大学物理刚体定轴转动概论
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2.6 大学物理 刚体的定轴转动详解
分析：
解:滑轮具有一定的转动惯量。 转动中受阻力矩，两边的张力不 再相等，设物体1这边绳的张 力为T1、 T1’(T1’= T1) ， 物体2这边的张力为
T2、 T2’(T2’= T2)
m
1
T1 T
1
T2 T
2
a m
1
a
m G
2 1
a G
2
m
2
因m2>m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以 顺时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方 程
分析： 飞轮制动 角加速度
正压力FN
力矩平衡
摩擦力矩
制动力F
分析： 飞轮制动
正压力FN
角加速度
摩擦力矩
l1
l2
F
力矩平衡
制动力F
解： 摩擦力矩是恒力矩，飞 轮做匀角加速度转动
0
t 2 n T
l1
FN
FN
l2
F f
F
由转动定律：M=Jβ 闸瓦对轮的摩擦力矩 M F f R FN R
（设轮轴光滑无摩擦，滑轮的初角速度为零）
求 滑轮转动角速度随时间变化的规律。
解 以m1 ， m2 ， m 为研究对象, 受力分析 物体 m1：
物体 m2： 滑轮 m：
例1 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150r· min-1， 因受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动 . 试求：（1） 角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开 始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘 上一点的线速度、切向加速度和法向加速度 .
a m2 m1 g M / r 1 r m2 m1 m r 2
大学物理第5章刚体的定轴转动
Jz Jx Jy
Jc J mC
质心
d
yi
xi
ri
y
x
Δmi
1 2
mR
2
R
1 4
mR
2
6
第六页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
常用的转动惯量
细杆：
J过中点垂直于杆
1 12
mL2
J过一端垂直于杆
1 3
mL2
圆柱体：
J对称轴
1 2
mR 2
薄球壳：
J 直径
2 3
mR
2
球体：
J 直径
2 5
mR
2
7
第七页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
d L Lsin dΘ M d t
旋进角速度： Ω dΘ
dt
Ω d
dL
Lsin L
Ω M M
Lsin J sin
O
当 90 时 ，Ω M J
Ω
1
，
Ω
演示 车轮旋进（KL023) TV 旋进防止炮弹翻转（注2）
M外z 0 ，则 J z const .
大小不变 正、负不变
对刚体系， M外z = 0 时， Jizi const.，
此时角动量可在系统内部各刚体间传递，
而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。
演示 角动量守恒：茹科夫斯基转椅(KL016)
转台车轮 (KL017)
陀螺仪（KL029）
30
第三十页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
5、车轮进动
2
第二页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
§5.1 刚体的定轴转动定律
z
Mz
dLz dt
大学物理 刚体的定轴转动
Fi fi Δ mi ai
ri
fi
2、刚体定轴转动的转动定律
d ( J ) dL M J dt dt
刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚体上的 合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比。
刚体定轴转动的转动定律
M＝J 与 F ma 地位相当
2
J J c md 2
5.3.2平行轴定理
推广：若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动
惯量为J，则有：J＝JC＋md2。这个结论称为平行轴定理。 证明：如右图示，刚体的二轴分别为z 和 z’ 轴，
J z mi ri 2 mi ( xi2 yi2 )
i
y y m x y 2 x m x 2 y m y x
dM 阻 dmgx
1 M 阻 mgl 2
1 2
l M 阻 dM 阻 0 gxdx gl2
由细杆质量
m l 有
第二类问题：已知 J 和力矩M ：求出运动情况a和 及F。 N 如图，一细而轻的绳索跨过一定滑轮，绳 M R 的两端分别悬有质量为m1 和m2的物体， T2 且m1 ＞m2 。设定滑轮是一质量为M ，半 T a 1 P a 径为R的圆盘 。绳的质量略去不计 ，且绳 T1 与滑轮无相对滑动 。试求物体的加速度和 m1 T2 绳的张力 。如果略去滑轮的运动，将会得 m2 到什么结果？ 解：分别作出滑轮M、物体m1和m2的受 m2g 力图。 由于绳索质量不计，且长度不变， m1 g 故m1和m2两物体运动的加速度大小相等，但方向相反。 ⑴ 对m1 ： m1g –T1=m1a 应用牛顿第二定律 对m2 ： T2–m2g = m2a ⑵ 对M ：（T1–T2）R=J ⑶ 应用转动定律
《大学物理》3.4刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动， 例：我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动，地心为该椭圆 的一个焦点。 的一个焦点。已知地球半径 R ，卫星的近地点到地面距离 l ，卫星的远 地点到地面距离 l 。若卫星在近地点速率为 v1 ，求它在远地点速率 v2 。
1 2
卫星在运动过程中，所受力主要是万有引力， 解：卫星在运动过程中，所受力主要是万有引力，其它力忽 略不计，故卫星在运动过程中对地心角动量守恒。 略不计，故卫星在运动过程中对地心角动量守恒。 m
0
r
A
θ = 90
0
mv
质点作圆周运动的角动量
θ
L = rmv = mr ω
2
2.2刚体的角动量 刚体的角动量 刚体对 oz轴的角动量为
z
ω
v
2
i
L = ∑ m r ω = (∑ m r )ω
2 i i i i
o
r
i
m
i
∑ m r 刚体绕 oz 轴的转动惯量
2 i i
L = Jω
L = Jω
刚体对转轴的角动量等于其转动惯量与角速度乘积。 刚体对转轴的角动量等于其转动惯量与角速度乘积。
1 m v 0 a = ( ML2 + ma 2 )ω 3
子弹射入后一起摆动的过程只有重力做功，故系统机 械能守恒。
1 1 L 2 2 2 ( ML + ma )ω = mga (1 cos60°) + Mg (1 cos60°) 2 3 2
ω=
3(2ma + ML)g 2(3ma 2 + ML2 )
二、角动量定理和角动量守恒定理
1× mv 对时间求导 = r × (mv ) + × mv dt dt dt dr d dL ∵ = v , F = (mv ) M = dt dt dt dL 质点所受合外力矩等于质 ∴ = r × F + v × mv dt 点角动量对时间的变化率
大学物理3_2 刚体定轴转动的动力学描述
显然
Fij Fji
两力对转轴的力矩:
M ij Fij ri sin i
M ji Fji rj sin j
由于 ri sin i rj sin j d 所以
Mij M ji
整个刚体
M M ij 0
第三章 刚体的转动 3 – 2 刚体定轴转动的动力学描述 例1 如图所示,有一半径为 R 、质量为 m的均匀圆盘， 可绕通过圆盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动.转轴与圆 盘之间的摩擦略去不计.圆盘上绕有轻而细的绳索,绳的一 端固定在圆盘上,另一端系一质量为m 的物体.试求作用在 圆盘上的力矩.
J A mi ri 2 0 2m l2 m(l 2 l 2 ) 4m l2 （1）
i 1
4
4
l2 l2 2 （2） J 0 mi ri 2 4m( ) 2ml2 2 i 1
（3）
J AD
l2 l2 2 mi ri 2 2m( ) ml2 2 i 1
第三章 刚体的转动
例3-4 质量分别为 m1和 m2 的两个物体A、B分别悬挂 在图所示的组合轮两端。设两轮的半径分别为 R和 r，两 轮的转动惯量分别为 J1和 J 2，轮与轴承间、绳索与轮间的 摩擦力均略去不计，绳的质量也略去不计。试求两物体的 加速度和绳的张力。 解 作受力图，如图所示
3 – 2 刚体定轴转动的动力学描述
dJ r dm 2π r dr R 3 4 J 2π r dr π R 0
2
而
m π R
2
所以
1 2 J mR 2
3 – 2 刚体定轴转动的动力学描述 注意
第三章 刚体的转动
Fij Fji
两力对转轴的力矩:
M ij Fij ri sin i
M ji Fji rj sin j
由于 ri sin i rj sin j d 所以
Mij M ji
整个刚体
M M ij 0
第三章 刚体的转动 3 – 2 刚体定轴转动的动力学描述 例1 如图所示,有一半径为 R 、质量为 m的均匀圆盘， 可绕通过圆盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动.转轴与圆 盘之间的摩擦略去不计.圆盘上绕有轻而细的绳索,绳的一 端固定在圆盘上,另一端系一质量为m 的物体.试求作用在 圆盘上的力矩.
J A mi ri 2 0 2m l2 m(l 2 l 2 ) 4m l2 （1）
i 1
4
4
l2 l2 2 （2） J 0 mi ri 2 4m( ) 2ml2 2 i 1
（3）
J AD
l2 l2 2 mi ri 2 2m( ) ml2 2 i 1
第三章 刚体的转动
例3-4 质量分别为 m1和 m2 的两个物体A、B分别悬挂 在图所示的组合轮两端。设两轮的半径分别为 R和 r，两 轮的转动惯量分别为 J1和 J 2，轮与轴承间、绳索与轮间的 摩擦力均略去不计，绳的质量也略去不计。试求两物体的 加速度和绳的张力。 解 作受力图，如图所示
3 – 2 刚体定轴转动的动力学描述
dJ r dm 2π r dr R 3 4 J 2π r dr π R 0
2
而
m π R
2
所以
1 2 J mR 2
3 – 2 刚体定轴转动的动力学描述 注意
第三章 刚体的转动
大学物理第5章刚体定轴转动
12
l
细棒转轴通过端点 与棒垂直
ml 2 J
3
第一篇 力学
重 大 数 理 学 院
2r
赵 承 均
球体转轴沿直径
J 2mr2 5
2r
球壳转轴沿直径
J 2mr2 3
第一篇 力学
4.平行轴定理
重
大 平行轴定理：刚体绕平行于质心轴的转动惯量J，等于绕质心
数
理 学
轴的转动惯量 JC 加上体质量与两轴间的距离平方的乘积。
院
赵
J JC md 2
承
均
J
JC
刚体绕质心轴的转 动惯量最小。
dC
m
第一篇 力学
例1：再以绕长为 l,质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一端轴转
重 动为例，利用平行轴定理计算转动惯量 J 。
大
数 理
解：绕细杆质心的转动惯量为：
学
院
JC
1 12
ml 2
赵
J
JC
ml
承
均 绕杆的一端转动惯量为
o
C
第一篇 力学
§ 5.1 刚体平动和定轴转动
一、质点系力学性质的分类
重
大 刚体
数
任意两质点间距离不变的质点系，称为刚体。
理
学 院
变形体
至少一对质点间距可变的质点系，称为变形体。
赵 承
二、刚体运动的分类
均
平动
刚体中任意两质点连 线在运动过程中保持平行 的运动，称为平动。
此类运动，任意两点的轨道形状、速度、加速度都相同。
第一篇 力学
4.角加速度— 描写角速度变化快慢和方向的物理量。
重
大 数 理 学
l
细棒转轴通过端点 与棒垂直
ml 2 J
3
第一篇 力学
重 大 数 理 学 院
2r
赵 承 均
球体转轴沿直径
J 2mr2 5
2r
球壳转轴沿直径
J 2mr2 3
第一篇 力学
4.平行轴定理
重
大 平行轴定理：刚体绕平行于质心轴的转动惯量J，等于绕质心
数
理 学
轴的转动惯量 JC 加上体质量与两轴间的距离平方的乘积。
院
赵
J JC md 2
承
均
J
JC
刚体绕质心轴的转 动惯量最小。
dC
m
第一篇 力学
例1：再以绕长为 l,质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一端轴转
重 动为例，利用平行轴定理计算转动惯量 J 。
大
数 理
解：绕细杆质心的转动惯量为：
学
院
JC
1 12
ml 2
赵
J
JC
ml
承
均 绕杆的一端转动惯量为
o
C
第一篇 力学
§ 5.1 刚体平动和定轴转动
一、质点系力学性质的分类
重
大 刚体
数
任意两质点间距离不变的质点系，称为刚体。
理
学 院
变形体
至少一对质点间距可变的质点系，称为变形体。
赵 承
二、刚体运动的分类
均
平动
刚体中任意两质点连 线在运动过程中保持平行 的运动，称为平动。
此类运动，任意两点的轨道形状、速度、加速度都相同。
第一篇 力学
4.角加速度— 描写角速度变化快慢和方向的物理量。
重
大 数 理 学
大学物理 第五章 刚体定轴转动
2(m2 m1 ) g 8题： 2 2 (m1 m1 )r1 (m2 m2 )r2
例题9
9、如图所示，质量为m，长为l的均匀细杆，可绕一端 1 光滑的水平轴在竖直面内转动（ J ml 2），求(1)杆 3 o 从水平位置摆下角 ( < 90 ) 时的角速度（分别用转动 定律和机械能守恒定律求解）？（2）细杆的长度缩小 一半时，角速度的大小如何变化？
连，若绳与滑轮间无相对滑动，
滑轮轴上的摩擦忽略不计，假设
开始使物体静止而弹簧无伸长。
求：物体下落h=0.4m时的速率
是多大。
v 18.6m / s
例 题 15
15、如图所示，滑轮绕轴的转动惯量0.5kg· m2，半径
r=30cm，弹簧的劲度系数k=2N/m，重物的质量m=2.0kg。
此滑轮－重物系统从静止开始启动，开始时弹簧没有伸长 如果忽略所有摩擦，问：（１）物体沿斜面下滑１m时，
2 台对轴的转动惯量为1200kg m，质量为 80kg的人，
开始时站在台的中心，随后沿半径向外跑去，当人 距转台中心 2m 时，转台的角速度为______rad/s。
J 00 0.496rad / s 2 J 0 mr
例题5
5、半径 R 的飞轮可绕过其中心且垂直于轮面的水平
轴转动，飞轮绕以细绳，绳末端悬一质量为m 物体，
测得物体下落的加速度为 a ，假定轮轴的摩擦力矩为
常数M r ，求轮的转动惯量？
R
R 答案： J [mR ( g a ) M r ] a
m
a
例题6
6、如图所示，轻绳跨过半径为R具有水平光滑轴、质量 为M的定滑轮；绳的两端分别悬有质量为m1和m2物体 (m1<m2)，绳与轮之间无相对滑动，滑轮轴处的摩擦不 计；设开始时系统静止，求滑轮的角加速度α及物体的 加速度a ？
大学物理学第三版 第5章 刚体的定轴转动2011
vi θ
P
Δmi
o
转动平面
x
op r
2.定轴转动的角量描述 1.角位置θ
2.角位移
Ｐ 方向与转动方向成右手螺旋法则。 o θ X 转动平面 op r P点线速度 v r d ( rad / s 2 ) 4. 角加速度矢量 dt 由于在定轴转动中轴的 当加速转动时, 与 方向相同； 方位不变，故 , 只 有沿轴的正负两个方向， 当减速转动时, 与 方向相反;
Δmｊ
质元
Δmi
ｒ iｊ
2. 刚体的运动形式: ⑴平动： 在描述刚体的平动时,可以用一点的运 动来代表，通常就用刚体的质心的运动来 代表整个刚体的平动。
⑵转动: 转动是刚体的基本运动形式之一。 刚体转动时各质元均做圆周运动,而且 各圆的圆心都在一条固定不动的直线上, 这条直线叫转轴。如果转轴方向不随时间 变化, 则称定轴转动。
d 3.角速度: 单位：rad/s dt 角速度是矢量 。
Z
ω 转动方向 v
可以用标量代替。
５.当角加速度是常量时： 0 t
( 0 ) t 1 t 2 2
2 2 0 2 ( 0 )
P点线加速度 a r
an r
转轴
⑶ 刚体的一般运动都可以认为是平动和绕某一转轴转动 的结合。如图,车轮的转动。
二、刚体定轴转动的描述 1.特点: 其上各质元都在垂直于转轴的平面内作圆周运动, 且所有质元的矢径在相同的时间内转过的角度相同. 一般用角量描述。 转动平面: 取垂直于转轴 的平面为参考系, 称转动平面。,
转轴 Z
转动方向
刚体的角动量
L J
大学物理力学第五章1刚体、转动定律
3. 同一方程式中所有量都必须相对同一转轴。
(12)
例1、如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑
轮．A滑轮挂一质量为M的物体，B滑轮受拉力F，而且
F＝Mg．设A、B两滑轮的角加速度分别为βA和β B，
不计滑轮轴的摩擦，则有
(A) β A＝ β B． (B) β A＞ β B． (C) β A＜ β B． (D) 开始时β A＝ β B，以后β A＜ β B.
转动惯量的计算
1)定义 J miri2
J r 2dm
i
m
2) 对称的 简单的 查表
3) 平行轴定理
典型的几种刚体的转动惯量
m
m
l
细棒转轴通过中 心与棒垂直
J ml 2 12
l
细棒转轴通过端 点与棒垂直
J ml 2 3
M，R
M，R
o
圆环转轴通过环心与环面垂直
J MR2
薄圆盘转轴通过 中心与盘面垂直
以 m1 为研究对象 m1g T1 m1a 以 m 2 为研究对象 T2 m2a 以 M 为研究对象
(T1 T2 )R J J 1 MR 2 2
m 2 T2 M , R
（1） T1
T1
（2）
m1
m1
M ,R
m1g （3）
T2
m2
T2
T1
补充方程：
a R
（4）
联立方程（1）---（4）求解得
J 1 MR 2 2
m 2r
r l
球体转轴沿直径
J 2mr 2 5
圆柱体转轴沿几何轴
J 1 mr 2 2
转动定律应用举例 解题步骤: 1. 认刚体;
3. 分析力和力矩;
(12)
例1、如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑
轮．A滑轮挂一质量为M的物体，B滑轮受拉力F，而且
F＝Mg．设A、B两滑轮的角加速度分别为βA和β B，
不计滑轮轴的摩擦，则有
(A) β A＝ β B． (B) β A＞ β B． (C) β A＜ β B． (D) 开始时β A＝ β B，以后β A＜ β B.
转动惯量的计算
1)定义 J miri2
J r 2dm
i
m
2) 对称的 简单的 查表
3) 平行轴定理
典型的几种刚体的转动惯量
m
m
l
细棒转轴通过中 心与棒垂直
J ml 2 12
l
细棒转轴通过端 点与棒垂直
J ml 2 3
M，R
M，R
o
圆环转轴通过环心与环面垂直
J MR2
薄圆盘转轴通过 中心与盘面垂直
以 m1 为研究对象 m1g T1 m1a 以 m 2 为研究对象 T2 m2a 以 M 为研究对象
(T1 T2 )R J J 1 MR 2 2
m 2 T2 M , R
（1） T1
T1
（2）
m1
m1
M ,R
m1g （3）
T2
m2
T2
T1
补充方程：
a R
（4）
联立方程（1）---（4）求解得
J 1 MR 2 2
m 2r
r l
球体转轴沿直径
J 2mr 2 5
圆柱体转轴沿几何轴
J 1 mr 2 2
转动定律应用举例 解题步骤: 1. 认刚体;
3. 分析力和力矩;
《大学物理》第三章 刚体的定轴转动
P
t
=
1 2
ω J 2 自
t
=
ω J 2 自 2P
=
2×105× (30π)
2×736×103
2
=
1.21×103s
(2) ω进 = 1度 秒 = 0.0175rad/s
ω进 =
M
Jω自
M = Jω进ω自
M = 2×105×0.0175×30π= 3.3×105 N返回.m退出
3-14 在如图所示的回转仪中，转盘的 质量为 0.15kg , 绕其轴线的转动惯量为： 1.50×10-4 kg.m2 ,架子的质量为 0.03kg, 由转盘与架子组成的系统被支持在一个支柱 的尖端O，尖端O到转盘中心的距离为0.04 m , 当转盘以一定角速度ω 绕其轴旋转时， 它便在水平面内以1/6 rev/s的转速进动。
为25cm，轴的一端 A用一根链条挂起，如
果原来轴在水平位置，并使轮子以ω自=12 rad／s的角速度旋转，方向如图所示，求：
（1）该轮自转的角动量；
（2）作用于轴上的外力矩；
（3）系统的进动角速度， ω
并判断进动方向。
AO
B
R
l 返回 退出
解：
(1)
J
=
m
R
2
回
=
5×(0.25 )2
ω
= 0.313 kg.m2
a
=
m
1+
m m
1g 2+
J
r2
T1 =
m 1g (m 2+ J m 1+m 2 + J
r 2) r2
T2 =
m 1m 2g m 1+m 2 + J
《大学物理》第五章刚体的定轴转动
偏转角为30°。问子弹的初速度为多少。
o
解： 角动量守恒：
30°
mva 1 Ml 2 ma 2
la
3
v
机械能守恒：
1 1 Ml 2 ma 2 2 mga1 cos 30 Mg l 1 cos 30
23
2
v 1 g 2 3 Ml 2ma Ml 2 3ma 2 ma 6
刚体可以看成是很多质元组成的质点系，且在外力 作用下，各个质元的相对位置保持不变。 因此，刚体的运动规律，可通过把牛顿运动定律应 用到这种特殊的质点系上得到。
3
2.刚体的运动
平动：刚体在运动过程中，其上任意两点的连线 始终保持平行。
刚体的平动可看做刚体质心 的运动。
转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
r2dm
L
r2 dl
L
（线质量分布）
12
3 平行轴定理
如果刚体的一个轴与过质 心轴平行并相距d，则质量 为 m 的刚体绕该轴的转动 惯量，等于刚体绕过质心 轴的转动惯量与 md2 之和：
J z Jc md 2
请同学们自己证明平行轴定理的。
提示：利用余弦定理 ri2 ri '2 d 2 2dxi 13
hc hi
若A外+ A内非=0
Ep=0
则Ek +Ep =常量。
例13 一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处于 水平位置，然后让它自由下落。求： ( )
解 方法一 动能定理
M mg L cos
2
W
Md
mg
L cosd
0
0
2
mg L sin
2
θ
大学物理 刚体力学
试计算飞轮的角加速
rO
F
mg
解 (1)
Fr J
Fr 98 0.2 39.2 rad s -2 J 0.5
(2) mg T ma
Tr J a r
两者区别
rO
mgr 98 0.2 -2 21 . 8 rad s J mr 2 0.5 10 0.22
3、转动惯量
(1)定义
J mi ri2
在（SI）中，J 的单位：kgm2
物理意义：转动惯量是对刚体转动惯性大小的量度，其大小 反映了改变刚体转动状态的难易程度。 (2) 与转动惯量有关的因素 ①刚体的质量及其分布 ②转轴的位置 (3) 转动惯量的计算
m1
①质量离散分布的刚体
J mi ri2
二、刚体定轴转动的转动定律
1.力矩
力
改变质点的运动状态
改变刚体的转动状态
质点获得加速度 刚体获得角加速度
力矩
（1） 力矩的定义式
M
M r F
大小：M Fr sin Fd M rF （2） 物理意义
是决定刚体转动的物理量,表明力的大 小、方向和作用点对物体转动的影响。
z
M
PP
x
参考 方向
x x
转动平面 转轴
（2）角速度
d dt
角速度方向用右手螺旋法则确定。
定轴转动的角速度仅有沿转轴的两个方向。
用正负号表示方向
d
（3） 角加速度
角加速度方向与 加速转动 相同。 方向相反
方向一致; 减速转动
（4） 角量与线量的关系
大学物理学第四章 刚体的定轴转动
加速度及绳中张力。
解： 分别对 m1 m2 和 m 分析运动、受力，设各量如图所示
m
f
R
、
m1 m2
例题4-5图
因绳不伸长 a1 a2 a
因轻绳
T1 T1, T2 T2
对m1有
T1 m1g m1a
对m2有
m2 g T2 m2a
对滑轮 m 由转动方程 再从运动学关系上有
求导数 求积分
如果 为恒量
相应公式
0 t
0
0t
1 2
t2
2
2 0
2(
0
)
【例题4-1】 一转动的轮子由于摩擦力矩的作用，在5s内角 速度由15rad/s 匀减速地降到10rad/s 。求：(1)角加速度；(2) 在此5s内转过的圈数；(3)还需要多少时间轮子停止转动。
i
B mi
i i
A dC x
由图 i2 i2 d 2 2id cosi
J A
2
i
mi
mi (i2 d 2 2id cosi )
mi i2 mid 2 mi i cosi 2d
mi i cosi mi xi mx c 0
5、转动惯量与质量
任何刚体都有质量，无论是作平动，还是作转动，刚 体的质量都是固有属性，不会消失也不会变化（指低 速而言）。但转动惯量只在转动时才有意义，对于平 动是无转动惯量可言的 。
一定形状的刚体其质量是恒定的，但其转动惯量却 不是惟一的，它不仅取决于总质量，还取决于质量 的分布和转轴的位置。对于不同的转轴来说，由于 质量对转轴的分布情况不停，转动惯量值就不相同 了。因此，必须建立起这样的概念：一提到转动惯 量，马上应想到它是对哪个转轴而言的。
解： 分别对 m1 m2 和 m 分析运动、受力，设各量如图所示
m
f
R
、
m1 m2
例题4-5图
因绳不伸长 a1 a2 a
因轻绳
T1 T1, T2 T2
对m1有
T1 m1g m1a
对m2有
m2 g T2 m2a
对滑轮 m 由转动方程 再从运动学关系上有
求导数 求积分
如果 为恒量
相应公式
0 t
0
0t
1 2
t2
2
2 0
2(
0
)
【例题4-1】 一转动的轮子由于摩擦力矩的作用，在5s内角 速度由15rad/s 匀减速地降到10rad/s 。求：(1)角加速度；(2) 在此5s内转过的圈数；(3)还需要多少时间轮子停止转动。
i
B mi
i i
A dC x
由图 i2 i2 d 2 2id cosi
J A
2
i
mi
mi (i2 d 2 2id cosi )
mi i2 mid 2 mi i cosi 2d
mi i cosi mi xi mx c 0
5、转动惯量与质量
任何刚体都有质量，无论是作平动，还是作转动，刚 体的质量都是固有属性，不会消失也不会变化（指低 速而言）。但转动惯量只在转动时才有意义，对于平 动是无转动惯量可言的 。
一定形状的刚体其质量是恒定的，但其转动惯量却 不是惟一的，它不仅取决于总质量，还取决于质量 的分布和转轴的位置。对于不同的转轴来说，由于 质量对转轴的分布情况不停，转动惯量值就不相同 了。因此，必须建立起这样的概念：一提到转动惯 量，马上应想到它是对哪个转轴而言的。
大学物理第3章刚体的定轴转动
2. M、J、是对同一轴而言的。
3. 具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。
4. 转动惯量J是刚体转动惯性大小的量度。
8 8
3、转动惯量的计算
转动惯量： J miri2
i
质量连续分布的刚体： J r2dm
质量为线分布： dm dl
面分布： dm ds
体分布： dm dV
R
T2
m2 g T2 m2a2 T1 T1
T 2
RT2
RT1
(
1 2
m3
R
2
)
无相对滑动： a1 a2 R
T2 ,T1
m2 mg
2
15
例 一均匀细棒，可绕通过其端点并与棒垂直的水
平轴转动。已知棒长l，质量m，开始时棒处于水平 位置。令棒由静止下摆，求：（1）棒在任意位置时
M z Fr sin Fh Ftr
2）力不在转动平面内
F// 对轴的力矩为零
F//
F
h
r
A
Ft F Fn
M z rF sin Fh Ftr
5
说明
在定轴转动问题中，力对转轴的矩等于转动平 面内的分力对转轴的力矩。
同一个力对不同转轴的矩不一样；
的角加速度；（2） 角为300，900时的角速度。
解: 选垂直纸面向里为转轴正向
棒在任意位置时质元dm对O轴 o
的重力矩
dM mg dr r cos
l
r
dr
d
dm g
M
dM
l
0
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J 0.5
(2) mg T ma Tr J
mgr
J mr2
两者区别
TF
T
a r
98 0.2 0.5 10 0.22
21.8
rad/s 2
mg
河南警察学院基础部 李东玮
例 一定滑轮的质量为 m ，半径为 r ，不能伸长的轻绳两 边分别系 m1 和 m2 的物体挂于滑轮上，绳与滑轮间无 相对滑动。（设轮轴光滑无摩擦，滑轮的初角速度为零）
ω < 0，角速度方向向下。
|ω|增大，角加速度与角速度同向；
|ω|减小，角加速度与角速度反向。
河南警察学院基础部 李东玮
绕定轴转动刚体内各点的速度和加速度
任意点都绕同一轴作圆周运动,
且 ， 都相同
v rM
z ω,
v
rM • M Oθ
an rM 2
刚体
a
dv dt
rM
河南警察学院基础部 李东玮
角坐标 角速度 角加速度
f (t) (单位：rad)
d f '(t)
dt
d
dt
d 2
dt 2
f "(t)
I II
河南警察学院基础部 李东玮
当 c
0 t
0
0
t
1
2
t2
2 02 2 ( 0 )
与质点的匀加速直 线运动公式相似
角速度和角加速度的方向：右手螺旋方向
z ω,
ω > 0，角速度方向向上；
0
3
J L/2 x2dx 1 ML2
L / 2
12
平行轴定理
J z' J z ML2
J z' ⇒ 刚体绕任意轴的转动惯量 J z ⇒ 刚体绕通过质心的轴 L ⇒ 两轴间垂直距离
z' z M
L C
河南警察学院基础部 李东玮
常见形状转动惯量
河南警察学院基础部 李东玮
3.2.4 转动定律的应用举例
M
B B1 B2 B3
Bn
rB
A3
r A A1 A2
An
A
O
y
x
刚体中各质点的运动情况相同,刚体的平动可归结其上 任一质点的运动，通常可选质心作为代表。
河南警察学院基础部 李东玮
2. 刚体的转动
刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动 —— 转动
转轴相对参考系静止 —— 定轴转动
z
描述刚体绕定轴转动的角量描述
m r
0
t
m1 m2 gt
m1
m2
1 2
m
r
河南警察学院基础部 李东玮
3.3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
3.3.1 绕定轴转动刚体的动能
Δ
m1
,
Δ
m2
,
,
Δm
k
,
,
Δ
m
N
r1, r2, , rk, , rN
3.2 刚体的转动定律
问：质点问题中，我们将物体所受的力均作用于同一点，并 仅考虑力的大小和方向所产生的作用；刚体问题中，是否也 可以如此处理？力的作用点的位置对物体的运动是否有影响？
F
F
圆盘静止不动
F
圆盘绕圆心转动
F
可以反映力及其作用点位置的物理量 —— 力矩
河南警察学院基础部 李东玮
3.2.1 力矩
课程：《大学物理》 单位：河南警察学院 教师：李东玮
教学基本要求 1. 刚体运动的描述 2. 定轴转动定律 3. 转动中的功和能 4. 角动量定理和角动量守恒定律 重点和难点 1. 转动惯量的理解和计算 2. 角动量定理和角动量守恒的应用
河南警察学院基础部 李东玮
3.1 刚体运动的描述
3.1.1 刚体的概念 在力作用下，大小和形状都保持不变的物体称为刚体。
求 滑轮转动角速度随时间变化的规律。 解 以m1 ， m2 ， m 为研究对象, 受力分析
物体 m1： m1g T1 m1a1
mr
T2
T1
物体 m2： T2 m2 g m2a2
滑轮
m：
T1r
T2r
J
1 mr 2
2
T2 m2
T1 m1
a r
m2 g
m1g
m1 m2 g
m1
m2
1 2
1.力对点的 力矩 MO r F
大小 M O rF sin
指向由右螺旋法则确定
Mo
O. r
F
2. 力 F 对刚体转轴的力矩
(力F 在垂直于轴的平面内)
z
F//
F
M z (F ) Fr sin
F h Fτ r
(力不在垂直于轴的平面内)
M z (F ) Fr sin Fh Fτ r
内力矩之和为0
转动惯量 J
刚体的转动定律 M J
与牛顿第二定律比较： M F , J m, a
河南警察学院基础部 李东玮
3.2.3 转动惯量
定义 J mk rk 2 质量不连续分布 k r J r 2dm 质量连续分布 V
❖确定转动惯量的三个要素:(1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴的位置
特殊的质点系，形状和体积不变化 —— 理想化模型 在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变
3.1.2 刚体的平动和定轴转动
1. 刚体的平动 刚体运动时，其内部任何 一条直线都始终保持和自 身平行
A B
河南警察学院基础部 李东玮
A
A B
B
平动的特点:
z
rB rA AB
vA vB
aA aB
J 与刚体的总质量有关
例如等长的细木棒和细铁棒绕端点轴的转动惯量
J L x2dx L x2 M dx 1 ML2
0
0L
3
z M
L
J铁 J木
O
dx
x
河南警察学院基础部 李东玮
J 与质量分布有关
例如细圆环绕中心轴旋转的转动惯量
J L R2dm 2πR R2dl
0
0
R 2 2πR dl 2πR3 m mR2
0
2πR
例如薄圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
dm ds m 2πrdr 2mr dr
πR 2
R2
J
m r 2dm
0
R 0
2m R2
r 3dr
m 2
R2
河南警察学院基础部 李东玮
dl m
R O
Rm dr
r O
J 与转轴的位置有关 z
M
L
O
dx
x
z
M
L
O dx
x
J L x2dx 1 ML2
例 一轻绳绕在半径为 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以
F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2，飞轮
与转轴间的摩擦不计， (见图)
求 (1) 飞轮的角加速度
(2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳 端，试计算飞轮的角加速
rO
解 (1) Fr J
Fr 98 0.2 39.2 rad/s2
h r
θ F
A F
Fn
河南警察学院基础部 李东玮
3.2.2 刚体的转动定律
第 k个质元
Fk fk mk ak
切线方向 Fk f k mk ak
rk
Fk
fk
Hale Waihona Puke 在上式两边同乘以 rk Fk rk fk rk mk ak rk mk rk rk
对所有质元求和
Fk r k fk r k ( mk rk 2 )
(2) mg T ma Tr J
mgr
J mr2
两者区别
TF
T
a r
98 0.2 0.5 10 0.22
21.8
rad/s 2
mg
河南警察学院基础部 李东玮
例 一定滑轮的质量为 m ，半径为 r ，不能伸长的轻绳两 边分别系 m1 和 m2 的物体挂于滑轮上，绳与滑轮间无 相对滑动。（设轮轴光滑无摩擦，滑轮的初角速度为零）
ω < 0，角速度方向向下。
|ω|增大，角加速度与角速度同向；
|ω|减小，角加速度与角速度反向。
河南警察学院基础部 李东玮
绕定轴转动刚体内各点的速度和加速度
任意点都绕同一轴作圆周运动,
且 ， 都相同
v rM
z ω,
v
rM • M Oθ
an rM 2
刚体
a
dv dt
rM
河南警察学院基础部 李东玮
角坐标 角速度 角加速度
f (t) (单位：rad)
d f '(t)
dt
d
dt
d 2
dt 2
f "(t)
I II
河南警察学院基础部 李东玮
当 c
0 t
0
0
t
1
2
t2
2 02 2 ( 0 )
与质点的匀加速直 线运动公式相似
角速度和角加速度的方向：右手螺旋方向
z ω,
ω > 0，角速度方向向上；
0
3
J L/2 x2dx 1 ML2
L / 2
12
平行轴定理
J z' J z ML2
J z' ⇒ 刚体绕任意轴的转动惯量 J z ⇒ 刚体绕通过质心的轴 L ⇒ 两轴间垂直距离
z' z M
L C
河南警察学院基础部 李东玮
常见形状转动惯量
河南警察学院基础部 李东玮
3.2.4 转动定律的应用举例
M
B B1 B2 B3
Bn
rB
A3
r A A1 A2
An
A
O
y
x
刚体中各质点的运动情况相同,刚体的平动可归结其上 任一质点的运动，通常可选质心作为代表。
河南警察学院基础部 李东玮
2. 刚体的转动
刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动 —— 转动
转轴相对参考系静止 —— 定轴转动
z
描述刚体绕定轴转动的角量描述
m r
0
t
m1 m2 gt
m1
m2
1 2
m
r
河南警察学院基础部 李东玮
3.3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
3.3.1 绕定轴转动刚体的动能
Δ
m1
,
Δ
m2
,
,
Δm
k
,
,
Δ
m
N
r1, r2, , rk, , rN
3.2 刚体的转动定律
问：质点问题中，我们将物体所受的力均作用于同一点，并 仅考虑力的大小和方向所产生的作用；刚体问题中，是否也 可以如此处理？力的作用点的位置对物体的运动是否有影响？
F
F
圆盘静止不动
F
圆盘绕圆心转动
F
可以反映力及其作用点位置的物理量 —— 力矩
河南警察学院基础部 李东玮
3.2.1 力矩
课程：《大学物理》 单位：河南警察学院 教师：李东玮
教学基本要求 1. 刚体运动的描述 2. 定轴转动定律 3. 转动中的功和能 4. 角动量定理和角动量守恒定律 重点和难点 1. 转动惯量的理解和计算 2. 角动量定理和角动量守恒的应用
河南警察学院基础部 李东玮
3.1 刚体运动的描述
3.1.1 刚体的概念 在力作用下，大小和形状都保持不变的物体称为刚体。
求 滑轮转动角速度随时间变化的规律。 解 以m1 ， m2 ， m 为研究对象, 受力分析
物体 m1： m1g T1 m1a1
mr
T2
T1
物体 m2： T2 m2 g m2a2
滑轮
m：
T1r
T2r
J
1 mr 2
2
T2 m2
T1 m1
a r
m2 g
m1g
m1 m2 g
m1
m2
1 2
1.力对点的 力矩 MO r F
大小 M O rF sin
指向由右螺旋法则确定
Mo
O. r
F
2. 力 F 对刚体转轴的力矩
(力F 在垂直于轴的平面内)
z
F//
F
M z (F ) Fr sin
F h Fτ r
(力不在垂直于轴的平面内)
M z (F ) Fr sin Fh Fτ r
内力矩之和为0
转动惯量 J
刚体的转动定律 M J
与牛顿第二定律比较： M F , J m, a
河南警察学院基础部 李东玮
3.2.3 转动惯量
定义 J mk rk 2 质量不连续分布 k r J r 2dm 质量连续分布 V
❖确定转动惯量的三个要素:(1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴的位置
特殊的质点系，形状和体积不变化 —— 理想化模型 在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变
3.1.2 刚体的平动和定轴转动
1. 刚体的平动 刚体运动时，其内部任何 一条直线都始终保持和自 身平行
A B
河南警察学院基础部 李东玮
A
A B
B
平动的特点:
z
rB rA AB
vA vB
aA aB
J 与刚体的总质量有关
例如等长的细木棒和细铁棒绕端点轴的转动惯量
J L x2dx L x2 M dx 1 ML2
0
0L
3
z M
L
J铁 J木
O
dx
x
河南警察学院基础部 李东玮
J 与质量分布有关
例如细圆环绕中心轴旋转的转动惯量
J L R2dm 2πR R2dl
0
0
R 2 2πR dl 2πR3 m mR2
0
2πR
例如薄圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
dm ds m 2πrdr 2mr dr
πR 2
R2
J
m r 2dm
0
R 0
2m R2
r 3dr
m 2
R2
河南警察学院基础部 李东玮
dl m
R O
Rm dr
r O
J 与转轴的位置有关 z
M
L
O
dx
x
z
M
L
O dx
x
J L x2dx 1 ML2
例 一轻绳绕在半径为 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以
F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2，飞轮
与转轴间的摩擦不计， (见图)
求 (1) 飞轮的角加速度
(2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳 端，试计算飞轮的角加速
rO
解 (1) Fr J
Fr 98 0.2 39.2 rad/s2
h r
θ F
A F
Fn
河南警察学院基础部 李东玮
3.2.2 刚体的转动定律
第 k个质元
Fk fk mk ak
切线方向 Fk f k mk ak
rk
Fk
fk
Hale Waihona Puke 在上式两边同乘以 rk Fk rk fk rk mk ak rk mk rk rk
对所有质元求和
Fk r k fk r k ( mk rk 2 )