直线的倾斜角与斜率PPT课件
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3.1 《直线的倾斜角与斜率》课件
y o
p
l
x
y p o
l
y
y p
x
o
x
p
o
l x
l
0°＜ ＜ 90°
= 90°
k不存在
90°＜ ＜180° = 0°
k >0
k<0
k=0
例1、如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，
求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这 些直 线的倾斜角是什么角？ y. 解： B . A 22 . . . . . . . 0 直线AB的斜率 k AB o x 8 4 . 22 4 1
2
y＋3 [思路探究] 可看作点(x，y)与点(－2，－3)的斜率． x＋2
由 的几何意义可知， 它表示经过定点 P(－2， －3)与曲 x＋2 线段 AB 上任一点(x， y)的直线的斜率 k， 如右图可知： kPA≤k≤kPB， 4 由已知可得：A(1,1)，B(－1,5)，∴3≤k≤8， y＋3 x＋2 4 的最大值为 8，最小值为3.
y
l
x
o
a
注意： (1)直线向上方向； (2)x轴的正方向。
练习：
1下列四图中，表示直线的倾斜角的是A y ) y (
x
o
o
a
A
y
B
y
a
C D
x x
o
a
o
x
a
2、直线倾斜角的范围：
当直线 l 与 x 轴平行或重合时，我们 规定它的倾斜角为 ，因此，直线的倾 0 0 a 180 斜角的取值范围为：
3.1直线的倾斜角与斜率
直线的位置
我们知道，两点确定一条直线。
直线的倾斜角与斜率.ppt
2.1直线的倾斜角与斜率
The inclination Angle and slope of line
一.问题提出
在平面直角坐标系中，经过一点P可 以作无数条直线，这些直线的区别在哪 里？ y
P
o
x
angle of Inclination (倾斜角)
1.定义: 当直线l与x轴相交时，取x轴 作为基准，x轴正向与直线l向上方向之 间所成的角α 叫做直线l的倾斜角
1
O
2
x
例2 直线 l1、 l２、 l３的斜率分别是k1、 k２、 k３，试比较斜率的大小 l ２ l
1
l３
小结
1、倾斜角的定义及其范围
0 180
0
0
0
2、斜率的定义及斜率与倾斜角的相互转化
判断：
1、平行于X轴的直线的倾斜角为0或
不存在 90 k 0 tan 90
0
0
思考： 确定平面直角坐标系中一 条直线位置的几何要素是什么？
（1）直线上的一个定点； （2）直线的倾斜角.
练习：
下列图中标出的直线的倾斜角对不对？如果不对，违 背了定义中的哪一条？
y y y y
o
x
o
x
o
x
o
（D ）
x
（A）
（B）
（C）
问题引入
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
P2
P1 P1
P2
经过两点 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ( x1 x2 ) 的直线的斜率公式： 重要数学思想：
分类讨论的思想
y2 y1 y1 y2 k ( x1 x2 ) x2 x1 x1 x2
The inclination Angle and slope of line
一.问题提出
在平面直角坐标系中，经过一点P可 以作无数条直线，这些直线的区别在哪 里？ y
P
o
x
angle of Inclination (倾斜角)
1.定义: 当直线l与x轴相交时，取x轴 作为基准，x轴正向与直线l向上方向之 间所成的角α 叫做直线l的倾斜角
1
O
2
x
例2 直线 l1、 l２、 l３的斜率分别是k1、 k２、 k３，试比较斜率的大小 l ２ l
1
l３
小结
1、倾斜角的定义及其范围
0 180
0
0
0
2、斜率的定义及斜率与倾斜角的相互转化
判断：
1、平行于X轴的直线的倾斜角为0或
不存在 90 k 0 tan 90
0
0
思考： 确定平面直角坐标系中一 条直线位置的几何要素是什么？
（1）直线上的一个定点； （2）直线的倾斜角.
练习：
下列图中标出的直线的倾斜角对不对？如果不对，违 背了定义中的哪一条？
y y y y
o
x
o
x
o
x
o
（D ）
x
（A）
（B）
（C）
问题引入
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
P2
P1 P1
P2
经过两点 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ( x1 x2 ) 的直线的斜率公式： 重要数学思想：
分类讨论的思想
y2 y1 y1 y2 k ( x1 x2 ) x2 x1 x1 x2
直线的倾斜角与斜率课件PPT
解析： ①k＝－53－－－0 2＝－1，即 tan α＝－1， 所以 α＝135°. ②斜率不存在，α＝90°. ③k＝－52－－－－22 ＝0，α＝0°.
直线倾斜角与斜率的综合应用 多维探究型 已知直线 l 过 P(－2，－1)，且与以 A(－4,2)，B(1,3)为端点的线段 相交，求直线 l 的斜率的取值范围．
答案： B
2．直线 l 的倾斜角是斜率为 33的直线的倾斜角的 2 倍，则 l 的斜率为( )
A．1
B. 3
C.2 3 3
D．－ 3
解析： ∵tan α＝ 33，0°≤α<180°， ∴α＝30°，∴2α＝60°， ∴k＝tan 2α＝ 3.故选 B. 答案： B
3．已知点 M(5,3)和点 N(－3,2)，若直线 PM 和 PN 的斜率分别为 2 和－74，
自主探究 探究 1：若两条直线平行，斜率一定相等吗？
【答案】不一定，垂直于 x 轴的两条直线，虽然平行，但斜率 不存在．
探究 2：若两条直线垂直，它们的斜率之积一定为－1 吗？
【答案】不一定，如果两条直线 l1，l2 中的一条与 x 轴平行(或 重合)，另一条与 x 轴垂直(也即与 y 轴平行或重合)，即两条直线中 一条的倾斜角为 0°，另一条的倾斜角为 90°，从而一条直线的斜率 为 0，另一条直线的斜率不存在，但这两条直线互相垂直．
A.－52，3
B.－∞，－52∪[3，＋∞)
C.－32，1
D.－∞，－32∪[1，＋∞)
解析： kPA＝3，kPB＝－52，如图， 当 l 与线段 AB 有公共点时， k≥3 或 k≤－52. 故选 B. 答案： B
谢谢观看！
自学导引
1．两直线平行的判定
(1)对于两条不重合的直线 l1，l2，其斜率分别为 k1，k2，有 __k_1＝__k_2__⇔l1∥l2.
直线的倾斜角与斜率、直线方程_图文
直线的倾斜角θ越大，斜率k就越大，这种说法正确吗？
(1)过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率为1，则m＝ ________.
(2)直线x＋y＝1的倾斜角为________．
2．
填一填：(1)1 (2)135° 2．填一填：(1)3x＋4y－14＝0 (2)x＋y－3＝0 (3)x－y －7＝0或4x＋3y＝0
直线l2的方程为( )
A. x＋3y－5＝0
B. x＋3y－15＝0
C. x－3y＋5＝0
D. x－3y＋15＝0
B
[] 已知直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，那 么直线l的倾斜角的取值范围是________．
2 [2013·](1)过点(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0
的直线方程为( )
A. x－2y＋7＝0
B. 2x＋y－1＝0
C. x－2y－5＝0
D. 2x＋y－5＝0
1. (1)直线的倾斜角 ①定义：x轴________与直线________的方向所成的角叫 做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的 倾斜角为________． ②倾斜角的范围为__________．
(2)直线的斜率 ①定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的 斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝________，倾斜角是 90°的直线没有斜率． ②过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式 为k＝________.
备考· No.1 角度关键词：易错分析 解题过程中容易犯有两处错误：一是未考查点P与圆的位 置关系；二是运用直线方程的点斜式时，忽视了点斜式方程中 隐含的条件：此方程只能表示斜率存在的直线．
《直线倾斜角和斜率》课件
斜率决定了直线与x轴之间的夹角，即倾斜角。
斜率与直线图像的平移
01 斜率不变，平移直线图像
当直线沿x轴或y轴平移时，其斜率保持不变。
02 平移影响直线与坐标轴的交点
平移会导致直线与x轴或y轴的交点发生变化。
03 平移影响直线与坐标轴的距离
平移距离决定了直线与坐标轴之间的距离。
斜率与直线图像的旋转
斜率的计算公式
总结词
斜率的计算公式是$frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$，其中 $(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$是直线上任意两点的坐标。
详细描述
根据定义，斜率是直线在坐标系中倾斜程度的数值表示 。通过两点坐标可以计算出直线的斜率。当两点横坐标 相等时，斜率不存在。
在电磁学中，斜率可以用来描述电流与电 压之间的关系。
在重力场中，斜率可以用来描述物体下落 的加速度。
在光学中，斜率可以用来描述光的折射率 。
斜率在经济学中的应用
斜率在经济学中常被用于描述供求关 系，即需求曲线和供给曲线的斜率。
斜率在经济学中还可以用于描述边际 效用、边际成本等概念。
需求曲线的斜率表示价格与需求量之 间的关系，供给曲线的斜率表示价格 与供给量之间的关系。
1 2
斜率随旋转角度而变化
当直线围绕原点旋转时，其斜率会发生变化。
旋转影响直线与坐标轴的夹角
旋转角度决定了直线与x轴之间的夹角。
3
旋转影响直线图像的对称性
在某些旋转角度下，直线图像可能会呈现对称性 。
直线的斜率在实际生活中的05 Nhomakorabea应用
斜率在物理中的应用
斜率在物理中常被用于描述物体的运动状 态，如速度、加速度等。
关系图通常以角度为横轴，以 斜率为纵轴，使用不同的线型 或标记表示不同倾斜角下的斜 率值。
斜率与直线图像的平移
01 斜率不变，平移直线图像
当直线沿x轴或y轴平移时，其斜率保持不变。
02 平移影响直线与坐标轴的交点
平移会导致直线与x轴或y轴的交点发生变化。
03 平移影响直线与坐标轴的距离
平移距离决定了直线与坐标轴之间的距离。
斜率与直线图像的旋转
斜率的计算公式
总结词
斜率的计算公式是$frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$，其中 $(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$是直线上任意两点的坐标。
详细描述
根据定义，斜率是直线在坐标系中倾斜程度的数值表示 。通过两点坐标可以计算出直线的斜率。当两点横坐标 相等时，斜率不存在。
在电磁学中，斜率可以用来描述电流与电 压之间的关系。
在重力场中，斜率可以用来描述物体下落 的加速度。
在光学中，斜率可以用来描述光的折射率 。
斜率在经济学中的应用
斜率在经济学中常被用于描述供求关 系，即需求曲线和供给曲线的斜率。
斜率在经济学中还可以用于描述边际 效用、边际成本等概念。
需求曲线的斜率表示价格与需求量之 间的关系，供给曲线的斜率表示价格 与供给量之间的关系。
1 2
斜率随旋转角度而变化
当直线围绕原点旋转时，其斜率会发生变化。
旋转影响直线与坐标轴的夹角
旋转角度决定了直线与x轴之间的夹角。
3
旋转影响直线图像的对称性
在某些旋转角度下，直线图像可能会呈现对称性 。
直线的斜率在实际生活中的05 Nhomakorabea应用
斜率在物理中的应用
斜率在物理中常被用于描述物体的运动状 态，如速度、加速度等。
关系图通常以角度为横轴，以 斜率为纵轴，使用不同的线型 或标记表示不同倾斜角下的斜 率值。
2.1直线的倾斜角与斜率共26页PPT资料
升 高
坡度（比 前 升 ）进 高量 量
前进
直线的斜率
如果使用“倾斜角”这个概念，那么这里的“坡 度（比）”实际就是“倾斜角α的正切”．
一条直线的倾斜角的正切值叫做这
条直线的斜率（slope）.
通常用小写字母k表示，即
ktan(90)
倾斜角是90 的直线有斜率吗？ 倾斜角是90 的直线的斜率不存在．
直线的斜率
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0。90。
k(0,)
O
x
(1)
y
90。
k值不存在
O
x
(3)
kta n
y 90。18。 0
k(,0)
O
x
(2)
y
0。
k0
O
x
(4)
斜率公式
如何用两点的坐标表示直线的斜率?(α为锐角)
设 P1(x1,y1),P2(x2,y2)是直 l上 线的两个不同
o px
o p x
y
p
l
o
x
l
30。
l与y轴平行 30。 l与x轴平行
规定:当直线和x轴平行或重合时,它的倾斜角0°.
直线的倾斜角
• 倾斜角的取值范围是
y
l
x o
0。18。 0
• 坐标平面上的任何一条直线都有唯一
的倾斜角；而每一个倾斜角都能确定
一条直线的方向.
• 倾斜角直观地表示了直线对x轴正方向 的倾斜程度.
确定直线的要素
确定平面直角坐标系中一条直线位置的几 何要素是：
直线上的一个定点以及它的倾斜角， 二者 缺一不可．
y
l
2-1-1倾斜角与斜率 课件(共43张PPT)
④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)；
⑤若α是直线l的倾斜角，且sinα＝ 22，则α＝45°.
其中正确命题的个数是( A )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 (1)都不满足倾斜角的定义，图(3)中α与倾斜角的 大小一样，但不是倾斜角．
(2)任意一条直线有唯一的倾斜角；倾斜角不可能为负；倾 斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此①正确，② ③错误．④中当α＝0°时，sinα＝0，故④错误．⑤中α有可能为 135°，故⑤错误．
答：不对．
当x1≠x2时，k＝yx22－ －yx11＝xy11－－xy22； 当x1＝x 2时，斜率不存在．
课时学案
题型一 倾斜角的求法
例1 (1)下列图中标出的直线的倾斜角中正确的有___0_____ 个．
(2)给出下列命题：
①任意一条直线有唯一的倾斜角；
②一条直线的倾斜角可以为－30π；
③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；
2．斜率与倾斜角的关系
设直线的倾斜角为α，斜率为k.
α的大小 0°
0°<α<90°
90° 90°<α<180°
k的范围 k＝0
k>0
不存在
k<0
k的增减性 相同 随α的增大而增大 无 随α的增大而增大
3.任意过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率均为k＝
y2－y1 x2－x1
对吗？
在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜 角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方 向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等．因此，我们 可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也 就表示了直线的方向．
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P1 (x1 , y1 ) y o
P2 (x2 , y2 )
l
x
k y2 y1 0 x2 x1
y
y2
P2(x2, y2)
y1
P1(x1, y1)
o
x
k y2 y1 x2 x1
答：斜率不存在， 因为分母为0。
A
12
3.斜率公式
经过两点 P1(x1, y1),P2(x2, y2)的直线的斜率公式
p
90o
.p
K=0
o
0
O
X
O
X
（3）
（4）
A
14
例1：已知点 A （ 3 ， 2 ） ， B （ - 4 ， 1 ） ， C （ 0 ， 1 ） ，
(1).求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这 些直线的倾斜角是锐角还是钝角
(2).过点C的直线 l 与线段ＡＢ有公共点， 求 l 的斜率k的取值范围
探究： 已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中x1≠x2），
求直线P1P2的斜率?
A
9
y
如图，α为锐角
y2
P2(x2, y2)
y1
Q(x2,y1)
P2P1Q,
P1(x1, y1)
o x1
x x2 在RtP2P1Q中
ktanta nP2P1QQ P1Q2P
y2 x2
y1 x1
A
y
直线向上的方向
A
B
1
O 1x
与 x 轴正方向 最小正角
A
3
直线的倾斜角定义 一般地，平面直角坐标系内，直线向上
的方向与 x 轴正向所成的最小正角 叫做这
条直线的倾斜角．
y A
规定：当直线和x轴平行或 重合时，它的倾斜角为0°
B
1
倾斜角的范围：0≤<180
O 1x
A
4
Y
.p
Y
00 900
.p 900 1800
O
x
A2 (1,-1)
Al 44 (l1,2-3)
A
16
例2 从 M(2, 2 )射出一条光线,经过 x轴反射
后过点 N( 8, 3) ,求反射点 P 的坐标
解 ：P设 (x,0)
因为入射角等于反射角
y
KMPKPN
23 2x 8x
解得 x2
N(-8,3) 2 M(2,2)
-2 O 2
x
P
反射点 P (2,0)
直线
圆
圆
直线
3.1.1 直线的倾斜角与斜率
A
1
y
A
1．由一点能否确定一条直线吗？
2．观察并回答问题：
1
B
CO
1x
在图中，直线 AB，AC 都经过哪一点？
它们相对于 x 轴的倾斜程度相同吗？
A
2
直线的倾斜角定义 一般地，平面直角坐标系内，直线向上
的方向与 x 轴正方向所成的最小正角 叫做
这条直线的倾斜角．
k
y2 x2
y1 x1
(x1
x2)
公式的特点:
(1) 与两点的顺序无关; (2) 公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两
点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角 (3) 当x1=x2时,公式不适用,此时α=900
A
13
Y
.p
00900 Y
K>0
. 9001800
p
K<0
O
X
O
X
（1）
（2）
Y
. K不存在 Y
10
如图α为钝角，
180,
y
tantan1(80)
y2
P2(x2, y2)
tan
y1
P1(x1, y1)
Q(x2, y1)
o x2 x1 x
在RtP2Q1中 P
tan P2Q y 2 y1 P1Q x1 x 2
ktany2y1y2y1
x1x2 x2x1
A
11
当直线与坐标轴平行或重合时,上述公 式还适用吗？
y
解
：
（ 1）
k AB
1 2 4 3
1 7
锐角
A
k BC
11 0 (4)
1 2
钝角
B
O
x
kCA
1 2 03
1
锐角
C
（ 2）k[1,+)U(-,-1]
2ALeabharlann 15例题分析例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率
分别为1，-1，2和-3的直线 l1,l2,l3及l4 。
y
l3
l1
A3 (1,2) A1 (1,1)
O
X
O
X
（1）
（2）
. . Y
Y
p 90 o
p 0o
O
X
O
X
（3）
（4）
A
5
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
升 高 量
前进量
A
坡度
铅直高度 水平长度
6
结论：坡度越A 大，楼梯越陡． 7
直线的斜率定义 倾斜角不是 90 的直线，它的倾斜角的正
切值叫做这条直线的斜率，通常用 k 表示，即
A
17
1．直线的倾斜角 2．直线的斜率：
定义 范围
k＝tan （≠90）
k
y2 y1 x2 x1
（其中x1≠x2）
A
18
练习一
k＝tan ．
已知直线的倾斜角，求对应的斜率 k ：
（1）＝0；
（2）＝30；
（3）＝135；
（4）＝120．
A
8
如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率
的定义 k＝tanα求出直线的斜率；
如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜 角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎么求出直 线的斜率呢？