多面体与欧拉公式

欧拉公式和球

文章主旨作简要阐释。（4分） 20．下列对本文有关内容的理解和分析不正确的一项是（2分）（） A．文章第①段的景物描写为全文定下了充满活力、兴奋昂扬的情感基调。 B．第②段末尾的省略号隐含的意思是：在西安，引发思古幽情的历史遗迹与脍炙人口的诗歌还有很多。 C．第⑥段末尾
画线句强调的意思是“不知道到底要怎么称呼、评价那些兵马俑才恰当”。 D．刘禹锡“自古逢秋悲寂寥，我言秋日胜春朝”与第②段画线诗句表达的意境是不同的。代谢：16．（1）乘车驶向秦俑馆的路上（2）精致绝伦的艺术国宝（3）油然而生的骄傲感与幸福感更加强烈解析：（1）处应为
用？（4分）答：? 18.选文第?段中父母说：“我们都老了，那些空着的地方，你们去填满吧……”，第?段中，“我”却认为“我们最需要的东西，那里一直不缺不空。”这两句话是否矛盾？为什么？（3分）答：代谢：（四） 13.A无比自豪? B父亲两手空空、疲惫沮丧地回家 C疑惑不解 D满足
激动 14.）第③段写了父亲带回来的东西繁多而丰富，表现“我”对父亲带回的东西的新奇喜悦；表现了父亲的勤劳能干和父亲对我们的爱。 15.“镀亮”生动形象地写出了周围的人被高凳子的奇特吸引，目光有神采，内心羡慕． 16.比喻，生动形象地写出了父亲腰身弯曲和身体疲惫。 17.神态描
一台收音机，另外一个地方又需要一辆自行车……终于有一天，他们都说：“ 我们都老了，那些空着的地方，你们去填满吧……” ? ?我们会的，会把所有需要填满的地方填满，还有他们心里梦里空着的地方。 ?但是我又懂得，在那些有他们的地方，其实一直是满满当当的，我们最需要的东西，
那里一直不缺不空。（选自《时文选粹》，有删改） 13.阅读选文④-⑩段，补全下面的表格。（4分）段落
所
见（所想）
所感（1）

欧拉公式
欧拉
著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法国度过．他16岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史上最高产的作家．在世发表论文700多篇，去世后还留下100多篇待发表．其论著几乎涉及所有数学分支．他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首先用i表示虚数单位．在立体几何中多面体研究中，首先发现并证明欧拉公式．
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新授课问题1：数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E并填表
1
2
3
4
图形编号 1 2 3 4
顶点数V 4 8 6 9
面数F 4 6 8 8
棱数E 6 12 12 15
规律：V+F-E=2（欧拉公式）
充以气体？
充以气体？
1简单多面体：
表面经过连续变形能变成一个球面的多面体。
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欧拉公式和球

花色烟囱模样的鬃毛，长着钢灰色马心般的胶卷湖帆额头，前半身是天蓝色牙膏般的怪鳞，后半身是有些魔法的羽毛。这巨神长着紫玫瑰色马心般的脑袋和乳白色野猪般的脖
子，有着紫罗兰色玩具造型的脸和水白色章鱼般的眉毛，配着白杏仁色井盖模样的鼻子。有着淡紫色砂锅造型的眼睛，和土灰色乱草般的耳朵，一张淡紫色轮胎般的嘴唇，怪
把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体．否则叫非凸多面体．
一个多面体至少有四个面，多面体依照它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体。（三棱锥是四面体、三棱柱是五面体，正方体是六面体。）
一般的，每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体，叫正多面体。例如，正方体就是一种正多面体。
叫时露出亮灰色火舌般的牙齿，变态的天蓝色玩具样的舌头很是恐怖，深青色轻盈形态的下巴非常离奇。这巨神有着酷似怪藤般的肩胛和活像画笔模样的翅膀，这巨神轻灵的
灰蓝色蜜桃样的胸脯闪着冷光，极似黑熊模样的屁股更让人猜想。这巨神有着活似茄子般的腿和白象牙色恐龙般的爪子……瘦瘦的青兰花色猪肺样的八条尾巴极为怪异，淡黑
是雪峰！什么是女孩！什么是雪峰女孩！”月光妹妹一边说着一边和壮扭公主组成了一个巨大的鹅掌闪臂魔！这个巨大的鹅掌闪臂魔，身长八十多米，体重二十多万吨。最奇
的是这个怪物长着十分典雅的闪臂！这巨魔有着淡灰色螃蟹造型的身躯和墨灰色细小谷穗一样的皮毛，头上是暗黑色镜子形态的鬃毛，长着深黄色烟囱造型的河马疾宁额头，
，整个身体一边旋转一边像巨大的怪物一样膨胀起来……突然，整个怪物像巨大的湖青色种子一样裂开……四十五条乳白色算盘模样的丑陋巨根急速从里面伸出然后很快钻进
泥土中……接着，一棵浅绿色鸡尾模样的贪婪巨大怪芽疯速膨胀起来……一簇簇浅绿色灵芝模样的僵死巨大枝叶疯速向外扩张……突然！一朵亮红色小鱼模样的炽热巨蕾恐怖

欧拉公式

简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系
V+F-E=2
这个公式叫欧拉公式。

公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。

计算多面体各面内角和
设多面体顶点数V，面数F，棱数E。

剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和∑α
一方面，在原图中利用各面求内角总和。

设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为：
∑α = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nF-2) ·1800]
= (n1+n2+…+nF -2F) ·1800
=(2E-2F) ·1800 = (E-F) ·3600 （1）
另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。

设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·1800，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。

中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·3600，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。

所以，多面体各面的内角总和：
∑α = (V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800
=（V-2）·3600. （2）
由(1)(2)得：(E-F) ·3600 =（V-2）·3600
所以V+F-E=2.。

利用欧拉公式描述三维物体表面和体积的计算方法

利用欧拉公式描述三维物体表面和体积的计算方法欧拉公式是一个非常重要的数学公式，它可以用来描述三维物体的表面和体积。

在本文中，我们将深入探讨欧拉公式及其应用，以便更好地理解它在计算机图形学和计算机辅助设计领域的应用。

一、欧拉公式概述欧拉公式是指任何一个简单的、多面体都可以用V-E+F=2来描述，其中V表示多面体的顶点数，E表示边数，F表示面数。

这个公式与欧拉在18世纪初推导出的多面体定理有关，该定理指出，对于任何简单的、连通的、多面体，其顶点数、边数和面数的关系一定满足V-E+F=2。

对于复杂的多面体，可以将它们分解为若干个简单的多面体，利用欧拉公式计算它们的表面积和体积。

二、欧拉公式应用1. 计算多面体表面积利用欧拉公式，可以计算任何简单的多面体的表面积。

例如，对于一个正方体，其顶点数V=8，边数E=12，面数F=6，代入欧拉公式V-E+F=2中，可得8-12+6=2，因此正方体的表面积为2个单位。

同样道理，我们可以计算出其他多面体（如正方锥体、圆柱体等）的表面积。

2. 计算多面体体积对于一个简单的多面体，可以用欧拉公式计算它的体积。

例如，对于一个正方体，其体积可以通过如下方式计算：首先，将正方体分成8个小正方体，每个小正方体的体积为1/8个正方体的体积；接着，计算出一个小正方体的表面积S，整个正方体的表面积为8S；最后，整个正方体的体积等于S乘以正方体的高度。

同样道理，我们可以计算出其他多面体（如正方锥体、圆柱体等）的体积。

3. 计算三维物体的参数利用欧拉公式，我们可以计算出三维物体的各种参数，如半径、高度、面积等。

例如，对于一个圆锥体，可以通过欧拉公式计算出其底面半径和高度，从而计算出其体积和表面积。

三、总结欧拉公式是计算三维物体表面和体积的重要工具，它可以用来计算任何简单的多面体的表面积和体积，以及计算三维物体的各种参数。

在计算机图形学和计算机辅助设计领域，欧拉公式被广泛地应用，因为它可以帮助我们更好地理解和计算三维物体的特征和属性。

欧拉公式多面体证明

欧拉公式多面体证明好的，以下是为您生成的文章：欧拉公式，这可是数学世界里一个超级厉害的家伙！咱们今天就来好好聊聊它在多面体中的神奇表现。

话说我曾经遇到过这么一个事儿。

有一次，我带着一群小朋友去参加一个数学课外活动。

活动现场摆了各种各样的多面体模型，有正四面体、正方体、正八面体等等。

小朋友们都兴奋极了，叽叽喳喳地讨论着。

其中有个叫小明的孩子，特别聪明机灵，他盯着一个正十二面体，眼睛都不眨一下。

这时候我就问大家：“你们知道这些多面体有什么神秘的规律吗？”小朋友们都摇摇头。

我就趁机引出了欧拉公式。

欧拉公式说的是对于任何一个凸多面体，它的顶点数 V、棱数 E 和面数 F 之间，总是满足 V - E + F = 2 。

咱们来仔细琢磨琢磨这个公式。

比如说正方体，它有 8 个顶点，12 条棱，6 个面。

8 - 12 + 6 ，算一算，正好等于 2 。

再看看正四面体，4 个顶点，6 条棱，4 个面。

4 - 6 + 4 ，也是 2 。

那这个公式是怎么来的呢？其实证明它的方法有好几种，咱们挑一个比较容易理解的来说。

想象一下，我们把一个多面体“拆开”。

就像剥洋葱一样，一层一层地来。

先去掉一个面，把剩下的部分展成一个平面图形。

这时候，在这个平面图形里，每一条棱都被分成了两段，所以棱的数量就增加了一倍。

但是呢，因为去掉了一个面，所以面的数量就减少了 1 。

顶点的数量不变。

原本的 V - E + F = 2 ，现在变成了 V - 2E + (F - 1) = 1 。

经过一番整理和推导，就能得出原来的欧拉公式啦。

回到咱们开头说的那个活动，小明这孩子听我讲完，自己拿起一个模型就开始数顶点、棱和面，然后兴奋地喊：“老师，真的是这样！”其他小朋友也纷纷效仿，那种对知识的渴望和探索的热情，让我特别欣慰。

在学习数学的过程中，像欧拉公式这样的宝藏还有很多很多。

只要我们保持好奇心，不断去探索，就能发现更多数学的奇妙之处。

欧拉公式在多面体中的应用可不仅仅是让我们数点数棱数面这么简单。

多面体欧拉公式的发现

_ E =2 V+ F
下面有3个多面体，分别数出它们的顶点数V、面数F和棱数E。
图形编号顶点数V 面数F
棱数E
观察表中数据，这些图形的V、
(1) (2)
(3)
5 12 7
5 12 8
8 24 12
F和E 符合前面所找出的规律吗？
出现这些区别的原因是什么？
比较前面问题1和问题2中的图形，如果这些多面体的表面都是用橡皮薄膜制作的，并且可以向它们内部充气，那么其中哪些多面体能够连续(不破裂)变形，最后其表面可变为一个球面？
答：这个形如足球的多面体中五边形和六边形的面分别有12个和20个。
练习与测试
一个凸多面体的各面都是四边形，证明它的顶点数V和面数F有F=V-2的关系。答案：由各面都是四边形知，凸多面体的棱数 E 由欧拉公式 V F E 2 即F=V-2
4F 2F 2 得 V F 2F 2
基础知识形成性练习
下列说法中正确的是
（1）只有正多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理；（2）所有凸多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理；（3）所有简单多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理；
（4）所有多面体的顶点数、棱数满足欧拉定理。
A （1）（2） B（1）（4） C（2）（3） D（3）（4）
研究性课题：
多面体欧拉公式的发现
一些定义：
回顾知识
若干个平面多边形围成的几何体叫多面体。
围成多面体的各个多边形叫多面体的面 (Face)。
两个面的公共边叫多面体的棱 (Edge)。若干个面的公共顶点叫多面体的顶点 (Vertex)。一个多面体至少有 4 个面， 6 条棱， 4 个顶点．

欧拉公式多面体顶点数棱数面数关系推导

欧拉公式多面体顶点数棱数面数关系推导嘿，咱今天来聊聊欧拉公式中多面体顶点数、棱数和面数的关系推导。

先给您说个事儿，之前我去参加一个数学科普活动，遇到一个小朋友，拿着一个魔方，满脸疑惑地问我：“这魔方到底有啥数学秘密呀？”我当时就想到了咱们今天要说的欧拉公式。

那欧拉公式到底是啥呢？简单来说就是对于任何一个凸多面体，顶点数 V、棱数 E 和面数 F 之间都存在一个固定的关系：V - E + F = 2 。

咱们先来直观感受一下这个公式。

比如说一个正方体，它有 8 个顶点，12 条棱，6 个面。

咱们算算：8 - 12 + 6 ，嘿，正好等于 2 ！那这公式咋推导出来的呢？咱们一步步来。

假设一个多面体是空心的，就像一个吹起来的气球。

咱把它的面都剪成一个个小三角形。

这时候注意啦，每剪一条棱，就会多出一个面。

比如说原来有 1 个面，2 条棱，现在剪成 2 个三角形，就有 2 个面，3条棱啦。

再想象一下，如果把这个空心多面体不断地“压缩”，就像把气球压扁。

这时候，面和棱的数量可能会变化，但是顶点数可不变哟。

咱接着来，把多面体想象成是由一个个小三角形拼接起来的。

如果两个三角形有一条公共边，那就把这条边去掉，这样面和棱的数量就会减少，但顶点数还是不变。

经过这样一系列操作，最后会得到一个像大三角形一样的东西。

这个大三角形有 3 个顶点，3 条棱，1 个面。

那咱们反推回去，每增加一个三角形，顶点数就增加 2 个，棱数增加 3 条，面数增加 1 个。

所以呀，顶点数 V 、棱数 E 和面数 F 之间就有了 V - E + F = 2 这样的关系。

回到开头那个小朋友的魔方，其实魔方的每个小块儿，每个面的组合，都能从欧拉公式里找到数学的规律。

咱们在学习数学的时候，像这样看似复杂的公式，只要咱们多观察、多思考，多动手试试，就能发现其中的奥秘。

总之，欧拉公式中多面体顶点数、棱数和面数的关系推导，就像是一场有趣的数学探险，等着咱们去发现更多的惊喜！。

名师辅导立体几何第10课正多面体、球(含答案解析)

名师辅导立体几何第10课正多面体、球（含答案解析）●考试目标主词填空1.多面体欧拉公式（1）欧拉公式V ＋F －E ＝2，是描述简单多面体的顶点数、面数、棱数之间特有规律的一个公式.2. 球的概念和性质（1）定义：半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫球体，简称球.3.球面的距离在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点的球面距离.4.球的表面积和体积球的表面积和体积都是球半径R 的函数.(1)半径为R 的球表面积公式是：S ＝4πR 2,(2)半径为R 的球体积公式是：S =334R π.●题型示例点津归纳【例1】已知铜的单晶的外形是简单几何体，单晶铜有三角形和八边形两种晶面，如果铜的单晶有24个顶点，每个顶点处都有三条棱，计算单晶铜的两种晶面的数目.【解前点津】设三角形晶面有x 个，八边形晶面有y 个.则单晶铜的面数F =x +y ,且棱数E =21(3x +8y ). 又因为铜的单晶的顶点数V =24,且每个顶点处都有3条棱所以棱数 E =21×（3×24）＝36 由欧拉公式得 24+(x +y )-36=2 所以x +y =14,再由21(3x +8y )=36 可解得x =8,y =6所以单晶铜的三角形晶面有8个，八边形晶面有6个.【解后归纳】本题考查多面体，凸多面体和多面体的欧拉定理及其应用.【例2】一个简单多面体共有16个顶点，每个顶点都引出3条棱，且只有三角形和五边形两种面，求该简单多面体中三角形和五边形的数目各是多少?【解前点津】设该简单多面体中三角形和五边形数目分别为x 个、y 个，一方面可根据欧拉定理计算棱数，另一方面可由各面边数计算棱数，这样可以得到一个二元一次方程组，求解即可.【规范解答】设三角形有x 个，五边形有y 个，∵共有16个顶点，每个顶点引出三条棱，∴棱数E =2316⨯=24, 一方面相邻两个面的两条边重合为一条棱， ∴棱数为253y x +,∴253y x +=24 ① 另一方面，由题意知面数F =x +y ，由欧拉定理得：16+(x +y )-24=2 ②由①②联立可得：x =1,y =9，即三角形面有1个，五边形面有9个.【例3】一个圆锥形漏斗口的内周长为8πcm ．漏斗深9.6cm ，将一个球放进漏斗里，球的最高点比漏斗口所在平面高出2.4cm ，求球的体积.【解前点津】作出轴截面图.【规范解答】作共同的轴截面图(如图)，得等腰△PAB 和圆O ，球的最高点C ，球心O 和圆锥顶点P 三点共线，D =AB ∩PC ,依题设：PD =9.6,CD =2.4,AD =428=ππ. 过C 作A 1B 1∥AB 与PA 、PB 的延长线分别交于点A 1、B 1，则A 1B 1与圆O 相切于C . 且有25.16.9121===PD PC AD C A . ∴A 1C =1.25AD =5.PA 1=.13221=+PC C A记PA 1与圆O 的切点为E ，则A 1C =A 1E ，且△PEO ∽△PCA 1，得C A OE PC PE 1=,PE =PA 1-A 1E =13-5=8, ∵OE =3101=⋅PC C A PE , 即得球半径R =310,所以它的体积为814000343π=π=R V (cm 3). 【解后归纳】作出圆锥与球共同的轴截面，则圆锥与球的重要几何量与几何关系都在这一平面图形上充分展现出来了，通过对此平面图形的分析，即可求出球半径，从而求得球体积.【例4】在北纬45°的纬度圈上有A 、B 两点,它们分别在东经70°与东经160°的经度圈上，设地球半径为R ，求A 、B 两点的球面距离.【规范解答】如图,设北纬45°圈的圆为O 1,地球中心为O ,则∠AO 1B =160°-70°=90°,∠OBO 1=45°,OB =R .∴O 1B =O 1A =R 22,AB =R , 连接AO ,AB ,则AO =BO =AB =R , ∴∠AOB =60°,∴=61·2πR =31πR . 故A 、B 两点间的球面距离为31πR . 【解后归纳】为求A 、B 两点间球面的距离,要把它组织到△AOB 中去分析，只要求得∠AOB 的度数便可求得球面距离，注意余弦定理的应用.●对应训练分阶提升一、基础夯实1.正三棱锥是正四面体的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分不必要条件2.正六面体的顶点数V 和棱数E 分别是 ()例3题图例4题图A.V =8,E =12B.V ＝12，E ＝8C.Ｖ＝6，E ＝8D.V ＝6，E ＝103.球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么球的半径为 ( ) A.43 B.23 C.2 D. 3 4.正十二面体的面是正三角形，且每一个顶点为其一端都有五条棱，则其顶点数V 和棱数E 的值应是( )A.V ＝30，E ＝12B.Ｖ＝12，E ＝30C.Ｖ＝32，E ＝10D.Ｖ＝10，E ＝325.在底面直径为2的等边圆柱中,分别以两底为底面,以圆柱的轴上任一点为顶点的两个圆锥的体积之和是(轴截面为正方形的圆柱称为等边圆柱) ( ) A.34π B.32π C. 3π D.值不确定 6.设正多面体的每个面都是正n 边形，以每个顶点为端点的棱有m 条，棱数是E ，面数是F ，顶点数是V ，则它们之间的关系不正确的是 ( )A.nF =2EB.mV =2EC.V ＋F ＝E ＋2D.mF =2E7.把一个半径为R 的实心铁球熔化后铸成两个小球(不计损耗)，两个小球的半径之比为1∶2，则其中较小球半径为 ( ) A.R 31 B.R 333 C.R 5253 D.R 33 8.在地球表面北纬60°线上有两点，它的经度差为180°，则A 、B 两点的纬度线的距离与A 、B 两点的球面距离之比为 ( )A.1∶3B.2∶3C.3∶2D.3∶59.半径为R 的三个球两两外切放置桌面上，与这三个球都外切的第四个小球也放在桌面上，则小球的半径为 ( )A.RB.21RC.31R D.R 32 10.已知过球面上三点A 、B 、C 的截面与球心距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球的半径等于 ( )A.1B.34C.32 D.332 二、思维激活11.一个简单多面体每个顶点处都有三条棱，则它的顶点数V 和面数F 的关系是 .12.半球内有一内接正方体，则这半球的全面积与正方体的全面积之比为 .13.在120°的二面角内，放一个半径为5 cm 的球切两半平面于A 、B 两点，那么这两个切点在球面上最短距离是 .14.地球半径为6 370km ，地球表面北纬30°圈上有A 、B 两个卫星地面接收站，它们在北纬 30°圈上的距离是336370πkm ，则这两地间的经度差是 . 三、能力提高15.求证：正四面体的二面角与正八面体的二面角互为补角.16.制作两个正四面体的模型，再把它们拼成一个六面体，观察一下这个六面体是否为正六面体.17.C 70分子有70个顶点，以每个顶点为一端都有3条棱，各面是五边形或六边形，求C 70分子中五边形和六边形的个数.18.如图所示，三棱锥V —ABC 中，VA ⊥底面ABC ，∠ABC ＝90°.(1)求证：V 、A 、B 、C 四点在同一球面上.(2)过球心作一平面与底面内直线AB 垂直.求证：此平面截三棱锥所得的截面是矩形.19.如图所示,在棱长为a 的正方体AC 1中求,(1)过BD 1所作的最小截面面积;(2)过BD 1所作截面周长最小时的截面面积.第10课正多面体、球习题解答1.B 正四面体为正三棱锥，而正三棱锥不一定为正四面体.2.A 由欧拉定理可得.3.B 设球半径为R ，小圆半径为r ，则2πr =4π，∴r =2.设这三点为A 、B 、C ，球心为O ，则根据球面距离意义可知∠AOB =∠BOC =∠COA =362π=π. 第18题图第19题图∴△ABC 为正△且边长为R ,又r 为△ABC 外接圆半径.∴r =R AB 3333=,∴R =3r =23. 4.B 顶点为12个，棱数E =30.5.B 画图运用等边圆柱的概念即得.6.D 只有mF =2E 不正确.7.B 设较小的半径为r ， ∴34πr 3+34π(2r )3=34πR 3，∴r =333R . 8.C 2:3360cos 221RR π︒⋅π⋅. 9.C 设第四个小球的半径为x ， ∴x +.)32232()(22R R R x =⋅⋅-+ 解得：x =3R . 10.B 32232222⋅⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-R R ，∴R =34. 11.V =2F -4 利用多面体结构特点易知. 12.43π 如图设正方体棱长为x ，球半径为R ， ∴R =.262222x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ S 半球全=21·4πR 2+πR 2=3πR 2， S 正方体=6x 2=6·262⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛R =4R 2， ∴.434322π=π=R R S S 正方体半球全 13.35π 两切点对球心的张角为3π，∴球面距为35π . 14.120° 北纬30°圈的半径为6370·23, ∴6370·23·θ=6370·23π， ∴θ=32π，即经度差为120°. 15.设正四面体有S —ABC 和正八面体AC 的棱长都为a ,正四面体的二面角为α，正八面体的二面角为2β. 易求得tan α＝22 (0<α<2π). 在正八面体AC 中，连EF 交截面ABCD 于O ，取AB 的中点G .连EG 、FG 、OG ，则EG ⊥AB ,FG ⊥AB ,所以∠EGF 为二面角的平面角.由对称性知∠EGO =∠OGF ＝β，又EG =23a ,GO =21a ,∴EO =a 22. 第12题图解∴tan ∠EGO =tan ∠β=2222=aa . ∴tan2β＝22tan 1tan 22-=β-β(0<2β<π) ∴α与β互补. 16.不是正六面体，正六面体即为正方体.17.设C 70分子中五边形和六边形分别有x 个和y 个，C 70分子这个多面体的顶点数V ＝70，面数F =x +y ,棱数E =21(3×70) ，根据欧拉公式，可得70+(x +y )-21(3×70)=2, 由棱数相等有：21(5x +6y )= 21×(3×70). 解得：x =12,y =25∴C 70分子中五边形有12个，六边形有25个.18.(1)取VC 的中点M ，∵VA ⊥底面ABC ，∠ABC ＝90°，∴BC ⊥VB ，在Rt △VBC 中，M 为斜边 VC 的中点.∴MB ＝MC ＝MV ，同理在Rt △VAC 中，MA ＝MV ＝MC ，∴MV ＝MC ＝MA ＝MB ，∴V 、A 、B 、C 四点在同一圆面上，M 是球心.(2)取AC ，AB ，VB 的中点分别为N 、P 、Q ，连结NP 、PQ 、QM 、MN .则MNPQ 就是垂直于AB 的三棱锥V —ABC 的截面，易证PQMN 是平行四边形，又VA ⊥BC ，PQ ∥VA ，NP ∥BC ，∴QP ⊥PN ，故截面MNPQ 是矩形.19.这是一道有关立体几何最值问题的题目,比较综合,我们可对本题作简单分析:(1)设经过BD 1的截面为BMD 1N ,因为正方体相对侧面平行,故BMD 1N 是平行四边形,这样S 截=2S △BMD 1显然欲使S 截最小,只需S △BMD 1最小,而BD 1为定值,故只需M 到BD 1的距离最小,M 可在AA 1上移动,所以这个问题可转化为求异面直线AA 1与BD 1之间的距离,而求异面直线间的距离又可化为线面间的距离(AA 1与面BB 1D 1D 间的距离)(2)沿侧棱将侧面AD 1与侧面AB 1展开如图所示,D 1M +MB 的最小值就是侧面展开图中的D 1B ,设D 1B 与AA 1交于M ,由于侧面为全等的正方形，故M 为AA 1的中点,同理N 为CC 1的中点,此时MB ∥ND 1为所求截面.第19题图解。

简单多面体的欧拉公式

简单多面体的欧拉公式嘿，咱们今天来聊聊简单多面体的欧拉公式。

不知道你有没有玩过积木呀？就那种小小的、五颜六色的积木块。

我记得有一次，我小侄子在那摆弄一堆积木，想要搭出一个特别酷的城堡。

他一会儿把这个积木放这儿，一会儿又把那个积木挪那儿，嘴里还嘟囔着：“这个要放在顶上，那个要当大门。

”结果呢，忙活了半天，城堡没搭成，倒弄出个奇奇怪怪的形状。

这让我想起了简单多面体的欧拉公式。

这公式说呀，对于任何一个凸多面体，它的面数 F、棱数 E 和顶点数 V 之间，都有一个神奇的关系：F + V - E = 2 。

比如说一个正方体，它有 6 个面，8 个顶点，12 条棱。

咱们来算算，6 + 8 - 12 ，是不是正好等于 2 ？再看看三棱柱，5 个面，6 个顶点，9条棱，5 + 6 - 9 ，还是 2 。

那这个公式有啥用呢？可别小瞧它！在解决很多几何问题的时候，它就像是一把神奇的钥匙。

比如说，给你一个不知道面数、棱数和顶点数具体是多少的多面体，但是告诉你其中两个量，那你就能通过欧拉公式算出第三个量。

就像我们在生活中，有时候只知道一部分情况，但是通过一些规律和方法，就能推测出其他未知的部分。

就像找路一样，知道了几个关键的地标，就能找到最终的目的地。

还有啊，在研究一些复杂的立体图形的时候，欧拉公式能帮我们理清思路。

让那些看似杂乱无章的线条和面，变得有规律可循。

想象一下，一个多面体就像是一个神秘的迷宫，而欧拉公式就是那张能指引我们走出迷宫的地图。

再回到我小侄子搭积木的事儿。

虽然他最后没搭成城堡，但是在这个过程中，他其实就在和简单多面体打交道呢。

每一块积木的形状，组合在一起的样子，都隐藏着欧拉公式的影子。

学习简单多面体的欧拉公式，不仅仅是为了应对考试中的题目，更是让我们学会用一种有条理的方式去看待周围的世界。

不管是建筑的设计，还是日常的一些小物件，很多都和多面体有关。

而欧拉公式，就像是隐藏在背后的密码，等待着我们去发现和解读。

多面体欧拉定理

多面体欧拉定理定理简单多面体的顶点数V、棱数E及面数F间有关系对于简单多面体，有著名的欧拉公式：V-E+F=2简单多面体即表面经过连续变形可以变为球面的多面体。

多面体欧拉定理式中V表示多面体的顶点数，E表示棱数，F表示面数。

定理一证分析：以四面体ABCD为例。

将它的一个面BCD去掉，再使它变为平面图形，四面体的顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变（这里F1=F-1）。

因此，要研究V、E和F的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可。

只需平面图形证明：V+F1-E=1（1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E的值不变。

例如去掉BC，就减少一个面ABC。

同理，去掉棱CD、BD，也就各减少一个面ACD、ABD，由于V、F1-E的值都不变，因此V+F1-E的值不变（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E的值不变。

例如去掉CA，就减少一个顶点C。

同理去AD就减少一个顶点D，最后剩下AB。

在以上变化过程中，V+F1-E的值不变，V+F1-E=2-0-1=1，所以V+F-E= V+F1-E+1=2。

对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。

公式对任意简单多面体都是正确的。

定理意义（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律；（2）思想方法创新训练：在定理的发现及证明过程中，在观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；在方法上将底面剪掉，然后其余各面拉开铺平，化为平面图形（立体图→平面图）。

（3）引入拓扑新学科：“拉开图”与以前的展开图是不同的，从立体图到拉开图，各面的形状，以及长度、距离、面积、全等等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。

事实上，定理在引导大家进入一个新几何学领域：拓扑学。

我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。

（4）给出多面体分类方法：在欧拉公式中，令f(p)=V+F-E，f(p)叫做欧拉示性数。

正多面体的欧拉公式

正多面体的欧拉公式正多面体是指所有的面都是相等的正多边形，并且每个顶点都是相等的。

欧拉公式是描述了正多面体的顶点数、边数和面数之间的关系。

欧拉公式可以表述为：正多面体的顶点数加上面数等于边数加上2。

本文将详细介绍正多面体的欧拉公式以及相关概念和性质。

我们来了解一些基本概念。

正多面体有五种，它们分别是四面体、六面体、八面体、十二面体和二十面体。

每种正多面体都有其特点和性质。

四面体是一种最简单的正多面体，它有四个面、六条棱和四个顶点。

根据欧拉公式，四面体的顶点数加上面数等于边数加上2，即4+4=6+2。

六面体也被称为立方体，它有六个面、十二条棱和八个顶点。

根据欧拉公式，六面体的顶点数加上面数等于边数加上2，即8+6=12+2。

八面体是一种有八个面的正多面体，它有八个面、十八条棱和十二个顶点。

根据欧拉公式，八面体的顶点数加上面数等于边数加上2，即12+8=18+2。

十二面体是一种有十二个面的正多面体，它有十二个面、三十条棱和二十个顶点。

根据欧拉公式，十二面体的顶点数加上面数等于边数加上2，即20+12=30+2。

二十面体是一种有二十个面的正多面体，它有二十个面、三十条棱和十二个顶点。

根据欧拉公式，二十面体的顶点数加上面数等于边数加上2，即12+20=30+2。

欧拉公式不仅适用于正多面体，也适用于其他凸多面体。

凸多面体是指所有的面都位于多面体的外部，并且通过任意两点的连线都在多面体内部。

对于任意凸多面体，欧拉公式都成立。

除了欧拉公式，正多面体还有一些其他的性质。

正多面体的每个顶点都是由相同数量的面和边所围成的。

例如，四面体的每个顶点都被三个面和三条边所围成，六面体的每个顶点都被四个面和四条边所围成。

这个性质可以通过观察正多面体的结构来理解。

正多面体还具有对称性。

每个正多面体都有一些旋转对称轴和镜像对称面。

例如，六面体有六个旋转对称轴和三个镜像对称面。

这些对称性使得正多面体在数学和几何学中具有重要的地位。

简单多面体欧拉公式

简单多面体欧拉公式大团高级中学方良【教学目标】1. 知识与技术：识记欧拉公式，了解欧拉公式的发觉进程，能简单的运用欧拉公式2. 进程与方式：培育学生从特殊到一样，再从一样到特殊的分析问题和解决问题的方式，体验归纳-猜想-论证的研究方式，从而增强学生的空间想象能力和逻辑思维能力3. 情感态度价值观：通过教学使学生了解和感知欧拉公式发觉的历程，激发学生酷爱科学勤奋学习的热情，培育学生勇于探讨的创新意识【教学重点】：欧拉公式及其发觉进程【教学难点】：欧拉公式的应用【教学进程】一、引入：1. 举例：足球；甲烷；C602. 引入研究课题：多面体极点数（V ），面数（F ），棱数（E ）的规律3. 温习概念：多面体；极点；面；棱4. 研究方式：特殊→归纳→猜想→证明（创设情境，提出问题，确信研究方式，让学生领会研究问题是由简单到复杂，由特殊到一样的这一规律。

）二、探讨：问题1.下面5个多面体，别离数出他们的极点数V ，面数F ，棱数E ，并填表1 2345观看表中各组数据，猜想V、F、E之间的规律：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

是不是任意一个多面体都有上述规律吗？（创设问题情境，让学生在解决问题的进程中去观看、猜想、探讨；让学生以类似或模拟科学研究的方式进行学习，使学生形成探讨性学习的适应，培育和锻炼学生的探讨能力。

）问题2：下面3个多面体，别离数出它们的极点数V、面数F和棱数E，并填出表这些多面体中：V+F-E=2成立吗？（简单直观的问题情景能一下子激发学生探讨的爱好。

学生进入问题情景，发觉问题，在问题的驱动下，进入探讨性活动。

）问题3：比较前面问题1和问题2中的图形，若是这些多面体的表面都是用橡皮膜制成的，而且能够向它们的内部充气，那么这些多面体能够持续（不破裂、不粘连）变形，最后其表面能够变成什么空间图形呢？引入“简单多面体”的概念：假设多面体的表面是橡皮膜制成的，能够向它们的内部充气，那么能够持续（不破裂、不粘连）变形，表面能变成一个球面的多面体，叫做简单多面体。

多面体欧拉公式的地位与作用

多面体欧拉公式的地位与作用
多面体欧拉公式是数学中的一种定理，描述了多面体的几何特征。

它由瑞士数学家欧拉于1750年提出，被认为是数学上的一颗明珠。

欧拉公式通过关联多面体的顶点数、边数和面数之间的关系，展示了一个简洁而美丽的等式。

欧拉公式的地位体现在它所揭示的规律性以及它在数学领域中的重要性和普遍性。

欧拉公式是几何学中一个基本而重要的定理，它揭示了多面体的顶点数、边数和面数之间的关系，为多面体的几何性质提供了重要的理论基础。

同时，欧拉公式也是数学中一个具有普遍意义的定理，可以推广到其他领域，例如拓扑学、图论等领域。

欧拉公式的作用主要体现在以下几个方面：
1. 理论推导：欧拉公式是几何学中一个重要的定理，通过它可以推导出许多其他的几何定理和性质，例如多面体的面积、体积、高斯定理等。

2. 应用领域：欧拉公式不仅在几何学中有应用，在数学的其他领域如拓扑学、图论等也有广泛的应用，同时也在物理、工程等实际领域有重要的应用价值。

3. 培养思维：欧拉公式的提出和证明过程需要严密的逻辑思维和推理能力，学习和掌握欧拉公式可以培养人们的逻辑思维和推理能力，提高数学素养。

4. 启发创新：欧拉公式的简洁性和优美性让人们感受到数学的美妙和神奇，可以激发人们对数学的兴趣和探索精神，启发人们的创新思维。

总之，多面体欧拉公式在数学中具有重要的地位和作用，它是几何学中的一个基本而重要的定理，具有广泛的应用价值和意义。

学习和掌握欧拉公式对于提高数学素养和思维能力具有重要的意义。

简单多面体的欧拉公式

美，发现数学的美，然后以极大的热情去学习数学，掌握数学，运用数学．
— —
江阴市成化高级中学
赵超老师
作者分别介绍了有理数表示无理数的恒等式、轮换恒等式、无限与有限恒等式．或分析其美妙之处，或揭示其本质，或介绍其历史背景．让读者顿时有了“ 眼前一亮 ” 的感觉，惊叹数学中美无处不在．
在一个简单多面体中，如果代表顶点
数，Ｆ代表面数，Ｅ代表边数，则有等式Ｖ＋
Ｆ—Ｅ一２成立．
镰①
照此类推，可列下表：
情况增加四边形增加五边形
增加六边形
欧拉多面体公式有很多证法，这里选述
爱美之心，人皆有之．数学是什么？数学是美；美是什么？美是温馨的感觉；温馨的感觉在哪里找？在数学恒等式，在轮换恒等式，在黄金分割比…… 中！只要我们有一双善于发
现美的眼睛，那么，数学就会变得非常有趣．
所增多的顶点数、面数和棱数．在图 ① 中已
增加边形
１
—ｌ
有三个面１，２，３，增加的第４个面是四边形，
于是可以直观地看到：Ｅ一Ｖ一１一Ｆ，
一Ｅ一０．即在增添面数的过程中， ② 中增加的第４个面是五边形， ③ 中增加的或＋Ｆ

高中数学多面体与欧拉公式(教学设计)新人教版必修2

《多面体与欧拉公式》教学设计方案一．教学目标设计（1）认知目标：了解多面体的相关概念，在探究欧拉公式的过程中经历猜测、试验、分析试验结果、检验等活动。

（2）能力目标：通过学生对多面体的观察，使学生经历观察、猜想、验证、推理等数学活动过程，发展学生动手操作、自主探究、合作交流和分析归纳能力。

（3）情感目标：学生在自主探究、合作交流的学习过程中体验到数学活动充满着探索和创造。

使学生获得成功的体验，增强自信心，提高学习数学兴趣，建立严谨的科学态度和不怕困难的顽强精神。

二．教材分析1．教学内容分析《多面体与欧拉公式》是高等教育出版社中职教材《数学》第二册第九章第四部分开篇，是高中新课程改革中的新增内容，目的是通过实际的操作活动发展学生的动手实践能力，激发学生学习兴趣；通过学生自主进行数学实验，培养学生主动探索新知的能力。

本节课通过引导学生动手，利用实际操作活动，让学生体会到多面体的面数、顶点及棱数之间的关系，培养学生体会“观察——猜想——验证”的数学活动过程，提高学生的观察、操作、推理、交流合作的能力。

2．教学重点与难点教学重难点：1.重点：多面体的概念的理解，欧拉公式及其应用。

解决办法：通过实物模型理解多面体的概念，努力弄懂欧拉公式的发现过程，搞清V、E、F的含义。

2.难点：多面体的概念，欧拉公式的发现过程，欧拉公式的应用。

解决办法：注意相互讨论，大胆探索。

学法引导：注意由特殊到一般、由具体到抽象的归纳猜想，注意复习平面图形中多边形的特点，向三维空间拓展让学生理解多面体的概念。

教学用具：实物模型，多媒体教学课件三．教学对象分析教学过程是师生互相交流的活动过程，教师起主导作用，学生在教师的启发下充分发挥主体性作用。

中职学校的学生从认知的特点来看具有爱问好学、求知欲强，想象力丰富的特点，他们有一定的电脑操作及上网浏览、查询资料的能力，他们希望探索能力得到充分的展示和表现，因此，在学习方法上，充分发挥学生在教学中的主体作用，采取让学生自己观察、大胆猜想、动手操作、进行小组间的讨论和交流、利用课件及网络资源自主探索等方式，激发学习兴趣，让学生主动地学习。

多面体与欧拉公式

欧拉公式和球