信号时域及频域分析方法

32-20
11.3.2频域卷积
时域卷积常用“*”符简单表示为：
y t x t h t h t x t
或对于离散信号来说：
y n x n h n h n x n
对于DFTs来说：
如果用FFT计算时域卷积，则该方法叫“快速卷 积”，即 x n h n IFFT X k H k （11.20） 式中，X(k)和H(k)用FFT算法计算。
N－1 2 1 N 1 x n N X k n 0 n 0 2
（11.27）
32-26
为了估算信号的平均功率，需计算均方 幅值，并作下述近似：
1 T /2 2 1 N 1 2 T / 2 f t dt N f n T n 0
（11.28）
这里所用的功率谱估算（PSE）法是基 于周期图的概念建立的。如果对一个函 数c(t)进行采样，并用FFT法计算它的 DFT，则会得到
由此得到：
X
n


x n e jnT
同样地，可得到傅里叶变换：
T x n 2

S
0
x e jnT d
（11.4）
32-4
考虑规一化频率时，离散信号的傅里叶变换可 写为：
X
n



x n e jn
j n

互相关函数的傅里叶变换满足： Corr G H （11.14）
G 式中， 是 G 的共轭复数。

32-17
如果将h(t)和g(t)数字化，则可得到下面的近似 互相关函数： 1 N 1 Cgh m g n h m n （11.15） N n 0 式（11.5）也称为互相关函数的偏差估计量。 在两个输入离散信号的DFT和偏差估计量的 DFT之间有下列关系： Corr k G k H k （11.16） 因此，两个离散信号的互相关函数也可以由求 它们的DFTs积的反DFT得到。这可以用FFT和 反FFT（IFFT）算法通过下式完成，以提高运 算速度： Cgh n IFFT FFT g FFT h （11.17）
（11.5a）
1 x n 2
X e

d （11.5b）
这个傅里叶变换是连续的，且每隔一个采样频 率重复一次
32-5
傅里叶变换的一个重要特性（图11.1（b）） 是，它在正负方向上每隔一个采样频率区间就 重复一次。
32-6
11.1.2
周期信号的离散傅里叶变 换
离散傅里叶变换（DFT）是指，对离散周期信 号的傅里叶级数系数的计算，它类似于求周期 信号的傅里叶系数，但也有显著的区别： （1）在离散时间域中，积分变为求和； （2）这种变换只能估算除有限数目的复系数， 即原始信号在一个周期内的原始数据点数。
Y k X k H k
32-21
频域卷积与时域卷积的定义相似，对于 连续谱，可用积分表示：
1 Y 2
Y



X S d
（11.21）
对应的时域信号为：
y t x t s t
因此，两个信号在时域内的乘积等于它 们的傅里叶变换在频域内的卷积。
2 n 1 n 1
N
（11.11）
2
在两个输入信号相同的情况下，互相关函数变 成自相关函数。自相关函数得定义为：
rxy k
x n x x n k x
n 1
N
x n x
n 1
N
（11.12）
2
32-15
图11.6所示的是用阻抗描记法同时记录 的4组人体呼吸信号的互相关函数。
非周期信号的离散傅里叶 变换
假设一个离散时间非周期信号是从一个模拟模板中以 为采样周期采集到的数据，采样角频率为 T ，在时 域中可以将其描述为 函数的加权和，即 m （11.1） x t x n t nT

n

该表达式的傅里叶变换为：
X
或
X
1 2 P N / 2 2 CN / 2 N
由Parseval定理可知，均方幅值均修正周期图的沃尔什 法
周期图是不一致的谱估算法，其估算方差在记 录长度接近无穷时不趋近于0。 沃尔什提出改进方法。它是基于将N点数据记 录x(n)分割成一段段含有M点的部分 xk n ， 各段之间重叠了L个样本点的事实提出的。 如L=M，则N=(K+1)M,K是段数。将一个窗函 数作用于每段，然后计算每段的周期图。最后， 将这些周期图平均，即得到沃尔什估算结果。
在图11.6（a）中，4组信号 是沿被测者的腋线上不同点 采集到的。图11.6（b）中， 给出每两个通道信号间的互 相关函数，以便讲运动和节 律性呼吸区分开。
32-16
11.2.2 频域相关性
如果h(t)和g(t)是两个连续信号，则它们 的互相关函数定义为： （11.13） Cgh t g h t d
32-12
图11.4所示的是FFT和原始DFT的计算时 间与N之间的关系曲线。FFT的计算量比 DFT至少小一个数量级。
32-13
11.2
相关性
11.2.1 时域相关性 对于N对数据x n , y n ，其相关系 数定义为：
rxy
x n x y n y




x t e jt dt
（11.2）

n

x n (t nT )e jt dt
（11.3a）
32-3
积分与求和的顺序可以交换为：
X
n


x n t nT e jt dt


（11.3b） （11.3c）
32-25
对于连续的非周期信号，可以类似地得到f(t)和 它的傅里叶变换之间的关系，即： 2 2 1 ＋ － f t dt 2 － F d （11.25） 同样，对于时域离散信号，经傅里叶变换，可 得到 1 f 2 n 2 F d （11.26） 2 n 在DFT情况下，假定时域信号以N为周期相同地 重复，则其DFT将在以采样频率为宽度的各区 间内重复。这时，Parseval定理可表示为：
n 0 N 1
（11.19）
式中，x(n)是输入信号，h(n)是经过采样的系统脉冲响 应，y(n)是输出信号。
32-19
图11.8所示的是用阻抗呼吸描记法记录的呼吸 信号，图（b）所示的是心动伪迹的9系数低通 FIR滤波器的输入和输出信号。该滤波器的角 频率为0.7Hz，阻带内的衰减约为20dB。

32-29
11.4.3 Black-Tukey谱估算
Black-Tukey估算法可由三步完成： （1）从记录到的N点数据中估算出自相关 序列xx m 的中间2M＋1个样本； （2）将一个窗函数作用于估算后的自相 关延迟。 （3）计算引入窗函数后的自相关估算的 FFT，得到Black-Tukey估算结果。参数 M和窗函数类型必须根据应用场合适当 地选取。
第十一章
11.1 11.2 11.3 11.4
其他时域及频域分析方法
傅里叶变换 相关性 卷积 功率谱估算
32-1
生物医学信息通常会受到噪声的干扰。 为了滤除干扰信号，必须了解它们的频 谱范围，以便设计出适当的滤波器
11.1傅里叶变换
快速傅里叶变换（FFT）是进行信号频域分析的基 本工具
32-2
11.1.1
Parseval定理描述了时域与频域间的能量守 恒原理。对于周期为T的周期信号f(t),由 Parseval定理可知，在已知傅里叶级数系数 ak , bk , k 0,1，…， 的情况下，可用下式计 算信号中的平均功率：
2 ak bk2 1 T /1 2 2 f t dt a0 T T / 2 2 （11.24） k 1 2
'
32-23
分析窗口函数特性的一种方法是研究它的傅里 叶变换。在这种方法中，需要分析阻带衰减和 通带宽度。图11.9所示的是最常用于低通滤波 器设计的适用于几种类型的窗口的重要参数。 设计者应该在通带宽度、系数个数和阻带内最 小衰减三者之间进行权衡。
32-24
11.4
功率谱估算
11.4.1 Parseval定理
2 k k X k x 2 p WN /pk WN x 2 p 1WNpk2 X e k WN X 0 k 2 / p 0 p 0 N 1 2 N 1 2
（11.9）
32-11
将算出的两个DFT相加得到原始N点序列的DFT。我们 可以继续将每个N/2点的DFT分解成两个N/4点的DFT， 再将N/4的DFT分解成两个N/8点DFT……最终，N点的 DFT被分解为2点的DFT的和与积 图11.3所示的为计算8点原始序列的X(k)的流程图。 需要进行复加和复乘的总次数为 N log 2 N
Ck c n e
n 0 N 1 jkn 2 N
32-27
这时对 N/2＋1 个频率点的功率谱的周期 图估算定义为： 1 2 P 0 2 C0 N
1 2 P k 2 Ck CN k N

2

N k 1, 2, …, 1 2
（11.29）
32-9
11.1.3
快速傅里叶变换
FFT一词泛指那些可用于估算含有N个等 距离样本的信号的DFT的计算方法，其中 N通常为2的幂。
W e
kn N