋∞)，使g (x 2)≤ f (x 1)，求实数m 的取值范围.选考题:（请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.请在答题卷上注明题号.）22.(本题满分10分)平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)已知直线l 与y 轴交于点M ，且与曲线C 交于A ，B 两点，求⎪⎪⎪⎪1|MA |－1|MB |的值.23.(本题满分10分)已知函数()|21||23|f x x x =++-. (1)求不等式6)(≤x f 的解集；(2)若关于x 的不等式|1|)(-<a x f 的解集非空，求实数a 的取值范围.兰州一中2020-2021学年度高三第一学期期中数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分， 考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，在试卷上答案无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是( C ) A.0B.1C.2D.32.已知z ＝11＋i ＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝( B )A.12B.22C.32D.23.某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n 的样本，其中高中生有24人，那么n 等于( D ) A.12B.18C.24D.364.等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( C ) A.6B.5C.4D.35.已知向量a ,b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)，则|2a －b |等于( A ) A.2 2B.17C.15D.25.6.6.设123log 2,ln 2,5a b c -===，则 ( C )A.a b c <<B.b c a <<C.c a b <<D.c b a <<7.已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且q ⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，则a 的取值范围是( A ) A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]8.函数y ＝2|x |·sin 2x 的图象可能是( D )9.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x －1|，x ≤2，－x ＋5，x >2.若互不相等的实数a ，b ，c 满足f (a )＝f (b )＝f (c )，则2a ＋2b ＋2c 的取值范围是( B ) A.(16，32)B.(18，34)C.(17，35)D.(6，7)10.函数f (x )的定义域为D ，若满足：①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在 [a ，b ]上的值域为⎣⎡⎦⎤a 2，b 2，那么就称y ＝f (x )为“半保值函数”，若函数f (x )＝log a (a x ＋t 2)(a >0，且a ≠1)是“半保值函数”，则t 的取值范围为( B ) A.⎝⎛⎭⎫0，14 B.⎝⎛⎭⎫－12，0∪⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫0，12D.⎝⎛⎭⎫－12，12 11.已知函数f (x )＝kx ＋1，g (x )＝e x ＋1(－1≤x ≤1)，若f (x )与g (x )的图象上分别存在点M ，N ，使得点M ，N 关于直线y ＝1对称，则实数k 的取值范围是( D ) A.⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞B.⎣⎡⎦⎤－e ，1eC.[－e ，＋∞)D.(]－∞，－e ∪⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞ 12.已知f (x )在R 上是奇函数，且f ′(x )为f (x )的导函数，对任意x ∈R ，均有f (x )>f ′（x ）ln 2成立，若f (－2)＝2，则不等式f (x )>－2x－1的解集为( C )A.(－2，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－∞，2)D.(－∞，－2)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：本卷共10小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上.答在试卷上的答案无效.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知函数()2log ,0,3,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩则18f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 127． 14.定积分⎠⎛－22(4－x 2＋x )d x ＝___2π._____.15．若,,a b c 均为正数, 且346a b c ==, 则2c ca b+的值是___2____________． 16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是_0≤a <12.___.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C . (1)求角A 的大小；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值. 解 (1)∵(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C ，∴根据正弦定理，知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝bc ，即b 2＋c 2－a 2＝－bc . ∴由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12.又A ∈(0，π)，所以A ＝23π.(2)根据a ＝3，A ＝23π及正弦定理得b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝332＝2， ∴b ＝2sin B ，c ＝2sin C .∴S ＝12bc sin A ＝12×2sin B ×2sin C ×32＝3sin B sin C .∴S ＋3cos B cos C ＝3sin B sin C ＋3cos B cos C ＝3cos(B －C ).故当B ＝C ＝π6时，S ＋3cos B cos C 取得最大值 3.18.（本题满分12分）如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点. (1)证明：MN ∥平面C 1DE ； (2)求二面角A －MA 1－N 的正弦值. (1)证明 如图，连接B 1C ，ME .因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点，所以ME ∥B 1C ，且ME ＝12B 1C .又因为N 为A 1D 的中点，所以ND ＝12A 1D .由题设知A 1B 1∥DC ，可得B 1C ∥A 1D ，故ME ∥ND ， 因此四边形MNDE 为平行四边形，所以MN ∥ED . 又MN ⊄平面C 1DE ，DE ⊂平面C 1DE ， 所以MN ∥平面C 1DE .(2)解 由已知可得DE ⊥DA ，以D 为坐标原点，DA →，DE →，DD 1→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则A (2，0，0)，A 1(2，0，4)，M (1，3，2)，N (1，0，2)，A 1A →＝(0，0，－4)，A 1M →＝(－1，3，－2)，A 1N →＝(－1，0，－2)，MN →＝(0，－3，0).设m ＝(x ，y ，z )为平面A 1MA 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1M →＝0，m ·A 1A →＝0，所以⎩⎨⎧－x ＋3y －2z ＝0，－4z ＝0，可取m ＝(3，1，0).设n ＝(p ，q ，r )为平面A 1MN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·MN →＝0，n ·A 1N →＝0，所以⎩⎨⎧－3q ＝0，－p －2r ＝0，可取n ＝(2，0，－1).于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝232×5＝155，则sin 〈m ，n 〉＝105，所以二面角A －MA 1－N 的正弦值为105. 19.（本题满分12分）为迎接我校建校110周年，某班开展了一次“校史知识”竞赛活动，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩（满分为100分，分数为均匀整数）进行统计，制成如右图的频率分布表：（Ⅰ）求,,,a b c d 的值；（Ⅱ）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备四道题目，选手对其依次作答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对一道，则获得二等奖.某同学进入决赛，每道题答对的概率P 的值恰好与频率分布表中不少于90分的频率的值相同.设该同学决赛中答题个数为X ，求X 的分布列以及X 的数学期望.解：(Ⅰ(Ⅱ)X 的可能取值为2，3，4.12(2)0.20.20.04,(3)0.20.80.20.064,P X P X C ==⨯===⨯⨯=1233(4)0.20.80.80.896P X C ==⨯+=所以分布列为：()20.0430.06440.896 3.856E X =⨯+⨯+⨯=20.（本题满分12分）已知P 点坐标为(0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ →＝32QB →.(1)求椭圆E 的方程；(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围.解 (1)由△ABP 是等腰直角三角形，得a ＝2，B (2，0).设Q (x 0，y 0)，则由PQ →＝32QB →，得⎩⎨⎧x 0＝65，y 0＝－45，代入椭圆方程得b 2＝1， 所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)依题意得，直线l 的斜率存在，方程设为y ＝kx －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 24＋y 2＝1，y 并整理得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.(*) 因直线l 与E 有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，故Δ＝(－16k )2－48(1＋4k 2)>0，解得k 2>34. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由根与系数的关系得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝16k 1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k 2，因坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外，所以OM →·ON →>0，即x 1x 2＋y 1y 2>0，又由x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－2)(kx 2－2)＝(1＋k 2)x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝(1＋k 2)·121＋4k 2－2k ·16k 1＋4k 2＋4>0，解得k 2<4，综上可得34<k 2<4， 则32<k <2或－2<k <－32. 则满足条件的斜率k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－32∪⎝⎛⎭⎫32，2. 21.（本题满分12分）已知函数f (x )＝－a ln x ＋x ＋1－a x.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设g(x)＝e x＋mx2－2e2－3，当a＝e2＋1时，对任意x1∈[1，＋∞)，存在x2∈[1，＋∞)，使g(x2)≤f(x1)，求实数m的取值范围.解(1)由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－ax＋1＋a－1x2＝（x－1）（x－a＋1）x2，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝a－1.当a≤1时，a－1≤0，由f′(x)<0得0<x<1，由f′(x)>0得x>1，所以函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.当1<a<2时，0<a－1<1，由f′(x)<0，得a－1<x<1，由f′(x)>0得0<x<a－1或x>1，所以函数f(x)在(a－1，1)上单调递减，在(0，a－1)和(1，＋∞)上单调递增. 当a＝2时，a－1＝1，可得f′(x)≥0，此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.当a>2时，a－1>1，由f′(x)<0得1<x<a－1，由f′(x)>0得0<x<1或x>a－1，所以函数f(x)在(1，a－1)上单调递减，在(0，1)和(a－1，＋∞)上单调递增.(2)当a＝e2＋1时，由(1)得函数f(x)在(1，e2)上单调递减，在(0，1)和(e2，＋∞)上单调递增，从而f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(e2)＝－e2－3.对任意x1∈[1，＋∞)，存在x2∈[1，＋∞)，使g(x2)≤f(x1)，即存在x 2∈[1，＋∞)，使g (x 2)的函数值不超过f (x )在区间[1，＋∞)上的最小值－e 2－3.由e x ＋mx 2－2e 2－3≤－e 2－3得e x ＋mx 2≤e 2，m ≤e 2－e xx 2. 记p (x )＝e 2－e xx 2，则当x ∈[1，＋∞)时，m ≤p (x )max . p ′(x )＝－e x x 2－2（e 2－e x ）x （x 2）2＝－e x x ＋2（e 2－e x ）x 3， 当x ∈[1，2]时，显然有e x x ＋2(e 2－e x )>0，p ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，e x x ＋2(e 2－e x )>e x x －2e x >0，p ′(x )<0，故p (x )在区间[1，＋∞)上单调递减，得p (x )max ＝p (1)＝e 2－e ，从而m 的取值范围为(－∞，e 2－e].四．选考题:（请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.请在答题卷上注明题号.）22. （本题满分10分）坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)已知直线l 与y 轴交于点M ，且与曲线C 交于A ，B 两点，求⎪⎪⎪⎪1|MA |－1|MB |的值.解 (1)将直线l 的极坐标方程ρ(cos θ－sin θ)＝1化为直角坐标方程为x －y －1＝0.将曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)化为普通方程为x 2＋y 2＝9. (2)由(1)知点M (0，－1)，故直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝－1＋22t(t 为参数)，代入圆的方程为t 2－2t －8＝0，设A ，B 对应的参数为t 1和t 2，所以t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝－8.故⎪⎪⎪⎪1|MA |－1|MB |＝|t 1＋t 2||t 1t 2|＝28. 23．（本题满分10分）已知函数()|21||23|f x x x =++-. （Ⅰ）求不等式6)(≤x f 的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式|1|)(-<a x f 的解集非空，求实数a 的取值范围. 解：（Ⅰ）原不等式等价于即不等式的解集为}21|{≤≤-x x .，解此不等式得53>-<a a 或.。
2020-2021学年山东省济南市历下区德润学校高三(上)期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年山东省济南市历下区德润中学高三（上）期中数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x≥0}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（）A．（﹣1，3）B．（0，2]C．[2，3）D．（2，3）2．sin225°＝（）A．B．C．﹣D．3．已知a＝log32，b＝3，c＝ln，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b4．设x∈R，则“|x+1|＜2”是“lgx＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知{a n}为等比数列，若a3＝2，a5＝8，则a7＝（）A．64B．32C．±64D．±326．函数f（x）＝x﹣的大致图象为（）A．B．C．D．7．为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin（2x+）的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝2﹣x﹣1，若f（a2﹣3）+f（2a）≤0，则实数a的数值范围（）A．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）B．[﹣3，1]C．（﹣3，1）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x3B．y＝x﹣2C．y＝e|x|D．y＝lgx210．在平面直角坐标系xOy中．角α顶点在原点O，以x正半轴为始边，终边经过点P（1，m）（m＜0），则下列各式的值恒大于0的是（）A．B．cosα﹣sinαC．sinαcosαD．sinα+cosα11．关于函数f（x）＝4sin（2x+）（x∈R）有下列命题，其中正确的是（）A．y＝f（x）是以2π为最小正周期的周期函数B．y＝f（x）的表达式可改写为C．y＝f（x）的图象关于直线对称D．y＝f（x）的图象关于点对称12．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）＝﹣f（x），且x∈[0，2]时，f（x）＝log2（x+1），给出下列结论正确的是（）A．f（3）＝1B．若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m＝0在[0，6]上所有根之和为4C．函数f（x）关于直线x＝4对称D．函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是减函数三、填空题：本题共4小题。
2020-2021高三数学上期中试卷(附答案)(18)
2020-2021高三数学上期中试卷(附答案)(18)一、选择题1．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-2．下列命题正确的是A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2B ．若a ＞b ，则 ac ＞bcC ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则1a ＜1b3．已知数列{}n a 满足11a =，12nn n a a +=+，则10a =（ ）A ．1024B ．2048C ．1023D ．20474．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．10B ．12C ．31log 5+D ．32log 5+5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4 B ．5C ．6D ．4或56)63a -≤≤的最大值为（ ）A ．9B ．92C．3 D ．27．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-8．已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y -的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．169．已知数列{}n a 的通项公式为()*21log N 2n n a n n +=∈+，设其前n 项和为n S ，则使5n S <-成立的自然数n ( )A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值3110．已知x ，y 满足条件0{20x y xx y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( ) A ．－16B ．－6C ．-83D ．611．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足21,,n n n S S S ++成等差数列，则3a 等于( ) A ．12B ．12-C ．14D ．14-12．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<二、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n S n n n N *=++∈，,求n a =.__________．14．已知数列{}n a 满足11a =，111n na a +=-+，*n N ∈，则2019a =__________． 15．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1n n S a λ=-（λ为常数）．若数列{}n b 满足2n n a b n =-920n +-，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值集合为________．17．已知数列是各项均不为的等差数列，为其前项和，且满足()221n n a S n *-=∈N．若不等式()()11181nn n n a nλ++-+⋅-≤对任意的n *∈N 恒成立，则实数的取值范围是 ．18．不等式211x x --<的解集是 ．19．定义11222n n n a a a H n-+++=L 为数列{}n a 的均值,已知数列{}n b 的均值12n n H +=,记数列{}n b kn -的前n 项和是n S ,若5n S S ≤对于任意的正整数n 恒成立,则实数k 的取值范围是________．20．点D 在ABC V 的边AC 上，且3CD AD =，2BD =，3sin23ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为______.三、解答题21．已知等差数列{}n a 满足12231()()()2(1)n n a a a a a a n n +++++++=+L （*n N ∈）.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 22．已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,2cos (cos cos )0.a b c C a C c A b ++=， （1）求角C 的大小；（2）若2,b c ==，求ABC ∆的面积.23．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且asin B ＝－bsin 3A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (1)求A ；(2)若△ABC 的面积S2，求sin C 的值． 24．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211a =，7161S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 25．已知n S 是数列{}n a 的前n 项之和，*111,2,n n a S na n N +==∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设211(1)n n n n a b a a ++=-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和n T ，若112019n T +<，求正整数n 的最小值．26．在等比数列{}n a 中,()*10a n N >∈,且328aa -=,又15,a a 的等比中项为16.（1）求数列{}n a 的通项公式:（2）设4log n n b a =,数列{}n b 的前n 项和为n S ,是否存在正整数k ,使得1231111nk S S S S ++++<L 对任意*n N ∈恒成立.若存在,求出正整数k 的最小值;若不存在,请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=,Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.2．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C3．C解析：C 【解析】 【分析】 根据叠加法求结果. 【详解】因为12n n n a a +=+，所以12nn n a a +-=，因此10981010921198122221102312a a a a a a a a -=-+-++-+=++++==-L L ，选C.【点睛】本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.4．A解析：A 【解析】 【分析】利用对数运算合并，再利用等比数列{}n a 的性质求解。
2020-2021高三数学上期中试卷(带答案)(18)
2020-2021高三数学上期中试卷(带答案)(18)一、选择题1．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*n n n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为（ ） A ．49B ．50C ．99D ．1002．已知等比数列{}n a ，11a =，418a =，且12231n n aa a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（ ） A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin 3cos 0b A a B -=,且2b ac =，则a cb+的值为( ) A ．2B ．2C ．22D ．44．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为56米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌长度约为秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为()（米 /秒）A ．110B ．310C ．12D ．7105．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为（ ）．A ．8-B ．4-C ．1D ．26．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）A ．120kmB ．606kmC ．605kmD ．3km7．已知x ，y 满足条件0{20x y xx y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( ) A ．－16 B ．－6C ．-83D ．68．若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9B ．92 C ．5 D ．529．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC V 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A += )2223S b a c =+-，则B ∠=A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=则11S =（ ） A ．9B ．22C ．36D ．6611．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134B ．135C ．136D ．13712．若01a <<，1b c >>，则( ) A ．()1ab c<B ．c a cb a b->- C ．11a a c b --<D ．log log c b a a <二、填空题13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.14．已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列，且前n 项和分别为n S 和n T ，若321n n S n T n +=+，则44a b =_____． 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，且对于任意1n >，*n N ∈，满足11n n S S +-+=2(1)n S +，则10S 的值为__________16．数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈都有11n n a a a n +=++，则122016111a a a +++=L _________． 17．在平面内，已知直线12l l P ，点A 是12,l l 之间的定点，点A 到12,l l 的距离分别为和，点是2l 上的一个动点，若AC AB ⊥，且AC 与1l 交于点C ，则ABC ∆面积的最小值为____．18．已知数列{}n a 满足11a =，111n na a +=-+，*n N ∈，则2019a =__________． 19．某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元． 20．设等差数列{}na 的前n 项和为n S ．若35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列，则数列{}n a 的通项公式n a =____．三、解答题21．在ABC V 中，3B π∠=，7b =，________________，求BC 边上的高．从①21sin 7A =， ②sin 3sin A C =， ③2a c -=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．22．已知数列{n a }的前n 项和1*1()2()2n n n S a n N -=--+∈，数列{n b }满足n b =2n n a ．(I)求证数列{n b }是等差数列，并求数列{n a }的通项公式； (Ⅱ)设2log n n n c a =，数列{22n n c c +}的前n 项和为T n ，求满足*25()21n T n N <∈的n 的最大值.23．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1122log ,n n n n n b a a S b b b ==+++L ，求使1·262n nS n ++>成立的正整数n 的最小值．24．设数列{}n a 满足113,23nn n a a a +=-=⋅．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 25．已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程的根.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1250,15a a S +==，数列{}n b 满足：12b a =，且131(2).n n n n n nb a b a b ++++=（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若211(5)log n n n c a b +=+⋅，求数列{}n c 的 前n 项和.n T【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦,把1n =代入上式可得123a =≠.综上可得3,1{2,2n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数.数列{}n b 的前50项和为()()503235749224650S =--+++++++++L L ()()24349252503224922++=--⋅+⋅=.故A 正确.考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.2．D解析：D设等比数列{}n a 的公比为q ，则34118a q a ==，解得12q =， ∴112n n a -=， ∴1121111222n n n n n a a +--=⨯=， ∴数列1{}n n a a +是首项为12，公比为14的等比数列，∴1223111(1)21224(1)134314n n n na a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-， ∴23k ≥．故k 的取值范围是2[,)3+∞．选D ．3．A解析：A 【解析】 【分析】由正弦定理，化简求得sin 0B B =，解得3B π=，再由余弦定理，求得()224b a c =+，即可求解，得到答案．【详解】在ABC ∆中，因为sin cos 0b A B -=,且2b ac =，由正弦定理得sin sin cos 0B A A B =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以sin 0B B =，即tan B =3B π=，由余弦定理得222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()224b a c =+，解得2a cb+=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.4．B解析：B试题分析： 如下图：由已知，在ABC ∆中，105,45,56ABC ACB BC ∠=∠==o o ,从而可得：30BAC ∠=o 由正弦定理，得：56sin 45sin 30AB =o o， 103AB ∴=,那么在Rt ADB ∆中，60ABD o ∠=,3sin 6010315AD AB ∴==⨯=o ， 即旗杆高度为15米，由3155010÷=，知：升旗手升旗的速度应为310（米 /秒）. 故选B ．考点：解三角形在实际问题中的应用．5．D解析：D 【解析】作出不等式组20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，所表示的平面区域，如图所示，当0x ≥时，可行域为四边形OBCD 内部，目标函数可化为2z y x =-，即2y x z =+，平移直线2y x =可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，此时，max 2z =，当0x <时，可行域为三角形AOD ，目标函数可化为2z y x =+，即2y x z =-+，平移直线2y x =-可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，max 2z =， 综上，2z y x =-的最大值为2． 故选D ．点睛：利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b x a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）． (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.6．D解析：D 【解析】 【分析】先判断三角形DAB 为直角三角形,求出BD ,然后推出CBD ∠为直角,可得CD ,进一步可得cos BDF ∠,最后在三角形EDB 中用余弦定理可得BF . 【详解】取AB 的中点E ,连DE ,设飞机飞行了15分钟到达F 点,连BF ,如图所示:则BF 即为所求.因为E 为AB 的中点,且120AB km =,所以60AE km =, 又60DAE ∠=o ,60AD km =,所以三角形DAE 为等边三角形,所以60DE km =,60ADE ∠=o ,在等腰三角形EDB 中,120DEB ∠=o ,所以30EDB EBD ∠=∠=o , 所以90ADB ∠=o ,由勾股定理得2BD 22221206010800AB AD =-=-=, 所以3BD km =,因为9030CBE ∠=+o o 120=o ,30EBD ∠=o ,所以CBD ∠90=o , 所以222108006013240CD BD BC =+=+⨯=km ,所以6033cos BD BDC CD ∠===,因为1360904DF km =⨯=,所以在三角形BDF中,2222232cos(603)90260390BF BD DF BD DF BDF=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯g10800=,所以603BF=km.故一架飞机从城市D出发以360/km h的速度向城市C飞行，飞行了15min，接到命令改变航向，飞向城市B，此时飞机距离城市B有603km.故选D.【点睛】本题考查了利用余弦定理解斜三角形,属于中档题.7．B解析：B【解析】【分析】【详解】由z＝x＋3y得y＝－13x＋3z，先作出{xy x≥≤的图象，如图所示，因为目标函数z＝x＋3y的最大值为8，所以x＋3y＝8与直线y＝x的交点为C，解得C(2,2)，代入直线2x＋y＋k＝0，得k＝－6.8．B解析：B【解析】【分析】设f（x）1221x x=+-，根据形式将其化为f（x）()1152221x xx x-=++-．利用基本不等式求最值，可得当且仅当x13=时()11221x xx x-+-的最小值为2，得到f（x）的最小值为f（13）92=，再由题中不等式恒成立可知m ≤（1221x x +-）min ，由此可得实数m 的最大值． 【详解】解：设f （x ）11222211x x x x=+=+--（0＜x ＜1） 而1221x x+=-[x +（1﹣x ）]（1221x x +-）()1152221x x x x -=++- ∵x ∈（0，1），得x ＞0且1﹣x ＞0∴()11221x x x x -+≥-=2， 当且仅当()112211x x x x -==-，即x 13=时()11221x x x x -+-的最小值为2 ∴f （x ）1221x x =+-的最小值为f （13）92= 而不等式m 1221x x ≤+-当x ∈（0，1）时恒成立，即m ≤（1221x x+-）min 因此，可得实数m 的最大值为92故选：B ． 【点睛】本题给出关于x 的不等式恒成立，求参数m 的取值范围．着重考查了利用基本不等式求函数的最值和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．9．D解析：D 【解析】 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值． 【详解】由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2sin cos sin cos sin ,C B B C A +=()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090A =；由余弦定理、三角形面积公式及)222S b a c=+-，得1sin 2cos 2ab C ab C=, 整理得tan C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =.故选D 【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．10．D解析：D 【解析】分析：由341118a a a ++=，可得156a d +=，则化简11S =()1115a d +，即可得结果. 详解：因为341118a a a ++=， 所以可得113151856a d a d +=⇒+=， 所以11S =()111511666a d +=⨯=，故选D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式与等差数列的求和公式， 意在考查等差数列基本量运算，解答过程注意避免计算错误.11．B解析：B 【解析】 【分析】由题意得出1514n a n =-，求出15142019n a n =-≤，即可得出数列的项数. 【详解】因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故1514n a n =-.由15142019n a n =-≤得135n ≤，故此数列的项数为135，故答案为B.【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学的转化与化归思想.属于中等题.12．D解析：D 【解析】 【分析】运用不等式对四个选项逐一分析 【详解】对于A ，1b c >>Q ，1b c ∴>，01a <<Q ，则1ab c ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故错误 对于B ，若c a cb a b->-，则bc ab cb ca ->-，即()0a c b ->，这与1b c >>矛盾，故错误对于C ，01a <<Q ，10a ∴-<，1b c >>Q ，则11a a c b -->，故错误对于D ，1b c >>Q ，c b log a log a ∴<，故正确 故选D 【点睛】本题考查了不等式的性质，由未知数的范围确定结果，属于基础题．二、填空题13．【解析】【分析】根据正弦定理将转化为即由余弦定理得再用基本不等式法求得根据面积公式求解【详解】根据正弦定理可转化为化简得由余弦定理得因为所以当且仅当时取所以则面积的最大值为故答案为：【点睛】本题主要【解析】 【分析】 根据正弦定理将()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-转化为()()()a b a b c b c +-=-，即222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，再用基本不等式法求得4bc ≤，根据面积公式1sin 2ABC S bc A ∆=求解. 【详解】 根据正弦定理()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-可转化为()()()a b a b c b c +-=-，化简得222bc a bc +-=由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==sin ==A 因为2222+=+≥b c a bc bc 所以4bc ≤，当且仅当b c =时取""=所以1sin 4244∆==≤=ABC S bc A则ABC ∆【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，基本不等式的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14．【解析】【分析】根据等差数列中等差中项的性质将所求的再由等差数列的求和公式转化为从而得到答案【详解】因为数列均为等差数列所以【点睛】本题考查等差中项的性质等差数列的求和公式属于中档题解析：238【解析】 【分析】根据等差数列中等差中项的性质，将所求的174417a a ab b b +=+，再由等差数列的求和公式，转化为77S T ，从而得到答案. 【详解】因为数列{}n a 、{}n b 均为等差数列 所以7474141422a a b b a a b b ==++ ()()1771777272a a S b b T +==+37223718⨯+==+ 【点睛】本题考查等差中项的性质，等差数列的求和公式，属于中档题.15．91【解析】【分析】由Sn+1+Sn ﹣1＝2（Sn+1）可得Sn+1﹣Sn ＝Sn ﹣Sn ﹣1+2可得an+1﹣an ＝2利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【详解】∵对于任意n ＞1n ∈N*满足Sn+解析：91 【解析】 【分析】由S n+1+S n ﹣1＝2（S n +1），可得S n+1﹣S n ＝S n ﹣S n ﹣1+2，可得a n+1﹣a n ＝2．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． 【详解】∵对于任意n ＞1，n∈N *，满足S n+1+S n ﹣1＝2（S n +1）， ∴n≥2时，S n+1﹣S n ＝S n ﹣S n ﹣1+2， ∴a n+1﹣a n ＝2．∴数列{a n }在n≥2时是等差数列，公差为2． 则10S ＝1+9×29822⨯+⨯=91． 故答案为91 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．【解析】试题分析：所以所以考点：累加法；裂项求和法 解析：40322017【解析】试题分析：111,n n n n a a n a a n +--=+-=，所以()11221112n n n n n n n a a a a a a a a ---+=-+-++-+=L ，所以11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，122016111140322120172017a a a ⎛⎫+++=-= ⎪⎝⎭L . 考点：累加法；裂项求和法.17．6【解析】【分析】【详解】如图所示设由题意知与相似所以所以所以当且仅当即时等号成立所以面积的最小值为6解析：6 【解析】 【分析】 【详解】 如图所示，设BF x =，由题意知3,2AE AF ==ABF ∆与CAE ∆相似，所以AB BF CA AE =,所以3AC AB x=,所以211322ABC S AB AC AB x∆==⨯ 21363(4)622x x x x =⨯⨯+=+≥，当且仅当632xx =，即2x =时，等号成立，所以CAE ∆面积的最小值为6. 18．-2【解析】【分析】根据题干中所给的表达式得到数列的周期性进而得到结果【详解】根据题干表达式得到可以得数列具有周期性周期为3故得到故得到故答案为：-2【点睛】这个题目考查了求数列中的某些项一般方法是解析：-2 【解析】 【分析】根据题干中所给的表达式得到数列的周期性，进而得到结果. 【详解】根据题干表达式得到2341231111,2, 1.1211a a a a a a =-=-=-=-=-=+++ 5674551111,2, 1.1211a a a a a a =-=-=-=-=-=+++ 可以得数列具有周期性，周期为3，故得到20193673.÷= 故得到2019 2.a =- 故答案为：-2. 【点睛】这个题目考查了求数列中的某些项，一般方法是求出数列通项，对于数列通项不容易求的题目，可以列出数列的一些项，得到数列的周期或者一些其它规律，进而得到数列中的项.19．2300【解析】【分析】【详解】设甲种设备需要生产天乙种设备需要生产天该公司所需租赁费为元则甲乙两种设备生产AB 两类产品的情况为下表所示:产品设备 A 类产品（件）（≥50） B 类产品（件）（≥140解析：2300 【解析】 【分析】 【详解】设甲种设备需要生产天, 乙种设备需要生产天, 该公司所需租赁费为元,则200300z x y =+，甲、乙两种设备生产A,B 两类产品的情况为下表所示:产品 设备A 类产品 （件）（≥50）B 类产品 （件）（≥140）租赁费（元）甲设备510200乙设备620300则满足的关系为5650{10201400,0x y x y x y +≥+≥≥≥即:6105{2140,0x y x y x y +≥+≥≥≥, 作出不等式表示的平面区域,当200300z x y =+对应的直线过两直线610{5214x y x y +=+=的交点（4,5）时，目标函数200300z x y =+取得最低为2300元．20．【解析】设等差数列的公差为d∵且成等差数列∴解得 ∴ 解析：21n -【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列， ∴111125,7211020a d a a d a d +=⎧⎨++=+⎩解得11,2a d =⎧⎨=⎩ ∴21n a n =-三、解答题21．选择①，33h =；选择②，3h =；选择③，3h =【解析】 【分析】 （1）选择①21sin 7A =，可由sin sin a b A B =解得2a =，再由2222cos b a c ac B =+-解得3c =，最后由sin h c B =可得解；（2）选择②sin 3sin A C =，由sin sin()3sin A B C C =+=得5sin 3C C =，结合22sin cos 1C C +=得sin 14C =，最后由sin h b C =可得解. （3）选择③2a c -=，由2222cos b a c ac B =+-可得：227a c ac +-=，结合2a c -=解得1c =，最后由sin h c B =可得解. 【详解】（1）选择①sin 7A =，解答如下： 在ABC V ，由正弦定理得：sin sin a b A B=，=2a =， 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，2212222c c =+-⨯⨯，解得1c =-（舍去）或3c =，则BC边上的高sin h c B = （2）选择②sin 3sin A C =，解答如下：在ABC V 中，[]sin sin ()sin()A B C B C π=-+=+， 由sin 3sin A C =可得：sin()3sin 3C C π+=，整理得5sin C C =┄①， 又22sin cos 1C C +=┄②，由①②得sin 14C =， 则BC边上的高sin 14h b C ===. （3）选择③2a c -=，解答如下：在ABC V 中，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，3B π∠=Q，b =227a c ac ∴+-=┄①，又2a c -=┄②， 由①②解得1c =， 则BC边上的高sin h c B =. 【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，考查了计算能力，属于中档题.22．(I)(Ⅱ)【解析】试题分析：（1）由和项求通项，注意分类讨论：当2n ≥时，1111.2n n n n n n a S S a a ---⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭即11111222 1.2n n n n n n n a a a a ----⎛⎫=+⇒=+ ⎪⎝⎭1 1.n n b b -⇒=+根据等差数列定义可证，并求出通项公式()111,n b n n =+-⨯=所以.2n nn a = （2）因为,n c n =2211.2n n c c n n +=-+所以裂项相消法求和得1111212n T n n =+--++，这是一个递增数列，而4525252121T T ，，因此n 的最大值为4. 试题解析：解：（1）：在1122n n n s a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭中，令1,n =可得1111112,.2a S a a ==--+=当2n ≥时，11112,2n n n S a ---⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭所以1111.2n n n n n n a S S a a ---⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭即111112,22 1.2n n n n n n n a a a a ----⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭而12, 1.n nn n n b a b b -=∴=+即当12, 1.n n n b b -≥-=又1121,b a ==所以，数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列． 于是()111,n b n n =+-⨯=所以.2n nn a = （2）因为22log log 2,n n n nc n a ===所以()22211.·22n n c c n n n n +==-++ 1111111111111...132435112212n T n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由25,21n T <得111251,21221n n +--<++即1113.1242n n +>++ 又()1112f n n n =+++单调递减，()()11134,5,3042f f == n ∴的最大值为4.考点：等差数列定义及通项公式，裂项相消法求和【方法点睛】将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如（其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数）的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和（如本例），还有一类隔一项的裂项求和，如（n≥2）或.23．（1）2nn a =；（2）6．【解析】试题分析：（1）求等比数列的通项公式，关键是求出首项和公比，这可直接用首项1a 和公比q 表示出已知并解出即可（可先把已知化简后再代入）；（2）求出n b 的表达式后，要求其前n 项和，需用错位相减法．然后求解不等式可得最小值． 试题解析：（1）∵32a +是24,a a 的等差中项，∴()32422a a a +=+， 代入23428a a a ++=，可得38a =，∴2420a a +=，∴212118{20a q a q a q =+=，解之得122a q =⎧⎨=⎩或132{12a q ==， ∵1q >，∴122a q =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为2nn a = （2）∵1122log 2log 2?2n n nn n n b a a n ===-，∴()21222?2nn S n =-⨯+⨯++L ，．．．．．．．．．．．．．．．①()23121222?2?2n n S n n +=-⨯+⨯+++L ，．．．．．．．．．．．．．②②—①得()2311112122222?2?222?212nn n n n n nS n n n ++++-=+++-=-=---L∵1·262n n S n ++>，∴12262n +->，∴16,5n n +>>， ∴使1·262n n S n ++>成立的正整数n 的最小值为6 考点：等比数列的通项公式，错位相减法．24．（Ⅰ）3nn a =；（Ⅱ）()1121334n n S n +⎡⎤=-⋅+⎣⎦. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由已知，当1n ≥时，()()()111211n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+L ，结合题意和等比数列前n 项和公式确定数列的通项公式即可；（Ⅱ）结合(Ⅰ)的结果可知3nn b n =⋅，利用错位相减求和的方法求解其前n 项和即可.【详解】（Ⅰ）由已知，当1n ≥时，()()()111211n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+L12323233n n L -=⨯+⨯++⨯+()1233311n n -=⋅+++++L ()1123112n +⎡⎤=⋅-+⎢⎥⎣⎦13n +=∵13a =，即关系式也成立，∴数列{}n a 的通项公式3nn a =. （Ⅱ）由3nn n b na n ==⋅，得231323333nn S n =⨯+⨯+⨯++⋅L ，而()23413132333133nn n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅L ，两式相减，可得()231233333n n n S n +-=++++-⋅L ()111133322n n S n ++⎡⎤=---⋅⎢⎥⎣⎦∴()1121334n n S n +⎡⎤=-⋅+⎣⎦. 【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 25．（1）112n a n =+;（2）1422n n n S ++=-. 【解析】 【分析】 （1）方程的两根为2,3，由题意得233,2a a ==，在利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n 项和公式即可求出．【详解】方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2，3. 由题意得a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12，从而得a 1＝32. 所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1. （2）设2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为S n ，由（1）知2n n a ＝122n n ++， 则S n ＝232＋342＋…＋12n n +＋122n n ++，12S n ＝332＋442＋…＋112n n ++＋222n n ++， 两式相减得12S n ＝34＋311122n +⎛⎫+⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭－222n n ++＝34＋111142n -⎛⎫- ⎪⎝⎭－222n n ++， 所以S n ＝2－142n n ++. 考点：等差数列的性质；数列的求和． 【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前n 项和公式、一元二次方程的解法等知识点的综合应用，解答中方程的两根为2,3，由题意得233,2a a ==，即可求解数列的通项公式，进而利用错位相减法求和是解答的关键，着重考查了学生的推理能力与运算能力，属于中档试题．26．（1）23n a n =-，14n n b -=；（2）4(1)n nT n =+【解析】 【分析】（1）将1250,15a a S +==转化为1,a d 的形式列方程组，解方程组求得1,a d 的值，进而求得数列{}n a 的通项公式，由此化简131(2)n n n n n nb a b a b ++++=，判断出数列{}n b 是等比数列，进而求得数列{}n b 的通项公式.（2）利用裂项求和法求得数列{}n c 的前n 项和n T . 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，所以11120,1,2,23545152n a d a d a n a d +=⎧⎪∴=-==-⎨⨯+=⎪⎩； 由1311(2),(6n 12n 1)b 4nb n n n n n n n n nb a b a b nb +++++=⇒=--+=，14n nb b +∴=，所以数列{}n b 是以4为公比，首项121b a ==的等比数列，14.n n b -∴=（2）因为2111111(),(5)log (22)(2)41n n n c a b n n n n +===-+⋅++ 1211111111b b b (1).42233414(n 1)n n n T n n ∴=+++=-+-+-++-=++L L 【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的通项公式，考查等比数列的通项公式，考查裂项求和法，考查运算求解能力，属于中档题.。
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一、选择题
1．已知关于 x
的不等式 x2
4ax 3a2
0a
0 的解集为 x1, x2 ，则 x1
x2
a x1x2
的
最大值是（ ）
A． 6 3
B． 2 3 3
C． 4 3 3
D． 4 3 3
2．已知数列{an} 满足 a1 1， an1 an 2n ，则 a10 （ ）
（1）求函数 y f x 的单调递增区间；
（2）在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c, f A 2, a 7 ，且 b 2c ，求
ABC 的面积．
26．数列an中， a1 1
，当 n
2
时，其前
n
项和
Sn
满足
Sn2
an
(Sn
1) 2
．
（1）求 Sn 的表达式；
(2)设 bn ＝
A．1024
B．2048
C．1023
D．2047
3．已知等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ， a1
9，
S9 9
S5 5
4 ，则 Sn 取最大值时的 n 为
A．4
B．5
C．6
D．4 或 5
4．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高
窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共 7 层，每上
层的数量是下层的 2 倍，总共有 1016 个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若
从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列an，则 log2 a3 a5 的值为（ ）
A．8
B．10
C．12
D．16
5．设函数 是定义在
上的单调函数，且对于任意正数 有
，已知
，若一个各项均为正数的数列 满足
∵an＞0，∴an-an-1-1=0 即 an-an-1=1∴数列{an}为等差数列，a1=1，d=1；∴an=1+（n-1）×1=n 即 an=n 所以 故选 C
6．B
解析：B 【解析】
试题分析：由题可知，将 an
1 3
an1
(1)n (n 3
2 ，两边同时除以
，得出
，运用累加法，解得
，整理得 an
Sn 2n
1
,求数列
bn
的前
n
项和
Tn
．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
：不等式 x2-4ax+3a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2），
根据韦达定理，可得： x1x2 3a2 ，x1+x2=4a，
那么： x1
x2
a x1x2
=4a+
1 3a
．
∵a＜0，
AP （1，0) 4(0,1) (1, 4) ，即 P（1，4) ，所以 PB （1 1， 4) ， PC （1，t 4) ，因 t
此 PB PC
1 1 4t 16 17 (1 4t) ，因为 1 4t 2
t
t
t
1 4t 4 ，所以 PB PC 的最大值等于 t
13 ，当 1 4t ，即 t 1 时取等号．
利用数列的知识求解．
5．C
解析：C 【解析】
∵f（Sn）=f（an）+f（an+1）-1=f[ an（an+1）]∵函数 f（x）是定义域在（0，+∞）上的单
调函数，数列{an}各项为正数∴Sn= an（an+1）①当 n=1 时，可得 a1=1；当 n≥2 时，Sn-
1= an-1（an-1+1）②，①-②可得 an= an（an+1）- an-1（an-1+1）∴（an+an-1）（an-an-1-1）=0
16．如图所示，在平面四边形 ABCD 中， AB 2 ， BC 3 ， AB AD ，
AC CD ， AD 3AC ，则 AC __________．
17．已知对满足 4x 4y 5 4xy 的任意正实数 x，y，都有 x2 2xy y2 ax ay 1 0 ，则实数 a 的取值范围为______．
＝（ ）
A．1
B．3
C．6
D．9
x y 2 0
8．若
x
，
y
满足
x
y
4
0 ，则
z
y
2
x
的最大值为（
）．
y 0
A． 8
B． 4
C．1
D． 29．已知AB NhomakorabeaAC
，
AB
1， t
AC
t ，若 P 点是
ABC 所在平面内一点，且
AP
AB AB
4 AC AC
，则 PB·PC
的最大值等于（
）.
A．13
直线 y 2x 可知当直线经过点 D(0,2) 时，直线的截距最大，从而 z 最大， zmax 2 ，
综上， z y 2 x 的最大值为 2 ．
故选 D ．
点睛：利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域． (2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ ax by 型）、
7, S7
a1
1 27 1 2
1016 ，解
得 a1 8 ，则 an 8 2n1 2n2 1 n 7, n N* ， a3 25 , a5 27 ，从而
a3 a5 25 27 212,log2 a3 a5 log2 212 12 ，故选 C．
【点睛】
本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后
可得 log3 a1a2 a12 12 ，进而可得 a1a2 a12 a6a7 6 312 ，
a6a7 9 .
【点睛】 本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能 力.
8．D
解析：D 【解析】
x y 2 0
作出不等式组
x
y
4
0
，所表示的平面区域，如图所示，
∴-（4a+ 1 ）≥2 4a 1 = 4 3 ，即 4a+ 1 ≤- 4 3
3a
3a 3
3a 3
故
x1
x2
a x1x2
的最大值为
43 3
．
故选 D．
点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示
内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一
正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为
定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
2．C
解析：C 【解析】
【分析】
根据叠加法求结果.
【详解】
因为 an1 an 2n ，所以 an1 an 2n ，
因此 a10 a10 a9 a9 a8
【点睛】
t
2
考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．
10．A
解析：A 【解析】
【分析】
先根据二倍角公式化简，再根据正弦定理化角，最后根据角的关系判断选择. 【详解】
因为 cos2 A b c ，所以 2 2c
1 cosA b c , ccosA b,sinCcosA sinB sin A C,sinAcosC 0 ,因此
y 0
当 x 0 时，可行域为四边形 OBCD 内部，目标函数可化为 z y 2x ，即 y 2x z ，
平移直线 y 2x 可知当直线经过点 D(0,2) 时，直线的截距最大，从而 z 最大，此时，
zmax 2 ， 当 x 0 时，可行域为三角形 AOD ，目标函数可化为 z y 2x ，即 y 2x z ，平移
2
2c
cosC 0，C ,选 A. 2
a2 a1 a1 29 28
2 1 1 210 1023，选 C. 1 2
本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.
3．B
解析：B 【解析】
由 {an } 为等差数列，所以
S9 9
S5 5
a5
a3
2d
4 ，即 d
2 ，
由 a1 9 ，所以 an 2n 11，
2
2
a b 5, c 7 ，则 ab 为 ．
14．已知数列
an
、
bn
均为等差数列，且前
n
项和分别为
Sn
和
Tn
，若
Sn Tn
3n 2
，
n 1
则 a4 b4
_____．
15．已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 S13 6 ，则 3a9 2a10 __________．
，
(
，
)．
2
（1）当 cos ＝ 5 时，求小路 AC 的长度；
5
（2）当草坪 ABCD 的面积最大时，求此时小路 BD 的长度．
22．在 ABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c .已知 cos A 2 cos C 2c a
cos B
b
（1） 求 sin C 的值 sin A
y
x
，若 z 2x y 的最小值为 3，则实数
y x b
b ____ 三、解答题
21．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示
的四边形 ABCD．其中 AB＝3 百米，AD＝ 5 百米，且△BCD 是以 D 为直角顶点的等腰直角