2020-2021学年高一数学人教A版必修4第一章1.3三角函数的诱导公式(1)课件
高中数学 人教A版必修4 第1章 1.3三角函数的诱导公式(一)
的运用．利用诱导公式把求任意角的三角函数值转化为求锐角 的三角函数值，清晰地体现了化归的思想.
填一填·知识要点、记下疑难点
§1.3（一）
1．设 α 为任意角，则 π＋α，－α，π－α 的终边与 α 的终边之间
本 课 时 栏 目 开 关
的对称关系.
相关角 π＋ α 与 α －α 与 α π－ α 与 α 终边之间的对称关系 关于 原点 对称 关于 x轴 对称 关于 y轴 对称
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由三角函数的定义得
§1.3（一）
y sin α＝ y ，cos α＝ x ，tan α＝ x ，
－y y 本 又 sin(π＋α)＝－y ，cos(π＋α)＝－x ，tan(π＋α)＝ －x ＝ x ，
课 时 栏 ∴sin(π＋α)＝－sin α ， cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝ tan α . 目 开 关 (3)公式作用：第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三
§1.3（一）
(1)公式内容：
sinπ＋α＝－sin α，
本 课 时 栏 目 开 关
cosπ＋α＝－cos α， tanπ＋α＝tan α.
(2)公式推导： 如图，设角 α 的终边与单位圆交于点 P1(x， y)，则角 π＋α 的终边与单位圆的交点为 P2(－x，－y)，下面是根据三角函数定义推 导公式的过程，请你补充完整：
§1.3（一）
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§1.3（一）
【学习要求】 1．了解三角函数的诱导公式的意义和作用．
本 课 化简和证明问题． 时 3．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、 栏 目 【学法指导】 开 关 1．本节将要学习的诱导公式既是
1 3 2π － ， 2 2 (4)角 的终边与单位圆的交点坐标为_______________ ，所以
高中数学 人教A版必修4 第1章 1.3三角函数的诱导公式(二)
研一研·问题探究、课堂更高效 (2)诱导公式五的推导：
§1.3（二）
π 问题 1 若 α 为任意角，那么 －α 的终边与角 α 的终边有怎 2 样的对称关系？ 本 课 π 时 答 角 α 的终边与 －α 的终边关于直线 y＝x 对称． 栏 2 目 π 开 问题 2 设角 α 与单位圆交于点 P(x， y)， 则 － 2 关
y.
所以，对任意角 α
sin α .
π 都有：sin2－α＝
cos α
π ，cos2－α＝
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探究点二 诱导公式六
π ，cos2＋α＝
§1.3（二）
(1)诱导公式六： π sin2 ＋α＝ cos α
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填一填·知识要点、记下疑难点
§1.3（二）
2．诱导公式五～六的记忆 π π －α， ＋α 的三角函数值，等于 α 的异名三角函数值， 2 2 本
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前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号， 记忆口诀 为“函数名改变，符号看象限”.
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§1.3（二）
α 与单位圆交于点 P′，写出点 P′的坐标．
答 P′(y，x)．
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§1.3（二）
问题 3 根据任意角三角函数的定义，完成下列填空：
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sin α＝ y ，cos α＝ x ；
π sin2 －α＝
x
π ，cos2－α＝
§1.3（二）
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§1.3（二）
【学习要求】 1．掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化 简与证明问题． 本 课 时 2．对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与 栏 目 个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力． 开 关 现问题、解决问题的能力．
高一数学必修4三角函数诱导公式
高一数学必修4三角函数诱导公式诱导公式是高一数学必修四三角函数知识点只必考的公式，我们在考前一定要掌握好这些公式的应用。
下面是店铺为大家整理的高一数学必修4三角函数诱导公式，希望对大家有所帮助!高一数学必修4三角函数诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z)公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαco t(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)高一数学函数复习资料一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式课件新人教A版必修4
sin
2
cos
,
cos
2
sin .
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
cos180 cos
原式=
cos
sin
sin cos
1
练习 利用公式求下列三角函数值:
1 cos 420 cos60 cos 60 1 2
2 sin
7 6
sin
5 6
sin
6
1 2
3sin 1300
4
cos
79 6
cos
5 6
cos
6
3 2
练习
化简 1sin 180 cos sin 180
4 tan 324 32 __ta_n__3_5_2_8_;
化简11scio原ns式52=cs2ions•22sin•2sin •c•osco2s
;
= sin • sin • cos
cos
= sin2
化简
2 cos2
tan 360
sin .
原式=cos2 tan sin
1.思考
给定一个角α (1)终边与角α的终边关于原点对称的角 与α有什么关系?它们的三角函数之间有 什么关系?
公式二
y
P(x,y)
sin(π+α)=－sinα cos(π+α)=－cosα
π +α α
O
x
tan(π+α)=tanα
P(-x,-y)
(2)终边与角α的终边关于x轴对称的角与α 有什么关系?它们的三角函数之间有什么 关系?
y
P(-x,y)
π-α P(x,y)
高中数学 1.3.1 三角函数的诱导公式(一)素材 新人教A版必修4
1.3.1三角函数的诱导公式命题方向1 求值问题利用诱导公式求任意角三角函数的步骤(1)“负化正”——用公式一或三来转化；(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．[特别提醒] 牢记0°，30°，45°，60°，90°角的正弦、余弦和正切值对给角求值问题很重要！求下列三角函数值：(1)sin960°；(2)cos(－43π6)． [分析] 先将不是[0°，360°)范围内角的三角函数，转化为[0°，360°)范围内的角的三角函数(利用诱导公式一)，或先将负角转化为正角，然后再用诱导公式化到[0°，90°]范围内的三角函数的值．[解析] (1)sin960°＝sin(960°－720°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－32. (2)cos(－43π6)＝cos 43π6＝cos(7π6＋6π)＝cos 7π6＝cos(π6＋π)＝－cos π6＝－32.[点评] 用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤：①化负角的三角函数为正角的三角函数；②化为[0°，360°)内的三角函数；③化为锐角的三角函数．可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”(有时也直接化到锐角求值)．解决条件求值问题策略解决条件求值问题，要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系，要么将已知式进行变形向所求式转化，要么将所求式进行变形向已知式转化．总之，设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键．[解析] ∵sin(π＋α)＝－sin α，∴sin α＝13， ∴cos α＝±1－cos2α＝±1－(13)2＝±223又∵cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α＝±223. 命题方向2 三角函数式的化简问题三角函数式的化简方法(1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数；(2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的切函数化为弦函数；(3)注意“1”的变形应用．化简：(1)sin(－α)cos(－α－π)tan(2π＋α)；(2)sin2(α＋π)cos(π＋α)tan(π－α)cos3(－α－π)tan(－α－2π). [分析] 先观察角的特点，选用恰当的诱导公式化简，然后依据同角关系式求解．[解析] (1)原式＝(－sin α)·cos(π＋α)·tan α＝－sin α·(－cos α)·sin αcos α＝sin2α.(2)原式＝(－sin α)2·(－cos α)(－tan α)·(－cos α)3·(－tan α)＝－sin2αcos α－tan2α·cos3α＝1. 命题方向3 三角函数式的证明问题三角函数关系式的证明方法证明简单的三角函数关系式常用的途径有(1)由左边推至右边或由右边推至左边，遵循的是化繁为简的原则．(2)证明左边＝A ，右边＝A ，则左边＝右边，这里的A 起着桥梁的作用．(3)通过作差或作商证明，即左边－右边＝0或左边右边＝1.设tan(α＋87π)＝m.求证：sin(157π＋α)＋3cos(α－137π)sin(20π7－α)－cos(α＋227π)＝m ＋3m ＋1. [分析] 本题主要考查诱导公式，从已知角的关系入手，将所求各角用α＋87π表示，然后用诱导公式和三角函数关系式求解．[解析]左边＝sin[π＋(87π＋α)]＋3cos[(α＋8π7)－3π]sin[4π－(α＋87π)]－cos[2π＋(α＋8π7)] ＝－sin(α＋8π7)－3cos(α＋8π7)－sin(α＋8π7)－cos(α＋8π7) ＝tan(α＋87π)＋3tan(π＋87π)＋1 ＝m ＋3m ＋1＝右边．∴等式成立．[点评] 本题是条件等式的证明，证明条件等式一般常用的方法有两种：一是从被证等式一边推向另一边，并在适当的时候，将条件代入，推出被证等式的另一边，这种方法称为代入法；二是直接将条件变形，变形为被证等式，这种方法称为推出法或直接法．证明条件等式无论使用哪种方法，都要盯住目标，据果变形．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
人教版数学高一-人教A版必修四1.3三角函数的诱导公式素材
《三角函数的诱导公式》文字素材2公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)一般的最常用公式有:Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosA Sin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosACos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinB Cos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinBTan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB)Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB)平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系：sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα·倒数关系：tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1直角三角形ABC中，角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边, 三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin^3(α) cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα·半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]。
人教版高一数学 A版 必修4 教学课件：第一章 《1.3 三角函数的诱导公式》
解
∵cos(π＋α)＝－cos
α＝－
3 5
，∴cos
α＝
3 5
，
∵π<α<2π，∴32π<α<2π，∴sin α＝－45.
∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)
＝－sin(π－α)＋(－cos α) ＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos＝α－) －45＋35＝15.
综上，原式＝－1.
1234
1234
2sinα＋nπcosα－nπ
3.证明：
＝(－1)ncos α，n∈Z.
sinα＋nπ＋sinα－nπ
证明 当n为偶数时，令n＝2k，k∈Z，
2sinα＋2kπcosα－2kπ 左边＝
sinα＋2kπ＋sinα－2kπ
＝ 2sin αcos sin α＋sin
αα＝2si2nsαincoαs
tan(π＋α)＝－－yx＝yx.
诱导公式二
sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α.
思考3 公式二有何作用？ 答 第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数，例如：
sin 76π＝－sin π6＝－12，cos 54π＝－ 22， tan 240°＝ 3.
是[0,2π)内的角的三角函数，转化为[0,2π)内的角的三 角函数，或先将负角转化为正角后再转化到0，π2 范围内 的角的三角函数值.
跟踪训练1 求下列三角函数值. (1)sin－463π； 解 sin－463π＝－sin 463π＝－sin(6π＋76π) ＝－sin 76π＝－sinπ＋π6＝sin π6＝12；
第一章 三角函数
人教a版必修4学案：1.3三角函数的诱导公式(1)(含答案)
1.3三角函数的诱导公式(一)自主学习知识梳理1．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系.相关角终边之间的对称关系π＋α与α关于____对称；－α与α关于____对称；π－α与α关于____对称.2.诱导公式一～四(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝______，cos(α＋2kπ)＝______，tan(α＋2kπ)＝________，其中k∈Z.(2)公式二：sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝__________，tan(π＋α)＝________.(3)公式三：sin(－α)＝________，cos(－α)＝__________，tan(－α)＝________.(4)公式四：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝__________.自主探究你能否利用π＋α与α终边之间的对称关系，从任意角三角函数的定义出发推导诱导公式二吗？对点讲练知识点一给角求值问题例1求下列各三角函数值．(1)sin(－1 200°)；(2)cos 47π6；(3)tan 945°.回顾归纳此类问题是给角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数，要记住一些特殊角的三角函数值．变式训练1求sin 1 200°·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan(－495°)的值．知识点二给值求值问题例2已知sin3π－αcos3π－α＝2，求sinα－3π＋cosπ－αsin－α－cosπ＋α的值．回顾归纳(1)诱导公式的使用将三角函数式中的角都化为单角．(2)弦切互化是本题的一个重要技巧，值得关注．变式训练2已知cos π6－α＝33，求cos 5π6＋α－sin2α－π6的值．知识点三化简三角函数式例3化简：sin－2π－θcos6π－θtan2π－θcosθ－πsin5π＋θ.回顾归纳解答此类题目的关键是正确运用诱导公式，如果含有参数k(k为整数)一般需按k的奇、偶性分类讨论．变式训练3化简：sin[k＋1π＋θ]·c os[k＋1π－θ]sin kπ－θ·cos kπ＋θ(其中k∈Z)．1．明确各诱导公式的作用诱导公式作用公式一将角转化为0～2π求值公式二将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值公式三将负角转化为正角求值公式四将角转化为0～π2求值2.诱导公式的记忆这组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.课时作业一、选择题1．sin 585°的值为()A．－22B.22C．－32D.322．若n为整数，则代数式sin nπ＋αcos nπ＋α的化简结果是()A．tan nαB．－tan nαC．tan αD．－tan α3．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于()A.1－k2kB．－1－k2kC.k1－k2D．－k1－k24．tan(5π＋α)＝m，则sinα－5πcosπ＋α的值为()A．m B．－m C．－1 D．15．若sin(π－α)＝log814，且α∈－π2，0，则cos(π＋α)的值为()A.53B．－53C．±53D．以上都不对二、填空题6．sin－π3＋2sin5π3＋3sin2π3＝______.7．代数式1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°的化简结果是________．8．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋2，其中a、b、α、β为非零常数．若f(2 009)＝1，则f(2 010)＝________.三、解答题9．若cos(α－π)＝－2 3，求sinα－2π＋sin－α－3πcosα－3πcosπ－α－cos－π－αcosα－4π的值．10．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0.§1.3三角函数的诱导公式(一)答案知识梳理1.相关角终边之间的对称关系π＋α与α关于原点对称；－α与α关于x轴对称；π－α与α关于y轴对称.2.(1)sin αcos αtan α(2)－sin α－cos αtan α(3)－sin αcos α－tan α(4)sin α－cos α－tan α自主探究解设P(x，y)为角α终边上任一点，∵角α与π＋α终边关于原点对称．∴P(x，y)关于原点的对称点P′(－x，－y)位于角π＋α的终边上．∴|OP′|＝|OP|＝x2＋y2＝r.由任意角三角函数的定义知：sin(π＋α)＝－yr＝－sin α，cos (π＋α)＝－xr＝－cos α，tan(π＋α)＝－y－x＝yx＝tan α.借助任意角三角函数的定义同样可以推得公式三、公式四．对点讲练例1解(1)sin(－1 200°)＝sin(－4×360°＋240°) ＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－3 2；(2)cos 47π6＝cos(11π6＋6π)＝cos11π6＝cos(2π－π6)＝cosπ6＝32；(3)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1.变式训练1解原式＝sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)－tan(360°＋135°)＝sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)－tan(180°－45°)＝－sin 60°·cos 30°＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°＝－32×32＋12×12＋1＝1 2 .例2解∵sin3π－αcos3π－α＝2，∴tan(3π－α)＝2，∴tan α＝－2.∵sinα－3π＋cosπ－αsin－α－cosπ＋α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝1＋tan αtan α－1∴sinα－3π＋cosπ－αsin－α－cosπ＋α＝1－2－2－1＝13.变式训练2解cos 5π6＋α－sin2α－π6＝－cosπ－5π6＋α－sin2π6－α＝－cos π6－α－sin2π6－α＝－33－1－332＝－33－23＝－2＋33.例3解原式＝－sin2π＋θ·cos θ·－tan θcosπ－θ·sinπ＋θ＝sin θ·cos θ·tan θ－cos θ·－sin θ＝sin θ·cos θ·tan θsin θ·cos θ＝tan θ变式训练3解当k为偶数时，不妨设k＝2n，n∈Z，则原式＝sin[2n＋1π＋θ]·c os[2n＋1π－θ] sin2nπ－θ·cos2nπ＋θ＝sinπ＋θ·cosπ－θ－sin θ·cos θ＝－sin θ·－cos θ－sin θ·cos θ＝－1.当k为奇数时，设k＝2n＋1，n∈Z，则原式＝sin[2n＋2π＋θ]·c os[2n＋2π－θ] sin[2n＋1π－θ]·c os[2n＋1π＋θ]＝sin[2n＋1π＋θ]·c os[2n＋1π－θ] sinπ－θ·cosπ＋θ＝sin θ·cos θsin θ·－cos θ＝－1.∴上式的值为－ 1. 课时作业1．A[sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)＝－2 2 .]2．C[若n为偶数，则原式＝sin αcos α＝tan α；若n为奇数，则原式＝sinπ＋αcosπ＋α＝tan α.]3．B[∵cos(－80°)＝k，∴cos 80°＝k，∴sin 80°＝1－k2.∴tan 80°＝1－k2 k.∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k2 k.]4．A[∵tan(5π＋α)＝tan α＝m，∴tan α＝m.原式＝－sin α－cos α＝tan α＝m.]5．B[∵sin(π－α)＝sin α＝log2 2－23＝－23，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin2α＝－1－49＝－53.]6．0解析原式＝－sin π3＋2sin2π－π3＋3sin2π3＝－32－2×32＋3×32＝0.7．－1解析原式＝1＋2sin180°＋110°·cos360°＋70°sin180°＋70°＋cos2×360°＋70°＝1－2sin 110°cos 70°cos 70°－sin 70°＝1－2sin 70°cos 70°cos 70°－sin 70°＝|sin 70°－cos 70°| cos 70°－sin 70°＝－1.8．3解析f(2 009)＝asin(2 009π＋α)＋bcos(2 009π＋β)＋2 ＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋2＝2－(asin α＋bcos β)＝1.∴asin α＋bcos β＝1.f(2 010)＝asin(2 010π＋α)＋bcos(2 010π＋β)＋2 ＝asin α＋bcos β＋2＝3.9．解原式＝－sin2π－α－sin3π＋αcos3π－α－cos α－－cos αcos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos2α＝sin α1－cos α－cos α1－cos α＝－tan α.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－2 3，∴cos α＝23.∴α为第一象限角或第四象限角．当α为第一象限角时，cos α＝2 3，sin α＝1－cos2α＝5 3，∴tan α＝sin αcos α＝52，则原式＝－52.当α为第四象限角时，cos α＝2 3，sin α＝－1－cos2α＝－5 3，∴tan α＝sin αcos α＝－52，则原式＝52.10．证明∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝2kπ＋π2(k∈Z)，∴α＝2kπ＋π2－β (k∈Z)．tan(2α＋β)＋tan β＝tan22kπ＋π2－β＋β＋tan β＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tan β＝tan(4kπ＋π－β)＋tan β＝tan(π－β)＋tan β＝－tan β＋tan β＝0，∴原式成立．。
高中数学人教A版必修4课件：1.3三角函数的诱导公式(一)
3
3
42 8
2.已知cos(α -75°)=- 1 ,且α 为第四象限角,求
3
sin(105°+α )的值. 【解题指南】由于105°+α =180°+(α -75°),故欲求 sin(105°+α ),需利用条件求出sin(α -75°).该三角函 数式只需用平方关系即可求得.
【解析】因为cos(α-75°)=- <1 0,且α为
(3)注意“1”的应用:1=sin2α +cos2α =tan .
4
【拓展延伸】三角函数式化简的思路以及含有kπ ±α 形式的处理方法 (1)总体思路是利用诱导公式将相应角向角α 的三角函 数转化. (2)含有kπ ±α 形式的化简时需对k分是偶数还是奇数 来确定选用的公式.
【变式训练】化简 scio n s(( 4 4 ))scio ns(2 5( ))cso in s2 2(( 3 )).
sin(2m )cos［2m 1 ］ sin［2m 1 ］cos(2m )
sin()cos( ) sin(cos) 1. sin( )cos sincos
k为奇数时,设k=2m+1(m∈Z),
原式sin［s2im n(2m 2］ c)cooss［ (2m 2m 1)］
提醒:设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决 问题的关键.
【补偿训练】1.已知 sin(－)＝1，
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2
求cos2(α - )·sin ( 2 ＋ ) 的值.
3
3
【解析】cos2()sin(2＋ )
33
＝cos2[－(－)]sin[－(－)]
3
3
高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式(第2课时)教学课件 新人教A版必修4
【多维探究】 (1)本例条件不变，如何求 cos56π－α的值？
(2)本例条件若变为“已知 sin23π＋α＝12”，其他不变，则 结果又如何？
(3)本例条件若不变，如何求 cos23π＋α的值？ (4)本例条件若不变，如何求 tanπ3－α的值？
解：(1)cos56π－α＝cosπ2＋π3－α＝－sinπ3－α＝－12. (2)cosπ6＋α＝cos23π＋α－π2＝cosπ2－23π＋α ＝sin23π＋α＝12.
提示：因为
tanπ2＋α
＝
csoinsπ2π2＋＋αα＝－cossinαα＝－cs1oins
α α
＝
－
1 tan
α，所以
tanπ2＋α＝－tan1
α，即它们互为负倒数．
1．对诱导公式五、六的理解 (1)公式五、六中的角 α 是任意角． (2)公式五、六可以概括如下：π2±α 的正弦(余弦)函数值， 分别等于 α 的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把 α 看成锐角 时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名改变，符号看象 限”．
高中数学 第一章 三角函数 三角 的诱导公式（第 课时）教学课件
教 版必修
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休
睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对
哦~
1．sin 95°＋cos 175°的值为( )
A．sin 5°
B．cos 5°
C．0
D．2sin 5°
解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°
证明：∵左边＝－2sin321π－－2θsin－2 θsin θ－1
＝－2sinπ＋1－π2－2sθin2－θ sin θ－1＝2sinπ2－1－θ2s－ins2inθ θ－1
高中数学1.3三角函数的诱导公式(一)诱导公式二三四教案新人教A版必修4
３ 三角函数的诱导公式（一）诱导公式二三四一、关于教学内容的思考教学任务：帮助学生理解,,πααπα+--与α的正弦、余弦、正切值的关系；会利用诱导公式进行化简、求值。
教学目的：引导学生如何利用三角函数线探讨上述关系；教学意义：培养学生数形结合的思想。
二、教学过程１．理解,,πααπα+--与α的正弦、余弦、正切值的关系①,,πααπα+--与α终边的对称性；②观察三角函数线的关系：相等、相反；③得出关系式。
απ+ α- απ- α 关于原点对称 关于x 轴对称关于y 轴对称 三角函数线正弦线、余弦线互为相反 正切线相同 正弦线、正切线互为相反 余弦线相同 正切线、余弦线互为相反 正弦线相同诱导公式 ααπααπααπtan )tan(;cos )cos(;sin )sin(=+-=+-=+ 公式二 sin()sin ;cos()cos ;tan()tan αααααα-=--=-=- 公式三 sin()sin ;cos()cos ;tan()tan πααπααπαα-=-=--=-公式四④总结：,,πααπα+--的三有函数值，等于α的同名函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
２．利用诱导公式一二三四求值、化简例 ①=︒225cos ；②π311sin ＝ ；③)316sin(π-＝ ；④=︒-)2040cos( 。
①22-；②23-；③23；④21-。
例 )180cos()180sin()360sin()180cos(︒--︒--︒++︒αααα＝ ；１ 三、教材节后练习（可以在课堂上随着教学内容穿插进行）四、教学备用例子１．在ABC ∆中，31cos =B ，则)cos(C A +等于（ Ｂ ） Ａ．31 Ｂ．31- Ｃ．322 Ｄ．322-２．求)417sin()417cos(ππ---的值。
2 ３．在ABC ∆中，2cos sin =+A A ，)cos(2cos 3B A --=π，求ABC ∆的三个内角。
高中数学 1.3三角函数的诱导公式(一)课件 新人教A版必修4
【解析( jiě xī)】1.选B.sin2(π-α)-cos(π+α)cos(-α)+1
=sin2α+cos2α+1=2.
2.(1)原式
cos tan tan
tan .
sin
(2)当k为偶数时，原式 sin 2 cos 4
33
sin( ) cos( )
3
3
sin cos 3 33 4
6
6
【解析】因为(yīcons(w5èi) ) cos[ ( )] cos( ) 3 ,
所以
6
6
6
3
又因为si(ny2ī(n56wèi))
1
cos2
(
5 6
)
1
(
3)2 2. 33
所以 cos( ) cos[( )] cos( ) 3 .
6
6
6
3
sin2 (5 ) cos( )
6
6
2 3 2 3. 33 3
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【拓展提升】解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称 及有关(yǒuguān)运算之间的差异及联系. (2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转 化.
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当k为奇数( jī shù)时，s原in 式2 cos( 4)
3
3
sin( )cos(2 )
3
3
sin cos 3 . 3 34
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【拓展提升】三角函数式化简的常用方法
(1)依据(yījù)所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化
高一数学人教A版必修四教案：1.3 三角函数的诱导公式(一) pdf版含答案
1.3 三角函数的诱导公式一、教材分析（一）教材的地位与作用：1、本节课教学内容“诱导公式（二）、（三）、（四）”是人教版数学4，第一章1、3节内容，是学生已学习过的三角函数定义、同角三角函数基本关系式及诱导公式（一）等知识的延续和拓展，又是推导诱导公式（五）的理论依据。
2、求三角函数值是三角函数中的重要问题之一。
诱导公式是求三角函数值的基本方法。
诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值问题。
诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式。
这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大的意义。
（二）教学重点与难点：1、教学重点：诱导公式的推导及应用。
2、教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。
二、教学目标1、知识与技能（1）识记诱导公式．（2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明．2、过程与方法（1）通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法．（2）通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式．（3）通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力．3、情感态度和价值观（1）通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神．（2）通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想．三、教学设想三角函数的诱导公式（一）（一）创设问题情景，引导学生观察、联想，导入课题I 重现已有相关知识，为学习新知识作铺垫。
1、提问：试叙述三角函数定义2、提问：试写出诱导公式（一）3、提问：试说出诱导公式的结构特征4、板书诱导公式（一）及结构特征：诱导公式（一）sin(k ·2π+α)=sin αcos(k ·2π+α)=cos αtg(k ·2π+α)=tg α（k ∈Z ）结构特征：①终边相同的角的同一三角函数值相等②把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～360°角的三角函数值问题。
三角函数的诱导公式
课题
三角函数的诱导公式
项目
内容
理论依据或意图
教
材
分
析
教
材
地
位
与
作
用
“三角函数的诱导公式”是普通高中课程标准实验教科书人教A版必修4第一章第三节，其主要内容是三角函数的诱导公式中的公式二至公式六。它是圆的对称性的“代数表示”。利用对称性，探究角的终边分别关于原点或坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系，体现“数形结合”的数学思想；诱导公式的主要用途是把任意角的三角函数值问题转化为求锐角的三角函数值，体现“转化”的数学思想。诱导公式学习还反映了从特殊到一般的归纳思维形式，对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力具有积极的作用。本节内容共需二课时，第一课时教学内容为公式二、三、四。第二课时的教学内容为公式五、六。
《高中数学课程标准》要求：“倡导通过不同形式的自主学习、探究活动体验数学发现和创造的历程。发展学生的创新意识，体会蕴含其中的思想方法。”因此，依据教材地位与作用及我校高一学生的实际情况确定，教学的目标。
重
、难
点
教学重点、难点:
1.重点：诱导公式二、三、四的探究，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值，提高对数学内部联系的认识。2.难点：发现圆的对称性与任意角终边的坐标之间的联系；诱导公式的合理运用。
教学
环节
教师活动
学生活动
设计意图
特殊角到一般角的变化，归纳出公式二：
sin（π＋α）=-sinα，
cos（π＋α）=-cosα，
tan（π＋α）=tanα。
3.练习：求sin2250
3.学生根据公式二求2250的正弦值。
同时为学生自主探索公式三和公式四做了示范作用。
2020-2021学年数学高中必修4人教A版课件：1.3 第1课时 诱导公式(一)
2．公式的记忆 公式一、二、三、四都叫诱导公式，它们可概括如下： (1)记忆方法：2kπ＋α，－α，π±α 的三角函数值等于 α 的同名函数值，前面加 上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号，概括为“函数名不变，符号看象限”． (2)解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号 右边是正号还是负号；“看象限”是指假设 α 是锐角，要看原函数名在本公式中 角的终边所在象限是取正值还是负值，如 sin(π＋α)，若 α 看成锐角，则 π＋α 的 终边在第三象限，正弦在第三象限取负值，故 sin(π＋α)＝－sin α.
＝sin(180°＋60°)＝－sin
60°＝－
3 2.
(2)cos－436π＝cos436π
＝cos76π＋6π＝cos76π
＝cosπ6＋π＝－cosπ6＝－
3 2.Βιβλιοθήκη 题型二 已知三角函数值求相关角的三角函数值
若 sin(π＋α)＝12，α∈－π2 ，0，则 tan(π－α)等于(
)
A.－12
B.－
第一章
三角函数
1.3 三角函数的诱导公式 第一课时 诱导公式(一)
抓基础·新知探究
【目标导航】 1.了解诱导公式二~四的推导方法. 2.能够准确记忆诱导公式二 四. 3.掌握诱导公式二~四，并能灵活应用.
[新知初探]
知识点 诱导公式
[思维启迪] 1．对诱导公式一~四的理解 (1)在角度制和弧度制下，公式都成立． (2)公式中的角 α 可以是任意角，也可以是复角．如 sin [π－(A＋B)]＝sin(A＋ B)，应用时要注意整体把握． (3)对于正切函数而言，公式成立是以正切函数有意义为前提条件的．
[规律方法] 解决条件求值问题的方法
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四.例题分析
例1.求下列三角函数值
(1) cos225 cos(180 45) cos45
2
2
(2) sin 11
3
sin(4 ) sin
3
3
3 2
(3)sin(16 ) sin 16
3
3
sin(5 )
3
(sin )
1.3 三角函数的诱导公式（一）
一.复习回顾 任意角三角函数的定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x， y)，那么：
（1）正弦sinα＝ y
y P(x,y)
（2）余弦cosα＝ x
（3）正切tanα＝ y x
O
x
诱导公式（一）： 终边相同的角的同一三角函数的值相等
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos tan( k 2 ) tan
3
3 2
(4) cos(2040) cos2040 cos(5360 240)
cos240 cos(180 60) cos60 1
2
例2 化简 cos180 sin 360 sin 180cos180 .
解： sin 180 sin 180 sin180 sin sin,
2sin3 cos2 tan
sin4
3 sin(1440 ) cos( 1080)
cos(180 ) sin( 180)
1
1. 三角函数诱导公式的推导过程,理解 “函数名不变，符号看象限”
2. 作用: 将任意角的三角函数转化到锐角三角函数.
作业：
P29 习题A：1.(1)(3)(4)(8) 2.(1)(2)(6)
1 cos 13 cos 4
9
9
2sin 1 sin1
3
sin
5
sin
5
4cos706
cos 706
2.利用公式求下列三角函数值：
1 cos 420
1 2
2
sin
7 6
1 2
3sin1320 3
2
4
cos
79 6
3 2
3.化简
1sin 180cos sin 180
sin2 cos
（公式三）
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
（公式四）
讨论：观察四组公式，如何用一句话来概括？它们的作用 是什么？
答： 2k (k Z)、、
的三角函数值，等于α的同名三角函数值前面加上把α 看作锐角时原函数值的符号.
简记为“函数名不变，符号看象限”.
y
P1(x, y) sin y
y
O
x cos x
x
tan y
y
x
x
诱导公式（三）
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
正弦正切为奇函数、余弦为偶函数。
y
sin y
y
P4 (x, y)
P1(x, y)
cos x
x
O
x
tan y
x
y x
诱导公式（四）
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
cos180 cos 180
cos180 cos,
所以
原式
cos sin
sin cos
1.
讨论:你能归纳一下把任意角的三角函数转化成锐角三角函 数的步骤吗？
任意负角的 三角函数
用公式三或一
任意正角的 三角函数
用公式一
锐角的三 角函数
用公式二或四
0～2 的角的
三角函数
1.将下列三角函数转化为锐角三角函数：
sin( 2k ) sin (k Z) sin( ) sin
cos( 2k ) cos (k Z) cos( ) cos
tan( 2k ) tan (k Z) tan( ) tan
（公式一）
（公式二）
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
x A(1,0)
－的终边
y
角α的终边与单位圆的交点坐标
为P1(x,y).
P1(x, y) 角 的终边与单位圆的交点 P2
O
x 的坐标为 x, y
．
P2
由三角函数的定义得：
sin y cos x
tan y
x
sin( ) y cos( ) x tan( ) y
x
诱导公式（二）
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
作用:是把求任意角的三角函数值转化为0到 2
角的三角函数值.
思考: 给定一个角α. （1）角π-α、π+α的终边与角α的终边有什么关 系？它们的三角函数之间有什么关系？ （2）角-α的的终边与角α的终边有什么关系？它们的 三角函数之间有什么关系？
－的终边
＋的终边
y
r =1
α O
α的终边
P1(x, y)